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证明四点共圆的基本方法证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据的逆定理)方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为π,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。
角CBE=角ADE（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（）四点共圆的图片EB*EA=EC*ED（）EF*EF= EB*EA=EC*ED（）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）证明四点共圆的原理四点共圆证明四点共圆基本方法：方法1把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。
四点共圆的判定方法都有哪些（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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四点共圆的判定与性质欧阳歌谷（2021.02.01）一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
欧阳歌谷创编2021年2月8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O 为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
欧阳歌谷创编2021年2月如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
四点共圆是一个常用的知识，它除了可以灵活运用于角与角之间的等量转换外，还可以解决与圆幂定理（相交弦定理和切割线定理）相关的问题。
四点共圆的判定是个难点，现归纳总结出四点共圆的几种常用判定方法，供同学们学习参考。
一、直接找出一点到所证四点的距离相等例1如图1所示，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为E 、F 、G 、H 。
求证：E 、F 、G 、H 四点共圆。
分析：由于E 、F 、G 、H 是菱形四边中点，从菱形的性质可知：E 、F 、G 、H 应在对角线交点O 为圆心的圆上，因此可证E 、F 、G 、H 四点到O 点的距离相等即可。
图1证明：连接OE 、OF 、OG 、OH ，ȵ四边形ABCD 是菱形，ʑAB ⊥BD ，AB =BD =CD =DA 。
又ȵ在Rt △AOB 、Rt △BOC 、Rt △COD 、Rt △AOD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，ʑOE =12AB ，OF =12BC ，OG =12CD ，．．．CZSFD 数学2011．12OH =12AD 。
又ȵAB =BC =CD =DA （已证），ʑOE =OF =OG =OH 。
ʑE 、F 、G 、H 四点共圆。
二、证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角例2如图2所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，过点A 和点B 的圆与AD 、BC 分别交于E 、F 点。
求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
分析：欲证C 、D 、E 、F 四点共圆，可证以该四点构成的四边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。
由此，连接EF 构成四边形EFCD 后，证明∠BFE =∠D 即可。
图2证明：连接EF ，ȵ四边形ABFE 是圆内接四边形，ʑ∠A +∠BFE =180ʎ。
又ȵ四边形ABCD 是平行四边形，ʑ∠A +∠D =180ʎ。
ʑ∠BFE =∠D 。
证明四点共圆的方法四点共圆是指四个点可以在同一个圆上。
要证明四点共圆，可以利用静态几何学的基本定理和性质，下面将介绍三种常用的方法。
方法一：利用圆的定义和性质对于任意圆，其上的所有点到圆心的距离都是相等的。
因此，我们可以通过计算四个点到圆心的距离来判断它们是否共圆。
设四个点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，圆心为O(x0,y0)。
若四个点共圆，则AO=BO=CO=DO。
利用距离公式得到：AO²=(x1-x0)²+(y1-y0)²BO²=(x2-x0)²+(y2-y0)²CO²=(x3-x0)²+(y3-y0)²DO²=(x4-x0)²+(y4-y0)²若AO=BO=CO=DO，那么AO²=BO²=CO²=DO²，即(x1-x0)²+(y1-y0)²=(x2-x0)²+(y2-y0)²=(x3-x0)²+(y3-y0)²=(x4-x0)²+(y4-y0)²。
通过比较以上等式，我们可以判断四个点是否共圆。
方法二：利用圆的定理和性质若四个点共圆，则它们可以共同对应一个圆。
根据圆的定理和性质，我们可以利用以下定理进行推导和证明：1.三角形的外接圆：如果一个三角形的三个顶点都位于一些圆上，那么这个圆叫做这个三角形的外接圆。
2.交角的异弦：如果两条弦分别交于一个圆的两点，那么它们所夹的两个交角相等。
3.切割定理：规定公式pA×pB=pC×pD，其中p是代表点到圆心的距离，A、B、C、D分别是点到圆心的两条弦所分割的两部分。
根据以上定理和性质，我们可以进行推导和证明四点共圆。
方法三：利用方程推导和证明利用坐标系中的几何图形的方程进行计算和推导是另一种证明四点共圆的常用方法。
四点共圆的7种判定方法证明要证明四个点共圆，可以使用以下七种判定方法。
方法1：使用相交弧的性质假设四个点A、B、C、D共圆。
我们可以通过观察四个点连线所形成的相交弧的性质来进行判定。
即如果从A到B的弧和从C到D的弧的起点和终点重合，或者从B到C的弧和从D到A的弧的起点和终点重合，或者从C到D的弧和从A到B的弧的起点和终点重合，则可以证明四个点共圆。
方法2：使用余弦定理假设四个点A、B、C、D共圆，并且以A为圆心，AB为半径做圆，那么可以使用余弦定理证明。
首先，假设O为C到D的中点，我们可以根据余弦定理得出：AC² = AO² + OC² - 2 * AO * OC * cos∠AOC，同样地，我们可以得出：BD² = BO² + OD² - 2 * BO * OD * cos∠BOD。
由于共圆的性质，我们可以得到∠AOC = ∠BOD，因此AC² = BD²，从而可以证明四个点共圆。
方法3：使用向量运算假设四个点A、B、C、D共圆，我们可以使用向量运算进行证明。
首先，我们可以构建向量AB和向量AC，然后计算它们的叉乘，得到一个向量N。
同样地，我们可以构建向量AD和向量AC，并计算它们的叉乘，得到另一个向量M。
如果向量N和向量M垂直（即内积等于0），那么可以证明四个点共圆。
方法4：使用角平分线的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且AC和BD相交于点P。
那么根据角平分线的性质，我们可以得知∠APC=∠BPD。
同样地，由于共圆的性质，我们可以得到∠APC=∠BPC，因此∠BPD=∠BPC。
这意味着点P在角BPD的角平分线上，所以我们可以得出AD与BC也相交于点P，从而可以证明四个点共圆。
方法5：使用Miquel点的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且以AC为直径作圆，那么D一定在这个圆上。
同样地，以BD为直径作圆，C也一定在这个圆上。
4点共圆的证明方法嘿，咱今儿个就来唠唠这四点共圆的证明方法。
你说这四点共圆，就像是四个小伙伴手牵手围成了一个圈，多有意思呀！咱先来说说第一种方法，对角互补法。
你想想啊，如果四边形的对角加起来正好是 180 度，那不就像两个好朋友，一个爱热闹，一个爱安静，他俩凑一起，刚刚好，这四点不就共圆了嘛！比如说有个四边形，一个角是 60 度，那另一个对角就得是 120 度，这样它们不就互补了嘛，那这四点大概率就是共圆的啦。
还有一种方法呢，叫外角等于内对角法。
这就好比是一个人在外面的表现和他在家里的性格一样，那多特别呀！如果一个四边形的外角等于它不相邻的内对角，那这四点也能共圆哦。
就好像外角是个调皮的孩子，内对角是个稳重的大人，他俩一对应，嘿，四点共圆的关系就出来了。
再来说说同弧所对的圆周角相等法。
这就好像一群人围着一个大蛋糕，同一块蛋糕上的人角度都一样呢！如果在同一个圆里，同一弧所对的圆周角都相等，那这几个点不就共圆了嘛。
最后还有一种方法，叫到定点等距离法。
你可以把这个定点想象成一个温暖的家，这几个点到这个家的距离都一样，那不就像都回到了温暖的怀抱嘛，它们当然就是共圆的啦。
你看，这四点共圆的证明方法是不是很神奇呀！就像是解开一道谜题的钥匙，每一种方法都能打开一扇通往四点共圆世界的大门。
咱学习这些方法，不就像是探险家去探索未知的领域嘛，充满了乐趣和挑战。
咱在做题的时候，遇到那些好像能四点共圆的图形，就可以用这些方法去试试呀，说不定就能找到答案呢！这就像在大海里捞针，你得有耐心，有方法，才能把那根针捞出来呀。
所以呀，大家可别小瞧了这四点共圆的证明方法，它们可是数学世界里的宝贝呢！学会了它们，咱就能在数学的海洋里畅游啦，那感觉，多棒呀！咱可得好好掌握这些方法，让它们成为我们学习数学的得力助手。
怎么样，是不是对四点共圆的证明方法有了更深的了解啦？加油哦，让我们一起在数学的道路上越走越远！。
四点共圆的判定方法四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中经常会遇到。
那么如何判断四个点是否共圆呢？本文将介绍四种方法，包括解析几何法、向量法、余弦定理法和三角形面积法。
以下是详细的方法：一、解析几何法1. 假设已知四个点的坐标分别为A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3,y3）和D（x4, y4）。
2. 计算出AB、AC和AD三条线段的长度，分别记作a、b和c。
3. 根据勾股定理可以求出三角形ABC、ABD和ACD的面积S1、S2和S3。
4. 如果S1+S2+S3等于ABC三角形的面积，则说明四个点共圆。
二、向量法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 分别计算出向量AB、AC和AD的叉积，得到三个向量的模长，分别记作a、b和c。
3. 计算出向量AB与AC之间的夹角α，向量AB与AD之间的夹角β，以及向量AC与AD之间的夹角γ。
4. 如果α+β+γ等于180度，则说明四个点共圆。
三、余弦定理法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 计算出AB、AC、AD、BC、BD和CD三对线段之间的夹角，分别记作α、β和γ。
3. 根据余弦定理可以求出三个角的余弦值cosα、cosβ和cosγ。
4. 如果cosα+cosβ+cosγ等于0，则说明四个点共圆。
四、三角形面积法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 构造三角形ABC和ABD，分别计算出它们的面积S1和S2。
3. 构造三角形ACD和BCD，分别计算出它们的面积S3和S4。
4. 如果S1+S2等于S3+S4，则说明四个点共圆。
总结：以上就是判断四点共圆的四种方法，其中解析几何法比较简单易懂，适用于初学者；向量法需要一些向量知识，但计算较为简便；余弦定理法需要一些三角函数知识，但也比较容易掌握；三角形面积法则需要计算多个三角形的面积，稍微有些繁琐。
根据实际情况选择合适的方法进行判断即可。
证明四点共圆的几种方法
有几种方法可以证明四点共圆，以下列举几种常见的方法：
1. 通过圆心角相等证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明四个圆心角相等来证明四点共圆。
具体方法是计算出∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB的度数，如果它们相等，则可以判断四个点共圆。
2. 通过等腰三角形证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两个对角线相等的等腰三角形来证明四点共圆。
具体方法是计算出AB、BC、CD、DA的长度，如果其中任意两个对角线相等，则可以判断四个点共圆。
3. 通过垂直角相等证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两条弦的垂直角相等来证明四点共圆。
具体方法是计算出∠ABD和∠ACD的度数，如果它们相等，则可以判断四个点共圆。
4. 通过正交性证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两个弦的垂直平分线相交于圆心来证明四点共圆。
具体方法是计算出弦AB和弦CD的垂直平分线的斜率，如果它们的斜率相乘为-1，则可以判断四个点共圆。
这些方法只是证明四点共圆的几种常见方法，实际上还有很多其他方法可以用来证明四点共圆。
具体使用哪种方法，取决于具体问题的情况和个人的偏好。
四点共圆是一个常用的知识，它除了可以灵活运用于角
与角之间的等量转换外，
还可以解决与圆幂定理（相交弦定理和切割线定理）相关的问题。
四点共圆的判定是个难点，现归纳总结出四点共圆的几种常用判定方法，供同学们学习参考。
一、直接找出一点到所证四点的距离相等
例1如图1所示，菱形ABCD 的对角线AC 、
BD 相交于点O ，四条边AB 、
BC 、CD 、DA 的中点分别为E 、F 、G 、H 。
求证：E 、
F 、
G 、
H 四点共圆。
分析：由于E 、F 、G 、H 是菱形四边中点，从菱形的性质可
知：E 、F 、G 、H 应在对角线交点O 为圆心的圆上，因此可证E 、F 、G 、H 四点到O 点的距离相等即可。
图1
证明：连接OE 、
OF 、OG 、OH ，ȵ四边形ABCD 是菱形，
ʑAB ⊥BD ，AB =BD =CD =DA 。
又ȵ在Rt △AOB 、
Rt △BOC 、Rt △COD 、Rt △AOD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、
CD 、DA 的中点，
ʑOE =
12AB ，OF =12BC ，OG =12CD ，．．．CZSFD 数学2011．12
OH =12AD 。
又ȵAB =BC =CD =DA （已证），
ʑOE =OF =OG =OH 。
ʑE 、F 、G 、H 四点共圆。
二、证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角
例2如图2所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，过
点A 和点B 的圆与AD 、
BC 分别交于E 、F 点。
求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
分析：欲证C 、D 、E 、F 四点共圆，可证以该四点构成的四
边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。
由此，连接EF 构成四边形EFCD 后，证明∠BFE =∠D 即可。
图2证明：连接EF ，
ȵ四边形ABFE 是圆内接四边形，
ʑ∠A +∠BFE =180ʎ。
又ȵ四边形ABCD 是平行四边形，
ʑ∠A +∠D =180ʎ。
ʑ∠BFE =∠D 。
ʑC 、D 、E 、F 四点共圆。
三、利用相交弦定理以及切割线定理的逆定理证明四点
共圆
例3（第19届美国数学奥林匹克试题）如图3所示，给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC'及其延长
线交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高BB'及其延长
线交于点P 、
Q 。
求证：M 、
N 、P 、Q 四点共圆。
分析：由于所证四点M 、
N 、P 、Q 刚好是相交线段MN 与PQ 的端点，不妨设交点为K ，此时只需证明MK ·KN =PK ·KQ 成立即可。
又因为两圆相交，自然想到过A 点作两圆的
公共弦。
由于点K 是重心，AB 是圆的直径，所以公共弦经过
K 点且与BC 的垂足为两圆的另一交点。
利用两圆中的相交弦定理即可证。
证明：连接AK 并延长与BC 相交于E ，
ȵK 为△ABC 高线的交点，
ʑAK ⊥BC ，垂足为E 。
ʑ∠AEB =90ʎ。
又ȵAB 为圆的直径，不妨设两圆另一交点为E'ʑ∠AE'B =90ʎ。
ʑ点E 与点E'重合，即点E 为两圆的交点。
图3在以AB 为直径的圆中，有：
KA ·KE =KN ·KM 。
在以AC 为直径的圆中，有：
KA ·KN =KP ·KQ 。
ʑKN ·KM =KP ·KQ 。
ʑM 、N 、P 、Q 四点共圆。
四、证明线段同侧的两点对线段
的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆
例4（第27届莫斯科数学奥林匹克试题）如图4所示，
A 、
B 、
C 三点共线，点O 在A 、
B 、
C 所在直线外，O 1、O 2、O 3分别为△OAB 、△OBC 、△OCA 的外心。
求证：O、O1、O2、O3四点共圆。
分析：欲证点O、点O1、点O2、点O3四点共圆，可将这四点连结成四边形OO1O3O2，然后证明线段OO1同侧的张角∠OO2O1=OO3O1即可。
证明：分别连接OO1、OO2、OO3、O1O2、O1O3、O2O3、AO3、BO
2
，
ȵO
1、O
2
分别为△OAB、△OBC的外心，
ʑOB是⊙O
1
和⊙O2的公共弦，O1O2是⊙O1和⊙O2的圆心距。
ʑO
1O
2
垂直且平分OB。
图4
在△OBC的外接圆⊙O2中，有：
∠OO2O1=1
2
∠OO2B=∠OCB。
同理可得：∠OO3O1=1
2
∠OO3A
=∠OCA。
ʑ∠OO
2O
1
=∠OO
3
1。
ʑO、O
1、O
2
、O
3
四点共圆。
五、要证五点共圆时，可证明其中两组四点共圆
例5如图5所示，四边形ABCD是圆的内接正方形，对角线AC、BD相交于O点，E、F是劣弧AB、BC的中点，弦DE 分别交AB、AC于点P和点Q，弦DF分别交BC、AC于点S和点R。
求证B、P、Q、R、S五点共圆。
分析：由于点P与点S，点Q与点R关于BD对称，所以只要证明B、P、Q、R四点共圆即可。
从而只需证∠AQP=
∠PBR 。
根据题意可得：∠AQP =45ʎ+
12ˑ45ʎ=67．5ʎ。
因此只需求出∠PBR =67．5ʎ即可，连接BR 即得。
证明：连接BR ，
ȵ四边形ABCD 是正方形，
ʑ∠ABD =∠OAD =∠ADB =∠BDC =45ʎ。
又ȵ点E 为劣弧AB 的中心，
ʑ∠ADE =12∠ADB =12
ˑ45ʎ=22．5ʎȵ∠AQP 是△ADQ 的外角，
ʑ∠AQP =∠QAD +∠QDA =45ʎ+22．5ʎ=67．5ʎ。
ȵ点R 在AC 上，AC 与BD 互相垂直平分
，图5ʑ△BDR 是等腰三角形。
ʑBR =DR ，∠DBR =∠BDR 。
又ȵF 是劣弧BC 的中点。
ʑ∠DBR =∠BDR =12
∠BDC =12
ˑ45ʎ=22．5ʎ
ʑ∠ABR =∠ABD +∠DBR =45ʎ+22．5ʎ=67．5ʎ。
ʑ∠AQP =∠ABR ，即∠AQP =∠PBR 。
ʑB 、P 、Q 、R 共圆。
由于P 、S 、Q 、R 都是关于BD 对称的，由对称可得：
B 、S 、R 、Q 四点也共圆。
ʑB 、P 、Q 、R 、S 五点共圆。
