2017年北京四中自主招生数学试卷

2017—2018学年北京四中初三下学期开学测试数学试卷一、选择题。

1.已知一粒米的质量是0.000021千克,这个数字用科学记数法表示为( ）A.4-1021⨯千克B.6-101.2⨯千克C.5-101.2⨯千克D.4-101.2⨯千克2.若代数式4-x x 有意义,则实数x 的取值范围是( ） A.x=0 B.x=4 C.x ≠0 D.x ≠43.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,5，从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为（ ） A.51 B.52 C.53 D.54 4.如图，直线a 、b 被直线c 所截，a ∥b,∠1=∠2,若∠3=40°,则∠4等于（ ）第4题 第6题A.40°B.50°C.70°D.80°5.下面的几体中,主(正)视图为三角形的是( ）A B C D6.图象中所反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后,又去早餐店吃早餐,然后散步走回家。

其中x 表示时间,y 表示张强离家的距离,根据图象提供的信息,以下四个说法错误的是( )A.体育场离强家2.5千米B.张强在体育场锻炼了15分钟C.体育场离早餐店1千米D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时7.如图,AB 与⊙O 相切于点B.AO 的延长线交⊙O 于点C,连接BC ，若∠ABC=120°,OC=3,则BC 的长为( ）A.πB.2πC.3πD.5π8.小王的手机使用的是每月300M 流量套餐，下图记录了小王在4月2日至4月10日这十 天的流量使用情况,下列叙述中正确的是（ ）A.1日-10日这10天的平均流量小于9.0M/日B.11日-30日这20天,如果每天的平均流量不超过11M,这个月总流量就不会超过套餐流量C.从1日-10这10天的流量中任选连续3天的流量,则3日,4日,5日这三天的流量的方差最大D.从1-10日这10天中的流量中任选连续3天的流量,则8日,9日,10日这三天的流量的方差最小第7题 第8题二、填空题。

数学素质测试题◆注意事项：本试题共三大题，满分120分，考试时间120分钟。

参考公式：()3223333b ab b a a b a +++=+ ()()2233b ab a b a b a +-+=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=- ()()2233b ab a b a b a ++-=-一、选择题（每小题5分，共30分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1、已知80sin cos <<A ，则锐角A 的取值范围是 （ ）A ． 8060<<AB ． 8030<<AC ． 6010<<AD ．3010<<A 2、实数b 满足3<b ，并且有实数a ，使b a <恒成立，则a 的取值范围是 A ．小于或等于3的实数 B ．小于3的实数 C ．小于或等于3-的实数 D ．小于3-的实数3、设1x 、2x 是方程02=++k x x 的两个实根，若恰有22221212k x x x x =++成立，则k 的值为（ ）A ．1-B ．21或 1- C ．21 D ．21-或 14、代数式9)12(422+-++x x 的最小值为A ．12B ．13C ．14D ．115、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数。

连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为A ．365 B ．61 C ．31 D ．946、=⨯++⨯+⨯+⨯10099433221A ．223300B ．333300C ．443300D ．433300 二、填空题（每小题5分，共30分）1、多项式411623++-x x x 可分解为 。

2、已知点),(y x p 位于第二象限，并且62+≤x y ，x 、y 为整数，则点p 的个数是 。

某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（1）求出表中 的值；（2）若该区高二学生有5000人，试估计这次统考中该区高二学生的平均分数及分数在区间 内的人数。

分组频数频率频率/组距2答案（1） 。

。

， ， ， ；（2）4150人.解析本试题主要考查了统计的运用。

解：（Ⅰ）因为 ，所以 。

从而。

， ， ， 。

（ 6分）（II）平均分约为45×0.02+55×0.04+65×0.11+75×0.38+85×0.34+95×0.11=78.1。

该区高二同学分数在区间 内的人数为（人）。

（ 12分）数据 的方差为2，则数据 的方差为 .答案8.解析的平均数为 ,则 的平均数为 ,，因而 的方差为8数据5，7，7，8，10，11的标准差是（ ）A、2 B、1 C、8D、4答案A解析平均值所以标准差为2.应选A一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人。

为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本。

则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A、12 ,24,15,9B、9,12,12,7C、8,15,12,5D、8,16,10,6答案D解析解：因为40/ 800 ="1" 20 ，故各层中依次抽取的人数分别是160 /20 =8，320/ 20 =16，200/ 20 =10，120/ 20 =6，故选D、对总数为 的一批零件用简单随机抽样方法抽取一个容量为30 的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则 的值为A、1 00B、120C、150D、200答案B解析解：∵每个零件被抽取的概率都相等，∴30 N =0.25，∴N=120。

故选B、从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是A、5,10,15,20,25B、3,13,23,33,43C、3,6,12,24,48D、8,16,24,32,40答案B解析解：解因为共有50枚导弹，分为5组，每组10枚，那么第一枚的数字应该在1-10之间，第二枚在11-20之间，依次类推，并且编号构成了等差数列，公差为10，因此满足题意的只有B。

北京市2017年高级中等学校招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意，得点P 到直线l 的距离是线段PB 的长度，故选：B 。

【考点】点到直线的距离的概念 2.【答案】D【解析】由意义可知：40-≠x ，∴4≠x ，故选：D 。

【考点】分式有意义的条件 3.【答案】A【解析】观察图形可知，这个几何体是三棱柱，故选：A 。

【考点】几何体的展开与折叠 4.【答案】C【解析】由数轴上点的位置，得401a b c d -＜＜＜＜＜＜；A ．4-＜a ，故A 不符合题意；B ．0＜bd ，故B 不符合题意；C ．4=＞a d ，故C 符合题意；D ．0+＜b c ，故D 不符合题意；故选：C 。

【考点】数轴上点的特征 5.【答案】A【解析】A ．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，故选A 。

【考点】轴对称图形和中心对称图形的概念 6.【答案】B【解析】设多边形n 边形，由题意，得(2)180150-︒=n n ，解得12=n ，故选：B 。

【考点】正多边形的内角和定理 7.【答案】C【解析】2222244(2)(2)()(2)2222-+--===+=+--- a a a a a a a a a a a a a a a a a 。

∵2210+-=a a ，∴221+=a a ，∴原式1=，故选C 。

【考点】分式的化简求值8.【答案】B【解析】A．由折线统计图可得：与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；B．由折线统计图可得：20112014年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长，故此选项错误，符合题意；C．20112016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：(3632.54003.04436.54803.64718.74554.4)64358+++++÷≈故超过4 200亿美元，正确，不合题意；D．∵4554.41368.2 3.33÷≈，∴2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多。

2017年北京四中自主招生数学试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5.00分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°2．（5.00分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数3．（5.00分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k 的值为（）A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或14．（5.00分）代数式的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．115．（5.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．6．（5.00分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）A．223 300 B．333 300 C．443 300 D．433 300二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．（5.00分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．8．（5.00分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是．9．（5.00分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC 的度数是．10．（5.00分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=．11．（5.00分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是．12．（5.00分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是．三、解答题（共5小题，满分60分）13．（10.00分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：（1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．14．（10.00分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．15．（12.00分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；（3）当k取何值时，∠ABC=60°？16．（14.00分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．17．（14.00分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．2017年北京四中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．（5.00分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°【分析】首先明确cos30°=，sin80°=cos10°，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．【解答】解：∵cos30°=，sin80°=cos10°，余弦函数随角增大而减小，∴10°＜A＜30°．故选：D．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．2．（5.00分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数【分析】熟悉绝对值的意义，根据绝对值的意义求得b的取值范围，再根据a，b的关系求得a的取值范围．【解答】解：∵|b|＜3，∴﹣3＜b＜3，又∵a＜b，∴a的取值范围是小于或等于﹣3的实数．故选：C．【点评】此题考查了绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，更直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．3．（5.00分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（）A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2代入已知条件中，求得k的值．【解答】解：根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣1，x1x2=k．又x12+x1x2+x22=2k2，则（x1+x2）2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，解得k=﹣1或．当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．∴取k=﹣1．故选：A．【点评】注意：利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．4．（5.00分）代数式的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．11【分析】先将原式可化为+，代数式的值即P（x，0）到A（0，﹣2）和B（12，3）的距离之和，显然当P为“x轴与线段AB交点”时，PA+PB=AB最短．【解答】解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），原式可化为+，即=AP，=BP，AB==13．代数式的最小值为13．故选：B．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根，当a=0时，=0，当a小于0时，二次根式无意义．2、性质：=|a|．5．（5.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．【分析】依据题意先分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：共有6×6=36种可能，掷得面向上的点数之和是3的倍数的有12种，所以概率是，故选C．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（5.00分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）A．223 300 B．333 300 C．443 300 D．433 300【分析】根据题目中的数据可以求出该式子的结果，从而可以解答本题．【解答】解：1×2+2×3+3×4+…+99×100=++…+===333300，故选：B．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中数字的变化规律．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．（5.00分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．8．（5.00分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是6．【分析】先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值．【解答】解：∵点P（x，y）位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y≤2x+6，∴2x+6＞0，即x＞﹣3，所以﹣3＜x＜0，x=﹣1或﹣2，当x=﹣1时0＜y≤4，y=1，2，3，4；当x=﹣2时，y≤2，即y=1或2；综上所述，点P为：（﹣1，1），（﹣1，2）（﹣1，3），（﹣1，4），（﹣2，1），（﹣2，2）共6个点．【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求特殊值．9．（5.00分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC 的度数是15°或75°．【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，根据特殊角的三角函数值可得∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．故答案为：15°或75°．【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．注意要考虑到两种情况．10．（5.00分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=2008．【分析】根据系数的特点，应用十字相乘法来因式分解，从而求解．【解答】解：（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0，原方程可化为，20072x2+（﹣20072+1）x﹣1=0，（x﹣1）（20072x+1）=0，解得x1=1，x2=﹣．∵所求方程x2+2006x﹣2007=0，则原方程可化为，（x﹣1）（x+2007）=0，解得x3=1，x4=﹣2007．方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为x1=1，方程x2+2006x﹣2007=0的较小根为x4=﹣2007；则a﹣b=1﹣（﹣2007）=2008．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．11．（5.00分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是2．【分析】观察题目，可用借助于整体思想，设=a，=b，进行替换，加以解答．【解答】解：设=a，=b．则，．又4==a3b3，∴x=a2b﹣ab2，x2=a4b2﹣2a3b3+a2b4，故原式=x（x2+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），=（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），=ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），=a3b3（a3﹣b3），=，=4×2=8．则其算术平方根是2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，解题时注意运用公式简便计算（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3．同时注意用一个字母可以表示一个较复杂的数的整体思想．12．（5.00分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是9π．【分析】根据旋转变换的性质可得△ABC与△A′BC′全等，从而得到阴影部分的面积=扇形ABA′的面积﹣小扇形CBC′的面积．【解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AB=3，∴阴影面积=﹣=9π．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．三、解答题（共5小题，满分60分）13．（10.00分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：（1）两面涂有红色的小正方体的个数；（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．【分析】（1）根据题意画出图形，计算出各小正方形的个数即可；（2）无色的小正方体的个数为83=512；除以所有正方体的个数即可；（3）得到大正方体的一个面只有一面涂有红色的小正方体的个数，乘以6即可．【解答】解：（1）8×12=96块；（2）P===0.512；（3）每个面有（n﹣2）2个（n＞1），6个面有N=6（n﹣2）2．【点评】考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（10.00分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．【分析】由已知条件xy+（x+y）=17，x2y+xy2=xy（x+y）=66，可以看出xy和（x+y）是方程t2﹣17t+66=0的两个实数根，可得出xy=11，x+y=6时，x、y是方程v2﹣6v+11=0的两个根或xy=6，x+y=11时，x、y是方程u2﹣11u+6=0的两个根，根据根的判别式△=b2﹣4ac，判断两个方程有无实数根，有实数根时可以整理出x2+y2=（x+y）2﹣2xy，把原代数式化简为含x2+y2的形式，代入求值即可．【解答】解：由已知条件可知xy和（x+y）是方程t2﹣17t+66=0的两个实数根，由t1=6，t2=11得或，当xy=11，x+y=6时，x、y是方程v2﹣6v+11=0的两个根，∵△1=36﹣44＜0，∴此方程没有实数根；当xy=6，x+y=11时，x、y是方程u2﹣11u+6=0的两个根，∵△2=121﹣24＞0，∴此方程有实数根，这时x2+y2=（x+y）2﹣2xy=109，∴x4+x3y+x2y2+xy3+y4=x4+y4+x2y2+xy（x2+y2）=（x2+y2）2﹣x2y2+xy（x2+y2）=12499．【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是掌握①一元二次方程根的判别式的有关内容．根的判别式△=b2﹣4ac＞0⇒方程有两个不相等的实数根；△=0⇒方程有两个相等的实数根；△＜0⇒方程没有实数根．②一元二次方程根与系数的关系：如果一个一元二次方程的两根是x1、x2，那么这个一元二次方程为x2﹣（x1+x2）x+x1x2=0．15．（12.00分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）用k表示B点的坐标；（3）当k取何值时，∠ABC=60°？【分析】（1）对二次函数式进行变形，可得y=k（x+1）2+（1﹣k），即得顶点坐标A（﹣1，1﹣k），对称轴就是x=﹣1，又x=0时，y=1，说明函数经过（0，1），也就是二次函数的开口必然向下，即k＜0；（2）用k的代数式分别表示AC、BC、AB，利用勾股定理可得相等关系，可求出OB，即得B点坐标；（3）在Rt△ABC中利用∠ABC的正切值，可求出k的值，注意k＜0．【解答】解：（1）∵y=kx2+2kx+1∴对称轴x=﹣1，易见抛物线是以Rt△ABC的直角边AC所在直线为对称轴，∴A（﹣1，1﹣k），当x=0时，y=1，即抛物线过p（0，1），故k＜0开口向下．（2）如图，由题意可知：AC=1﹣k，BC=CO+OB=1+OB，AB=AD+BD=AE+OB=AC﹣CE+OB=OB﹣k由勾股定理得（1﹣k）2+（1+OB）2=（OB﹣k）2，解得：OB=，∴B（，0）；（3）∵∠ABC=60°，∴tan∠ABC=，又tan∠ABC===，∴=，∴k2+2﹣1=0，解得k1=﹣+2，k2=﹣﹣2，又∵k＜0∴k=﹣﹣2．【点评】本题是二次函数的综合题，利用了二次函数的解析式可以变形，勾股定理，以及三角函数，解一元二次方程等知识．16．（14.00分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．【分析】（1）要证明RQ是⊙O的切线只要证明∠OQR=90°即可；（2）先证明△BCP∽△AQP，从而得到PB•PQ=PC•PA，整理即可得到OB2=PB•PQ+OP2；（3）分别考虑当RA=OA时或与A重合时，∠B的度数，从而确定其取值范围．【解答】证明：（1）连接OQ；∵OB=OC，PR=RQ；∴∠OBP=∠OQP，∠RPQ=∠RQP；∵∠OBP+∠BPO=90°，∠BPO=∠RPQ；∴∠OQP+∠RQP=90°；即∠OQR=90°，∴RQ是⊙O的切线．证明：（2）延长AO⊙O交于点C；∵∠BPC=∠QPA，∠BCP=∠AQP，∴△BCP∽△AQP，∴PB•PQ=PC•PA=（OC+OP）（OA﹣OP）=（OB+OP）（OB﹣OP）=OB2﹣OP2，∴OB2=PB•PQ+OP2．解：（3）当RA=OA时，∠R=30°，易得∠B=15°，当R与A重合时，∠B=45°；∵R是OA延长线上的点，∴R与A不重合，∴∠B≠45°；又∵RA≤OA，∴∠B＜45°，∴15°≤B＜45°．【点评】此题考查了学生对切线的判定及相似三角形的判定等知识点的综合运用．17．（14.00分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．【分析】题目中的n个点中不妨设这两个点为A1、A2，则可以分当∠A2A1An≥180°﹣和当∠A2A1A n＜180°﹣两种情况进行讨论．根据三角形的内角和定理就可以证出．【解答】解：如图，在这n个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这两个点为A1、A2，其它各点按逆时针方向设为A3、A4、A n．（1）当∠A2A1A n≥180°﹣时，连接A2A n．在△A1A2A n中，∠A1A2A n+∠A1A n A2=180﹣∠A2A1A n≤则∠A2A1A n、∠A1A n A2中必有一个角不大于；（2）当∠A2A1A n＜180°﹣时，∠A2A1A3+∠A3A1A4+∠A4A1A5+…+∠A n﹣1A1A n＜180°﹣，则在这n﹣2个角中，必有一个角不大于设∠A i A1A i﹣1≤，则△A i A1A i﹣1即为所求三角形．【点评】本题的难度较大，分情况讨论是解题的关键．。

北京四中自主招生选拨考试数 学 试 卷本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．卷Ⅰ（选择题，共30分）注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写完整；考试结束，监考人员将试卷和草稿纸一并收回．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答在试卷上无效．一、选择题（共6小题，每题5分，共30分..以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x 的方程至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 2 、设满足下列等式：，则代数式的值是………………… （ ）A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算2230x ax a -+-=22<<-a 23≤<a 23≤<-a 23≤≤-a z y x 、、66633633)()(z x x y x z x x y x ---=-+-xyz z y x 3333-++3、A 、B 、C 、D 四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A 中奖，那么B 也中奖： 如果B 中奖，那么C 中奖或A 不中奖：如果D 不中奖，那么A 中奖，C 不中奖： 如果D 中奖，那么A 也中奖则这四个人中，中奖的人数是( )A 、1B 、2C 、3D 、4 4、如图，正方形的边，和都是以为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是 （ ）A ．B ．C ．D ．5、如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点，A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2014次相遇在边 （ ） A ．AB 上 B ．BC 上 C．CD 上 D ．DA 上6.用max{a ，b}表示a ，b 两数中的最大数，若函数y=｛x2-1,1-x 2｝，则y 的图象为ABCD 1=AB 112-π41π-13-π61π-ABC D卷Ⅱ（非选择题，共90分）注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上．二、填空题：（共6小题，每题5分，共30分.把答案 写在题中横线上）7. 若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省 ％(精确至1％)8. 二次函数y=2x 2+3x+5的图像关于直线y=-3对称的函数解析式为： 9. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线，直线和直线所围成的区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为，则的最小值为：10. 如图，四边形内接于以为直径的⊙，已知：，则线段的长为 。

yxO2017届北京四中九年级上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)1．剪纸是国家级非物质文化遗产，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为（ ） A ．5 B ．25C ．12D ．23．将抛物线24x y =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()3142++=x y B ．()3142+-=x yC ．()3142-+=x y D ．()3142--=x y4．如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°， 为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯， 使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯 AC 的长为（ ） A ．2m B ．2m C ．（2﹣2）m D ．（2﹣2）m5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =经过平移得到抛物线x x y 2212-=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是( ) A ．2 B. 4 C. 8 D. 166．如图，在网格中，小正方形的边长均为1， 点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ） A ．2B ．255C ．55D ．127．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90° 得到线段A′B′，则A （﹣2，5）的对应点 A′的坐标是（ ）A ．（2，5）B ．（5，2）C ．（2，﹣5）D ．（5，﹣2） 8．某抛物线的顶点为（2，﹣1），与x 轴相交于P 、Q 两点，若此抛物线通过（1，a ）、（3，b ）、（﹣1，c ）、（﹣3，d ）四点，则a 、 b 、c 、d 中最大值是（ ） A ．a B ．b C ．c D ．d9.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3 y﹣1353下列结论：（1）ac ＜0；（2）抛物线顶点坐标为（1，5）； （3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的个数为（ ） A ．4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个10.二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ） A ．8 B ．10- C ．42- D ．24- 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若︒<α<︒900,21tan =α,则=αsin . 12．已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为（—1，0），则它与x 轴的另一个交点为．13．长方体底面周长为50cm ，高为10cm ．则长方体体积y ）（3cm 关于底面的一条FEDCBA边长x ）（cm 的函数解析式是.其中x 的取值范围是. 14．将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，若OA=2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A′的坐标为______.第14题 第15题15．两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F ． 已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm ，则CF=_______ cm ． 16．定义：直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax 2+bx(a≠0)的关联直线. 根据定义回答以下问题：(1)已知抛物线y=ax 2+bx(a≠0)的关联直线为y=x+2, 则该抛物线的顶点坐标 为_________；(2)当a=1时, 请写出抛物线y=ax 2+bx 与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）：___________________________________.三、解答题（本题共72分，第23题6分，第26题4分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，其余每小题5分）17．计算: 20160+121-⎪⎭⎫⎝⎛−2sin 45°+tan 60°．18．如图，在△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD =30°． 求tan C 的值．19．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）20．已知：二次函数23y x bx=+-的图象经过点(25)A，．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k=-+的形式．21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2 O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．22．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠D ＝60°，35=AD ， AB ＝3，求BC 的长．23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元.（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24. 设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式； （2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围； （3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．EDCBA25．如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD ＝70o ， 求∠AEB 的度数。