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高中数学公式柯西不等式(精选课件)

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柯西不等式(优质课)

柯西不等式(优质课)
应用
在概率论、统计学、信号处理等领域有广泛应用，特别是在估计概率分布、优化 信号传输等方面。
柯西不等式的变体
积分柯西不等式
对于任意的非负函数$f(x)$和$g(x)$， 有$int f(x)g(x)dx leq left(int f^2(x)dxright)^{frac{1}{2}} left(int g^2(x)dxright)^{frac{1}{2}}$。
应用
在向量分析、线性代数、数学物理等领域有广泛应用，特别是在解决优化问题、不等式 证明等方面。
广义柯西不等式
广义柯西不等式
对于任意的非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 leq (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2)$。
• 然后应用柯西不等式得到左边 ≤abc[1^2+(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb)^2+(1/c)^2+(1/a)^2]=abc。
答案与解析
3. 证明
(x+y)^2≤2(1+xy)
解析
首先展开左边得到(x+y)^2=x^2+y^2+2xy。
答案与解析
然后应用柯西不等式得到左边≤2[(x^2+y^2)/2]^2+2xy=2(1+xy)。
解析几何应用
在解析几何中，柯西不等 式可用于研究平面或空间 中的点、线、面的性质和 关系。
在物理领域的应用

高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4

高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4

取到．
第23页
题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
第24页
【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
第11页
思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
第12页
题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
第6页
3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
第9页
≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.

人教版高中数学选修第三讲--柯西不等式与排序不等式ppt课件

人教版高中数学选修第三讲--柯西不等式与排序不等式ppt课件

补充例 3：已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 。
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当
b
1 b2 时，上式取等号，
分析： 设A
C b12
a12
b22
a
2 2


bn2，an2则 ，B不等a式 1b1就是 a2AbC2 Ba2
n
bn
构造二次函数
f ( x) (a12 a22 an2 ) x 2 2(a1b1 a 2b2 anbn ) x
(b12 b22 bn2 ) 又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的 大小 关系 ,类 比考 虑与 下面 式子 有关 的有什 么不等关系:
设 a,b, c为, d任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
一、二维形式的柯西不等式
定 理1 (二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式) 若a, b, c, d都 是 实 数, 则 当 且 仅 当ad bc时, 等 号 成 立.
小结:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
(2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd

课件2：二 一般形式的柯西不等式

课件2：二 一般形式的柯西不等式

方法二：令 m＝( 4a＋1, 4b＋1, 4c＋1)．n＝(1,1,1)， 则|m|＝ 4a＋1＋4b＋1＋4c＋1＝ 4(a＋b＋c)＋3＝ 7， |n|＝ 12＋12＋12＝ 3. m·n＝ 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1, 由|m·n|≤|m||n|,得 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1≤ 21. 故 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21,当且仅当 a＝ b＝c＝13时,取等号.
证法二：(利用柯西不等式) (x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥ x· 1x＋ y· 4y＋ z· 9z2＝(1＋2＋3)2＝36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．
【例 2】设 a,b,c 为正实数,且 a＋b＋c＝3，求证： 2a＋1＋ 2b＋1＋ 2c＋1≤3 3.
典例剖析
【例 1】 已知 a，b，c∈R＋， 求证：ab＋bc＋acba＋bc＋ac≥9. 【分析】利用柯西不等式证明其他不等式时,关键是构造两
组数,向着柯西不等式的形式转化.本例中对应三维柯西不等式,
记 a1＝
ab,a2＝
bc,a3＝
ac,b1＝
b a,
b2＝ bc,b3＝ ac,而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．
思考探究
三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
ab11＝ba22＝
a3 b3
可以吗？
提示 不可以．因为若出现 bi＝0(i＝1,2,3)的情况，则分式
不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.
名师点拨 1.三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来 理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯 西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对 不等式等号成立的条件加深理解．

高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5

高中数学第2章几个重要的不等式11.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4_5
＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥__(_a_1b_1_＋__a_2b_2_＋__…_＋__a_n_b_n)_2___________， 当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共__线__时，等号成
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，

高考数学复习课件三维形式的柯西不等式

高考数学复习课件三维形式的柯西不等式
变式1：已知x, y, z满足3 x2 2 y2 z2 6， p 2x y z的最大值；
变式2：已知x ( 2 , 1 )， 32
求２ １ 2 x 4 2 x 4 2 3 x的最
变式3：已知x, y, z R，求( x 2 y 4)2 ( x
( x 4 y 4)2的最小值.
构造二次函数 f ( x) (a12 a22 an2 ) x 2 2(a1b1 a 2b2 anbn )
(b12 b22 bn2 )
又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2
∴二次函数 f x 的判别式△≤0 ,
即 4(a1b1 a2b2 anbn )2 4(a12 a22 an2 ) (b12 b22 bn2 ) ≤
例4(09浙江自选模块)已知正数x, y, z满足x y z (1)求证: x2 y2 z2 1 ;
y 2z z 2x x 2y 3 (2)求4x 4 y 4z2的最小值.
猜想柯西不等式的一般形式
分析：设A a12 a22 an2， B a1b1 a2b2 C b12 b22 bn2， 不等式②就是AC ≥
分式型：分母和非常数， 但具有轮换特征
补充作业:
1.
2
1.已知 abc 是互不相等的正数
2
2
9
ab bc ca abc
2. 已知 2x 3 y 4z 10,求x2 y2 x2的最小值。
3.设 a, b, c R 且 a b c 3.求 a2 b2 c2 b 2c c 2a a 2
例 4 已知 a,b,c,d 是不全相等的正数，证明： a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )

高中数学 第三节 柯西不等式课件 新人教A版选修4-5

等号成立.
3.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则 (a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥ ___(_a_1b_1_+_a_2_b_2+_a_3_b_3_+_…__+_a_nb_n_)_2__,当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_ _2_,_3_,_…__,_n_)_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_i=_k_b_i_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_ 时,等号成立.
【解析】(1)错误.当b，d=0时，柯西不等式成立，但
a 不c 成立.
bd
(2)错误.当b1,b2,b3都为零时,
柯西不等式成立.
a1 a不2 成a立3 ，但此时
b1 b2 b3
(3)错误.当 =0时， || .
答案：(1)× (2)× (3)×
考向 1 二维柯西不等式代数形式的应用
【典例1】设a,b∈R+且a+b=2.求证： a2 b2 2.
【互动探究】本例条件不变，试求4a+8b+27c的最小值.
【解析】 (123)4a8b27c
a bc
［ (1 )2 (2 )2 (3 )2 ］ ［ 4 a2 8 b2 2 7 c2 ］ a bc
( 1 4a2 8b3 27c)2
a
b
c
=(2+4+9)2=225,
又∵ 1 2 ∴34a2+, 8b+27c≥
第三节 柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式

《柯西不等式》课件


感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。

高二数学人教b版选修4-5课件：第二章_2.1_柯西不等式


2．设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明：∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)

＝

a 2＋ b
b 2＋ c
ca2·[(
b)2＋(
c)2＋(
a)2]

≥

a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2＝(a＋b＋c)2，
2 ． 1 第柯 二西 章不 等 式
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
读教材·填要点 小问题·大思维
考点一 考点二 考点三
2．1
柯西不等式
[读教材·填要点]
1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式 (1)定理 1(柯西不等式的代数形式) 设 a1，a2，b1，b2 均为实数，则 (a21＋a22)(b21＋b22)≥ (a1b1＋a2b2)2 . 上式等号成立⇔ a1b2＝a2b1 . (2)定理 2(柯西不等式的向量形式) 设 α，β 为平面上的两个向量，则
()
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．不确定
解析：由柯西不等式知
1
1
(a21＋a22＋…＋an2) 2 ·1＋1＋···＋1 2
n个
≥a1＋a2＋…＋an，
∴ a12＋a22＋…＋a2n· n≥a1＋a2＋…＋an.
即得
a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an，∴P≥Q.
答案：B
7．函数 y＝2cos x＋3 1－cos 2x的最大值为________．
解析：y＝2cos x＋3 1－cos 2x＝2cos x＋3 2sin2x
≤ cos2x＋sin2x[22＋3 22]＝ 22.

5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)


1 1 4 ∴ a b bc a c
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1

( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,..., n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二 一般形式的 柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
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高中数学公式柯西不等式 第一课时 3。

1 二维形式的柯西不等式（一)2。

练习：已知ａ、b 、c 、d 为实数,求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ① 提出定理1:若a 、ｂ、ｃ、d 为实数,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+。

证法一:(比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=…。

=2()0ad bc -≥证法二：(综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+。

(要点：展开→配方）证法三：(向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，22||n c d =+.∵ m n ac bd •=+，且||||cos ,m n m n m n =<>,则||||||m n m n ≤. ∴ …．. 证法四:(函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥０恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式：2222||a b c d ac bd ++≥+ 或 2222||||a b c d ac bd ++≥+ 或2222a b c d ac bd ++≥+。

④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤。

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 )→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习:已知a 、ｂ、ｃ、d 为实数，求证222222()()a b c d a c b d +++≥-+-． 证法:（分析法)平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？(构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3:设1122,,,x y x y R ∈，则22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-. 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3． 小结:二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式(两点、三点)第二课时 3。

１ 二维形式的柯西不等式(二) 教学过程：22222()()()a b c d ac bd ++≥+;22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-3。

如何利用二维柯西不等式求函数12y x x =-+-的最大值？ 要点:利用变式2222||ac bd a b c d +≤++. 二、讲授新课：1． 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数31102y x x =-+-的最大值？分析：如何变形? → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：31102y x x =-+- → 推广:,(,,,,,)y a bx c d e fx a b c d e f R +=++-∈ ② 练习：已知321x y +=,求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法)2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=．2。

教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=,求证：112x y+≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？ (注意对比 → 构造）要点:222211111111()()[()()][()()]22x y x y x y x y x y+=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习:已知a 、b R +∈，求证:11()()4a b a b++≥.3. 练习:① 已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y+=,则x y +的最小值．要点：()()a b x y x y xy+=++=…． → 其它证法② 若,,x y z R +∈,且1x y z ++=,求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式:若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求x y z ++的最大值. 第三课时 ３.2 一般形式的柯西不等式２． 提问:二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案:22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++ 二、讲授新课：１． 教学一般形式的柯西不等式：① 提问:由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤,如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式?② 猜想:ｎ维向量的坐标?n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n na a ab b b R ∈，则222222212121122()()()nn n na a ab b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号?(当且仅当1212nna a ab b b ===时取等号，假设0ib ≠)联想：设1122n nB a b a b a b =+++,22212nA a a a =++，22212nC b b b =+++，则有20B AC -≥，可联想到一些什么?③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点:令2222121122)2()nn nf x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()nb b b +++⋅⋅⋅+ ，则 2221122()()())0n nf x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（。

又222120na a a ++⋅⋅⋅+>,从而结合二次函数的图像可知, []22221122122()4()n nna b a b a b a a a ∆=+++-++22212()nb b b +++≤０即有要证明的结论成立. (注意：分析什么时候等号成立.) ④ 变式:222212121()nna a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+． （讨论如何证明）2． 教学柯西不等式的应用：① 出示例１:已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析:如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式: ② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y z x ++的最小值.③ 出示例2:若a >b >c ，求证:ca cb b a -≥-+-411。

要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- ② 提出排序不等式（即排序原理）:设有两个有序实数组:12a a ≤≤···na ≤；12b b ≤≤···nb ≤.12,,c c ···nc 是12,b b ,···,nb 的任一排列,则有 1122a b a b ++···+n na b (同序和）1122a c a c ≥++···+n n a c （乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和）当且仅当12a a ==···=na 或12b b ==···=nb 时,反序和等于同序和。

（要点：理解其思想，记住其形式) ２. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,na a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a nn+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+。

分析:如何构造有序排列? 如何运用套用排序不等式？ 证明过程:设12,,,nb b b ⋅⋅⋅是12,,,na a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12nb b b <<⋅⋅⋅<,则121,2,,nb b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n >>>⋅⋅⋅>,由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列.② 练习:已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤,于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a ab bc c a b b c c a ++≥++, 两式相加即得．。