北京四中2011-2012学年高二下学期期中测试数学试卷(文)

北京四中撰稿：张炜倬责编：姚一民数学试卷（试卷满分为100分，考试时间为100分钟）一.选择题（每题4分，共48分）。

1.正三棱锥底面边长变为原来的2倍，高变为原来的，则体积()（A）不变（B）变为原来的2倍（C）变为原来的（D）变为原来的2.设地球半径为R，P、Q是地球上两点，P在北纬、东经，Q在北纬、东经，则P、Q两点截北纬圈上的劣弧长为()（A）（B）（C）（D）3.正20面体有r个顶点、s条边，t个面，则()（A）（B）（C）（D）4.棱长为2的直平行六面体，，则与平面所成角的正弦值为()（A）（B）（C）（D）5.设a、b是异面直线，给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和直线b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和直线b的两个互相垂直的平面.其中错误的命题为()（A）①与②（B）②与③（C）②与④（D）仅②6.在棱长为a的正方体中，M是的中点，则点到平面MBD的距离是( )（A）（B）（C）（D）7.在两两垂直且交于一点的三条直线上各取不是交点的一点，以它们为顶点构成的三角形是()（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）以上情况皆有可能8.E、F是正三角形ABC的边AB、AC的中点，沿EF把正三角形折成的二面角（如图），则的正切值为( )（A）（B）（C）（D）以上答案均不对9.三棱锥中PA、PB、PC两两互相垂直，，，则其体积( )（A）有最大值4 （B）有最小值2（C）有最大值2（D）既无最大值也无最小值10.长方体中，若AB=5，AD=4，，且此长方体内接于球O，则球O的表面积为()（A）（B）（C）（D）11.平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是的( )（A）重心（B）垂心（C）内心（D）外心12.如图，正四面体中，点M在AB上，点N在CD上，，，MN与AC成角为，MN与BD成角为，设，当时，是()（A）单调增函数（B）单调减函数（C）先单调递增后单调递减（D）常函数二. 填空题（每题4分，共16分）。

2011-2012学年北京市某校高二（下）期中数学试卷（文科）（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡相应的位置．1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5, 7}，集合A ={4, 7}，集合B ={1, 3, 4, 7}，则（ ） A.U =A ∪B B.U =(C U A)∪BC.U =A ∪(C U B)D.U =(C U A)∪(C U B)2. 在复平面内，复数z =1−i1+i −1所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 若a ，b 是任意实数，且a >b ，则（ ） A.a 2>b 2 B.ba<1C.lg (a −b)>0D.2a >2b4. 命题“对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是（ ）A.不存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0 B.存在x 0∈R ，x 03−x 02+1≤0 C.存在x 0∈R ，x 03−x 02+1>0D.对任意的x ∈R ，x 3−x 2+1>05. 若x ∈R ，则“x >1”，则“x 2>1”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 已知f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且f(x +4)=f(x) 当x ∈(0, 2)时，f(x)=2x 2，则f(2011)=( ) A.98 B.−98 C.2 D.−27. 已知：x ∈R ，y ∈R 定义运算x※y ={x(x ≤y)y(x >y)，若|2m −1|※m =|2m −1|，则实数m 的取值范围是（ ）A.(−∞, 13) B.(13, 1)C.[13, 1]D.[1, +∞)8. 已知函数f(x)＝log a (2x +b −1)(a >0, a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是（ ）A.0<a −1<b <1B.0<b <a −1<1C.0<b −1<a <1D.0<a −1<b −1<1 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题目相应位置.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x 为________若二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2−x)且f(a)≤f(0)<f(1)，则实数a 的取值范围是________．方程3−x =3−x 2有________个实数解．i 是虚数单位，i +2i 2+3i 3+...+8i 8=________．（用a +bi 的形式表示，a ，b ∈R ）已知：x >0，y >0，x ⋅y =x +3y +1，则x +y 的最小值是________．已知：S n 是数列{a n }的前n 项和，其中a n =8n(2n−1)2⋅(2n+1)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，得到S 4=________． 三、解答题：本大题3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知集合S ={x|x+2x−5<0}，P ={x|a +1<x <2a +15}．(1)求集合S ；(2)若S ⊆P ，求实数a 的取值范围．已知函数f(x)=x−bx−1，它的图象过点(2, −1)． （1）求函数f(x)的解析式；（2）设k >1，解关于x 的不等式：f(x)⋅x−k x−1<0、将边长为1的正三角形ABC ，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形DBCE ．设剪成的小正三角形ADE 的边长为x ，记T =(梯形DBCE 的周长)2梯形DBCE 的面积（1）求T 关于x 的表达式以及x 的取值范围；（2）求T 的最小值．四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题目相应位置.若实数x ，y 满足{x ≤1|y|≤x ，则z =2x +3y 的最小值是________；在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是________．函数f(x)=x 22−ln x 的单调增区间为________．若不等式x 2+3x >ax −4对于满足0≤x ≤1的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．已知函数f(x)是定义在(−∞, +∞)上的偶函数，当x ∈(−∞, 0)时，f(x)=1x −x 4，则当x ∈(0, +∞)时，f(x)=________．设函数f(x)={2x (x ≥4)f(x +2)(x <4)，则f(−2011.5)=________．对于函数f(x)，若存在区间M =[a, b]，(a <b)，使得{y|y =f(x), x ∈M}=M ，则称区间M 为函数f(x)的一个“稳定区间”．请你写出一个具有“稳定区间”的函数；（只要写出一个即可）给出下列4个函数： ①f(x)=g x ； ②f(x)=x 3， ③f(x)=cos π2x④f(x)=ln x +1其中存在“稳定区间”的函数有________．（填上正确的序号）五、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知：实数a ，b ，c 全都是正数．求证：(a +b +c)⋅(1a +1b +1c )≥9．定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有f(m +n)=f(m)⋅f(n)，且当x >0时，0<f(x)<1．（1）求f(0)的值；（2）判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；（3）如果f(−1)=2，求不等式f(101−x)<4f(x)的解集．参考答案与试题解析2011-2012学年北京市某校高二（下）期中数学试卷（文科）（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡相应的位置．1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据题意，分别求出C U A与C U B，进而依次分析选项，看与全集是否相等，可得答案．【解答】解：根据题意，A={4, 7}，则C U A={1、2、3、5}；B={1, 3, 4, 7}，C U B={2、5}；依次分析选项可得，A、A∪B={1, 3, 4, 7}≠U，不符合题意；B、(C U A)∪B={1, 2, 3, 4, 5, 7}=U，符合题意；C、A∪(C U B)={1, 2, 5, 7}≠U，不符合题意；D、(C U A)∪(C U B)={1, 2, 3, 5}≠U，不符合题意；故选B．2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的乘除运算化简复数，求出对应点即可判断选项．【解答】解：复数z=1−i1+i −1=(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)−1=−2i2−1=−1−i，复数对应点的坐标(−1, −1)，在第三象限．故选C．3.【答案】D【考点】不等式的概念与应用【解析】利用指数函数f(x)=2x在R上单调递增，即可得出．【解答】解：∵函数f(x)=2x在R上单调递增，又a>b，∴2a>2b．故选D．4.【答案】C【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】根据命题“对任意的x∈R，x3−x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3−x2+1≤0”是全称命题，∴否定命题为：存在x0∈R，x03−x02+1>0.故选C.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．【解答】解：因为“x>1”，则“x2>1”；但是“x2>1”不一定有“x>1”，所以“x>1”是“x2>1”成立的充分不必要条件．故选A．6.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质【解析】由于f(x+4)=f(x)，可得f(2011)=f(503×4−1)=f(−1)=−f(1)．再利用当x∈(0, 2)时，f(x)= 2x2，可得f(1)．【解答】解：∵f(x+4)=f(x)，∴f(2011)=f(503×4−1)=f(−1)=−f(1)，∵当x∈(0, 2)时，f(x)=2x2，∴f(1)=2．∴f(2011)=−2．故选：D．7.【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】根据定义运算x※y ={x(x ≤y)y(x >y)，可知，x 与y 哪个小就取哪个，然后根据|2m −1|※m =|2m −1|，建立关于m 的不等式，解之即可． 【解答】解：∵ x※y ={x(x ≤y)y(x >y)，|2m −1|※m =|2m −1|，∴ |2m −1|≤m ，即有−m ≤2m −1≤m ， 解得13≤m ≤1． 故选C ． 8.【答案】 A【考点】对数函数的图象与性质 【解析】利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a ，b 的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的(0, −1)点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系． 【解答】∵ 函数f(x)＝log a (2x +b −1)是增函数， 令t ＝2x +b −1，必有t ＝2x +b −1>0， t ＝2x +b −1为增函数． ∴ a >1，∴ 0<1a <1， ∵ 当x ＝0时，f(0)＝log ab <0， ∴ 0<b <1．又∵ f(0)＝log a b >−1＝log a 1a ， ∴b >1a ，∴ 0<a −1<b <1．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题目相应位置.【答案】 12【考点】 程序框图 【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当x ＝12时满足条件x >8，退出循环，输出x 的值为12． 【解答】模拟执行程序框图，可得 x ＝1满足条件x 是奇数，x ＝2不满足条件x 是奇数，x ＝4，不满足条件x >8，x ＝5 满足条件x 是奇数，x ＝6，不满足条件x >8，x ＝7满足条件x 是奇数，x ＝8，不满足条件x >8，x ＝9 满足条件x 是奇数，x ＝10，不满足条件x 是奇数，x ＝12，满足条件x >8， 退出循环，输出x 的值为12． 【答案】 a ≤0或a ≥4 【考点】二次函数的性质 【解析】利用满足的恒等式求出二次函数的对称轴；利用对称轴写出二次函数的单调区间；利用f(0)<f(1)，判断出二次函数的单调区间；利用二次函数的单调性求出a 的范围． 【解答】解：∵ 二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2−x) ∴ 对称轴为x =2∴ 二次函数的单调区间有(−∞, 2]；[2, +∞) ∵ f(0)<f(1)，∴ f(x)在(−∞, 2]递增；在[2, +∞)递减 ∵ f(0)=f(4)，f(a)≤f(0) ∴ a ≤0或a ≥4故答案为a ≤0或a ≥4 【答案】 2【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】将方程的解的问题转化为2个函数的交点问题，通过图象得出结论． 【解答】解：令f(x)=3−x ，g(x)=3−x 2， 画出函数f(x)，g(x)的图象，如图示：，∴ 函数f(x)，g(x)有2个交点， 故方程有2个解， 故答案为：2． 【答案】 4−4i 【考点】复数代数形式的混合运算【解析】利用复数i的幂的运算逐一化简即可．【解答】解：i+2i2+3i3+...+8=i−2−3i+4+5i−6+7i+8=4−4i．故答案为：4−4i【答案】8【考点】基本不等式【解析】x>0，y>0，x⋅y=x+3y+1，可得y=x+1x−3>0，可得x>3．变形为f(x)=x+x+1x−3=x−3+4x−3+4，利用基本不等式的性质即可．【解答】解：∵x>0，y>0，x⋅y=x+3y+1，∴y=x+1x−3>0，可得x>3．∴f(x)=x+x+1x−3=x−3+4x−3+4≥2√(x−3)⋅4x−3+4=8，当且仅当x=5，y=3时取等号．∴x+y的最小值是8．故答案为：8．【答案】1552315【考点】数列的求和【解析】由数列的通项公式，依次求出数列的前四项，由此能求出S1，S2，S3，S4．【解答】解：∵S n是数列{a n}的前n项和，其中a n=8n(2n−1)2⋅(2n+1)，∴a1=81×3=83，S1=83，a2=163×5=1615，S2=83+1615=5615，a3=245×7=2435，S3=5615+2435=464105，a4=327×9=3263，S4=464105+3263=1552315．故答案为：1552315．三、解答题：本大题3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(I)因为x+2x−5<0，所以(x−5)(x+2)<0．解得−2<x<5，则集合S={x|−2<x<5}．(II)因为S⊆P，所以{a+1≤−25≤2a+15，解得{a≤−3a≥−5，所以a∈[−5, −3]．【考点】其他不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】(1)直接解分式不等式，转化为一元二次不等式求解，即可得到集合S；(2)利用S⊆P，转化为{a+1≤−25≤2a+15，即可求实数a的取值范围．【解答】解：(I)因为x+2x−5<0，所以(x−5)(x+2)<0．解得−2<x<5，则集合S={x|−2<x<5}．(II)因为S⊆P，所以{a+1≤−25≤2a+15，解得{a≤−3a≥−5，所以a∈[−5, −3]．【答案】解：（1）依题意函数f(x)过点(2, −1)，有−1=2−b2−1，解得b=3．故f(x)=x−3x−1．（2）由x−3x−1⋅x−kx−1<0，得(x−3)(x−k)(x−1)2<0．原不等式等价于{x−1≠0(x−3)(x−k)<0当k>3时，{x−1≠0(x−3)(x−k)<0⇔3<x<k.当1<k<3时，{x−1≠0(x−3)(x−k)<0⇔k<x<3.当k=3时，{x−1≠0(x−3)(x−k)<0此时不等式组无解所以，当k>3时，不等式的解集为{x|3<x<k}；当1<k<3时，不等式的解集为{x|k<x<3}；当k=3时，不等式的解集为空集．【考点】函数解析式的求解及常用方法其他不等式的解法【解析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出待定系数，从而得到函数解析式． （2）将不等式进行等价转化为一元二次不等式组，分类讨论解得情况，最后把各种情况得到的解集取并集． 【解答】解：（1）依题意函数f(x)过点(2, −1)，有−1=2−b2−1，解得b =3．故f(x)=x−3x−1．（2）由x−3x−1⋅x−k x−1<0，得(x−3)(x−k)(x−1)2<0． 原不等式等价于{x −1≠0(x −3)(x −k)<0当k >3时，{x −1≠0(x −3)(x −k)<0⇔3<x <k.当1<k <3时，{x −1≠0(x −3)(x −k)<0⇔k <x <3.当k =3时，{x −1≠0(x −3)(x −k)<0此时不等式组无解所以，当k >3时，不等式的解集为{x|3<x <k}； 当1<k <3时，不等式的解集为{x|k <x <3}； 当k =3时，不等式的解集为空集．【答案】 解：（1）设剪成的小正三角形ADE 的边长为x ， 则BD =EC =1−x ，所以梯形BDEC 的面积=12×(x +1)×√32(1−x)=√34(1−x 2)梯形BDEC 的周长=2(1−x)x +1=3−x ∵ 记T =(梯形DBCE 的周长)2梯形DBCE 的面积∴ T =√3(3−x)21−x 2，（x ∈(0, 1)）（2）求导数得：T′=√3⋅2(3−x)(3X−1)(1−x )，x ∈(0, 1)T′=0，得x =3，x =13， T′>0，13<x <3， T′<0，x <13，或x >3， ∵ x ∈(0, 1)∴ (0, 13)上递减，(13, 1)上递增所以当x =13时，T 的最小值T(13)=√3．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用函数解析式的求解及常用方法导数求函数的最值 【解析】（1）设剪成的小正三角形ADE 的边长为x ，则BD =EC =1−x ，根据图形求出梯形的面积，周长，即可求出T 的式子，（2）求导数，运用导数判断最值，求出即可． 【解答】解：（1）设剪成的小正三角形ADE 的边长为x ， 则BD =EC =1−x ，所以梯形BDEC 的面积=12×(x +1)×√32(1−x)=√34(1−x 2)梯形BDEC 的周长=2(1−x)x +1=3−x ∵ 记T =(梯形DBCE 的周长)2梯形DBCE 的面积∴ T =√3⋅(3−x)21−x 2，（x ∈(0, 1)）（2）求导数得：T′=32(3−x)(3X−1)(1−x 2)2，x ∈(0, 1)T′=0，得x =3，x =13， T′>0，13<x <3，T′<0，x <13，或x >3， ∵ x ∈(0, 1)∴ (0, 13)上递减，(13, 1)上递增 所以当x =13时，T 的最小值T(13)=√3．四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题目相应位置. 【答案】−1,1【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 【解析】由题意作出其平面区域，根据线性规划求z =2x +3y 的最小值，由三角形的面积公式求其面积． 【解答】解：作出其平面区域如下图：则当z =2x +3y 过点A(1, −1)时有最小值； z =2x +3y 的最小值是2−3=−1；此不等式组表示的平面区域的面积为2×12×1×1=1． 故答案为：−1，1． 【答案】 (1, +∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】 由f(x)=x 22−ln x ，得y′=x 2−1x，由y′>0即可求得f(x)的单调增区间．【解答】解：∵ y =f(x)=x 22−ln x 的定义域为(0, +∞)，y′=x −1x =x 2−1x，∴ 由y′>0得：x >1，或x <−1（舍去），∴ 函数y =f(x)=x 22−ln x 的单调递增区间为(1, +∞)．故答案为：(1, +∞)．【答案】 (−∞, 8) 【考点】二次函数的性质 【解析】x =0时容易得到对于a ∈R 满足原不等式成立，x ≠0时，即0<x ≤1，由原不等式得a <x +4x +3，令f(x)=x +4x +3，通过求f′(x)，根据f′(x)的符号可判断出函数在(0, 1]上是减函数，所以f(1)=8是f(x)的最小值，所以a <8． 【解答】解：①x =0时，原不等式变成0>−4，该不等式成立，此时a ∈R ； ②x ≠0时，由原不等式得：a <x +4x +3；(x +4x+3)′=1−4x2=x 2−4x 2，∵ 0<x ≤1，∴ x 2−4<0，(x +4x+3)′<0；∴ 函数x +4x +3在(0, 1]上单调递减，所以x =1时，该函数在(0, 1]上取最小值8； ∴ a <8；综上得a 的取值范围是(−∞, 8)． 故答案为：(−∞, 8)． 【答案】f(x)=−1x−x 4【考点】函数奇偶性的性质 【解析】由函数的奇偶性解函数的解析式，步骤是固定的． 【解答】解：当x ∈(0, +∞)时，−x ∈(−∞, 0)，又∵ 函数f(x)是定义在(−∞, +∞)上的偶函数， ∴ f(x)=f(−x)=1−x −1(−x)=−1x−x 4，故答案为：f(x)=−1x −x 4． 【答案】16√2 【考点】 函数的求值 【解析】由已知得f(−2011.5)=f(0.5)=f(4.5)=292=16√2． 【解答】解：∵ 函数f(x)={2x (x ≥4)f(x +2)(x <4)，∴ f(−2011.5)=f(0.5)=f(4.5)=292=16√2． 故答案为：16√2． 【答案】 ②③ 【考点】函数的概念及其构成要素 【解析】根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：①中，若f(x)=g x存在“稳定区间”则当0<g<1时，g a=b，g b=a，则f(x)=g x与其反函数f−1(x)=log g x，有(a, b)与(b, a)两个交点，这与指数函数与同底的对数函数图象无交点相矛盾，故假设错误，即f(x)=g x不存在“稳定区间”②中，由幂函数的性质我们易得，M=[0, 1]为函数f(x)=x3的“稳定区间”；③中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0, 1]为函数f(x)=cosπ2x的“稳定区间”；④中，若f(x)=ln x+1存在“稳定区间”则ln a+1=a，ln b+1=b即ln x=x−1有两个解，即函数y=ln x与函数y=x−1的图象有两个交点，这与函数y=ln x与函数y=x−1的图象有且只有一个交点相矛盾，故假设错误，即f(x)=ln x+1不存在“稳定区间”故答案：②③五、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】证明：(a+b+c)⋅(1a +1b+1c)≥3√abc3⋅3√1a⋅1b⋅1c3=9，当且仅当a=b=c>0时取等号．【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】证明：(a+b+c)⋅(1a +1b+1c)≥3√abc3⋅3√1a⋅1b⋅1c3=9，当且仅当a=b=c>0时取等号．【答案】解：（1）：（1）令m=1，n=0则f(1)=f(1)⋅f(0)又0<f(1)<1∴f(0)=1（2）函数为减函数，理由如下：设x2>x1则x2−x1>0，∵当x>0时，0<f(x)<1．∴0<f(x2−x1)<1，∴f(x2)=f[x1+(x2−x1)]=f(x1)⋅f(x2−x1)<f(x1)∴函数f(x)是R上的减函数所以，函数f(x)在R上单调递减．（3）令m=−1，n=−1则f(−2)=f(−1)⋅f(−1)，∴f(−2)=4，∵f(101−x )<4f(x)，∴f(x)⋅f(101−x)<4，∴f(x+101−x )<f(−2)，又函数f(x)是R上的减函数，∴x+101−x>−2，解得−4<x<1，或x>3，故原不等式的解集为(−4, 1)∪(3, +∞)．【考点】抽象函数及其应用其他不等式的解法【解析】（1）令m=1，n=0，得出f(1)=f(1)⋅f(0 )，再结合当x>0时，0<f(x)<1．得出f(0)=1（2）设x1>x2，由已知得出f(x1−x2+x2)=f(x1−x2)⋅f(x2)，且能得出0<f(x1−x2)<1，确定出f(x1)<f(x2)后即可判断出函数f(x)在R上单调递减．（3）由函数的单调性得出不等式，解得即可．【解答】解：（1）：（1）令m=1，n=0则f(1)=f(1)⋅f(0)又0<f(1)<1∴f(0)=1（2）函数为减函数，理由如下：设x2>x1则x2−x1>0，∵当x>0时，0<f(x)<1．∴0<f(x2−x1)<1，∴f(x2)=f[x1+(x2−x1)]=f(x1)⋅f(x2−x1)<f(x1)∴函数f(x)是R上的减函数所以，函数f(x)在R上单调递减．（3）令m=−1，n=−1则f(−2)=f(−1)⋅f(−1)，∴f(−2)=4，∵f(101−x)<4f(x)，∴f(x)⋅f(101−x)<4，∴f(x+101−x)<f(−2)，又函数f(x)是R上的减函数，∴x+101−x>−2，解得−4<x<1，或x>3，故原不等式的解集为(−4, 1)∪(3, +∞)．。

2023-2024学年北京四中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共13小题，共62分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将一枚均匀硬币抛3次，设正面朝上的硬币数为X，则()A. B. C. D.2.在的展开式中，x的系数为()A.4B.C.1D.3.从2位男生中选1人，3位女生中选2人，组成一个由其中一名女生为组长的活动筹备组，可以选择的方法种数为()A.36B.24C.18D.124.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则第一张抽到奇数且第二张抽到偶数的概率是()A. B. C. D.5.在一段时间内，甲去博物馆的概率为，乙去博物馆的概率为，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是()A. B. C. D.6.由数字0，1，2，3，4，5组成三位数允许重复，各位数字之和等于6的有()A.13个B.15个C.17个D.20个7.某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2：3，已知第一车间的一等品率为，第二车间的一等品率为今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为()A. B. C. D.8.某射手射击所得环数的分布列如下：78910P x y若，x，，y成等差数列，则()A. B. C.9 D.9.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为()A.7B.9C.11D.1310.一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.试验一：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都放回，记取到白球的个数为；实验二：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都不放回，记取到白球的个数为则下列判断正确的是()A. B. C. D.11.设等比数列的前n项和为，若，，则()A.31B.32C.63D.6412.已知1，，成等比数列，3，a，b成等差数列，则该等差数列的公差为()A.或B.或4C.D.213.某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：方案一：风险投资，有的概率获得回报400元，有的概率获得回报800元；方案二：第一天获得回报10元，以后每天获得的回报比前一天多10元；方案三：第一天获得回报元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是()A.方案一B.方案二C.方案三D.都可以二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

北京市第四中学2011-2012学年下学期高二年级期中测试数学试卷（文科）（试卷满分150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 复数i-12等于 A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i2. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列推理所得结论正确的是A. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x a a a log log )(log +=+B. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x sin sin )sin(+=+C. 由)()(c b a c b a ++=++类比得到)()(yz x z xy =D. 由nn nb a ab =)(类比得到nnny x y x +=+)(4. 若xx x f sin 1)(2-=，则)(x f 的导数是A. x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B. x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C. xx x x sin )1(sin 22-+-D. xx x x sin )1(sin 22---5. 复数i z +=1，z 为z 的共轭复数，则=--1z z zA. －2iB. –iC. iD. 2i6. 已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是A. 在)0,(-∞上为减函数B. 在0=x 处取得最大值C. 在),4(+∞上为减函数D. 在2=x 处取得最小值7. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递减区间为 A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1,C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,18. 函数216x xy +=的极大值为 A. 3B. 4C. 2D. 59. 函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是A. 0>aB. 0≥aC. 0<aD. 0≤a10. 当0<a 时，函数4331223---=x a ax x y 在()+∞,3上是增函数，则实数a 的取值范围是A. ()0,3-B. [)0,3-C. []1,3-D. ()1,3-11. 给出四个命题：（1）函数在闭区间],[b a 上的极大值一定比极小值大； （2）函数在闭区间],[b a 上的最大值一定是极大值；（3）对于12)(23+++=x px x x f ，若6<p ，则)(x f 无极值；（4）函数)(x f 在区间),(b a 上一定不存在最值。

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）复数=（）A．+i B．+i C．1﹣i D．1+i2．（5分）下列求导正确的是（）A．（3x2﹣2）'=3x B．（log2x）'=C．（cosx）'=sinx D．（）'=x3．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．14．（5分）设a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件5．（5分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，）B．.（e，+∞） C．（，+∞）D．（，e）6．（5分）在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限7．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣18．（5分）已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）9．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A．[﹣3，6]B．（﹣3，6）C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）10．（5分）方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是（）A．3 B．0 C．2 D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）复数（2+i）•i的模为．12．（5分）命题“若a﹣b=0，则（a﹣b）（a+b）=0”的逆否命题为．13．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在点P0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则P0点坐标为．14．（5分）函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为．15．（5分）若命题“x∈{x|x2﹣5x+4＞0}”是假命题，则x的取值范围是．16．（5分）对于函数y=f（x），x∈D，若对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．那么函数f（x）=x3﹣x2+1，在x∈[1，2]上的几何平均数M=．三、解答题：本大题共2小题，共20分.17．（10分）设函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间[，e]上的最大值．18．（10分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．一、卷（II）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）20．（5分）观察（）'=﹣，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣f（x）B．f（x）C．g（x）D．﹣g（x）21．（5分）若i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则|z﹣1+i|的最大值为（）A．﹣1 B．2﹣C．+1 D．2+二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．22．（5分）曲线y=x n在x=2处的导数为12，则n=．23．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值，则ab的最大值为．24．（5分）已知函数.（x0∈[0，π]），那么下面命题中真命题的序号是．①f（x）的最大值为f（x0）②f（x）的最小值为f（x0）③f（x）在[0，x 0]上是减函数④f（x）在[x0，π]上是减函数．三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2．（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；（II）若当a=﹣1时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．26．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3ax+e，g（x）=1﹣lnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）设函数，若F（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；（Ⅲ）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0）．若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围．2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）复数=（）A．+i B．+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：==1+i．故选：D．2．（5分）下列求导正确的是（）A．（3x2﹣2）'=3x B．（log2x）'=C．（cosx）'=sinx D．（）'=x【解答】解：（3x2﹣2）'=6x，（log2x）'=，（cosx）'=﹣sinx，（）'=﹣，故选：B．3．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【解答】解：曲线y=x•e x，可得y′=e x+xe x，曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率：e+e=2e．故选：A．4．（5分）设a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【解答】解：a＞0，b＞0，则“a＞b”⇔“lna＞lnb”．因此a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的充要条件．故选：D．5．（5分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，）B．.（e，+∞） C．（，+∞）D．（，e）【解答】解：由函数f（x）=3+xlnx得：f（x）=lnx+1，令f′（x）=lnx+1＞0即lnx＞﹣1=ln ，根据e＞1得到此对数函数为增函数，所以得到，即为函数的单调递增区间．故选：C．6．（5分）在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：由=，得，∴在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：D．7．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C．8．（5分）已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）【解答】解：根据题意，f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则其导数f′（x）=1+2（1+x）+3（1+x）2+4（1+x）3+…+n（1+x）n﹣1，则f'（0）=1+2+3+4+…+n=；故选：D．9．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A．[﹣3，6]B．（﹣3，6）C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6．故选：D．10．（5分）方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是（）A．3 B．0 C．2 D．1【解答】解：令f（x）=x2﹣xsinx﹣cosx，则f′（x）=2x﹣sinx﹣xcosx+sinx=x（2﹣cosx），∵2﹣cosx＞0，∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=0时，f（x）取得最小值﹣1，又x→﹣∞时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，∴f（x）有2个零点，即发出x2=xsinx+cosx有2解．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）复数（2+i）•i的模为．【解答】解：∵（2+i）•i=﹣1+2i，∴复数（2+i）•i的模为．故答案为：．12．（5分）命题“若a﹣b=0，则（a﹣b）（a+b）=0”的逆否命题为（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0，故答案为：（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0，13．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在点P 0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则P0点坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．【解答】解：设P0点的坐标为（a，f（a）），由f（x）=x3+x﹣2，得到f′（x）=3x2+1，由曲线在P0点处的切线平行于直线y=4x，得到切线方程的斜率为4，即f′（a）=3a2+1=4，解得a=1或a=﹣1，当a=1时，f（1）=0；当a=﹣1时，f（﹣1）=﹣4，则P0点的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故答案为：（1，0）或（﹣1，﹣4）．14．（5分）函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为3．【解答】解：x=0时，f（0）=0．x∈（0，3]时，f（x）=≤=3，当且仅当x=1时取等号．∴函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为3．故答案为：3．15．（5分）若命题“x∈{x|x2﹣5x+4＞0}”是假命题，则x的取值范围是1≤x≤4．【解答】解：命题“x∈{x|x2﹣5x+4＞0}”是假命题，说明对于任意x，不等式x2﹣5x+4＞0不成立，即x2﹣5x+4≤0成立．解得1≤x≤4．∴x的取值范围是1≤x≤4．故答案为：1≤x≤4．16．（5分）对于函数y=f（x），x∈D，若对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．那么函数f（x）=x3﹣x2+1，在x∈[1，2]上的几何平均数M=．【解答】解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为M的定义，由于f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，在[1，2]内f′（x）＞0，则f（x）=x3﹣x2+1在区间[1，2]单调递增，则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应，且x=1时，f（x）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M==．故答案为：三、解答题：本大题共2小题，共20分.17．（10分）设函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间[，e]上的最大值．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx﹣x2+x其中x＞0，所以f'（x）=﹣2x+1=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．（II）由（I）f（x）在[，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=0．18．（10分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，．…（2分）∴f'（0）=2，∵f（0）=0，∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x﹣y=0．…（4分）（Ⅱ）求导函数可得，．…（6分）当a=0时，，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．…（7分）当a≠0，．①当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=﹣a ，，f（x）与f'（x）的情况如下：故f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a），；单调增区间是．…（10分）②当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：所以f（x）的单调增区间是，（﹣a，+∞）；单调减区间是，（﹣a，+∞）．…（13分）综上，a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递减；在单调递增．a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减；a＜0时，f（x）在，（﹣a，+∞）单调递增；在单调递减．一、卷（II）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）【解答】解：f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1，f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=[x﹣（a﹣1）]（x﹣1），a﹣1≤1时，符合题意，a﹣1＞1时，令f′（x）≥0，解得：x≥a﹣1或x≤1，若f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，则a﹣1≤1，解得：a≤2，故选：C．20．（5分）观察（）'=﹣，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣f（x）B．f（x）C．g（x）D．﹣g（x）【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵g（x）为f（x）的导函数，∴g（﹣x）=g（x）．故选：C．21．（5分）若i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则|z﹣1+i|的最大值为（）A．﹣1 B．2﹣C．+1 D．2+【解答】解：|z﹣1+i|=|z﹣（1﹣i）|，其几何意义为动点Z到定点P（1，﹣1）的距离，又|z|=1，如图：则|z﹣1+i|的最大值为．故选：C．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．22．（5分）曲线y=x n在x=2处的导数为12，则n=3．【解答】解：由y=x n，得y′=nx n﹣1，又曲线y=x n在x=2处的导数为12，所以n•2n﹣1=12，n=3．故答案为3．23．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值，则ab的最大值为9．【解答】解：由题意，导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，∵在x=1处有极值，f′（1）=0，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号，∴ab的最大值等于9．故答案为：9．24．（5分）已知函数.（x0∈[0，π]），那么下面命题中真命题的序号是①④．①f（x）的最大值为f（x0）②f（x）的最小值为f（x0）③f（x）在[0，x0]上是减函数④f（x）在[x0，π]上是减函数．【解答】解：的导数又.（x0∈[0，π]），∴函数f（x）在[0，x0]上是增函数，f（x）在[x0，π]上是减函数∴f（x）的最大值为f（x0）由此知①④是正确命题故答案为①④三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2．（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；（II）若当a=﹣1时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（I）f'（x）=3x2+2ax+b，由题设有f'（1）=0，f（1）=10，即，解得：或，经验证，若，则f'（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2，当x＞1或x＜1时，均有f'（x）＞0，可知此时x=1不是f（x）的极值点，故舍去符合题意，故．（II）当a=﹣1时，f（x）=x3﹣x2+bx+l，若f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，即x3﹣x2+bx+1＜0在x∈[1，2]恒成立，即b＜在x∈[1，2]恒成立，令g（x）=，则g'（x）==，由﹣2x3+x2+1=1﹣x3+x2（1﹣x）可知x∈[1，2]时g'（x）＜0，即g（x）=在x∈[1，2]单调递减，g（x）max=g（2）=﹣，∴b＜﹣时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立．26．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3ax+e，g（x）=1﹣lnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）设函数，若F（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；（Ⅲ）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0）．若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）易得，f'（x）=3x2﹣3a，所以f'（1）=3﹣3a，依题意，，解得；…（3分）（Ⅱ）因为==，则F'（x）=lnx+1﹣x+1=lnx﹣x+2．设t（x）=lnx﹣x+2，则=．令t'（x）=0，得x=1．则由t'（x）＞0，得0＜x＜1，F'（x）为增函数；由t'（x）＜0，得x＞1，F'（x）为减函数；而=，F'（1）=1＞0．则F'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，且在（0，x1）上F'（x）＜0，F（x）为减函数；在（x1，1）上F'（x）＞0，F（x）为为增函数．所以x1为极值点，此时m=0．又F'（3）=ln3﹣1＞0，F'（4）=2ln2﹣2＜0，则F'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2，且在（3，x2）上F'（x）＞0，F（x）为增函数；在（x2，4）上F'（x）＜0，F（x）为减函数．所以x2为极值点，此时m=3．综上m=0或m=3．…（9分）（Ⅲ）（1）当x∈（0，e）时，g（x）＞0，依题意，h（x）≥g（x）＞0，不满足条件；（2）当x=e时，g（e）=0，f（e）=e3﹣3ae+e，①若f（e）=e3﹣3ae+e≤0，即，则e是h（x）的一个零点；②若f（e）=e3﹣3ae+e＞0，即，则e不是h（x）的零点；（3）当x∈（e，+∞）时，g（x）＜0，所以此时只需考虑函数f（x）在（e，+∞）上零点的情况．因为f'（x）=3x2﹣3a＞3e2﹣3a，所以①当a≤e2时，f'（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增．又f（e）=e3﹣3ae+e，所以（i）当时，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上无零点；（ii）当时，f（e）＜0，又f（2e）=8e3﹣6ae+e≥8e3﹣6e3+e＞0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；②当a＞e2时，令f'（x）=0，得．由f'（x）＜0，得；由f'（x）＞0，得；所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．因为f（e）=e3﹣3ae+e＜e3﹣3e3+e＜0，f（2a）=8a3﹣6a2+e＞8a2﹣6a2+e=2a2+e ＞0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，．…（13分）。

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．复数21i=-（ ）AB +C ．1i -D ．1i +【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+． 故选：D ．2．下列求导正确的是（ ）．A ．2(32)3x x -'=B ．21(log )ln2x x '=⋅ C ．(cos )sin x x '=D ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭【考点】63：导数的运算．【分析】先根据基本导数公式和导数的运算法则求导，再判断 【解答】解：2(32)6x x -'=，21(log )ln2x x '=⋅，(cos )sin x x '=-，211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：B ．3．曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率等于（ ）．A ．2eB ．eC ．2D ．1【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可． 【解答】解：曲线e x y x =⋅，可得e e x x y x '=+，曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率：e e 2e +=． 故选：A ．4．设0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：0a >，0b >，则“a b >”⇔“ln ln a b >”．因此0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件． 故选：D ．5．函数：()3ln f x x x =+的单调递增区间是（ ）．A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(e,)+∞C ．1,e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞D ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出()f x 的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．【解答】解：由函数()3ln f x x x =+得：()ln 1f x x =+，令()ln 10f x x '=+>即1ln 1ln e x >-=，根据e 1>得到此对数函数为增函数，所以得到1ex >，即为函数的单调递增区间． 故选C ．6．在复平面内，复数2i1i -+（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）． A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数2i1i-+的共轭复数对应的点的坐标得答案． 【解答】解：由2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222----===-++-， 得13i 22z =+， ∴在复平面内，复数2i 1i -+的共轭复数对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限．7．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）．A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【考点】2J ：命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选：C ．8．已知23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）．A ．nB ．1n -C ．(1)2n n -D ．1(1)2n n +【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，对函数()f x 求导，计算可得()f x '，将0x =代入计算可得答案． 【解答】解：根据题意，23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则其导数231()12(1)3(1)4(1)(1)n f x x x x n x -'=+++++++++L ， 则(1)(0)12342n n f n +'=+++++=L ； 故选：D ．9．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）．A ．[]3,6-B ．(3,6)-C ．]([,36,)-∞-+∞UD ．(,3)(6,)-∞-+∞U【考点】6C ：函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出导数()f x '，由()f x 有极大值、极小值可知()0f x '=有两个不等实根． 【解答】解：函数32()(6)1f x x ax a x =++++，所以2()32(6)f x x ax a '=+++，因为函数有极大值和极小值，所以方程()0f x '=有两个不相等的实数根， 即232(6)0x ax a +++=有两个不相等的实数根，∴0∆>，∴2(2)43(6)0a a +-⨯⨯>，解得：3a <-或6a >．10．方程2sin cos x x x x =+的实数解个数是（ ）．A ．3B ．0C ．2D ．1【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令2()sin cos f x x x x x =--，判断()f x 的单调性，计算极值，从而得出()f x 的零点个数．【解答】解：令2()sin cos f x x x x x =--，则()2sin cos sin (2cos )f x x x x x x x x '=--+=-， ∵2cos 0x ->，∴当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴当0x =时，()f x 取得最小值1-，又x →-∞时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞， ∴()f x 有2个零点，即发出2sin cos x x x x =+有2解． 故选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11．复数(2i)i +⋅的模为__________． 【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵(2i)i 12i +⋅=-+，∴复数(2i)i +⋅12．命题 “若0a b -=，则()()0a b a b -+=”的逆否命题为__________． 【考点】25：四种命题间的逆否关系． 【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若()()0a b a b -+≠则0a b -≠， 故答案为：()()0a b a b -+≠则0a b -≠．13．曲线3()2f x x x =+-在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点坐标为__________． 【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标，然后对()f x 进行求导，根据曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x=建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到()f x 即可得到答案． 【解答】解：设0P 点的坐标为(())a f a ，，由3()2f x x x =+-，得到2()31f x x '=+，由曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x =，得到切线方程的斜率为4， 即2()314f a a '=+=，解得1a =或1a =-， 当1a =时，(1)0f =；当1a =-时，(1)4f -=-， 则0P 点的坐标为(1,0)或(1,4)--． 故答案为：(1,0)或(1,4)--．14．函数26()1xf x x=+在区间[]0,3的最大值为__________． 【考点】7F ：基本不等式．【分析】对x 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：0x =时，(0)0f =．3](0,x ∈时，6()31f x x x==+，当且仅当1x =时取等号．∴函数26()1xf x x =+在区间[]0,3的最大值为3． 故答案为：3．15．若命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，则x 的取值范围是__________． 【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立，即2540x x +-≤成立．求解不等式得答案．【解答】解：命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，说明对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立， 即2540x x +-≤成立． 解得14x ≤≤．∴x 的取值范围是14x ≤≤．故答案为：14x ≤≤．16．对于函数()y f x =，x D ∈，若对于任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．那么函数32()1f x x x -=+，在[]1,2x ∈上的几何平均数M =__________． 【考点】34：函数的值域．【分析】根据已知中对于函数()y f x =，x D ∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M 应该等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，由32()1f x x x -=+，[]1,2D =，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数()f x 在D 上的几何平均数为M 的定义，由于()f x 的导数为2()32f x x x '=-，在[]1,2内()0f x '>， 则32()1f x x x -=+在区间[]1,2单调递增， 则11x =时，存在唯一的22x =与之对应，且1x =时，()f x 取得最小值1，2x =时，取得最大值5，故M ．三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17．设函数2()ln f x x x x =-+． （I ）求()f x 的单调区间．（II ）求()f x 在区间1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可． 【解答】解：（I ）因为2()ln f x x x x =-+其中0x >，所以1(1)(21)()21x x f x x x x-+'=-+=， 令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<， 所以()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞．（II ）由（I ）()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在[]1,e 上单调递减，∴max ()(1)0f x f ==．18．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 的单调区间．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）当1a =时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22()1x f x x =+，222(1)(1)()(1)x x f x x +-'=-+． ∴(0)2f '=， ∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=． （Ⅱ）求导函数可得，222()(1)()(1)x a ax f x x +-'=-+．当0a =时，222()(1)xf x x '=+，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减．当0a ≠，221()()2(1)x a x a f x ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=-+． ①当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞；单调增区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞；单调减区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,)a -+∞．综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞单调递减；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增．0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞单调递增；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．一、卷（II ）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(2],-∞D ．(,2)-∞【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：3211()(1)132f x x ax a x =-+-+，[]2()(1()(1)1)f x x ax a x a x '=+-=----，11a -≤时，符合题意，11a ->时，令()0f x '≥，解得：1x a -≥或1x ≤，若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数， 则11a -≤，解得：2a ≤， 故选：C ．20．观察211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，由归纳推理可得：若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）．A ．()f x -B ．()f xC ．()g xD ．()g x -【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，L 分析其规律，我们可以归纳推断出，奇函数的导数是偶函数，即可得到答案．【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数， ∵()g x 为()f x 的导函数， ∴()()g x g x -=． 故选：C ．21．若i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则1i z -+的最大值为（ ）．A1B．2C1D．2【考点】A8：复数求模．【分析】由题意画出图形，再由1i 1i)z z --=+-(的几何意义，即动点Z 到定点(1,1)P -的距离求解．【解答】解：1i 1i)z z --=+-(，其几何意义为动点Z 到定点(1,1)P -的距离， 又1z =，如图：则1i z -+1． 故选：C ．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 22．曲线n y x =在2x =处的导数为12，则n =__________． 【考点】63：导数的运算．【分析】求出函数线n y x =的导函数，把2x =代入导函数解析式可求n 的值． 【解答】解：由n y x =，得1n y nx -'=，又曲线n y x =在2x =处的导数为12， 所以1212n n -⋅=，3n =． 故答案为3．23．若0a >，0b >，且函数32()42f x x ax bx --=在1x =处有极值，则ab 的最大值为__________．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件，利用基本不等式求出ab 的最值．【解答】解：由题意，导函数2(_1222f x x ax b -'=-，∵在1x =处有极值，(1)0f '=， ∴6a b +=， ∵0a >，0b >，∴292a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，当且仅当3a b ==时取等号，∴ab 的最大值等于9． 故答案为：9．24．已知函数1()sin 3f x x x =-，[]0,πx ∈，[]001cos (0,π)3x x =∈，那么下面命题中真命题的序号是__________． ①()f x 的最大值为0()f x ； ②()f x 的最小值为0()f x ； ③()f x 在[]00,x 上是减函数； ④()f x 在[]0,πx 上是减函数．【考点】2K ：命题的真假判断与应用；6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】可求出1()sin 3f x x x =-的导数，研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题【解答】解：1()sin 3f x x x =-的导数1()cos 3f x '=-， 又[]001cos (0,π)3x x =∈， ∴函数()f x 在[]00,x 上是增函数，()f x 在[]0,πx 上是减函数，∴()f x 的最大值为0()f x ，由此知①④是正确命题，故答案为①④．三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．已知函数322()f x x ax bx a =+++．（I ）若()f x 在1x =处有极值10，求a ，b 的值．（II ）若当1a =-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6K ：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于导函数的方程组，求出a ，b 的值即可； （Ⅱ）分离参数，问题转化为321x x b x -+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=，根据函数的单调性求出b 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）2()32f x x ax b '=++，由题设有(1)0f '=，(1)10f =，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得：33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩， 经验证，若33a b =-⎧⎨=⎩，则22()3633(1)f x x x x +=--'=， 当1x >或1x <时，均有()0f x '>，可知此时1x =不是()f x 的极值点，故33a b =-⎧⎨=⎩舍去411a b =⎧⎨=-⎩符合题意， 故411a b =⎧⎨=-⎩． （Ⅱ）当1a =-时，32()1f x x x bx -=++，若()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，即3210x x bx ++<-在[]1,2x ∈恒成立， 即321x x b x-+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=， 则2323222(32)(1)21()x x x x x x x g x x x -+--+--++'==， 由32322111()x x x x x -++=-+-可知[]1,2x ∈时()0g x '<， 即321()x x g x x-+-=在[]1,2x ∈单调递减， max 5()(2)2g x g ==-， ∴52b <-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立．26．已知函数3()3e f x x ax -=+，()1ln g x x =-，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,)(1)f 处的切线与直线:20l x y +=垂直，求实数a 的值． （Ⅱ）设函数1()()22F x x g x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，若()F x 在区间(,1)()m m m +∈Z 内存在唯一的极值点，求m 的值．（Ⅲ）用{}m a x ,m n 表示m ，n 中的较大者，记函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>．若函数()h x 在(0,)+∞ 上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算(1)f '，求出a 的值即可；（Ⅱ）求出函数()F x 的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m 的值即可；（Ⅲ）通过讨论a 的范围求出函数()f x 的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ） 易得，2()33f x x a '=-，所以(1)33f a '=-， 依题意，1(33)12a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得13a =； （Ⅱ）因为2111()()2(1ln )2ln 222F x x g x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-=--+-=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则()ln 11ln 2F x x x x x '=+-+=-+．设()ln 2t x x x =-+， 则11()1x t x x x-'=-=． 令()0t x '=，得1x =．则由()0t x '>，得01x <<，()F x '为增函数；由()0t x '<，得1x >，()F x '为减函数； 而222111220e e e F ⎛⎫'=--+=-< ⎪⎝⎭，(1)10F '=>． 则()F x '在(0,1)上有且只有一个零点1x ，且在1(0,)x 上()0F x '<，()F x 为减函数；在1(,)1x 上()0F x '>，()F x 为增函数．所以1x 为极值点，此时0m =．又(3)ln310F '=->，(4)2ln220F '=-<，则()F x '在(3,4)上有且只有一个零点2x ，且在2(3,)x 上()0F x '>，()F x 为增函数；在2(),4x 上()0F x '<，()F x 为减函数．所以2x 为极值点，此时3m =．综上0m =或3m =．（Ⅲ）（1）当(0,e)x ∈时，()0g x >，依题意，()(0)0h x g >≥，不满足条件； （2）当e x =时，(e)0g =，3()3f e e ae e -=+，①若3(e)e 3e e 0f a -=+≤，即2e 13a +≥，则e 是()h x 的一个零点； ②若3(e)e 3e e 0f a -=+>，即2e 13a +<，则e 不是()h x 的零点； （3）当(e,)x ∈+∞时，()0g x <，所以此时只需考虑函数()f x 在(e,)+∞上零点的情况．因为22()333e 3f x x a a ->-'=，所以①当2e a ≤时，()0f x '>，()f x 在(e,)+∞上单调递增．又3(e)e 3e e f a -=+，所以（i ）当2e 13a +≤时，(e)0f ≥，()f x 在(e,)+∞上无零点； （ii ）当22e 1e 3a +<≤时，(e)0f <， 又333(2e)8e 6e e 8e 6e e 0f a =+-+->≥，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点；②当2e a >时，令()0f x '=，得x =由()0f x '<，得e x <由()0f x '>，得x >所以()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增．因为3(e )e f a -=<+-+<，32222(2)86e 86e 2e 0f a a a a a a =+=->+-+>，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点； 综上，2e 13a +>．。

北京市四中2011-2012学年高二上学期期中测试数学（文）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分（卷I ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 过点（1，0）且与直线022=--y x 平行的直线方程是 A. 012=--y x B. 012=+-y xC. 022=-+y xD. 012=-+y x2. 已知过点A （-2，m ）和B （m ，4）的直线与直线012=-+y x 垂直，则m 的值为A. -8B. 0C. 10D. 23. 圆016222=++-+y x y x 的半径为A. 1B. 3C. 6D. 94. 圆03222=--+x y x 与圆044222=++++y x y x 的位置关系是A. 相交B. 相离C. 外切D. 内含5. 如果y x ,是实数，那么“y x cos cos =”是“y x =”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则y x z -=的取值范围是A. ［-2，-1］B. []1,2-C. []2,1-D. []2,17. 若两直线0260343=++=-+my x y x 与平行，则它们之间的距离为A. 1B.21 C.52 D.54 8. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为A.116922=+y xB.1162522=+y x C.12516116252222=+=+y x y x 或 D. 以上都不对9. 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是A. 22+B. 21+C.12- D. 221+10. 若直线1:=+by ax l 与圆C ：122=+y x 有两个不同交点，则点()b a P ,与圆C 的位置关系是A. 点在圆上B. 点在圆内C. 点在圆外D. 不能确定11. 中心在原点，焦点坐标为()25,0±的椭圆被直线023=--y x 截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为A. 175225222=+y x B. 125275222=+y x C. 1752522=+y x D.1257522=+y x 12. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,12ππ B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13. 直线33-=x y 绕着它与x 轴的交点顺时针旋转2π所得的直线方程为___________。

北京四中2011—2012学年度第二学期期末考试高二年级语文试卷（试卷满分为150分，考试时间为150分钟）（Ⅰ卷和Ⅲ卷为模块试题，Ⅱ卷为能力试题）第Ⅰ卷一、基础知识（每题2分，共12分）1. 下列加点的字的注音，全都正确的一组是A. 翌．（yì）年弄．（nòng）堂硕果累累．（lěi）折冲樽俎．（zǔ）B. 饿殍．（fú）谄．（chǎn）媚身无长．（cháng）物艰苦卓．（zhuō）绝C. 沙碛．（qì）炽．（chì）烈滂．（pāng）沱大雨安土重．（zhòng）迁D. 氤氲．（yùn）魍．（wǎng）魉茅塞．（sè）顿开风尘仆仆．（pǔ）2. 下列各组词语中，没有．．错别字的一组是A. 流敝端详待价而沽罪恶涛天B. 气概报怨震聋发聩冲锋陷阵C. 褴褛陶炼白首携老披星带月D. 殴打怂恿久治不愈气势磅礴3. 依次填入下列横线处的词语，最恰当的一项是（1）杭州城不甚繁华，建筑景观均如小家碧玉，灵巧纤柔，十足。

（2）虽然外界对这家网上服装销售公司的“抄袭”作风很，但他们却振振有词：“不少服装品牌都是以抄袭起家的，为什么只指责我们?”（3）幽美、安谧的自然风光固然令人陶醉，但若能和几个情投意合的好朋友相与其间，会觉得更加惬意。

A. 韵味不耻徜徉B. 兴味不齿徘徊C. 韵味不齿徜徉D. 兴味不耻徘徊4. 下列句子中，加点的熟语使用正确的一句是A. 刚刚走入社会的年轻人总是充满激情，但做事常常一曝十寒．．．．，很多理想大概就因此而最终幻灭。

B. 在刚刚结束的第72届男子举重世界锦标赛中，中国选手吕小军不孚众望．．．．，获得了抓举和总成绩两枚金牌。

C. CBA总决赛中金隅队有望问鼎，球迷们疯狂抢购门票，几百元的门票被炒到数千元，一时间洛阳纸贵．．．．。

D. 目前国内整形机构的水平良莠不齐．．．．，手术风险很高，据统计，美容整形业连续三年成为消费者投诉的热点。

2024学年北京市北京第四中学高二化学第二学期期末考试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(共包括22个小题。

每小题均只有一个符合题意的选项）1、已知（异丙烯苯）+2H 一定条件（异丙苯），下列说法错误的是A ．异丙烯苯的化学式为910C HB ．该反应属于加成反应C ．可用酸性4KMnO 溶液鉴别异丙烯苯和异丙苯D ．异丙苯的一氯代物有5种2、以 N A 表示阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A ．36g 冰(图甲）中含共价键数目为4N AB ．12g 金刚石(图乙）中含有σ键数目为4N AC ．44g 干冰(图丙）中含有N A 个晶胞结构单元D ．12g 石墨(图丁）中含π键数目3N A3、下列各组中的反应，属于同一反应类型的是 （ ）A ．由溴丙烷水解制丙醇；由丙烯与水反应制丙醇B ．乙烯使酸性高锰酸钾溶液褪色和乙醛使溴水褪色C ．由氯代环己烷消去制环己烯；由丙烯加溴制1,2-二溴丙烷D ．乙酸乙酯的水解和乙烯制聚乙烯4、A 、B 、C 、D 、E 均为短周期主族元素，B 、C 、D 在周期表中的位置关系如下图所示。

A 元素的某种同位素原子没有中子，D 元素的原子序数是C 的2倍，E 是短周期主族元素中半径最大的元素。

下列说法不正确的是A．简单离子的半径大小关系：B＞C＞EB．D、E两种元素形成的化合物，可能含有离子键和共价键C．A、B、C三种元素形成的化合物的水溶液均显酸性D．D、E分别和C形成的化合物，均可能使溴水或品红溶液褪色5、人造空气(氧气与氦气的混合气)可用于减轻某些病痛或供深水潜水员使用。

标准状况下，5.6 L“人造空气”的质量是2.4 g，其中氧气与氦气的质量比是( )A．1∶1B．2∶1C．1∶4D．2∶36、设阿伏加德罗常数的值为N A，则下列说法正确的是A．标准状况下，22.4 L乙烯含有的共用电子对数为5N AB．1 mol NaHSO4中的阳离子数为2N AC．通常状况下，1 mol NO和0.5 molO2在密闭容器中混合，生成NO2分子数为N AD．制取漂白粉时，标准状况下22.4 LCl2参加反应，转移电子数为N A7、下列有关N A的叙述正确的是A．常温常压下，1 mol苯中含有的碳碳双键数目为3N AB．25℃时，pH=11的氨水中含有的OH-数目为0.001N AC．标准状况下，22.4 LHCl中含有的电子数目为18N AD．64 9 SO2与足量的氧气反应，生成的SO3数目为N A8、25℃时，c(CH3COOH)＋c(CH3COO－)＝0.1mol·L－1的醋酸、醋酸钠混合溶液中，c(CH3COOH)、c(CH3COO －)与pH的关系如图所示。

北京四中2011—2012学年第二学期期中测试高二年级语文试卷（试卷满分为150分，考试时间为150分钟）（Ⅰ卷和Ⅲ卷为模块试题，Ⅱ卷为能力试题）第Ⅰ卷一、基础知识（每题2分，共14分）1. 下列加点字注音全部正确的一组是A. 当．（dàng）天顷．（qǐng）刻舌苔．（tāi）什刹．（chà）海B. 黏．（zhān）合莠．（yǒu）民菜圃．（fǔ）咄咄．．（duō）怪事C. 胡诌．（zhōu）偌．（nuò）大思忖．（cǔn）闷．（mèn）声闷气D. 绯．（fěi）闻鸟窠．（kē）倔．（jué）强谆．（zhūn）谆教导2. 下列词语中错别字最少．．的一组是A. 焦燥通宵哀声叹气毛骨耸然B. 连络孤僻缠绵悱测精神焕散C. 喧嚣剪缉血脉喷张装腔作势D. 就序流弊玩世不恭飞短流长【答案】D【解析】A焦躁唉声叹气毛骨悚然B联络缠绵悱恻精神涣散 C剪辑血脉贲张D就绪3. 依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是①孔子曾对着的江水感叹：逝者如斯夫，不舍昼夜。

两千五百年后的今天，我们似乎仍能听见先哲那一声深沉而又睿智的浩叹。

②曹操四言诗的雄浑，陶渊明田园诗的恬淡，自然受人称誉；而张旭草书的奇伟飞动，颜真卿楷书的厚重雄伟，也同样令人。

③鲁迅的《故事新编》，即使时有戏谑的成分、“油滑”的笔墨，却也总能使我们有真实的体认，得到深刻的。

A. 流逝赞扬启发B. 流逝赞叹启示C. 流泻赞扬启示D. 流泻赞叹启发【答案】B【解析】①“流泻”仅强调水由上往下，“流逝”则强调“逝去”，与后文更搭。

②“赞叹”：称赞、慨叹；“赞扬”：称赞、表扬。

句中没有“表扬”的意思，所以选“赞叹”。

③“启示”与“深刻”搭配，且“启示”名词性意味更强。

“深刻的启示”不搭，“启发”一般与“很多”、“不少”等来搭配。

4. 下列句子中，加点的成语使用不恰当．．．的一项是A. 如果交通管理部门与产业规划局、土地规划局各自为政．．．．，交通拥堵状况就会进一步加剧，让城市深陷“堵局”。

2016—2017学年北京四中高二（下)期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题，每小题5分,共50分．1．复数21i=-（ ）A BC ．1i -D ．1i +【考点】A5:复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+．故选：D ．2．下列求导正确的是( ）．A ．2(32)3x x-'= B ．21(log )ln2x x '=⋅ C ．(cos )sin x x'= D ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭【考点】63:导数的运算．【分析】先根据基本导数公式和导数的运算法则求导，再判断 【解答】解：2(32)6x x-'=，21(log )ln2x x '=⋅,(cos )sin x x'=-，211ln ln x x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选：B ．3．曲线e xy x =⋅在1x =处切线的斜率等于( ）．A ．2eB ．eC ．2D ．1【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数,然后求解切线的斜率即可． 【解答】解：曲线e xy x =⋅，可得ee xx y x '=+,曲线e xy x =⋅在1x =处切线的斜率:e e 2e +=．故选：A ．4．设0a >,0b >，则“a b >”是“ln ln a b >"的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件 【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：0a >，0b >，则“a b >”⇔“ln ln a b >”．因此0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件． 故选：D ．5．函数：()3ln f x x x =+的单调递增区间是( ）．A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(e,)+∞ C ．1,e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞ D ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【考点】6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】求出()f x 的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．【解答】解：由函数()3ln f x x x =+得:()ln 1f x x =+，令()ln 10f x x '=+>即1ln 1ln e x >-=，根据e 1>得到此对数函数为增函数，所以得到1e x >，即为函数的单调递增区间．故选C ．6．在复平面内，复数2i1i-+(是虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ）．A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数2i1i-+的共轭复数对应的点的坐标得答案． 【解答】解:由2i(2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222----===-++-，得13i 22z =+, ∴在复平面内，复数2i 1i -+的共轭复数对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭,位于第一象限．故选：D ．7．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1xx =-”的否定是（ )．A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1xx ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1xx =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞,ln 1x x =- 【考点】2J ：命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-,故选：C ．8．已知23()1(1)(1)(1)(1)nf x x x x x =+++++++++，则(0)f '=（ )．A ．nB ．1n -C ．(1)2n n -D ．1(1)2n n + 【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意,对函数()f x 求导，计算可得()f x '，将0x =代入计算可得答案．【解答】解:根据题意，23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++,则其导数231()12(1)3(1)4(1)(1)n f x x x x n x -'=+++++++++,则(1)(0)12342n n f n +'=+++++=;故选:D ．9．已知32()(6)1f x xax a x =++++有极大值和极小值,则a 的取值范围为( ）．A ．[]3,6-B ．(3,6)-C ．]([,36,)-∞-+∞ D ．(,3)(6,)-∞-+∞【考点】6C:函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出导数()f x '，由()f x 有极大值、极小值可知()0f x '=有两个不等实根．【解答】解：函数32()(6)1f x xax a x =++++，所以2()32(6)f x xax a '=+++,因为函数有极大值和极小值，所以方程()0f x '=有两个不相等的实数根,即232(6)0xax a +++=有两个不相等的实数根,∴0∆>，∴2(2)43(6)0a a +-⨯⨯>,解得：3a <-或6a >．故选D ．10．方程2sin cos xx x x=+的实数解个数是（ ）．A ．3B ．0C ．2D ．1 【考点】54:根的存在性及根的个数判断． 【分析】令2()sin cos f x x x x x=--，判断()f x 的单调性,计算极值，从而得出()f x 的零点个数．【解答】解：令2()sin cos f x xx x x=--，则()2sin cos sin (2cos )f x x x x x x x x '=--+=-， ∵2cos 0x ->，∴当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，∴()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，∴当0x =时，()f x 取得最小值1-，又x →-∞时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞, ∴()f x 有2个零点，即发出2sin cos x x x x=+有2解．故选C ．二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11．复数(2i)i +⋅的模为__________． 【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简,再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵(2i)i 12i +⋅=-+，∴复数(2i)i +⋅．12．命题 “若0a b -=,则()()0a b a b -+=”的逆否命题为__________． 【考点】25:四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为:若()()0a b a b -+≠则0a b -≠，故答案为：()()0a b a b -+≠则0a b -≠．13．曲线3()2f x xx =+-在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点坐标为__________．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标，然后对()f x 进行求导，根据曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x =建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到()f x 即可得到答案．【解答】解：设0P 点的坐标为(())a f a ，，由3()2f x xx =+-，得到2()31f x x'=+，由曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x =，得到切线方程的斜率为4，即2()314f a a'=+=，解得1a =或1a =-，当1a =时，(1)0f =；当1a =-时，(1)4f -=-， 则0P 点的坐标为(1,0)或(1,4)--．故答案为：(1,0)或(1,4)--．14．函数26()1xf x x=+在区间[]0,3的最大值为__________． 【考点】7F:基本不等式．【分析】对x 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：0x =时,(0)0f =．3](0,x ∈时，6()31f x x x==+，当且仅当1x =时取等号．∴函数26()1x f x x =+在区间[]0,3的最大值为3．故答案为：3．15．若命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，则x 的取值范围是__________．【考点】2K ：命题的真假判断与应用． 【分析】由题意可得对于任意x ，不等式2540xx +>-不成立，即2540xx +-≤成立．求解不等式得答案．【解答】解：命题“{}250|4x x xx -∈+>”是假命题， 说明对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立，即2540xx +-≤成立．解得14x ≤≤．∴x 的取值范围是14x ≤≤． 故答案为：14x ≤≤．16．对于函数()y f x =，x D ∈，若对于任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得M=，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．那么函数32()1f x x x -=+，在[]1,2x ∈上的几何平均数M =__________．【考点】34：函数的值域．【分析】根据已知中对于函数()y f x =,x D ∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈,M，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M 应该等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，由32()1f x xx -=+，[]1,2D =，代入即可得到答案．【解答】解:根据已知中关于函数()f x 在D 上的几何平均数为M 的定义，由于()f x 的导数为2()32f x x x'=-,在[]1,2内()0f x '>，则32()1f x xx -=+在区间[]1,2单调递增，则11x =时，存在唯一的22x=与之对应,且1x =时,()f x 取得最小值1，2x =时，取得最大值5， 故M =．三、解答题：本大题共2小题,共20分. 17．设函数2()ln f x x xx=-+．（I ）求()f x 的单调区间． （II ）求()f x 在区间1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【考点】6B:利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数,解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;(Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可． 【解答】解:(I)因为2()ln f x x xx=-+其中0x >，所以1(1)(21)()21x x f x x x x-+'=-+=， 令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<, 所以()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞． （II ）由（I)()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在[]1,e 上单调递减,∴max()(1)0f x f ==．18．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 的单调区间．【考点】6B:利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当1a =时,求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线()y f x =在原点处的切线方程;（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时,22()1x f x x =+,222(1)(1)()(1)x x f x x +-'=-+．∴(0)2f '=, ∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=． （Ⅱ）求导函数可得，222()(1)()(1)x a ax f x x +-'=-+．当0a =时,222()(1)x f x x '=+，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减．当0a ≠,221()()2(1)x a x a f x ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=-+．①当0a >时，令()0f x '=,得1x a=-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：x1(),x -∞ 1x 12(,)x x 2x 2(),x +∞ ()f x ' -+-()f x1()f x2()f x故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞;单调增区间是1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ②当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：x2(),x -∞ 2x 21(,)x x 1x 1(),x +∞()f x ' +﹣+()f x2()f x1()f x所以()f x 的单调增区间是1,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞；单调减区间是1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,)a -+∞．综上，0a >时,()f x 在(,)a -∞-，1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞单调递减;在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增．0a =时,()f x 在(0,)+∞单调递增,在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞单调递增；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．一、卷（II ）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,)+∞上为增函数,则实数a 的取值范围是（ ）．A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(2],-∞D ．(,2)-∞ 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可． 【解答】解：3211()(1)132f x x ax a x =-+-+，[]2()(1()(1)1)f x x ax a x a x '=+-=----，11a -≤时，符合题意，11a ->时，令()0f x '≥,解得：1x a -≥或1x ≤，若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数, 则11a -≤，解得：2a ≤， 故选：C ．20．观察211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=,(sin )cos x x '=，由归纳推理可得：若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-，记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -=（ ）．A ．()f x -B ．()f xC ．()g xD ．()g x - 【考点】F1：归纳推理． 【分析】由已知中211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，分析其规律，我们可以归纳推断出，奇函数的导数是偶函数,即可得到答案．【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-, ∴()f x 为奇函数， ∵()g x 为()f x 的导函数， ∴()()g x g x -=． 故选：C ．21．若i 为虚数单位，设复数z 满足1z =,则1i z -+的最大值为（ )．A1B ．2C 1D ．2【考点】A8：复数求模．【分析】由题意画出图形,再由1i 1i)z z --=+-(的几何意义,即动点Z 到定点(1,1)P -的距离求解．【解答】解：1i 1i)z z --=+-(,其几何意义为动点Z 到定点(1,1)P -的距离，又1z =,如图：则1iz-+1．故选：C．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分,共15分．22．曲线n=在2x=处的导数为12，则n=__________．y x【考点】63：导数的运算．【分析】求出函数线n=的导函数,把2x=代入导函数解析式可求n的y x值．【解答】解：由n'=，=，得1ny xy nx-又曲线n=在2x=处的导数为12,y x所以1212nn=．n-⋅=，3故答案为3．23．若0a>，0b>，且函数32=在1x=处有极值，则ab的最大值--()42f x x ax bx为__________．【考点】6D:利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数,利用函数在极值点处的导数值为0得到a,b满足的条件，利用基本不等式求出ab 的最值．【解答】解：由题意，导函数2(_1222f x xax b -'=-,∵在1x =处有极值，(1)0f '=， ∴6a b +=, ∵0a >，0b >， ∴292a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，当且仅当3a b ==时取等号，∴ab 的最大值等于9． 故答案为：9．24．已知函数1()sin 3f x x x =-,[]0,πx ∈，[]001cos (0,π)3x x =∈，那么下面命题中真命题的序号是__________． ①()f x 的最大值为0()f x ；②()f x 的最小值为0()f x ；③()f x 在[]00,x 上是减函数；④()f x 在[]0,πx 上是减函数．【考点】2K:命题的真假判断与应用;6B:利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】可求出1()sin 3f x x x =-的导数，研究出它的单调性确定出最值,再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题【解答】解：1()sin 3f x x x =-的导数1()cos 3f x '=-， 又[]001cos (0,π)3x x =∈，∴函数()f x 在[]00,x 上是增函数，()f x 在[]0,πx 上是减函数， ∴()f x 的最大值为0()f x ，由此知①④是正确命题, 故答案为①④．三、解答题：本大题共2小题，共20分． 25．已知函数322()f x xax bx a =+++．（I ）若()f x 在1x =处有极值10,求a ，b 的值．（II ）若当1a =-时,()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值;6K:导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ)求出函数的导数，得到关于导函数的方程组，求出a ，b的值即可;(Ⅱ）分离参数,问题转化为321x x b x-+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=，根据函数的单调性求出b 的范围即可． 【解答】解：(Ⅰ）2()32f x xax b'=++，由题设有(1)0f '=，(1)10f =，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得:33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩,经验证，若33a b =-⎧⎨=⎩，则22()3633(1)f x xx x +=--'=,当1x >或1x <时,均有()0f x '>,可知 此时1x =不是()f x 的极值点， 故33a b =-⎧⎨=⎩舍去411a b =⎧⎨=-⎩符合题意,故411a b =⎧⎨=-⎩．（Ⅱ）当1a =-时，32()1f x xx bx -=++，若()0f x <在[]1,2x ∈恒成立， 即3210x x bx ++<-在[]1,2x ∈恒成立，即321x x b x-+-<在[]1,2x ∈恒成立， 令321()x x g x x-+-=，则2323222(32)(1)21()x x x x x x x g x x x -+--+--++'==，由32322111()x x x x x -++=-+-可知[]1,2x ∈时()0g x '<，即321()x x g x x-+-=在[]1,2x ∈单调递减，max 5()(2)2g x g ==-，∴52b <-时,()0f x <在[]1,2x ∈恒成立．26．已知函数3()3ef x xax -=+，()1ln g x x =-,其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,)(1)f 处的切线与直线:20l x y +=垂直，求实数a 的值．（Ⅱ）设函数1()()22F x x g x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，若()F x 在区间(,1)()m m m +∈Z 内存在唯一的极值点,求m 的值．（Ⅲ）用{}max ,m n 表示m ，n 中的较大者，记函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>．若函数()h x 在(0,)+∞ 上恰有2个零点,求实数a 的取值范围．【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算(1)f '，求出a 的值即可;（Ⅱ)求出函数()F x 的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m 的值即可;(Ⅲ)通过讨论a 的范围求出函数()f x 的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a 的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ） 易得，2()33f x xa'=-，所以(1)33f a '=-，依题意,1(33)12a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得13a =; (Ⅱ）因为2111()()2(1ln )2ln 222F x x g x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-=--+-=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则()ln 11ln 2F x x x x x '=+-+=-+．设()ln 2t x x x =-+， 则11()1xt x x x-'=-=．令()0t x '=，得1x =．则由()0t x '>，得01x <<,()F x '为增函数； 由()0t x '<，得1x >，()F x '为减函数；而222111220ee e F ⎛⎫'=--+=-< ⎪⎝⎭,(1)10F '=>．则()F x '在(0,1)上有且只有一个零点1x , 且在1(0,)x 上()0F x '<，()F x 为减函数；在1(,)1x 上()0F x '>，()F x 为增函数．所以1x 为极值点,此时0m =．又(3)ln310F '=->，(4)2ln220F '=-<,则()F x '在(3,4)上有且只有一个零点2x ，且在2(3,)x 上()0F x '>，()F x 为增函数；在2(),4x 上()0F x '<，()F x 为减函数．所以2x 为极值点，此时3m =．综上0m =或3m =．（Ⅲ）（1）当(0,e)x ∈时，()0g x >,依题意，()(0)0h x g >≥，不满足条件； （2）当e x =时，(e)0g =，3()3f e e ae e-=+，①若3(e)e3e e 0f a -=+≤，即2e 13a +≥,则e 是()h x 的一个零点；②若3(e)e3e e 0f a -=+>，即2e 13a +<，则e 不是()h x 的零点；（3）当(e,)x ∈+∞时,()0g x <，所以此时只需考虑函数()f x 在(e,)+∞上零点的情况．因为22()333e 3f x xa a->-'=，所以①当2e a ≤时,()0f x '>，()f x 在(e,)+∞上单调递增． 又3(e)e3e ef a -=+，所以（i ）当2e 13a +≤时，(e)0f ≥，()f x 在(e,)+∞上无零点； （ii)当22e 1e 3a +<≤时,(e)0f <，又333(2e)8e6e e 8e 6e e 0f a =+-+->≥，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点； ②当2e a >时,令()0f x '=，得x =由()0f x '<,得e x << 由()0f x '>，得x 所以()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增．因为333(e)e3e e e 3e e 0f a -=<+-+<,32222(2)86e 86e 2e 0f a a a a a a =+=->+-+>,所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点； 综上，2e 13a +>．。

北京四中2013－2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（Ⅰ）《选修1－1》一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．抛物线x 2=－8y 的焦点坐标为A. （0，－4）B. （0，－2）C. 1(0,)16-D. 1(0,)32- 2．下列函数求导运算正确的个数为 ①(21)'2x -=；②21(log )'ln 2x x =⋅；③()'x x e e =；④(cos )'sin x x = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．函数()2cos f x x x =+在[0，π]上的极大值点为 A.12π B. 6π C. 3π D. 2π4．下列命题中，是假命题的是A ．如果x<2，则x<3B ．3+6=8或3+6=9C ．2,0x R x ∀∈> D. *x N ∃∈，使x 既是质数又是偶数5．若偶函数f （x ）定义域为(,0)(0,)-∞+∞，f （x ）在（0,+∞）上的图象如图所示，则不等式f （x ）f'（x ）>0的解集是A. (,1)(0,1)-∞-B. (1,0)(1,)-+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (1,0)(0,1)-6．若ln (),3xf x a b x=<<，则 A ．()()f a f b > B ．()()f a f b = C ．()()f a f b < D ．()()1f a f b >7. 已知抛物线22y x =上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线y x m =+对称，若1212x x =-，则m 的值为A.23 B. 2 C. 52 D. 328. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图象大致可能为二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. 若命题2:,2p x N x x ∃∈=+，则p ⌝为： 。

北京四中2011~2012学年度第一学期高三年级期中测试试题数学试卷（文）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若全集，集合，，则集合A．B．C．D．2.“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图像大致为4．设，则A. B. C. D.5．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是A．B．C．D．6．函数的零点个数为A．3 B．2 C．1D．07．若，则的值为A．B．C．4D．88. 对于函数,若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④.其中存在稳定区间的函数有A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．已知，则____________.10．若函数则不等式的解集为______.11．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。

若=1，则____________.12．函数的图象如图所示，则的解析式为___.13．已知函数.（），那么下面命题中真命题的序号是____________.①的最大值为②的最小值为③在上是减函数④在上是减函数14．已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于，有，当时，的最小值为______；当时，______.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调增区间及其图象的对称轴方程.16．（本小题满分13分）已知：若是公差不为0的等差数列的前项和，且、、成等比数列.（Ⅰ）求数列、、的公比；（Ⅱ）若，求数列的通项公式.17．（本小题满分14分）已知函数()．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）内角的对边长分别为，若且试求角B和角C.18. （本小题满分14分）已知函数，的图象经过和两点，且函数的值域为.过函数的图象上一动点作轴的垂线，垂足为，连接.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）记的面积为，求的最大值.19．（本小题满分13分）设且，函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间.20.（本小题满分14分）设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数，使．（为正整数）（Ⅰ）在只有项的有限数列，中，其中，试判断数列，是否为集合的元素；（Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并求出的取值范围.参考答案及解析一．选择题（一．选择题（每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A D B B D C2. A解析：当时，，反之，当时，有，或，故应选A.3. A解析：函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 4．D解析：.故选D.5．B解析：将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.7．D解析：8．C解析：①中，若存在“稳定区间”则，，即有解，即图像有交点，事实上两函数图像没有交点，故函数不存在“稳定区间”。

北京市四中2011-2012学年上学期高二年级期末测验数学试卷（文科）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）卷（I ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 抛物线x y 82=的焦点坐标为A. （1，0）B. （0，1）C. （2，0）D. （0，2）2. 若b a ,为异面直线，直线a c ∥，则c 与b 的位置关系是A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交3. 设条件甲为“50<<x ”，条件乙为“3|2|<-x ”，则甲是乙的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若双曲线()013222>=-a yax 的离心率为2，则a 等于A. 2B. 3C. 23 D. 15. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 2B. 1C.32 D.316. 已知△ABC 的顶点B ，C 均在椭圆1322=+yx上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是A. 32B. 6C. 34D. 127. 过点（2，4），与抛物线x y 82=有且仅有一个公共点的直线有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条8. 双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，3），那么k 的值是A. －1B. 1C. 365- D. 3659. 已知直线n m l ,,和平面βα,，在下列命题中真命题是A. 若α内有无数多条直线垂直于β内的一条直线，则βα⊥B. 若α内有不共线的三点到β的距离相等，则βα∥C. 若m l ,是两条相交直线，α∥l ，m n l n m ⊥⊥,,且∥α，则α⊥nD. 若m l m l ∥则∥∥∥,,,βαβα10. 过抛物线()022>=p px y 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p 的值是A. 2B. 4C.58 D.91611. 在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若点P 到直线BC 的距离与点P 到直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线12. 直线12--=k kx y 与曲线2421xy -=有公共点，则k 的取值范围是A. ()+∞--∞,0]41,( B . ]41,(--∞C. ),41[+∞-D. ⎪⎭⎫⎝⎛∞+-,21二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是________。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作北京四中2011-2012学年度第二学期期中考试高一数学满分150分，考试时间120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 若b a >>0，则下列不等式中成立的是（ ）A.b a 11> B. ab a 11>- C. ||||b a > D. 22b a > 2. ABC Δ中，若C B A sin cos sin 2=⋅，则ABC Δ的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形3. 已知{}n a 是等差数列，421=+a a ，2887=+a a ，则该数列的前10项和=10S （ ）A. 64B. 100C. 110D. 1204. 若A 是正数b a ,的等差中项，正数G 是b a ,的等比中项，则以下结论最准确的是（ ）A. AG ab >B. AG ab ≤C. AG ab >D. AG ab < 5. ABC Δ中，若3=AB ，1=AC ， 30=∠B ，则ABC Δ的面积为（ ）A.23 B. 43 C. 23或3 D. 23或436. 数列{}n a 中，若11=a ，nnn a a a 211+=+，则这个数列的第10项10a =（ ）A. 19B. 21C.191 D. 2117. 若R y x ∈,，且32=+y x ，则y x 42+的最小值是（ ）A. 32B. 23C. 24D. 68. 若非负实数y x ,满足⎩⎨⎧≤-+≤-+07230832y x y x ，则y x +的最大值是（ ）A. 2B.37 C. 38D. 3 9. ABC Δ中，S 表示A B C Δ的面积，若C c A b B a sin cos cos =+，)(41222a c b S -+=，则=∠B （ ）A.30 B.45 C.60 D.9010. 等差数列{}n a 中，若90121064=+++a a a a ，则141031a a -=（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. ABC Δ中，若边6=b ，边2=c ，角 120=B ，则角=C 。