北京四中0910学年高二下期末考试数学(理)doc高中数学

2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案（一）考试时间：120分钟姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列叙述不正确的是（）A．已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面B．已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点C．已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线D．已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则2.已知直线和互相平行，则（）A. B.C.或D.或3.若空间向量a，b不共线，且－a＋(3x－y)b＝xa＋3b，则xy＝A.1B.2C.4D.64.已知向量不共线，，，如果，那么（）A.同向B.反向C.同向D.反向5.已知圆，从圆上任意一点M向轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN的中点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.6.某省新高考方案规定的选科要求为:学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科.现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（）A.24种B.30种C.48种D.60种7.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（）A．B．C．D．8.圆E：与圆F：的公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.49.双曲线的右焦点为F，点P在椭圆C的一条渐近线上.O为坐标原点，则下列说法错误的是（）A.该双曲线离心率为B.双曲线与双曲线C的渐近线相同C.若，则的面积为D.的最小值为210.设函数，则函数的图像可能为（）A B C D二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11.若则正整数__________．12.在平行六面体中，，，，，则________.13.在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答）14.椭圆的离心率为．15.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．16.如图，梯形ABCD中，，，，，将△ABC沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为，且平面平面BCD，则下列四个命题中正确的是______________.①；②三棱锥的体积为；③平面④平面平面17.若双曲线经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．18.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A、B、C、D、E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.19.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是.20.已知，，则.三、解答题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）21.如图，设点A、B在轴上，且关于原点O对称．点P满足，且的面积为20．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）以A、B为焦点，且过点P的椭圆记为C．设是C上一点，且，求的取值范围．22.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的取值范围.23.已知抛物线，过抛物线C的焦点F且垂直于轴的直线交抛物线C于两点，.（1）求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点A、B，直线与准线交于点M.连接，过点F作的垂线与准线交于点N.求证：三点共线.24.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，，，E为棱AB的中点，F为线段的中点．（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值．25.已知函数.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值.{a n}的前n项和，已知，，．26.设Sn为数列的通项公式；（Ⅰ）求，，并求数列{an}（Ⅱ）求数列的前n项和．27.已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D.①求的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求面积的最大值.28.已知，，给定个整点，其中，，.（1）当时从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点，，求的所有可能值；（2）从上面个整点中任取m个不同的整点，.（i）证明：存在互不相同的四个整点，，，，满足，，；（ⅱ）证明：存在互不相同的四个整点，，，，满足，.29.袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.0.2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案（一）解析一、选择题1.【答案解析】D【详解】对于A，空间两直线没有公共点，由空间两直线位置关系的分类知，两直线平行或是异面直线，A正确；对于B，直线与平面有公共点，由直线与平面位置关系的分类知，直线与平面有无数个公共点(直线在平面内)或仅只一个，即B正确；对于C，两个不重合平面有公共点，由平面基本性质知，它们有且只有一条经过公共点的公共直线，即C正确；对于D，正三棱锥的侧棱垂直于底面三角形与该棱相对的边，而在底面三角形所在平面内与该边平行的直线都垂直于这条棱，正三棱锥侧棱不垂直于底面，即D不正确.故选：D2.【答案解析】C【分析】根据两直线平行的条件求解．【详解】时，两直线显然不平行，时，则，解得或．故选：C．3.【答案解析】D4.D5.【答案解析】A【分析】利用相关点法即可求解.【详解】设线段的中点，，所以，解得，又点在圆上，则，即.故选：A6.【答案解析】D【分析】以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本原理可求．【详解】解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有种选法，所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有种，故选：．7.【答案解析】D【详解】设圆柱的底面半径为，高为，∵圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是24，∴，解得，∴圆柱的体积为，故选:D．8.【答案解析】B【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相交，从而得到两圆公切线的条数．【详解】解：化为，可知圆的圆心坐标为，半径为2；又圆的圆心坐标为，半径为1．而，即．圆与圆相交，则公切线条数为2．故选：．9.【答案解析】D【分析】A.根据双曲线方程，求出a，b，c，利用离心率公式求解判断；B.分别求出两个双曲线的渐近线方程判断； C.根据点P在渐近线上，又，利用直线PO与直线PF的方程联立，求得点P的坐标求解判断；D.由的最小值为点F到渐近线的距离求解判断.【详解】A.因为双曲线方程为，所以，则，故正确；B.双曲线与双曲线的渐近线方程都为，故正确；C.设，因为点P在渐近线上，不妨设渐近线方程为，即为直线PO的方程，又因为，所以直线PF的方程为，由，解得，即，所以，故正确；D.，其中一条渐近线为，则的最小值为点F到渐近线的距离，即，故错误；故选：D10.【答案解析】B解析：，所以为偶函数，排除A，C；，排除D，故选B．二、填空题11.【答案解析】5【分析】按组合数、排列数公式列出等式求解即可.【详解】由得，解得故答案为：512.【答案解析】【分析】在平行六面体中，利用对角线向量，利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量数量积的运算律求得结果.【详解】由平行六面体的特征可知，所以，所以，故答案为：.13.【答案解析】15【分析】由二项式展开式通项有，可知常数项的值；【详解】二项展开式通项为，∴当时，常数项，故答案为：1514.【答案解析】15.【答案解析】2分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此16.【答案解析】③④【分析】利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及性质定理可判断①③④；利用三棱锥的体积公式可判断②.【详解】解：如图所示：设中点为，连接，对①，，即，，又平面平面，平面，又平面，，若，，平面，又平面，，与已知矛盾，所以①错误；,对②，，，，，又，，，，所以②错误；对③，平面平面，平面平面，，平面，所以③正确；对④，平面，平面，平面平面，所以④正确故答案为：③④.17.【答案解析】【分析】将点的坐标代入双曲线的方程，求出实数的值，进而可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】将点的坐标代入双曲线的方程得，，可得，所以，双曲线的方程为，因此，该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.18.【答案解析】45【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果.【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；剩下四人进行错排，设四人座位为，则四人都不坐在自己位置上有这9种可能；所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种故答案为：4519.【答案解析】(1,2)20.【答案解析】三、解答题21.【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）设，根据点满足，得到直线的方程为，直线的方程为，两方程联立用c表示点P的坐标，再根据的面积为，由求得c即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，P，从而由求得a，进而得到椭圆的方程，然后根据求解.【详解】（Ⅰ）如图所示：设，则直线的方程为，直线的方程为．由解得所以．故的面积．所以，解得．所以点的坐标为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以，．设以为焦点且过点的椭圆方程为．则，又，所以椭圆的方程为．所以，即．因为，所以．所以．所以的取值范围是．22.【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理结合，可得，即，又因为，即可得解；（2）由正弦定理可得，由，再结合三角形为锐角三角形可得，即可得解.【详解】（1）由余弦定理可得，所以，又，所以，因为为锐角三角形，所以，即，又因为，所以；（2）由（1）知，由，可得，,由，且三角形为锐角三角形，所以，且，，，又，所以，所以，，所以的取值范围为.23.【答案解析】（1）抛物线的方程为，焦点坐标为(1,0)，准线方程为（2）证明见解析【分析】（1）根据抛物线通径的性质，得出，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；（2）根据题意，设直线，与抛物线方程联立，求出则，，通过直线相交分别求出和，从而求出和，通过化简求出，即可证出三点共线.【详解】解：（1），则，故抛物线的方程为：，其焦点坐标为，准线方程为：（2）设直线，联立，得，则，设，，则，法1：直线，由得，故点，直线的斜率，则直线的斜率，直线，则点直线的斜率.直线的斜率，由得，则，所以三点共线.法2：直线，由得，故点，由，得.直线的斜率，直线，得点，由，得.直线的斜率.直线的斜率，由得，由，得，则有.所以三点共线.法3：（1）∵，∴，∴，∴，，∴抛物线的标准方程为：，则焦点坐标为：，准线方程为：.（2）设直线，联立得：，，设，，∴直线，当时，，∴，∴，∴，∴直线，当时，，∴，∴，，∴，∴，∴共线.24.【答案解析】解：（1）如图：取的中点G，连接GF，GB，则，又，，则四边形为平行四边形，，又面，面，平面；（2）如果建立空间直角坐标系,则，则，设面的法向量为，则，即，令，可得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值.25.【答案解析】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）最大值为18，最小值为.【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．【详解】（1）因为，所以.令，解得，.随着x的变化，，变化情况如下表：x100极大值极小值所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，，，所以，函数在区间上的最大值为18，最小值为.26.【答案解析】（Ⅰ）1,2,；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）代入数据计算得到，，利用公式得到，计算得到答案（Ⅱ）直接利用错位相加法得到答案.【详解】(I).当时，,当时，,,是首项为公比为的等比数列.,（II）设则即,上式错位相减:,.27.【答案解析】（1）；（2）①；②分析：（1）由短轴长为2，得到，再由离心率结合计算可得椭圆方程；（2）①由直线，过右焦点，设出直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，计算出弦长，再由两直线的斜率乘积为，将弦长中的斜率变为可得弦，相加即可得解；②由中点坐标公式求出、的坐标，观察坐标知的中点在轴上，所以整理后利用基本不等式即可得到面积的最值；解答：解：（1）依题意可得解得，故椭圆的方程为；（2）①设的方程为，，联立消去并整理得到，于是同理可得②由①知，，，，所以，所以的中点所以当且仅当即时取等号，所以面积的最大值为28.【答案解析】（1）2,3,4；（2）（i）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）取时，即可表示出整点，进而算出可能的所有取值；（2）（i）假设不存在互不相同的四个整点满足题设条件，进而得出，与已知矛盾，结合反证法，即可证明；（ⅱ）利用关系式，即可作出证明.【详解】（1）当时，4个整点分别为，所以的所有可能的值为；（2）（i）假设不存在互不相同的四个整点，满足，，，即在直线中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为，而，与已知矛盾，故存在互不相同的四个整点，满足，，.（ⅱ）设直线有个选定的点，若，设上的这个选定的点的横坐标分别为，且满足，由，则中任意不同两项之和的不同的值恰有个，且，可知，存在互不相同的四个整点，满足，.29.【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率．（Ⅱ）第一次摸到红球后，还余下个红球和个白球，同（Ⅰ）可求概率．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率．【详解】设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，则事件：第一次摸到白球.（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以.（Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.所以.（Ⅲ）.所以第二次摸到红球的概率.。

北京四中高二数学试卷[理]（考试时间为100分钟，试卷满分为100分）一.选择题（每题3分，共36分）1. 抛物线的焦点到准线的距离为（）．A．2B．4C．D．2. 双曲线的两条准线间的距离为（）．A．B．C．D．3. 不等式的解集是（）.A．B．C．D．4. 下列命题正确的是（）.A．与两条异面直线都垂直的直线叫做这两条异面直线的公垂线B．三条直线两两相交，则这三条直线共面C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．空间中四个点最多可以确定4个平面5. 正方体的各面对角线所在的直线中，与成角的异面直线有（）.A．2条B．4条C．6条D．8条6. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条7. 椭圆（为参数）的焦点坐标为（）．A．B．C．D．8.同一坐标系中，方程的曲线大致是（）．A．B．C．D．9. 设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）.A． B. C. D.10. 已知双曲线的左支上有一点M到右焦点的距离为18，N是的中点，O为坐标原点，则（）．A．4 B．2 C．1 D．11. 若圆与直线相切，则的最小值为（）.A．1 B．2 C．D．不存在12. 已知实系数方程的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率,则的取值范围是（）.A. B. C. D.二.填空题（每题4分，共24分）13. 已知椭圆过点，则m的值为.14. 中心在原点，焦点在x轴上, 离心率，一条准线方程为的双曲线方程是.15. 过点且被P平分的椭圆的弦所在直线的方程为.16. 双曲线上的点到直线的最短距离是.17. 在空间四边形中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，，，与所成的角为，则四边形的面积为__________ .18. 过抛物线焦点F的弦AB被焦点F分成3：1两部分，则直线AB的方程为.三.解答题（10分´ 4 = 40分）19. （10分）已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，且过点，（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆的弦，是坐标原点，，且的坐标是，求点的坐标..20. （10分）在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，O为AC与BD 的交点.（1）求异面直线与DE所成的角的正切值；（2）求证：CO为BD与的公垂线；（3）求BD与的距离.21. （10分）有一系列双曲线的右顶点都在抛物线上，且它们的实轴长都是4，又都以y轴为右准线，（1）求双曲线中心的轨迹方程；（2）求离心率e达到最小值时的双曲线的方程.22. （10分）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为1，（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线的左支交于A、B两点，且，求直线的方程；（3）在（2）的条件下，如果在双曲线的左支上存在点C，使，求m的值和的面积S.答题纸行政班级______________姓名_______________学号_____________一.选择题（3分´ 12 = 36分）题号123456答案B A A D B C题号789101112答案D C C A B C二.填空题（4分´ 6 = 24分）13161415 1617618三.解答题（10分´ 4 = 40分）19.答案：（1）.（2）或.20.答案：（1）.（2）略.（3）.21. 答案：（1）.（2）当离心率达到最小值2时，双曲线的方程为.22.答案：（1）.（2）直线的方程为.（3）m=4，.高二数学单元练习(文)一、选择题：1. 在空间，四点共面是三点共线的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件2. 一个动圆与两个圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线3. 和椭圆有共同焦点，且率心率为2的双曲线方程是()A. B. C. D.4. 设F1和F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是( )A. 1B.C. 2D.5. 抛物线y2=2px过点A(2,4)，F是其焦点，又定点B的坐标为(8，-8)，那么|AF|：|BF|的值为( )A. 1：4B. 1：2C. 2：5D. 3：86. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AA1的中点，E是BB1上一点，则PE+EC 的最小值为( )A. 2B.C.D.7. 与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是( )A. 8B. 4C. 2D. 18. 已知椭圆上三点A、B、C的横坐标x1，x2，x3成等差数列，F 为椭圆的左焦点，则|AF|、|BF|、|CF|()A. 成等差数列B. 成等比数列C. 的倒数成等差数列D. 的倒数成等比数列9. 过点(2,2)引椭圆x2+4y2=4的切线，则切线方程为( )A. 3x-8y+10=0B. 5x+8y-2=0C. 3x-8y+10=0或x-2=0D. 5x+8y-2=0或3x+10=010. 抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k不为0)交于A，B两点，且此两点的横坐标为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有()A. x3=x1+x2B. x1x2=x1x3+x2x3C. x1+x2+x3=0D. x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空题：11. 以为渐近线的双曲线的离心率为_______12. 抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x-2y-4=0上，则此抛物线方程为_______13. 已知双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率，且双曲线过点，则双曲线E的方程为______14. 已知等轴双曲线上有一点P到中心距离为2，则点P到两个焦点距离之积是_____三、解答题：15. 已知抛物线y2=2px(p>0)有一内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，一直角边所在直线方程为y=2x，斜边长为(如图)求抛物线方程。

北京第四职业中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列区间中，一定存在函数的零点的是（）A. B. C. D.参考答案：B略2. 已知向量a，若向量与垂直，则的值为 ( ）A． B．7 C．D．参考答案：A3. 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交A、B于两点，若，这样的直线有（）A.一条B.两条C. 三条D. 四条参考答案：C略4. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：B【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．【解答】解：由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班学生的平均分是85，总分又等于85×7=595．所以x=5乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3．∴x+y=8．故选B．5. 不等式|2x﹣3|＜5的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣∞，4）D．（﹣1，+∞）参考答案：A【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值不等式的解法可知，|2x﹣3|＜5?﹣5＜2x﹣3＜5，从而可得答案．【解答】解：∵|2x﹣3|＜5，∴﹣5＜2x﹣3＜5，解得：﹣1＜x＜4，故选；A．6. 函数的单调减区间是（）A. （0，1）B. （1，+∞）C. （-∞，1）D. （-1，1）参考答案：A.令，解得，故减区间为：(0,1).故选A.7. 若向量,且与共线,则实数的值为( )A．0 B．1 C．2D．参考答案：D8. 在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（）A．16个 B．18个 C．19个 D．21个参考答案：C9. 已知命题p：?a∈R，且a＞0，a+≥2，命题q：?x0∈R，sin x0+cos x0=，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】本题的关键是对命题p：?a∈R，且a＞0，有，命题q：?x∈R，的真假进行判定，在利用复合命题的真假判定【解答】解：对于命题p：?a∈R，且a＞0，有，利用均值不等式，显然p为真，故A错命题q：?x∈R，，而?所以q是假命题，故B错∴利用复合命题的真假判定，p∧（￢q）是真命题，故C正确（￢p）∧q是假命题，故D错误故选：C【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断10. “”是“”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设复数z满足；参考答案：略12. 若复数()，则_________。

2010-2023历年北京市西城区0910高二下学期期末数学试题（理科）第1卷一.参考题库(共25题)1.（本小题满分12分）一个口袋巾装有标号为1，2，3的6个小球，其中标号1的小球有1个，标号2的小球有2个，标号3的小球有3个，现从口袋中随机摸出2个小球．（I）求摸出2个小球标号之和为3的概率；（II）求摸出2个小球标号之和为偶数的概率；（III）用表示摸出2个小球的标号之和，写出的分布列，并求的数学期望．2.（本小题满分10分）已知函数．（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，求函数的单调区间．3.（本小题满分10分）已知数列的通项公式为，为其前项的和．计算，，的值，根据计算结果，推测出计算的公式，并用数学归纳法加以证明．4.已知复数，其中为虚数单位，那么= ．5.正方形的顶点和各边中点共8个点，以其中3个点为顶点的等腰三角形共有个（用数字作答）．6.将一枚均匀硬币随机掷20次，则恰好出现10次正面向上的概率为（）A．B．C．D．7.．将件不同的产品排成一排，若其中，两件产品排在一起的不同排法有48种，则= ．8.设甲、乙两套方案在一次试验中通过的概率均为0.3，且两套方案在试验过程中相互之间没有影响，则两套方案在一次试验中至少有一套通过的概率为．9.当时，曲线与轴所围成图形的面积是．10.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果运动员甲罚球命中的概率是0.8，记运动员甲罚球1次的得分为，则等于（）A．0.2B．0.4C．0.8D．111.已知函数有三个相异的零点，则实数的取值范围是．12.函数的最大值为．13.（本小题满分10分）已知函数，在和处取得极值．（I）若，且，求的最大值；（II）设，若，且，证明：．14.从1，2，3，…，l0这10个数中随机取出4个数，则这4个数的和为奇数的概率是( )A．B．C．D．15.的展开式的二项式系数之和为．16.（本小题满分12分）甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在8，9，10环，且每次射击击中与否互不影响．甲、乙射击命中环数的概率如下表：8环9环10环甲0.20.450.35乙0.250.40.35（I）若甲、乙两运动员各射击1次，求甲运动员击中8环且乙运动员击中9环的概率；（II）若甲、乙两运动员各自射击2次，求这4次射击中恰有3次击中9环以上（含9环）的概率．17.已知随机变量的分布列如下：123则= ；的值是．18.已知函数，关于给出下列四个命题；①当时，；②当时，单调递增；③函数的图象不经过第四象限；④方程有且只有三个实数解．其中全部真命题的序号是．19.已知，则= ．20.的展开式中的系数是（）A．—80B．80C．—5D．521.满足条件的正整数的个数是（）A．10B．9C．4D．322.甲、乙两人相互独立地解同一道数学题．已知甲做对此题的概率是0.8，乙做对此题的概率是0.7，那么甲、乙两人中恰有一人做对此题的概率是（）A．0.56B．0.38C．0.24D．0.1423.某人的一张银行卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，他在银行的自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（I）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率．（II）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．24.用数字0，1，2，3组成无重复数字的三位数的个数是（）A．24B．18C．15D．1225.从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为（）A．34B．31C．28D．25第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：2/15,14/32.参考答案：6x-2y-3=03.参考答案：4.参考答案：15.参考答案：206.参考答案：D7.参考答案：58.参考答案：0.519.参考答案：210.参考答案：C11.参考答案：12.参考答案：13.参考答案：14.参考答案：C15.参考答案：6416.参考答案：0.08,21/5017.参考答案：1/5,118.参考答案：①②③④19.参考答案：6520.参考答案：A21.参考答案：C22.参考答案：B23.参考答案：1/5,2/524.参考答案：B25.参考答案：A。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.抛物线的准线方程是 ( )A．B．C．D．2.若直线与直线平行，则实数( )A．B．C．D．3.在四面体中，点为棱的中点. 设, ，，那么向量用基底可表示为（）A．B．C．D．4.已知直线，平面.则“”是“直线，”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知命题椭圆的离心率，命题与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么（）A．是真命题B．是真命题C．是真命题D．是假命题7.若焦距为的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为（）A．B．C．D．8.如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．则下列命题中假命题是（）A．存在点，使得//平面B．存在点，使得平面C．对于任意的点，平面平面D．对于任意的点，四棱锥的体积均不变二、填空题1.在空间直角坐标系中，已知，.若，则 .2.过点且与圆相切的直线方程是 .3.已知抛物线：，为坐标原点，为的焦点，是上一点. 若是等腰三角形，则.4.已知点是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .5.如图所示，已知点是正方体的棱上的一个动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值是 .6.曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线过坐标原点；②曲线关于轴对称；③曲线与轴有个交点；④若点在曲线上，则的最小值为.其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题1.在平面直角坐标系中，已知点，动点在轴上的正射影为点，且满足直线.（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）当时，求直线的方程.2.已知椭圆：，直线交椭圆于两点.（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及长轴长；（Ⅱ）求以线段为直径的圆的方程.3.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．4.已知椭圆：经过如下五个点中的三个点：，，，，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点为椭圆的左顶点，为椭圆上不同于点的两点，若原点在的外部，且为直角三角形，求面积的最大值.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.抛物线的准线方程是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由抛物线方程可知，，焦点在轴正半轴，所以其准线方程为。

北京四中2009-2010第二学期高二数学期末试卷分析（文科）试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（I）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．的值为（）A．B．C． D．2．已知集合，集合，则（）A．B． C．D．3．若，则下列不等式成立的是（）A． B． C．D．4．函数的定义域是（）A．B．C．D．5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．6．命题“存在R，0”的否定是（）A．不存在R, >0 B．存在R, 0C．对任意的R, 0 D．对任意的R, >07．函数的值域是（）A．B． C． D．8．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件9．函数的图像与函数的图像关于原点对称，则有（）A．B．C． D．10．函数的定义域为R，对任意实数满足，且有，当时，，则的单调减区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．不等式的解集是__________。

12．函数为奇函数，对任意，均有，若，则______。

13．方程的实数解的个数为__________。

14．给出下列四个命题：（1）函数与函数的定义域相同；（2）函数与的值域相同；（3）函数与都是奇函数；（4）函数与在区间上都是增函数，其中正确命题的序号是__________（把你认为正确的命题序号都填上）。

三．解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．(本题满分10分)解关于的不等式：。

16．(本题满分10分)已知：函数在上有最小值8，求：正数a的值。

17．(本小题满分10分)已知：定义在上的函数满足：对任意都有。

（1）求证：函数是奇函数；（2）如果当时，有，求证：在上是单调递减函数。

卷(II)1．过曲线上一点，倾斜角为的切线方程为（）A．B．C．D．2．已知全集中有m个元素，中有n个元素。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.i是虚数单位，若复数z满足3＋4i，则z等于（）A．4＋3i B．4－3i C．－3＋4i D．－3－4i2.在的展开式中，只有第4项的系数最大，则n等于（）A．4B．5C．6D．73.若，则n的值为（）A．7B．6C．5D．44.已知，则＝（）A．0B．1C．－1D．－25.计算定积分＝（）A．B．C．D．6.在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A．0.35B．0.65C．0.85D．7.从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（）A．30个B．27个C．36个D．60个8.函数在上的极小值点为（）A．0B．C．D．9.甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是（）A．30B．24C．12D．610.已知函数，给出下列结论：①是的单调递减区间；②当时，直线与的图象有两个不同交点；③函数的图象与的图象没有公共点.其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①③C．①②D．②③二、填空题1.函数的图象在点处切线的斜率是___________.2.设，则＝____________；_____________.3.在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是_____（用数字作答）.4.设函数有极值，则实数a的取值范围是_________.5.某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次.抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则某人抽奖2次恰中20元的概率为___________；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是_________元.6.设函数图象上在不同两点处的切线斜率分别是，，规定（为A与B之间的距离）叫作曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则＝________；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是____________.三、解答题1.（本小题满分13分）已知数列中，.（Ⅰ）计算的值；}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.（Ⅱ）根据计算结果猜想{an2.（本小题满分13分）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为.该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：（Ⅰ）该同学得4分的概率；（Ⅱ）该同学得分少于5分的概率.3.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若，求在上的最小值；（Ⅱ）若在区间上的最大值大于零，求a的取值范围.4.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；（Ⅱ）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望.5.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间上的最小值为0，求a的值；（Ⅲ）若对于任意恒成立，求a的取值范围.6.（本小题满分14分）已知函数，，令.（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若，且正实数满足，求证：.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.i是虚数单位，若复数z满足3＋4i，则z等于（）A．4＋3i B．4－3i C．－3＋4i D．－3－4i【答案】B【解析】因为，,所以，,故选B.【考点】复数的运算.2.在的展开式中，只有第4项的系数最大，则n等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】因为的展开式中，只有第4项的系数最大，所以展开式共有7项，所以.故选C.【考点】二项式定理及二项式系数的性质.3.若，则n的值为（）A．7B．6C．5D．4【答案】D【解析】因为，,所以，,解得：,故选D.【考点】排列数公式与组合数公式.4.已知，则＝（）A．0B．1C．－1D．－2【答案】C【解析】因为,所以，,所以，故选C.【考点】求导公式的应用.5.计算定积分＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以答案选B.【考点】定积分的运算.6.在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A．0.35B．0.65C．0.85D．【答案】C【解析】线路能够了正常工作的概率=,故选C.【考点】独立事件，事件的关系与概率.7.从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（）A．30个B．27个C．36个D．60个【答案】A【解析】符合条件的三位数中，百位数字为偶数的有个，百位数字为奇数的有个，共有30个，故选A.【考点】1、分类加法计数原理；2、排列.8.函数在上的极小值点为（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】因为所以，令，则或由得：；由得：或所以函数在区间上为减函数，在区间和区间上均为增函数，所以函数的极小值点为.故选C.【考点】1、导数在研究函数性质中的应用.9.甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是（）A．30B．24C．12D．6【答案】B【解析】确定选法种数可分如下三步：第一步：确定相同的品牌，有4种不同的方法；第二步：甲再从剩下的三个品牌中选一个，有3种不同的方法；第三步：乙最后从剩下的两个品牌中再选一个，有2种不同的方法；由分步乘法计数原理知，共有种不同的方法.故选B.【考点】分步乘法计数原理.10.已知函数，给出下列结论：①是的单调递减区间；②当时，直线与的图象有两个不同交点；③函数的图象与的图象没有公共点.其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①③C．①②D．②③【答案】B【解析】因为，所以，令，则所以，当时，；当时，所以，函数在区间为增函数，在上为减函数，所以，当时，函数取得最大值，且当时，所以只有①③正确，故选B.【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、数形结合的思想.二、填空题1.函数的图象在点处切线的斜率是___________.【答案】3【解析】因为，所以，所以，，即函数在点处的切线的斜率是3.所以答案应填：3.【考点】导数的几何意义.2.设，则＝____________；_____________.【答案】1,-1【解析】在中令得：在中令得：所以答案应填：1，-1.【考点】二项式定理.3.在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是_____（用数字作答）.【答案】34【解析】从7人任选4人参加一项活动，一共有种选法，其中没有男生的选法有所以，其中至少有1名男生的选法种数是34种.【考点】1、组合；2、事件及其关系.4.设函数有极值，则实数a的取值范围是_________.【答案】【解析】因为，所以，由函数有极值知其导数有两个零点，所以，所以，答案应填：【考点】导数与函数的极值.5.某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次.抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则某人抽奖2次恰中20元的概率为___________；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是_________元.【答案】；16【解析】根据题意，每次抽奖，中奖的概率都是，而且相互独立；所以某人抽奖2次恰中20元的概率为：若某人消费200元，有四次抽奖机会，设其所中奖次数服从，则设其所得奖金为元，则，所以所以答案应填：.【考点】1、古典概型；2、独立事件同时发生的概率；3、二项分布；4、离散型随机变量的数学期望.6.设函数图象上在不同两点处的切线斜率分别是，，规定（为A与B之间的距离）叫作曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则＝________；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是____________.【答案】【解析】因为，所以，，所以，所以，,从而有：由，得：，所以，所以，,即又因为恒成立，所以，.所以答案应填：【考点】1、新定义；2、导数的几何意义.三、解答题1.（本小题满分13分）已知数列中，.（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）根据计算结果猜想{a}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.n【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）根据递推公式依次计算可得的值；（Ⅱ）首先由数列的前四项归纳出其通项公式，然后按数学归纳法的步骤证明结论正确即可.试题解析：解：（Ⅰ）由可得. 5分（Ⅱ）由猜想：. 7分以下用数学归纳法证明：（1）当时，左边，右边，符合结论； 8分（2）假设时结论成立，即， 9分那么，当n＝k＋1时，.11分所以，当n＝k＋1时猜想也成立；12分根据（1）和（2），可知猜想对于任意n∈N*都成立.13分【考点】1、数列的递推公式与通项公式；2、合情推理；3、数学归纳法.2.（本小题满分13分）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为.该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：（Ⅰ）该同学得4分的概率；（Ⅱ）该同学得分少于5分的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设该同学“在A处击中目标”为事件A，“在B处击中目标”为事件B，“在C处击中目标”为事件C，因为事件A，B，C相互独立，事件“该同学得4分”可表示为：，从而求得概率值.（Ⅱ）首先依次求出该同学得0分、2分，3分、4分，并把所求事件表示成如下、、、互斥事件的和事件，从而求得该同学得分少于5分的概率.试题解析：解：（Ⅰ）设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立.依题意.3分则该同学得4分的概率为5分.答：该同学得4分的概率为. 6分（Ⅱ）该同学得0分的概率为；8分得2分的概率为； 10分得3分的概率为； 11分得4分的概率为；则该同学得分少于5分的概率为.答：该同学得分少于5分的概率为. 13分【考点】1、独立事件；2、互斥事件与对立事件.3.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若，求在上的最小值；（Ⅱ）若在区间上的最大值大于零，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由，先求函数的导数，利用导数的符号研究函数在区间上的单调性与极值，从而求出函数在上的最小值；（Ⅱ）因为函数的导数为，它在区间的符号与的取值有关，因此要对的取值分类讨论，以确定在相应情况下函数在区间上的单调性与最大值并进一步求出的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）时，，则.2分令，得. 4分列表：－f（x）在区间（－1，所以，当时，最小值为. 7分（Ⅱ）由已知. 8分当时，，函数为减函数，在区间上的最大值为＝－4，不符合题意. 9分当时，函数在区间上为减函数，最大值为，不符合题意.10分当时，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.所以，在区间上的最大值为， 11分依题意，令，解得，符合题意. 12分综上，a的取值范围是. 13分【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.4.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；（Ⅱ）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，一共有种不同的结果，由于是随机取的，每个结果出现的可能性是相等的，故可用古典概型概率计算公式求解；（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，由已知X＝3，4，5，其中表示取出的三个零件中有一个是没有用过的，两个用过的；表示取出的三个零件中有两个是没有用过的，一个用过的；表示取出的三个零件都是没有用过的；再根据古典概型求出相应的概率值，从而得到X的分布列和期望.试题解析：解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取一个零件，抽到的是使用过零件”为事件A.1分则. 3分所以三次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率.5分（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，由已知X＝3，4，5. 7分；；. 10分随机变量X的分布列为：11分. 13分【考点】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.5.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间上的最小值为0，求a的值；（Ⅲ）若对于任意恒成立，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；(III) .【解析】（Ⅰ）因为，可先求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线在点（0，1）处的切线的斜率进而求出此切线的方程；（Ⅱ）先求出函数的导数，再根据的取值对函数值及其导数符号的影响，讨论函数在区间上的最小值并求出的取值.（III）构建新函数，从而将不等式恒成立的问题转化为函数的最小值问题，再利用导数解决.试题解析：解：（Ⅰ）时，， 2分所求切线的斜率为. 3分所以，曲线在点处的切线方程为.4分（Ⅱ）当时，函数，不符合题意.5分当时，，令，得， 6分所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 7分①当，即时，最小值为.解，得，符合题意. 8分②当，即时，最小值为.解，得，不符合题意. 9分综上，.（Ⅲ）构建新函数.10分①当，即时，因为，所以.（且时，仅当时，.）所以在R上单调递增.又，所以，当时，对于任意都有. 12分②当时，解，即，得，其中.所以，且，.所以在上单调递减.又，所以存在，使，不符合题意.综上，a的取值范围为. 14分【考点】1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想.6.（本小题满分14分）已知函数，，令.（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若，且正实数满足，求证：.【答案】（Ⅰ）（0，1）;（Ⅱ）整数m的最小值为2; (III)详见解析.【解析】（Ⅰ）先求函数的定义域，再利用导数的符号确定函数的单调递增区间；（Ⅱ）令，则关于x的不等式恒成立就等价于恒成立，从而转化为函数的最值问题;(III) 时，由，得，即，（*）构造函数求出的最小值，从而将（*）化为关于的一元二次不等式，解得的取值范围即可.试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为， 2分由，得，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）. 4分（Ⅱ）.令，则不等式恒成立，即恒成立.. 5分①当时，因为，所以所以在上是单调递增函数，又因为，所以关于x的不等式不能恒成立. 6分②当时，.令，因为，得，所以当时，；当时，.因此函数在是增函数，在是减函数.7分故函数的最大值为.8分令，因为在上是减函数，又因为，，所以当时，.所以整数m的最小值为2. 10分（Ⅲ）时，由，得，即，整理得， 11分令，则由得，， 12分可知在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以， 13分所以，解得，因为为正整数，所以成立. 14分【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化的思想；3、构造函数证明不等式.。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列四个命题中的真命题为（）．A．B．C．D．2.双曲线的渐近线方程是（）.A．B．C．D．3.已知命题，，那么下列结论正确的是（）.A．命题B．命题C．命题D．命题4.抛物线的焦点坐标是（）.A．B．C．D．5.椭圆的离心率等于（）．A．B．C．D．6.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则满足的条件是（）.A．且B．且C．且D．且7.7.是函数的导函数，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（）.A．B．C．D．8.命题“”的否命题为（）.A．B．C．D．9.如果质点按规律（距离单位：，时间单位：）运动，则质点在时的瞬时速度为（）. A．B．C．D．10.已知双曲线的一个焦点坐标是，则等于（）.A．B．C．D．11.设，则等于（）.A．B．C．D．12.设，则命题是命题的（）.A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件13.13. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）．A．B．C．D．14.设直线与椭圆相交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（）.A．B．C．D．二、填空题1.命题若，则”的逆命题是____________________．2.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________．3.若，则___________．4.设曲线在点( 1，)处的切线与直线平行，则的值是 .三、解答题1.用边长的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转再焊接而成．问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？2.已知三点，，．（1）求以，为焦点，且过点的椭圆方程；（2）设点，，关于直线的对称点分别为，，，求以，为焦点，且过点的双曲线方程.3.已知函数在和处取得极值．（1）求和的值；（2）求的单调区间4.已知p：x2-4x+3<0，q：x2-(m+1)x+m<0，(m>1).（1）求不等式x2-4x+3<0的解集；（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.下列四个命题中的真命题为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】略2.双曲线的渐近线方程是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】略3.已知命题，，那么下列结论正确的是（）.A．命题B．命题C．命题D．命题【答案】B【解析】略4.抛物线的焦点坐标是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】略5.椭圆的离心率等于（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】由方程，，，可知，所以离心率.6.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则满足的条件是（）.A．且B．且C．且D．且【答案】C【解析】略7.7.是函数的导函数，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】略8.命题“”的否命题为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查否命题.词语“”的否定是“”，则命题条件“”的否定是“”，结论“”的否定为“”，所以命题“”的否命题为，A，C，D均不正确；正确答案为B9.如果质点按规律（距离单位：，时间单位：）运动，则质点在时的瞬时速度为（）. A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】导数的几何意义．分析：根据题意，对S=t2-t进行求导，然后令t=3代入即可得到答案．解：∵S=t2-t，∴s’=2t-1当t=3时，v=s’=5故选A．10.已知双曲线的一个焦点坐标是，则等于（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】【考点】双曲线的简单性质．分析：由双曲线的标准方程可求得a，b，由a、b、c 的关系表示出 c，由已知焦点坐标可求得c．解：由双曲线的一个焦点坐标为（5，0），得a=3，c=5，∴b===4，故选D11.设，则等于（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查正弦函数的导数因为，所以，故正确答案为B12.设，则命题是命题的（）.A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】略13.13. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】略14.设直线与椭圆相交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】直线与圆锥曲线的关系．分析：将直线方程与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2=12．分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，说明A，B的横坐标是±1，即方程（3+4k2）x2=12的两个根为±1，代入求出k的值．解：将直线与椭圆方程联立，，化简整理得（3+4k2）x2=12（*）因为分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1．代入方程（*），得k=故选A．二、填空题1.命题若，则”的逆命题是____________________．【答案】若，则【解析】此题考查命题的转换思路分析：根据逆命题是将原命题结论写成条件，条件写成结论可得解：逆命题是将原命题结论写成条件，条件写成结论，所以“，则”的逆命题是“若，则”.答案：若，则.2.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________．【答案】8【解析】略3.若，则___________．【答案】【解析】略4.设曲线在点( 1，)处的切线与直线平行，则的值是 .【答案】1【解析】略三、解答题1.用边长的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转再焊接而成．问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？【答案】解：设水箱底长为，则高为．由得．设容器的容积为，则有．………… 2分求导数，有．……………………………………………… 4分令，解得（舍去）．当时，；当时，，………………… 6分因此，是函数的极大值点，也是最大值点．所以，当水箱底边长取时，才能使水箱的容积最大．………………… 8分【解析】略2.已知三点，，．（1）求以，为焦点，且过点的椭圆方程；（2）设点，，关于直线的对称点分别为，，，求以，为焦点，且过点的双曲线方程.【答案】解：（1），，由椭圆定义，得，，………………………… 3分所以，．所以，椭圆的方程为．…………………………………………… 5分（2）点，，关于直线的对称点分别为，，，由双曲线定义，得，，…………………… 8分所以，．所以，双曲线的方程为．……………………………………… 10分【解析】略3.已知函数在和处取得极值．（1）求和的值；（2）求的单调区间【答案】解：（1）因为，……………………………………… 2分由已知得：．，解得．………………… 5分（2）由（1）知===. ………………………………………7分当时，；当时，. ……………………………………9分因此的单调增区间是，的单调减区间是．……………………………………10分【解析】略4.已知p：x2-4x+3<0，q：x2-(m+1)x+m<0，(m>1).（1）求不等式x2-4x+3<0的解集；（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.【答案】解：（1）因为，所以.所求解集为. ……………………………………………………… 3分（2）当m >1时，x2-(m+1)x+m<0的解是1<x<m，………………………………………………… 5分因为p是q的充分不必要条件，所以x2-4x+3<0的解集是x2-(m+1)x+m<0，(m>1) 解集的真子集.所以. ……………………………………………………………………… 7分当m <1时，x2-(m+1)x+m<0的解是m <x<1，因为p是q的充分不必要条件，所以x2-4x+3<0的解集是x2-(m+1)x+m<0，(m<1) 解集的真子集.因为当m <1时∩=Ø，所以m <1时p是q的充分不必要条件不成立.综上，m的取值范围是(3，+∞).…………………………………………………10分【解析】略。

北京市北京四中2010届高三期末考试（数学理）一、选择题1．集合，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．2．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（）A．（1.25,1.5） B．（1,1.25）C．（1.5,2） D．不能确定3．已知，则下列不等式成立的是（）A． B．C．D．4．已知两条直线：，：，则是∥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，棱长为1的正方体中，E、G分别为棱C1D1、BB1的中点，点F是正方形AA1D1D的中心,则空间四边形BGEF在正方体的六个面内的射影所构成的图形的面积中的最大值为( )A．B．C．D．16．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且，则（）A．4 B．2 C．-4 D．-27．当参数变化时，动点所确定的曲线必经过点（）A．(2,3) B．(2,0) C．(1,3) D．(0,)8．已知定义域为的函数满足，当时，单调递增，若且，则的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．可能等于0 D．可正可负二、填空题9．复数为虚数单位）的虚部是___________.10．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.11．若对于任意的实数，有，则=___________.12．在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，在矩形内任取一点P，∠APB＞900的概率是_______.13．如图,为的直径,弦、交于点,若,则=________.14．已知函数,R满足，且在R上的导数满足，则不等式的解为___________.三、解答题15．（本小题满分12分）已知向量,,.（1）若,求；（2）求的最大值.16．（本小题满分13分）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。

（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小.17.（本小题满分13分）某建筑的金属支架如下图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？18.（本题满分14分）已知是椭圆的左右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足(O为坐标原点)，,若椭圆的离心率为（1）求直线AB的方程；（2）若△ABF2的面积为4，求椭圆的方程；（3）证明：在（2）的条件下，椭圆上不存在点M，使△MAB的面积为8.19．（本小题满分14分）已知：函数（1）求：的单调区间；（2）若关于的方程在上恰有两个不等的实数根，求实数的取值范围.20．（本小题满分14分）设数列是首项为4，公差为1的等差数列，为数列的前项和，且．（1）求及的通项公式和；（2）若问是否存在使成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数，不等式恒成立，求正数的取值范围．参考答案一、选择题1.D2.A3.C4.B5.B6.C7.B8.B二、填空题9.1 10.127 11.6 12. 13. 14.三、解答题15．（本小题满分12分）（1）因为,所以得又,所以=（2）因为=所以当=时, 的最大值为5＋4=9故的最大值为3 .16.（本小题满分13分）解法一：（1）连BD，设AC交BD于O，由题意。

北京五中2009-2010年第二学期高二数学期末考试试卷一. 选择题(每题5分,共50分.请把答案填在第4页表中)1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214,则( ). N M A =)( N M B ⊆)( N M C ⊇)( ∅=N M D )(2．已知b a >，R x ∈，则下列各式正确的是（ ）)(A x b x a lg lg >（0>x ） )(B 22bx ax > )(C 22b a > )(D x x b a 22⋅>⋅3．已知4≠+y x p ：，1≠x q ：或3≠y ，则p 是q 的( ))(A 充分而不必要条件 )(B 必要而不充分条件)(C 充要条件 )(D 既不充分也不必要条件4．若函数)(x f y =的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21，则函数)(1)()(x f x f x F +=的值域为（ ） )(A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21 )(B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,2 )(C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,25 )(D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 5．极坐标方程sin 2cos ρθθ=+表示的曲线为（ ）、)(A 直线 )(B 圆 )(C 椭圆 )(D 双曲线6．已知双曲线2=xy 上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为定值，则这个定值为（ ）)(A 2 )(B 4 )(C 8 )(D 167．直线112()3332x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐 标为（ ）)(A (3,3)- )(B (3,3)- )(C (3,3)- )(D (3,3)-8．设随机变量ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若(01)0.4P ξ<<=，则(2)P ξ>等于( ))(A 0.8 )(B 0.5 )(C 0.2 )(D 0.19．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ,2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件.再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.给出下列结论：①P （B ）=25； ②P （B|1A ）=511； ③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ,2A ,3A 是两两互斥的事件；⑤P （B ）的值不能确定，因为它与1A ,2A ,3A 中究竟哪一个发生有关；其中正确的有（ ）)(A ②④ )(B ①③ )(C ②④⑤ )(D ②③④⑤10．3位男生和3位女生共6位同学排成一排，若男生甲不站两端，且3位女生中有且仅有两位女生相邻，则不同的排法共有（ ）种)(A 360 )(B 288 )(C 216 )(D 144二．填空题（每题5分，共60分）11．“若022=+y x ，则y x ,都是0”的否命题为12．计算536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+的值为 13．不等式()()02sin 113>---x x 的解集为14．设0≠t ，点)0,(t P 是函数at x x f +=3)(与c bx x g +=2)(图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线，则用t 表示c 为15．随机变量ξ的分布列如下： 其中a bc ，，成等差数列， ξ1- 0 1 P a b c若13E ξ=，则D ξ的值为 ． 16．今有2个红球、3个黄球和4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一排共有 种不同的方法17．方程0233=+-ax x 有3个不等实根，则a 的取值范围为18.某次竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续．．回答出两个问题，即 停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于19．用长90cm ，宽48cm 的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90º角，再焊接而成，则截去的小正方形边长为 时，长方体体积最大20．6本不同的书分给4个人，每人至少一本的概率为21．若a 、b 、0>c ，且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为班级 姓名 学号 成绩22.一个圆环直径为22m ，通过金属链条BC 、1CA 、 2CA 、3CA （1A 、2A 、3A 是圆上三等分点）悬挂在B 处，圆环呈水平状态，并距天花板2m （如图所示），为使金属链条总长最小，BC 的长应为三．解答题（共40分）23.解关于x 的不等式:12>-x ax24.某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响. (Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率(Ⅲ)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列25.设函数)1ln()(2++=x b x x f ,其中0≠b(1) 求)(x f 的单调增区间(2) 对任意的正整数n ,证明:2222ln e e e e e e n n -≤+答案一． 选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案B D A B B B D D AB二．填空题11．若022≠+y x ，则y x ,不都是012．-1 13.)32,0( 14.323t c -= 15.95 16.1260 17. 1>a 18.0.128 19.10cm 20.512195 21.)13(2- 22.1.5m三． 解答题24.(1)24340 (2)818 (3) ξ0 1 2 3 6 P 271 92 274 278 278 25. 解：（1）当0<b 时，增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-+-,2211b 当210<<b 时，增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-+-,2211b 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2211,1b 当21≥b 时，增区间为()+∞-,1（2）由（1）得1-=b 时，)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞++-,231增 欲证2222ln ee e e e e n n -≤+，只需证1)21ln(221-≤+--n n e e 只需证12ln )1ln()1(21-≤-+--n n e e令)1ln()(2x x x g +-=()1≥x因为)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞++-,231增，又1231<+-， 所以2ln 1)1()(-=≥g x g所以当1≥x 时，2ln 1)1ln(2-≥+-x x故12ln )1ln()1(21-≤-+--n n e e 成立。

北京四中2009~2010学年度第一学期期末测试高二年级数学测试卷(理)（试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分共计150分）考试时间：120分钟卷（I）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．椭圆的焦距等于（）A． B．C． D．2．“”是“直线平行于直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．若双曲线的焦点为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C．D．4．圆与直线相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．B．C．D．5．空间中，若向量、、共面，则（）A． B．C．D．6．棱长为的正方体中，顶点到平面间的距离（）A．B．C．D．7．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，该椭圆的离心率等于（）A．B．C． D．8．矩形中，，，，，那么二面角的大小为（）A．B．C．D．9．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．10．直三棱柱中，，，则与平面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．二面角的大小为，为异面直线，若，则所成的角为_____．12．若经过点的双曲线C与椭圆有相同的焦点，则双曲线C的方程为______．13．抛物线上的点到直线距离的最小值是__________．14．正方体中，给出下列四个命题：①；②；③和的夹角为；④正方体的体积为。

其中错误命题的序号为____________．三．解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分15．已知：直线：与抛物线交于两点，求：的面积（为坐标原点）．16．已知：正方体中，棱长，、分别为、的中点，、是、的中点，（1）求证：//平面；（2）求：二面角的大小．17．已知：双曲线的左、右焦点分别为、，动点满足。

（1）求：动点的轨迹的方程；（2）若是曲线上的一个动点，求：的最大值和最小值．卷（Ⅱ）一．选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1．直线m、n和平面、.下列四个命题中，①若m∥，n∥，则m∥n；②若m，n，m∥，n∥，则∥；③若，m，则m；④若，m，m，则m∥，其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．3．三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A． B．C．D．二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4．以椭圆的中心为顶点，上焦点为焦点的抛物线方程是___________．5．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是___________．6．正三角形中，若点、分别为、的中点，则以、为焦点，且过点、的双曲线的离心率为__________．三．解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分7．已知：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC 1//平面CDB1。

⋯
⋯
t( ,0)0(0, a) a (a, )
g'(t)＋0－0＋
因此k
f x
x 1
对随意x 1恒建立，即
k
x xln x
x 1
对随意x 1恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
⋯
○
⋯
g(t)↗极大值
a b
↘极小值
b f (a)
↗
令
g x
x x ln x
x 1
，
⋯
⋯
⋯
由g(t )的单一性，当极大值a b 0或极小值b f (a) 0时，方程g(t) 0最多有一个实数根；
⋯
⋯
⋯
⋯
要
⋯
⋯
⋯
⋯
答
⋯
⋯
⋯
⋯
题
⋯
⋯
⋯
⋯
○
⋯
⋯
⋯
高二数学试题〔理〕第3页，共10页高二数学试题〔理〕第4页，共10页
⋯
⋯
⋯
⋯
参照答案(理)
f ( 1) 0 1 a a a a a a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
0 1 2 3 4 5
⋯
○
⋯
一、选择题：CCAAD ACBAD CB
二、填空题：
因此
1
a a a [ f (1) f ( 1)] 30，即奇数次幂项的系数之和为30⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
1)
(3n
1
2][
1
2)( 3n
3(k
1)
1)
1]
〔此中n N *〕建立。
封
⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
10 25 500 500
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2

（理）北京四中2009-2010学年度第一学期高二理科数学期末试题试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟12．“3．空间中，若向量(5,9,)a m =、(1,1,2)b =- B ．5 122 334．圆 )5．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为12(5,0),(5,0)F F -，离心率为53，则双曲线的渐进线方程为（ ）A ．340x y ±=B ．430x y ±=C ．450x y ±=D ．540x y ±=6．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 到平面11AC D 间的距离（ ）A ．63B ．332 C ．33 D ．23 7．直线220x y +-=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，该椭圆的离心率等于（ ）8为（ 75910．1，则11．。

12．。

13．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是__________。

14．正方体1111ABCD A B C D -中，给出下列四个命题： ①221111111()3()A A A D A B A B ++=； ②1111()0A C A B A A -=；③1A B 和1AD 的夹角为60；④正方体的体积为1|()|AB AA AD ⋅。

其中所有错误命题的序号为____________。

三．解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．已知：抛物线24C y x =：，直线l ：1y x =-与抛物线C 交于A B ，两个点， 求：OAB ∆的面积（O 为坐标原点）。

16（1（217（1（21（1（3）若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β； （4）若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α， 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为1F 、2F，若直线(2a x c c==上存在点P 使线段1PF 的中垂线经过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎦ B．⎫⎪⎪⎣⎭ C．,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D．⎛ ⎝⎦3．底面4567．1B C （1（28（理）北京四中2009-2010学年度第一学期高二理科数学期末试题参考答案 卷（I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．D2．A3．C4．A5． B 6．C 7． D 8． B 9． C 10． A11．152y y ⎧⎨=⎩∵O d 16 ∵CC ∴（2∵ D ∵∴方法二：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴ AC ⊥BC ， 即：AC 、BC 、CC 1两两垂直，则以CA 、CB 、CC 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则(3,0,0)A 、(0,4,0)B 、(0,0,0)C 、1(3,0,)A z 、1(0,4,)B z 、1(0,0,)C z 、3(,2,0)2D （1）(3,0,0)AC =-，1(0,4,)BC z =-，∵10AC BC ⋅=，∴1AC BC ⊥。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2.设a、b为简单命题，则“a且b为假”是“a或b为假”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.下列函数中，在区间（0，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=（1﹣x）4.函数的定义域为（）A．B．C．D．5.复数的值是（）（A）-１（Ｂ）１（C）-（D）6.用数学归纳法证明：时，在证明从n=k到n=k+1时，左边增加的项数为（）A．+1B．C．-1D．7.设＜b,函数的图像可能是（）8.已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0,]B．C．D．9.若上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．10.已知函数在x=2处连续，则常数的值是（）A．２B．３C．４D．５11.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12.已知R上的奇函数满足：，f（-2）=1，则的值为（）A．2B．C．D．-2二、填空题1.=_______。

2.已知函数，则满足不等式的x的范围是____________。

3.已知，则g(x)＝f()的最大值为________。

4.给出下列三个命题：①若函数，则函数f（x）的极值点个数为1个。

②若。

③若是定义在R上的函数，则是函数在处取得极值的必要不充分条件。

其中真命题是_________（把正确命题的序号都填上）。

三、解答题1.（本小题满分10 分）解关于x的不等式：（）。

2.（本小题满分12分）已知p：≤2， q:＞0)若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

3.（本小题满分12分）设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，对于任意的当时，都有（1）若函数g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c2)的定义域的交集是空集，求c的取值范围；（2）判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性，并用定义证明。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在复平面内，复数z =对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.在（x+2）4的展开式中，x2的系数为A．24B．12C．6D．43.已知函数f（x）=ln2x，则=A．B．C．D．4.将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为A．B．C．D．5.嘿哥有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有A．8种B．15种C．种D．种6.设a，b，c是正整数，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c 的值为A．252或253B．253或254C．254或255D．267或2687.高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量的观测值为A．0.600B．0.828C．2.712D．6.0048.A．-6B．-1C．0D．19.已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0,1），（1,2），（2,4），（3,5），其回归方程为，则的值是A．1B．0.9C．0.8D．0.710.圆的半径是1，圆心的极坐标是（1,0），则这个圆的极坐标方程是A．B．C．D．11.曲线（为参数）与轴的交点坐标是A ．（8,0），（-7,0）B ．（-8,0），（-7,0）C ．（8,0），（7,0）D ．（-8,0），（7,0）12.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.函数f （x ）=cos x ，则=____________．2.设（2x +1）3=a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，则a 0+a 1+a 2+a 3=__________．3.研究函数f （x ）=的性质，完成下面两个问题：①将f （2），f （3），f （5）按从小到大排列为__________；②函数g （x ）=（x> 0）的最大值为______________．4.已知两个正数a ，b ，可按规则扩充为一个新数c ，在a ，b ，c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作. （1）若a =1，b =3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是_____________； （2）若p >q >0，经过6次操作后扩充所得的数为（m ，n 为正整数），则m ，n 的值分别为____________．三、解答题1.在数列{a n }中，a 1=1，a n =na n -1，n =2，3，4，… （I ）计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．2.已知函数f （x ）=x 3+3x 2-9x ． （I ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[-4，c ]上的最小值为-5，求c 的取值范围．3.甲参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．（I ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X ，求X 的分布列和数学期望．4.口袋中装有2个白球和n （n ≥2，n N*）个红球．每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖． （I ）用含n 的代数式表示1次摸球中奖的概率； （Ⅱ）若n =3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（III ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f （p ），当f （p ）取得最大值时，求n 的值．5.定义在D上的函数，若满足：，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.（I）设，证明：在上是有界函数，并写出所有上界的值的集合；（II）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．6.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ="4cos" θ.（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α，其中α满足tan α=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.7.已知椭圆经过点，其离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆相切，切点为，且与直线相交于点．试问：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.在复平面内，复数z =对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由题意可得：，则复数z =对应的点位于第一象限 .本题选择A选项.2.在（x+2）4的展开式中，x2的系数为A．24B．12C．6D．4【答案】A【解析】由二项式展开式的通项公式可得，展开式的通项公式为：，令可得：的系数为： .本题选择A选项.点睛：一是在Tr＋1＝中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．3.已知函数f（x）=ln2x，则=A．B．C．D．【答案】D【解析】由复合函数求导法则可得： .本题选择D选项.点睛：求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．4.将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】投掷4次的所有可能结果为种，其中恰好出现2次正面向上的事件有种，据此可得，题中所求事件的概率值为： .本题选择B选项.5.嘿哥有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有A．8种B．15种C．种D．种【答案】C【解析】由乘法原理可得：不同的发送方法有种.本题选择C选项.6.设a，b，c是正整数，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c 的值为A．252或253B．253或254C．254或255D．267或268【答案】B【解析】设，则数据a,b,c的方差：，设a=b+m，c=b+n，则，取b=85,当m+n=0,−1,1时,s2有可能取得最小值,m=−16,n=15时,s2取得最小值 .取b=84,当m+n=0,−1,1时,s2有可能取得最小值,m=−15,n=16时,s2取得最小值 .∴a+b+c=79+85+90=254，或a+b+c=79+84+90=253.本题选择B选项.7.高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量的观测值为A．0.600B．0.828C．2.712D．6.004【答案】A【解析】本题主要考查独立性检验。

北京第四职业中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图阴影部分是由曲线y=2x2和x2+y2=3及x轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．参考答案：A【分析】首先求出曲线的交点，然后求直线y=x与y=2x2围成的面积S1，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB的面积S2，阴影部分的面积S=S2﹣S1=﹣．【解答】解：曲线y=2x2和圆x2+y2=3的在第一象限的交点为A（，），则直线OA的方程方程为：y=x，∴直线OA与抛物线y=2x2所围成的面积S1=（x﹣2x2）dx=（x2﹣x3）=×﹣×=，则扇形AOB圆心角为α=，则扇形AOB的面积S2=αr2=××3=，∴阴影部分的面积S=S2﹣S1=﹣，故选A．2. 已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，）∪（1，2）B．（﹣1，1）∪（1，3）C．（﹣1，）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先由（x﹣1）f'（x）＜0，分成x﹣1＞0且f'（x）＜0或x﹣1＜0且f'（x）＞0两种情况分别讨论即可【解答】解：当x﹣1＞0，即x＞1时，f'（x）＜0，即找在f（x）在（1，+∞）上的减区间，由图象得，1＜x＜2；当x﹣1＜0时，即x＜1时，f'（x）＞0，即找f（x）在（﹣∞，1）上的增区间，由图象得，x＜．故不等式解集为（﹣∞，）∪（1，2）故选：A．3.参考答案：B略4. 同时掷两个骰子,向上点数和为5的概率是( )A. 4;B.C. ;D.参考答案：B5. 已知tanα=，则=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数间的基本关系和商数关系，即可得到cosα的值，再由三角函数的诱导公式以及二倍角公式化简代值，即可得答案．【解答】解：tanα=，则，又sin2α+cos2α=1，解得：cosα=﹣，则=cos2α﹣cosα=2cos2α﹣1﹣cosα=2×（）2﹣1=0．故选：A．6. 已知椭圆E：（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】椭圆的标准方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．7. 在下列图象中，二次函数与指数函数的图像只可能是参考答案：A略8. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45oｏ，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. B. C. D.参考答案：A9. 若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A.< B．a2>b2 C.D．a|c|>b|c|参考答案：C略10. 观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（）A．a为正相关，b为负相关，c为不相关B．a为负相关，b为不相关，c为正相关C．a为负相关，b为正相关，c为不相关D．a为正相关，b为不相关，c为负相关参考答案：D【考点】BH：两个变量的线性相关．【分析】根据散点图中点的分布特征，结合相关性的定义，即可得出结论．【解答】解：根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关；图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关；图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关．故选：D．【点评】本题考查了散点图中点的分布特征以及相关性定义的应用问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中,已知,则等于（）．（A）19 （B）（C）（D）参考答案：D略12. 某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种（用数字作答）。

北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“若，则”的逆命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.复数的虚部是（）A．B．C．D．3.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4.抛物线的焦点到其准线的距离是（）A．B．C．D．5.两条直线，互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．D．6.如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是( )A．∥B．∥平面C．D．平面7.已知椭圆的两个焦点分别为，，．若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（）A．B．C．D．8.在长方体中，，，，，分别为棱，的中点. 则从点出发，沿长方体表面到达点的最短路径的长度为（）A．B．C．D．二、填空题1.命题“，”的否定是_______.2.已知球的大圆面积为，表面积为，则_______.3.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则_______.4.已知双曲线的一个焦点是，则_____；双曲线渐近线的方程___.5.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是_______.6.已知曲线的方程是.关于曲线的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线C所围成的区域的面积大于.其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题1.如图，四棱锥中，底面，底面是正方形，且=.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求四棱锥的表面积.2.如图，已知圆心为的圆经过原点．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线与圆交于，两点．若，求的值．3.如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）若，，求多面体的体积．4.已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.5.如图1，在△中，，为中点，于，延长交于.将△沿折起，得到三棱锥，如图2所示.（Ⅰ）若是的中点，求证：∥平面；（Ⅱ）若平面平面，试判断直线与直线能否垂直？并说明理由.6.如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.命题“若，则”的逆命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】命题的逆命题需将条件和结论交换，因此逆命题为：若，则【考点】四种命题2.复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】复数中虚部为，所以的虚部为2【考点】复数相关概念3.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】①中两直线可能相交平行或异面；②中两平面可能平行或相交；③中结论成立；④中两直线可能相交平行或异面【考点】空间线面平行的性质4.抛物线的焦点到其准线的距离是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】中，焦点为，准线为，焦点到其准线的距离是1【考点】抛物线性质5.两条直线，互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】两直线垂直满足斜率之积为-1【考点】两直线垂直的判定6.如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是( )A．∥B．∥平面C．D．平面【答案】C【解析】：∵如图，连接BD，在长方体中，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥，∵BD∩=D，∴AC⊥平面，∵⊂平面，∴AC⊥【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定7.已知椭圆的两个焦点分别为，，．若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，又∵，∴，∴，设点P到x轴的距离为d，则，故，故【考点】椭圆的简单性质8.在长方体中，，，，，分别为棱，的中点. 则从点出发，沿长方体表面到达点的最短路径的长度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，∵P，Q分别为棱，的中点，∴问题可转化为从小长方体的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．共有三种剪展方法：沿QH剪开再展开，此时最短距离为；沿QN剪开再展开，此时最短距离为；沿QD1 剪开再展开，此时最短距离为∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题二、填空题1.命题“，”的否定是_______.【答案】【解析】全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，因此否定为：【考点】全称命题与特称命题2.已知球的大圆面积为，表面积为，则_______.【答案】【解析】球的大圆面积，表面积【考点】球的表面积3.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则_______.【答案】【解析】由坐标系可知【考点】复数运算4.已知双曲线的一个焦点是，则_____；双曲线渐近线的方程___.【答案】，【解析】由题意可知，渐近线为【考点】双曲线方程及性质5.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是_______.【答案】【解析】：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，∴左视图是长方形，长为，宽为2，∴左视图的面积是【考点】三视图6.已知曲线的方程是.关于曲线的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线C所围成的区域的面积大于.其中，所有正确结论的序号是_______.【答案】①③【解析】将方程中的x换成-x，y换成-y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为与原方程不同，故②错误；在曲线C上任取一点M，∵∴∴，即点M在圆外，故③正确；【考点】命题的真假判断与应用三、解答题1.如图，四棱锥中，底面，底面是正方形，且=.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求四棱锥的表面积.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）连结BD．证明 PD⊥BD，在直角三角形PDB中，求解PB即可；（Ⅱ）说明△PDA，△PDC为全等的直角三角形，利用四棱锥P-ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD求解即可试题解析：（Ⅰ）解：连结.因为底面，所以.因为底面是正方形，，所以.在直角三角形中，.（Ⅱ）解：因为底面，底面是正方形，从而△，△为全等的直角三角形，所以.由（Ⅰ）知，所以，从而△，△为全等的直角三角形.所以，四棱锥的表面积.【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积2.如图，已知圆心为的圆经过原点．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线与圆交于，两点．若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C的半径，由此能求出圆C的方程；（Ⅱ）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，从在则 |AD| ＝|AB| ＝4，由勾股定理求出CD，由点到直线的距离公式求出CD，由此能求出m 试题解析：（Ⅰ）解：圆的半径，从而圆的方程为．（Ⅱ）解：作于，则平分线段，所以．在直角三角形中，．由点到直线的距离公式，得，所以，解得．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质3.如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）若，，求多面体的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）1【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接EO．证明EO∥QB，即可证明QB∥平面AEC；（Ⅱ）证明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后证明平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）通过多面体ABCEQ为四棱锥Q-ABCD截去三棱锥E-ACD所得，计算求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：连接交于，连接．因为分别为和的中点，则∥．又平面，平面，所以∥平面（Ⅱ）证明：因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，平面，，所以平面．又平面，所以．因为，是的中点，所以．所以平面．所以平面⊥平面．（Ⅲ）解：多面体为四棱锥截去三棱锥所得，所以．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定4.已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程5.如图1，在△中，，为中点，于，延长交于.将△沿折起，得到三棱锥，如图2所示.（Ⅰ）若是的中点，求证：∥平面；（Ⅱ）若平面平面，试判断直线与直线能否垂直？并说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）不可能垂直【解析】（Ⅰ）取FC中点N，推导出DN∥EF，MN∥，由此能证明DM∥平面；（Ⅱ）推导出EF⊥平面，从而⊥EF，假设⊥CD，则⊥平面BCD，⊥平面BCD，与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，从而直线与直线CD不能垂直试题解析：（Ⅰ）证明：取中点.在图1中，由，分别为，中点，所以∥.在图2中，由，分别为，中点，所以∥，所以平面∥平面所以∥平面.（Ⅱ）解：直线与直线不可能垂直.因为平面平面，平面，，所以平面，所以.假设有，注意到与是平面内的两条相交直线，则有平面. （1）又因为平面平面，平面，，所以平面.（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾！所以直线与直线不可能垂直.【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质6.如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点【解析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入消去y，设 P，Q，利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入，消去y，解得x，设 P，转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为．依题意，得，且，解得．所以，椭圆的方程是．（Ⅱ）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为．将直线的方程代入，消去，整理得．设，，则，．（1）因为，且直线的斜率均存在，所以，整理得．（2）因为，，所以，．（3）将（3）代入（2），整理得．（4）将（1）代入（4），整理得．解得，或（舍去）．所以，直线恒过定点．证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为．将直线的方程代入，消去，得解得，或．设，所以，，所以．以替换点坐标中的，可得．从而，直线的方程是．依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上．在上述方程中，令，解得．所以，直线恒过定点．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程。