柯西不等式(优质课)
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柯西不等式(优质课)
应用
在概率论、统计学、信号处理等领域有广泛应用，特别是在估计概率分布、优化 信号传输等方面。
柯西不等式的变体
积分柯西不等式
对于任意的非负函数$f(x)$和$g(x)$， 有$int f(x)g(x)dx leq left(int f^2(x)dxright)^{frac{1}{2}} left(int g^2(x)dxright)^{frac{1}{2}}$。
应用
在向量分析、线性代数、数学物理等领域有广泛应用，特别是在解决优化问题、不等式 证明等方面。
广义柯西不等式
广义柯西不等式
对于任意的非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 leq (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2)$。
• 然后应用柯西不等式得到左边 ≤abc[1^2+(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb)^2+(1/c)^2+(1/a)^2]=abc。
答案与解析
3. 证明
(x+y)^2≤2(1+xy)
解析
首先展开左边得到(x+y)^2=x^2+y^2+2xy。
答案与解析
然后应用柯西不等式得到左边≤2[(x^2+y^2)/2]^2+2xy=2(1+xy)。
解析几何应用
在解析几何中，柯西不等 式可用于研究平面或空间 中的点、线、面的性质和 关系。
在物理领域的应用
在概率论、统计学、信号处理等领域有广泛应用，特别是在估计概率分布、优化 信号传输等方面。
柯西不等式的变体
积分柯西不等式
对于任意的非负函数$f(x)$和$g(x)$， 有$int f(x)g(x)dx leq left(int f^2(x)dxright)^{frac{1}{2}} left(int g^2(x)dxright)^{frac{1}{2}}$。
应用
在向量分析、线性代数、数学物理等领域有广泛应用，特别是在解决优化问题、不等式 证明等方面。
广义柯西不等式
广义柯西不等式
对于任意的非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 leq (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2)$。
• 然后应用柯西不等式得到左边 ≤abc[1^2+(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb)^2+(1/c)^2+(1/a)^2]=abc。
答案与解析
3. 证明
(x+y)^2≤2(1+xy)
解析
首先展开左边得到(x+y)^2=x^2+y^2+2xy。
答案与解析
然后应用柯西不等式得到左边≤2[(x^2+y^2)/2]^2+2xy=2(1+xy)。
解析几何应用
在解析几何中，柯西不等 式可用于研究平面或空间 中的点、线、面的性质和 关系。
在物理领域的应用
数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.
人教A版高中数学选修4-5第3讲 2 一般形式的柯西不等式名师公开课市级获奖课件(38张)
预习学案 课堂学案 课后练习
3．已知 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝9，求 3a＋ 2b ＋ c的最大值________．
解析：
3a＋ 2b＋ c
1 ＝ 3 a＋ 2b＋ 3c 3 ≤
1 3 ＋ 1 ＋ a＋2b＋3c 3
＝ 39，故最大值为 39.
答案：
征，构造两组数的积的形式，然后以柯西不等式求解即可．
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
＝ ≥
a2 b2 c2 ＋ ＋ ∵ (a＋b＋c) b c a
a 2 b 2 c 2 2 2 2 ＋ ＋ · [( b ) ＋ ( c ) ＋ ( a ) ] c a b a b c 2 · b＋ · c＋ · a b c a
然后结合柯西不等式处理．
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x ∵f(2x)＝lg n
12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x ∴要证 f(2x)≥2f(x)， 只要证 lg n 1x＋2x＋„＋n－1x＋a· nx ≥2lg ， n 12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x 即证 n
解析： 根据已知条件和柯西不等式有 (x2＋y2＋z2)(12＋42＋32)≥(x＋4y＋3z)2＝4， 4 2 所以 x ＋y ＋z ≥ ＝ ， 26 13
2 2 2
x y z 1 4 3 当且仅当 ＝ ＝ ，即 x＝ ，y＝ ，z＝ 时， 1 4 3 13 13 13 2 x ＋y ＋z 的最小值是 . 13
3．已知 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝9，求 3a＋ 2b ＋ c的最大值________．
解析：
3a＋ 2b＋ c
1 ＝ 3 a＋ 2b＋ 3c 3 ≤
1 3 ＋ 1 ＋ a＋2b＋3c 3
＝ 39，故最大值为 39.
答案：
征，构造两组数的积的形式，然后以柯西不等式求解即可．
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
＝ ≥
a2 b2 c2 ＋ ＋ ∵ (a＋b＋c) b c a
a 2 b 2 c 2 2 2 2 ＋ ＋ · [( b ) ＋ ( c ) ＋ ( a ) ] c a b a b c 2 · b＋ · c＋ · a b c a
然后结合柯西不等式处理．
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x ∵f(2x)＝lg n
12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x ∴要证 f(2x)≥2f(x)， 只要证 lg n 1x＋2x＋„＋n－1x＋a· nx ≥2lg ， n 12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x 即证 n
解析： 根据已知条件和柯西不等式有 (x2＋y2＋z2)(12＋42＋32)≥(x＋4y＋3z)2＝4， 4 2 所以 x ＋y ＋z ≥ ＝ ， 26 13
2 2 2
x y z 1 4 3 当且仅当 ＝ ＝ ，即 x＝ ，y＝ ，z＝ 时， 1 4 3 13 13 13 2 x ＋y ＋z 的最小值是 . 13
柯西不等式(一)教学课件
2 2
例 3、已知 x、y R 且 3x2 2 y 2 „ 6 ，求证： 2 x y „ 11.
证明：由柯西不等式可得
a c b d
证法四、 （全量不小于部分） 由于 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 所以 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
当且仅当 ad bc 即 时，等号成立
a c b d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
两
边
平
方
a
得
b
A
a 2 b 2 c 2 d 2 卆 ac bd
即 (a b )(c d ) …(ac bd )
2 2 2 2
2
a
c
当且仅当 OB OA 即
a c
b 时，等号成立. d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
若 a、b 不全为 0，构造函数
f ( x) (a2 b2 ) x2 2(ac bd ) x (c2 d 2 )
由 f ( x) (ax c)2 (bx d )2 …0 对任意 x R 恒成立 所以 4(ac bd )2 4(a2 b2 )(c2 d 2 ) „ 0 即 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2
注： （1）该不等式称为（二维）柯西不等式；
例 3、已知 x、y R 且 3x2 2 y 2 „ 6 ，求证： 2 x y „ 11.
证明：由柯西不等式可得
a c b d
证法四、 （全量不小于部分） 由于 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 所以 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
当且仅当 ad bc 即 时，等号成立
a c b d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
两
边
平
方
a
得
b
A
a 2 b 2 c 2 d 2 卆 ac bd
即 (a b )(c d ) …(ac bd )
2 2 2 2
2
a
c
当且仅当 OB OA 即
a c
b 时，等号成立. d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
若 a、b 不全为 0，构造函数
f ( x) (a2 b2 ) x2 2(ac bd ) x (c2 d 2 )
由 f ( x) (ax c)2 (bx d )2 …0 对任意 x R 恒成立 所以 4(ac bd )2 4(a2 b2 )(c2 d 2 ) „ 0 即 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2
注： （1）该不等式称为（二维）柯西不等式；
《柯西不等式》课件
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THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
2.1.2_一般形式的柯西不等式(精品公开课课件)
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2
当且仅当ai kbi时等号成立。 猜想柯西不等式的一般形式
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设三段绳子的长分别为x、y、z，x y z l
则三个正方形的边长依次为 ：x , y , z 这三个正方形的面积之和为： 4 4 4
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
练习： P30 第1、2、3题
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2 ∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2
当且仅当ai kbi时等号成立。 猜想柯西不等式的一般形式
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设三段绳子的长分别为x、y、z，x y z l
则三个正方形的边长依次为 ：x , y , z 这三个正方形的面积之和为： 4 4 4
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
练习： P30 第1、2、3题
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2 ∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不
3.2一般形式的柯西不等式(优秀经典公开课比赛课件)
abc
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9
b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9
b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2
教学课件选修45第三节柯西不等式与算术几何平均不等式
(2)
若正实数
a，b，c
满足
abc＝1，求
a4 b(a
c)
b4 c(a
b)
c4 a(b
c)
的最小
值．
“数学史与不等式选讲”模块
(1) 证明 1：因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
三式相加并除以 2 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．
(1) 证明 2：因为 a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝ 1 [(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
3．二维形式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x12＋y21 ＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22
4．柯西不等式的一般形式： 设 n 为大于 1 的自然数，ai，bi(i＝1,2，…，n)为任意实数，
则i＝n1ai2·i＝n1b2i ≥(i＝n1aibi)2，其中等号当且仅当ab11＝ba22＝…＝abnn时
3、（2010 年浙江省高考）设正实数 a，b，c，满足 abc≥1.
a2
b2
c2
求 a 2b b 2c c 2a 的最小值。
4.（2009 浙江高考） 已知正数 x, y, z 满足 x y z 1.
(1)求证: x 2
y2
z2
1;
y 2z z 2x x 2y 3
(2)求 4x 4y 4z2 的最小值.
2
所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．
…………5 分
(2) 解：由(1)及柯西不等式，均值不等式知
≥ a4 b4 c4
(a2 b2 c2)2
b(a c) c(a b) a(b c) 2(ab bc ca)
柯西不等式课件
2，当且仅当 b ＝0( i ＝1，2，3，…， n )或存在一个数 k ，
＋…＋
a
b
)
2
n n
i
使得 ai ＝ kbi ( i ＝1，2，3，…， n )时，等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )＝( a 1 x ＋ b 1)2＋( a 2 x ＋ b 2)2＋…＋( anx ＋ bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明：(1)当 n ＝1时，左式＝( a 1 b 1)2，右式＝( a 1 b 1)2，
显然，左式＝右式；
当 n ＝2时，左式＝( 12 ＋ 22 )( 12 ＋ 22 )＝( a 1 b 1)2＋( a 2 b 2)2＋ 22 12 ＋
个是零向量，则规定 a ·b ＝0，上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题：已知 p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2.求证： p
＋ q ≤2.
[证明]
p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2，设 a ＝( 3 ， 3 )， b ＝( ，
)，由向量数量积知｜ a ｜｜ b ｜≥｜ a ·b ｜，则｜ a ｜2·｜ b ｜2≥( a ·b )2，
＋ 2 )≤0，
例3
即( a 1 b 1＋ a 2 b 2＋…＋ anbn )2≤( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )，
1
2
当且仅当 aix ＋ bi ＝0( i ＝1，2… n )即 ＝ ＝…＝ 时等号成立.
1
2
方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳
＋…＋
a
b
)
2
n n
i
使得 ai ＝ kbi ( i ＝1，2，3，…， n )时，等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )＝( a 1 x ＋ b 1)2＋( a 2 x ＋ b 2)2＋…＋( anx ＋ bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明：(1)当 n ＝1时，左式＝( a 1 b 1)2，右式＝( a 1 b 1)2，
显然，左式＝右式；
当 n ＝2时，左式＝( 12 ＋ 22 )( 12 ＋ 22 )＝( a 1 b 1)2＋( a 2 b 2)2＋ 22 12 ＋
个是零向量，则规定 a ·b ＝0，上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题：已知 p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2.求证： p
＋ q ≤2.
[证明]
p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2，设 a ＝( 3 ， 3 )， b ＝( ，
)，由向量数量积知｜ a ｜｜ b ｜≥｜ a ·b ｜，则｜ a ｜2·｜ b ｜2≥( a ·b )2，
＋ 2 )≤0，
例3
即( a 1 b 1＋ a 2 b 2＋…＋ anbn )2≤( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )，
1
2
当且仅当 aix ＋ bi ＝0( i ＝1，2… n )即 ＝ ＝…＝ 时等号成立.
1
2
方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳
《2.1柯西不等式 2 一般形式的柯西不等式》课件 -优质公开课-北师大选修4-5精品
1，2，3)时，等号成立.
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3．你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？
提示 柯西不等式的一般形式为：若 a1，a2，„，an，b1， 2 2 2 2 b2， „， bn 都为实数，则有 (a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ ＋ 2 b2 n)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn) ， 证明如下： 若 a1＝a2＝„＝an＝0，则不等式显然成立，故设 a1，a2，„， 2 2 an 至少有一个不为零，则 a2 ＋ a ＋ „ ＋ a 1 2 n>0. 2 2 2 考虑二次三项式 (a 2 1 ＋ a 2 ＋ „ ＋ a n )x ＋ 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 1＋b2＋„＋bn) ＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋„＋(anx＋bn)2≥0. 对于一切实数 x 成立，设二次三项式的判别式为 Δ， Δ 2 2 2 2 则 ＝(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)2－(a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ 4 2 ＋bn )≤0.
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2．在空间向量中，|α||β|≥|α·β|，你能据此推导出三维的柯 西不等式的代数式吗？ 提示 设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，
则α·β＝a1b1＋a2b2＋a3b3代入向量式得
2 2 2 2 2 2 (a2 1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3) . 当且仅当α与β共线时，即存在一个数k，使得ai＝kbi (i＝
＝[( a＋b)2＋( b＋c)2＋( c＋a)2]·
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定理3：(二维形式的三角不等式)
2 2 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
设x1 , y1 , x 2 , y2 R, 则 x12 y12
证明思路1：(几何法)
y P1(x1,y1) P2(x2,y2) O x
y
P1(x1,y1) O P2(x2,y2)
(2) (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
例2.求函数
y 5 x 1 10 2 x
的最大值
ac bd (a b ) c d
2 2 2
2
变形，使之出现常数
1 22 设a 0, b 0, 且a b 1, 求证：2a 1 b 3 2
2 2 2 2
不等式①：
2
不等式②：
a c ad bc b d a d ac bd b c
x y 例3.设x 0, y 0, 且x y 2, 的最小值。 2 x 2 y
2
2
灵活对调前后项
变式1：若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值.
思考
设a1 , a2 , a3 ,
2 1 2 2 2 3
, an , b1 , b2 , b3 ,
2 1 2 2 2 3
, bn是实数,则
(a a a )(b b b ) ≥
?
2 2
(a a 2 1 2 2 a )(b b 2 n 2 1
b )
2 n
1 1 4 例4.若a b c, 求证： a b bc a c
练习2
变形，使之出现 条件中的表达式或表达式的倍数
x y 例3.设x 0, y 0, 且x y 2, 的最小值。 2 x 2 y
2
2
不等式(a b )(d c ) (ad bc ) 成立吗？
2 2 2 2 2
与不等式(a b )(c d ) (ac bd ) 矛盾吗？它们之间有什么区别？
2 2 2
2
两边平方后得证.
柯西不等式的几何意义
设 (a, b), (c, d ), 则
ac bd (a b ) c d
2 2 2
2
“=”何时成立
当且仅当是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 , 是两个向量,则 ≥ . 当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
(1) (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
2 2 2 2
(2) (a b ) (c d ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时 , 等号成立.
(a 2 b2 )(c 2 d 2 ) ≥ (ac bd )2
思考
设a1 , a2 , a3 ,
2 (a12 a2
, an , b1 , b2 , b3 ,
2 an )(b12 b22
, bn是实数,则
2 bn )
2 2
2 1 变式2：设a, b R , 2a 3b 6求 的最小值. a b
小结
1、二维形式的柯西不等式 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a b )(c d ) ≥ (ac bd ) . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
2、二维形式的柯西不等式的变式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面不等式:
若 a, b, c, d 都是实数, 则 (1) (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
例1：已知a,b为实数，求证
(a b )(a b ) (a b )
4 4 2 2 3
3 2
分清（找准）a,b,c,d
1 1 练习 1:设 a , b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 1 1 又 a b 1 ,∴ ≥ 4 a b
由 a 2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a b )(c d )
2 2 2 2
联
想
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a b )(c d )
2 2 2 2
a c b d a d b c
x
证明思路2：(代数法)
2 2 2 2 2 2 x1 y12 2 x1 x 2 y1 y2 x 2 y2 x1 y12 2( x1 x 2 y1 y2 ) x 2 y2 2 2 2 2 x1 2 x1 x 2 x 2 y12 2 y1 y2 y 2 ( x x ) ( y y ) 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
2 2
(ac bd ) (ad bc)
2
2
(ac bd )
2
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理：
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立. 仔细观察上述定理，概括它的特点
平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
2 2 2 2 2 2 2 2 证明 : ( x12 y12 x 2 y2 ) x1 y12 2 x12 y12 x 2 y2 x2 y2
(1)二维形式的柯西不等式
小结
(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd ) 2 (a , b, c , d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x 2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论 .若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了. 证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1 由柯西不等式可知
补全a,b,c,d
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
设 (a, b), (c, d ), 则
a b , c d ,
2 2 2 2
ac bd ,
利用 ,
ac bd (a b ) c d
注：若 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，则 x1 x2 y1 y2 cos , 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
(3) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
(5)二维形式的三角不等式
2 2 x12 y12 x2 y2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
2 2
解 :由柯西不等式(4 x 9 y )(1 1 ) (2 x 3 y ) 1,
2 2 2 2 2
1 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号.
2 2
1 x 2 x 3 y 4 由 得 2 x 3 y 1 y 1 6 1 4 x 9 y 的最小值为 2
柯 西 不 等 式
二维形式的柯西不等式
柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。
27岁成为巴黎综合工科学校教授，
并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性，
实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程
等方面的研究． 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a
2
x1 x2 b x1 x2
2
= a b x1 x2 x1 x2 .得证
定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 , 是两个向量,则 ≥ . 当且仅当 是零向量或存在实数 k ， 使 k 时,等号成立.