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等号成立.
3.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则 (a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥ ___(_a_1b_1_+_a_2_b_2+_a_3_b_3_+_…__+_a_nb_n_)_2__,当且仅当_b_i=_0_(_i_=_1_,_ _2_,_3_,_…__,_n_)_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_i=_k_b_i_(_i_=_1_,_2_,_3_,_…__,_n_)_ 时,等号成立.
【解析】(1)错误.当b，d=0时，柯西不等式成立，但
a 不c 成立.
bd
(2)错误.当b1,b2,b3都为零时,
柯西不等式成立.
a1 a不2 成a立3 ，但此时
b1 b2 b3
(3)错误.当 =0时， || .
答案：(1)× (2)× (3)×
考向 1 二维柯西不等式代数形式的应用
【典例1】设a,b∈R+且a+b=2.求证： a2 b2 2.
【互动探究】本例条件不变，试求4a+8b+27c的最小值.
【解析】 (123)4a8b27c
a bc
［ (1 )2 (2 )2 (3 )2 ］ ［ 4 a2 8 b2 2 7 c2 ］ a bc
( 1 4a2 8b3 27c)2
a
b
c
=(2+4+9)2=225,
又∵ 1 2 ∴34a2+, 8b+27c≥
第三节 柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
内容
代数 形式
若 (aa2+,bb2,)c(,cd2∈+dR2),≥则_(_a_c_+_b_d_)_2
等号成立的条件
当且仅当_a_d_=_b_c_时，等 号成立
向量 设 , 是两个向量，则 形式 | | ≤___| __||__|_
当且仅当___是__零__向__量
(2)“二维”是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两 个量：横、纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为 是四个数组合成的一种不等关系. (3)根据题设条件，综合利用添、拆、分解、组合、配方、变 量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口.
【变式训练】已知a1,a2,b1,b2为正实数，求证(a1b1+a2b2)
(a1 b1
a2 b2
)
≥(a1+a2)2.
【证明】对比柯西不等式的原型，两组数可取为：
a1b1,
a2b2,
a1 , b1
a2 , b2
则(a1b1+a2b2( )a 1 a 2 )
b1 b2
2
［a1 b 1
a2b22］ ［ ( a b 1 1)2(
a2)2］ b2
( a1b1
a1 b1
组数，利用柯西不等式求解.
【规范解答】 (123)a2b3c
a bc
［ (1 )2 (2 )2 (3 )2 ］ ［ a2 2 b2 3 c2 ］ a bc
( 1 a 2 2b 3 3c)2
a
b
c
=(1+2+3)2=36.又1 2 3 2,
abc
∴a+2b+3c≥18.
当且仅当a=b=c=3时等号成立.
或__存__在__实__数__k_,_使____= __k__ _时，等号成立
内
容
三角 形式
设x1,y1,x2,y2∈R,那么
x1 2y1 2 x2 2y2 2
___x_1__x_2__2___y1 _ __y_2_2
等号成立的条件
当且仅当 _P_1_(_x_1,_y_1_)_,_P_2_(_x_2,_y_2_)_,_ _O_(_0_,_0_)_三__点__共__线__，__且__ _P_1_，__P_2_在__原__点__O_两_旁____ _
a2b2
=(a1+a2)2.
a2)2 b2
当且仅当
a1b1
a2 b2
a2b2
a1, b1
即b1=b2时等号成立.
考向 2 利用柯西不等式求最值 【典例2】(2013·哈尔滨模拟)已知a,b,c∈(0,+∞), 1 2 3
abc
=2,求a+2b+3c的最小值.
【思路点拨】分析待求式子的结构特征，结合已知条件构造两
225 ,
abc
2
当且仅当 4a 8b 27 ,
123 abc
即2a=2b=3c1 =5 时取等号.
2
即4a+8b+27c的最小值为2 2 5 .
2
【拓展提升】三维柯西不等式的应用 由a,b,c构成新的数字形式，而形成三维的柯西不等式，需要有 较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出，常用的技巧 有以下几种： (1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次 序. (3)构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变式子的结构. (4)构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项.
时，等号成立
2.三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则 (a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥_(_a_1b_1_+_a_2_b_2+_a_3_b_3_)_2.当且仅当 _b_1_=_b_2=_b_3_=_0_或_存__在__一__个__数__k_,_使__得__a_1_=_k_b_1,_a_2_=_k_b_2_,_a_3=_k_b_3_时,
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可 以是 a c . ( )
bd
(2)在三维形式的柯西不等式中等号成立的条件是 a1 a 2 a 3 .
b1 b2 b3
()
(3)设 ， 是两个向量，则 || 中等号成立 的条件是存在实数k，使 k . ( )
2a 2b
【思路点拨】观察不等式的结构特点，本题可以看作求
a2 的b2最小值，因而需出现柯西不等式的结构，
2a 2b
把 a2 视b为2 其中一个括号内的部分，另一部分可
2a 2b
以是(2-a)+(2-b).
【规范解答】根据柯西不等式，
有［(2-a)+(2-b)］( a2 b2 )
2a 2b
［ 2 a2 2 b 2 ］ ［ (a) 2 (b) 2 ］ 2 a 2 b
(2a a 2b b )2
2a
2b
=(a+b)2=4,
a2 b2
4
2,
2a 2b 2a2b
当且仅当 2a b 2b a
2b
2a
即a=b=1时等号成立，
∴原不等式成立.
【拓展提升】正确理解二维柯西不等式 (1)可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系，或构造 成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构 造要仔细体会.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2) ≥(ad+bc)2,谁与谁组合、联系，要有一定的认识.
