苏教版九年级一元二次方程复习专题

苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【388528 ：根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】 根据题意得22,20,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程时，2m =-．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-，25(3)(3)(3)0x x x --+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴ 13x =，292x =． (3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．【388528 ：一元二次方程的根的判别式】4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在， 请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>， 所以1312k <．由k-1≠0，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则122301k x x k -+=-=-，解得32k =． 当32k =时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 所以不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．（2015•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x ，由题意得：10（1+2x ）2﹣15（1+x ）2=10，解得 x 1=60%，x 2=﹣1（舍去）．2x=120%．答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型． 举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

江苏省九年级数学上册《一元二次方程》章后复习 苏科版【知识回顾】1.一元二次方程的概念：形如：()002≠=++a c bx ax2.一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b aac b b x3.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； （3）当 时，方程没有实数根．．．．．。

4.用方程解决实际问题：略 【基础训练】一、选择题（每题3分，共30分）1.下列方程是一元二次方程的是（ ）A.x+2y=1B.2x(x-1)=2x 2+3 C. 3x+x1=5 D.x 2-2=0 2. 把方程x 2-8x+3=0化成(x+m)2=n 的形式，则m 、n 的值是（ ）A.4，13B.-4，19C.-4，13D.4，19 3. 方程x(x+3)=x+3的解是 ( )A. x=1B. x 1=0，x 2=-3C. x 1=1，x 2=3D. x 1=1， x 2=-3 4. 已知3是关于x 的方程34x 2-2ax+6=0的一个解，则2a 的值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.95. 已知两圆的半径R 、r 分别为方程x 2-5x+6=0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是( )A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切6.已知直角三角形的两条边长分别是方程x 2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）A.6或8B.10或27C.10或8D.27 7. 若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x 为（ ）A.±21B.±1C.±22D.±28.使用墙的一边，再用13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m 2的长方形，求这个长方形的两边长，设墙的对边长为x m ，可得方程( )A. x (13－x) =20B.x ·13－x2=20C. x (13－12x ) =20 D. x·13－2x2=209.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a、b、c满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）A.1，0B.-1，0C.1，-1D.无法确定10. 某市为了改善城市容貌，绿化环境，计划过两年时间，绿地面积增加44％，这两年平均每年绿地面积的增长率是( )A.19％B.20％C.21％D.22％备选题1. 用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为 ( B )A.22()24p px+= B.224()24p p qx-+=C.224()24p p qx+-= D.224()24p q px--=2.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0的一个根为0，则m的值为（ B ）A．1 B．-3 C．1或-3 D．不等于1的任意实数3. 已知2y2+y-2的值为3，则4y2+2y+1的值为（ B ）A．10 B．11 C．10或11 D．3或11二、填空题 (每题3分，共30分)11. 写出一个一根为2的一元二次方程_________ _____.12.关于x的一元二次方程3x(x-2)=4的一般形式是 .13．方程2x2=-4x的解是 .14. 当x＝_ _ 时，代数式3－x 和－x2+3x 的值互为相反数15. 当y= 时，y2-2y的值为3.16. 关于x的一元二次方程mx2+x+m2+m=0有一个根为零，那m的值等于 .17. 若一个等腰三角形三边长均满足方程x2-11x+18=0，则此三角形的周长为_____．18. 把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是_______cm.19. 在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程(x-2)*5=0的解为 .20. 若a为方程x2+x-1=0的解，则a2+a+2009= .备选题1. 方程2x2-1=3x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2，-3，-12. x2+6x+ =(x+ )2. 9，33. 两个连续自然数的平方和比它们的和的平方小112，那么这两个自然数是__________. 7和84. 如果（a+b-1）（a+b-2）=2，那么a+b的值为．0或3三、解答题（60分）：21. 按要求解下列方程（每题4分，共16分）（1）（x-1）2=4(直接开平方法) （2）x 2—4x+1=0（配方法）（3）3x 2+5(2x+1)=0（公式法） （4）3(x-5)2=2(5-x) （因式分解法）22. （6分）解方程x 2=4x+2时，有一位同学解答如下：解：∵a=1，b=4，c=2，b 2-4ac=42-4×1×2=8，∴42221b x a -±-±===-±⨯即x 1=-2+2 ，x 1=-2-2.请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程。

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--培根苏科版九年级上册一元二次方程章节专题提优复习训练专题一：一元二次方程的求值问题1.关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是1x 、2x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 .2.若210x x +-=，那么代数式3227x x +-的值是 .3.已知βα,是方程0432=--x x 的两个实数根，则ααβ32-+a 的值为 ．4.设a 、β是方程5)4)(1(-=-+x x 的两实数根，则βααβ33+= ．5.已知n m ,是方程0720162=++x x 的两个根，则)82017)(62015(22++++n n m m = ．6.若21,x x 是方程0422=--x x 的两个不相等的实数根，则代数式32222121++-x x x 的值是 .7.已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．8.关于x 的一元二次方程0)5(52=-+-m mx x 的两个正实数根分别为21,x x ，且7221=+x x ，则m 的值为 .9.设1x 、2x 是方程0342=-+x x 的两个根，且,2)35(22221=+-+a x x x 则.__________=a10.设21,x x 是方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于 .参考答案1.132.-63.04.475.20086.197.08.2或69.810.0专题二：一元二次方程的系数陷阱问题1.关于x 的一元二次方程04)2(22=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为（ ） A.2 B. 0 C.2或-2 D. -22.若关于x 的方程012)1(2=-+-x x k 有实数根，则k 的取值范围是（ ） A.10≠≥k k 且 B.10≠≤k k 且 C.0≥k D.0>k3.已知关于x 的一元二次方程032)1(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A.2 B.1 C.0 D.-14.关于x 的方程019)13(22=-+--m x m mx 有实数根，则m 的取值范围是______．5.关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，k 的取值范围是 .6.已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x k x k 有两个不相等的实数根，则偶数k 的最小值为 .7.若关于x 的一元二次方程032)1(22=-+++-m m x x m 有一个根为0，则m 的值是 . 8.若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+++a x x a 的一个根是0，则a 的值为 . 9.如果关于x 的方程0)1()2(2)1(2=++++-a x a x a 有实数解，那么实数a 的取值范围是 .10.已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x k x k 有两个不相等的实数根，则偶数k 的最小值为 .11.已知关于x 的方程01)2()1(12=--+++x m x m m ，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程？ （2）m 取何值时，它是一元一次方程？参考答案1. D2. C3. C4. 5≤m5. 01≠->k k 且6. 47. 3-=m8. 19. 45-≥a 10. 411. （1）1=m ；（2）01=-=m m 或专题三：一元二次方程的之方程的构造1.如果n m ,是两个不相等的实数，且满足3,322=-=-n n m m ，那么代数式=++-2019222m mn n .2.已知1≠ab 且有08199552=++a a 以及05199582=++b b ，则=ba ＿＿＿.3.若实数b a ,满足012=-+a a ，012=-+b b ，则ba ab +=______．4.若1≠⋅b a ，且有01522=++a a ，0252=++b b ，则.2ba ab +的值为______．5.若n m ,是两个不相等的实数，且满足12,1222=-=-n n m m ，则代数式mn n m -+的值是 .知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。

初中数学试卷 马鸣风萧萧九上第一章《一元二次方程》复习（满分：100分 时间：90分钟）一、选择题（16分）1．若x ＝1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是 ( )A ．1B ．－1C ．0D ．22．方程x(x －2)＋x －2＝0的解是 ( )A ．x ＝2B ．x ＝－2或1C ．x ＝－1D ．x ＝2或－13．下列一元二次方程两实数根的和为－4的是 ( )A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝04．已知关于x 的方程kx 2＋(1－k)x －1＝0，下列说法正确的是 ( )A ．当k －0时，方程无实数解B ．当k ＝1时，方程有一个实数解C ．当k ＝－1时，方程有两个相等的实数解'D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解5．若关于x 的一元二次方程（a －1）x 2－2x ＋3＝0有实数根，则整数a 的最大值是 ( )A ．2B ．1C ．0D ．－16．如果三角形的两边长分别是方程x 2－8x ＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点所得到的三角形的周长可能是 ( )A ．5.5B ．5C ．4.5D ．47．如果关于x 的一元二次方程kx 2－21k x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A ．k<12B ．k<12且k ≠0 C ．－12≤k<12 D ．－12≤k<12且k ≠0 8.由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元连续两次下降a%，售价下调到每斤5元，下列所列方程正确的是 ( )A ．12(1＋a%)2＝5B ．12(1－a%)2＝5C ．12(1－2a%)2＝5D ．12(1＋a 2%)2＝5二、填空题（20分）9．若方程x 2－x ＝0的两个根分别为x 1，x 2 (x 1<x 2)，则x 2－x 1＝_______．10.若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝_______．11.若关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两根互为倒数，则a ＝_______．12.某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_______．13.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．如果设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是_______．14．已知一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程_______．15．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a＝_______．16.已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2<ab；③x21＋x22<a2＋b2．其中正确结论的序号是_______．17．若设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，则x＋2014x2－2013＝18.若关于x的一元二次方程x2－mx＋5(m－5)＝0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1＋x2＝7，则m的值是_______．三、解答题(64分)19.（6分）(1)解方程：x2－4x＋1＝0．(2)解方程：x2＋3x＋1＝0．（配方法）20.（6分）已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2．(1)求k的取值范围；(2)如果x1＋x2－x1x2<－1，且k为整数，求k的值．21．（6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”的赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？22.（5分）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示．要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）23.（6分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x(x>40)元，请你分别用含x 的代数式来表示销售量y （件）和销售该品牌玩具获得的利润w （元），并把结果填写在下面的表格中．(2)在(1)的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，则该玩具的销售单价x 应定为多少元？24．(6分)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，(1)试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m 2．(2)能使矩形花园的面积为450m 2吗？25.（8分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降1元，可多售出50个，但售价不得低于进价）．单价降低x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品进行清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果销售这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？26．（8分）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．27.(8分)小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题进行了认真的探索．【思考题】如图，一架2.5m 长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时点B 到墙的距离为0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么点B 将向外移动多远？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整．解：设点B 将向外移动xm ，即BB 1＝x ，则B 1C ＝x ＋0.7，A 1C ＝AC －AA 1＝222.50.7 －0.4＝2.而A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B21得方程___________________________________，解方程得x1＝_______，x2＝_______，所以点B将向外移动_______m.(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4m”改为“下滑0.9m”，那么该题的答案会是0.9m吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．28．(9分)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q，请根据以上结论解决下列问题：(1)已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知a，b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求a bb a的值；(3)已知a，b满足a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．参考答案1.B2.D3.04.C5.B6.A7.D8.B9.110.－111.－112.44%13.50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝18214.x2－5x＋6＝015.－416.①②17.201418.619.(1)x1＝2＋3，x2＝2－3(2)x1＝－32+52，x2＝－32－5220．(1)k≤0 (2)k的值为－1和021.(1)10% (2)13310元22.1m23.(1)－10x2＋1300x－30000 (2)x＝50或8024．(1)可以围成AB的长为15m，BC的长为20m的矩形(2)不能25．9元26.(1)a的值是24 (2)12，9，8，727.(1)(x＋0.7)2＋4＝2.52－2.2 0.8(2)①不会是0.9m ②有可能．28．(1)nx2＋mx＋1＝0（n≠0）(2)47 (3)4。

江苏省九年级数学上册《一元二次方程》章后复习 苏科版【知识回顾】1.一元二次方程的概念：形如：()002≠=++a c bx ax2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x 3.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； （3）当 时，方程没有实数根．．．．．。

4.用方程解决实际问题：略【基础训练】一、选择题（每题3分，共30分）1.下列方程是一元二次方程的是（ ）A.x+2y=1B.2x(x-1)=2x 2+3C. 3x+x 1=5 D.x 2-2=0 2. 把方程x 2-8x+3=0化成(x+m)2=n 的形式，则m 、n 的值是（ ）A.4，13B.-4，19C.-4，13D.4，193. 方程x(x+3)=x+3的解是 ( )A. x=1B. x 1=0，x 2=-3C. x 1=1，x 2=3D. x 1=1， x 2=-34. 已知3是关于x 的方程34x 2-2ax+6=0的一个解，则2a 的值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.95. 已知两圆的半径R 、r 分别为方程x 2-5x+6=0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是( )A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切6.已知直角三角形的两条边长分别是方程x 2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）A.6或8B.10或27C.10或8D.277. 若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x 为（ ）A.±21 B.±1 C.±22 D.±2 8.使用墙的一边，再用13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m 2的长方形，求这个长方形的两边长，设墙的对边长为x m ，可得方程( )A. x (13－x) =20B.x ·13－x 2=20C. x (13－12x ) =20 D. x·13－2x2=209.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a、b、c满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）A.1，0B.-1，0C.1，-1D.无法确定10. 某市为了改善城市容貌，绿化环境，计划过两年时间，绿地面积增加44％，这两年平均每年绿地面积的增长率是( )A.19％B.20％C.21％D.22％备选题1. 用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为 ( B )A.22()24p px+= B.224()24p p qx-+=C.224()24p p qx+-= D.224()24p q px--=2.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0的一个根为0，则m的值为（ B ）A．1 B．-3 C．1或-3 D．不等于1的任意实数3. 已知2y2+y-2的值为3，则4y2+2y+1的值为（ B ）A．10 B．11 C．10或11 D．3或11二、填空题 (每题3分，共30分)11. 写出一个一根为2的一元二次方程_________ _____.12.关于x的一元二次方程3x(x-2)=4的一般形式是 .13．方程2x2=-4x的解是 .14. 当x＝_ _ 时，代数式3－x 和－x2+3x 的值互为相反数15. 当y= 时，y2-2y的值为3.16. 关于x的一元二次方程mx2+x+m2+m=0有一个根为零，那m的值等于 .17. 若一个等腰三角形三边长均满足方程x2-11x+18=0，则此三角形的周长为_____．18. 把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是_______cm.19. 在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程(x-2)*5=0的解为 .20. 若a为方程x2+x-1=0的解，则a2+a+2009= .备选题1. 方程2x2-1=3x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2，-3，-12. x2+6x+ =(x+ )2. 9，33. 两个连续自然数的平方和比它们的和的平方小112，那么这两个自然数是__________. 7和84. 如果（a+b-1）（a+b-2）=2，那么a+b的值为．0或3三、解答题（60分）：21. 按要求解下列方程（每题4分，共16分）（1）（x-1）2=4(直接开平方法) （2）x2 —4x+1=0（配方法）（3）3x2+5(2x+1)=0（公式法）（4）3(x-5)2=2(5-x) （因式分解法）22. （6分）解方程x2=4x+2时，有一位同学解答如下：解：∵a=1，b=4，c=2，b2-4ac=42-4×1×2=8，∴2x===-±即x1=-2+2，x1=-2-2.请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程。

九年级上册一元二次方程复习攻略专题一：一元二次方程1. 一元二次方程的概念：（1）下列方程是一元二次方程的是（ ）.A.22)1(32+=++x x xB.02=+bx axC.x x =2D.1122=+xx （2）若31-是方程022=+-c x x 的一个根，则c 的值为（ ）. A.-2 B. 234- C.33- D.31+2.根据实际问题列一元二次方程：（3）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利， 商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元/件，商场平均每天可多 售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1 250元，衬衫的单价降了x 元/件，那 么下面所列的方程正确的是( )A. (20)(402)1250x x +-=B. (20)(40)1250x x +-=C. (202)(402)1250x x +-=D. (202)(40)1250x x +-=3.一元二次方程的解法：1.直接开方、乘法公式、因式分解；2.配方法；3.求根公式；4.整体法（换元法）（3）.解下列一元二次方程.①22)2(25)1(4-=-x x ； ②0322=--y y ；（用配方法求解）③0142=-+x x ； ④12432=--x x ；（用公式法求解）⑤09)1(6)1(222=+---x x ； ⑥)1(322+=x x .（4）若一元二次方程)0(2>=ab b ax 的两个根分别是2+m 与52-m ，则a b = . （5）如果63)1)(1(2222=-+++b a b a ，那么22b a +的值为 .（6）已知a a a N a M (97,1922-=-=为任意实数)，则M 、N 的大小关系为 . （7）已知一元二次方程04522=--x x 的某一个根也是一元二次方程049)2(2=++-x k x 的根，求k 的值.（8）关于x 的一元二次方程012)1(2=++--m mx x m .①求出此方程的根；②m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？4.一元二次方程根的判别式：注意在使用根的判别式时，前提要看清题目，二次项系数是否已知。

练习一一、选择题：(每小题3分,共24分)1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+22.下列方程:①x 2=0,② 21x -2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x -32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=04.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=05.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )A.11B.15C.-15D.±157.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1B.4x 2+4x+54=0;C. 20x -D.(x+2)(x-3)==-58.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题：(每小题3分,共24分)9.方程2(1)5322xx-+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.10.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有实数解的条件是__________.11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.13.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.14.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.15.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______.16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.三、解答题(2分)17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0.(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.四、列方程解应用题(每题10分,共20分)20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.答案一、DAABC,DBD二、9.x 2+4x-4=0,410. 240b c -≥ 11.因式分解法12．1或2313．214．1815．115k >≠且k 16．30%三、17．（1）3，25-；（2（3）1，2a-1 18.m=-6,n=819.(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2) k =四、20．20%21．20%练习二一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。

苏科版数学专题复习《一元二次方程》中考试题精选一．选择题（共11小题）1．若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则a+b的值是（）A．±2 B．±4 C．2 D．42．若x2﹣2x﹣5＝0的一个解为a，则a（2a﹣3）+a（1﹣a）的值为（）A．5 B．2√6+4C．√6D．﹣5 3．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6y+2＝0 B．ax2﹣bx+c＝0 C．1x2+x=2D．x2＝04．2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.585．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝827．若关于x的一元二次方程mx2+x﹣m2+1＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或18．若一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1 且k≠0 C．k≤1 D．k＜﹣19．解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（）A．直接开方法B．配方法C．公式法D．分解因式法10．将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（）A．（x+4）2＝3 B．（x+2）2＝﹣3 C．（x+2）2＝3 D．（x+2）2＝﹣5 11．某工厂由于管理水平提高，生产成本逐月下降．原来每件产品的成本是1600元，两个月后降至900元，若产品成本的月平均降低率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．1600（1﹣x ）2＝900B ．1600（1﹣2x ）＝900C ．1600（1﹣x 2）＝900D ．1600（1﹣x ）＝900 二．填空题（共5小题）12．一元二次方程x 2+3x +1＝0的根的判别式的值为 ．13．已知a ，b 是一元二次方程x 2+5x ﹣3＝0的两个根，则1b +1a 的值为 ． 14．2023“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为80元/盒的吕梁沙棘汁，按150元/盒的价格进行销售，每天可售出160盒．后经市场调查发现，当每盒价格降低1元时，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，设每盒价格降低x 元，则可列方程为 ．15．若实数a 、b 分别满足a 2﹣3a +2＝0，b 2﹣3b +2＝0，且a ≠b ，则1a +1b = ．16．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．三．解答题（共4小题）17．据统计，目前某市5G 基站的数量约1.5万座，计划到2023年底，全市5G 基站数是目前的4倍，到2025年底，全市5G 基站数最将达到17.34万座．（1）计划到2023年底，全市5G 基站的数量是多少万座？（2）求2023年底到2025年底，全市5G 基站数量的年平均增长率．18．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +2）x +k ﹣1＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）已知12是关于x 的方程x 2﹣（k +2）x +k ﹣1＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长．①求k的值；②求△ABC的周长．19．已知关于x的方程x2﹣bx+2b﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若b为正整数，且方程有一个根为负数，求b的值．20．按照指定方法解下列方程：（1）3x2﹣4x+1＝0（配方法）；（2）2x2−2√2x+1=0（公式法）；（3）3x（x﹣2）＝2x﹣4．。