如何证明四点共圆

初中四点共圆怎么证明2020-03-16 13:37:54文/宋则贤若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆。

还可用相交弦定理的逆定理，割线定理等证明四点共圆。

四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

四点共圆证明方法1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。

2.若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。

若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。

3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。

若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆。

4.若一个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。

若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。

5.若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。

6.若AB、CD两线段延长后相交于P。

且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。

7.若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理)。

已知四边形ABCD，若AB×CD+BD×AC=AD×BC，则A、B、C、D四点共圆。

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四点共圆的证明方法
要证明四个点共圆，我们可以使用以下方法：
通过三角形的外接圆证明：首先选择任意三个点，构成一个三角形。

如果这个三角形的三个顶点在同一个圆上，那么我们可以得出结论：第四个点也在这个圆上。

为了验证这一点，我们可以计算这个三角形的外接圆心，并检查第四个点是否也位于该圆上。

利用圆的性质证明：如果我们已经知道了另外三个点在同一个圆上，那么我们可以利用圆的性质来证明第四个点也在该圆上。

例如，可以证明四个点共圆的方法之一是通过证明这四个点构成的两个弦相交于同一点，或者证明这四个点构成的两个弧的度数和等于360度。

利用向量的性质证明：我们可以将四个点表示为向量的形式，并利用向量的性质进行证明。

如果我们能够证明这四个点所对应的向量满足某种关系，比如共线、平行或垂直等，那么我们就可以得出结论：这四个点共圆。

利用解析几何的方法证明：假设这四个点的坐标分别为A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y ₃)，D(x₄, y₄)。

我们可以利用解析几何的方法，通过计算这四个点所构成的三角形的外接圆方程，来判断这四个点是否共圆。

如果这四个点满足外接圆方程，那么它们就在同一个圆上。

无论采用哪种方法，我们需要根据具体问题的条件和要求选择合适的证明方法。

1。

四点共圆的判定方法四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中经常会遇到。

那么如何判断四个点是否共圆呢？本文将介绍四种方法，包括解析几何法、向量法、余弦定理法和三角形面积法。

以下是详细的方法：一、解析几何法1. 假设已知四个点的坐标分别为A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3,y3）和D（x4, y4）。

2. 计算出AB、AC和AD三条线段的长度，分别记作a、b和c。

3. 根据勾股定理可以求出三角形ABC、ABD和ACD的面积S1、S2和S3。

4. 如果S1+S2+S3等于ABC三角形的面积，则说明四个点共圆。

二、向量法1. 假设已知四个点A、B、C和D。

2. 分别计算出向量AB、AC和AD的叉积，得到三个向量的模长，分别记作a、b和c。

3. 计算出向量AB与AC之间的夹角α，向量AB与AD之间的夹角β，以及向量AC与AD之间的夹角γ。

4. 如果α+β+γ等于180度，则说明四个点共圆。

三、余弦定理法1. 假设已知四个点A、B、C和D。

2. 计算出AB、AC、AD、BC、BD和CD三对线段之间的夹角，分别记作α、β和γ。

3. 根据余弦定理可以求出三个角的余弦值cosα、cosβ和cosγ。

4. 如果cosα+cosβ+cosγ等于0，则说明四个点共圆。

四、三角形面积法1. 假设已知四个点A、B、C和D。

2. 构造三角形ABC和ABD，分别计算出它们的面积S1和S2。

3. 构造三角形ACD和BCD，分别计算出它们的面积S3和S4。

4. 如果S1+S2等于S3+S4，则说明四个点共圆。

总结：以上就是判断四点共圆的四种方法，其中解析几何法比较简单易懂，适用于初学者；向量法需要一些向量知识，但计算较为简便；余弦定理法需要一些三角函数知识，但也比较容易掌握；三角形面积法则需要计算多个三角形的面积，稍微有些繁琐。

根据实际情况选择合适的方法进行判断即可。

证明四点共圆的方法
四点共圆是几何学中一个经典的问题，它指的是当四个点在同一个平面上时，
它们能否构成一个圆。

在数学中，我们可以通过几何推理和证明来解决这个问题。

下面，我将介绍几种证明四点共圆的方法。

首先，我们可以利用圆的定义来证明四点共圆。

根据圆的定义，一个平面上的
点到另一个点的距离等于圆的半径时，这些点就构成了一个圆。

因此，我们可以通过计算四个点之间的距离，如果它们之间的距离都相等，那么这四个点就共圆。

其次，我们可以利用圆的性质来证明四点共圆。

根据圆的性质，圆上任意两点
与圆心的距离相等。

因此，我们可以选择其中的三个点，计算它们与圆心的距离，如果它们的距离相等，那么第四个点也必定在同一个圆上，从而证明四点共圆。

另外，我们还可以利用向量的方法来证明四点共圆。

通过向量的性质，我们可
以将四个点表示为向量的形式，然后利用向量的线性相关性来判断这四个点是否共圆。

如果这四个点的向量线性相关，那么它们就共圆。

最后，我们还可以利用解析几何的方法来证明四点共圆。

通过建立坐标系，我
们可以将四个点的坐标表示出来，然后利用圆的标准方程来判断这四个点是否共圆。

如果这四个点满足圆的标准方程，那么它们就共圆。

综上所述，证明四点共圆的方法有很多种，可以通过圆的定义、圆的性质、向量、解析几何等多种方法来进行证明。

在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明，从而解决四点共圆的问题。

希望以上方法能够帮助大家更好地理解和应用四点共圆的概念。

四点共圆的6种判定
在几何学中，我们了解到四点共圆（Four points on the same circle）是指满足给定四点能够围成一个圆形的结论。

目前存在许多不同的方法来判定一个给定的四点是否能围成一个圆形，其中最常用的有六种：
一、角平分线法：即把给定的四点连成两条边，然后计算这两条边的中点，如果这四个中点能够完成一个圆，则这四个点可以围成一个圆形。

二、垂线法：即绘制外切圆的圆心到直线ABC的三点的垂线，如果三点的垂线相交点在圆内，则四个点可以围成一个圆形。

三、外切圆法：即计算四边形的外接圆，如果外接圆的半径在最近的两段间符合要求，则四个点可以围成一个圆形。

四、三等分线法：即绘制每条边的三等分线，如果相交点都在边上，则四个点可以围成一个圆形。

五、两角平分线法：即把每条边的两个对角给定，并计算它们的中点，如果四个点能够完成一个圆，则四个点可以围成一个圆形。

六、垂直角平分线法：即计算每条边的垂直角平分线，如果相交点都在边上，则四点可以围成一个圆形。

四点共圆判定的方法由此可见，有多种途径可用于确定四点是否能够围成一个圆形，而且每种方法都有其特定优势，手动计算会比较复杂，只要用上数学公式和计算机几何处理程序，就可以完成自动判定。

证明四点共圆的方法
思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。

思路二：四点到某定点（中垂线交点）的距离都相等，从而确定其共圆． 思路三：运用有关定理或结论
（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边
为圆的直径．
（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。

（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，
PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。

（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，
PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。

（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，
BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅⇔四点共圆。

图（3） 图（4） 图（5）
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇒四点共圆。

A B C D A
B C D P A
B C D P
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，
则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC 交圆O于C'，连结D C'，根据圆内接四
边形的性质得∠A+∠D C'B=180°，
∵∠A+∠C=180°∴∠D C'B=∠C .
故假设错误，原命题成立。

代数方法
解析几何（点代入法，利用线段乘积向量）
复数证明（辐角相等）。

四点共圆一：如何证明四点共圆：证明方法方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。

几何描述：四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，则ABCD四点共圆。

证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。

若不在圆上，可设射线BD与圆的交点为D'，那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC，与外角定理矛盾。

方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

证法见上方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理，即ABCD四个点，分别连接AB和CD,它们（或它们的延长线）交点为P，若PA⨯PB=PC⨯PD，则ABCD四点共圆。

证明：连接AC,BD，∵PA⨯PB=PC⨯PD∴PA/PC=PD/PB∵∠APC=∠BPD∴△APC∽△DPB当P在AB,CD上时，由相似得∠A=∠D，且A和D在BC同侧。

根据方法2可知ABCD四点共圆。

当P在AB,CD的延长线上时，由相似得∠PAC=∠D，根据方法3可知ABCD四点共圆。

方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．即连成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆．方法6四边形ABCD中，若有AB⨯CD+AD⨯BC=AC⨯BD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则ABCD四点共圆。

该方法可以由托勒密定理逆定理得到。

4点共圆的证明4点共圆是指在平面内，如果有4个点落在同一个圆周上，则它们构成的图形呈现出一种美妙的对称性。

这种几何特性不仅在数学中具有重要意义，而且在生活中也有着广泛的应用，例如在密码学中可以用来实现对称加密。

那么，如何证明4点共圆呢？下面我们来阐述两种证明方法。

证明方法一：利用垂直平分线步骤如下：1. 假设有4个点A、B、C、D在同一圆周上，圆心为O。

2. 利用向量叉积定义公式，求出向量AB和向量CD的叉积P，以及向量BC和向量AD的叉积Q。

3. 针对P和Q构建两条垂直平分线，分别交于点O。

4. 证明点A、B、C、D分别在O的周围，即可得出结论。

证明方法二：利用三角形面积步骤如下：1. 假设有4个点A、B、C、D在同一圆周上，圆心为O。

2. 利用三角形面积公式计算三个三角形的面积，分别为ABO、BCO、CDO。

3. 证明这三个三角形的面积相等，即可得出结论。

具体证明方法如下：（1）由于ABO、BCO、CDO是同一圆周上的三角形，因此它们的周长相等，即AB+BO+OA=BC+CO+OB=CD+DO+OC。

（2）根据带入法，我们只需要证明ABO面积等于BCO面积，以及BCO面积等于CDO面积即可。

（3）首先证明ABO和BCO面积相等。

因为这两个三角形的底分别是AB和BC，高相等且均为BO的高。

因此，它们的面积应该相等。

（4）然后证明BCO和CDO面积相等。

这两个三角形的底分别是BC 和CD，高相等且均为CO的高。

因此，它们的面积应该相等。

（5）综合以上两点，我们得出ABO、BCO、CDO三个三角形的面积相等，因此A、B、C、D四点共圆。

总结综上所述，我们利用垂直平分线和三角形面积两种证明方法，都可以证明4个点共圆。

这种几何特性在数学和实际生活中都有着广泛的应用，加深了我们对对称性的理解和认识。