高中数学 2.1柯西不等式课件 北师大版选修4-5

2.一般形式的柯西不等式 (1)定理 2: 2 2 2 2 设 a1,a2,…,an 与 b1,b2,…,bn 是两组实数,则有(������1 + ������2 +…+������������ )(������1 +
2 2 ������2 +…+������������ )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当向量(a1,a2,…,an)与向量(b1,b2,…,bn)共线时,等号 成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式): 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有(������1 + ������2 + ������3 )· (������1 + ������2 + 2 ������3 )≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时等号成立.
第二章
几个重要的不等式
§1
柯西不等式
课程目标 1.认识简单形式的柯西不等式的 几种形式,理解它们的几何意义. 2.会证明一般形式的柯西不等式, 并能利用柯西不等式来解决有关 问题.
学习脉络
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的 柯西不等式 代数形式(定理 1) 表达式 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2 向量形式 |α||β|≥|α· β| α 与 β 共线 等号成立的条件
点拨(1)三维形式的柯西不等式是二维形式的柯西不等式的推广,是二维
形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式过渡的桥梁,是从平面向量的几何背 景到空间向量的几何背景的拓展. (2)根据从特殊到一般的认识过程,由二维和三维形式的柯西不等式,类比猜想 出一般形式的柯西不等式.

取到．
第23页
题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
第24页
【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
第11页
思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
第12页
题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
第6页
3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
第9页
≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.

又 a，b，c 为正实数，∴a＋b＋c>0.
∴ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
利用柯西不等式求最值
[例 3] 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6 的最大值．
[思路点拨] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题 需要利用好特定条件，设法去掉根号．
[精解详析] 根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1× 2x＋1＋1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2， 故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30.
2．设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明：∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)
＝
a 2＋ b
b 2＋ c
ca2·[(
b)2＋(
c)2＋(
a)2]
≥
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2＝(a＋b＋c)2，
即ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
8．已知 x，y，z 均为正实数，且 x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值 为________．
解析：利用柯西不等式．
由于(x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥
x·1x＋
y·2y＋
z·3z2＝36，
所以1x＋4y＋9z≥36.
当且仅当 x2＝14y2＝19z2，即 x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．∴
≥a1＋a2＋…＋an，
∴ a12＋a22＋…＋a2n· n≥a1＋a2＋…＋an.
即得
a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an，∴P≥Q.
答案：B
二、填空题 5．设 a，b，c，d，m，n 都是正实数，P＝ ab＋ cd，Q＝

等式的基本方法，以及向量的数量积的性质
。
这个性 质正是 柯西不等式的向量形式，是这节课内容最
佳的“知识生长点”。
三、说目标
1、知识目标： 2、能力目标：
（1）理解柯西不等式的二维形式和 向量形式； （2）能运用柯西不等式的二维形式 解决一些简单问题； （3）让学生了解柯西的主要贡献， 贯穿数学史教育。
（二）、实施探究
设计意图
问题5：请仔细观察柯西不等式的 二维形式，想一想，它的结构有
什么特点？
1、掌握柯西不等式的 二维形式的结构特点是 突破本节难点的关键。
2、可以培养学生的观
察、分析，归纳能力，
同时，让学生成为发
（引导学生通过类比基本不等式的结构特点，观 现者，可以增加学生
不小于 察、分析，相互探讨，归纳出：“平方的和的乘
（二）、实施探究
设计意图
问题4：能否用不同的方法 证明柯西不等式的二维形式？
(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将 学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来，让学生比较、分析、评价)
因为不同的学生 在认知方式和思维策 略上存在着差异。学 生间的交流是学生完 善认知建构的催化剂。 所以我这样设计来激 发学生参与数学思维 活动。
五、说学法
教是为了不教。在教学过程中我注意指导学生学会 学习，通过启发教给学生获取知识的途径，思考问题 的方法。在教学活动中，我通过肯定学生的正确，指 出学生的错误，引导学生揭示知识内涵，帮助学生养 成独立思考，积极探索的习惯。培养学生主动探究的 学习方式。
六、说教学过程
设置悬念
归纳小结
理解深化 初步运用
（六）、设置悬念
问题9：柯西不等式的三维、四维、
n维的形式是怎样的？如何推导？

＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥__(_a_1b_1_＋__a_2b_2_＋__…_＋__a_n_b_n)_2___________， 当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共__线__时，等号成
立．
2．推论 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是两组实数，则有
[自主解答] (1)|ax＋by|＝ ax＋by2≤ a2＋b2x2＋y2＝1. (2)由柯西不等式得： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理： 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， 所以 a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
2．已知实数 a，b，c， d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2 ＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的取值范围．
[解] 由柯西不等式得， (2b2 ＋ 3c2 ＋ 6d2) 12＋13＋16 ≥(b ＋ c ＋ d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2， 所以实数 a 的取值范围是[1,2].
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
A． 13 B．169
C．13
D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. [答案] C
2．已知 a，b，c 大于 0，且 a＋b＋c＝1，则 a2＋b2＋c2 的最小 值为( )
A．1 B．4 C．13 D．12 [解析] 根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋ c)2＝1，

一 二维形式的柯西不等式
[学习目标]
1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，
以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它
们的几何意义. 2.会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、 定理2、定理3，证明比较简单的不等式，会求某些 函数的最值.
[知识链接]
1.预习教材后， 想一想在二维形式的柯西不等式的代数形式中， a c 取等号的条件可以是b＝d吗？
（a1－c1）2＋（a2－c2）2 ≥____________________________，
其几何意义为：|AB|＋|BC|≥|AC|. 5.设 α，β，γ 为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等号成立
α－β＝λ(β－γ)(λ＞0) 的充要条件为______________________.
解析
2
)
6 B. 5
25 C. 36
36 D. 25
2x2＋3y2＝[( 2x)2＋( 3y)2][( 3)2＋
1 1 6 6 2 2 ( 2) ]× ≥ ( 6x＋ 6y) ＝ (x＋y) ＝ . 5 5 5 5 3 2 当且仅当 2x＝3y，取 x＝5，y＝5时等号成立. 答案 B
3.设
2 4 2 1 xy＞0，则x ＋y2y ＋x2
规律方法 二维形式的柯西不等式可以理解为四个 数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的， 不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆.例如，
(a2＋b2)· (d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2＋
b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2.
2 2 3 跟踪演练 1 设 a1，a2，a3 为正数，求证： a3 ＋ a · a ＋ a · a ＋ a 1 1 2 1 2 2＋ 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 a3 ＋ a · a ＋ a · a ＋ a ＋ a ＋ a · a ＋ a · a ＋ a ≥ 2( a ＋ a ＋ a 2 2 3 2 3 3 3 3 1 3 1 1 1 2 3).

情感态度与价值观
培养学生的逻辑思维能力.
教学重难点
重点
运用柯西不等式分析解决一些 简单问题.
难点
一般形式的柯西不等式的 证明思路.
柯西不等式的一般形式为 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+ …+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)2 (2)
猜 想
分 析
如果设 A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C= b12+b22+…+bn2,不等式(2)就是AC≥B2.我们 可以构造二次函数，通过讨论相应的判别 式来证明.
思考
从三维的角度思考问题，关于柯西不 等式会有什么结论（结合图像）？
y
c, d
z
a1 , a2 , a3

0
a, b
x x 0

b1 , b2 , b3
y
观察图，从平面向量的集合背景可以得到
二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的
集合背景也可以得到│α.β│≤│α││β│ 将空间向 量的坐标代入，化简得 (a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当 且仅当α=β共线时，即β=0.或存在一个数k,使得
4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0.于是
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2 b2+…+anbn)2,当且仅当f(x)有唯一零点时， 判别式△=0，以上不等式取等号.

-12-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
-13-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
-16-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
点评
当式子中有根号、平方等形式时,经常应用柯西不等式求解.
-17-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
-14-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
-15-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
首页
X Z D 新知导学 INZHIDAOXUE
重难探究
HONGNANTANJIU

课
当
前
堂
自
【证明】 由柯西不等式
双
主
基
导
达
学
(2x＋y)2≤[( 3x)2＋( 2y)2][( 23)2＋( 12)2]
标
课 堂
＝(3x2＋2y2)(43＋12)≤6×161＝11.
互
动 探
于是 2x＋y≤ 11.
究
课 时 作 业
菜单
BS ·数学 选修4-5
设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
【思路探究】 如何构造二组数是解决问题的关键．
课
当
前 自
【自主解答】 由柯西不等式
堂 双
主
基
导 学
[( ab)2＋( bc)2＋( ca)2][( b)2＋( c)2＋( a)2]
达 标
课
≥(
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a)2.
堂
互 动 探 究
于是(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
菜单
利用柯西不等式求最值
BS ·数学 选修4-5
课 前 自
已知 x2＋2y2＋3z2＝1187，求 3x＋2y＋z 的最小值．
当 堂 双
主
基
导
达
学
【思路探究】 利用 x2＋2y2＋3z2 为定值，构造柯西不等 标
式形式，再利用公式得出范围，求解最小值．
课
堂
互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
BS ·数学 选修4-5
【解】 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得 25(x2
课 ＋y2)≥4，

放缩法等．
A
9
对点自测
知识点一
基本不等式
1.若 0<a<b<1，则 a＋b,2 ab，a2＋b2,2ab 中最大的一个是 ________．
A
10
解析 ∵a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab. 又(a2＋b2)－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)． ∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)＋b(b－1)<0. ∴a2＋b2<a＋b.
由平均不等式可得a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc. 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3.
所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
A
16
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
答案 a＋b
A
11
2．已知 x，y∈R，且 xy＝1， 则1＋1x1＋1y的最小值为 ________．
解析 1＋1x1＋1y≥1＋ 1xy2＝4. 答案 4
A
12
知识点二
柯西不等式
3.已知 x，y，z 为正数，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2 的最小
值是__________．
解析 x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×13≥(1·x＋1·y＋ 1·z)2×13＝13.
A
19
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就 不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须 是明显的．