一般形式的柯西不等式 课件

取到．
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题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
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【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
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思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
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题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
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3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
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≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.

答案：B
5．实数 ai(i＝1,2,3,4,5,6)满足(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2 ＋(a5－a4)2＋(a6－a5)2＝1，则(a5 ＋a6
B．2 2
C. 6
D．1
解析：因为[(a2－a1)2＋(a3－a2)2＋(a4－a3)2＋(a5－a4)2＋(a6 －a5)2](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a2－a1)×1＋(a3－a2)×1＋(a4－a3)×1 ＋(a5－a4)×2＋(a6－a5)×1]2＝[(a6＋a5)－(a1＋a4)]2，所以[(a6＋a5) －(a1＋a4)]2≤8，即(a6＋a5)－(a1＋a4)≤2 2.
答案：B
3．设 x，y，z∈R，且 x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥1成立，证明：a≤－3 或
3 a≥－1.
解：(1)[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2](12＋12＋12)≥[(x－1)＋(y ＋1)＋(z＋1)]2＝(x＋y＋z＋1)2＝4，
答案：B
6．设 x1，x2，…，xn 都是正数，求证：
x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
证明：∵x1，x2，…，xn 都是正数，
∴(x1＋x2＋…＋xn)x11＋x12＋…＋x1n
＝[(
x1)2＋(
x2)2＋…＋(
xn)2]·
1x12＋
1x22＋…＋
1 2 xn
≥ x1·1x1＋ x2·1x2＋…＋ xn·1xn2＝n2， ∴x11＋x12＋…＋x1n≥x1＋x2＋n2…＋xn.
知识点二 一般形式的柯西不等式的应用
4．已知 a，b，c 均大于 0，A＝ 则 A，B 的大小关系是( )

方法二：令 m＝( 4a＋1, 4b＋1, 4c＋1)．n＝(1,1,1)， 则|m|＝ 4a＋1＋4b＋1＋4c＋1＝ 4(a＋b＋c)＋3＝ 7， |n|＝ 12＋12＋12＝ 3. m·n＝ 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1, 由|m·n|≤|m||n|,得 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1≤ 21. 故 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21,当且仅当 a＝ b＝c＝13时,取等号.
证法二：(利用柯西不等式) (x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥ x· 1x＋ y· 4y＋ z· 9z2＝(1＋2＋3)2＝36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．
【例 2】设 a,b,c 为正实数,且 a＋b＋c＝3，求证： 2a＋1＋ 2b＋1＋ 2c＋1≤3 3.
典例剖析
【例 1】 已知 a，b，c∈R＋， 求证：ab＋bc＋acba＋bc＋ac≥9. 【分析】利用柯西不等式证明其他不等式时,关键是构造两
组数,向着柯西不等式的形式转化.本例中对应三维柯西不等式,
记 a1＝
ab,a2＝
bc,a3＝
ac,b1＝
b a,
b2＝ bc,b3＝ ac,而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．
思考探究
三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成
ab11＝ba22＝
a3 b3
可以吗？
提示 不可以．因为若出现 bi＝0(i＝1,2,3)的情况，则分式
不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.
名师点拨 1.三维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来 理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯 西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构特征，对 不等式等号成立的条件加深理解．

【解题探究】 注意到1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)·1x＋4y＋9z，就 可以应用柯西不等式了．
【解析】由柯西不等式，得 1x＋4y＋9z＝(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥ x·1x＋ y·2y＋ z·3z2＝ 36， 当且仅当 x2＝14y2＝19z2， 即 x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立． 所以1x＋4y＋9z≥36.
一般形式的柯西不等式
1．定理 1.三维形式的柯西不等式： (a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥_(_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_)_2 _， 当 且 仅 当 __b_i_＝__0_(i_＝__1_,2_,_3_)_ 或 _存__在__一__个__数__k_，__使__得__a_i＝__k_b_i_
(n＋1)·1＋x12x1＋1＋x22x2＋…＋1＋x2nxn＝(1＋x1＋1＋x2＋…＋1 ＋xn)·1＋x21x1＋1＋x22x2＋…＋1＋x2nxn
≥ 1＋x1· 1x＋1 x1＋ 1＋x2· 1x＋2 x2＋…＋
1＋xn·
xn 2 1＋xn
＝(x1＋x2＋…＋xn)2＝1. 所以1＋x21x1＋1＋x22x2＋…＋1＋xn2xn≥n＋1 1.
三维柯西不等式求最值
【例1】 已知x，y，z∈R且2x＋3y＋6z＝12，求x2＋y2＋ z2的最小值．
【解题探究】 利用三维柯西不等式可解．
【解析】由三维柯西不等式，得 (x2＋y2＋z2)(22＋32＋62)≥(2x＋3y＋6z)2＝122＝144， 所以 x2＋y2＋z2≥14494，
当且仅当2x＝3y＝6z， 2x＋3y＋6z＝12，
与二维柯西不等式的应用一样，巧用条件x＋y＋z＝1，构 造与三维柯西不等式一致的形式解决问题．

【归纳】正确利用“1”. 提示：数字“1”的正确利用非常重要，为了利用柯西不等式， 除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往能起 到某些用字母所代表的数或式子所不能起到的作用，这就要求 在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即 不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式.
时，等号成立.
2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数，则
(a12
a
2 2
a
2 n
)(b12
b
2 2
b
2 n
)
__(_a_1b_1___a_2b_2______a_n_b_n_)_2_,
当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_2_,_…__,_n_)_或__存__在__一__个__数__k_,_使__得__
一般形式柯西不等式的应用
应用柯西不等式的注意事项 我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但 往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出 与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变 形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们 要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的 数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题.
a2 a3
a2 a2 a3
a n1 a n
a n1
a n1 a n
an a1
(a1
a2
an=)2右 边12 ,
1 2
∴原不等式成立.
an )2 1 an a1 2
答案：6
11
1 x y z 1 2x 1 3y 1 z
2
3
1

≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.

2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,

9 z
( x y z)
14 (
) (
)
14 4 6 12 36 当且仅当 y 2 x , z 3 x , 即 x 1 6 ,y 1 3 ,z 1 2 时 , 等号成立 .
课外练习:
1 在 ABC 中 , 设其各边长为 求证 : ( a b c )(
2 2 2
a , b , c , 外接圆半径为 1
2
R,
2
1
2
B sin
1
2
) 36 R C
sin A sin 2 .设 a , b , c 为正数 , 且 a b c 1 ,
求证 : ( a
1 a
) (b
2
1 b
) (c
2
1 c
)
2
100 3
3 .若 n 是不小于 2的正整数 , 试证 : 4 7 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 2 2
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不 等式吗？
猜想并证明 结论
猜想柯西不等式的一般形式
2 2 2 2 2 2 2
(a1 a2 an )(b1 b2 bn ) ≥ (a1b1 a2 b2 anbb ) ②
2 2 分析： A a 12 a 2 a n ， B a b a b a b 设 1 1 2 2 n n 2 2 2 C b1 b 2 b n ， 不 等 式 ② 就 是 A C ≥ B 2
构造二次函数 f ( x ) ( a 1 a 2 a n ) x 2 ( a 1 b1 a 2 b 2 a n b n ) x

类型 1 利用柯西不等式求最值(自主研析)
[典例 1] (1)求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值 及此时 x 的值；
(2)设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4 ＋ 5z＋6的最大值．
解：(1)由柯西不等式得( x－6＋ 12－x)2≤(12＋ 12)[( x－6)2＋( 12－x)2]＝2(x－6＋12－x)＝12，
(1)求 a＋b＋c 的值； (2)求 1a2＋1b2＋c2 的最小值．
49 解：(1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b 时，等号成立．
又 a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，所以 f(x)的最小 值为 a＋b＋c，
归纳升华 1．我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直 接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不 等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的，在应 用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而 且要善于构造，技巧如下：
(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)改变结 构；(4)添项．
(2)由柯西不等式知：
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2·
ba2＋
bc2＋
ac2≥
ab·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac2＝
(1＋1＋1)2＝9.
所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式 适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条 件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法，才能发现问题的突破口．
3．定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x12＋y21＋ x22＋y22≥ （x1－x2）2＋（y1－y2）2.

当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2