2017北京四中高二(下)期中数学(理)含答案

北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试高三数学 期中试卷（理）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{1,2}A =,则U A =ðA ．{4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{1,3,4}2．设命题2:,2n p n n ∃∈>N ，则p ⌝为A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2n n n ∃∈N ≤C ．2,2n n n ∀∈N ≤D ．2,2n n n ∃∈<N 3．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．846．已知x ∈R ，则“απ=”是“sin()sin x x α+=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在区间[1,0]-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a8.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 9．设i 是虚数单位，则1i1i-=+ .10．执行如图所示的框图，输出值x = .11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大．12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式()0x f x >的解集为______.13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是________元．14．已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||PQ .设,M m t t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记()h t M m t t =-.则 (1) 若函数()f x x =，则(1)h =______；（2）若函数π()sin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()h t 的最小正周期为______.三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分）集合2{|320}A x x x =-+<，11{|28}2x B x -=<<，{|(2)()0}C x x x m =+-<， 其中m ∈R . （Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若()A B C ⊆，求实数m 的取值范围.16．（本题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本题满分13分）已知函数()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.18．（本题满分13分）已知函数()1()ln(1)01xf x ax x x-=+++≥，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19．（本题满分14分）设函数()ln e x b f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为e(1)2y x =-+. （Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）设()2()e 0ex g x x x -=->，求()g x 的最大值； （Ⅲ）证明函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点.20．（本题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,().1,M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？参考答案一．选择题（每小题5分，共40分）()4,+∞215. 解：（Ⅰ）()2{|320}1,2A x x x =-+<=；()1{|28}0,42x B x -=<<=； 所以()1,2A B =； （Ⅱ）()0,4A B =，若2m >-，则()2,C m =-，若()0,4A B C =⊆，则4m ≥； 若2m =-，则C =∅，不满足()0,4A B C =⊆，舍； 若2m <-，则(),2C m =-，不满足()0,4A B C =⊆，舍； 综上[)4,m ∈+∞.16. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===. 所以1(1)3,n a a n d n n *=+-=∈N ． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =.所以()11112n n n n b a b a q ---=-=. 从而11232,n n n n b a n n --*=+=+∈N ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知132,n n b n n -*=+∈N ．123n n S b b b b =++++01211(32)(62)(92)(32)2n n n --=++++++++0121(3693)(2222)n n -=+++++++++(33)12212n n n +-=+-2332122n n n =++- 所以，数列{}n b 的前n 项和为2332122n n n ++-.17. 解：()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14sin sin 2x x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭2cos 2sin x x x =-2cos21x x =+-12cos2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得263k x k ππππ+≤≤+， 所以函数()f x 的单调减区间为2[+,],63k k k ππππ+∈Z . （Ⅱ）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤ ， 于是 12sin(2)26x π-≤+≤ ，所以2()1f x -≤≤.当且仅当2x π=时 ()f x 取最小值min ()()22f x f π==-; 当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.18. 解定义域为[)0,+∞.22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++.（Ⅰ）若1a =，则221()(1)(1)x f x x x -'=++，令()0f x '=，得1x =（舍1-）.所以1a =(0,1).（Ⅱ）222()(1)(1)ax a fx ax x +-'=++，∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，所以()(0)1;f x f =的最小值为②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得 ∴()f x +∞的单调减区间为（0）.所以()f x 在x =处取得最小值，注意到(0)1,f f <=，所以不满足 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ 19. 解：()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+),()2()ln ln ln .x x x b b a bb f x a x e a x e a x e x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)2,(1).f f e '==由题意可得 21,.a b e==故 （Ⅱ）2(),'()(1)x x g x xe g x e x e--=-=-则.(0,1)()0;(1,)()0.()1()(0,)(1).x g x x g x g x g x g e''∈>∈+∞<∞∞=-所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为 （Ⅲ）12()ln ,x x f x e x e x -=+由（I ）知又0(1)ln12=21,f e e =+>于是函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点等价于()1f x >。

北京四中高二第二学期数学期中模拟考试（理科卷）2018年度（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案写在答题纸上，考试结束后只交答题纸.第I 卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．物体运动方程为4134S t =-，则2t =时瞬时速度为（ ）A ．2B ．4C ． 6D ．82．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( ) A ．假设三个内角都不大于60度 B ．假设三个内角都大于60度 C ．假设三个内角至多有一个大于60度 D ．假设三个内角至多有两个大于60度 4．曲线13sin 3+-=x x y 在点(0,1)P 处的切线的倾斜角为 ( )A ．30B ．60C ．120D ．1505．如图，由曲线12-=x y ,直线0=x ,2=x 和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．32C ．34 D ．26．平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）A ．3a B C D7．函数x xe x f -=)(的( )A ．极大值为1e - B ．极小值为1e - C ．极大值为e - D ．极小值为e -8．用数学归纳法证明2321242n n n +=++++，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上添加的式子为（ ）A.222)1()2()1(++++++k k k B.2(1)k + C.42(1)(1)2k k +++ D. 21k +9．若1,,a xdx b c ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a << 10．观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为（ ） A ．9(1)109n n n ++=+ B ．9(1)109n n n -+=- C ．9(1)101n n n +-=-D ．9(1)(1)1010n n n -+-=-11.下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）A ．xe ex > B ． 20x x -> C ． sin 1x x >-+ D ． ln(1)x x >+12.已知可导函数()f x )(R x ∈满足)()('x f x f >，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为（ ）A. ()<e (0)a f a fB. ()=e (0)a f a fC. ()>e (0)a f a fD. ()e (0)a f a f ≤第II 卷二．填空题：(本题共4小题，每小题5分，满分20分)13．若3()log (1)(1)f x x x =->，则(2)f '=．14．=-++-⎰dx x x x)12(1123．15．仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是 ．16. 如果a b b a b b a a +>+，则实数b a ,应满足的条件是________ ．三．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）若0,0a b >>，求证：11()()4a b a b++≥．18.（12分）已知函数321()22f x x x x c =--+，若对于[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．19.（12分）一质点从时刻)(0s t =开始以速度)/(342s m t t v +-=沿直线运动，求该质点：(1)在)(4s t =时的位置；(2)在)](4,0[s t ∈时间段内运动的路程.20.（12分）如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．21．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知.,2,1),1(,2121 =--==n n n a n S a n n （1）写出n S 与1-n S 的递推关系式)2(≥n ，并求n S 关于n 的表达式； （2）设))((,)('1R p p f b x nS x f n n n n n ∈==+，求数列{}n b 的前n 项和.n T22.（12分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1(),()()().f x g x f x f x x''==+ （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系． （3）是否存在00>x ，使得xx g x g 1)()(0<-对任意0>x 成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.19.（本题12分）22.（本题12分）解 （Ⅰ）由题设易知()ln f x x =，1()ln g x x x=+， ∴21'()x g x x -=，令'()0g x =得1x =， 当(0,1)x ∈时，'()0g x <，故（0,1）是()g x 的单调减区间， 当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，故(1,)+∞是()g x 的单调增区间，因此，1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =. （Ⅱ）1()ln g x x x=-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，则22(1)'()x h x x-=-， 当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=， 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时'()0h x <，'(1)0h =， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()()g x g x>， 当1x >时，()(1)0h x h <=，即1()()g x g x<. （Ⅲ）满足条件的0x 不存在. 证明如下：证法一 假设存在00x > ，使01|()()|g x g x x-< 对任意0x > 成立， 即对任意0x >，有 02()Inx g x Inx x<<+ ，（*） 但对上述0x ，取0()1g x x e=时，有 10()Inx g x =，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在00x > ，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立。

2017北京师大附中高二（下）期中数 学（理）一、 选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题纸上．1．复数2z i =-+所对应的点在复平面的（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是（ ）．A ．()π1,2B ．()π1,2-C ．()0,1D ．()1,03．定积分π2(sin cos )π2x x dx +-⎰的值为（ ）． A ．0 B ．π4 C ．2 D ．44．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数()f x 在R 上可导，()2()ln f x xf e x '=+，则()f e '=（ ）．A ．1B ．1-C ．1e -D ．e -6．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）．A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）．A ．O y x B ．x yOC ．x y O D ．x yO8．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>．下面的不等式在R 上恒成立的是（ ）．A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x x >D ．()f x x <二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题纸上．9．若43z i =+，则z z =__________． 10．参数方程34cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），化为普通方程为__________． 11．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为__________．12．函数()ln f x x ax =+(0)a <的单调增区间为__________．13．已知函数()(0)b f x ax b x=+>的图象在点(1,(1))P f 处的切线与直线210x y +-=垂直，且函数()f x 在区间)1,2⎡+∞⎢⎣上是单调递增，则b 的最大值等于__________． 14．对于函数()f x ，若存在区间[],M a b =，使得{}(),y y f x x M M =∈=，则称函数()f x 具有性质P ，给出下列3个函数：①()sin f x x =；②3()3f x x x =-；③()lg 3f x x =+；其中具有性质P 的函数是__________（填入所有满足条件函数的序号）．三、解答题：本大题共6道题，共80分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．计算题（1）1234i i -+（2）设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），求z ．16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为()π22cos 4ρθ=+，直线l 的参数方程为122x t y t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．（1）求圆心的极坐标；（2）求PAB △面积的最大值．17．已知函数()11()ln f x m x x m x =++-，（其中常数0m >） （1）当2m =时，求()f x 的极大值；（2）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性．18．若函数32()(,)f x ax x bx a b R =-+∈．当3x =时，()f x 有极小值9-．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()(68)4g x f x m x '=+-+，()h x mx =，当0m >时，对于任意x ，()g x 和()h x 的值至少有一个是正数，求实数m 的取值范围．19．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数．函数()(2)g x e x =-．（1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ⎧=⎨>⎩≤的值域为R ，求实数m 的取值范围．20．已知函数()x f x e ax =+，()a R ∈，其图象与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，且12x x <．（1）证明：a e <-；（2）证明：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭；（其中()f x '为()f x 的导函数）． （3）设点C 在函数()f x 的图象上，且ABC △t =，求(1)(t a -+的值．。

北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试高三数学 期中试卷（理）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{1,2}A =,则U A =ðA ．{4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{1,3,4}2．设命题2:,2n p n n ∃∈>N ，则p ⌝为A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2n n n ∃∈N ≤C ．2,2n n n ∀∈N ≤D ．2,2n n n ∃∈<N3．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．846．已知x ∈R ，则“απ=”是“sin()sin x x α+=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在区间[1,0]-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a8.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 9．设i 是虚数单位，则1i1i-=+ . 10．执行如图所示的框图，输出值x = . 11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大． 12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式()0x f x >的解集为______. 13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是________元．14．已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合:{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||PQ .设,M m t t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记()h t M m t t =-.则 (1) 若函数()f x x =，则(1)h =______；（2）若函数π()sin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()h t 的最小正周期为______.三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分）集合2{|320}A x x x =-+<，11{|28}2x B x -=<<，{|(2)()0}C x x x m =+-<， 其中m ∈R . （Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若()A B C ⊆ ，求实数m 的取值范围.16．（本题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本题满分13分）已知函数()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.18．（本题满分13分）已知函数()1()ln(1)01xf x ax x x-=+++≥，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19．（本题满分14分）设函数()ln e x b f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为e(1)2y x =-+.（Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）设()2()e 0ex g x x x -=->，求()g x 的最大值； （Ⅲ）证明函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点. 20．（本题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,().1,M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？参考答案一．选择题（每小题5分，共40分）15. 解：（Ⅰ）()2{|320}1,2A x x x =-+<=；()1{|28}0,42x B x -=<<=； 所以()1,2A B = ； （Ⅱ）()0,4A B = ，若2m >-，则()2,C m =-，若()0,4A B C =⊆ ，则4m ≥； 若2m =-，则C =∅，不满足()0,4A B C =⊆ ，舍； 若2m <-，则(),2C m =-，不满足()0,4A B C =⊆ ，舍； 综上[)4,m ∈+∞.16. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===. 所以1(1)3,n a a n d n n *=+-=∈N ． 设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =. 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=. 从而11232,n n n n b a n n --*=+=+∈N ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知132,n n b n n -*=+∈N ．123n n S b b b b =++++01211(32)(62)(92)(32)2n n n --=++++++++ 0121(3693)(2222)n n -=+++++++++(33)12212n n n +-=+-2332122n n n =++- 所以，数列{}n b 的前n 项和为2332122n n n ++-.17. 解：()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭14sin sin 2x x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭2cos 2sin x x x =-2cos21x x =+-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得263k x k ππππ+≤≤+，所以函数()f x 的单调减区间为2[+,],63k k k ππππ+∈Z .（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π-≤+≤ ，所以2()1f x -≤≤.当且仅当2x π=时 ()f x 取最小值min ()()22f x f π==-;当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.18. 解:定义域为[)0,+∞.22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++. （Ⅰ）若1a =，则221()(1)(1)x f x x x -'=++，令()0f x '=，得1x =（舍1-）.所以1a =时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++，∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，所以()(0)1;f x f =的最小值为②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）.所以()f x在x =处取得最小值，注意到(0)1,f f <=，所以不满足 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞19. 解：()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+),()2()ln ln ln .x x x b b a bb f x a x e a x e a x e x x x xx '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)2,(1).f f e '==由题意可得 21,.a b e==故 （Ⅱ）2(),'()(1)x x g x xe g x e x e--=-=-则.(0,1)()0;(1,)()0.()1()(0,)(1).x g x x g x g x g x g e ''∈>∈+∞<∞∞=-所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为 （Ⅲ）12()ln ,x x f x e x e x-=+由（I ）知又0(1)ln12=21,f e e =+>于是函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点等价于()1f x >。

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．复数21i=-（ ）AB +C ．1i -D ．1i +【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+． 故选：D ．2．下列求导正确的是（ ）．A ．2(32)3x x -'=B ．21(log )ln2x x '=⋅ C ．(cos )sin x x '=D ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭【考点】63：导数的运算．【分析】先根据基本导数公式和导数的运算法则求导，再判断 【解答】解：2(32)6x x -'=，21(log )ln2x x '=⋅，(cos )sin x x '=-，211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：B ．3．曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率等于（ ）．A ．2eB ．eC ．2D ．1【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可． 【解答】解：曲线e x y x =⋅，可得e e x x y x '=+，曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率：e e 2e +=． 故选：A ．4．设0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：0a >，0b >，则“a b >”⇔“ln ln a b >”．因此0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件． 故选：D ．5．函数：()3ln f x x x =+的单调递增区间是（ ）．A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(e,)+∞C ．1,e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞D ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出()f x 的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．【解答】解：由函数()3ln f x x x =+得：()ln 1f x x =+，令()ln 10f x x '=+>即1ln 1ln e x >-=，根据e 1>得到此对数函数为增函数，所以得到1ex >，即为函数的单调递增区间． 故选C ．6．在复平面内，复数2i1i -+（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）． A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数2i1i-+的共轭复数对应的点的坐标得答案． 【解答】解：由2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222----===-++-， 得13i 22z =+， ∴在复平面内，复数2i 1i -+的共轭复数对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限．7．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）．A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【考点】2J ：命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选：C ．8．已知23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）．A ．nB ．1n -C ．(1)2n n -D ．1(1)2n n +【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，对函数()f x 求导，计算可得()f x '，将0x =代入计算可得答案． 【解答】解：根据题意，23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则其导数231()12(1)3(1)4(1)(1)n f x x x x n x -'=+++++++++L ， 则(1)(0)12342n n f n +'=+++++=L ； 故选：D ．9．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）．A ．[]3,6-B ．(3,6)-C ．]([,36,)-∞-+∞UD ．(,3)(6,)-∞-+∞U【考点】6C ：函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出导数()f x '，由()f x 有极大值、极小值可知()0f x '=有两个不等实根． 【解答】解：函数32()(6)1f x x ax a x =++++，所以2()32(6)f x x ax a '=+++，因为函数有极大值和极小值，所以方程()0f x '=有两个不相等的实数根， 即232(6)0x ax a +++=有两个不相等的实数根，∴0∆>，∴2(2)43(6)0a a +-⨯⨯>，解得：3a <-或6a >．10．方程2sin cos x x x x =+的实数解个数是（ ）．A ．3B ．0C ．2D ．1【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令2()sin cos f x x x x x =--，判断()f x 的单调性，计算极值，从而得出()f x 的零点个数．【解答】解：令2()sin cos f x x x x x =--，则()2sin cos sin (2cos )f x x x x x x x x '=--+=-， ∵2cos 0x ->，∴当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴当0x =时，()f x 取得最小值1-，又x →-∞时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞， ∴()f x 有2个零点，即发出2sin cos x x x x =+有2解． 故选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11．复数(2i)i +⋅的模为__________． 【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵(2i)i 12i +⋅=-+，∴复数(2i)i +⋅12．命题 “若0a b -=，则()()0a b a b -+=”的逆否命题为__________． 【考点】25：四种命题间的逆否关系． 【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若()()0a b a b -+≠则0a b -≠， 故答案为：()()0a b a b -+≠则0a b -≠．13．曲线3()2f x x x =+-在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点坐标为__________． 【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标，然后对()f x 进行求导，根据曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x=建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到()f x 即可得到答案． 【解答】解：设0P 点的坐标为(())a f a ，，由3()2f x x x =+-，得到2()31f x x '=+，由曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x =，得到切线方程的斜率为4， 即2()314f a a '=+=，解得1a =或1a =-， 当1a =时，(1)0f =；当1a =-时，(1)4f -=-， 则0P 点的坐标为(1,0)或(1,4)--． 故答案为：(1,0)或(1,4)--．14．函数26()1xf x x=+在区间[]0,3的最大值为__________． 【考点】7F ：基本不等式．【分析】对x 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：0x =时，(0)0f =．3](0,x ∈时，6()31f x x x==+，当且仅当1x =时取等号．∴函数26()1xf x x =+在区间[]0,3的最大值为3． 故答案为：3．15．若命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，则x 的取值范围是__________． 【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立，即2540x x +-≤成立．求解不等式得答案．【解答】解：命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，说明对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立， 即2540x x +-≤成立． 解得14x ≤≤．∴x 的取值范围是14x ≤≤．故答案为：14x ≤≤．16．对于函数()y f x =，x D ∈，若对于任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．那么函数32()1f x x x -=+，在[]1,2x ∈上的几何平均数M =__________． 【考点】34：函数的值域．【分析】根据已知中对于函数()y f x =，x D ∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M 应该等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，由32()1f x x x -=+，[]1,2D =，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数()f x 在D 上的几何平均数为M 的定义，由于()f x 的导数为2()32f x x x '=-，在[]1,2内()0f x '>， 则32()1f x x x -=+在区间[]1,2单调递增， 则11x =时，存在唯一的22x =与之对应，且1x =时，()f x 取得最小值1，2x =时，取得最大值5，故M ．三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17．设函数2()ln f x x x x =-+． （I ）求()f x 的单调区间．（II ）求()f x 在区间1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可． 【解答】解：（I ）因为2()ln f x x x x =-+其中0x >，所以1(1)(21)()21x x f x x x x-+'=-+=， 令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<， 所以()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞．（II ）由（I ）()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在[]1,e 上单调递减，∴max ()(1)0f x f ==．18．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 的单调区间．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）当1a =时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22()1x f x x =+，222(1)(1)()(1)x x f x x +-'=-+． ∴(0)2f '=， ∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=． （Ⅱ）求导函数可得，222()(1)()(1)x a ax f x x +-'=-+．当0a =时，222()(1)xf x x '=+，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减．当0a ≠，221()()2(1)x a x a f x ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=-+． ①当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞；单调增区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞；单调减区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,)a -+∞．综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞单调递减；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增．0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞单调递增；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．一、卷（II ）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(2],-∞D ．(,2)-∞【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：3211()(1)132f x x ax a x =-+-+，[]2()(1()(1)1)f x x ax a x a x '=+-=----，11a -≤时，符合题意，11a ->时，令()0f x '≥，解得：1x a -≥或1x ≤，若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数， 则11a -≤，解得：2a ≤， 故选：C ．20．观察211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，由归纳推理可得：若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）．A ．()f x -B ．()f xC ．()g xD ．()g x -【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，L 分析其规律，我们可以归纳推断出，奇函数的导数是偶函数，即可得到答案．【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数， ∵()g x 为()f x 的导函数， ∴()()g x g x -=． 故选：C ．21．若i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则1i z -+的最大值为（ ）．A1B．2C1D．2【考点】A8：复数求模．【分析】由题意画出图形，再由1i 1i)z z --=+-(的几何意义，即动点Z 到定点(1,1)P -的距离求解．【解答】解：1i 1i)z z --=+-(，其几何意义为动点Z 到定点(1,1)P -的距离， 又1z =，如图：则1i z -+1． 故选：C ．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 22．曲线n y x =在2x =处的导数为12，则n =__________． 【考点】63：导数的运算．【分析】求出函数线n y x =的导函数，把2x =代入导函数解析式可求n 的值． 【解答】解：由n y x =，得1n y nx -'=，又曲线n y x =在2x =处的导数为12， 所以1212n n -⋅=，3n =． 故答案为3．23．若0a >，0b >，且函数32()42f x x ax bx --=在1x =处有极值，则ab 的最大值为__________．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件，利用基本不等式求出ab 的最值．【解答】解：由题意，导函数2(_1222f x x ax b -'=-，∵在1x =处有极值，(1)0f '=， ∴6a b +=， ∵0a >，0b >，∴292a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，当且仅当3a b ==时取等号，∴ab 的最大值等于9． 故答案为：9．24．已知函数1()sin 3f x x x =-，[]0,πx ∈，[]001cos (0,π)3x x =∈，那么下面命题中真命题的序号是__________． ①()f x 的最大值为0()f x ； ②()f x 的最小值为0()f x ； ③()f x 在[]00,x 上是减函数； ④()f x 在[]0,πx 上是减函数．【考点】2K ：命题的真假判断与应用；6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】可求出1()sin 3f x x x =-的导数，研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题【解答】解：1()sin 3f x x x =-的导数1()cos 3f x '=-， 又[]001cos (0,π)3x x =∈， ∴函数()f x 在[]00,x 上是增函数，()f x 在[]0,πx 上是减函数，∴()f x 的最大值为0()f x ，由此知①④是正确命题，故答案为①④．三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．已知函数322()f x x ax bx a =+++．（I ）若()f x 在1x =处有极值10，求a ，b 的值．（II ）若当1a =-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6K ：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于导函数的方程组，求出a ，b 的值即可； （Ⅱ）分离参数，问题转化为321x x b x -+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=，根据函数的单调性求出b 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）2()32f x x ax b '=++，由题设有(1)0f '=，(1)10f =，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得：33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩， 经验证，若33a b =-⎧⎨=⎩，则22()3633(1)f x x x x +=--'=， 当1x >或1x <时，均有()0f x '>，可知此时1x =不是()f x 的极值点，故33a b =-⎧⎨=⎩舍去411a b =⎧⎨=-⎩符合题意， 故411a b =⎧⎨=-⎩． （Ⅱ）当1a =-时，32()1f x x x bx -=++，若()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，即3210x x bx ++<-在[]1,2x ∈恒成立， 即321x x b x-+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=， 则2323222(32)(1)21()x x x x x x x g x x x -+--+--++'==， 由32322111()x x x x x -++=-+-可知[]1,2x ∈时()0g x '<， 即321()x x g x x-+-=在[]1,2x ∈单调递减， max 5()(2)2g x g ==-， ∴52b <-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立．26．已知函数3()3e f x x ax -=+，()1ln g x x =-，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,)(1)f 处的切线与直线:20l x y +=垂直，求实数a 的值． （Ⅱ）设函数1()()22F x x g x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，若()F x 在区间(,1)()m m m +∈Z 内存在唯一的极值点，求m 的值．（Ⅲ）用{}m a x ,m n 表示m ，n 中的较大者，记函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>．若函数()h x 在(0,)+∞ 上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算(1)f '，求出a 的值即可；（Ⅱ）求出函数()F x 的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m 的值即可；（Ⅲ）通过讨论a 的范围求出函数()f x 的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ） 易得，2()33f x x a '=-，所以(1)33f a '=-， 依题意，1(33)12a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得13a =； （Ⅱ）因为2111()()2(1ln )2ln 222F x x g x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-=--+-=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则()ln 11ln 2F x x x x x '=+-+=-+．设()ln 2t x x x =-+， 则11()1x t x x x-'=-=． 令()0t x '=，得1x =．则由()0t x '>，得01x <<，()F x '为增函数；由()0t x '<，得1x >，()F x '为减函数； 而222111220e e e F ⎛⎫'=--+=-< ⎪⎝⎭，(1)10F '=>． 则()F x '在(0,1)上有且只有一个零点1x ，且在1(0,)x 上()0F x '<，()F x 为减函数；在1(,)1x 上()0F x '>，()F x 为增函数．所以1x 为极值点，此时0m =．又(3)ln310F '=->，(4)2ln220F '=-<，则()F x '在(3,4)上有且只有一个零点2x ，且在2(3,)x 上()0F x '>，()F x 为增函数；在2(),4x 上()0F x '<，()F x 为减函数．所以2x 为极值点，此时3m =．综上0m =或3m =．（Ⅲ）（1）当(0,e)x ∈时，()0g x >，依题意，()(0)0h x g >≥，不满足条件； （2）当e x =时，(e)0g =，3()3f e e ae e -=+，①若3(e)e 3e e 0f a -=+≤，即2e 13a +≥，则e 是()h x 的一个零点； ②若3(e)e 3e e 0f a -=+>，即2e 13a +<，则e 不是()h x 的零点； （3）当(e,)x ∈+∞时，()0g x <，所以此时只需考虑函数()f x 在(e,)+∞上零点的情况．因为22()333e 3f x x a a ->-'=，所以①当2e a ≤时，()0f x '>，()f x 在(e,)+∞上单调递增．又3(e)e 3e e f a -=+，所以（i ）当2e 13a +≤时，(e)0f ≥，()f x 在(e,)+∞上无零点； （ii ）当22e 1e 3a +<≤时，(e)0f <， 又333(2e)8e 6e e 8e 6e e 0f a =+-+->≥，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点；②当2e a >时，令()0f x '=，得x =由()0f x '<，得e x <由()0f x '>，得x >所以()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增．因为3(e )e f a -=<+-+<，32222(2)86e 86e 2e 0f a a a a a a =+=->+-+>，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点； 综上，2e 13a +>．。

2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣ C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社 B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1f′（x） 3 4 2 1g（x） 3 1 4 2g′（x） 2 4 1 3则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．2017海淀区高二（下）期中数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x （﹣∞﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）1）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n =﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+1+a k =﹣，得a k+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n =﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx ﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。

北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 复数i-12= A. 2+2i B. 22+22i C. 1-i D. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2-2）'=3xB. （log 2x ） '=2ln 1⋅xC. （cosx ） '=sinxD. （xln 1）'=x 3. 曲线y=x ·e x 在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 1 4. ⎰421dx x等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 25. 函数f （x ）=3+x lnx 的单调递增区间为A. （0，e 1）B. （e ，+∞）C. （e 1，+∞）D. （e 1，e0，31，221，e-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-11，2g （x ）+21x-2 三、解答题：本大题共2小题，共20分.17. （本小题满分8分）解：（I ）因为f （x ）=lnx-x 2+x 其中x>0所以f '（x ）=x 1-2x+1=xx x )12)(1(+- 所以f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）.（II ）由（I ）f （x ）在hslx3y3h 21，11，e1，21，21，21，21，21，2g （x ）+21x-2（1-lnx ）+21x-2hslx3y3h=xlnx-21x 2+x, 则F'（x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2，则t '（x ）=x 1-1=xx -1. 令t '（x ）=0，得x=1.则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数；由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数；而F '（21e ）=-2-21e +2=-21e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数；在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数.所以x 1为极值点，此时m=0.又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0,则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2，且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数；在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数.所以x 2为极值点，此时m=3.综上m=0或m=3. …………………9分（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g （x ）>0，不满足条件；（2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，①若f （e ）=e 3-3ae+e≤0，即a≥312+e ，则e 是h （x ）的一个零点； ②若f （e ）=e 3-3ae+e>0，即a<312+e ，则e 不是h （x ）的零点； （3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况. 因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增.又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以（i ）当a≤312+e 时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点； （ii ）当312+e <a≤e 2时，f （e ）<0， 又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；②当a>e 2时，令f '（x ）=0，得x=±a .由f '（x）<0，得e<x<a；由f '（x）>0，得x>a；所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. 因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，a>312e. …………12分。

（试卷满分150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 复数i-12等于 A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i2. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列推理所得结论正确的是A. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x a a a log log )(log +=+B. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x sin sin )sin(+=+C. 由)()(c b a c b a ++=++类比得到)()(yz x z xy =D. 由nn nb a ab =)(类比得到nnny x y x +=+)(4. 若xx x f sin 1)(2-=，则)(x f 的导数是A. x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B. x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C. xx x x sin )1(sin 22-+-D. xx x x sin )1(sin 22---5. 复数i z +=1，z 为z 的共轭复数，则=--1z z zA. －2iB. –iC. iD. 2i6. 已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是A. 在)0,(-∞上为减函数B. 在0=x 处取得最大值C. 在),4(+∞上为减函数D. 在2=x 处取得最小值7. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递减区间为A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1, C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,18. 函数216x xy +=的极大值为 A. 3B. 4C. 2D. 59. 函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是A. 0>aB. 0≥aC. 0<aD. 0≤a10. 当0<a 时，函数4331223---=x a ax x y 在()+∞,3上是增函数，则实数a 的取值范围是A. ()0,3-B. [)0,3-C. []1,3-D. ()1,3-11. 给出四个命题：（1）函数在闭区间],[b a 上的极大值一定比极小值大； （2）函数在闭区间],[b a 上的最大值一定是极大值；（3）对于12)(23+++=x px x x f ，若6<p ，则)(x f 无极值； （4）函数)(x f 在区间),(b a 上一定不存在最值。

2017-2018学年北京四中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数z满足（1+i）z=i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣13．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 4．（5分）函数y=xcosx的导数为（）A．y′=cosx﹣xsinx B．y′=cosx+xsinxC．y′=xcosx﹣sinx D．y′=xcosx+sinx5．（5分）设f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1），（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）6．（5分）若复数z=（x2﹣4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．9．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x310．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．011．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）12．（5分）设函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，]C．（，1）D．[，1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13．（5分）下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③已知a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b．类比得已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的是．14．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（2018）+f'（2018）=．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=．17．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=﹣1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（﹣1）=0；②f（﹣2）＞0；③函数y=f'（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数．其中正确的判断是．（写出所有正确判断的序号）18．（5分）对于函数f（x）=（2x﹣x2）e x（1）是f（x）的单调递减区间；（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19．（15分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在处取得极值．（1）确定a的值；（2）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性．20．（15分）设f（x）=a（x﹣5）2+6ln x，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．21．（15分）已知函数f（x）=e x+．（I）当a=时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（II）函数f（x）是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由．22．（15分）已知函数．（Ⅰ）当a=2时，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．2017-2018学年北京四中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数z满足（1+i）z=i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由（1+i）z=i，得，∴z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选：A．【点评】本题本题考查复数的运算与坐标表示，是基础题．2．（5分）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可．【解答】解：（2x+e x）dx=（x2+e x）|=（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．3．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）函数y=xcosx的导数为（）A．y′=cosx﹣xsinx B．y′=cosx+xsinxC．y′=xcosx﹣sinx D．y′=xcosx+sinx【分析】利用导数的运算法则（μv）′=μ′v+μv′及导数的公式cosx′=﹣sinx求出导函数即可．【解答】解：根据（μv）′=μ′v+μv′可得y′=x′cosx+x（cosx）′=cosx﹣xsinx故选：A．【点评】求函数的导数值时，先根据函数的形式选择合适的导数运算法则及导数公式，属于基础题．5．（5分）设f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1），（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）【分析】用导函数求函数的增区间，常规题目．【解答】先求其定义域为（0，+∞），，借助分子函数y=2（x+1）•（x﹣2）的图象，只考虑x＞0上，容易知道当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故所求增区间为（2，+∞）．故选：C．【点评】数字系数的函数的单调性判断，常用导数做工具来解决，常规题目．6．（5分）若复数z=（x2﹣4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先通过复数的基本概念求出“z是纯虚数”最简形式，判断前者成立能否推出后者成立，反之后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义判断出结论．【解答】解：“z是纯虚数”的充要条件为即x=±2∵x=±2成立推不出x=2成立；反之若x=2成立则x=±2成立∴“z是纯虚数”是“x=2”的必要不充分条件故选：B．【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，一般先化简各个条件，再确定出哪一个是条件哪一个是结论；判断前者是否推出后者，后者是否推出前者，利用充要条件的定义加以判断．7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：D．【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．8．（5分）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为====故选：C．【点评】本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题．9．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．10．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．0【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．11．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．12．（5分）设函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，]C．（，1）D．[，1）【分析】设g（x）=（x﹣2）lnx，h（x）=ax﹣1，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣1的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g（1）≥h（1）=a﹣1且h（3）=3a﹣1≤g（3）=ln3，h（2）＞g（2），解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=（x﹣2）lnx，h（x）=ax﹣1，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=h（x）=ax﹣1的下方，∵g′（x）=lnx+1﹣，∴当x≥2时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，当x=1时，g（1）=0，当x=1时，h（1）=a﹣1＜0，即a≤1．直线y=ax﹣1恒过定点（0，﹣1）且斜率为a，由题意结合图象可知，存在唯一的整数x0=2，f（x0）＜0，故h（2）=2a﹣1＞g（2）=0，h（3）=3a﹣1≤g（3）=ln3，解得＜a≤．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13．（5分）下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③已知a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b．类比得已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的是①④．【分析】复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，但是向量的模长和复数的模长不是通过列举法得到，还有两个复数不能比较大小．【解答】解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2，这两个长度的求法不是通过类比得到的．故②不正确，对于③：已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；因两个复数不能比较大小，故③错；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．故④正确．故答案为：①④【点评】本题考查类比推理，是一个观察几个结论是不是通过类比得到，本题解题的关键在于对于所给的结论的理解．14．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（2018）+f'（2018）=﹣2011．【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（2018）=﹣1，将x=2018代入切线方程，可得f（2018）的值，将其相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f′（2018）=﹣1，将x=2018代入切线方程y=﹣x+8，得f（2018）=﹣2018+8=﹣2010，则f（2018）+f'（2018）=﹣2011；故答案为：﹣2011．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2] ．【分析】先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．【解答】解：f′（x）=e x﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．【点评】利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=（4，﹣11）．【分析】求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值，注意检验，从而求出函数值即可．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，由题意得，f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a2=10②，联立①②解得或，当a=﹣3，b=3时，f′（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2，x＜1或x＞1时，f′（x）＞0，所以x=1不为极值点，不合题意；经检验，a=4，b=﹣11符合题意，则（a，b）=（4，﹣11）故答案为：（4，﹣11）．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，可导函数f（x）在x=x0处取得极值的充要条件是f′（x0）=0，且在x0左右两侧导数异号．17．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=﹣1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（﹣1）=0；②f（﹣2）＞0；③函数y=f'（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数．其中正确的判断是②③．（写出所有正确判断的序号）【分析】先根据题意可得f′（x）=3ax2+2bx+c=3a（x+1）（x﹣x0）且a＜0，然后求出f（1）+f（﹣1），f（﹣2）判定符号即可，最后根据f′（x）是开口向下，对称轴为x=＞0的二次函数，可得函数在区间（﹣∞，0）上的单调性．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=﹣1处取得极值∴f′（x）=3ax2+2bx+c=3a（x+1）（x﹣x0），a＜0则2b=3a（1﹣x0），c=﹣3ax0∴f（1）+f（﹣1）=2b=3a（1﹣x0）＞0故①不正确f（﹣2）=﹣8a+4b﹣2c=﹣8a+6a=﹣2a＞0，故②正确f′（x）=3ax2+2bx+c=3a（x+1）（x﹣x0）是开口向下，对称轴为x=＞0∴函数y=f'（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，故③正确故答案为：②③【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值和二次函数的性质，以及研究函数的单调性，同时考查了识图能力，运算分析能力，属于中档题．18．（5分）对于函数f（x）=（2x﹣x2）e x（1）是f（x）的单调递减区间；（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是（2）（3）．【分析】对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定（1）不正确，（2）正确，根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，（3）正确，（4）不正确，从而得到答案．【解答】解：f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），单调增区间为（﹣，），故（1）不正确；∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故（2）正确．∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立，在（﹣，）单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当x=时取极大值，也是最大值，而当x→+∞时，f（x）→﹣∞∴f（x）无最小值，但有最大值f（）则（3）正确．从而f（x）没有最大值，也没有最小值，则（4）不正确．故答案为：（2）（3）【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19．（15分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在处取得极值．（1）确定a的值；（2）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性．【分析】（1）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；（2）由（1）得g（x）的解析式，利用导数的正负可得g（x）的单调性．【解答】解：（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，∴f′（﹣）=0，∴3a•+2•（﹣）=0，∴a=；（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）e x，∴g′（x）=（x2+2x）e x+（x3+x2）e x=x（x+1）（x+4）e x，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题．20．（15分）设f（x）=a（x﹣5）2+6ln x，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（1）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．21．（15分）已知函数f（x）=e x+．（I）当a=时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（II）函数f（x）是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）欲求曲线y=f（x）在其上一点x=0处的切线的方程，只须求出切线斜率，切点坐标即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用函数求出切点坐标，进而得切线方程；（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．下面对x的范围进行分类讨论：当x∈（a，+∞）时，f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x ∈（﹣∞，a）时，令g（x）=e x（x﹣a）+1．构造新函数，对新函数求导，做出函数的单调性，得到函数的最小值，从而得到要求的结果．【解答】解：（I）f（x）=e x+，f'（x）=e x﹣，f'（0）=1﹣．当a=时，f'（0）=﹣3．又f（0）=﹣1，则f（x）在x=0处的切线方程为y=﹣3x﹣l．（II）函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．当x∈（a，+∞）时，e x＞0，＞0，所以f（x）=e x+＞0，即f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x∈（﹣∞，a）时，f（x）=e x+=，令g（x）=e x（x﹣a）+1，只要讨论g（x）的零点即可．g'（x）=e x（x﹣a+1），g'（a﹣1）=0．当x∈（﹣∞，a﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x∈（a﹣1，a）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）在区间（﹣∞，a）上的最小值为g（a﹣1）=1﹣e a﹣1．当a=1时，g（a﹣1）=0，所以x=a﹣1是f（x）的唯一的零点；当a＜l时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＞0，所以f（x）没有零点；当a＞l时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＜0．所以f（x）有两个零点．【点评】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查考查函数的单调性，属于中档题．22．（15分）已知函数．（Ⅰ）当a=2时，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．【分析】（Ⅰ）（i）根据题意，求出函数的导数，据此计算f′（1）与f（1），即可得切线的斜率以及切点的坐标，由直线的点斜式方程即可得答案；（ii）根据题意，令g（x）=2﹣lnx﹣2x2，分析g（x）的符号，即可得函数f（x）的导数的符号，即可得函数f（x）的单调区间，（Ⅱ）根据题意，f（x）＜﹣1，即，设，对h（x）求导分析可得h（x）的单调性，分析h（x）的最值，即可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，，定义域为（0，+∞），，f′（1）=﹣1﹣2=﹣3，f'（1）=2﹣2=0；所以切点坐标为（1，﹣3），切线斜率为0所以切线方程为y=﹣3；（ii）令g（x）=2﹣lnx﹣2x2，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）=0所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0即f'（x）＞0所以当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0即f'（x）＜0综上所述，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（Ⅱ）证明：f（x）＜﹣1，即设，，设φ（x）=﹣ax2﹣lnx+2所以φ'（x）在（0，+∞）小于零恒成立即h'（x）在（0，+∞）上单调递减因为1＜a＜2，所以h'（1）=2﹣a＞0，h'（e2）=﹣a＜0，所以在（1，e2）上必存在一个x0使得，即，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以，因为，所以，令h（x0）=0得，因为1＜a＜2，所以，，因为，所以h（x0）＜0恒成立，即h（x）＜0恒成立，综上所述，当1＜a＜2时，f（x）＜﹣1．【点评】本题考查利用导数求函数的最值、单调性以及切线的方程，注意正确求出函数的导数．。

………订__________考………订绝密★启用前2018-2019学年度???学校1月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．复数=A B C．1-i D．1+i2．下列求导正确的是A．（3x2-2）'=3x B．（log2x）'=1ln2x⋅C．（cosx）'=sinx D．（1ln x）'=x3．曲线y=x·e x在x=1处切线的斜率等于A．2e B．e C．2D．14．421dxx⎰等于A．2ln2-B．2ln2C．ln2-D．ln25．函数f（x）=3+xlnx的单调递增区间为A．（0，1e）B．（e，+∞）C．（1e，+∞）D．（1e，e）6．在复平面内，复数21ii-+（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限7．函数f（x）=261xx+在区间[0，3]的最大值为8．已知f （x ）=1+（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n，则f'（0）= A ．n B ．n-1 C ．()12n n - D ．()112n n + 9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3，6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 10．方程x 2=xsinx+cosx 的实数解个数是 A ．3 B ．0 C ．2 D ．1 11．若f （x ）=-12x 2+bln （x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数b 的取值范围是 A ．[-1，+∞） B ．（-1，+∞） C ．（-∞，-1] D ．（-∞,-1） 12．观察（1x ）'=-21x，（x 3）'=3x 2，（sinx ）'=cosx ，由归纳推理可得：若函数f （x ）在其定义域上满足f （-x ）=-f （x ），记g （x ）为f （x ）的导函数，则g （-x ）= A ．-f （x ） B ．f （x ） C ．g （x ） D ．-g （x ）13．若i 为虚数单位，设复数z 满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为 A B ． C D ．○…………订…………○__班级：___________考号：__________○…………订…………○第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题14．复数（2+i ）·i 的模为___________.15．由曲线y=x 2,y=x 3围成的封闭图形的面积为__________.16．若曲线y=x 3+x-2上的在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则P 0坐标为__________. 17．如下图，由函数f （x ）=x 2-x 的图象与x 轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________.18．已知S n =11n ++12n ++…+12n ，n∈N*，利用数学归纳法证明不等式S n >1324的过程中，从n=k 到n=k+l （k∈N*）时，不等式的左边S k+1=S k +__________.19．对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对于任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得M =，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M. 那么函数f （x ）=x 3-x 2+1，在x=∈ [1，2]上的几何平均数M=____________. 20．曲线y=x n 在x=2处的导数为12,则n=____.21．设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________. 22．对于函数①f（x ）=4x+1x -5，②f（x ）=|log 2 x|-（12）x，③f（x ）=cos （x+2）-cosx ，判断如下两个命题的真假：命题甲：f （x ）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f （x ）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.23．设函数f（x）=lnx-x2+x. （I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间[12，e]上的最大值.24．已知函数f（x）=22211ax ax+-+，其中a∈R.（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（II）求f（x）的极值.25．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2.（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；（II）若当a=-1时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围26．已知函数f（x）=x3-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e为自然对数的底数.（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；（II）设函数F（x）=-x[g（x）+12x-2]，若F（x）在区间（m,m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；（III）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围.参考答案1．D 【解析】()()()2122211112i i i i i i ++===+--+，故选D. 2．B【解析】()'2326x x -=，A 不正确；()21log 'ln2x x =，B 正确； ()cos 'sin x x =-，C 不正确；()211ln ln x x x =-，D 不正确. 故选B. 3．A【解析】',1x x y e xe x =+=时， '2k y e ==，故选A. 4．D 【解析】44221ln |ln4ln2ln2.x x dx x x ====-=⎰故选C视频 5．C【解析】()'ln 1f x x =+，令()'ln 10f x x =+>，解得1x e >，故增区间为（1e，+∞），故选C. 6．D【解析】试题分析：由题意得复数()()()()21213111122i i i i i i i ----===++-，所以共轭复数为122+，在负平面内对应的点为12⎛ ⎝⎭位于第一象限，故选D ． 考点：复数的运算及表示． 7．A【解析】()()()()()()22222616261111x x xx x f x x x +-⨯--+'+==+,令()0f x '=,解得1x =或1x =-(舍),当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时, ()0f x '<;所以当1x =时,函数有极大值()13f =,即f （x ）在[0，3]的最大值为3,故选A.8．D【解析】()()()()21'121311n f x x x n x -=+++++++ ，()()1'01232n n f n +=++++=，故选D.9．B【解析】()2'326f x x ax a =+++根据题意可得： ()()()24126360a a a a ∆=-+=+->，解得6a >或3a <-，故选C.点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”x 轴即可. 10．C 【解析】令()2sin cos f x x x x x=--，()()'2sin cos sin 2cos 2cos f x x x x x x x x x x x =--+=-=-，因为2cos 0x ->，所以有，当0x >时， ()'0f x >，函数单增；当0x <时， ()'0f x <函数单减，()()min 01f x f ==-，且()(),,,x f x x f x →+∞→+∞→-∞→+∞，故函数有两个零点，故选C.点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法. 11．C【解析】由题意知, ()02bf x x x =-+≤+'在（-1，+∞）上恒成立,即()2b x x ≤+在（-1，+∞）上恒成立, ()min2b x x ⎡⎤∴≤+⎣⎦,令()()()2211g x x x x =+=+-,由1x >-可得()1g x >-,所以1b ≤-,故选C.12．C【解析】根据（1x ）'=-21x，（x 3）'=3x 2，（sinx ）'=cosx ，发现原函数是一个奇函数,它们的导函数都是偶函数,由此可得规律:奇函数的导函数是偶函数.由f （-x ）=-f （x ）可知()f x 是奇函数,故()g x 为偶函数, ()()g x g x ∴-=,故选C. 13．C【解析】|z-1+i|的几何意义是单位圆上的点与(1,1)点的距离,因为圆心到(1,1)点的距离为所以|z-1+i|1,故选C.点睛:形如,,a bi a b R +∈的数叫复数,其中a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部;当0b =时复数a bi +为实数, 当0b ≠时复数a bi +为虚数,当0,0a b =≠时复数a bi +为纯虚数.复数的几何意义为: z 表示复数z 对应的点与原点的距离, 12z z -表示两点的距离,即表示复数1z 与2z 对应的点的距离. 14【解析】()()212,2i i i i i +=-+∴+==15．112【解析】因为由题意得：所求封闭图形的面积为()1233410111|3412xx dx x x -=-=⎰。

2016-2017学年北京市第四中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共8题1．已知全集,集合,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算.由补集的定义可知，2．设命题,则为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由特称命题否定的定义可知，答案为 C.3．为了得到函数的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查对数的运算性质的应用以及图象的变换问题.,所以为了得到函数的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.答案 C【备注】函数4．若,满足则的最大值为A.0B.1C.D.2【答案】D【解析】本题主要考查线性规划问题，考查了数形结合思想.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知，当直线过点A()时，目标函数取得最大值 2.5．等比数列满足则A.21B.42C.63D.84【答案】B【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，考查了计算能力.设公比为q，因为，所以,则，所以6．已知,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、三角函数的诱导公式，考查了逻辑推理能力.当时，，当时，，因此“”是“”的充分不必要条件7．定义在上的偶函数满足,且在区间上单调递增,设,, ,则大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查抽象函数的性质，考查了逻辑推理能力.因为,所以,所以偶函数的周期为2，又函数在区间上单调递增,所以函数在区间上单调递减,又,,,所以8．已知函数,若,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出函数的图像与的图像，如图所示，由图像可知：函数的图像为过原点的直线，当直线介于直线l与x 轴之间时符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分解析式为,,因为，故,故直线l的斜率为，故只需直线的斜率a介于与0之间即可，即二、填空题：共6题9．设是虚数单位,则 .【答案】【解析】本题主要考查复数的四则运算.10．执行如图所示的框图,输出值 .【答案】12【解析】本题主要考查条件结构与循环结构的程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：x=1;x=2;x=4,x=5;x=6;x=8,x=9;x=10;x=12,此时满足条件，循环结束，输出x=12.11．若等差数列满足,,则当________时,的前项和最大.【答案】8【解析】本题主要考查等差数列的通项公式、前项和公式与性质，考查了逻辑推理能力.在等差数列中，因为,,所以,即前8项均为正数，从第9项开始均为负数，所以当n=8时，的前项和最大.12．已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为______.【答案】【解析】本题主要考查函数的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.设,因为是定义在上的奇函数，所以是上的偶函数，且,时,解不等式可得x>4,所以不等式的解集为13．要制作一个容积为 4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是________元.【答案】1600【解析】本题主要考查函数的解析式与性质、基本不等式的应用，考查了分析问题与解决问题的能力.设长方体的底面的长为xm，则宽为m，总造价为y元，则，当且仅当，即x=2时，等号成立，故答案为1600元14．已知函数,任取,定义集合:,点,满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值,记.则(1) 若函数,则=______;(2)若函数,则的最小正周期为______.【答案】2 2【解析】本题主要考查新定义问题、集合、三角函数，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)若函数,则点P(t,t),Q(x,x),因为，所以，化简可得,即,即,因为，所以；(2)若函数,此时，函数的最小正周期为T=4，点P(),Q(),如图所示：当点P 在A点时，点O在曲线OAB上，,，当点P在B点时，,，当点P在曲线上从B接近C时，逐渐减小，当点P在曲线上从C接近D时，逐渐增大，,，当点P在曲线上从D接近E时，逐渐减小，，，依次类推，发现的最小正周期为2，因此，本题正确答案为 2.三、解答题：共6题15．集合,,,其中.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ);;。

绝密★启用前2018-2019学年北京四中高二年级下学期期中考试数学试题（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题）z=i ，则在复平面内复数z 所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A【解析】分析：把已知等式变形，利用复数的四则运算化简，求出复数的坐标，即可得到答案. 详解：由题意，得，所以复数在复平面内对应的点的坐标为位于第一象限，故选A.点睛：本题主要考查了复数的运算，以及复数的坐标表示，其中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．定积分()12x x e dx +⎰的值为( )A. 2e +B. 1e +C. eD. 1e - 【答案】C【解析】试题分析： ()()()1212201(2)|x x x x x x e x dx e x e xe x ==+=+=+-+⎰= ()11e e +-=.故选C.考点：1.微积分基本定理；2.定积分的计算.视频3．曲线y=x 3-2x+l 在点（1，0）处的切线方程为A. y=x-1B. y=-x+1C. y=2x-2D. y=-2x+2 【答案】A【解析】分析：由函数，可得，所以，得到切线的斜率，利用点斜式方程，即可求解切线的方程.详解：由函数，可得，所以，即在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线方程为，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义，求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．函数y=xcosx的导数为A. y'=cosx-xsinxB. y'=cosx+xsinxC. y'=xcosx-sinxD. y'=xcosx+sinx【答案】A【解析】分析：利用导数的四则运算和基本初等函数的导数，即可求解.详解：由题意，根据导数的四则运算可知：函数的导数为，故选A.点睛：本题主要考查了导数的四则运算和基本初等函数的导数，其中熟记导数运算的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．设f（x）=x2-2x-4lnx，则函数f（x）的增区间为A. （0，+）B. （-，-1），（2，+）C. （2，+）D. （-1，0）【答案】C【解析】分析：求得函数的导数，利用和函数的定义域，即可求解函数的递增区间. 详解：由函数，且可得，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选C.点睛：本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导数与函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．若复数z=（x2-4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：先通过复数的基本概念，求出“为纯虚数”的最简形式，判断前者成立能否推出后者成立，反之后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义，即可得到结论.详解：“为纯虚数”的充要条件为，即，因为成立推不出城，反之若成立，则成立，所以“为纯虚数”是“”的必要不充分条件，故选B.点睛：本题主要考查了充要条件的判定，以及复数的基本概念，其中熟记复数的基本概念即应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.7．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值．．．点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】分析：直接利用函数的极小值两侧导函数值需左负右正，结合图象看满足导函数值左负右正的自变量有几个，即可得到结论.详解：因为函数的极小值两次的导函数满足左负与正，由图象可的，满足导函数的函数值左负右正的只有一个，所以原函数的极小值点只有一个，故选A.点睛：本题主要考查了利用导函数研究原函数的极值，其中熟记导函数的函数值与函数的极值之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为A. B. 9 C. D.【答案】D【解析】分析：先求出两个曲线的交点坐标，进而确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数，嘴周依据微积分基本定理求解即可得到答案.详解：由题意，联立直线与曲线得到，解得或，则围成图象的面积为，故选D.点睛：本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．若函数y=f（x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x）具有T性质. 下列函数中具有T性质的是A. y=sinxB. y=lnxC. y=e xD. y=x3【答案】A【解析】分析：若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导数上存在两点，使得这两点的导数之积为，即可得到答案.详解：由题意，若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导数上存在两点，使得这两点的导数之积为，当时，，满足条件；当时，恒成立，所以不满足条件；当时，恒成立，所以不满足条件；当时，恒成立，所以不满足条件，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，其中解答中正确理解题意，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力.10．函数f（x）=x3-3x，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，则实数t的最小值是A. 20B. 18C. 3D. 0【答案】A【解析】分析：对于曲线上的任意都有，等价于对于曲线上任意，都有，利用导数确定函数的单调性，求得最值，即可求解.详解：由题意，对于曲线上的任意都有，等价于对于曲线上任意，都有，因为，则，且，所以函数上函数单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，故选A.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，函数恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.11．设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是A. （-，-1）（0，1）B. （-1，0）（1，+）C. （-，-1）（-1，0）D. （0，1）（1，+）【答案】A【解析】分析：由已知时总有成立，可判定函数为减函数，由已知是定义在R上的奇函数，可得为上的偶函数，根据在上的单调性和奇偶性，模拟的图象，而不等式等价于，数形结合即可求解.详解：设，则的导数，因为当时，总有成立，即当时，，所以函数在上为单调递减函数，又因为，所以为定义域上的偶函数，又由，所以函数的图象类似如图所示：数形结合可得，不等式等价于，所以或，解得或，故选A.点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及利用函数的图象求解不等式问题，其中根据函数的单调性和函数的奇偶性得到函数图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12．设函数f（x）=（x－2）lnx－ax+l，若存在唯一的整数x0，使得f（x）<0，则a的取值范围是A. （0，）B. （，]C. （，1）D. [，1）【答案】B【解析】分析：设，问题转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，求导数判断函数的单调性，结合图象可得，且，即可求解关于的不等式组，得到答案.详解：设，由题意存在唯一的整数使得在直线的下方，因为，所以当时，，当时，，当时，，当时，，直线恒过定点，且斜率为，由题意结合图象可知，存在唯一的整数，故，解得，故选B.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、解答题①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③已知a，b∈R，若a－b>0，则a>b类比得已知z1，z2∈C，若z1－z2>0，则z1>z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确的是__________.【答案】①④【解析】分析：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，由向量的加法的几何意义可以类比到复数加法的几何意义，但是向量的模长和复数的模长不是通过列举法得到的，还有两个复数是不能比较大小的，即可得到答案.详解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，所以①是正确的；由实数绝对值的性质类比得到复数的性质，即这两个长度的求法不是通过类比得到的，所以②是错误的；对于③中，已知，若，则，因为两个复数是不能比较大小的，所以是错误的；由向量的几何意义可以类比得到复数的几何意义，所以④是正确的.点睛：本题主要考查了类比推理的判定及应用，其中本题的解答中熟记实数的运算，以及向量的运算和复数的运算之间的区别和联系是解答的关键，着重考查了分类问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.14．已知函数f（x）=ax3+x2a∈R. 在x=－处取得极值.（I）确定a的值；（II）若g（x）=f（x）·e x，讨论g（x）的单调性.【答案】（1）a=.（2）在（－，－4）和（－l，0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，+∞）内为增函数.【解析】分析：（I）由题意，求得函数的导数，又由题意得，即可求解实数的值；（II）由（I）得，求得，求得的根，即可求解函数的单调区间.详解：（I）对f（x）求导得f'（x）=3ax2+ax，因为f（x）在x=－处取得极值，所以f'（－）=0，即3a·+2·（－）=－=0，解得a=.（II）由（I）得g（x）=（）e x，故g'（x）=（）e x+（）e x＝（）e x=x（x+1）（x+4）e x. 令g'（x）=0，解得x=0，x=－1或x=－4.当x<－4时，g' （x）<0，故g（x）为减函数；当－4<x<－1时，g'（x）>0，故g（x）为增函数；当－1<x<0时，g'（x）<0，故g（x）为减函数；当x>0时，g'（x）>0，故g（x）为增函数.综上知，g（x）在（－，－4）和（－l，0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，+∞）内为增函数.点睛：本题主要考查了利用函数的极值求参数，以及利用导数求解函数的单调区间，其中求解函数的导数，明确导数的取值与函数的单调性、极值之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15．设f（x）=a（x-5）2+61nx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）.（I）确定a的值；（II）求函数f（x）的单调区间与极值.【答案】（1）a=（2）在（0，2），（3，+）上为增函数；在（2，3）上为减函数.在x=2处取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3处取得极小值f（3）=2+6ln3.【解析】试题分析：（1）求出导数，得，写出题中切线方程，令，则，由此可得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．试题解析：（1）因为，故．令，得，，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得．（2）由（1）知，（），．令，解得，．当或时，，故的递增区间是，；当时，，故的递减区间是．由此可知在处取得极大值，在处取得极小值．考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面（1）已知切点A（x0，f（x））求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′（x）；（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；（3）已知过某点M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x，f（x）），利用k＝求解．视频16．已知函数f（x）=e x+.（I）当a=时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（II ）函数f （x ）是否存在零点?若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=－3x －l.（2）见解析【解析】分析：（I ）求得函数的导数，得，即可利用直线的点斜式方程得到切线的方程；（II ）由函数的解析式，分类和讨论，其中当时，利用导数求解函数的单调性与最值，即可得到函数零点的个数.详解：（I ）f （x ）=e x +，f'（x ）=e x －，f' （0）=1－.当a=时，f'（0）=－3. 又f （0）=－1，则f （x ）在x=0处的切线方程为y=－3x －l. （II ）函数f （x ）的定义域为（－，a ）（a ，+）.当x ∈（a ，+）时，e x >0，>0，所以f （x ）=e x +>0，即f （x ）在区间（a ，+∞）上没有零点.当x ∈（－∞，a ）时，f （x ）=e x +=，令g （x ）=e x （x －a ）+1，只要讨论g （x ）的零点即可.g'（x ）=e x （x －a+1），g'（a －1）=0.当x ∈（－∞，a －1）时，g'（x ）<0，g （x ）是减函数；当x ∈（a －1，a ）时，g'（x ）>0，g （x ）是增函数，所以g （x ）在区间（－∞，a ）上的最小值为g （a －1）=1－e a －1.当a=1时，g （a －1）=0，所以x=a －1是f （x ）的唯一的零点；当a<l 时，g （a －1）=1－e a －1>0，所以f （x ）没有零点；当a>l 时，g （a －1）=1－e a －1<0. 所以f （x ）有两个零点.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.17．已知函数()ln 1x f x ax x-=-. （Ⅰ）当2a =时,（i ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;（ii ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12a <<,求证: ()1f x <-.【答案】（Ⅰ）（i ）3y =-，（ii ）递增区间是()0,1,递减区间是()1,+∞；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（i ）求出()222ln 2'x x f x x--=,求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（ii ）分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（Ⅱ）先利用导数证明ln 10x x -+≤,则ln 1x x ≤-，再利用二次函数的性质证明2220ax x -+>，则211ax x x -+>-，从而可得结论.试题解析：（Ⅰ）当2a =时, ()ln 12x f x x x-=-,定义域为()0,+∞ ()2222ln 2ln 22=x x x f x x x ---=-' （i ）()112=3f =---()122=0f ='-所以切点坐标为()1,3-,切线斜率为0所以切线方程为3y =-（ii ）令()22ln 2g x x x =--,()140g x x x-'=-<所以()g x 在()0,+∞上单调递减,且()1=0g所以当()0,1x ∈时, ()0g x >即()0f x '>所以当()1,+x ∈∞时, ()0g x <即()0f x '<综上所述, ()f x 的单调递增区间是()0,1,单调递减区间是()1,+∞.(Ⅱ)方法一:()1f x <-,即ln 11x ax x --<-设()ln 11(0)x h x ax x x-=-+> ()2222ln ln 2x ax x h x a x x ---+=-=' 设()2ln 2x ax x ϕ=--+()212120ax x ax x xϕ--=--=<' 所以()x ϕ'在()0,+∞小于零恒成立即()h x '在()0,+∞上单调递减因为12a <<所以()120h a ='->,()20h e a =-<'所以在()21,e 上必存在一个0x 使得()200020ln 2=0ax x h x x --+=' 即200ln =2x ax -+所以当()00,x x ∈时, ()0h x '>, ()h x 单调递增当()0,+x x ∈∞时, ()0h x '<, ()h x 单调递减所以()()0000ln 11max x h x h x ax x -==-+ 因为200ln =2x ax -+所以()2000021ax x h x x -++= 令()0=0h x得0x = 因为12a <<,0<1< 因为()201,x e ∈,所以()00h x <恒成立即()0h x <恒成立综上所述,当12a <<时, ()1f x <-方法二:()f x 定义域()0,+∞为了证明()1f x <-,即ln 11x ax x--<- 只需证明2ln 1x ax x --<-,即2ln 1x ax x <-+令()ln 1(0)m x x x x =-+>则()11m x x'=-令()0m x '>,得01x <<令()0m x '<,得1x >所以()m x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减所以()()10max m x m ==即ln 10x x -+≤,则ln 1x x ≤-令()222n x ax x =-+因为12a <<,所以=480a ∆-<所以()0n x >恒成立即2220ax x -+>所以211ax x x -+>-综上所述, 2ln 1x ax x <-+即当12a <<时, ()1f x <-.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-.三、填空题）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.【答案】-2011【解析】分析：由题意，函数的图象在点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值，以内可求得，再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得的值，即可求解答案.详解：根据函数的图象可知，函数的图象在点处的切线切于点，所以， 又由切线的方程为， 所以为函数的图象在点处的切线的斜率，所以， 所以.点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点出处的切线方程，以及过曲线上某点处的切线的斜率问题，其中正确理解导数的几何意义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19．已知函数f （x ）=e x -x+a 有零点，则a 的取值范围是_________.【答案】（-,-1]【解析】分析：求出，得到函数在单调递减，在上单调递增，求得函数的极小值为，即可求解答案.详解：由函数，则，当时，，当时，，则函数在单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值为，令，解得，即实数的取值范围是.点睛：本题主要考查了函数的零点问题，以及利用导数研究函数的单调性和极值的应用，其中把函数的零点转化为函数的极值问题求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则（a，b）=________.【答案】（4,-11）【解析】分析：求出导函数，利用函数在处的极值为，得到和，解方程组即可得到的值.详解：由函数，则，因为函数在处的极值为，所以和，即，解得或，当时，此时，此时函数单调递增，所以没有极值，不满足条件，所以经经验可知当满足条件，此时.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得极值的条件，是函数取得极值的必要不充分条件，求解之后注意进行检验，着重考查了推理与运算能力.与x=－1处取得极值，给出下21．函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x列判断：①f（1）+f（－1）=0；②f（－2）>0；③函数y=f'（x）在区间（－，0）上是增函数. 其中正确的判断是_________. （写出所有正确判断的序号）【答案】②③【解析】分析：由题意得且，求出，判定符号即可，最后根据开口向下，对称轴为的二次函数，可得函数在区间上单调递增，即可得到答案.详解：由函数的图象，且在和处取得极值，则且，则，所以，所以①不正确；，所以②正确，又由是开口向下，对称轴为，所以函数在区间上单调递增，所以③是正确的，综上正确命题的序号为②③.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的极值和二次函数的图象与性质，以及利用导数研究函数的单调性的应用，其中正确理解导函数的图象与原函数的关系是解答的关键，着重考查了图象的识别能，以及分析问题和解答问题的能力.22．对于函数f（x）=（2x-x2）e x①（-，）是f（x）的单调递减区间；②f（-）是f（x）的极小值，f（）是f（x）的极大值；③f（x）没有最大值，也没有最小值；④f（x）有最大值，没有最小值.其中判断正确的是_________.【答案】②③【解析】分析：对函数进行求导，然后令求出，再根据的正负判断得到函数的单调性，进而确定①不正确；②正确，根据函数的单调性可判断极大值，既是原函数的最大值，无最小值，（3）正确，（4）不正确，从而得到答案.详解：由函数，则，由，解得，所以函数在单调递增；由，解得或，所以函数在单调递减，所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，所以①不正确；②正确；进而根据函数的单调性和函数的变化趋势，可得函数没有最大值，也没有最小值，所以③正确，④不正确，所以正确命题的序号为②③.点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求解函数的极值与最值中的应用，其中熟记函数的导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力.。

2016-2017学年北京四十四中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．（5分）某一射手所得环数的分布列如表：则此射手“射击一次命中环数大于6环”的概率是（）A．0.09B．0.79C．0.88D．以上都不对2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）的展开式中的常数项为（）A．160B．﹣160C．480D．﹣4804．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．5．（5分）从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须有男生又有女生，则不同选法的种数为（）A．34B．31C．28D．256．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线7．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为：（）A．B．C．D．8．（5分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足f（x）＝f（2﹣x），且（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数z＝（2﹣i）i的虚部是．10．（5分）若（2x+1）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则该展开式的二项式系数之和为；﹣a0+a1﹣a2+a3的值为．11．（5分）若，则实数m的值为．12．（5分）若圆C的参数方程为（θ为参数），则圆C的圆心坐标为，圆C与直线x+y﹣3＝0的交点个数为．13．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为．14．（5分）已知函数f（x）＝e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣3在点（0，﹣3）处的切线与直线y＝﹣2x 平行．（Ⅰ）求实数m的值．（Ⅱ）求g（x）＝xf（x）+4x的单调区间和极值．16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．17．甲、乙两人参加一次交通知识考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．18．已知x＝1是函数的极值点．（Ⅰ）求实数a的值．（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性．19．已知椭圆，点A的坐标为（0，m）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N（均异于点A）．（Ⅰ）若直线l的方程为y＝x+2，求线段MN的长．（Ⅱ）若直线l过点（1，0），点M、N均在经点A为圆心的圆上，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，a∈R（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，恒有f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年北京四十四中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．（5分）某一射手所得环数的分布列如表：则此射手“射击一次命中环数大于6环”的概率是（）A．0.09B．0.79C．0.88D．以上都不对【解答】解：由射手所得环数的分布列得：此射手“射击一次命中环数大于6环”的概率是：P＝1﹣P（X＝4）﹣P（X＝5）﹣P（X＝6）＝1﹣0.03﹣0.04﹣0.05＝0.88．故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数＝＝+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故选：A．3．（5分）的展开式中的常数项为（）A．160B．﹣160C．480D．﹣480【解答】解：展开式的通项公式为：T r+1＝•（2x）6﹣r•＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3，∴展开式的常数项为：﹣23×＝﹣160．故选：B．4．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：x＜2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．则符合上述条件的只有选项A．故选：A．5．（5分）从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须有男生又有女生，则不同选法的种数为（）A．34B．31C．28D．25【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加环保知识竞赛，分析可得，这是组合问题，共C74＝35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1＝34种；故选：A．6．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0⇒ρ＝1或θ＝π，ρ＝1是半径为1的圆，θ＝π是一条射线．故选：C．7．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为：（）A．B．C．D．【解答】解：∵盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，∴从中取一只螺口的概率是，再次从中取一只螺口的概率是，∵有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡，∴从中取一只卡口灯泡的概率是，∴到第3次才取得卡口灯泡的概率为P＝＝，故选：D．8．（5分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足f（x）＝f（2﹣x），且（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）【解答】解：由（x﹣1）f′（x）≥0，可得x＞1时，f′（x）≥0，此时函数f （x）单调递增；x＜1时，f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减．∵满足f（x）＝f（2﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝1对称，∴f（0）≥f（1），f（2）≥f（1），∴f（0）+f（2）≥2f（1），故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数z＝（2﹣i）i的虚部是2．【解答】解：∵复数z＝（2﹣i）i＝1+2i，∴它的虚部为2．故答案为2．10．（5分）若（2x+1）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则该展开式的二项式系数之和为8；﹣a0+a1﹣a2+a3的值为1．【解答】解：①该展开式的二项式系数之和为23＝8；②令x＝1，可得：33＝a0+a1+a2+a3，令x＝﹣1，可得：﹣1＝a0﹣a1+a2﹣a3，可得：a0+a2＝13，a1+a3＝14．∴﹣a0+a1﹣a2+a3＝14﹣13＝1．故答案为：8，1．11．（5分）若，则实数m的值为﹣．【解答】解：（x2+mx）dx＝（+mx2）|＝+m＝0，∴m＝﹣，故答案为：﹣12．（5分）若圆C的参数方程为（θ为参数），则圆C的圆心坐标为（1，0），圆C与直线x+y﹣3＝0的交点个数为2．【解答】解：圆C的普通方程为：（x﹣1）2+y2＝9，所以圆心坐标为（1，0），圆心到直线x+y﹣3＝0的距离d＝＝，半径为3，且＜3，所以圆与直线x+y﹣3＝0的交点个数为2．故答案为：2．13．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为{x|x＞1}．【解答】解：令F（x）＝，则F′（x）＝，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）＝为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，得：＞，∴＜x，∴x＞1，故答案为：{x|x＞1}．14．（5分）已知函数f（x）＝e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）＝e x+．①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）＝e x+≥0，是增函数．∴①正确；②∵a∈（﹣∞，0），∴f′（x）＝e x+＝0有根x0，且f（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，+∞）上为增函数，∴函数有极小值也是最小值，②正确；③画出函数y＝e x，y＝alnx的图象，由图可知③不正确；④由②知，a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）存在最小值，且存在a使最小值小于0，且当x在定义域内无限趋于0和趋于+∞时f（x）＞0，可知存在a∈（﹣∞，0），f（x）＝e x+alnx＝0有两个根，④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣3在点（0，﹣3）处的切线与直线y＝﹣2x 平行．（Ⅰ）求实数m的值．（Ⅱ）求g（x）＝xf（x）+4x的单调区间和极值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x2+mx﹣3，可得f′（x）＝2x+m，由题设可得，f′（0）＝m＝﹣2，解得：m＝﹣2，所以f（x）＝x2﹣2x﹣3．（Ⅱ）由题意得g（x）＝xf（x）+4x＝x3﹣2x2+x，所以g′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）＝0，得x1＝，x2＝1．所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（1，+∞），递减区间是（，1）；在x＝1有极小值为0，在x＝有极大值．16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．【解答】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）＝＝＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5（Ⅱ）＝＝0.5×0.4＝0.2∴（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），故ξ的分布列P（ξ＝0）＝0.23＝0.008P（ξ＝1）＝C31×0.8×0.22＝0.096P（ξ＝2）＝C32×0.82×0.2＝0.384P（ξ＝3）＝0.83＝0.512所以Eξ＝3×0.8＝2.417．甲、乙两人参加一次交通知识考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设甲、乙两人参加交通知识考试合格的事件分别为A、B P（A）＝＝，P（B）＝．∵事件A、B相互独立，∴甲、乙两人考试均合格的概率为．即甲、乙两人考试均合格的概率为．（Ⅱ）甲答对试题数ξ依题意知ξ＝0，1，2，3，，，，．∴ξ的分布列如下：∴甲答对试题数ξ的数学期望Eξ＝．18．已知x＝1是函数的极值点．（Ⅰ）求实数a的值．（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝，若x＝1是函数的极值点，则f′（1）＝0，解得：a＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝+1，f′（x）＝，①b≥0时，令f′（x）≥0，解得：x≤1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，②b＜0时，令f′（x）≥0，解得：x≥1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增．19．已知椭圆，点A的坐标为（0，m）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N（均异于点A）．（Ⅰ）若直线l的方程为y＝x+2，求线段MN的长．（Ⅱ）若直线l过点（1，0），点M、N均在经点A为圆心的圆上，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：5x2+16x+12＝0，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝．∴|MN|＝＝＝．（II）直线l与x轴重合时，m∈R．直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为ty＝x﹣1．t＝0时，可得：m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2）．线段MN的中点Q（x0，y0）．联立，（t≠0）化为：（t2+4）y2+2ty﹣3＝0．∴y1+y2＝﹣，y1y2＝．∴y0＝＝﹣，x0＝＝＝ty0+1＝﹣+1＝．∴k AQ•（﹣）＝﹣1，∴＝t，∴﹣﹣m＝t×．可得：m＝＝，t＞0时，0＜m≤＝．t＜0时，0＞m≥﹣．综上可得：m∈．20．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，a∈R（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，恒有f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，．…（2分）因为f'（1）＝0，f（1）＝﹣2．所以切线方程是y＝﹣2．…（4分）（Ⅱ）函数f（x）＝2ax﹣（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．…（5分）当a＞0时，令f′（x）＝0，即，所以或．…（7分）当，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）＝﹣2；当时，f（x）在[1，e]上的最小值是，不合题意；当时，f（x）在（1，e）上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）＝﹣2，不合题意…（10分）（Ⅲ）设g（x）＝f（x）+2x，则g（x）＝ax2﹣ax+lnx，只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．…（10分）而当a＝0时，，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；…（11分）当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a＞0，…（12分）对于函数y＝2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴，只需△＝a2﹣8a≤0，即0＜a≤8．综上0≤a≤8．…（16分）。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京四中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 在复平面内，复数i i+1的对应点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的可导函数. 则“函数y=f（x）在R上单调递增”是“f'（x）>0在R上恒成立”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 曲线y=x3-2x+l在点（1，0）处的切线方程为A. y=x-1B. y=-x+1C. y=2x-2D. y=-2x+24. 函数y=xcosx的导数为A. y'=cosx-xsinxB. y'=cosx+xsinxC. y'=xcosx-sinxD. y'=xcosx+sinx5. 设f（x）=x2-2x-4lnx，则函数f（x）的增区间为A. （0，+∞）B. （-∞，-1），（2，+∞）C. （2，+∞）D. （-1，0）6. 若复数z=（x2-4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值．．．点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 函数f （x ）=（21）x-log 2x 的零点个数为 A. 0B. 1C. 2D. 39. 若函数y=f （x ）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是A. y=sinxB. y=lnxC. y=e xD. y=x 310. 函数f （x ）=x 3-3x ，若对于区间[-3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）-f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是A. 20B. 18C. 3D. 011. 设函数f'（x ）是奇函数f （x ）的导函数，f （-1）=0，当x>0时，xf'（x ）-f （x ）<0，则使得f （x ）>0成立的x 的取值范围是A. （-∞，-1）Y （0，1）B. （-1，0）Y （1，+∞）C. （-∞，-1）Y （-1，0）D. （0，1）Y （1，+∞）12. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为A. 4B. 6C. 8D. 32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi=l+i ，则z 2=___________.14. 如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.15. 已知函数f （x ）=e x-x+a 有零点，则a 的取值范围是_________.16. 已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1处有极值10，则（a ，b ）=________. 17. 对于函数f （x ）=（2x-x 2）e x①（-2，2）是f （x ）的单调递减区间；②f （-2）是f （x ）的极小值，f （2）是f （x ）的极大值； ③f （x ）没有最大值，也没有最小值； ④f （x ）有最大值，没有最小值. 其中判断正确的是_________.18. 若函数e xf （x ）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在f （x ）的定义域上单调递增，则称函数f （x ）具有M 性质，下列函数：①f （x ）=x1（x>1） ②f （x ）=x 2 ③f （x ）=cosx ④f （x ）=2-x中具有M 性质的是__________.三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分. 19. 已知函数f （x ）=-x 3+3x 2+9x+a. （I ）求f （x ）的单调减区间；（II ）若f （x ）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 20. 设f （x ）=a （x-5）2+61nx ，其中a ∈R ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）.（I ）确定a 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间与极值.21. 已知：函数f （x ）=ax 4lnx+bx 4-c （x>0）在x=1处取得极值-3-c ，其中a ，b ，c 为常数. （1）试确定a ，b 的值；（2）讨论函数f （x ）的单调区间：（3）若对任意x>0，不等式f （x ）≥-2c 2恒成立，求c 的取值范围. 22. 已知函数f （x ）=e x·（a+x1+lnx ），其中a ∈R. （I ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线与直线y=-ex垂直，求a 的值； （II ）当a ∈（0，ln2）时，证明：f （x ）存在极小值.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题：本大题共4小题，共60分19. 解：（I ）f'（x ）=-3x 2+6x+9. 令f'（x ）<0，解得x<-1或x>3， 所以函数f （x ）的单调递减区间为（-∞,-1），（3，+∞）. （II ）因为f （-2）=8+12-18+a=2+a ， f （2）=-8+12+18+a=22+a ， 所以f （2）>f （-2），因为在（-1，3）上f'（x ）>0，所以f （x ）在[-1，2]上单调递增，又由于f （x ）在[-2，-1]上单调递减，因此f （2）和f （-1）分别是f （x ）在区间[-2，2]上的最大值和最小值.于是有22+a=20，解得a=-2.故f （x ）=-x 3+3x 2+9x-2. 因此f （-1）=1+3-9-2=-7， 即函数f （x ）在区间[-2，2]上的最小值为-7.20. 解：（I ）因f （x ）=a （x-5）2+6lnx ，故f'（x ）=2a （x-5）+x6. 令x=l ，得f （1）=16a ，f'（1）=6-8a ，所以曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y-16a=6-8a （x-1），由点（0，6）在切线上可得6-16a=8a-6，故a=21. （II ）由（I ）知f （x ）=21（x-5）2+6lnx （x>0），f'（x ）=x-5+x 6=x x x )3)(2(--.令f'（x ）=0，解得x 1=2，x 2=3.当0<x<2或x>3时，f'（x ）>0，故f （x ）在（0，2），（3，+∞）上为增函数； 当2<x<3时，f'（x ）<0，故f （x ）在（2，3）上为减函数. 由此可知f （x ）在x=2处取得极大值f （2）=29+6ln2， 在x=3处取得极小值f （3）=2+6ln3.21. 解：解：（I ）由题意知f （1）=-3-c ，因此b-c=-3-c ，从而b=-3.又对f （x ）求导得f'（x ）=4ax 3lnx+ax 4·x1+4bx 3=x 3（4alnx+a+4b ）. 由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12.（II ）由（I ）知f'（x ）=48x 3lnx （x>0）. 令f'（x ）=0，解得x=1.因此f 1，+∞）. （III ）由（II ）知，f （x ）在x=1处取得极小值f （1）=-3-c ，此极小值也是最小值. 要使f （x ）≥-2c 2（x>0）恒成立，只需-3-c ≥-2c 2.即2c 2-c-3≥0，从而（2c-3）（c+1）≥0. 解得c ≥23或c ≤-1. 所以c 的取值范围为（-∞，-1]Y [23，+∞） 22. 解：（I ）f （x ）的导函数为f'（x ）=e x·（a+x 1+lnx ）+e x·（x 1-21x） =e x·（a+x 2-21x +lnx ）. 依题意，有f'（1）=e ·（a+1）=e ， 解得a=0.（II ）由f'（x ）=e x·（a+x 2-21x +lnx ）及e x>0知，f'（x ）与a+x 2-21x+lnx 同号. 令g （x ）=a+x 2-21x+lnx ， 则g'（x ）=3222x x x +-=321)1(x x +-.所以对任意x ∈（0,+∞），有g'（x ）>0，故g （x ）在（0，+∞）单调递增. 因为a ∈（0，ln2），所以g （1）=a+l>0，g （21）=a+ln 21<0， 故存在x 0∈（21，1），使得g （x 0）=0. f （x ）与f'（x ）在区间（21，1）上的情况如下：所以f （x ）在区间（21，x 0）上单调递减，在区间（x 0，1）上单调递增. 所以f （x ）存在极小值f （x 0）.。

北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理试卷分为两卷,卷（I）100分,卷（II）50分，共计150分，考试时间120分钟卷(I）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分。

1。

复数=A. +i B。

+i C. 1—i D. 1+i【答案】D【解析】，故选D.2. 下列求导正确的是A. （3x2-2）’=3xB. （log2x) ’=C。

（cosx）’=sinx D. （）’=x【答案】B，B正确;,C不正确；,D不正确。

故选B。

3. 曲线y=x·e x在x=1处切线的斜率等于A。

2e B. e C. 2 D. 1【答案】A【解析】时,，故选A。

4。

等于A. -21n 2 B。

21n 2 C。

—ln 2 D。

ln 2【答案】D【解析】故选C5. 函数f（x）=3+x lnx的单调递增区间为A. （0,）B。

（e，+∞） C. （，+∞）D。

(,e]【答案】C.。

【解析】，令，解得，故增区间为（，+∞）,故选C.6. 在复平面内，复数（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于A. 第四象限B。

第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限【答案】D考点：复数的运算及表示．7. 函数f（x）=在区间的最大值为A。

3 B。

4 C. 2 D。

5【答案】A【解析】,令，解得或（舍),当时, ;当时，;所以当时,函数有极大值，即f（x)在的最大值为3，故选A。

8. 已知f（x）=1+（1+x）+（1+x)2+（1+x)3+…+(1+x）n，则f ’0）=A. nB. n—1 C。

D. n（n+1）【答案】D【解析】,，故选D.9。

函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A. （—1,2)B. （—3，6）C。

(—∞,-3)∪（6，+∞） D. (—∞，—1）∪（2，+∞)【答案】C【解析】根据题意可得：，解得或，故选C。

点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号,我们称之为导函数的“变号零点”,则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过"轴即可.10。

北京市第四十四中学2016-2017学年度第二学期期中测试高二数学试卷（理科）一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．某一射手所得环数的分布列如下：则此射手“射击一次命中环数大于6环”的概率是（）．A．0.09B．0.79C．0.88D．以上都不对2．在复平面内，复数12i-对应的点位于（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．612xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）．A．160B．160-C．480D．480-4．已知函数()f x的导函数()f x'的图象如图所示，那么()f x的图象最有可能的是（）．A．B．C．D．5．从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中既有男生又有女生，则不同选法的种数为（ ）．A ．25B ．28C ．31D ．346．极坐标方程(1)(π)0(0)ρθρ--=≥表示的图形是（ ）．A ．两个圆B ．一个圆和一条射线C ．两条直线D ．一条直线和一条射线7．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直线第3次才取得卡口灯泡的概率为（ ）．A ．2140 B ．1740 C ．310 D ．71208．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）．A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ．(0)(2)2(1)f f f +>C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +≤二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数(2i)i z =-的虚部是__________．10．若3230123(21)x a a x a x a x +=+++，则该展开式的二项式系数之和为__________；0123a a a a -+-+ 的值为__________．11．若120()d 0x mx x +=⎰，则m =__________．12．若圆C 的参数方程为3cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆C 的圆心坐标为__________，圆C 与直线30x y +-=的交点个数为__________．13．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()f x xf x '>恒成立，则不等式21()0x f f x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为__________（结果写成集合或区间形式）．14．函数()e ln x f x a x =+的定义域设为D ，关于函数()f x 给出下列命题：①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数．②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值．③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈,都有()0f x >成立．④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数2()3f x x mx +-在点(0,3)-处的切线与直线2y x =-平行．（Ⅰ）求实数m 的值．（Ⅱ）求()()4g x xf x x =+的单调区间和极值．16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买的概率．（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率．（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．17．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．（Ⅰ）求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？（Ⅱ）求乙答对试题数ξ的概率分布及数学期望？18．已知1x =是函数2()1e xax bx f x +=+的极值点． （Ⅰ）求实数a 的值．（Ⅱ）试讨论()f x 的单调性．19．已知椭圆2214x C y +=:，点A 的坐标为(0,)m 直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N （均异于点A ）．（Ⅰ）若直线l 的方程为2y x =+，求线段MN 的长． （Ⅱ）若直线l 过点(1,0)，点M 、N 均在经点A 为圆心的圆上，求实数m 的取值范围．20．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程． （Ⅱ）当0a >时，函数()f x 在[]1,e 上的最小值为2-，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x <，且1122()2()2f x x f x x +<+恒成立，求实数a 的取值范围．。