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《一般形式的柯西不等式》课件 (共14张PPT)

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高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4

高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4

取到．
第23页
题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
第24页
【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
第11页
思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
第12页
题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
第6页
3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
第9页
≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.

高二数学人教A版选修4-5课件：3.2 一般形式的柯西不等式

高二数学人教A版选修4-5课件：3.2 一般形式的柯西不等式

探究一
探究二
探究三
探究四
错因分析:由基本不等式得到 u=ax+by+cz≤5 是正确的,但这只
是能说明 u 的最大值有小于或等于 5 两种可能,并不能得出 u 的最大
值一定是 5.事实上,如果 u 的最大值为 5,错解中的三个不等式应同时
取“=”,于是 a=x,b=y,c=z,从而得出 a2+b2+c2=x2+y2+z2,即 t=5,这是不
=
������������时,等号成立,此时
u=ax+by+cz
的最大值为
3,从
而 t 的最小值为 3.
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
12345
1.已知 x,y,z>0,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是(
.
解析:由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时,等号成立,所
以a2+4b2+9c2的最小值为12.
答案:12
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
x=251,y=-1,z= 159或
x=-151,y=-3,z=151
时等号成立.
∴25×1≥(x+y+z-2)2.

数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明

数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明

≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.

5.4一般形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)(2)

5.4一般形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)(2)
2
1 x2
x1
2
1 xn
(n 证明： 1 ) ( 1
x1
1 x2

1 xn
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn
2
1 x1

x2
2
1 x2
x2 1 x2
1 xn
) ≥ ( 1 x1 xn 1 xn
2 2 2
2
例 2 已知 a , b , c , d 是不全相等的正数，证明：
a b c d
2 2 2
a b b c cd d a
继续 2答案
例 2 已知 a , b , c , d 是不全相等的正数，证明：
a b c d
2 2 2 2
a b b c cd d a
当且仅当 b i 0 ( i 1 , 2 , , n ) 或存在一个数
k , 使得 a i kb i ( i 1 , 2 , , n )时 , 等号成立 。
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
例 1 已知 a 1 , a 2 , , a n 都是实数，求证：
1 4
证法二 : 代入法 1 x 4 y 9 z y x 1 x 4x y ) ( z x

, 且 x y z 1, 求证:
1 x 4 y z 3 z
1 9
4 y
1 x

4 y

9 z
≥ 36
证法一:用柯西不等式
( x y z )( y 2 y
2


9 z
2 2 2 2
( b1 b 2 b n )

人教A版选修4-5 第3讲 2 一般形式的柯西不等式 课件(19张)

人教A版选修4-5 第3讲 2 一般形式的柯西不等式 课件(19张)

1,2，…，n)时，等号成立．
题点知识巩固
知识点一 三维形式的柯西不等式的应用
1．设 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，则 a＋ b＋ c的最
大值是( )
A．1
B. 3
C．3
D．9
解 析 ： 由 柯 西 不 等 式 ， 得 (12 ＋ 12 ＋ 12)[( a )2 ＋ ( b )2 ＋ ( c)2]≥( a＋ b＋ c)2，∴( a＋ b＋ c)2≤3(a＋b＋c)
证法二：若 a≤－3 或 a≥－1 不成立，那么－3<a<－1 成立， 则(a＋2)2<1，而[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]·(12＋12＋12)＝(x－2 ＋y－1＋z－a)2 左面等号成立，当且仅当 x－2＝y－1＝z－a，又 因为 x＋y＋z＝1，所以 x－2＝y－1＝z－a＝－a＋3 2.故此时[(x－ 2)2＋(y－1)2＋(z－a)2](12＋12＋12)＝(x－2＋y－1＋z－a)2＝(a＋ 2)2<1，即(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2<13，与原命题矛盾．故假设 错误，即 a≤－3 或 a≥－1.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二 一般形式的柯西不等式 第10课时 一般形式的柯西不等式
基础知识梳理 题点知识巩固 提能达标过关
基础知识梳理
1．三维形式的柯西不等式
设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋
b
2 3
)≥__(_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_)_2 ___
，
当
且
仅
当
___b_i_＝__0_(i_＝__1_,2_,_3_) ___

《柯西不等式》课件

《柯西不等式》课件

感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。

第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标

当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2

2.1.2_一般形式的柯西不等式(精品公开课课件)

(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2
当且仅当ai kbi时等号成立。 猜想柯西不等式的一般形式
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设三段绳子的长分别为x、y、z，x y z l
则三个正方形的边长依次为 ：x , y , z 这三个正方形的面积之和为： 4 4 4
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
练习： P30 第1、2、3题
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2 ∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不

高中数学人教A版选修课件：3.2 一般形式的柯西不等式


21
1 +2
22
2-1
+
+⋯+
2 +3
-1 +
2
+
+1
[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(an-1+an)+(an+a1)]·
2
2 +3
2
+
3
3 +4
2
+…+
-1
-1 +
2
2
1
1 +2

+1
+
=
2
+
1
2
· =
们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应
用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等
式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用解题.
2.正确利用“1”
剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应
该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代
1 +2
1 +2
.
4
=
1
a≥2 − , 当且仅当a=1

1
2
· 1
2 1 +2
≥
1
2
2-
1 +2
21
时,
= 1 −
22
+
同理,有 + ≥a2 − 2 4 3 ,
2
3
……
2
-1
-1 +

2014年人教A版选修4-5课件 2.一般形式的柯西不等式


定理: (柯西不等式的一般形式) 则 设 a1, a2, a3, …, an, b1, b2, b3, …, bn 是实数,
2 2 2 2 (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbn )2 .
当且仅当 bi=0 (i=1, 2, …, n) 或存在一个数 k, 使得 ai=kbi (i=1, 2, …, n) 时, 等号成立.
2 2 2 2 2 a2 a3 b12 b2 b3 | a1b1 a2b2 a3b3 |, (2) a1 2 2 2 2 2 (a1 a2 a3 )(b12 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 .
(问: 对照二维形式和三维形式的柯西不等式, 你 能猜想出一般形式的柯西不等式吗?
问题1. 请将下列坐标代入柯西不等式的向量形式 |a||b|≥|a· b|, 得到的是什么样的不等式? (1) 在平面直角坐标系中, a=(a1, a2), b=(b1, b2); (2) 在空间直角坐标系中, a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3).
2 2 2 (1) a1 a2 b12 b2 | a1b1 a2b2 |, 2 2 2 (a1 a2 )(b12 b2 ) (a1b1 a2b2 )2 .
2 2 2 (1) a1 a2 b12 b2 | a1b1 a2b2 |, 2 2 2 (a1 a2 )(b12 b2 ) (a1b1 a2b2 )2 .
2 2 2 2 2 a2 a3 b12 b2 b3 | a1b1 a2b2 a3b3 |, (2) a1 2 2 2 2 2 (a1 a2 a3 )(b12 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 . 当且仅当 a, b 共线时, 即 b=0, 或存在一个数 k, 使得 ai=kbi (i=1, 2, 3) 时, 等号成立. 以上就是二维, 三维形式的柯西不等式.
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2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
2 2 2 x1 x2 xn 1 求 证: 1 x1 1 x2 1 xn n 1
2 2 2 x1 x2 xn 证 明: ( n 1) ( ) 1 x1 1 x2 1 xn 2 2 x1 x2 (1 x1 1 x2 1 xn ) ( 1 x1 1 x2 2 xn x1 x2 ) ( 1 x1 1 x2 1 xn 1 x1 1 x2
1 xn
xn )2 ( x1 x2 xn )2 1 1 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 2 x1 x2 xn 1 1 x1 1 x2 1 xn n 1
三、巩固练习 1. 练习：教材P41 4题 2. 2. 作业：教材P41 5、6题
证 明: ( x 2 y 2 z 2 )(12 2 2 3 2 ) ( x 2 y 3 z ) 2 1 1 2 2 2 x y z 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 即x , y , z 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x y z 取最小值 14