苏教版 九年级 一元二次方程 提优材料

苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【388528 ：根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】 根据题意得22,20,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程时，2m =-．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-，25(3)(3)(3)0x x x --+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴ 13x =，292x =． (3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．【388528 ：一元二次方程的根的判别式】4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在， 请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>， 所以1312k <．由k-1≠0，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则122301k x x k -+=-=-，解得32k =． 当32k =时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 所以不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．（2015•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x ，由题意得：10（1+2x ）2﹣15（1+x ）2=10，解得 x 1=60%，x 2=﹣1（舍去）．2x=120%．答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型． 举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

一元二次方程单元提优复习训练1.下列方程中，一元二次方程有几个（ ）（1）01=+xx ；（2）02=++c bx ax ；（3）1)2)(1(=+-x x ；（4）05232=--x x . A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.用配方法解方程：0242=+-x x ，下列配方正确的是（ ） A.2)2(2=-x B.2)2(2=+x C.2)2(2-=-x D.6)2(2=-x 3.如果关于x 的方程01)3(122=++---mx x m m m 是一元二次方程，则m 为（ ） A.-1 B.-1或3 C.3 D.1或-3 4.一元二次方程012=-+x x 的根的情况为（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根5.定义：如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 满足0=++c b a ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知)0(02≠=++a c bx ax 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A.c a =B.b a =C.c b =D.c b a ==6.某机械长一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ）A.2%B.5%C.10%D.20% 7.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A.0122=--x x B.0322=+-x x C.3322-=x x D.0442=+-x x8.若2,3是方程02=++q px x 的两实根，则q px x +-2可以分解为（ ）A.)3)(2(--x xB.)6)(1(-+x xC.)5)(1(++x xD.)3)(2(++x x9.如果关于x 的一元二次方程01)12(22=++-x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 饿取值范围是（ ）A.41->kB.41->k 且0≠kC.41-<kD.41-≥k 且0≠k10.如图，反比例函数)0(<=x xk y 的图像经过点A （-1,1），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以l 为对称轴，点B 经过轴对称变换得到的点B ′在此反比例函数的图像上，则t 的值是（ ）A.251+ B.23C.34D.251+-11.方程x x =2的根为 .12.已知532++x x 的值为11，则代数式12932++x x 的值为 .13.若2是方程012)3(2=++-x k x 的一个根，则以2和k 为两边的等腰三角形的周长是 . 14.已知12)1)((2222=+++b a b a ，则22b a += .15.已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x k x k 有两个不相等的实数根，则偶数k 的最小值为 .16.若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+++a x x a 的一个根是0，则a 的值为 . 17.为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒价格由原来的60元降至48.6元，若平均每次降价的百分率都是x ，根据题意，列出关于x 的方程是 . 18.关于x 的一元二次方程0122=+++k x x 的实数解是1x 和2x ，如果12121-<-+x x x x ，且k 为整数，则k 的值为 .19.用适当方法解下列方程（1）04)2(2=--x （2）x x =23（3）142=-x x （4）02232=--x x （用配方法解）（5）02832=--x x （6）21)1(31122=++-++x x x x20.当m 取何值时，方程112)12)(1(124-+=+--+x x x x m x x 的解为正数？21.关于x 的方程01)4(222=+---a x a x . （1）a 为何值时，方程的一根为0？ （2）a 为何值时，两实根互为相反数？（3）试证明：无论a 取何值，方程的两实数根不可能互为倒数.22.已知关于x 的一元二次方程01232=++-a x x 有两个不相等的实数根.（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程01232=++-a x x 的两个根为21,x x ，求221221x x x x +的值.23.已知一元二次方程042=+-k x x 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数且一元二次方程042=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求此时m 的值.24.已知关于x 的一元二次方程02)1(22=+--+m m x m x （m 为实常数）有两个实数根21,x x . （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若22221=+x x ，求m 的值.25.某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元，据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件.设销售单价定为x 元，据此规律，请回答： （1）商店日销售量减少 件，每件商品盈利 元（用含x 的代数式表示）； （2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？26.已知：方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)12(0212x k y y x kx 有两组不同的实数解.,2211⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==y y x x y y x x （1）求实数k 的取值范围. （2）是否存在实数k ，使得?21121=+x x 若存在，请求出所有符合条件的k 的值；若不存在，请说明理由.27.已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E 在AC 上（E 与A 、C 均不重合）. （1）若点F 在AB 上，且EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE=x ，用含x 的代数式表示 △AEF 的面积AEF S ∆；（2）若点F 在折线ABC 上移动，试问是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长与面积同时平分？若存在直线EF ，则求出AE 的长；若不存在，请说明理由.。

苏科版九年级数学上册1.1《一元二次方程》专题培优训练1．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根为1，则k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．03．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（）A．11B．12C．13D．144．．已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），若存在x使得M＝N，则a，b，c的值可以分别为（）A．1，﹣1，0B．1，0，﹣1C．0，1，﹣1D．0，﹣1，15．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20226．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0B．x2﹣2x﹣5＝0C．x2+2x﹣5＝0D．x2+2x+5＝07．若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（）A．0B．1C．2D．38．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x﹣1）2+2（2x ﹣1﹣3＝0，它的解是（）A．x1＝1，x2＝-3B．x1＝-1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝1，x2＝﹣19．若方程（m﹣1）x m2+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0B．±1C．1D．﹣110．若关于x的方程x2+mx﹣3n＝0的一个根是3，则m﹣n的值是（）A．﹣1B．﹣3C．1D．311．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．﹣1或012．若x2﹣3x+1＝0，则x4+的个位数字是（）A．7B．8C．9D．1013．已知是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣6B．6C．D．214．若方程（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（）A．m≥2B．m≤2C．m≤2且m≠1D．m≠115．若a2﹣2a﹣2＝0，则（a﹣1）2＝．16．已知a是方程x2+3x﹣4＝0的根，则代数式2a2+6a+4的值是．17．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．18．已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程（x2﹣2x）﹣5（x﹣2）＝0的根，求△ABC的周长．19．若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2021a+的值．20．已知x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，求直线y＝mx﹣2经过哪些象限．答案1．解：把x＝1代入方程x2+kx﹣2＝0，可得12+k﹣2＝0，即k＝1，故选：A．2．解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．3．解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3，∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．故选：C．4．解：由M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且M＝N，得到2x2﹣2x+1＝ax2+bx+c，即（a﹣2）x2+（b+2）x+c﹣1＝0，则a，b，c的值可以分别为0，﹣1，1，即﹣2x2+x＝0，方程有解，故选：D．5．解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．故选：C．6．解：（x﹣1）2＝6，x2﹣2x+1﹣6＝0，x2﹣2x﹣5＝0，即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，故选：B．7．解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．故选：C．8．解：把方程（2x-1）2+2（2x-1）﹣3＝0看作关于2x-1的一元二次方程，所以2x-1＝1或2x-1＝﹣3，所以x1＝1，x2＝﹣1．故选：D．9．解：由题意得：m2+1＝2，m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：D．10．解：依题意得：32+3m﹣3n＝0，整理，得9+3（m﹣n）＝0．解得m﹣n＝﹣3．故选：B．11．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，∴（a﹣1）×0+0+a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，解得a＝±1且a≠1．∴a＝﹣1符合题意；故选：A．12．解：依题意得，当x＝0时不符合题意，故x≠0，由原方程得到：x+＝3，∴x2+＝7∴x4+＝（x2+）2﹣2＝49﹣2＝47则x4+的个位数字是7．故选：A．13．解：把x＝代入方程x2﹣3x+c＝0得：3﹣9+c＝0，解得：c＝6，故选：B．14．解：∵（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，∴m﹣1≠0，解得m≠1，故选：D．15．解：∵a2﹣2a﹣2＝0，∴a2﹣2a＝2，∴（a﹣1）2＝a2﹣2a+1＝2+1＝3．故3．16．解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，∴a2+3a﹣4＝0，∴a2+3a＝4，∴2a2+6a+4＝2（a2+3a）+4＝2×4+4＝12．故12．17．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，（a，m，b均为常数，a ≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝﹣2或x+2＝1，解得x＝﹣4或x＝﹣1．故x3＝﹣4，x4＝﹣1．18．解：解方程（x2﹣2x）﹣5（x﹣2）＝0可得x＝2或x＝5，∴△ABC的第三边为2或5，但当第三边为5时，2+3＝5，不满足三角形三边关系，∴△ABC的第三边长为2，∴△ABC的周长为2+2+3＝7．19．解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，∴a2＝2020a﹣1，∴a2﹣2021a+＝2020a﹣1﹣2021a+＝﹣a+a﹣1＝﹣1．20．解：∵x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，∴4m2﹣4＝0，解得：m＝±1，根据题意，得m﹣1≠0，∴m≠1，∴m＝﹣1＜0．∴直线y＝mx﹣2经过的象限是第二、三、四象限．。

一元二次方程题型总结（提优）【一】一元二次方程的概念例1：下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 ①01122=-+x x ②02212=-+x x ③()7122=-x x ④0322=+-k x k ⑤()0212=-++m x x m ⑥05322=-+x x ⑦()()127667+-=+x x x x⑧()4)1(122=+++x m x m 例2：已知关于x 的方程（m+3）12x -m +2（m -1）x -1=0，当m 为何值时，它是一元二次方程？练习：1、如果方程()012=--a x a 是关于a 的一元二次方程，则x 必须满足的条件是2、将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1的方程是（）A 3x 2+1=6xB 3x 2-1=6xC 3x 2+6x=1D 3x 2-6x=13、已知01)12(2m 22=-+---x m x m ）（是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（ ）4、已知关于x 的方程()()0241122=-+---k x k x k （1）当k 为何值时，该方程是一元二次方程？并写出各项系数；（2）当k 为何值时，该方程是一元一次方程？并求出这个方程的解。

【二】一元二次方程的解例1：已知x= -2是一元二次方程ax 2+bx+3=0的解，求代数式8a -4b+2010的值。

例2：已知a,b 是方程x 2-x -3=0的两个根，则代数式2a 3+b 2+3a 2-11a -b+5的值练习：1、关于x 的一元二次方程x 2-a=0的一个根是2，则a 的值是（ ）2、关于x 的一元二次方程（k -1）x 2-2x+k 2-1=0的一个根是0，则k 的值为（ ）3、关于x 的一元二次方程ax （x+1）+（x+1）（x+2）+bx （x+2）=2的两根为0、2，则b 4a 3+=4、已知m 是x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--122m m m m 的值5、已知a 、b 是方程x 2-4x+m=0的两个根，b 、c 是方程x 2-8x+5m=0的两个根，则m=【三】一元二次方程的解法一、直接开平方法与配方法例1：(x -1)2=(3x -4)2例2：多项式4x 2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是练习：1、用配方法解方程x 2-6x -8=0时，配方后的方程是2、关于方程88（x -2）2=95的两根，下列判断中正确的是（ ）A 两根都小于0B 两根都大于0C 一根小于1，一根大于3D 一根小于-2，另一根大于23、证明：代数式2x 2-x+3的值不小于8234、已知(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)= a 2+b 2+1，a 2+b 2=5、已知实数x 、y 、z 满足x+y=4，9y 2xy 1z -+=+，则x+2y+3z=6、已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+2b 2+c 2+211＜ab+28b+20c ，则a+b -c=二、公式法练习：1、设a,b 是整数，关于x 的一元二次方程x2+ax+b=0的一个根为32-4，则a+b=2、方程()()232412+-=-x x 的解的个数是（ ）3、（例题）已知m,n 不全为0，解关于x 的方程：()()0524m 2=-+-++m n x n m x n4、解关于x 的方程：x 2-m （3x -2m+n ）-n 2=05、解关于x 的方程：（a -b ）x 2+（b -c ）x+（c -a ）=0三、因式分解法：例题4（x -3）2=25（x -2）2 （x+2）2 -2（x+2）-3=0练习：1、一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x+21=0的根，则三角形的周长为2、若实数满足01223x 22=++++-y y x ，求x+y 的值3、（例题）设方程20022x 2-2003×2001x -1=0的较大根式r ，方程2001x 2-2002x+1=0的较小根是s ，求r -s4、当n=1，2，3，…，2019时，关于x 的一元二次方程n （n+1）x 2-（2n+1）x+1=0的两根为a n ，b n ，求201920192211b a b a b a -+⋯+-+-的值5、已知实数x 满足（x+1）（x -2）（x+3）（x -4）+16=0，求代数式x 2-x+1的值【四】一元二次方程的判别式的应用例1：求证：无论k 为何实数，关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k -1=0总有两个不相等的实数根。

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《用一元二次方程解决问题》１、导读:一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展,从根本上讲，则是为了解决实际问题的需要,比如在几何、物理及其他学科中，许多问题都要化归到一元二次方程问题来解决.２、列一元二次方程解应用题的一般步骤是（1)审题.分析题意，找出已知量和未知量,弄清它们之间的数量关系.（2)设未知数.一般采取直接设法，有的要间接设．（3)列出方程.要注意方程两边的数量相等.方程两边的代数式的单位相同.(4)解方程．应注意一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数,降低率不能大于１00%．因此，解出方程的根后,一定要进行检验．３、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法(１)三连续整数:若设中间的一个为x，则另两个分别为x-1，x＋1.三连续偶数(奇数):若设中间的一个为x,则另两个分别为x－2，x+2.(２)三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c,则这个三位数为100a ＋10b+ｃ.(3)增长率问题：设基数为a,平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x),二次增长后的值为a(1＋x)２.降低率问题：若基数为a ,降低率为ｘ，则一次降低后的值为a (1－x )，二次降低后的值为a （1－x )2.(４)三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据．4、典例析解：在列方程解应用题的过程中,审题是解决问题的基础,找出相等关系列方程是解决问题的关键,恰当灵活地设元直接影响着列方程与解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时,就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少1０个,问为了赚得8 000元的利润,售价应定为多少?这时应进货多少个？ 析解：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得５ 000元.为了赚得8 000只．只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多．其中的等量关系是：每个商品的利润×销售量= ８ ０00(元).这里的关键是如何表示出每个商品的利润和销售量的问题．可设商品的单价是)50(x +元，则每个商品的利润是[]40)50(-+x 元，销售量是)10500(x -个．由题意列方程为[].8000)10500(40)50(=--+x x 解之得，121030x x ==，.因此,售价定为60元时,进货是４００个,售价定为80元时，进货是２０0个．例2.某电脑公司200０年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的4０%,该公司预计20０2年经营总收入要达到2 １60万元，且计划从2０00年到2００2年,每年经营总收入的年增长率相同，问2０01年预计经营总收入为多少万元？析解:运用基本关系式:基数（1+平均增长率）n =实际数．首先要求（或表示)出基数=600÷40%．设2００１年预计经营总收入为x万元,每年经营总收入的年增长率为a.由题意列方程为.40%6002=2160)1(÷a⨯+解之得所以200１年预计经营总收入为1 800万元.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

苏科版九年级上册一元二次方程章节专题提优复习训练专题一：一元二次方程的求值问题1,关于X的一元二次方程一—一+2/W-1=0的两个实数根分别是芭、x2,且xj+w、？，则(X)-x2)2的值是.2.若公+工―1=0,那么代数式丁+2/_7的值是.3.已知是方程/—3x-4=0的两个实数根，则/+明—3a的值为.4.设a、P是方程。

+1)(工一4)=一5的两实数根，则2-+鼻■= _ .aP5.已知w是方程/+2016x+7=0的两个根，则(m2+2015/?I+6)(H2+2017〃+8)=.6.若冷々是方程/一2%-4=0的两个不相等的实数根，则代数式2芭2-2玉+4+3的值是.7.已知a、夕是方程/_尸1=0的两个实数根，则代数式相+2，_2)的值为.8.关于龙的一元二次方程x2-〃a+5(m-5)=0的两个正实数根分别为%,%2，且2$+/=7,则小的值为.9.设修、心是方程—+4X—3=0的两个根，且2耳(工；+5々一3)+〃=2,贝lja=.10.设不々是方程f+x-3=0的两个根，那么x；-4々2+19的值等于.参考答案1.132.-63.04.475.20086.197.08.2或69.810.0专题二：一元二次方程的系数陷阱问题1.关于尤的一元二次方程（2-。

"+1+/-4=0的一个根为0,贝的值为（）A.2B.0C.2或-2D.-22.若关于尤的方程（攵-1），+2>1=0有实数根，则Z的取值范围是（）A.女20且攵wlB.女W0且攵wlC.Zr>0D.k>03.已知关于x的一元二次方程（〃-l»2—2x+3=0有实数根，则整数。

的最大值是（）A.2B.1C.0D.-14.关于x的方程〃浦-2（3l）x+91=0有实数根，则m的取值范围是.5.关于x的一元二次方程立-2元-1=0有两个不相等的实数根，4的取值范围是.6.已知关于x的一元二次方程（2-2）2/+（2攵+1h+1=0有两个不相等的实数根，则偶数A 的最小值为.7.若关于x的一元二次方程（加-1）/+x+/+23=0有一个根为0,则〃?的值是.8.若关于x的一元二次方程（〃+1）/+1+42-1=。

一元二次方程题型总结（提优）【一】一元二次方程的概念例1：下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 ①01122=-+x x ②02212=-+x x ③()7122=-x x ④0322=+-k x k ⑤()0212=-++m x x m ⑥05322=-+x x ⑦()()127667+-=+x x x x⑧()4)1(122=+++x m x m 例2：已知关于x 的方程（m+3）12x -m +2（m -1）x -1=0，当m 为何值时，它是一元二次方程？练习：1、如果方程()012=--a x a 是关于a 的一元二次方程，则x 必须满足的条件是2、将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1的方程是（）A 3x 2+1=6xB 3x 2-1=6xC 3x 2+6x=1D 3x 2-6x=13、已知01)12(2m 22=-+---x m x m ）（是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（ ）4、已知关于x 的方程()()0241122=-+---k x k x k （1）当k 为何值时，该方程是一元二次方程？并写出各项系数；（2）当k 为何值时，该方程是一元一次方程？并求出这个方程的解。

【二】一元二次方程的解例1：已知x= -2是一元二次方程ax 2+bx+3=0的解，求代数式8a -4b+2010的值。

例2：已知a,b 是方程x 2-x -3=0的两个根，则代数式2a 3+b 2+3a 2-11a -b+5的值练习：1、关于x 的一元二次方程x 2-a=0的一个根是2，则a 的值是（ ）2、关于x 的一元二次方程（k -1）x 2-2x+k 2-1=0的一个根是0，则k 的值为（ ）3、关于x 的一元二次方程ax （x+1）+（x+1）（x+2）+bx （x+2）=2的两根为0、2，则b 4a 3+=4、已知m 是x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--122m m m m 的值5、已知a 、b 是方程x 2-4x+m=0的两个根，b 、c 是方程x 2-8x+5m=0的两个根，则m=【三】一元二次方程的解法一、直接开平方法与配方法例1：(x -1)2=(3x -4)2例2：多项式4x 2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是练习：1、用配方法解方程x 2-6x -8=0时，配方后的方程是2、关于方程88（x -2）2=95的两根，下列判断中正确的是（ ）A 两根都小于0B 两根都大于0C 一根小于1，一根大于3D 一根小于-2，另一根大于23、证明：代数式2x 2-x+3的值不小于8234、已知(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)= a 2+b 2+1，a 2+b 2=5、已知实数x 、y 、z 满足x+y=4，9y 2xy 1z -+=+，则x+2y+3z=6、已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+2b 2+c 2+211＜ab+28b+20c ，则a+b -c=二、公式法练习：1、设a,b 是整数，关于x 的一元二次方程x2+ax+b=0的一个根为32-4，则a+b=2、方程()()232412+-=-x x 的解的个数是（ ）3、（例题）已知m,n 不全为0，解关于x 的方程：()()0524m 2=-+-++m n x n m x n4、解关于x 的方程：x 2-m （3x -2m+n ）-n 2=05、解关于x 的方程：（a -b ）x 2+（b -c ）x+（c -a ）=0三、因式分解法：例题4（x -3）2=25（x -2）2 （x+2）2 -2（x+2）-3=0练习：1、一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x+21=0的根，则三角形的周长为2、若实数满足01223x 22=++++-y y x ，求x+y 的值3、（例题）设方程20022x 2-2003×2001x -1=0的较大根式r ，方程2001x 2-2002x+1=0的较小根是s ，求r -s4、当n=1，2，3，…，2019时，关于x 的一元二次方程n （n+1）x 2-（2n+1）x+1=0的两根为a n ，b n ，求201920192211b a b a b a -+⋯+-+-的值5、已知实数x 满足（x+1）（x -2）（x+3）（x -4）+16=0，求代数式x 2-x+1的值【四】一元二次方程的判别式的应用例1：求证：无论k 为何实数，关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k -1=0总有两个不相等的实数根。

初三数学培优讲义例1、 若,28,1422=++=++x xy y y xy x 则=+y x ___________。

练习1、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5例2、已知实数x,y 满足3,3242424=+=-y y x x ，则444y y +的值为（ ）A 、7B 、2171+C 、2137+D 、5例3【实际背景】 预警方案确定：设克玉米价格当月的克猪肉价格当月的500500=W ．如果当月W <6，则下个月．．．要采取措施防止“猪贱伤农”． 【数据收集】 今年2月～5月玉米、猪肉价格统计表【问题解决】（1）若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m ；(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a ，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”．例4、如图，已知点A 从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O 、A 为顶点在x 轴的上方作菱形OABC ，且∠AOC =60º；同时点G 从点D （8，0）出发，以2个单位长度/秒的速度沿x 轴向负方向运动，以D 、G 为顶点在x 轴的上方作正方形DEFG ．设点A 运动了t 秒．求：（1）点B 的坐标（用含t 的代数式表示）；（2）当点A 在运动的过程中，当t 为何值时，点O 、B 、E 在同一直线上；（3）当点A 在运动的过程中，是否存在t ，使得以点C 、G 、D 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．月 份2 3 4 5 玉米价格(元/500克)0.7 0.8 0.9 1 猪肉价格(元/500克)7.5 m 6.25 6 1G F E D C B A Ox yA B D C P Q M N练习：1.受季节影响,某种商品每件按原售价降价10%后,又降价a 元,现在每件的售价为b 元,那么该商品每件的原价为 ( ) A.110%a b +-元 B.(1-10%)(a+b) C.110%b a --元D.(1-10%)(a-b)2、一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是)1)(2(5+--=t t h ，求运动员从起跳到入水所用的时间是 （ ）A 、-5秒B 、1秒C 、-1秒D 、2秒3、设c b a 、、为互不相等的非零实数，求证：三个方程02,02,02222=++=++=++b ax cx a cx bx c bx ax 不可能都有两个相等的实数根。

第一章 一元二次方程第1课时 一元二次方程1. 已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有一个非零根b -，则a b -的值为( )A.1B.1-C.0D.2-2. 若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a 的值是 .3. 已知实数a 是一元二次方程2201710x x -+=的一个根，求代数式22201720161a a a -++的值.第2课时 一元二次方程的解法(1)提优要点：利用直接开平方法解一元二次万程，渗透整体的数学思想.1. 关于x 的方程2()0a x m n ++=(a 、m 、n 均为常数，0m ≠)的解是12x =-，23x =，则方程2(5)0a x m n +-+=的解是 ( )A. 122,3x x =-=B. 127,2x x =-=-C. 123,2x x ==-D. 123,8x x ==2. 定义运算“★”：对于任意实数a 、b ，都有a ★b 2a b =+，如：2★42248=+=.若(1)x -★37=，则实数x 的值是 .3. (导学号73594002)若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +、24m -，求ba的值.第3课时 一元二次方程的解法(2)提优要点：利用配方法解决问题.1. 把方程2620x x -+=配方成2()x p q +=的形式后，p 、q 的值分别是( )A.3、7B.3-、7C.9、7D.3-、92. 配方法解一元二次方程20(0,0)ax bx c a c +-=≠>得到22()4x c c -=.从而解得方程的一个根为1，则3a b -= .3. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题:例题:求代数式248y y ++的最小值.解: 22248444(2)4y y y y y ++=+++=++∵2(2)0y +≥ ∴2(2)44y ++≥∴248y y ++的最小值是4 (1)求代数式24m m ++的最小值. (2)求代数式242x x -+的最大值.(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个矩形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m 的栅栏围成.如图，设AB x =m ，请问:当x 取何值时，花园的面积最大?最大面积是多少?第4课时 一元二次方程的解法(3)1. 已知在ABC ∆中，三边长a 、b 、c 满足等式222166100a b c ab bc --++=.则( )A. 2a c b +>B. 2a c b +=C. 2a c b +<D. a c +与2b 的大小关系不能确定 2. 若221a b +=，221c d +=，1ad bc -=-.则ab cd += . 3. 用配方法证明:对于任意实数x ，代数式2282x x -++的值总不大于10.第5课时 一元二次方程的解法(4)1. 若m 、n ()m n <是关于x 的方程1()()0x a x b ---=的两根.且a b <，则a 、b 、m 、n 的大小关系是( )A. m a b n <<<B. a m n b <<<C. a m b n <<<D. m a n b <<<2. 如果关于x 的方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围是 .3. 已知a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中较小的根.(1)求242017a a -+的值;(2)先化简，再求值:21211a a a a-+---第6课时 一元二次方程的解法(5)1. 若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的图像可能是( )2. 若关于x 的一元二次方程2(1)410k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .3. 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=.(1)求证:方程有两个不相等的实数根.(2)若ABC ∆的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5.当ABC ∆是等腰三角形时，求k 的值.第7课时 一元二次方程的解法(6)1. 如果21(1)x x x --=+，那么x 的值为( )A. 2或1-B. 0或1C. 2D. 1-2. 若2222()(2)8a b a b ++-=，则22a b += .3. 阅读材料:义务教育教科书《数学苏科版九年级上册第18页例8在解方程3(3)0x x x +-+=时，先将方程变形为(3)(3)0x x x +-+=，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为(3)(1)0x x +-=.我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0;反过来，如果两个因式有一个等于0.它们的积等于0.因此.解方程(3)(1)0x x +-=.就相当于解方程30x +=或10x -=.得到原方程的解为13x =-，21x =.根据上面解一元二次方程的过程，王力推测:若0ab >，则有00a b >⎧⎨>⎩或0a b <⎧⎨<⎩.请判断王力的推测是否正确.若正确，请你求出不等式51023x x ->-的解集;若不正确，请说明理由.第8课时 一元二次方程的解法(7)1. 阅读理解:解方程220x x --=.解:当0x ≥时，原方程可以化为220x x --=，解得12x = ，210x =-< (不合题意，舍去);当0x <时，原方程可以化为220x x +-=，解得12x =-，210x =>(不合题意，舍去).∴原方程的解为12x =，22x =-.那么方程2110x x ---=的解为( )A. 120,1x x ==B. 122,1x x =-=C. 120,2x x ==-D. 121,2x x ==2. 方程240x +-=的解为 . 3. 用适当的方法解下列方程: (1) 32230x x x --=; (2) 222(3)9x x -=-; (3) 2225(3)4(32)x x +=-;(4) 20x +=.第9课时 一元二次方程的解法——习题课1. 已知3是关于x 的方程2(1)20x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则ABC ∆的周长为( )A. 7 C. 11B. 10 D. 10或112. 已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则ABC ∆的周长为 .3. 已知ABC ∆的两边AB 、AC 的长分别是关于x 的一元一二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5.(1)当k 为何值时，ABC ∆是直角三角形?(2)当k 为何值时，ABC ∆是等腰三角形?并求出此时ABC ∆的周长.第10课时 一元二次方程的根与系数的关系1. 若t 为实数，关于x 的方程2420x x t -+-=的两个非负实数根为a 、b ，则代数式22(1)(1)a b --的最小值是( )A.15-B.16-C.15D.162. 设，m 、n 分别为一元二次方程2220180x x +-=的两个实数根，则23m m n ++= .3. 已知在关于x 的分式方程121k x -=-①和一元二次方程2(2)3(3)0k x mx k n -++-=②中，k 、m 、n 均为实数.方程①的根为非负数. (1)求k 的取值范围;(2)当方程②有两个整数根1x 、2x ，k 为整数，且2k m =+，1n =时，求方程②的整数根;(3)当方程②有两个实数根1x 、2x 满足112212()()()()x x k x x k x k x k -+-=--，且k 为负整数时，试判断2m ≤是否成立，并说明理由.第11课时 用一元二次方程解决问题(1)1. 某超市一月份的营业额为200万元，一季度的营业额为728万元，如果一季度每月比上月增长的百分数相同，那么平均每月的增长率为( )A. 20%B. 45%C. 65%D. 91%2. 有一人患流感。

2022-2023学年苏科版九年级数学上《第一章一元二次方程》章末强化提优训练（时间：90分钟满分：120分）一．选择题(30分）1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣23．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（ ）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣34．若关于x的方程x2+2x﹣3＝0与＝有一个解相同，则a的值为（ ）A．1B．1或﹣3C．﹣1D．﹣1或35．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）A．a＞2B．a≤2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣26.一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程x(x-9)-13(x-9)=0的根，则这个三角形的周长是（）A. 20B. 20或24C. 9和13D. 247.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1=0有一个根是0，则m取值为（）A. 1B. ﹣1C. ±1D.08.已知a，b是方程x2+2023x+1=0的两个根，则（1+2025a+a2）（1+2025b+b2）的值为（　）A. 1B. 2C. 3D. 49．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )A. x2－6＝(10－x)2B. x2－62＝(10－x)2C. x2＋6＝(10－x)2D. x2＋62＝(10－x)210. 关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个二．填空题(30分)11. 定义新运算®：对于任意实数a、b都有：a®b=a2+ab，如果3®4=32+3×4=9+12=21，那么方程x®2=0的解为________.12. 受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2022年6月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，8月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为_______．13. 若实数a、b满足|b-1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_____________.14．已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝ ．15．已知a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，则a+b+c的值是 ．16．已知（x2+y2）2+6（x2+y2）﹣7＝0，则x2+y2的值为 ．17. 已知x1和x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3=0的两实数根，x12+x22=22，则m 的值是_________.18. 方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于______.19. 设a、b为x2+x﹣2021=0的两个实根，则a3+a2+3a+2024b=________ ．20.如果关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________（写出所有正确说法的序号）．①方程x2?x?2=0是倍根方程；②若(x?2)(mx+n)=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若点在反比例函数y=2的图像上，则关于x的方程xp x2+3x+q=0是倍根方程；④若方程a x2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点，都在抛物线y=a x2+bx+c上，则方程a x2+bx+c=0．的一个根为54三。