2019-2020学年北京四中高二(上)期中数学试卷-含详细解析

2019-2020学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.命题p：“∀x∈(−∞,0)，3x≥4x”的否定￢p为()A. ∀x∈(−∞,0)，3x<4xB. ∀x∈(−∞,0)，3x≤4xC. ∃ x0∈(−∞, 0), 3x0<4x0D. ∃ x0∈(−∞, 0) , 3x0≤4x02.在等比数列{a n}中，a3=2，a5=8，则a4=()A. 4B. 5C. ±4D. ±53.若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是()A. ab>acB. ac>bcC. a|b|>c|b|D. a2>b2>c24.设0<x<1，则a=√2x，b=1+x，c=1中最大的一个是()1−xA. aB. bC. cD. 不能确定5.在等比数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于()A. 2nB. 3nC. 2n+1−1D. 3n−16.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=()A. 4B. 2C. −2D. −47.设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积(i=1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件是()A. {a n}是等比数列B. a1，a3，…，a2n−1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C. a1，a3，…，a2n−1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D. a1，a3，…，a2n−1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同8.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A. 15B. 16C. 17D. 18二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2(n∈N∗)，则a7=______ ．10.若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．11.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b>1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1．其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______ .(填序号，只有一个正确选项)12.已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=________．13.等比数列{a n}中，若前n项的和为S n=2n−1，则a+a22+⋯+a n2=______．14.珠海市板樟山森林公园(又称澳门回归公园)的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为1999−12−20标示澳门回归日，中央靠下有23−50标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1 到100 共100 个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2 中对角线上数字(从左上到右下)之和为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=−a5．(1)若a3=4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．16.已知命题：“∃x∈{x|−1<x<1}，使等式x2−x−m=0成立”是真命题，(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x−a)(x+a−2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．17.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可)元．获得利润是100(5x+1−3x(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．18.已知p：(x+1)(2−x)≥0，q：关于x的不等式x2+2mx−m+6>0恒成立．(1)当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19.已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n−1，n∈N∗.数列{b n}满足b n=1a n −1a n+1，T n为数列{b n}的前n项和．(1)求a1、d和T n；(2)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围．20.已知无穷数列{a n}(a n∈Z)的前n项和为S n，记S1，S2，…，S n中奇数的个数为b n．(Ⅰ)若a n=n，请写出数列{b n}的前5项；(Ⅱ)求证：“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件；(Ⅲ)若a i=b i，i=1，2，3，…，求数列{a n}的通项公式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则￢p：∃ x0∈(−∞, 0), 3x0<4x0，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由已知得a5=a3⋅q2，所以q=±2，都符合题意，所以a4=a3⋅q=±4，故选：C．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得a5=a3⋅q2，解可得q的值，代入通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质，注意等比数列的通项公式的应用．3.【答案】A【解析】解：a>b>c且a+b+c=0，∴a>0>c，b∈R．∴ab>ac，ac<bc，a|b|与c|b|大小关系不确定，a2、b2、c2大小关系不确定．则上述不等式中正确的是A．故选：A．a>b>c且a+b+c=0，可得a>0>c，b∈R.利用不等式的基本性质即可判断出结论．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0<x<1，∴1+x>2√x=√4x>√2x．∵1+x −11−x =1−x 2−11−x=−x 21−x<0，∴1+x <11−x．故选：C ．先由基本不等式确定a ，b 的大小，再对b ，c 作差比较即可．本题主要考查比较几个数的大小问题．比较大小一般通过基本不等式、作差、运用函数的单调性等来完成．5.【答案】B【解析】解：因数列{a n }为等比，则a n =3q n−1， 因数列{a n +1}也是等比数列， 则(a n+1+1)2=(a n +1)(a n+2+1)∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n +a n+2∴a n +a n+2=2a n+1 ∴a n (1+q 2−2q)=0 ∴q =1 即a n =3， 所以s n =3n ， 故选：B ．根据数列{a n }为等比可设出a n 的通项公式，因数列{a n +1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q ，进而根据等比数列的求和公式求出s n ． 本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．6.【答案】D【解析】解：由互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，可设a =b −d ，c =b +d ，由题设得，{b −d +3b +b +d =10(b −d)2=b(b +d)， 解方程组得{b =2d =6，或{b =2d =0，∵d ≠0， ∴b =2，d =6，因为a ，b ，c 成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为b −d ，b ，b +d ，再根据已知条件寻找关于b ，d 的两个方程，通过解方程组即可获解．此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解，注意三个成等差数列的数的设法：x −d ，x ，x +d ．7.【答案】D【解析】解：依题意可知A i =a i ⋅a i+1， ∴A i+1=a i+1⋅a i+2， 若{A n }为等比数列则A i+1A i=a i+2a i=q(q 为常数)，则a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比均为q ； 反之要想{A n }为等比数列则A i+1A i=a i+2a i需为常数，即需要a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等；故{A n }为等比数列的充要条件是a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同． 故选D根据题意可表示A i ，先看必要性，{A n }为等比数列推断出a i+2a i为常数，可推断出a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要a i+2a i为常数，即a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．8.【答案】B【解析】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t(万元)， 分流后剩余(100−x)人每年创造的产值为(100−x)(1+1.2x%)t ， 则由{0<x <100(100−x)(1+1.2x%)t ≥100t ，解得：0<x <503．∵x ∈N ，∴x 的最大值为16． 故选：B ．不减少，可列不等式组求解．本题考查数学建模思想方法，关键是考查学生理解题意的能力，是中档题．9.【答案】1【解析】解：由a n+1=a n +a n+2，得a n+2=a n+1−a n ，所以a 3=a 2−a 1=1，a 4=a 3−a 2=1−2=−1，a 5=a 4−a 3=−1−1=−2，a 6=a 5−a 4=−2−(−1)=−1，a 7=a 6=a 5=−1−(−2)=1． 故答案为：1．根据递推公式a n+1=a n +a n+2，得a n+2=a n+1−a n ， 把a 1=1，a 2=2带入可依次求出前7项，从而得到答案．本题考查数列的递推公式，数列的递推公式是给出数列的一种方法．10.【答案】4【解析】解：若实数x ，y 满足xy =1， 则x 2+4y 2≥2x ⋅2y =4xy =4，当且仅当x =2y =±√2时，上式取得最小值4． 故答案为：4．运用不等式a 2+b 2≥2ab(当且仅当a =b 取得等号)，计算可得所求最小值． 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】③【解析】解：关于①，a +b >1，可取a =23，b =23，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于②，a +b =2，可取a =1，b =1，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”； 关于④，a 2+b 2>2，可取a =−2，b =−2，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”； 关于⑤，ab >1，可取a =−2，b =−2，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”． 关于③，若a +b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的． 证明如下：假设a ≤1且b ≤1， 则a +b ≤2．与已知条件“a +b >2”矛盾，故选③．本题可以利用反证法，“假设a，b两数均小于或等于1，可得结论a+b小于等于2.”，由些推理可得到正确结论．本题考查的是不等式的基本性质和反证法，注意在判断其它命题错误时，可以举反例．本题计算量不大，但有一定的思维量，属于中档题．12.【答案】64【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．依题意，a1=1，(a1+d)2=a1⋅(a1+4d)，可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴(a1+d)2=a1⋅(a1+4d)，又a1=1，∴d2−2d=0，公差d≠0，∴d=2，∴其前8项和S8=8a1+8×72×d=8+56=64．故答案为：64．13.【答案】43(4n−1)【解析】解：∵a1=S1=1，a2=S2−S1=3−1=2，∴公比q=2．又∵数列{a n2}也是等比数列，首项为a12=1，公比为q2=4，∴a12+a22+⋯+a n2=1×(1−42)1−4=43(4n−1)故答案为：43(4n−1)由已知可得等比数列{a n}的首项和公比，进而可得数列{a n2}也是等比数列，且首项为a12=1，公比为q2=4，代入等比数列的求和公式可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式，得出数列为等比数列是解决问题的关键，属基础题．14.【答案】505【解析】解：由题意得：82+75+53+54+19+20+98+4+31+69=505， 故答案为：505．将图中对角线上数字从左上到右下相加即可．本题考查了简单的合情推理问题，考查n 阶幻方，是一道基础题．15.【答案】解：(1)根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，若S 9=−a 5，则S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a 5，变形可得a 5=0，即a 1+4d =0，若a 3=4，则d =a 5−a 32=−2，则a n =a 3+(n −3)d =−2n +10； (2)若S n ≥a n ，则na 1+n(n−1)2d ≥a 1+(n −1)d ，当n =1时，不等式成立，当n ≥2时，有nd2≥d −a 1，变形可得(n −2)d ≥−2a 1， 又由S 9=−a 5，即S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a 5，则有a 5=0，即a 1+4d =0， 则有(n −2)−a 14≥−2a 1，又由a 1>0，则有n ≤10， 则有2≤n ≤10，综合可得：1≤n ≤10.n ∈N ．【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题．(1)根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，由S 9=−a 5，即可得S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a 5，变形可得a 5=0，结合a 3=4，计算可得d 的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；(2)若S n ≥a n ，则na 1+n(n−1)2d ≥a 1+(n −1)d ，分n =1与n ≥2两种情况讨论，求出n 的取值范围，综合即可得答案．16.【答案】解：(1)命题：“∃x ∈{x|−1<x <1}，使等式x 2−x −m =0成立”是真命题，等价于∃x ∈{x|−1<x <1}，使得m =x 2−x =(x −12)2−14，∵−1<x <1， ∴−14≤m <2，M ={m|−14≤m <2}. (2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ，①当a >2−a ，即a >1时，N ={x|2−a <x <a}， 则{2−a <−14a ≥2a >1，解得a >94；②当a <2−a ，即a <1时，N ={x|a <x <2−a}， 则{a <1a <−142−a ≥2，解得a <−14；③当a =2−a 即a =1时，N =⌀，此时不满足条件， 综上可得，a 的取值范围是(−∞,−14)∪(94,+∞)．【解析】本题主要考查了二次函数的性质，二次不等式求解，集合之间包含关系的应用，考查了特称命题与必要条件，考查了分类讨论思想，属于中档题．(1)利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；(2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ，分类讨论即可求解，17.【答案】解：(1)由题意可得：200(5x +1−3x )≥3000，即5x −3x ≥14，解得x ≥3，又1≤x ≤10， ∴3≤x ≤10．(2)设生产1200千克产品的利润为y ， 则y =100(5x +1−3x )⋅1200x=120000(−3x 2+1x +5)=120000[−3(1x −16)2+6112]，∴当1x =16即x =6时，y 取得最大值610000．故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元．【解析】(1)根据题意列不等式求出x 的范围即可；(2)设总利润为y ，得出y 关于x 的函数解析式，配方得出最大值即可． 本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵4m 2+4m −24<0，∴m 2+m −6<0，∴−3<m <2， ∴实数m 的取值范围为：(−3,2)． (2)p ：−1≤x ≤2，设A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x 2+2mx −m +6>0}， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊊B①由(1)知，−3<m <2时，B =R ，满足题意；②m =−3时，B ={x|x 2−6x +9>0}={x|x ≠3}，满足题意； ③m =2时，B ={x|x 2+4x +4>0}={x|x ≠−2}，满足题意； ④m <−3，或m >2时，设f(x)=x 2+2mx −m +6， f(x)对称轴为x =−m ，由A ⊊B 得 {−m <−1f(−1)>0或{−m >2f(2)>0， ∴{m >1−3m +7>0或{m <−23m +10>0，∴1<m <73或−103<m <−2，∴−103<m <−3或2<m <73综上可知：−103<m <73【解析】(1)由△<0得含m 的不等式，解之得m 的取值范围；(2)把p 是q 的充分不必要条件转化为由A ⊊B ，在各种情况下找出充要条件不等式组，进而求出实数m 的取值范围．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵a 12=S 1=a 1，a 1≠0，∴a 1=1.….(1分) ∵a 22=S 3=a 1+a 2+a 3，∴(1+d)2=3+3d ，∴d =−1，2，当d =−1时，a 2=0不满足条件，舍去． 因此d =2.….(4分)∴a n =2n −1，∴b n =12n−1−12n+1，∴T n =2n2n+1.….(6分) (2)当n 为偶数时，λ⋅2n2n+1<n +8，∴λ<(2n+1)(n+8)2n =12(2n +8n +17)，∵2n +8n ≥8，当n =2时等号成立，∴12(2n +8n +17)最小值为252，因此λ<252.….(9分)当n为奇数时，λ<(2n+1)(n−8)2n =12(2n−8n−15)，∵2n−8n 在n≥1时单调递增，∴n=1时12(2n−8n−15)的最小值为−212，∴λ<−212.….(12分)综上，λ<−212.….(14分)【解析】(1)利用a n2=S2n−1，n取1或2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；(2)分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论．本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论，分离参数，属于中档题．20.【答案】解：(I)a n=n，S n=n(n+1)2．∴S1=1，S2=3，S3=6，S4=10，S5=15．∴b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3．证明：(II)(充分性)∵a1是奇数，a i(i=2,3，4…)为偶数，∴对于任意i∈N∗，S i都是奇数，∴b n=n，∴数列{b n}是单调递增数列．(不必要性)当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i(i=2,3，4…)均为奇数，∴b n=n−1，数列{b n}是单调递增数列，∴“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的不必要条件．综上，：“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件．(Ⅲ)(1)当a k为奇数时，若S k为偶数，若a k+1是奇数，则S k+1为奇数，∴b k+1=b k+1=a k+1为偶数，与a k+1=b k+1矛盾；若a k+1为偶数，则S k+1为偶数，∴b k+1=b k=a k为奇数，与a k+1=b k+1矛盾．∴当a k为奇数时，S k不能为偶数；(2)当a k为偶数，若S k为奇数，若a k+1为奇数，则S k+1为偶数，∴b k+1=b k=a k为偶数，与a k+1=b k+1矛盾，若a k+1为偶数，则S k+1为奇数，∴b k+1=b k+1=a k+1为奇数，与a k+1=b k+1矛盾，∴当a k为偶数时，S k不能是奇数．综上，a k与S k同奇偶，∵a1=b1=S1为偶数，且0≤b1≤1，∴b1=a1=0，∵a2=b2≤b1+1=1，且b2≥0，∴b2=a2=0，以此类推，得到a n=0．.由此能写出数列{b n}的前5项．【解析】(I)推导出a n=n，S n=n(n+1)2(II)先证充分性，推导出b n=n，从而数列{b n}是单调递增数列；再证不必要性，当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i(i=2,3，4…)均为奇数，b n= n−1，数列{b n}是单调递增数列，由此能证明：“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件．(Ⅲ)当a k为奇数时，推导出S k不能为偶数；当a k为偶数，推导出S k不能是奇数，从而a k 与S k同奇偶，由此得到a n=0．本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．。

2023北京四中高二（上）期中数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ）A．B．C．D．﹣12．已知点A（﹣2，3，0），B（1，3，2），，则点P的坐标为（ ）A．（4，3，4）B．（﹣4，﹣1，﹣4）C．（﹣1，6，2）D．（﹣5，3，﹣2）3．已知直线方程kx﹣y﹣2k＝0，则可知直线恒过定点的坐标是（ ）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）4．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是1，O为A1C1中点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，则（ ）A．x＝1，y＝1B．x＝1，C．，D．，y＝15．“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y＝1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（ ）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝5B．C．（x﹣3）2+（y﹣8）2＝50D．（x﹣3）2+y2＝28．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD中心，A1P＝λA1B1（λ∈[0，1]），直线OP与平面ABC所成角为θ，则θ取最大时λ的值为（ ）A．B．C．D．9．A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，若沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A、B两点间的距离是（ ）A．6B．C．D．10．点M（x0，y0）到两条直线：x+3y﹣2＝0，x+3y+6＝0距离相等，y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若向量与向量共线，则x的值为 ．12．（5分）直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0之间的距离是 ．13．（5分）以A（2，3），B（4，9）为直径的两个端点的圆的方程是 ．14．（5分）在空间四边形ABCD中，＝ ．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC 上滑动，点E在棱BB1上滑动，给出下列四个结论：①三棱锥C1﹣A1DE的体积不变；②A1D+DB的最小值为；③点D到直线C1E的距离的最小值为；④使得A1D⊥C1E成立的点D、E不存在．其中所有正确的结论为 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（13分）已知点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）．（1）求△ABC的面积；（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，求直线l的方程．17．（13分）如图，在△ABC中，，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）平面A1OB⊥平面BCED；（2）若F为A1C的中点，求点F到面A1OB的距离．18．（14分）已知直线l过点P（2，3），圆C：x2+4x+y2﹣12＝0．（1）求与圆C相切的直线l的方程；（2）当直线l是圆C的一条对称轴，交圆C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于D，E两点，求|DE|．19．（15分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，|CD|＝|DA|＝|AF|＝|FE|＝2，|AB|＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求二面角C﹣BF﹣A的余弦值；（3）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．20．（15分）已知圆和圆（r＞0）．（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．21．（15分）对于n维向量A＝（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i＝0或a i＝1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）＝．（Ⅰ）若A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1＝（1，1，1，1，1）且满足：d（A i，A i+1）＝2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若且满足：d（A i，A i+1）＝m，m∈N*，i＝1，2，3，…，若存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【答案】D【分析】利用斜率公式求解．【解答】解：因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为．故选：D．2．【答案】A【分析】设P（x，y，z），表示出、，即可得到方程组，解得即可．【解答】解：设P（x，y，z），因为A（﹣2，3，0），B（1，3，2），所以，，因为，所以（x+2，y﹣3，z）＝2（3，0，2），所以，解得，即P（4，3，4）．故选：A．3．【答案】B【分析】依题意可得（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得即可．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k＝0，即（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得，所以直线kx﹣y﹣2k＝0恒过点（2，0）．故选：B．4．【答案】C【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．【解答】解：依题意＝＝，又，所以，．故选：C．5．【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可．【解答】解：当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a+a（a+2）＝0，得a2+3a＝0，解得a＝0或a＝﹣3，所以当a＝﹣3时，直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直，而当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a＝0或a＝﹣3，所以“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．6．【答案】C【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a＝tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a＝tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．7．【答案】D【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得k BC＝﹣1，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在AB的垂直平分线x＝3上，由此可求得a，b的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解．【解答】解：设圆心C（a，b），因为直线x﹣y＝1与圆C相切于点B（2，1），所以，即a+b﹣3＝0，因为AB中垂线为x＝3，则圆心C满足直线x＝3，即a＝3，∴b＝0，所以半径，所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝2．故选：D．8．【答案】A【分析】在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，即可得到∠POP1即为线OP与平面ABC所成角，且，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，从而求出（tanθ）max，即可得解．【解答】解：在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，由正方体的性质可知PP1⊥平面ABCD，则∠POP1即为直线OP与平面ABC所成角，则，设正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱长为2，则，所以当OP1＝1时（tanθ）max＝1，此时θ取最大值，P1为AB的中点，又A1P＝λA1B1，所以当时θ取最大值．故选：A．9．【答案】C【分析】求出沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影C的坐标，作BD ⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），然后利用空间向量表示，利用向量的模的性质进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，∴y1＝﹣，y2＝2，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影为C（1，0），作BD⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），∴＝++，∴＝+++2•+2•+2•＝3+9+12﹣2××2×＝18，∴||＝3．故选：C．10．【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式得到x0+3y0+2＝0，结合y0＜x0+2求出x0，再由x0≠0及计算可得．【解答】解：依题意，所以x0+3y0+2＝0，即，又y0＜x0+2，所以，解得x0＞﹣2，显然x0≠0，所以，当﹣2＜x0＜0时，所以，当x0＞0时，所以．综上可得．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．【答案】3．【分析】利用向量共线定理求解．【解答】解：因为向量与向量共线，所以，解得x＝3．故答案为：3．12．【答案】．【分析】由平行线间的距离公式可求得结果．【解答】解：易知直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0平行，这两条直线间的距离为．故答案为：．13．【答案】（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可．【解答】解：易知该圆圆心为A（2，3），B（4，9）的中点C（3，6），半径，所以该圆方程为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．14．【答案】见试题解答内容【分析】如图：设；由向量的加、减运算知：，，代入上式即得结论．【解答】解：如图，设＝，＝，＝，则，＝，＝，＝．所以，＝＝0故答案是：015．【答案】①②③．【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC 于点D，此时A1D+DB取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得③，利用，即可判断④．【解答】解：∵BB1⊥平面ABC，对于①：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又CC1⋂AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又点D在棱AC上滑动，∴，∴，∴三棱锥C1﹣A1DE的体积不变，故①正确；对于②：如图将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC于点D，此时A1D+DB取得最小值，∵A1C1＝CC1＝2，BC＝1，∴A1B＝＝，∴A1D+DB的最小值为，故②正确；对于③：如图建立空间直角坐标系，设D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），∴，，则点D到直线C1E的距离d＝＝＝，当c＝2时，，当0≤c＜2时，0＜（c﹣2）2≤4，∴，∴，∴，∴∈（0，]，∴当取最大值，且a2＝0时，，即当D在C点E在B点时，点D到直线C1E的距离的最小值为，故③正确；对于④：A1（2，0，2），，，∴，∵c∈[0，2]，∴当c＝2时，，∴，即A1D⊥C1E，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．【答案】（1）；（2）3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．【分析】（1）求出三角形的三边长，并求其中一个角的余弦值，代入公式即可求得面积．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，代入求解即可．【解答】解：（1）由点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）可得，，，，在△ABC中，，所以，△ABC的面积为．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，当过点C的直线l与平行时，，则直线方程为3x+4y﹣26＝0；当过点C的直线l过AB的中点，AB的中点坐标，，所以直线方程为，即3x+14y﹣46＝0．所以直线方程为3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．17．【答案】（1）证明过程请见解答；（2）．【分析】（1）由A1O⊥DE，平面A1DE⊥平面BCED，可知A1O⊥平面BCED，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）作DP⊥BC于P，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离，即可得解．【解答】（1）证明：由题意知，A1D＝A1E，因为点O是DE的中点，所以A1O⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED，又A1O⊂平面A1OB，所以平面A1OB⊥平面BCED．（2）解：作DP⊥BC于P，则BP＝1，因为DE∥BC，所以DP⊥DE，以D为坐标原点，DP，DE所在直线分别为x，y轴，作Dz⊥平面BCED，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，2），O（0，1，0），B（2，﹣1，0），C（2，3，0），因为F为A1C的中点，所以F（1，2，1），所以＝（0，0，2），＝（2，﹣2，0），＝（1，1，1），设面A1OB的法向量为＝（x，y，z），则，即，取x＝1，则y＝1，z＝0，所以＝（1，1，0），故点F到面A1OB的距离为＝＝．18．【答案】（1）x＝2或7x+24y﹣86＝0；（2）10．【分析】（1）将圆的方程化为标准式，再分斜率存在与不存在两种情况讨论；（2）依题意直线l过圆心C，即可求出直线l的方程，即可得到，利用锐角三角函数求出|AD|，从而求出|CD|，从而得解．【解答】解：（1）圆C：x2+4x+y2﹣12＝0，即（x+2）2+y2＝16，所以圆心C（﹣2，0），半径r＝4，当斜率不存在时直线的方程为x＝2，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0，则，解得，所以切线方程为7x+24y﹣86＝0，综上可得切线方程为x＝2或7x+24y﹣86＝0．（2）因为直线l是圆C的一条对称轴，所以直线l过圆心C，则直线l的方程，即3x﹣4y+6＝0，则，又，即，所以|AD|＝3，则，同理可得|CE|＝5，所以|DE|＝10．19．【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．【分析】（1）先证明四边形CDFE为平行四边形，从而得到DF∥CE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，证明AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）利用待定系数法求出平面ACE的法向量，利用向量垂直的坐标表示，证明平面ACE与平面BCF不可能垂直，即可得到答案．【解答】（1）证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE，因为DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以DF∥平面BCE；（2）解：在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．由题意得，A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），E（0，3，），F（0，1，），所以＝（2，﹣2，0），＝（0，﹣3，），设平面BCF的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝1，则x＝1，z＝，所以＝（1，1，），平面ABF的一个法向量为＝（1，0，0），则cos＜，＞＝＝，所以平面CBF和平面BFA的夹角的余弦值为；（3）解：线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：设平面ACE的法向量为＝（a，b，c），所以，令b＝1，则a＝﹣1，c＝﹣，所以＝（﹣1，1，﹣），因为•＝﹣1+1﹣3≠0，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．20．【答案】（1）（﹣2，+2）；（2）k＝；（3）（，）或（，）．【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求r的取值范围；（2）联立直线与圆C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；（3）由两圆半径相等，两直线11和12截得圆C1和圆C2，弦长相等可得弦心距相等，得＝，转化为求方程组的解即可．【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，|C1C2|＝＝，∵圆C1与圆C2相交，∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|＜＜r+2，解得：﹣2＜r＜+2，∴r∈（﹣2，+2）．（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与圆C1联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，由Δ＞0得k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，∵，∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，∴5+﹣3＝0，解得：k＝，∵k2＜，∴k＝．（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m），即kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣x﹣y+n+＝0，由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，则＝，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，则有或，故P（，）或（，）．21．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，求d（A，B）的值．（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，可得d（A，B）＝4．…（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…A n，使得A1＝（1，1，1，1，1），A m＝（0，0，0，0，0）．因为向量A1＝（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设A1的第i（i＝1，2，3，4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）＝2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2）﹣1次，此数为奇数．又因为，说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i+1，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）（Ⅲ）存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，此时m＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）。

2019-2020学年北京四中高二上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合A={x∈Z|(x+2)(x−1)<0}，B={－2，－1），那么A∪B等于A．{－2，－1，0，1} B．{－2，－1，0}C．{－2，－1} D．{－1}2．已知数列{a n）的通项公式为a n=n2−n，则下列各数中不是数列中的项的是A．2 B．40 C．56 D．903．等差数列{a n}的前n项和S n，若a1=2,S3=12，则a6=A．8 B．10 C．12 D．144．若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式一定成立的是A．ac>bc B．ab>bc C．ab<bc D．ac<bc5．若1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为A．3 B．3或－1 C．－3 D．3或－36．设函数f(x)={x2 x≤0lg(x+1) x>0，若f(x0)>1，则x0的取值范围为A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．（－∞，9）D．（－∞，－1）∪（9，+∞）7．数列{a n}中，“a n+12=a n a n+2（n∈N*）”是“数列{a n}为等比数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．当x>1时，若不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是A．（－∞，2] B．[2，+∞）C．（－∞，3] D．[3，+∞）9．不等式121xx-≤+的解集为A．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦B．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭D．[)1,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞⎥⎝⎦10．等差数列{a n}的公差d>0，前n项和为S n，则对n>2时有A．a1<S nn<a n B．S nn<a1<a nC．a1<a n<S nnD．a1,S nn,a n的大小不确定11．下列不等式：①x2+3>3x；②a2+b2≥2(a−b−1)；③ba+ab≥2，其中恒成立的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个二、解答题12．已知：等差数列{a n}的公差d≠0，a2=1，且a2、a3、a6成等比数列（I）求{a n}的通项公式；（II）设数列{a n}的前n项和为S n，求使S n>35成立的n的最小值.13．已知：关于x的不等式（mx－（m+1））（x－2）>0（m∈R）的解集为集合P（I）当m>0时，求集合P；（II）若{x|−3<x<2}⊆P，求m的取值范围.14．已知：等比数列{a n}中，公比为q，且a1=2，a4=54，等差数列{b n}中，公差为d，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+ a2+ a3.（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{b n}的前n项和S n的公式；（III）设P n=b1+b4+b7+⋯+b3n−2，Q n=b10+b12+b14+⋯+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论.15．已知：函数f(x)=ax2+(b−8)x−a−ab，当x∈（－3，2）时，f(x)>0，当x∈（－∞，－3）∪（2，+∞）时，f(x)<0（I）求a，b的值；（II）若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，求实数c的取值范围.16．对于数列A：a1，a2，a3，…，定义A的“差数列” ΔA：a2−a1,a3−a2,a4−a3，…（I）若数列A：a1，a2，a3，…的通项公式a n=2n−1+1，写出ΔA的前3项；（II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，…，使得ΔA是等差数列；（III）若数列A：a1，a2，a3，…的差数列的差数列Δ（ΔA）的所有项都等于1，且a19=a92=0，求a1的值.三、填空题17．命题“∀x∈R，x2+1>0”的否定为_______=_______18．等差数列{a n}中，a1+a3+a5+a7a2+a4+a619．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是，则a n=_______；S5=_______ 20．数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n。

2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。

北京市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2020高二上·吉林期末) 双曲线的渐近线方程是________.（一般式）2. （1分） (2019高二上·中山月考) 命题“ ，都有”的否定是________．3. （1分） (2017高一下·承德期末) 如果直线4ax+y+2=0与直线（1﹣3a）x+ay﹣2=0平行，那么a等于________．4. （1分） (2016高一下·烟台期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴、y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2（a＞0）上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是________．5. （1分） (2016高二下·衡水期中) 已知点Q（﹣2 ，0）及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是________．6. （1分） (2016高二上·上海期中) 直线x﹣3y+5=0关于直线y=x对称的直线方程为________（用一般式表示）7. （1分） (2017高二下·菏泽开学考) 已知椭圆的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，则C的离心率e=________．8. （1分） (2016高二上·中江期中) 圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是________．9. （1分） (2016高二上·灌云期中) 已知集合A=[2﹣a，2+a]，B=[0，5]，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．10. （1分） (2016高二上·绵阳期中) 以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点（2，），则该双曲线的方程是________．11. （1分）不等式|x﹣1|+|x﹣4|≤2的解集为________12. （1分） (2018高二上·浙江月考) 设分别为椭圆的左,右焦点，是椭圆上一点，点是的内心，线段的延长线交线段于点，则 ________.13. （1分） (2016高二上·宝应期中) 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1 ， F2 ，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为________．14. （1分） (2016高二上·绥化期中) F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于________．二、解答题 (共6题；共60分)15. （15分） (2016高二上·陕西期中) 求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．16. （5分）已知命题命题，若命题“ ”是真命题，求实数的取值范围．17. （10分） (2018高一上·吉林期末) 已知点及圆 .（1）设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；（2）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.18. （5分） (2015高二上·抚顺期末) 已知椭圆在x轴两焦点为F1 ， F2 ，且|F1F2|=10，P为椭圆上一点，∠F1PF2= ，△F1PF2的面积为6 ，求椭圆的标准方程？19. （15分） (2015高一上·扶余期末) 已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．（1）求证：无论m取什么实数，直线l恒过第一象限；（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短长度；（3）设直线l与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．20. （10分） (2017高二下·上饶期中) 已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合．（1）求椭圆的方程；（2）过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、15-3、16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。

2020-2021北京市北京四中高二数学上期中模拟试题(带答案)一、选择题1．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =< B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．153．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 4．已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.85．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A ．7B ．15C ．25D ．356．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+7．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．17?,,+1i s s i i i≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i≤=-= C ．17?,,+12i s s i i i ≤=-= D ．1128?,,22i s s i i i≤=-= 8．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为A．4n mB．2nmC．4mnD．2mn9．下列说法正确的是（）A．若残差平方和越小，则相关指数2R越小B．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C．若2K的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r=10．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（）．A．16，26，8B．17，24，9C．16，25，9D．17，25，8 11．已知函数()cos3xf xπ=，根据下列框图，输出S的值为()A．670B．16702C．671D．67212．设点(a,b)为区域40x yxy+-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内任意一点，则使函数f(x)=2ax2bx3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为A．13B．23C．12D．14二、填空题13．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x，若实数x满足||x m≤的概率为23，则m=_______.14．在区间[-3，5]上随机取一个实数x，则事件“11422x≤≤（）”发生的概率为____________．15．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x=_____________.16．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员~中随机抽取一个数，如果抽到工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~这15个数中应抽取的数是__________．的是7，则从4660n=，则输出的S为 ________．17．执行如图所示的程序框图,如果输入318．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x4-x3+3x2+7,在求x=2时对应的值时,v3的值为___. 19．某路公交车站早上在6:30,7:00,7:30准点发车，小明同学在6:50至7:30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过8分钟的概率是__________．20．如果执行下面的程序框图，那么输出的s＝______________.三、解答题21．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A城市和B城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：关注不关注合计A城高中家长2050（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.22．某乡镇为了发展旅游行业，决定加强宣传，据统计，广告支出费x 与旅游收入y （单位：万元）之间有如下表对应数据：（1）求旅游收入y 对广告支出费x 的线性回归方程y bx a =+，若广告支出费12万元，预测旅游收入；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，根据（1）中的线性回归方程，求至少有一组数据，其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.（参考公式：1221ni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，其中,x y 为样本平均值，参考数据：521145i i x ==∑，52113500i i y ==∑，511380i ii x y==∑）23．自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：20以下[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]70以上使用人数312176420未使用人数003143630（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？24．某市实施二手房新政一年多以来，为了了解新政对居民的影响，房屋管理部门调查了2018年6月至2019年6月期间购买二手房情况，首先随机抽取了其中的400名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60130m≤≤）讲行了一次统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年6月至2019年6月期间当月在售二手房的均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1－13分别对应2018年6月至2019年6月）（1）试估计该市市民的平均购房面积m（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）从该市2018年6月至2019年6月期间所有购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为X，求X的分布列与数学期望；（3）根据散点图选择ˆˆˆy a x=+ˆˆˆlny c d x=+两个模型讲行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为ˆ0.93690.0285y x=+ˆ0.95540.0306lny x=+，并得到一些统计量的值，如表所示：ˆ0.93690.0285y x=+ˆ0.95540.0306lny x=+()()1ni iix x y y=--∑0.0054590.005886()()2211nni i i i x x y y ==--∑∑ 0.006050请利用相关系数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年8月份的二手房购房均价（精确到0.001）.参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln15 2.71≈，3 1.73≈，15 3.87≈，17 4.12≈参考公式：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑25．我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查，获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表及图所示.分组 频数 频率 [)0,10 25[)10,200.19[)20,3050[)30,40 0.23 [)40,500.18[)50,605（1）分别求出n ，,a b 的值；（2）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；（3）从样本中年用水量在[]50,60（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）. 26．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y b x a =+$$； (2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?参考公式：()1122211()()nni i i i i i n n ii i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx====⎧---⎪==⎪⎨--⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ， 故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．2．C解析：C 【解析】 【分析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，甲、乙将贺年卡都送给丁有1种情况，利用古典概型求解即可． 【详解】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种， 所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：14， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型的定义及计算，排列，计数原理，属于中档题．3．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.4．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得：8.1=m . 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】试题分析：抽样比是，所以样本容量是．考点：分层抽样6．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．B解析：B 【解析】【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】由题意，执行程序框图，可得： 第1次循环：11,42S i =-=； 第2次循环：111,824S i =--=； 第3次循环：1111,16248S i =--==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288S i =----==L ， 此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i=-，③应填入：2i i =. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 9．B解析：B 【解析】 【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断D .【详解】对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数. 【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人； 令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人； 三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人. 故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=，第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=，∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．A解析：A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：若f （x ）=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数， 则02122a b a >⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，即020a a b >⎧⎨-≥⎩，则A（0，4），B（4，0），由4020a ba b+-=⎧⎨-=⎩得8343ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即C（83，43），则△OBC的面积S=14423⨯⨯=83．△OAB的面积S=14482⨯⨯=．则使函数f(x)=2ax2bx3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为P=OBCOABSSnn=13，故选：A．二、填空题13．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识解析：2【解析】【分析】画出数轴，利用x满足||x m≤的概率，可以求出m的值即可.【详解】如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x，若x满足||x m≤的概率为23，则有2263m=，解得2m=，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的解析：38【解析】【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率．【详解】设事件A表示11|422xx⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭得2111222x-⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x-≤≤，即构成事件A的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+，所以事件A的概率3 ()8 P A=.故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．15．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题解析：8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数.【详解】由茎叶图得1617101920188.5xx+++++=∴=【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.16．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52解析：52【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列，则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=. 故答案为 52．17．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：37【解析】 【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和的功能，输入3n =时，求3S .【详解】根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和，当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（， 故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.18．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：18解析：【解析】f (x )=2x 4-x 3+3x 2+7=(((2x -1)x +3)x )x +7， ∴v 0=2,v 1=2×2-1=3,v 2=3×2+3=9,v 3=9×2=18. 故答案为：18.19．【解析】由题意可知小明在和之间到达车站时满足题意由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点点的活动范围在线段 解析：25【解析】由题意可知，小明在6:507:00-和7:207:30-之间到达车站时满足题意，由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是201402=. 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．20．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46 【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。

2019北京四中高二上数学期中测试卷试卷分为两卷，A 卷100分，B 卷50分，共计150分考试时间：120分钟A 卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.不等式302x x -<+的解集为A.{}23x x -<< B.{}2x x <- C.{}23x x x <->或 D.{}3x x >2.已知数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且12a =，那么3a =A ．4B ．5C ．6D ．73.下列命题中的假命题．．．是A.R x ∀∈,30x > B.R x ∃∈，使tan 2x =C.R x ∀∈，20x > D.R x ∃∈，使lg 0x =4.已知等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =，则{}n a 的前5项和等于A.15-B.17-C.15D.175.若0<<b a ，则下列不等式中成立的是A ．22b a <B ．1<b aC ．b a 11<D ．b a 11>6.设2:4P a =,:2Q a =，则P 是Q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b a a b +≥8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-，则n S 取最小值时的n 为A.6B.7C.8D.99.函数9πtan (π)tan 2y x x x =+<<的最大值为A.6 B.9 C.6- D.9-10.已知常数(0,1)k ∈，数列{}n a 满足()N n n a n k n *=⋅∈.下面说法正确的是①当12k =时，数列{}n a 为递减数列；②当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；③当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项；④当1k k -为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．命题“x ∀∈R ，210x ->”的否定是_____．12．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则公比q =_____，42S S =_____．13．若正数,a b 满足141a b+=，则a b +的最小值等于_____．14.已知函数()f x 的对应关系如下表所示：数列{}n a 满足113,()n n a a f a +==，则4a =_____,2019a =_____.15.能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>，则a b c +>.”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_____.三．解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16．（本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =，60a =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；x123()f x 312（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足13b =，245b a a =+，求{}n b 的前n 项和公式．17．（本小题满分10分）已知函数2()4f x x ax =+-．（Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x <；（Ⅱ）若不等式()50f x +>的解集为R ，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分10分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，581b =，11a b =，144a b =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．B 卷一．选填题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）1.若0,0m n <>且0m n +<，则A.m n n m <-<<-B.n m m n -<<-<C.m n m n <-<-<D.n m n m -<<<-2.设}{n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1≠q ,且0(1,2,3,)n b n >= .若11b a =,1111b a =，则6a 与6b 的大小关系为A ．66b a =B ．66b a >C ．66b a <D ．不确定3.已知数列}{n a 满足143n n a a n ++=+，则12020a a +=A ．4043B ．4046C ．4047D ．40494.已知数列}{n a 满足43n n a S =-，n ∈N *，则13521n a a a a +++++= _____．5.若0,0a b >>,则不等式1b a x -<<的解集．．是_____．6.已知0a b >>,则224a b ab--的最小值是_____．7.有穷数列*{}(,12)n a n N n ∈≤满足1||1n n a a +-=，且1412,,a a a 成等比数列.若1121,4a a ==，则满足条件的不同数列{}n a 的个数为_____．二．解答题（本大题共2小题，共22分）8．（本小题满分10分）已知二次函数()2f x ax bx =+，()14f -=-，恒有()62f x x ≤+.数列{}n a 满足()1n n a f a +=，且102n a <<(n ∈N *).（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：数列{}n a 单调递增；（Ⅲ）记121ni n i a a a a ==⋅⋅∏ .若113a =，求1(12)n i i a =-∏.9．（本小题满分12分）给定数列12,,,n a a a .对1,2,3,,1i n =- ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++ 的最小值记为i B ，i i i d A B =-.（Ⅰ）设数列{}n a 为3,4,7,1.写出123,,d d d 的值；（Ⅱ）设12,,,(4)n a a a n ≥ 是公比大于1的等比数列，且10a >.证明121,,,n d d d - 是等比数列；（Ⅲ）若1210n d d d -==== ，证明{}n a 是常数列.如想获得Word 版及答案，请关注“海淀数学教研”微信公众平台，点击“干货下载”。

北京四中高二数学 期中测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知向量()1,2,1a =-，则下列向量与a 垂直的是（ ）A. ()0,0,1B. ()2,1,0-C. ()1,1,2D. ()4,1,1- 2. 若直线:210l x ay ++=与直线2:220l x y -+=平行，则a =（ ）A. 1B. 1-C. 4D. 4- 3. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 4. 在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（ ）A. 平面ADC ⊥平面BCDB. 平面ABC ⊥平面BCDC. 平面ABD ⊥平面ADCD. 平面ABD ⊥平面ABC5. 圆()2224x y ++=与直线3420x y ++=相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A. 4360x y ++=B. 3480x y ++=C. 4360x y --=D. 4360x y -+= 6. 若()2,3A -、()3,2B -、()1,C m 三点共线，则m 的值为（ ） A. 12 B. 1- C. 2- D. 07. 下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A. B. C. D.9. 直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（ ） A. ()6,2-- B. 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 10. 如图所示，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在平面ABC 上的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. △ABC 的内部 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 经过1,0A ，(3B 两点的直线的倾斜角为______________. 12. 圆心为()4,3C -且与直线2100x y ++=相切圆的方程为______________.13. 圆224410x y x y +-+-=截直线60x y --=所得弦长等于______________.14. 若空间向量()5,3,a m =，()1,1,2b =--，()0,2,3c =-共面，则m =______________. 15. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，则点B 到平面1AB E 的距离为______________． 16. 三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60；④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.三、解答题：本大题共3小题，共36分17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PB 的中点.（1）求直线PD 与CE 所成角的余弦值；（2）求直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值；（3）求二面角E AC P --的余弦值.19. 已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点()0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分20. 圆()()22135x y -+-=关于直线y x =对称的圆方程为______________. 21. 已知ABC 的三个顶点分别是()0,3A ，()4,2B ，()2,1C .若直线l 过点A ，且将ABC 分割成面积相等的两部份，则直线l 的方程是______________.22. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为'A ，且平面A BD '⊥平面BCD ，则下列四个命题中正确的是______________.①'A D BC ⊥；②三棱锥'A BCD -的体积为22； ③CD ⊥平面'A BD④平面'A BD ⊥平面A DC '23. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ： 2y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若45DBA ∠︒≥，则点A 的横坐标的取值范围为______________. 三、解答题：本大题共2小题，共24分24. 在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===， 120PDC ∠=︒.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ⊥平面PAC ？如果存在，求BF BC 的值；如果不存在，说明理由；（3）若M 是棱PA 的中点，N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行. 25. 设N n *∈，且3n ≥.对1，2，…，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称（s i ，t i ）是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序()2,1，()3,1 ，则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1，2，…，n 的的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.（1）求()32f 的值；（2）判断()2n f 与()+12n f 的大小，并说明理由；（3）求()()24n f n ≥的表达式（用n 表示）.。

北京四中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 函数f(x)=1√1−2x的定义域为M ，g(x)=√x +1的定义域为N ，则M ∩N = ( ) A. [−1,+∞) B. [−1,12) C. (−1,12) D. (−∞,12)2. 下列函数是偶函数且在(−∞,0)上单调递减的是( )A. y =2x B. y =a −x 2(a ∈R)C. y =1−3xD. y =|x |−13. 函数在[−π2,π2]的图像是( )A. B.C. D.4. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为8，则图中判断框内①处可以填()A. k >4B. k ≥4C. k <4D. k ≤4 5. 已知函数y =sin(ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. y =sin(2x +π2)B. y =sin(2x +π4) C. y =sin(4x +π2)D. y =sin(4x +π4) 6. 下列结论正确的是( )A. 若a >b >0，则log 12a >log 12b B. a ⃗ =(1,m )与b ⃗ =(m,2m −1)共线的充要条件是m =0C. 命题“∀n ∈N,3n >(n +2)⋅2n−1”的否定是“∃n ∈N,3n ≥(n +2)⋅2n−1”D. 已知f (x )在[a,b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )f (b )<0，则f (x )在(a,b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题7. 已知函数f(x)={cosx −x,x ≤01−x x+1,x >0，则下列结论正确的是( ) A. f(x)有极值B. y =f(x)+1有零点C. f(x)在定义域上是减函数D. f(0)=0 8. 若关于x 的方程x e x+e x x−e x +m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<0<x 2<x 3，其中m ∈R ，则(x1e x 1−1)2(x 2e x 2−1)(x 3e x 3−1)的值为( )A. eB. 1−mC. 1+mD. 1二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 设i 为虚数单位，则2+i1−i −(1−i)=______．10. ∫(103x 2−12)dx 的值是______ ．11. 命题“∃x ∈[−1,1]，x 2−3x +1<0”的否定是______．12. 圆C ：ρ=−4sinθ上的动点P 到直线l ：ρsin(θ+π4)=√2的最短距离为______ ．13. 设函数f(x)={−2x 2+1(x ≥1)log 2(1−x)(x <1)，则f(f(4))=______；若f(a)=−1，则a =______． 14. 若函数y =f (x )是定义在R 上的增函数，且满足f (1)=0，f (a )+f (b )=f (a +b )−1，那么f (2)=________，关于x 的不等式f (x 2−1)+f (1−x )>0的解集是________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知集合A ={x|0<x +2≤7}，集合B ={x|x 2−4x −12≤0}，全集U =R ，求：(Ⅰ)A ∩B ；(Ⅱ．16. 已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且．(1)求角A;(2)若a =6，b =2√3，求c 的值．17.已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x2+3sin2x+12，x∈R(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期(Ⅱ)求函数f(x)的单调递减区间．18.已知函数f(x)=2x3−3ax2+3a−2(a∈R)．(1)若a=1，给出函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极大值为0，求实数a的值；19.已知函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)．(1)证明f′(x)≥2；(2)如果f(x)≥ax对x∈[0,1)恒成立，求a的范围．20.已知函数f(x)=x2−x，g(x)=e x−ax−1(e为自然对数的底数)．(1)讨论函数g(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集及其运算和函数定义域的求解，是基础题．求出f(x)的定义域M，g(x)的定义域N，然后利用交集的定义求解即可．解：由f(x)=√1−2x，得1−2x>0，解得x<12，所以M=(−∞,12)，由g(x)=√x+1，得x+1≥0，即x≥−1，所以N=[−1,+∞)，则M∩N=[−1,12)．故选B．2.答案：D解析：本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，其中熟练掌握各种基本初等函数的奇偶性和单调性是解答的关键．解：函数y=2x为奇函数，在(−∞,0)上单调递减；函数y=a−x2为偶函数，在(−∞,0)上单调递增；函数y=1−3x为非奇非偶函数，在(−∞,0)上单调递减；函数y=|x|−1为偶函数，在(−∞,0)上单调递减故选D．3.答案：A解析：本题考查函数图象的判断，注意分析函数的奇偶性、单调性以及特殊值，属于简单题．根据题意，分析可得函数y=−xcosx为奇函数，且当0<x<π2时，有y=−xcosx<0，函数图象在x轴下方；分析选项即可得答案．解：根据题意，对于函数y=−xcosx，x∈[−π2,π2 ]，有f(−x)=−(−x)cos(−x)=xcosx=−f(x)，则函数y=−xcosx为奇函数，可以排除B、D；当0<x<π2时，cosx>0，则有y=−xcosx<0，函数图象在x轴下方；分析选项，A符合；故选：A．4.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．模拟程序的运行，可得当S=8，k=4时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为8，由此可得图中判断框内①处可以填k<4？解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足判断框内的条件，执行循环体，S=2，k=2满足判断框内的条件，执行循环体，S=4，k=3满足判断框内的条件，执行循环体，S=8，k=4此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为8．由此可得图中判断框内①处可以填k<4？故选：C．5.答案：B解析：本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象特征，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式．解：由函数的图象可得A=1，T2=πω=7π8−3π8，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×3π8+φ=π，求得φ=π4，故有函数y=sin(2x+π4)，故选B．6.答案：D解析：本题主要考查命题的应用，熟悉充要条件的判定方法是解答本题的关键，属于中档题.逐项判断即可．解：A.若a>b>0，则log12a<log12b，故选项AC错误；B.a→=(1,m)与b→=(m,2m−1)共线的充要条件是m=1，故答案B错误；C.全称命题的否定是特称命题，故答案C错误；D.根据逆命题的定义可知，已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)⋅f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点f(x)”的逆命题为假命题，故答案D正确．故选D．7.答案：C解析：解：函数f(x)={cosx−x,x≤0 1−xx+1,x>0，则f′(x)={−sinx−1,x≤0−2(x+1)2,x>0，所以f′(x)≤0，故f(x)在R上单调递减，可得f(x)无极值；f(0)=1；由f(x)=−1，当x>0时，1−x1+x=−1无实数解；当x≤0时，cosx−x=−1，由cosx∈[−1,1]，可得x−1∈[−1,1]，即x∈[0,2]，x=0显然不成立．故选：C．求得f(x)的导数，判断单调性，可判断A，C；计算f(0)，可判断D；讨论x>0，x≤0，解方程即可判断B．本题考查分段函数的性质，主要是单调性和极值、零点和函数值，考查导数的运用和运算能力、推理能力，属于中档题．。

北京市西城区第四中学高二数学上学期期中试题（含解析）•选择题（本大题共 10小题，每小题5分，共50 分） 1.不等式v 0的解集为x 2A. x | 2 x 3B. x | x 2x|x 3【答案】A 【解析】 略【此处有视频，请去附件查看】当 n 2 时，a 3 a 2 2 5.故选B.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的项，属于基础题 3.下列命题中的假命题是（ ） A. x R , x 3 0 B. x R ，使 tanx 2 C.x R , 2x 0D. x R ,使 lg x 0 【答案】 A【解析】【分析】2.已知数列 h 满足a n 1ann，且 a 1 2，那么a 3（)A. 4B. 5C. 6【答案】B【解析】【分析】根据递推关系， 依次求得a 2,a 3的值.【详解】当n 1 时，a 2 ai 13 ；D. 7C. x|x 2或x 3D.对选项逐一分析命题的真假性，由此得出正确选项【详解】对于A选项，当x 0时，X30,故A选项是假命题；对于B选项，正切函数的值域为R，故B选项是真命题；对于C选项，根据指数函数的值域可知，C选项是真命题；对于D选项，lg1 0，故D选项是真命题.故选:A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断，考查幂函数、函数和对数函数有关知识，属于基础题.4. 已知等差数列a n中，印1，公差d 2，则a n的前5项和等于A. 15B. 17C. 15【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式，求得a n的前5项和.【详解】由于数列a n是等差数列，所以S5 5印10d 5 20 15.故选：C.【点睛】本小题主要考查等差数列前n项和公式，属于基础题.5. 若a b 0，则下列不等式中成立的是（）2 2 a 1 1A. a2b2B. 1C.b a b【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项【详解】对于A选项，由于a b 0, a b 0，a2 b2 a b a b所以A选项不成立.a对于B选项，由于a b 0，所以1，所以B选项不成立.正切函数、指数）D. 171 1 D.a b 0，故a2b2，b1 1 b a1 1对于C D 选项，由于a b 0,b a 0,o ,故，所以C 选项不a b aba b成立，D 选项成立. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据不等式的性质判断不等式是否成立， 考查差比较法，属于基础题• 6.设 P: a 24, Q : a 2，则 p 是 Q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将P,Q 相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件 【详解】由a 2 4,a 2.所以p Q，Q p，故P 是Q 的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题 7.若a,b R ，且ab 0，则下列不等式中，恒成立的是【答案】D【解析】 试题分析：一： 「j ，所以A 错；.一，-:，只能说明两实数同号，同为正数，或同为 err0 4 一负数，所以当• ’■时，B 错；同时C 错；一或 都是正数，根据基本不等式求最值,o aa b * 卫 b …——二_』一 -_，故D 正确. 考点：不等式的性质【此处有视频，请去附件查看】2 2A. a b 2abB. a b 2 . ab1 12 C.a b ■- abD.8.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为$,若a i = - 11, a 4+ a 6=- 6,则当S 取最小值时，n 等于A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A 【解析】分析：条件已提供了首项，故用“a 1, d ”法，再转化为关于 n 的二次函数解得.解答：解：设该数列的公差为 d ,贝U a 4+a 6=2a i +8d=2x(-11 ) +8d=-6，解得d=2,所以 S=-11 n+x 2=n 2-12n=(n-6) 2-36，所以当 n=6 时，S n 取最小值.故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力.【此处有视频，请去附件查看】9 n9.函数y tanx( x n 的最大值为( )tanx 2A. 6B. 9C. 6D. 9【答案】C 【解析】 【分析】n【详解】由于n2利用基本不等式, 结合正切函数的取值范围,求得函数ytanx盏畤x "的最大y tanx 9 tanx9 tanxtanx2 tanxtanx当且仅当 tan x9,tanx3时等号成立.tan xn ,所以 tanx 0,所以故选：C 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查正切函数的取值范围，属于基础题 10.已知数列｛a n ｝满足a n = nk n （n €N *, 0 < k < 1），下面说法正确 ①当 1 时，数列｛a n ｝为递减数列;2 ②当 1时，数列｛a n ｝不一定有最大项;③当 1时，数列｛a n ｝为递减数列;2 ④当 1 k A.①② 为正整数时，数列｛a n ｝必有两项相等的最大项•B.②④C.③④【答案】C 【解析】 试题分析：选项①：当1 k 时, 2a nn (1)n a 2即数列a n 不是递减数列，故①错误; 选项②：当1 k 1时，旦口 2 a n (n n 11) k k n k(n 1)n，因为k k(n n列a n 可有最大项，故②错误; 2 ,1 选项③：当 k 1时，2 a na n 1 (n n 11) kk(n 1) n n 12n1，所以a na n ，即数列a n 是递减数列，故③正确; 选项④：也 a n (n 1) k n 1n k n k(n为正整数时,i 时，a 1 a 2 a 3 a 4 ; 1时,k令mN ，解得1 ka n 1 m(n a n n(1 m) °，数列 a n 必有两项相等的最大项，故④正确所以正确的选项为③④. 考点：数列的函数特征 二•填空题（本大题共 5小题，每小题4分，共20分）211.命题“ x R , x 2 1 0 ”的否定是【答案】x R,x 2 1 0【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题， 并将结论加以否定，因此否定为：x R,x 2 考点：全称命题与特称命题12.设S n 为等比数列a n 的前n 项和，832 35 0，则公比q ______________【答案】 (1). 2 (2). 5 【解析】 【分析】【详解】由于数列a n 为等比数列，故8ag 31q 40，解得q = 2，故答案为：(1)2 ；(2)5.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式基本量计算，属于基础题1 413.若正数a,b满足一 一1，则a b 的最小值等于 ______________ .a b【答案】9 【解析】 【分析】利用“1的代换”方法，利用基本不等式，求得a b 的最小值.故答案为：9.将已知转化为31, q 的形式，由此求得公比q ，进而求得t 的值.S 2 1 q 25.1 4I 详解】由于1 -1，所以a bb 4a a b当且仅当1- a b1，即a 2,b 8时等号成立【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值, 考查化归与转化的数学思想方法, 属于基础题.214.已知函数f(x)的对应关系如下表所示:123312数列｝满足a13, a n 1f(a n)，则a4,a2019｛a n【答案】(1). 3(2). 1【解析】【分析】根据函数的对应关系，求得数列的前6项，找到规律，由此求得a4,a2oi9的值.【详解】依题意a2 f a1 f 3 2, a3 f a2 f 2 1 , a4f a3 f 1 3, a5 f a t f 3 2,兎f a§f 2 1 ,……,以此类推，数列a.是周期为3 的周期数列，故a2019 a673 3 a31. 故答案为：(1) 3 ; (2) 1.【点睛】本小题主要考查周期数列，考查函数的对应关系，属于基础题15.能够说明“设a,b,c是任意实数，若a b c,则a b c”是假命题的一组整数a,b,c 的值依次为.【答案】1, 2, 3【解析】试题分析：1 2 3, 1 2 3 3，矛盾，所以-1, -2, -3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法. 解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一.三•解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)16.已知｛a n｝为等差数列，且a3 6 , a6 0.(1 )求｛a n｝通项公式；(2)若等比数列｛b n｝满足b 3 , b2 a4 a5，求｛g｝的前n项和公式.【答案】(1) a n 2n 12 ；( 2) & 3(2n1)【解析】【分析】(1)将已知条件转化为 a i ,d 的形式列方程组，解方程组求得a i ,d ，进而求得数列｛a “｝的通项公式.(2)将已知条件转化为b 1,q 的形式列方程组,n 项和公式.【详解】 (1)设等差数列 ｛a n ｝的公差为d因为 a 36,a 6 0 ,a 1 2d 6所以，解得 a 1 10, d 2.a 1 5d 0所以 a n 10 (n 1)( 2) 2n 12 .(2) 设等比数列｛b n ｝的' 公比为q. 因为 b 2 a 4 a 56, d 3，所以3q 6，即q = 2 .所以{b n }的前n 项和公式为S nd(1 q)3(2n 1).1 q【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算， 考查等比数列通项和前 n 项和的基本量计算，属于基础题. 17.已知函数 f(x) x 2 ax 4 .(1 )当a 3时，解不等式f(x) 0 ；(2)若不等式f(x) 5 0的解集为R ，求实数a 的取值范围【答案】(1) {x| 4 x 1} ； (2) ( 2,2) 【解析】 【分析】(1 )当a 3时，根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集(2)构造函数g(x) f(x) 5，根据二次函数函数值恒为正数的条件列不等式，解不等式 求得a 的取值范围.解方程组求得d,q ，进而求得数列｛b n ｝的前【详解】(1)由f(x) x23x 4 0得(x 4)(x 1) 0，所以原不等式解集为{x| 4x1}.(2)若不等式f (x) 5 0的解集为R，因为抛物线g(x) f (x) 5 x2ax 1开口向上，所以只需a24 0,解得2 a 2.故f (x) 5 0解集为R时，实数a 取值范围为(2,2).【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题的求解, 属于基础题.b2 3 所以D =皿=1，b4 b3q 27，b n 3n 1 q设等差数列{a n}的公差为d .因为a1 b1 1 , a14 b4 27,所以1 13d 27,即d 2 •所以a n2n 1(n N )•(2 )由(1)知, a n2n1, b n3n1, 从而C n (2n 1) 3n 1由于T n C1 C2C3L C n ,即T n 1 3 3532 1L (2n1) 3n 1(1)则3T n 3 32 3 533L (2n1) 3n(2)由（1）-(2 )得'2T n - 1 2 (33233L 31)(2n1) 3nc 3(13n 1)12(2n 1)3n131 3 (3n1 1) (2n 1) 3n2 (2n2)3n所以T n(n 1)3n1.【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列通项的基本量计算，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.一•选填题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）19.若m0,n 0 且m n 0，则（)A.m n n mB.n m m nC.m n m nD.n m n m 【答案】A【解析】【分析】利用特殊值对选项进行排除，根据不等式的性质，证明正确的选项结论成立【详解】不妨设m 2,n 1,m n 0,所以n m，故BD选项错误；m n，故C选项错误.正确的选项为A.对于A选项.由于m 0, n 0且m n 0 ,即卩m n, n m，所以m n 0 n m.故选：A.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查比较大小，属于基础题 20.设｛a n ｝是等差数列，b n 为等比数列，其公比q i ,且b n 0 (n i,2,3,L )，若a ib i , anb ii ，则a §与的大小关系为(可知bi —如2故选：B.【点睛】本小题主要考查等差中项、等比中项的性质，考查基本不等式求最值【答案】A 【解析】 【分析】故选：A.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的和，考查等差数列基本量的计算,A. a 6 馆B. a 6b 6 C. a 6 b 6D.不确定【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项和等比中项的性质，结合基本不等式，判断出 a 6与b 6的大小关系.【详解】由于 ｛a n ｝是等差数列，b n 为等比数列，所以a 〔 a〔i2,b 6b 1b ii，而a ib i , a 11b ii ，所以a 6 专1,b6 311，由于 bib ii ,b n根据基本不等式- b i b ii ，即 a6b 6.2i.已知数列｛a n ｝满足a n i 4n3，则 aia 2020（ ）A.4043B.4046C.4047D.4049根据已知判断 a n 2 a n 4，即 a i ,a 3,a 5,L 与 a 2,a 4,a 6,L 分别是公差为4的等差数列，利用 a 20i9,a 2020a 20i9的值，求得a ia 2020的值.【详解】由 a n i a n 4n 3 得 a . 2 a n i 4n 7，两式相减的a 1, a 3, a 5,L 与a 2, a 4,a 6,L 分别是公差为 4的等差数列，所以 a 2019 a i i009 4 ①.而a 2020 a 20i94 20i9 3②，由①②得a i a 20204 20i9 3 i009 4 4043.a 1a 3 a 5 La 2n 1的值.【详解】当n 1时，a 1 4a 1 3,a 1 1.】a n1，故数列a n 是首项为a 1 1，公比为 1的等比数列.而耳忌旦丄,a 2n 1是3 31丄的等比数列的前n 项和.所以991故答案为：1歹S n 求a n ，考查等比数列通项公式及前 n 项和公式，属于中档 题.123.若a 0，b 0，则关于x 的不等式 b — a 的解集为 ______________________x1 1【答案】， U ,b a【解析】 【分析】可将该不等式转化为一元二次不等式组，从而可求原不等式的解集属于基础题.22.已知数列｛a n ｝满足a n 4S n 3, n N ，则 a ia 3 a 5 L a 2n 1【答案】9 181 9"【解析】 【分先求得a i 的值，再根据a nS|,n 1SnSi 1, n2求得数列的通项公式，由此求得当n 2时，由a n4S n3得a “ 14S n 1 3，两式相减得a n a n 1 4a n ，故首项为1,公比为 a 3 a 5 La 2n 19n【点睛】本小题主要考查已知档题.求解，注意转化时分母不为零【答案】8 【解析】 【分析】的最小值.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值考查化归与转化的数学思想方法,【详解】不等式 b 1b a 等价于1bx 1 0 x 1 ax J 0xx bx 1 故x ax 1整理得到x 1 或 x ：0b•，该不等式组的解为 x 1x 〈0或x ）舌故原不等式的解集为故答案【点睛】本题考查分式不等式解的求法,般地，分式不等式可以转化为一元二次不等式来224.已知a b 0 ,则a丁4的最小值是b 2 ab将要求最小值的表达式化简为ababab ab，再利用基本不等式求得表达式【详解】由于a b 0,所以a2ab4ab b 2ab4 a 2ab 4 ababa 2ab4 a 2ab2 al ab8，当且仅当abab4 a 2 ab，即aba 2,b1时, 取得最小值•故答案为:8.属于中25.有穷数列{a n} (n N ,n 12)满足| a. 1 a. | 1，且a1,a4,a12成等比数列.若a i 1, a12 4，则满足条件的不同数列{a n}的个数为_______________ .【答案】176【解析】【分析】根据印84,印2成等比数列，求得a4的可能取值，由此进行分类讨论，结合|a n 1 a n | 1，判断出满足条件的不同数列{a n}的个数.【详解】由于|a n 1 a n | 1，所以a n 1 a n 1或a n 1 a n 1.由于a「a4，a12成等比数列，所以a： a1盹，所以a：4，故2或2 .当a4 2时，在1 n 3中，a. 1 a. 1都成立；在4 n 11中，有1个a n 1 a.1，7个a n 1 a n 1成立.故方法数有8种.当a4 2时，在1 n 3中，有1个a n 1 a. 1成立，2个a n 1 a. 1成立，方法数有3 3种；在4 n 11中，有3个a n 1 a n 1，5个a n 1 a n 1成立，方法数有C s 56种.故方法数有3 56 168种.综上所述，满足条件的不同数列{a n}的个数为8 168 176.故答案为：176.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，考查组合数的计算，属于中档题.二•解答题(本大题共2小题，共22分)226.已知二次函数f x ax bx, f 1 4，恒有f x 6x 2.数列a n满足1a n 1 f a n，且0 a n 2 ( n N*).(1 )求f x的解析式；(2)证明：数列a n单调递增；2(3 )记 na i i 1 a a 2 L a n •若 a 1-，求(1 2aJ . 3 i 1 【答案】 (1) f x 2x 2 2x ；（ 2 ）见解析；（3） 31 2n 【解析】 【分析】 (1)利用f 14得到a, b 的关系式，利用f x 6x 2恒成立，列不等式，由此求 得a,b 的值，进而求得函数 f x 解析式. （2）利用差比较法，结合（1）的结论，证得a n 1 a n o ,由此证得数列 an 单调递增.2 （3 ）首先判断1 2a n 1 （1 2a n ） 0，然后证得数列 log 3（1 2a n ）是等比数列, 并求得其首项和公比，进而求得其前n 项和的表达式，利用对数式化为指数式, 求得 in (1 12a i )的【详解】(1) 由 f 1 4 得 a b 4，即 b a 4 ； 因为f 6x 2恒成立，即ax 2 （b6)x 2 0恒成立, 即ax2(a 2）x 2 0恒成立，从而(a 2 22) 8a (a 2)0，所以所以表达式为 2x 2 2x；(2)由于a n 1 a n2a n 2 2a n ) a n2aan2a n(an ~)，又因为0 a n 2( N*)，所以2a n (a n 1)0，因此 a n 1 a n ，所以数列 a n 单调递增; (3)因为 1 2a n 1 1 2( 2a n 2 2a n )1 4a n4a n 2 (1 2a n )20，所以 Iog 3(1 2a n 1)2log 3(1 2a n )，即Iog 3(1 2a n Jg(1 2a n )所以数列Iog 3（1 2a n ）是等比数列，其首项 log 3(1 2aJ1，公比q = 2， 其前 n 项和为 1 2n，即log3 1 2印1 2a2 L 1 2a. 1 2n，所以1 2n1 2n（1 2a i）31 2.i 1【点睛】本小题主要考查二次函数解析式的求法，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略；考查利用差比较法证明数列的单调性，考查构造数列法求数列前n项乘积的值，考查运算求解能力，属于中档题.27.给定数列a1,a2, L ,务.对i 1,2,3, L , n 1，该数列前i项的最大值记为A ,后n i项a i 1, a i 2 ,L , a n 的最小值记为B i，d i A B i .（1）设数列a n为3,4,7,1. 写出d1,d2,d3的值；（2）设a1,a2,L ,a n（n 4）是公比大于1的等比数列，且印0，证明d「d2丄,d n 1是等比数列；（3）若d1 d2 L d n 1 0，证明a n是常数列.【答案】（1）d1 2，d2 3，d3 6 ；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据A，B「d i的定义，求得d1,d2,d3的值.（2）根据数列a n的单调性，确定d i a i a i 1，根据等比数列的定义，证得d1,d2,L ,d n 1 是等比数列；（3）先证得a1后面的项，都不小于a1，然后证得a1后面的项，都不大于&，由此证得內后面的项，和a1都相等，即证得数列a n的每一项和a1都相等，也即证得a n是常数列.【详解】（1）d1 A1 B1 3 1 2，d2 A2 B2 4 1 3，d3 A3 B3 7 1 6 （2）因为a1,a2,L ,a n（n 4）是公比大于1的等比数列，且a1 0 所以a n a1q n 1.所以当i 1,2,3丄，n 1时，d i A B i a i a 121所以d,d 2丄,d n 1是等比数列min{a 2,a 3,L ,a n }，故 k {2,3, L , n}，使 a 1 a k ，且对j {2,3, L , n}，都有％ a k 印……①. 若 k 2，则 a 1 a 2 ；若k 2，因为d k 1 0，所以B k 1 max{a 1,a 2,L @1} min 厲@1 ,L Q } a k 印,所以对j {2,3, L , k 1}，都有a j a a k ……②. 由①②知，对 j {2,3, L ,k 1}，都有a j a k . 综上，& a 2 L a k .因 d k 0，所以 A k B k ，所以 a k max{a 1,a 2 丄，a k } min{ a k 1忌 2丄，a .}, 所以k' {k 1,k 2丄，n}，使 a k' a k .同上可证a k L a k '.以此类推，由于 a n 仅有有限项，所以 a n 是常数列.【点睛】本小题主要考查新定义 d i A B i 的理解和运用，考查等比数列的定义，考查分析 思考与解决问题的能力，综合性很强，属于难题 .- 所以当i 2,3,L , n 1 时,d i d i 1 a a i ! a i i q(1 q) a i i a a i (1 q)(3)因为 d 1 A 1 EB ( 0 即 max{aj。

参考答案A 卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案A B A C D B D A C C二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）112,10.R x x ∃∈-≤122,51391431151,2,3---三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16．（本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =，60a =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足13b =，245b a a =+，求{}n b 的前n 项和公式．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .因为366,0a a ==，所以112650a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得110,2a d ==-.所以10(1)(2)212n a n n =+-⋅-=-+.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24516,3b a a b =+==，所以36q =，即2q =.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)3(21)1n n n b q S q-==--.17．（本小题满分10分）已知函数2()4f x x ax =+-．（Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x <；（Ⅱ）若不等式()50f x +>的解集为R ，求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）由2()340f x x x =+-<得(4)(1)0x x +-<，由二次函数的图象，得原不等式解集为{|41}x x -<<.（Ⅱ）若不等式()50f x +>的解集为R ，因为抛物线2()()51g x f x x ax =+=++开口向上，所以只需240a ∆=-<，解得22a -<<.故()50f x +>解集为R 时，实数a 的取值范围为(2,2)-.18．（本小题满分10分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且25111443,81,,b b a b a b ====．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）等比数列{}n b 的公比35281273b q b ===，故3q =.所以211b b q==，4327b b q ==．设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =．所以*21()n n a N n =∈-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-，13n n b -=，从而1(21)3n n c n -=-⋅．由于123n n T c c c c =++++L ，即2113353(21)3n n T n -=+⨯+⨯++-⋅L （1）则23333353(21)3n n T n =+⨯+⨯++-⋅L （2）由（1）-（2）得23111212(3333)(21)33(13)12(21)31313(31)(21)32(22)3n nn n nn nnT n n n n ----=+⨯++++--⋅⨯-=+⨯--⋅-=+⨯---⋅=---⋅L 所以(1)31n n T n =-⋅+.B 卷一．选填题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）1234567A B A 34125611{|}x x x b a <->或8176二．解答题：（本大题共2小题，共22分）8．（本小题满分10分）已知二次函数()2f x ax bx =+，()14f -=-，恒有()62f x x ≤+.数列{}n a 满足()1n n a f a +=，且102n a <<(n ∈N *).（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：数列{}n a 单调递增；（Ⅲ）记121ni n i a a a a ==⋅⋅∏ .若113a =，求1(12)n i i a =-∏.解：（Ⅰ）由()14f -=-得4a b -=-，即4b a =+；因为()62f x x ≤+恒成立，即2(6)20ax b x +--≤恒成立，即2(2)20ax a x +--≤恒成立，从而22(2)8(2)0a a a ∆=-+=+≤，所以2a =-；所以表达式为()222f x x x =-+；（Ⅱ）由于2211(22)22()2n n n n n n n n n a a a a a a a a a +-=-+-=-+=--，又因为102n a <<(n ∈N *)，所以12()02n n a a -->，因此1n n a a +>，所以数列{}n a 单调递增；（Ⅲ）因为22211212(22)144(12)0n n n n n n a a a a a a +-=--+=-+=->，所以313log (12)2log (12)n n a a +-=-，即313log (12)2log (12)n n a a +-=-，所以数列3log (12)n a -是等比数列，其首项31log (12)1a -=-，公比2q =，所以1(1)121n n n b q S q -==--，所以121(12)33n n n S i i a -=-==∏.9.（本小题满分12分）给定数列12,,,n a a a .对1,2,3,,1i n =- ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++ 的最小值记为i B ，i i i d A B =-.（Ⅰ）设数列{}n a 为3,4,7,1.写出123,,d d d 的值；（Ⅱ）设12,,,(4)n a a a n ≥ 是公比大于1的等比数列，且10a >.证明121,,,n d d d - 是等比数列；（Ⅲ）若1210n d d d -==== ，证明{}n a 是常数列.解：（Ⅰ）111312d A B =-=-=，222413d A B =-=-=，333716d A B =-=-=（Ⅱ）因为12,,,(4)n a a a n ≥ 是公比大于1的等比数列，且10a >所以11n n a a q -=.所以当1,2,3,,1k n =- 时，1k k k k k d A B a a +=-=-所以当2,3,,1k n =- 时，11111(1)(1)k k k k k k k k d a a a q q q d a a a q +------===--所以121,,,n d d d - 是等比数列.（Ⅲ）因为1110d A B =-=即123max{}min{,,,}n a a a a = ，故{2,3,,}k n ∃∈ ，使1k a a =，且对{2,3,,}j n ∀∈ ，都有j k a a ≥……①.若2k =，则12a a =；若2k >，因为10k d -=，所以11k k A B --=12111max{,,,}min{,,,}k k k n k a a a a a a a a -+=== ，所以对{2,3,,1}j k ∀∈- ，都有1j k a a a ≤=……②.由①②知，对{2,3,,1}j k ∀∈- ，都有j k a a =.综上，12k a a a === .因为0k d =，所以k k A B =，所以1212max{,,,}min{,,,}k k k k n a a a a a a a ++== ，所以'{1,2,,}k k k n ∃∈++ ，使'k k a a =.同上可证'k k a a == .以此类推，由于{}n a 仅有有限项，所以{}n a 是常数列.。