北京四中2014年下学期高二期中考试 数学试卷(文) 有答案

北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。

卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. 设i 为虚数单位，则31t ＝（ ） A. iB. －iC. 1D. －12. 函数x xe y =的导函数y '＝（ ） A. xxeB. xeC. xe +1D. x e x )1(+3.⎰+1)2(dx x e x 等于（ ）A. 1B. 1-eC. eD. 1+e4. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递增区间为（ ） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ),(+∞eC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,16. 由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为（ ）A.21B. 1C.23 D.37. 函数)(x f 是定义在),(+∞-∞内的可导函数，且满足：0)()(>>'x f x f x ，对于任意的正实数b a ,，若b a >，则必有（ ）A. )()(a bf b af >B. )()(b af a bf >C. )()(b bf a af <D. )()(b bf a af >8. 函数nmx ax x f )1()(-=在区间]1,0[上的图象如图所示，则n m ,的可能值是（ ）A. 1,1==n mB. 2,1==n mC. 1,2==n mD. 1,3==n m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 的值为____________。

10. 已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2)(bi a ____________。

参考答案卷Ⅰ1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．B 8．C 9．1 1 10．ln2－1 11．n+(n+1)+(n+2)+…+(3n―2)=(2n―1)212．②13．解：（1）121111131314a a a a +====++；232114331714a a a ===++ 3431173311017a a a ===++ （2）猜想：132n a n =- 证明：①当n=1时，11132n a a ===-，成立。

②假设当n=k （k ＞1且k ∈N*）时，132k a k =-成立。

则n=k+1时，11113233132331132k k k a k a a k k k +-====+-+++- 又∵111313(1)2k a k k +==++- 当n=k+1时也成立。

∴由①②得，N*n ∀∈，132n a n =-成立。

14．解：（1）当a=3时，3211()632f x x x x =-++，∴D ：x ∈R ∴2'()6(3)(2)f x x x x x =-++=-++ 令'()0f x >，则－2＜x ＜3则：x ，'()f x ，()f x 变化如下表：∴()f x 在（－∞，－2），（3，+∞）上递减，在（－2，3）上递增。

（2）2'()2f x x x a =-++∴若令2'()20f x x a a =-++= 则Δ=b2－4ac=1+8a ；a ∈（0，2），则Δ＞0 ∴x ==∵a ∈（0，2），则1+8a ∈（1，17）1(2∴若4<，则()f x 在[1，4]上单调增，min 1116()(1)2323f x f a ==-++=- ∴此时114a =-，不合题意，舍。

∴14<<，即()f x 在上单增，在4]上单减。

∴min 1116()(4)64168323f x f a ==-⨯+⨯+=- ∴a=12=，符合条件。

18． （5 分）对于函数 f（x）＝（2x﹣x2）ex （1） （2） 是 f（x）的单调递减区间； 是 f（x）的极小值， 是 f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值； （4）f（x）没有最大值，也没有最小值． 其中判断正确的是 ．
三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分. 19． （15 分）已知函数 f（x）＝ax3+x2（a∈R）在 （1）确定 a 的值； （2）若 g（x）＝f（x）ex，讨论 g（x）的单调性． 20． （15 分）设 f（x）＝a（x﹣5）2+6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f（x）在点（1， f（1） ）处的切线与 y 轴相交于点（0，6） ． （1）确定 a 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间与极值． 21． （15 分）已知函数 f（x）＝ex+ ． 处取得极值．
11． （5 分）设函数 f′（x）是奇函数 f（x） （x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当 x＞0 时， xf′ （x） ﹣f （x） ＜0， 则使得 f （x） ＞0 成立的 x 的取值范围是 （ A． （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C． （﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B． （﹣1，0）∪（1，+∞） D． （0，1）∪（1，+∞） ）
14． （5 分）如图，函数 y＝f（x）的图象在点 P 处的切线方程是 y＝﹣x+8，则 f （2018）+f'（2018）＝ ．
15． （5 分）已知函数 f（x）＝ex﹣2x+a 有零点，则 a 的取值范围是 16． （5 分） 已知函数 （ f x） ＝x3+ax2+bx+a2 在 x＝l 处有极值 10， 则 （a， b） ＝

北京四中2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）卷（Ⅰ）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生人数之比为4：3：2：1，使用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则抽取三年级的学生人数为A. 80B. 60C. 40D. 202. 将一组数中的每个数减去同一个非零的常数，则这一组数的 A. 平均数不变、方差不变 B. 平均数改变、方差改变 C. 平均数不变、方差改变 D. 平均数改变、方差不变3. 用1、2、3、4、5组成无重复数字的四位偶数的个数为 A. 8 B. 24 C. 48 D. 1204. 执行如下图所示的程序框图，若输入a=2、b=2，则输出a=A. 4B. 16C. 256D. 4log 32 5. 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x ，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A.4π B.22-π C.6π D.44π- 6. 某工厂对一批产品进行抽样检测，下图是依据样品的净重数据（单位：克）绘制的频率分布直方图，其中数据的范围是[96，106]，分组为[96，98）、[98，100）、[100，102）、[102，104）、[104，106]，已知净重小于100克的样品个数是36，则净重不小于98克且小于104克的样品个数是A. 90B. 75C. 60D. 457. 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个为样本．①采用随机抽样，将零件编号为00，01，02，…，99，抽签取出20个； ②采用系统抽样，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组随机抽取1个； ③采用分层抽样，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．以下结论正确的是A. 不论采用哪种抽样方法，这100个零件中的每一个被抽到的概率都是51 B. ①②两种抽样方法，这100个零件中的每一个被抽到的概率都是51而方法③并非如此C. ①③两种抽样方法，这100个零件中的每一个被抽到的概率都是51而方法②并非如此D. 采用不同的抽样方法，这100个零件中的每一个被抽到的概率是互不相同的． 8. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为A. 32 B.52 C.53 D.109二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的某科考试成绩，则甲组数据的中位数是_____，乙组数据的平均数是_____。

2023-2024学年北京四中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共13小题，共62分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将一枚均匀硬币抛3次，设正面朝上的硬币数为X，则()A. B. C. D.2.在的展开式中，x的系数为()A.4B.C.1D.3.从2位男生中选1人，3位女生中选2人，组成一个由其中一名女生为组长的活动筹备组，可以选择的方法种数为()A.36B.24C.18D.124.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则第一张抽到奇数且第二张抽到偶数的概率是()A. B. C. D.5.在一段时间内，甲去博物馆的概率为，乙去博物馆的概率为，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是()A. B. C. D.6.由数字0，1，2，3，4，5组成三位数允许重复，各位数字之和等于6的有()A.13个B.15个C.17个D.20个7.某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2：3，已知第一车间的一等品率为，第二车间的一等品率为今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为()A. B. C. D.8.某射手射击所得环数的分布列如下：78910P x y若，x，，y成等差数列，则()A. B. C.9 D.9.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为()A.7B.9C.11D.1310.一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.试验一：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都放回，记取到白球的个数为；实验二：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都不放回，记取到白球的个数为则下列判断正确的是()A. B. C. D.11.设等比数列的前n项和为，若，，则()A.31B.32C.63D.6412.已知1，，成等比数列，3，a，b成等差数列，则该等差数列的公差为()A.或B.或4C.D.213.某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：方案一：风险投资，有的概率获得回报400元，有的概率获得回报800元；方案二：第一天获得回报10元，以后每天获得的回报比前一天多10元；方案三：第一天获得回报元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是()A.方案一B.方案二C.方案三D.都可以二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）复数=（）A．+i B．+i C．1﹣i D．1+i2．（5分）下列求导正确的是（）A．（3x2﹣2）'=3x B．（log2x）'=C．（cosx）'=sinx D．（）'=x3．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．14．（5分）设a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件5．（5分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，）B．.（e，+∞） C．（，+∞）D．（，e）6．（5分）在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限7．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣18．（5分）已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）9．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A．[﹣3，6]B．（﹣3，6）C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）10．（5分）方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是（）A．3 B．0 C．2 D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）复数（2+i）•i的模为．12．（5分）命题“若a﹣b=0，则（a﹣b）（a+b）=0”的逆否命题为．13．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在点P0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则P0点坐标为．14．（5分）函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为．15．（5分）若命题“x∈{x|x2﹣5x+4＞0}”是假命题，则x的取值范围是．16．（5分）对于函数y=f（x），x∈D，若对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．那么函数f（x）=x3﹣x2+1，在x∈[1，2]上的几何平均数M=．三、解答题：本大题共2小题，共20分.17．（10分）设函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间[，e]上的最大值．18．（10分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．一、卷（II）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）20．（5分）观察（）'=﹣，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣f（x）B．f（x）C．g（x）D．﹣g（x）21．（5分）若i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则|z﹣1+i|的最大值为（）A．﹣1 B．2﹣C．+1 D．2+二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．22．（5分）曲线y=x n在x=2处的导数为12，则n=．23．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值，则ab的最大值为．24．（5分）已知函数.（x0∈[0，π]），那么下面命题中真命题的序号是．①f（x）的最大值为f（x0）②f（x）的最小值为f（x0）③f（x）在[0，x 0]上是减函数④f（x）在[x0，π]上是减函数．三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2．（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；（II）若当a=﹣1时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．26．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3ax+e，g（x）=1﹣lnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）设函数，若F（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；（Ⅲ）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0）．若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围．2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）复数=（）A．+i B．+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：==1+i．故选：D．2．（5分）下列求导正确的是（）A．（3x2﹣2）'=3x B．（log2x）'=C．（cosx）'=sinx D．（）'=x【解答】解：（3x2﹣2）'=6x，（log2x）'=，（cosx）'=﹣sinx，（）'=﹣，故选：B．3．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【解答】解：曲线y=x•e x，可得y′=e x+xe x，曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率：e+e=2e．故选：A．4．（5分）设a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【解答】解：a＞0，b＞0，则“a＞b”⇔“lna＞lnb”．因此a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的充要条件．故选：D．5．（5分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，）B．.（e，+∞） C．（，+∞）D．（，e）【解答】解：由函数f（x）=3+xlnx得：f（x）=lnx+1，令f′（x）=lnx+1＞0即lnx＞﹣1=ln ，根据e＞1得到此对数函数为增函数，所以得到，即为函数的单调递增区间．故选：C．6．（5分）在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：由=，得，∴在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：D．7．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C．8．（5分）已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）【解答】解：根据题意，f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则其导数f′（x）=1+2（1+x）+3（1+x）2+4（1+x）3+…+n（1+x）n﹣1，则f'（0）=1+2+3+4+…+n=；故选：D．9．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A．[﹣3，6]B．（﹣3，6）C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6．故选：D．10．（5分）方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是（）A．3 B．0 C．2 D．1【解答】解：令f（x）=x2﹣xsinx﹣cosx，则f′（x）=2x﹣sinx﹣xcosx+sinx=x（2﹣cosx），∵2﹣cosx＞0，∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=0时，f（x）取得最小值﹣1，又x→﹣∞时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，∴f（x）有2个零点，即发出x2=xsinx+cosx有2解．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）复数（2+i）•i的模为．【解答】解：∵（2+i）•i=﹣1+2i，∴复数（2+i）•i的模为．故答案为：．12．（5分）命题“若a﹣b=0，则（a﹣b）（a+b）=0”的逆否命题为（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0，故答案为：（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0，13．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在点P 0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则P0点坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．【解答】解：设P0点的坐标为（a，f（a）），由f（x）=x3+x﹣2，得到f′（x）=3x2+1，由曲线在P0点处的切线平行于直线y=4x，得到切线方程的斜率为4，即f′（a）=3a2+1=4，解得a=1或a=﹣1，当a=1时，f（1）=0；当a=﹣1时，f（﹣1）=﹣4，则P0点的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故答案为：（1，0）或（﹣1，﹣4）．14．（5分）函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为3．【解答】解：x=0时，f（0）=0．x∈（0，3]时，f（x）=≤=3，当且仅当x=1时取等号．∴函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为3．故答案为：3．15．（5分）若命题“x∈{x|x2﹣5x+4＞0}”是假命题，则x的取值范围是1≤x≤4．【解答】解：命题“x∈{x|x2﹣5x+4＞0}”是假命题，说明对于任意x，不等式x2﹣5x+4＞0不成立，即x2﹣5x+4≤0成立．解得1≤x≤4．∴x的取值范围是1≤x≤4．故答案为：1≤x≤4．16．（5分）对于函数y=f（x），x∈D，若对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．那么函数f（x）=x3﹣x2+1，在x∈[1，2]上的几何平均数M=．【解答】解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为M的定义，由于f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，在[1，2]内f′（x）＞0，则f（x）=x3﹣x2+1在区间[1，2]单调递增，则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应，且x=1时，f（x）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M==．故答案为：三、解答题：本大题共2小题，共20分.17．（10分）设函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间[，e]上的最大值．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx﹣x2+x其中x＞0，所以f'（x）=﹣2x+1=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．（II）由（I）f（x）在[，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=0．18．（10分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，．…（2分）∴f'（0）=2，∵f（0）=0，∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x﹣y=0．…（4分）（Ⅱ）求导函数可得，．…（6分）当a=0时，，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．…（7分）当a≠0，．①当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=﹣a ，，f（x）与f'（x）的情况如下：故f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a），；单调增区间是．…（10分）②当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：所以f（x）的单调增区间是，（﹣a，+∞）；单调减区间是，（﹣a，+∞）．…（13分）综上，a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递减；在单调递增．a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减；a＜0时，f（x）在，（﹣a，+∞）单调递增；在单调递减．一、卷（II）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）【解答】解：f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1，f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=[x﹣（a﹣1）]（x﹣1），a﹣1≤1时，符合题意，a﹣1＞1时，令f′（x）≥0，解得：x≥a﹣1或x≤1，若f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，则a﹣1≤1，解得：a≤2，故选：C．20．（5分）观察（）'=﹣，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣f（x）B．f（x）C．g（x）D．﹣g（x）【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵g（x）为f（x）的导函数，∴g（﹣x）=g（x）．故选：C．21．（5分）若i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则|z﹣1+i|的最大值为（）A．﹣1 B．2﹣C．+1 D．2+【解答】解：|z﹣1+i|=|z﹣（1﹣i）|，其几何意义为动点Z到定点P（1，﹣1）的距离，又|z|=1，如图：则|z﹣1+i|的最大值为．故选：C．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．22．（5分）曲线y=x n在x=2处的导数为12，则n=3．【解答】解：由y=x n，得y′=nx n﹣1，又曲线y=x n在x=2处的导数为12，所以n•2n﹣1=12，n=3．故答案为3．23．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值，则ab的最大值为9．【解答】解：由题意，导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，∵在x=1处有极值，f′（1）=0，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号，∴ab的最大值等于9．故答案为：9．24．（5分）已知函数.（x0∈[0，π]），那么下面命题中真命题的序号是①④．①f（x）的最大值为f（x0）②f（x）的最小值为f（x0）③f（x）在[0，x0]上是减函数④f（x）在[x0，π]上是减函数．【解答】解：的导数又.（x0∈[0，π]），∴函数f（x）在[0，x0]上是增函数，f（x）在[x0，π]上是减函数∴f（x）的最大值为f（x0）由此知①④是正确命题故答案为①④三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2．（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；（II）若当a=﹣1时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（I）f'（x）=3x2+2ax+b，由题设有f'（1）=0，f（1）=10，即，解得：或，经验证，若，则f'（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2，当x＞1或x＜1时，均有f'（x）＞0，可知此时x=1不是f（x）的极值点，故舍去符合题意，故．（II）当a=﹣1时，f（x）=x3﹣x2+bx+l，若f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，即x3﹣x2+bx+1＜0在x∈[1，2]恒成立，即b＜在x∈[1，2]恒成立，令g（x）=，则g'（x）==，由﹣2x3+x2+1=1﹣x3+x2（1﹣x）可知x∈[1，2]时g'（x）＜0，即g（x）=在x∈[1，2]单调递减，g（x）max=g（2）=﹣，∴b＜﹣时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立．26．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3ax+e，g（x）=1﹣lnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）设函数，若F（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；（Ⅲ）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0）．若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）易得，f'（x）=3x2﹣3a，所以f'（1）=3﹣3a，依题意，，解得；…（3分）（Ⅱ）因为==，则F'（x）=lnx+1﹣x+1=lnx﹣x+2．设t（x）=lnx﹣x+2，则=．令t'（x）=0，得x=1．则由t'（x）＞0，得0＜x＜1，F'（x）为增函数；由t'（x）＜0，得x＞1，F'（x）为减函数；而=，F'（1）=1＞0．则F'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，且在（0，x1）上F'（x）＜0，F（x）为减函数；在（x1，1）上F'（x）＞0，F（x）为为增函数．所以x1为极值点，此时m=0．又F'（3）=ln3﹣1＞0，F'（4）=2ln2﹣2＜0，则F'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2，且在（3，x2）上F'（x）＞0，F（x）为增函数；在（x2，4）上F'（x）＜0，F（x）为减函数．所以x2为极值点，此时m=3．综上m=0或m=3．…（9分）（Ⅲ）（1）当x∈（0，e）时，g（x）＞0，依题意，h（x）≥g（x）＞0，不满足条件；（2）当x=e时，g（e）=0，f（e）=e3﹣3ae+e，①若f（e）=e3﹣3ae+e≤0，即，则e是h（x）的一个零点；②若f（e）=e3﹣3ae+e＞0，即，则e不是h（x）的零点；（3）当x∈（e，+∞）时，g（x）＜0，所以此时只需考虑函数f（x）在（e，+∞）上零点的情况．因为f'（x）=3x2﹣3a＞3e2﹣3a，所以①当a≤e2时，f'（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增．又f（e）=e3﹣3ae+e，所以（i）当时，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上无零点；（ii）当时，f（e）＜0，又f（2e）=8e3﹣6ae+e≥8e3﹣6e3+e＞0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；②当a＞e2时，令f'（x）=0，得．由f'（x）＜0，得；由f'（x）＞0，得；所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．因为f（e）=e3﹣3ae+e＜e3﹣3e3+e＜0，f（2a）=8a3﹣6a2+e＞8a2﹣6a2+e=2a2+e ＞0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，．…（13分）。

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．复数21i=-（ ）AB +C ．1i -D ．1i +【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+． 故选：D ．2．下列求导正确的是（ ）．A ．2(32)3x x -'=B ．21(log )ln2x x '=⋅ C ．(cos )sin x x '=D ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭【考点】63：导数的运算．【分析】先根据基本导数公式和导数的运算法则求导，再判断 【解答】解：2(32)6x x -'=，21(log )ln2x x '=⋅，(cos )sin x x '=-，211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：B ．3．曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率等于（ ）．A ．2eB ．eC ．2D ．1【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可． 【解答】解：曲线e x y x =⋅，可得e e x x y x '=+，曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率：e e 2e +=． 故选：A ．4．设0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：0a >，0b >，则“a b >”⇔“ln ln a b >”．因此0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件． 故选：D ．5．函数：()3ln f x x x =+的单调递增区间是（ ）．A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(e,)+∞C ．1,e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞D ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出()f x 的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．【解答】解：由函数()3ln f x x x =+得：()ln 1f x x =+，令()ln 10f x x '=+>即1ln 1ln e x >-=，根据e 1>得到此对数函数为增函数，所以得到1ex >，即为函数的单调递增区间． 故选C ．6．在复平面内，复数2i1i -+（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）． A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数2i1i-+的共轭复数对应的点的坐标得答案． 【解答】解：由2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222----===-++-， 得13i 22z =+， ∴在复平面内，复数2i 1i -+的共轭复数对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限．7．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）．A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【考点】2J ：命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选：C ．8．已知23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）．A ．nB ．1n -C ．(1)2n n -D ．1(1)2n n +【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，对函数()f x 求导，计算可得()f x '，将0x =代入计算可得答案． 【解答】解：根据题意，23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则其导数231()12(1)3(1)4(1)(1)n f x x x x n x -'=+++++++++L ， 则(1)(0)12342n n f n +'=+++++=L ； 故选：D ．9．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）．A ．[]3,6-B ．(3,6)-C ．]([,36,)-∞-+∞UD ．(,3)(6,)-∞-+∞U【考点】6C ：函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出导数()f x '，由()f x 有极大值、极小值可知()0f x '=有两个不等实根． 【解答】解：函数32()(6)1f x x ax a x =++++，所以2()32(6)f x x ax a '=+++，因为函数有极大值和极小值，所以方程()0f x '=有两个不相等的实数根， 即232(6)0x ax a +++=有两个不相等的实数根，∴0∆>，∴2(2)43(6)0a a +-⨯⨯>，解得：3a <-或6a >．10．方程2sin cos x x x x =+的实数解个数是（ ）．A ．3B ．0C ．2D ．1【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令2()sin cos f x x x x x =--，判断()f x 的单调性，计算极值，从而得出()f x 的零点个数．【解答】解：令2()sin cos f x x x x x =--，则()2sin cos sin (2cos )f x x x x x x x x '=--+=-， ∵2cos 0x ->，∴当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴当0x =时，()f x 取得最小值1-，又x →-∞时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞， ∴()f x 有2个零点，即发出2sin cos x x x x =+有2解． 故选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11．复数(2i)i +⋅的模为__________． 【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵(2i)i 12i +⋅=-+，∴复数(2i)i +⋅12．命题 “若0a b -=，则()()0a b a b -+=”的逆否命题为__________． 【考点】25：四种命题间的逆否关系． 【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若()()0a b a b -+≠则0a b -≠， 故答案为：()()0a b a b -+≠则0a b -≠．13．曲线3()2f x x x =+-在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点坐标为__________． 【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标，然后对()f x 进行求导，根据曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x=建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到()f x 即可得到答案． 【解答】解：设0P 点的坐标为(())a f a ，，由3()2f x x x =+-，得到2()31f x x '=+，由曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x =，得到切线方程的斜率为4， 即2()314f a a '=+=，解得1a =或1a =-， 当1a =时，(1)0f =；当1a =-时，(1)4f -=-， 则0P 点的坐标为(1,0)或(1,4)--． 故答案为：(1,0)或(1,4)--．14．函数26()1xf x x=+在区间[]0,3的最大值为__________． 【考点】7F ：基本不等式．【分析】对x 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：0x =时，(0)0f =．3](0,x ∈时，6()31f x x x==+，当且仅当1x =时取等号．∴函数26()1xf x x =+在区间[]0,3的最大值为3． 故答案为：3．15．若命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，则x 的取值范围是__________． 【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立，即2540x x +-≤成立．求解不等式得答案．【解答】解：命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，说明对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立， 即2540x x +-≤成立． 解得14x ≤≤．∴x 的取值范围是14x ≤≤．故答案为：14x ≤≤．16．对于函数()y f x =，x D ∈，若对于任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．那么函数32()1f x x x -=+，在[]1,2x ∈上的几何平均数M =__________． 【考点】34：函数的值域．【分析】根据已知中对于函数()y f x =，x D ∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M 应该等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，由32()1f x x x -=+，[]1,2D =，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数()f x 在D 上的几何平均数为M 的定义，由于()f x 的导数为2()32f x x x '=-，在[]1,2内()0f x '>， 则32()1f x x x -=+在区间[]1,2单调递增， 则11x =时，存在唯一的22x =与之对应，且1x =时，()f x 取得最小值1，2x =时，取得最大值5，故M ．三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17．设函数2()ln f x x x x =-+． （I ）求()f x 的单调区间．（II ）求()f x 在区间1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可． 【解答】解：（I ）因为2()ln f x x x x =-+其中0x >，所以1(1)(21)()21x x f x x x x-+'=-+=， 令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<， 所以()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞．（II ）由（I ）()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在[]1,e 上单调递减，∴max ()(1)0f x f ==．18．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 的单调区间．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）当1a =时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22()1x f x x =+，222(1)(1)()(1)x x f x x +-'=-+． ∴(0)2f '=， ∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=． （Ⅱ）求导函数可得，222()(1)()(1)x a ax f x x +-'=-+．当0a =时，222()(1)xf x x '=+，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减．当0a ≠，221()()2(1)x a x a f x ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=-+． ①当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞；单调增区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞；单调减区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,)a -+∞．综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞单调递减；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增．0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞单调递增；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．一、卷（II ）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(2],-∞D ．(,2)-∞【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：3211()(1)132f x x ax a x =-+-+，[]2()(1()(1)1)f x x ax a x a x '=+-=----，11a -≤时，符合题意，11a ->时，令()0f x '≥，解得：1x a -≥或1x ≤，若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数， 则11a -≤，解得：2a ≤， 故选：C ．20．观察211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，由归纳推理可得：若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）．A ．()f x -B ．()f xC ．()g xD ．()g x -【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，L 分析其规律，我们可以归纳推断出，奇函数的导数是偶函数，即可得到答案．【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数， ∵()g x 为()f x 的导函数， ∴()()g x g x -=． 故选：C ．21．若i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则1i z -+的最大值为（ ）．A1B．2C1D．2【考点】A8：复数求模．【分析】由题意画出图形，再由1i 1i)z z --=+-(的几何意义，即动点Z 到定点(1,1)P -的距离求解．【解答】解：1i 1i)z z --=+-(，其几何意义为动点Z 到定点(1,1)P -的距离， 又1z =，如图：则1i z -+1． 故选：C ．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 22．曲线n y x =在2x =处的导数为12，则n =__________． 【考点】63：导数的运算．【分析】求出函数线n y x =的导函数，把2x =代入导函数解析式可求n 的值． 【解答】解：由n y x =，得1n y nx -'=，又曲线n y x =在2x =处的导数为12， 所以1212n n -⋅=，3n =． 故答案为3．23．若0a >，0b >，且函数32()42f x x ax bx --=在1x =处有极值，则ab 的最大值为__________．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件，利用基本不等式求出ab 的最值．【解答】解：由题意，导函数2(_1222f x x ax b -'=-，∵在1x =处有极值，(1)0f '=， ∴6a b +=， ∵0a >，0b >，∴292a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，当且仅当3a b ==时取等号，∴ab 的最大值等于9． 故答案为：9．24．已知函数1()sin 3f x x x =-，[]0,πx ∈，[]001cos (0,π)3x x =∈，那么下面命题中真命题的序号是__________． ①()f x 的最大值为0()f x ； ②()f x 的最小值为0()f x ； ③()f x 在[]00,x 上是减函数； ④()f x 在[]0,πx 上是减函数．【考点】2K ：命题的真假判断与应用；6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】可求出1()sin 3f x x x =-的导数，研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题【解答】解：1()sin 3f x x x =-的导数1()cos 3f x '=-， 又[]001cos (0,π)3x x =∈， ∴函数()f x 在[]00,x 上是增函数，()f x 在[]0,πx 上是减函数，∴()f x 的最大值为0()f x ，由此知①④是正确命题，故答案为①④．三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．已知函数322()f x x ax bx a =+++．（I ）若()f x 在1x =处有极值10，求a ，b 的值．（II ）若当1a =-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6K ：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于导函数的方程组，求出a ，b 的值即可； （Ⅱ）分离参数，问题转化为321x x b x -+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=，根据函数的单调性求出b 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）2()32f x x ax b '=++，由题设有(1)0f '=，(1)10f =，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得：33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩， 经验证，若33a b =-⎧⎨=⎩，则22()3633(1)f x x x x +=--'=， 当1x >或1x <时，均有()0f x '>，可知此时1x =不是()f x 的极值点，故33a b =-⎧⎨=⎩舍去411a b =⎧⎨=-⎩符合题意， 故411a b =⎧⎨=-⎩． （Ⅱ）当1a =-时，32()1f x x x bx -=++，若()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，即3210x x bx ++<-在[]1,2x ∈恒成立， 即321x x b x-+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=， 则2323222(32)(1)21()x x x x x x x g x x x -+--+--++'==， 由32322111()x x x x x -++=-+-可知[]1,2x ∈时()0g x '<， 即321()x x g x x-+-=在[]1,2x ∈单调递减， max 5()(2)2g x g ==-， ∴52b <-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立．26．已知函数3()3e f x x ax -=+，()1ln g x x =-，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,)(1)f 处的切线与直线:20l x y +=垂直，求实数a 的值． （Ⅱ）设函数1()()22F x x g x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，若()F x 在区间(,1)()m m m +∈Z 内存在唯一的极值点，求m 的值．（Ⅲ）用{}m a x ,m n 表示m ，n 中的较大者，记函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>．若函数()h x 在(0,)+∞ 上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算(1)f '，求出a 的值即可；（Ⅱ）求出函数()F x 的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m 的值即可；（Ⅲ）通过讨论a 的范围求出函数()f x 的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ） 易得，2()33f x x a '=-，所以(1)33f a '=-， 依题意，1(33)12a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得13a =； （Ⅱ）因为2111()()2(1ln )2ln 222F x x g x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-=--+-=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则()ln 11ln 2F x x x x x '=+-+=-+．设()ln 2t x x x =-+， 则11()1x t x x x-'=-=． 令()0t x '=，得1x =．则由()0t x '>，得01x <<，()F x '为增函数；由()0t x '<，得1x >，()F x '为减函数； 而222111220e e e F ⎛⎫'=--+=-< ⎪⎝⎭，(1)10F '=>． 则()F x '在(0,1)上有且只有一个零点1x ，且在1(0,)x 上()0F x '<，()F x 为减函数；在1(,)1x 上()0F x '>，()F x 为增函数．所以1x 为极值点，此时0m =．又(3)ln310F '=->，(4)2ln220F '=-<，则()F x '在(3,4)上有且只有一个零点2x ，且在2(3,)x 上()0F x '>，()F x 为增函数；在2(),4x 上()0F x '<，()F x 为减函数．所以2x 为极值点，此时3m =．综上0m =或3m =．（Ⅲ）（1）当(0,e)x ∈时，()0g x >，依题意，()(0)0h x g >≥，不满足条件； （2）当e x =时，(e)0g =，3()3f e e ae e -=+，①若3(e)e 3e e 0f a -=+≤，即2e 13a +≥，则e 是()h x 的一个零点； ②若3(e)e 3e e 0f a -=+>，即2e 13a +<，则e 不是()h x 的零点； （3）当(e,)x ∈+∞时，()0g x <，所以此时只需考虑函数()f x 在(e,)+∞上零点的情况．因为22()333e 3f x x a a ->-'=，所以①当2e a ≤时，()0f x '>，()f x 在(e,)+∞上单调递增．又3(e)e 3e e f a -=+，所以（i ）当2e 13a +≤时，(e)0f ≥，()f x 在(e,)+∞上无零点； （ii ）当22e 1e 3a +<≤时，(e)0f <， 又333(2e)8e 6e e 8e 6e e 0f a =+-+->≥，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点；②当2e a >时，令()0f x '=，得x =由()0f x '<，得e x <由()0f x '>，得x >所以()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增．因为3(e )e f a -=<+-+<，32222(2)86e 86e 2e 0f a a a a a a =+=->+-+>，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点； 综上，2e 13a +>．。

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 2014．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）(1,1) （10）ππcosisin33n n + （11）1212120x x y y z z ++= （12）53i -+ （13）66 （14）1(,1)2，2014注：（12）若填i a b -给1分；（14）题每空2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC =. 因为 AE EP =，所以 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ， 所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD ^. 因为 PD BC ^，CDPD D =，PD Ì平面PDC ，DC Ì平面PDC ，所以 BC ^平面PDC . ………………………8分 因为 PC Ì平面PDC ，所以 BC PC ^. ………………………10分 （16）（本小题满分10分）证明：充分性：假设方程()0f x =至少有一个整数根0x .则 2000x bx c ++=. ………………………2分 若0x 是奇数，因为,b c 均为奇数，所以200x bx c ++为奇数，不可能为0，矛盾；………………………4分OAEBCDP若0x 是偶数，因为,b c 均为奇数，所以200x bx c ++为奇数，不可能为0，矛盾.所以 方程()0f x =无整数根.所以 “,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的充分条件. ……………………6分 不必要性：令1,2b c ==，方程()0f x =即220x x ++=显然无整数根，但此时c 为偶数.所以 “,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的不必要条件.综上所述，“,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的充分而不必要条件.………………………10分 （17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）如图所示. ………………………2分（Ⅱ）因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是（2，3），（6，6.2）， 所以 直线l 的方程是： 6.233(2)62y x --=--，即4570x y -+=. …………………5分 （Ⅲ）由题意可设直线l 的方程为(4)5y k x =-+. ………………………6分 则维修费用的每一个观察值与直线l 上对应点的纵坐标的差的绝对值之和()3(25) 4.4(5) 5.6(5) 6.2(25)S k k k k k =--++--++-++-+2140.6 k k =-+-4.46, 0.6,20.4, 0.61, 6 4.4, 1.k k k k k k -≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩………………………9分因为 函数()S k 的单调递增区间是(0.6,)+∞，单调递减区间是(,0.6)-∞，所以 当0.6k =时，()S k 取得最小值0.8，此时直线l 的方程是35130x y -+=.………………………12分（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：（1）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直；（2）是，符合定义. ………………………2分 （Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”是真命题.理由如下：当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,n k k =-=，取折线1221k C A A A ----：.其中(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-，满足2121(1,2,,21),0(1,2,,),1(1,2,,1)i i i a i i k b i k b i k -=-=-====-.则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,n k k ==，取折线122k C A A A ---：.其中(,)(1,2,,2)i i i A a b i k =，满足22121(1,2,,21),2,0(1,2,,),1(1,2,,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C 的共轭折线为折线122'k C B B B ---：.其中(,)(1,2,,2)i i i B x y i k =满足22212211(1,2,,23),21,21,2,0(1,2,,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如图所示. ………………………7分注：本题答案不唯一.（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，44B A =），设1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数.则由11t t t t B B A A ++⊥，得：11223312312330, 30, 30, 9, 1. x y x y x y x x x y y y +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩①②③④⑤由①②③式得11223,,.3333y x y x y x =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩这与⑤式矛盾，因此，折线C 无共轭折线. ………………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。

北京四中2013—2014学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文）（时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1. 椭圆方程为13422=+y x ，则它的右焦点坐标为 A. )0,7(B. )0,5(C. )0,1(D. )0,7(2. 双曲线18422=-y x 的实轴长是 A. 2B. 22C. 4D. 243. 曲线0222222=-++x y x 关于 A. 直线2=x 轴对称B. 直线x y -=轴对称C. 点)2,2(-中心对称D. 点)0,2(-中心对称4. 动点P 到点A （-2，0）及点B （2,0）的距离之和为4，则点P 的轨迹是 A. 一条线段 B. 两条射线 C. 双曲线 D. 椭圆5. 已知椭圆12222=+ny m x )00(>>n m ，的右焦点为)0,2(，离心率为21，则此椭圆的标准方程为A.1121622=+y x B.1161222=+y x C.1644822=+y x D.1486422=+y x 6. 己知圆C ：0422=-+x y x ，l 是过点P )0,3(的直线，则 A. l 与C 相交 B. l 与C 相切C. l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能7. 如果一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则此几何体的表面积是A. 2)2420(cm +B. 221cmC. 2)2424(cm +D. 224cm8. 若直线b x y +=与曲线222x y -=有公共点，则b 的取值范围是A. ]3,3[-B. ]3,21[-C. ]3,1[-D. ]3,221[-9. 已知F 1、F 2为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则=⋅21PF PFA. 2B. 6C. 4D. 810. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱线长为1，线段11D B 上有两个动点E ，F ，且21=EF ，则下列结论中错误．．的是A. AC ⊥BEB. EF ∥平面ABCDC. 三棱锥A-BEF 的体积为定值D. △AEF 的面积与△BEF 的面积相等11. 已知圆O 的方程为122=+y x ，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA ⋅的最小值为A. 24+- B. 23+- C. 224+-D. 223+-12. 如图，F 1，F 2是椭圆14:221=+y x C 与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点。

北京四中2013—2014学年上学期高二年级期中考试数学试卷（文科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 原点到直线x +2y －5=0的距离为 A. 1 B.3 C. 2 D. 52. 过点（1，0），且与直线x －2y －2=0平行的直线方程是A. x －2y －1=0B. x －2y +1=0C. 2x +y －2=0D. x +2y －1=0 3. 已知直线l 的方程为0333=-+y x ，那么直线l 的倾斜角等于 A.3π B. 6π c. 32π D. 65π4. 在下列四个正方体中，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则能得出直线PQ 与RS 是异面直线的图是5. 一个圆锥的三视图及其尺寸如图，该圆锥的体积为A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π6. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B. 若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C. 若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D. 若l ∥α，m ∥α，则l ∥m7. 如图，在三棱锥D －ABC 中，点E 、F 、G 分别在侧棱DA 、DB 、DC 上，且平面EF G ∥平面ABC ，给出下列三个结论：①EF ∥AB ；②BC ∥平面EF G ；③EG ∥平面ABC ，其中成立的结论的个数是A. 0B. 1C. 2D. 38. 两条直线y =kx +2k +1与x +2y －4=0的交点在第四象限，则有 A. －6< k <2 B. －61< k <0 C. －21< k <－61 D. k >21 9. 下列命题正确的是A. 若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行10. 如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，P 为对角线BD ′的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个11. 己知矩形ABCD ，AB =1，BC =2。

（试卷满分150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 复数i-12等于 A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i2. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列推理所得结论正确的是A. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x a a a log log )(log +=+B. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x sin sin )sin(+=+C. 由)()(c b a c b a ++=++类比得到)()(yz x z xy =D. 由nn nb a ab =)(类比得到nnny x y x +=+)(4. 若xx x f sin 1)(2-=，则)(x f 的导数是A. x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B. x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C. xx x x sin )1(sin 22-+-D. xx x x sin )1(sin 22---5. 复数i z +=1，z 为z 的共轭复数，则=--1z z zA. －2iB. –iC. iD. 2i6. 已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是A. 在)0,(-∞上为减函数B. 在0=x 处取得最大值C. 在),4(+∞上为减函数D. 在2=x 处取得最小值7. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递减区间为A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1, C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,18. 函数216x xy +=的极大值为 A. 3B. 4C. 2D. 59. 函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是A. 0>aB. 0≥aC. 0<aD. 0≤a10. 当0<a 时，函数4331223---=x a ax x y 在()+∞,3上是增函数，则实数a 的取值范围是A. ()0,3-B. [)0,3-C. []1,3-D. ()1,3-11. 给出四个命题：（1）函数在闭区间],[b a 上的极大值一定比极小值大； （2）函数在闭区间],[b a 上的最大值一定是极大值；（3）对于12)(23+++=x px x x f ，若6<p ，则)(x f 无极值； （4）函数)(x f 在区间),(b a 上一定不存在最值。

北京四中2014-2015学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

） 1. 抛物线x y 82-=的准线方程为（ ） A. x =2B. x =-2C. x =4D. x =-42. 若双曲线方程为1222=-y x ，则其渐近线方程为（ ） A. x y 2±= B. x y 2±= C. x y 21±= D. x y 22±= 3. 已知点M 的一个极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛3,5π，下列给出的四个极坐标仍能表示点M 的是（ ） A. ⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B. ⎪⎭⎫⎝⎛34,5πC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-35,5π 4. “8<m ”是“方程181022=---m y m x 表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为（ ）A.1161222=+y xB.1121622=+y x C.1644822=+y xD.1486422=+y x 6. 设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 两个焦点分别为F 1,F 2，若C 上存在点P 满足1PF :21F F :2PF =4:3:2，则椭圆C 的离心率等于（ ）A.21B.32C.43 D.317. 已知点P 是抛物线x y 22=上的动点，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎪⎭⎫⎝⎛4,27，则PM PA +的最小值是（ ）A.27 B. 4 C.29 D. 58. 若有两个焦点1F ，2F 的圆锥曲线上存在点P ，使213PF PF =成立，则称该圆锥曲线上存在“α”点，现给出四个圆锥曲线：①112422=-y x ②11522=-y x ③17922=+y x ④141222=+y x 其中存在“α”点的圆锥曲线有（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启用前2018-2019学年北京四中高二年级下学期期中考试数学试题（文科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．在复平面内，复数1ii+对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析：()211111i ii iii i++-===--，对应点()1,1-，在第四象限．故选D．考点：复数的几何意义．2．函数f（x）是定义在（-，+）上的可导函数. 则“函数y=f（x）在R上单调递增”是“f'（x）>0在R上恒成立”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：当时，，根据导数的几何意义，可得在单调递增，反之，比如函数在上为单调递增，当，即可得到结论.详解：当时，，根据导数的几何意义，可得在单调递增，所以“在单调递增”是“时，”的必要条件，反之，比如函数在上为单调递增，当，所以“在单调递增”是“时，”的不充分条件，综上可知，“在单调递增”是“时，”的必要不充分条件，故选B.点睛：本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，以及必要不充分条件的判定，其中熟记函数的导数与函数的单调性的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3．曲线y=x3-2x+l在点（1，0）处的切线方程为A. y=x-1B. y=-x+1C. y=2x-2D. y=-2x+2【答案】A【解析】分析：由函数，可得，所以，得到切线的斜率，利用点斜式方程，即可求解切线的方程.详解：由函数，可得，所以，即在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线方程为，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义，求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．函数y=xcosx的导数为A. y'=cosx-xsinxB. y'=cosx+xsinxC. y'=xcosx-sinxD. y'=xcosx+sinx【答案】A【解析】分析：利用导数的四则运算和基本初等函数的导数，即可求解.详解：由题意，根据导数的四则运算可知：函数的导数为，故选A.点睛：本题主要考查了导数的四则运算和基本初等函数的导数，其中熟记导数运算的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．设f（x）=x2-2x-4lnx，则函数f（x）的增区间为A. （0，+）B. （-，-1），（2，+）C. （2，+）D. （-1，0）【答案】C【解析】分析：求得函数的导数，利用和函数的定义域，即可求解函数的递增区间. 详解：由函数，且可得，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选C.点睛：本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导数与函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．若复数z=（x2-4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：先通过复数的基本概念，求出“为纯虚数”的最简形式，判断前者成立能否推出后者成立，反之后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义，即可得到结论.详解：“为纯虚数”的充要条件为，即，因为成立推不出城，反之若成立，则成立，所以“为纯虚数”是“”的必要不充分条件，故选B.点睛：本题主要考查了充要条件的判定，以及复数的基本概念，其中熟记复数的基本概念即应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.7．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值．．．点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】分析：直接利用函数的极小值两侧导函数值需左负右正，结合图象看满足导函数值左负右正的自变量有几个，即可得到结论.详解：因为函数的极小值两次的导函数满足左负与正，由图象可的，满足导函数的函数值左负右正的只有一个，所以原函数的极小值点只有一个，故选A.点睛：本题主要考查了利用导函数研究原函数的极值，其中熟记导函数的函数值与函数的极值之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8．函数f（x）=（）x-logx的零点个数为2A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析：函数的零点，可转化为函数和函数的图象的交点根据，作出两个函数的图象，结合图象可知两函数的图象，即可求解.详解：由题意，函数的零点，可转化为函数和函数的图象的交点根据，在同一坐标系内作出两个函数的图象，结合图象可知两函数的图象只有一个交点，所以函数只有一个零点，故选B.点睛：本题主要考查了函数的零点问题，其中把函数的零点，转化为两个函数的图象的焦点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9．若函数y=f（x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x）具有T性质. 下列函数中具有T性质的是A. y=sinxB. y=lnxC. y=e xD. y=x3【答案】A【解析】分析：若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导数上存在两点，使得这两点的导数之积为，即可得到答案.详解：由题意，若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导数上存在两点，使得这两点的导数之积为，当时，，满足条件；当时，恒成立，所以不满足条件；当时，恒成立，所以不满足条件；当时，恒成立，所以不满足条件，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，其中解答中正确理解题意，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力.10．函数f（x）=x3-3x，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，则实数t的最小值是A. 20B. 18C. 3D. 0【答案】A【解析】分析：对于曲线上的任意都有，等价于对于曲线上任意，都有，利用导数确定函数的单调性，求得最值，即可求解.详解：由题意，对于曲线上的任意都有，等价于对于曲线上任意，都有，因为，则，且，所以函数上函数单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，故选A.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，函数恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.11．设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是A. （-，-1）（0，1）B. （-1，0）（1，+）C. （-，-1）（-1，0）D. （0，1）（1，+）【答案】A【解析】分析：由已知时总有成立，可判定函数为减函数，由已知是定义在R上的奇函数，可得为上的偶函数，根据在上的单调性和奇偶性，模拟的图象，而不等式等价于，数形结合即可求解.详解：设，则的导数，因为当时，总有成立，即当时，，所以函数在上为单调递减函数，又因为，所以为定义域上的偶函数，又由，所以函数的图象类似如图所示：数形结合可得，不等式等价于，所以或，解得或，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及利用函数的图象求解不等式问题，其中根据函数的单调性和函数的奇偶性得到函数图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l可以多次出现），则n的所有不同值的个数为A. 4B. 6C. 8D. 32【答案】B【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解的所有可能的取值. 详解：如果正整数按照上述规则施行变换后第八项为1，则变换中的第7项一定为2，变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8，变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则的所有可能的取值为，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题z满足zi=l+i，则z2=___________.【答案】-2i【解析】分析：根据已知，求出复数，进而求解答案.详解：因为复数满足，所以，所以.点睛：本题主要考查了复数的运算，其中熟记复数的四则运算形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（2018）+f'（2018）=_________.【答案】-2011【解析】分析：由题意，函数的图象在点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值，以内可求得，再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得的值，即可求解答案.详解：根据函数的图象可知，函数的图象在点处的切线切于点，所以，又由切线的方程为，所以为函数的图象在点处的切线的斜率，所以，所以.点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点出处的切线方程，以及过曲线上某点处的切线的斜率问题，其中正确理解导数的几何意义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.15．已知函数f（x）=e x-x+a有零点，则a的取值范围是_________.【答案】（-,-1]【解析】分析：求出，得到函数在单调递减，在上单调递增，求得函数的极小值为，即可求解答案.详解：由函数，则，当时，，当时，，则函数在单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值为，令，解得，即实数的取值范围是.点睛：本题主要考查了函数的零点问题，以及利用导数研究函数的单调性和极值的应用，其中把函数的零点转化为函数的极值问题求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则（a，b）=________.【答案】（4,-11）【解析】分析：求出导函数，利用函数在处的极值为，得到和，解方程组即可得到的值.详解：由函数，则，因为函数在处的极值为，所以和，即，解得或，当时，此时，此时函数单调递增，所以没有极值，不满足条件，所以经经验可知当满足条件，此时.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得极值的条件，是函数取得极值的必要不充分条件，求解之后注意进行检验，着重考查了推理与运算能力.17．对于函数f（x）=（2x-x2）e x①（-，）是f（x）的单调递减区间；②f（-）是f（x）的极小值，f（）是f（x）的极大值；③f（x）没有最大值，也没有最小值；④f（x）有最大值，没有最小值.其中判断正确的是_________.【答案】②③【解析】分析：对函数进行求导，然后令求出，再根据的正负判断得到函数的单调性，进而确定①不正确；②正确，根据函数的单调性可判断极大值，既是原函数的最大值，无最小值，（3）正确，（4）不正确，从而得到答案.详解：由函数，则，由，解得，所以函数在单调递增；由，解得或，所以函数在单调递减，所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，所以①不正确；②正确；进而根据函数的单调性和函数的变化趋势，可得函数没有最大值，也没有最小值，所以③正确，④不正确，所以正确命题的序号为②③.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求解函数的极值与最值中的应用，其中熟记函数的导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力.18．若函数e x f（x）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数：①f（x）=（x>1）②f（x）=x2③f（x）=cosx ④f（x）=2-x中具有M性质的是__________.【答案】①④【解析】分析：根据函数的新定义，函数的单调性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论.详解：当时，函数，则，则函数在单调递增，在上单调递减，与函数的单调性是相同的，所以具有M性质；当时，函数在定义域上没有单调性，所以函数不具有M性质；当时，函数在定义域上没有单调性，所以函数不具有M 性质；当时，函数在定义域上有相同的单调性，所以函数具有M性质，综上可知，具有M性质的为①④.点睛：本题主要考查了函数的的单调性的应用问题，其中正确理解函数的新定义，逐一判定函数的单调性逐一判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题=-x3+3x2+9x+a.（I）求f（x）的单调减区间；（II）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.【答案】（1）递减区间为（-,-1），（3，+）（2）最小值为-7.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．解：（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．视频20．设f（x）=a（x-5）2+61nx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）.（I）确定a的值；（II）求函数f（x）的单调区间与极值.【答案】（1）a=（2）在（0，2），（3，+）上为增函数；在（2，3）上为减函数.在x=2处取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3处取得极小值f（3）=2+6ln3.【解析】试题分析：（1）求出导数，得，写出题中切线方程，令，则，由此可得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．试题解析：（1）因为，故．令，得，，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得．（2）由（1）知，（），．令，解得，．当或时，，故的递增区间是，；当时，，故的递减区间是．由此可知在处取得极大值，在处取得极小值．考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 （1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′（x 0）； （2）已知斜率k ，求切点A （x 1，f （x 1）），即解方程f ′（x 1）＝k ；（3）已知过某点M （x 1，f （x 1））（不是切点）的切线斜率为k 时，常需设出切点A （x 0，f （x 0）），利用k ＝求解．视频21．已知函数f （x ）=ax 4lnx+bx 4﹣c （x ＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c ，其中a ，b ，c 为常数． （1）试确定a ，b 的值；（2）讨论函数f （x ）的单调区间；（3）若对任意x ＞0，不等式f （x ）≥﹣2c 2恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）a=12 b=﹣3 （2）f （x ）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；（3）（﹣∞，﹣1]∪【解析】试题分析： （1）由极值的定义和已知条件可得b ﹣c=﹣3﹣c ，，即b=-3；对已知函数求导，再由(1)0f '=，列出管a ，b 的等式，即可得到a 的值.（2）由（1）可得到f （x ）的表达式，然后对其求导，由()0f x '>或()0f x '<，可得到函数的单调增区间或减区间.（3）求出f （x ）的最小值﹣3﹣c ，已知条件式f （x ）≥﹣2c 2恒成立可转化为﹣3﹣c ≥﹣2c 2，解得c 即可. 试题解析：解：（1）由题意知f （1）=﹣3﹣c ，因此b ﹣c=﹣3﹣c ，从而b=﹣3。

北京四中2009-2010学年度第二学期高二数学 期中测试卷(理)试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分共计150分 考试时间：120分钟卷（I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．函数2y x bx c =++在[)0,+∞是单调函数的充要条件是（ ）A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ． 0b <2．212xdx =⎰（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．若z =1+i （i 是虚数单位），则22z z+=（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ． -1+i4． 若21sin x y x-=，则y '=（ ）A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ． xx x x sin )1(sin 22---5．给出四个命题：（1）函数在闭区间[,]a b 上的极大值一定比极小值大 （2）函数在闭区间[,]a b 上的最大值一定是极大值 （3）对于12)(23+++=x px x x f ，若6||<p ，则)(x f 无极值 （4）函数)(x f 在区间),(b a 上一定不存在最值其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 6．下列推理正确的是（ ）A ．由()a b c ab ac +=+类比得到log ()log log a aa x y x y +=+B ．由()a b c ab ac +=+类比得到sin()sin sin x y x y +=+C ．由()()a b c a b c ++=++类比得到()()xy z x yz =D ．由()n n n ab a b =类比得到n n n ()x y x y +=+7．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，则点),(b a 为（ ）A ．)11,4(-或(3,3)-B ．(4,5)-或(3,9)-C ．(4,5)-D ． )11,4(-8．函数2()(2)x f x e x x =-的单调减区间是（ ）A ．(,-∞，B ．(,-∞，)+∞C ．(D ．(-∞9．由直线21=x ，2x =，曲线x y 1=及x 轴所围成图形的面积是（ ） A ．415 B ．417 C ．2ln 2 D ． 2ln 2110．若函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ． 23y x =-+二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．若函数x a y =（1a >）在]1,0[上的最大值与最小值之和为3，则a ＝____________。

北京四中2017-2018学年上学期高中二年级期中考试数学试卷（文科）试卷分为两卷，卷（I） 100分，卷（II） 50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（I）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是A. 空间任意三点B. 空间两条直线C. 空间两条平行直线D. 一条直线和一个点2. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A. l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B. l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C. l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D. l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB. 若m⊥α，n⊥α，则m∥nC. 若m∥α，n∥α，则m∥nD. 若m ∥α，m∥β，则α∥β4. 在四面体P-ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个5. 下列命题中错误．．的是A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，αβ=l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC 中点，则下列叙述正确的是A. CC1与B1E是异面直线B. AC⊥平面ABB1A1C. AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D. A1C1∥平面AB1E7. 把正方形ABCD沿对角线BD折，使平面ABD⊥平面CBD后，下列命题正确的是A. AB⊥BCB. AC⊥BDC. CD⊥平面ABCD. 平面ABC⊥平面ACD8. 如图所示点P为三棱柱ABC-A1B1C1侧棱AA1上一动点，若四棱锥P-BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为A. 2VB. 3VC. 43VD.32V二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α; ②m⊥α; ③m⊂α; ④α⊥β; ⑤α∥β（1）当满足条件___________（填序号或序号组合）时，有m∥β；（2）当满足条件_____________（填序号或序号组合）时，有m⊥β.10. 己知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题正确的是（1）若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；（2）若l平行于α，则l平行于α内所有直线；（3） m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；（4）若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β；（5）m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l.11. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是_____________.12. 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，，己知空间中有一个点到这四个点距离相等，则这个距离是__________.13. 某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为_______________.14. 如下图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，己知△A'DE是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，不考虑A'与A、F重合的情形，给出下列命题：①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A'DE；③三棱锥A'-FED的体积有最大值.其中真命题的序号是_______________.三、解答题：本大题共3小题，共30分15. 已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示：（I）求四棱锥P-ABCD的表面积；（II）求四棱锥P-ABCD的体积.16. 若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求证：BC⊥AC17. 如图，已知PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，AB=2，C是圆O上的一点，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC中点，F为PB的中点.（I）求证：EF∥面ABC；（II）求证：EF⊥面PAC；（III）求三棱锥B-PAC的体积.卷（Ⅱ）一、选填题：本大题共5小题，每小题5分，共25分1. 下列说法正确的是A. 一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C. 一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真2. 在空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）. 画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在（）位置时，平面D1BQ∥平面PAO.A. Q与C重合B. Q与C1重合C. Q为CC1的三等分点D. Q为CC1的中点4. 若a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，①当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β；②当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β③当b⊂α时，若a∥α，则a∥b：④若a，b异面，则有无数条直线与a，b都垂直；⑤若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b.真命题的序号是_________________.5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上. 若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为____________.二、解答题：本大题共2小题，第6题10分，第7题15分.6. 如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点，求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA.7. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ?说明理由。