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5.4.1 n维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)

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5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二 一般形式的 柯西不等式
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
m n || m | | n | |
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

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二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
( a1b1 a2b2 a3b3 )
2
n维形式的柯西不等式）: 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) (b1 b2 ... bn )
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
第三讲
柯西不等式与 排序不等式
一 二维形式的 柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
你能证明吗？
推论
a 2 b2 c 2 d 2 ac bd a 2 b2 c 2 d 2 ac | | bd

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

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等的正数，证明：
a b c d >ab+bc+cd+da.
2 2 2 2
例3 已知x+2y+3z=1,求 的最小值。
x y z
2 2
2
例4：设a、b、c为正数且各不相等。 求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc 1 1 1 证明： 2(a b c)( ) ab bc ca 1 1 1 [(a b) (b c) (c a)]( ) ab bc ca
例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数， 求证：
an a2 a3 1 1 1 1 ... a1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列， 且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
第三讲
柯西不等式与 排序不等式
一 二维形式的 柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
你能证明吗？
推论
a 2 b2 c 2 d 2 ac bd a 2 b2 c 2 d 2 ac | | bd
当且 仅当 (i=1, 2,…, n) 或存 在一
ai kbi
bi 0
一般形式的三角不等式
x y z
2 1 2 1 2 1
x y z
2 2 2 2 2
2 2 2

( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z 2 )

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(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数， 求证：
an a2 a3 1 1 1 1 ... a1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ列， 且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... an cn a a ... a ,
2 1 2 2 2 n
其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。
练习
2.已知a, b, c为正数，用排序不等式证明 2(a b c ) a (b c) b (a c) c (a b).
3 3 3 2 2 2

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( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,..., n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ..反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)

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(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
1 1 4 ∴ ab bc ac
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )

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(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
2 1 2 2 2 n 1 2 n
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... an cn a a ... a ,
2 1 2 2 2 n
其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。

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(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
m n || m | | n | |
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
当且 仅当 (i=1, 2,…, n) 或存 在一
ai kbi
bi 0
一般形式的三角不等式
x y z
2 1 2 1 2 1
x y z
2 2 2 2 2
2 2 2

( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z 2 )
2 2 2 x12 x2 ... xn 2 2 y12 y2 ... yn
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
( a1b1 a2b2 a3b3 )
2
n维形式的柯西不等式）: 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) (b1 b2 ... bn )
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0

5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)


定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
(3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
2 2 2 2
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2
2
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2

人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)


【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
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2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) a1 a2 an n
2
例2 已知x, y, z R , 且x y z 1, 求证 : 1 4 9 36 x y z
2 1 2 n 2
二次函数f ( x )的判别式 0, 即 4( a1b1 a2b2 anbn )
2 ( b1 2 b2 2 bn ) 2 2 4( a1
又f ( x) (a1 x b1 ) (a2 x b2 ) (an x bn ) 0
2 2 2 2
(a b c d )
2 2
2 2 2
即4(16 e ) (8 e ) , 即64 4e 64 16e e 16 2 5e 16e 0, 故0 e 5
1. 设x1 , x2 , xn R , 且x1 x2 xn 1,
例1 已知a1 , a2 , , an都是实数, 求证 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 思考:能否把上述结论推广至一般形式?
猜想
2 1 2 1
(a a a )(b b b )
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n
2 2 2
2 (b12 b22 bn )
2 a2
2 an )
0
பைடு நூலகம்
定理4 (一般形式的柯西不等式) 设n为大于1的自然数, ai , bi为任意实数, 则
a b
i 1 2 i i 1
n
n
2 i
( ai bi ) ,
2 i 1
n
当且仅当bi 0( i 1, 2, , n)或存在一个实数 k , 使得ai kbi ( i 1, 2, , n)时, 等号成立.
2 2 2 2 2 2 2
例8 已知实数a, b, c, d , e满足a b c d e 8, a b c d e 16, 求e的取值范围.
2 2 2 2 2
解 : 4(a b c d )
2 2 2 2
(1 1 1 1)(a b c d )
构造函数
设A a a a ， B 2(a1b1 a2b2 anbn ) 2 C b b b ， 则不等式就是4AC B
2 2 2 2
2 2
(a1b1 a2b2 anbn )
2 n 2 n
2
f ( x ) (a a a ) x 2(a1b1 a 2 b2 anbn ) x
1 2 a4 备.设f ( x ) lg , 其中a R, 求证 : 3 当0 a 1, 且x 0时, 2 f ( x ) f (2 x )
x x
a b c 3 例5 若a , b, c R , 求证 : bc ca ab 2

例6 设a1 a2 an an1 (n 1), 求证 : 1 1 1 1 0 a1 a2 a2 a3 an an1 an1 a1
例7 已知x 2 y 3z 1, 求x y z 的最小值
例3 设x1 , x2 , , xn R , 求证 : x x x x x1 x2 xn x 2 x3 xn x1
2 1 2 2 2 n 1 2 n

例4 设a , b, c为互不相等的正数, 求证 : 2 2 2 9 ab bc ca abc
2 2 xn x12 x2 1 求证 : 1 x1 1 x2 1 xn n 1
补充作业:

2. 设a , b, c为正数, 且a b c 1, 求证 : 1 2 1 2 1 2 100 (a ) (b ) (c ) a b c 3
备用:已知a 0, b 0, 且a b 1, 求证 : 1 2 1 2 25 (1) ( a ) ( b ) a b 2 1 1 25 (2)( a )( b ) a b 4
2 2 2
证 明: ( x y z )(1 2 3 ) ( x 2 y 3 z ) 1 1 2 2 2 x y z 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 即x , y , z 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x y z 取最小值 14