2019年北京四中高考数学模拟试卷(文科)(二)(4月份)-解析版

2019年北京四中高考数学模拟试卷（文科）（二）（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2＞1}，那么（∁U A）∩B等于（）A. {x|-1＜x≤1}B. {x|-1＜x＜1}C. {x|x＜-1}D. {x|x≤-1}2.在复平面内，复数z）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知曲线C1：y=sin x，C2）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平C2C. 把C1C2D. 把C1C24.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（）A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：66.若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若α⊥β，m⊥β，则m∥αB. 若m∥α，n⊥m，则n⊥αC. 若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD. 若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）8.若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）=x（x＞0）；②f（x）=ln x（0＜x＜e）；③f（x）=cos x；④f（x）=x2-1．其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.曲线f（x）=xe x+2在点（0，f（0））处的切线方程为______．10.若变量x，y z=x+4y的最大值为______．11.将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m行的第n个数为a m，n，如a3，2，如a3，2=15，若a m，n=2019，则m+n=______．12.已知函数f（x）=|ln x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值是2______．13.设D为△ABCλ∈R），则λ=______．14.若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-m=0相切，则m的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.若数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0且2S n a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＞0（n∈N*），令b n{b n}的前n项和T n．16.（1）求ω和ϕ的值；（217.某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以如表：（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y（百件）与该天返还点数x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程y=bx+a，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将对返点点数的心理预期值在，）和，的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率．（参考公式及数据：①回归方程y=bx+a18.如图，四棱锥P一ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC∥AD，AB⊥AD，△PBD为正三角形．且PA（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；（2）若点P到底面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB∥平面ACE，求四面体A-CDE的体积．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C F1（0），F20），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB l的方程．20.已知函数g（x）=a ln x，f（x）=x3+x2+bx．（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2019年北京四中高考数学模拟试卷（文科）（二）（4月份）答案和解析【答案】1. C2. D3. C4. D5. A6. D7. C8. B9. y=x+210. 2811. 4412. e213. -314. -9或1115. 解：（1）当n=1时，2a1=2S1=a12+a1，则a1=1；当n≥2时，a n=S n-S n-1即（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，可得a n=-a n-1或a n-a n-1=1，可得a n=（-1）n-1或a n=n；（2）由a n＞0，则a n=n，b n即有前n项和T n+-+…-+--16. 解：（1得ω=2………………………………………………………………………………………（3分）∵∴…（5分）……………（6分）（2）由（1）知：………………………………………………………………（8分）……（10分）∴cos（cosα-sinα）12分）17. 解：（1）易知，∴==0.32，=-=1.04-0.32×3=0.08，则y关于x的线性回归方程为y=0.32x+0.08，当x=6时，y=2.00，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件…（6分）（2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人，x=2，y=4在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为A1，A2，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况如下：{A1，A2，B1}，{A1，A2，B2}，{A1，A2，B3}，{A1，A2，B4}，{A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B1，B4}，{A1，B2，B3}，{A1，B2，B4}，{A1，B3，B4}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}，{A2，B1，B4}，{A2，B2，B3}，{A2，B2，B4}，{A2，B3，B4}，{B1，B2，B3}，{B1，B2，B4}，{B1，B3，B4}，{B2，B3，B4}共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，12分）18. （1）证明：∵AB⊥AD，且AB=AD=2BD又，△PBD为正三角形，∴PB=PD=BD∵AB=2，PA∴AB⊥PB，又∵AB⊥AD，BC∥AD，∴AB⊥BC，PB∩BC=B，∴AB⊥平面PBC，又∵AB⊆平面PAB，∴平面平面PAB⊥平面PBC．……（6分）（2）如图，设BD，AC交于点O，∵BC∥AD，且AD=2BC，∴OD=2OB，连接OE，∵PB∥平面ACE，∴PB∥OE，则DE=2PE，由（1）点P到平面ABCD的距离为2，∴点E到平面ABCD的距离为h∴V A-CDE=V E-CDA×即四面体A-CDE…………（12分）19. 解：（1）由题意可设椭圆方程为∵焦点F1（0），F20），∴．a2-b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k m=3．将k m=3解得x y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），k＜联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，|x2-x1|=O到直线l的距离d，|AB2-x1△OAB的面积为S，（正值舍去），m=3．∴y解：（1）由f（x）=x3+x2+bx得f'（x）=3x2+2x+b因f（x）在区间[1，2]上不是单调函数所以f'（x）=3x2+2x+b在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，∴-16＜b＜-5…（4分）（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-ln x）a≤x2-2x．∵x∈[1，e]，∴ln x≤1≤x，且等号不能同时取，∴ln x＜x，即x-ln x＞0∴a a6分），求导得，当x∈[1，e]时，x-1≥0，0≤ln x≤1x+2-2ln x＞0，从而f′（x）≥0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，f（1）=-1，∴a≤-1．…（8分）（3）由条件，F（x）假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，…（9分）不妨设P（t，F（t）），t＞0则Q（-t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴-t2+F（t）（t3+t2）=0 （*），是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4-t2+1=0，此方程无解；…（12分）②若t＞1时，方程（*）为-t2+a ln t（t3+t2）=0，设h（t）=（t+1）ln t，（t＞1），则h′（x）=ln t，显然，当t＞1时，h′（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）【解析】1. 解：B={x|x＜-1，或x＞1}，∁U A={x|x≤1}；∴（∁U A）∩B={x|x＜-1}．故选：C．可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2. i+2所对应的点为（2，-1），该点位于第四象限故选：D．根据1=-i2点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3. 解：曲线C1：y=sin x，把C1得到y=sin2x，得到曲线C2故选：C．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4. 解：由茎叶图的性质得：在A中，第一种生产方式的工人中，有：的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟，故A正确；在B中，第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确；在C中，这40，故C正确；在D中，第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟，故D错误．故选：D．第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟．本题考查命题真假的判断，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设：正方体的棱长为2；下部为：2×2×2-2=6．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力．6. 解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥m，则n与α相交、平行或n⊂α，故B错误；在C中，若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则由线面平行的性质定理得m∥n，故D正确．故选：D．在A中，m∥α或m⊂α；在B中，n与α相交、平行或n⊂α；在C中，α与β相交或平行；由线面平行的性质定理得m∥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．7.设内切圆的半径为r，则5-r+12-r=13，解得r=2．∴内切圆的面积为πr2=4π，∴豆子落在内切圆外部的概率P故选：C．求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．8. 解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2，y1=ky2取等号），又函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足条件：|x1x2+y1y0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2、即存在点A、B与点O共线；设AB的方程为y=kx，对于①，由于y=kx（x＞0）与f（x）=x不是柯西函数；对于②，由于y=kx与f（x）=ln x（0＜x＜e）最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，所以③是柯西函数；对于④，取A（-1，0），B（1，0），均满足定义，所以④是柯西函数．故选：B．由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2由），A、B与点O共线，判断满足条件即可．本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．9. 解：f（x）=xe x+2的导数为f′（x）=（x+1）e x，可得曲线在点（0，f（0））处的切线斜率为1，切点为（0，2），可得在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+2，故答案为：y=x+2．求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．10. 解：变量x，y满足则目标函数不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x-y过点A时，z取得最大值，A（4，6）时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值4+4×6=28．故答案为：28．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+4y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．11. 解：根据上面数表的数的排列规律3、6、9、12、15是以3为首项，以3为公差的等差数列，其通项公式为a t=3t，由a t=2019=3t，解得t=673，前m当m=36=666，当m=37，∴m=37，∵673-666=7，∴n=7，即m+n=37+7=44故答案为：44根据上面数表的数的排列规律3、6、9、12、15是以3为首项，以3为公差的等差数列，可得2019是第673的数字，根据等差数列的求和公式可得m=37，即可求出n=7，问题得以及解决本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题．12. 解：∵f（m）=f（n），∴-ln m=l n n∴mn=1．∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，∴f（x）在区间[m2上的最大值为2，∴-ln m2=2，则ln m=-1，解得m∴n=e，e2，故答案为：e2．由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、ln m＜0、l n n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．本题考查了对数函数的性质，以及对数的运算性质，属于基础题．13. 解：D为△ABC整理得：，解得：=λ则：λ=-3；故答案为：-3．直接利用向量的线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．14. 解：圆x2+y2-6x-8y-m=03，4m=-9，，解得m=11．故答案为：-9或-11．由圆x2+y2-6x-8y-m=0，求出圆心和半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可．本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题．15. （1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，化简计算可得所求通项公式；（2）求得b n和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．16. （1）根据勾股定理列方程可解得ω=2，再根据对称中心列式可解得φ；（2）根据已知等式解得sinα，再得c osα，再由和角的余弦公式可得．本题考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．17. （1）求出平均数，求出相关系数，从而求出回归方程即可；（2）列举出所有的基本事件以及满足条件的事件，求出满足条件的概率即可．本题考查了求回归方程问题，考查转化思想以及概率求值，是一道常规题．18. （1）证明AB⊥PB，AB⊥BC，推出AB⊥平面PBC，然后证明平面平面PAB⊥平面PBC．（2）设BD，AC交于点O，连接OE，点P到平面ABCD的距离为2，点E到平面ABCD的距离为h V A-CDE=V E-CDA，转化求解四面体A-CDE的体积．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19. （1a2-b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4），解得k=-，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，O到直线l的距离d|AB2-x1△OAB的面积为S=解得k，（正值舍去），m=3．即可本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．20. （1）利用函数的导数在区间[1，2]上有极值，即可得到不是单调函数，求实数b的范围；（2）利用对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，转化为a的不等式，通过函数的最值，求实数a的取值范围；（3）b=0，设F（x）a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，通过构造函数以及函数的导数的单调性，判断方程的解从而说明三角形斜边中点在y轴上．本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的应用函数的单调性以及构造法的应用，难度比较大的综合题目．。

北京市西城区高三统一测试数学（文科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =ð（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-答案：B考点：集合的运算解析：U A =ð{|02}x x x ≤≥或， 所以，()U A B =ð{3,1,3}--2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：D考点：复数的运算，复数的几何意义。

解析：1i 2i z -=-＝(1i)(2+i)31555i -=-，对应的点为（31,55-），在第四象限。

3．下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）22y x x =+ （B ）12x y += （C ）31y x =+ （D ）(1)||y x x =- 答案：C考点：函数的单调性。

解析：（A ）22y x x =+的值域不是R ，是［－1，＋∞），所以，排除； （B ）12x y +=的值域是（0，＋∞），排除；（D ）(1)||y x x =-＝22,0,0x x x x x x ⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩，在（0，12）上递减，在（12，＋∞）上递增，不符。

只有（C ）符合题意。

4. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）9 答案：D考点：程序框图。

解析：第1步：S ＝－3，k ＝3；第2步：S ＝－12，k ＝5；第3步：S ＝13，k ＝7； 第4步：S ＝2，k ＝9，退出循环，此时，k ＝9 5. 在△ABC 中，已知2a =，1sin()3A B +=，1sin 4A =，则c ＝ （A ）4（B ）3（C ）83（D ）43答案：C考点：正弦定理。

北京市第四中学2019年高考第三次调研考试卷文科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,且,则可以是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为，所以得到且，根据选项可以确定a的值.【详解】解：因为，且集合,所以且,根据选项情况，由此可以判定只能选择C.【点睛】本题考查了集合间的关系、集合中元素的性质，解题时要注意集合元素的互异性这一隐含的条件.2.下列函数中,与函数的单调性和奇偶性相同的函数是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】可以判断函数是定义在R上的奇函数、单调增函数，从定义域角度可以分析出选项A、B、C均不能成立，由此可以得出正确选项。

【详解】解：函数的定义域为R，因为，所以得到为奇函数，又因为恒成立，故在R上为单调递增函数，选项A的定义域为，不成立，选项B的定义域为，不成立，选项C的定义域为，不成立，选项D的定义域为R，由于，所以函数为奇函数，又因为，所以为单调增函数，所以，选项D满足题意。

【点睛】本题考查了函数的基本性质，判断函数性质要遵循“定义域优先”的原则，特别是判断函数的奇偶性时，首先要判断定义域是否关于原点对称；函数的单调性则可以通过图像、导数等等方法进行判断。

3.已知分别为三角形ABC三个内角的对边,且,则三角形ABC中为A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以,即选C.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.等差数列中,前项和为,公差,且,若,则A. B. C.的值不确定 D.【答案】B【解析】因为，所以，即，因为，所以=-6，选B.6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】抠点法，在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,，故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7.已知直线与圆相交于、两点,是线段的中点,则点到直线的距离的最大值为A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】直线经过定点（-4,0），设，则点，将点B代入圆的方程，则得到点M的轨迹方程，分析轨迹方程可知点M的轨迹为圆，然后再利用直线与圆的知识解决问题。

市西城区高三统一测试数学（文科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =I ð （A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限[]（C ）第三象限[][（D ）第四象限3．下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是 （A ）22y x x =+ （B ）12x y +=[]（C ）31y x =+ （D ）(1)||y x x =-4. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）95. 在△ABC 中，已知2a =，1sin()3A B +=，1sin 4A =，则c = （A ）4 （B ）3（C ）83 （D ）436. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W （含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为 （A ）52，7- [][][][]（B ）52，52-（C ）7，52-（D ）7，7-8. 如果把一个平面区域两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为 （A ）2 （B ）4 （C ）22 （D ）26x OyW第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．设向量a ，b 满足||2=a ，||3=b ，,60>=o <a b ，则()⋅+=a a b ____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．能说明“在△ABC 中，若sin2sin2A B =，则A B =”为假命题的一组A ，B 的值是____． 12．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．13．设函数ln(2), ()1,24, 1.x x f x x x +⎧=⎨⎩---<-≥ 当()1f a =-时，a =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x b ≥，那么实数b 的取值围是____． 14．团体购买公园门票，票价如下表：购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a 和b ()a b ≥，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数a =____；b =____.侧(左)视图正(主)视图俯视图 221三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin (cos 3sin )f x x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π5π[,]312-上的最小值和最大值.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和(1)2n S n n =++，其中*n ∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2232,,k k a a a ++（k *∈N ）为等比数列{}n b 的前三项，求数列{}n b 的通项公式.17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值； （Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a =，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为21s ，试比较20s ，21s 的大小.（结论不要求证明）（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L ，其中x 为数据12,,,n x x x L 的平均数）乙12 07 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲18．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥，DC DE =.（Ⅰ）求证：AD CE ⊥； （Ⅱ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面ADQ ⊥平面BCE ？并说明理由．19．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值围．20．（本小题满分14分）已知椭圆W : 2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(1,0)P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）. （Ⅰ）求椭圆W 的方程及离心率； （Ⅱ）求四边形ACBD 面积的最大值；（Ⅲ）若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）DA BCEF市西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．D 5．C 6．C 7．A 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．710．311．答案不唯一，如60A =o ，30B =o 12．4313．32-；(,2]-∞-14．70；40注：第13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()sin cos 3sin f x x x x =-13sin 2(1cos2)22x x =-- ……………… 4分 π3sin(2)32x =+-， ……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期πT =. ……………… 8分（Ⅱ）因为π5π312x -≤≤，所以 ππ7π2336x -+≤≤． ……………… 9分所以当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值312-. 当ππ233x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-． ……………… 13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1n =时，114S a ==， ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得(1)2n S n n =++，○1 1(1)2n S n n -=-+，○2 由○1-○2，得2n a n =，其中2n ≥. ……………… 5分所以数列{}n a 的通项公式4, 1,2, 2.n n a n n =⎧=⎨⎩≥ ……………… 7分（Ⅱ）由题意，得22232k k a a a ++=⋅.……………… 9分 即2[2(2)]42(32)k k +=⨯+. 解得0k =（舍）或2k =.……………… 10分所以公比222k a q a +==. ……………… 11分 所以111122n n n n b b q a q --+===. ……………… 13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. ……………… 2分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. ……………… 4分 （Ⅱ）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M . … 5分由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为1A ，2A ；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为1B ，2B ，3B .则从所有的 “阅读达人” 里任取2人，所有可能结果有10种，即12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B . …… 7分而事件M 的结果有7种，它们是12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ， ……………… 8分所以7()10P M =. 即从所有的‘阅读达人’里任取2人，至少有1人来自甲组的概率为710. … 10分 （Ⅲ）2201s s >. ……………… 13分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD 为矩形，知AD CD ⊥. ……………… 1分又因为DE AD ⊥，DE CD D =I ， ……………… 2分 所以AD ⊥平面CDE .……………… 3分又因为CE ⊂平面CDE ，所以AD CE ⊥. ……………… 4分 （Ⅱ）由底面ABCD 为矩形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE . ……………… 6分 同理//AF 平面CDE ， 又因为AB AF A =I ，所以平面//ABF 平面CDE . ……………… 8分 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE . ……………… 9分（Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q （即BE 的中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE . … 10分证明如下：取CE 的中点P ，BE 的中点Q ，连接,,AQ DP PQ ，则//PQ BC . 由//AD BC ，得//PQ AD .所以,,,A D P Q 四点共面. ……………… 11分 由（Ⅰ），知AD ⊥平面CDE ， 所以AD DP ⊥，故BC DP ⊥.在△CDE 中，由DC DE =，可得DP CE ⊥. 又因为BC CE C =I ，所以DP ⊥平面BCE . ……………… 13分 又因为DP ⊂平面ADPQ所以平面ADPQ ⊥平面BCE （即平面ADQ ⊥平面BCE ）.即线段BE 上存在点Q （即BE 中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE . ……… 14分19．（本小题满分13分）DA BC EFPQ解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分 此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x (,1)-∞-1-(1,1)-1(1,)+∞()h x '-0 +0 -()h x↘极小值↗极大值↘所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数()g x 求导，得223()exx x g x -++'=. ……………… 9分 由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：x (2,1)--1- (1,3)-3(3,4)()g x '-0 +0 -()g x↘极小值↗极大值↘所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. …… 13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m == , 解得1m =. ……………… 1分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 2分故2a =，1b =，223c a b =-=. 所以椭圆W 的离心率32c e a ==. ……………… 4分 （Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =， 代入椭圆W 的方程，得3(1,)2C ，3(1,)2D -， 又因为||24AB a ==，AB CD ⊥， 所以四边形ACBD 的面积1||||232S AB CD =⨯=. ……………… 6分 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …… 7分 由题意，可知0∆>恒成立，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.………… 8分 四边形ACBD 的面积ABC ABD S S S ∆∆=+1211||||||||22AB y AB y =⨯+⨯ ……… 9分121||||2AB y y =⨯-122|()|k x x =-2222121222(31)2[()4]8(41)k k k x x x x k +=+-=+，设241k t +=，则四边形ACBD 的面积21223S t t =--+，1(0,1)t∈， 所以212(1)423S t=-++<.综上，四边形ACBD 面积的最大值为23. ……………… 11分 （Ⅲ）结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为4x =. ……………… 14分。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （文科） 2019.04 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. C3. D4. D5.B6. B7. C8. B 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 1 10. 6,11. 4812. (1,2)-（答案不唯一） 13.,22,[0,)+∞三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15.（共13分）解：（I ）因为522a a +=，2d =所以11252102a d a +=+=，所以14a =- 所以26n a n =-(II) 21()52m m a a mS m m +==- 又912a =，1524a =因为915,,m S a a 是等比数列，所以2915()m a S a =所以 2560m m --= 6,1m m ==- 因为*m ∈N ，所以6m =解：（Ⅰ）π(0)sin()cos014f a =+=12a += 所以1a =-（Ⅱ）()cos()cos 14f x x x π=--(2sin 2cos )cos 1x x x =+-22sin cos 2cos 1x x x =+-sin2cos2x x =+π)4x =+由图象得0ππ242x += 所以0π8x = 函数()f x 的单调增区间为31(ππ,ππ)88k k -+，k ∈Z解：（I ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE 11A B于是DEABAB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF 所以AB平面DEF(II) 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥ 又AC BC ⊥1BCCC C =，1,BC CC ⊂平面11C BC B所以AC ⊥平面11C BC BEF ⊂平面11C BC B所以AC EF ⊥ 又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥，所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ 而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC 所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C =，1,AC CB ⊂平面1ACB所以EF ⊥平面1ACB又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF（Ⅲ） 1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅=解：(Ⅰ) 人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%， 则3()10P A =（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为1234,,,a a a a ，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即12,a a从4个地区中任取2个地区共有6种情况，()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，()()()()()1213142324,,,,,,,,,a a a a a a a a a a则5()6P B =19．（共13分） 解：（Ⅰ）当6,0a x =>时，3215()6132f x x x x =-+-所以2'()56(2)(3)f x x x x x =-+=--， 令'()0,f x =得2x =，或3x =. 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在(0,+)∞上的单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)(Ⅱ)当0a <时，若0x <，则3215()132f x x x ax =---， 所以2'()5(5)f x x x a x x a =--=-- 因为0,0x a <<，所以'()0f x > 若0x >，则3215()132f x x x ax =-+-， 所以2'()5f x x x a =-+ 令'()0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x < 不妨设20x >，所以当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值20.（共13分）解：（Ⅰ）因为(2,0)A -，所以2a =因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b c = 又222b c a +=所以b c = ，所以椭圆方程为22142x y +=（Ⅱ）方法一： 设(,)m m M x y 1m MP m y k x =-，=2m AM m yk x + 1AM MP k k ⋅=-22112142m m m mm m y y x x x y ⎧⋅=-⎪-+⎪⎨⎪+=⎪⎩m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法二： 设(,)m m M x y ， 因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上， 又以AP 为直径的圆的圆心为1(,0)2-，半径为32，方程为2219()24x y ++=222219()24142m m m m x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，m mx y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法三：设直线AM 的斜率为k ，:(2)AM l y k x =+ ，其中 0k ≠22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得2222(12)8840k x k x k +++-=当0∆>时，228412A M k x x k -⋅=+得222412M k x k -=+ ，2421Mk y k =+ 显然直线,AM MN 存在斜率且斜率不为0.因为AM 与MN 垂直，所以222421=24112MPkk k k k+=--+1k=- 得212k =，2k =±， 0M x =所以2M AM + （Ⅲ）直线NQ 恒过定点(2,0) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意，设直线MN 的方程为1x my =+，由 221,240x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(2)230m y my ++-=，显然，0∆>，则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，因为直线PQ 与AM 平行，所以112PQ AM y k k x ==+， 则PQ 的直线方程为11(1)2y y x x =-+， 令52x =，则111133222(3)y y y x my ==++，即1135(,)22(3)y Q my + 121122112232(3)2635(3)(23)2NQ y y my my y y y k my my x -++-==+--， 直线NQ 的方程为12212221221263()2639my y y y y y x x m y y my my +--=-+--12211221222212211221263(263)(1)26392639my y y y my y y y my y x y m y y my my m y y my my +-+-+=-++--+--122112212212211221263215326392639my y y y my y y y x m y y my my m y y my my +-+-=-+--+-- 令0y =，得122112212153263my y y y x my y y y +-=+-因为121223()my y y y =+，故221829y x y ==， 所以直线NQ 恒过定点(2,0). 古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版页数：4页 题数：20题 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()U A Bð等于 CA .{|11}x x -<≤B .{|11}x x -<<C .{|1}x x <-C .{|1}x x -≤2. 在复平面内，复数12ii z +=对应的点位于 DA . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. 已知曲线1:y sinx C =，22:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是 CA ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C4. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是 DA . 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B . 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C . 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D . 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟. 5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A A . 3:1 B . 4:1 C . 5:1D . 6:16.若n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 DA ．若ββα⊥⊥m ,，则α//m ；B ．若m n m ⊥,//α，则α⊥n ；C ．若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα⊥；D ．若n m m =⊂βααβ ,,//，则n m // 7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 CA ．152π；B ．203π；C ．1521π-；D ．2031π-8. 若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：12x x y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x =+>； ②()()ln 0f x x x e =<<； ③()cos f x x =； ④()24f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为 B A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分． 9．曲线()2x f x xe =+在点()()0,0f 处的切线方程为 20x y -+= ．10．若变量,x y 满足则目标函数20,20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为28 ．11．将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m 行的第n 个数为,m na ，如3,215a =，若,2019m n a =，则m n += 44 ．12. 已知函数()|ln |f x x =，实数,m n 满足0m n <<，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值是2，则nm 的值为 xe .13．设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=__－3__．14．若圆221x y +=与圆22680x y x y m +---=相切，则m 的值为 911-或 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，()2*2n n nS a a n N =+∈． （1）求数列{}n a的通项公式；（2）若()*0n a n N >∈，令()12n n n b a a =+，求数列{}n b的前n 项和n T ．解：（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++．详细分析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-，即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+1(1)n n a -∴=-或n a n =（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++16.设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为），（012π，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124π2+.（1）求ω和ϕ的值；（2）若)2π0(4312π2(<<=+αα）f ，求)4πcos(+α的值．16.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω函数()f x x ωϕ=+）的图象的一个对称中心为），（012π∴2,12k k Zπϕπ⨯+=∈22πϕπ<<-∴6πϕ=-(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 3]6)122(2sin[3122(==-+=+αππαπα）f∴41sin =α20πα<<∴415cos =α∴8230411522)cos sin 22)4cos(-=-⨯=-=+ααπα（17. 某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y （百件）与该天返还点数x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据：①回归方程y=bx+a ，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bxx-nx∑∑；②5i i i=1x y =18.8∑.)17.（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555i i x ==++++=∑ ，ni ii=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑，a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯=则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. （2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人，由分层抽样的定义可知6301020x y ==，解得2,4x y ==在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：{}{}{}{}{}{}{}{}121122123124112113114123,,,,A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}{}{}{}{}124134212213214223224234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B {}{}{}{}123124134234,,,,,B ,,,,,,B B B B B B B B B B B 共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A ==18．如图，四棱锥P ABCD -中，22,BC//AD,AB AD,PBD AB AD BC ===⊥∆为正三角形．且PA =(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且//PB 平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．(1)证明：∵,2AB AD AB AD ⊥==，∴BD =又PBD ∆为正三角形，所以PB PD BD ===又∵2,AB PA ==AB PB ⊥， 又∵,//AB AD BC AD ⊥，∴,AB BC PBBC B ⊥=，所以AB ⊥平面PBC ，又因为AB ⊥平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PBC .6分 (2)如图，连接AC 交BD 于点O ，因为//BC AD ， 且2AD BC =，所以2OD OB =，连接OE ，因为//PB 平面ACE ，所以//PB OE ，则//2DE PE ， 由(1)点P 到平面ABCD 的距离为2，所以点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， 所以111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --∆⎛⎫===⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭， 即四面体ACDE -的体积为89.12分19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B两点．若OAB △的面积为，求直线l 的方程．（1）因为椭圆C 的焦点为12(FF ，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以222231143a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于()()0000,0,0P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640xy x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为)．②因为三角形OAB的面积为，所以1262AB OP=，从而7AB =． 设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,20024x x y =+，所以()()()()2222200201212222200048214y x x AB x x y y y x y -⎛⎫=-+-=+ ⎪+⎝⎭．因为22003x y +=， 所以()()2022216232491x AB x-==+，即42002451000x x -+=，解得()22005202x x ==舍去，则212y =，因此P 的坐标为22⎛ ⎝⎭．综上，直线l 的方程为y =+．20．已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx==++.(1)若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0b =时，设()()(),1,1f x x F x g x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．(1)由()32f x x x bx=++，得()232f x x x b'=++，因()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，所以()232f x x x b'=++在[]1,2上最大值大于0，最小值小于0，()221132333f x x x b x b ⎛⎫'=++=++-⎪⎝⎭， ∴()()max min 16050f x b f x b '⎧=+>⎪⎨'=+<⎪⎩，∴165b -<<-. (2)由()()22g x x a x≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-，∵[]1,e x ∈，∴ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min 2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭， 令()[]()22,1,e ln x x t x x x x -=∈-，求导得()()()()2122ln ln x x x t x x x -+-'=-，当[]1,e x ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e上是增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-.(3)由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩- 11 - 假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧， 不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠，∵POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ =，∴()()2320t F t t t -++= (*)是否存在,P Q 等价于方程(*)在0t >且1t ≠是否有解，①当01t <<时，方程(*)为∴()()232320t t t t t -+-++=，化简4210t t -+=，此方程无解； ②当1t >时，方程(*)为()232ln 0t a t t t -++=，即()11ln t t a =+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t '=++， 显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数， ∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解，∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上.。

北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，那么等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A,把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项A是错误的；对于选项B,把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线,所以选项B是错误的；对于选项C,曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项C是正确的；对于选项D,把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，所以选项D是错误的.故选：【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是( )A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：；下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为：．故选：A．【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.6.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则；B. 若，则；C. 若，则；D. 若，则【答案】D【解析】【分析】在中，则或；在中，则与相交、平行或；在中，则与相交或平行；由线面平行的性质定理得．【详解】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，，则由线面平行的性质定理得，故正确．故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】C【解析】【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得．内切圆的面积为，豆子落在内切圆外部的概率，故选：【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】本题首先可以求出曲线的导函数，然后将带入曲线中计算出纵坐标，再然后将带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果。

2019年北京大学附中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x∈R|3x+2＞0}，B＝{x∈R|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．{x∈R|x＜﹣1}B．C．D．{x∈R|x＞3}2．（5分）若函数是奇函数，则＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知平面向量，满足||＝3，||＝2，与的夹角为120°，若（+m）⊥，则实数m的值为（）A．1B．C．2D．34．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm35．（5分）若复数z1＝1+i，z2＝1﹣i，则下列结论错误的是（）A．z1•z2是实数B．是纯虚数C．|z|＝2|z2|2D．z＝4i6．（5分）若y＝8x﹣log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（4，+∞））7．（5分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y|＝2﹣x2围成的平面区域的直径为（）A．2B．4C．D．8．（5分）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）A．4B．5C．6D．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）抛物线x2＝4y的焦点到双曲线x2的渐近线的距离为．10．（5分）圆心为（1，0），且与直线y＝x+1相切的圆的方程是．11．（5分）已知实数x，y满足，若z＝mx+y（m＞0）取得最小值的最优解有无数多个，则m的值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边的角θ的终边经过点，则sinθ＝，tan2θ＝．13．（5分）已知点A（﹣a，0），B（a，0）（a＞0），若圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2上存在点C使得∠ACB＝90°，则a的最大为．14．（5分）如果函数f（x）满足：对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．在下列函数：①f（x）＝2x②f（x）＝x+1③f（x）＝x2④f（x）＝2x⑤f（x）＝ln|x|中所有“保等比数列函数”的序号为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣cos x，求函数g（x）在区间上的最小值．16．（13分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2＝b3＝4，a6＝b5＝16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．17．（13分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下．理科：79，81，81，79，94，92，85，89文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差：，其中为样本平均数）（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+a，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y＝f（x）与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）若a＝ln2e，证明：f（x）≤x；（Ⅲ）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求a的取值范围．19．（14分）过椭圆W：＝1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求B点坐标和直线l1的方程；（Ⅱ）求证：|EF1|＝|F1G|．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）若点M是棱P A的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．2019年北京大学附中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x∈R|3x+2＞0}，B＝{x∈R|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．{x∈R|x＜﹣1}B．C．D．{x∈R|x＞3}【解答】解：，B＝{x∈R|x＜﹣1，或x＞3}；∴A∩B＝{x∈R|x＞3}．故选：D．【点评】考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算．2．（5分）若函数是奇函数，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵x＞0时，，且f（x）为奇函数；∴．故选：A．【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，分段函数的概念．3．（5分）已知平面向量，满足||＝3，||＝2，与的夹角为120°，若（+m）⊥，则实数m的值为（）A．1B．C．2D．3【解答】解：∵||＝3，||＝2，与的夹角为120°，∴＝cos120°＝＝﹣3．∵（+mb）⊥，∴（+m）•＝＝32﹣3m＝0，解得m＝3．故选：D．【点评】本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．4．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm3【解答】解：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1×1×1＝1，三棱柱的底面是腰长是的直角三角形，高是1，∴三棱柱的体积是＝∴几何体的体积是1﹣＝故选：A．【点评】本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体各个部分的长度，本题是一个基础题．5．（5分）若复数z1＝1+i，z2＝1﹣i，则下列结论错误的是（）A．z1•z2是实数B．是纯虚数C．|z|＝2|z2|2D．z＝4i【解答】解：∵z1＝1+i，z2＝1﹣i，∴z1•z2＝1﹣i2＝2，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D错误．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．6．（5分）若y＝8x﹣log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（4，+∞））【解答】解：若y＝8x﹣log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无零点，即8x＝log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无解，则函数f（x）＝8x与h（x）＝log a x2＝2log a x，（a＞0且a≠1）在区间（0，]上没有交点，则当a＞1时，h（x）为增函数，此时两个函数在（0，]上没有交点，满足条件，当0＜a＜1时，当x＝时，f（）＝＝2，即A（，2），要使两个函数在（0，]上没有交点，则只需要当x＝时，h（）＞f（）＝2即可，此时2log a＞2，得log a＞1，得log a＞log a a，则＜a＜1，综上＜a＜1或a＞1，即实数a的取值范围是（，1）∪（1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件转化为两个函数图象没有交点以及利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y|＝2﹣x2围成的平面区域的直径为（）A．2B．4C．D．【解答】解：曲线|y|＝2﹣x2，等价于，如图：由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大：4，那么曲线|y|＝2﹣x2围成的平面区域的直径为：4．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，曲线的图形的画法，考查数形结合以及计算能力．8．（5分）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A不成立，B选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B不成立，C选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C成立，D选项：7＞6，故不为最少人数，故不成立，故选：C．【点评】本题考查了逻辑推理问题，关键掌握题干的意义，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）抛物线x2＝4y的焦点到双曲线x2的渐近线的距离为．【解答】解：抛物线的交点为F（0，1），双曲线x2的一条渐近线方程为：y＝x，即x﹣y＝0，∴F到渐近线的距离为d＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的性质，距离公式应用，属于中档题．10．（5分）圆心为（1，0），且与直线y＝x+1相切的圆的方程是（x﹣1）2+y2＝2．【解答】解：圆的半径为点（1，0）到直线直线y＝x+1的距离，即r＝＝，故圆的方程为（x﹣1）2+y2＝2，故答案为：（x﹣1）2+y2＝2．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，圆的标准方程，求出半径，是解题的关键，属于基础题．11．（5分）已知实数x，y满足，若z＝mx+y（m＞0）取得最小值的最优解有无数多个，则m的值为1．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝mx+y（m＞0）得y＝﹣mx+z，∵m＞0，∴目标函数的斜率k＝﹣m＜0．平移直线y＝﹣mx+z，由图象可知当直线y＝﹣mx+z和直线x+y+1＝0平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，∴m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边的角θ的终边经过点，则sinθ＝，tan2θ＝﹣．【解答】解：∵以Ox为始边的角θ的终边经过点，∴x＝，y＝，r＝1，∴sinθ＝＝，∴tanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝﹣，故答案为：；﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式，属于基础题．13．（5分）已知点A（﹣a，0），B（a，0）（a＞0），若圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2上存在点C使得∠ACB＝90°，则a的最大为．【解答】解：设C（2+cosα，2+sinα），∴＝（2++a，2+sinα），＝（2+﹣a，2+sinα），∵∠ACB＝90°，∴•＝（2+cosα）2﹣a2+（2+sinα）2＝0，∴a2＝10+4（sinα+cosα）＝10+8sin（α+）≤10+8＝18，（sin（α+）＝1时取等），∴0＜a≤3．故答案为：3．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．14．（5分）如果函数f（x）满足：对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．在下列函数：①f（x）＝2x②f（x）＝x+1③f（x）＝x2④f（x）＝2x⑤f（x）＝ln|x|中所有“保等比数列函数”的序号为①③．【解答】解：由等比数列性质知a n•a n+2＝，对于①，f（a n）•f（a n+2）＝2a n•2a n+2＝＝f2（a n+1），∴①正确；对于②，f（a n）•f（a n+2）＝（a n+1）•（a n+2+1）＝a n•a n+2+（a n+a n+2）+1＝+1+（a n+a n+2）≠f2（a n+1），∴②错误；对于③，f（a n）•f（a n+2）＝•＝＝f2（a n+1），∴③正确；对于④，f（a n）•f（a n+2）＝•＝≠＝f2（a n+1），④错误；对于⑤，f（a n）•f（a n+2）＝ln|a n|•ln|a n+2|≠ln||＝f2（a n+1），⑤错误；综上，正确的命题序号为①③．故答案为：①③．【点评】本题考查了等比数列性质及应用问题，也考查了新定义的应用问题，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣cos x，求函数g（x）在区间上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由图可得A＝1，，所以T＝2π，ω＝1．当时，f（x）＝1，可得，∵，∴．∴．（Ⅱ）∵＝．∵，∴．当，即x＝0时，g（x）有最小值为．【点评】本题主要考查了由函数的图象求解正弦函数的解析式，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质并能灵活应用．16．（13分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2＝b3＝4，a6＝b5＝16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2＝b3＝4，a6＝b5＝16．∴，解得a1＝1，d＝3，∴数列{a n}的通项公式a n＝3n﹣2．（Ⅱ）∵等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2＝b3＝4，a6＝b5＝16．∴，解得＝4，∴b2n﹣1＝＝（q2）n﹣1＝4n﹣1，∴b1+b3+b5+…+b2n﹣1＝＝．【点评】本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．17．（13分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下．理科：79，81，81，79，94，92，85，89文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差：，其中为样本平均数）（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．【解答】解：（1）根据题意，画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图，如图所示；（2）计算理科同学成绩的平均数是＝×（79+79+81+81+85+89+92+94）＝85，方差是＝×[（79﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+（81﹣85）2+（85﹣85）2+（89﹣85）2+（92﹣85）2+（94﹣85）2]＝31.25；计算文科同学成绩的平均数是＝×（73+80+80+81+84+90+90+94）＝84，方差是＝×[（73﹣84）2+（80﹣84）2+（80﹣84）2+（81﹣84）2+（84﹣84）2+（90﹣84）2+（90﹣84）2+（94﹣84）2]＝41.75；所以从统计学的角度分析，理科同学在此次模拟测试中发挥比较好；（3）成绩不低于90分的同学有理科2个，记为A、B，文科有3人，记为c、d、e；从中随机抽出3人，基本事件为ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde 共10种，抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学是ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde共9种，故所求的概率为P＝．【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差、概率的计算问题，是基础题．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+a，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y＝f（x）与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）若a＝ln2e，证明：f（x）≤x；（Ⅲ）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求a的取值范围．【解答】解：（I）求导．得f′（x）＝﹣1＝∵曲线y＝f（x）与x轴相切，∴此切线的斜率为0．由f′（x）＝0，解得x＝1，又由曲线y＝（x）与x轴相切，得f（1）＝﹣1+a＝0解得a＝1．证明（II）由题意，f（x）＝lnx﹣x+ln2e，令函数F（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣2x+ln2e求导，得F′（x）＝﹣2＝由F′（x）＝0，得x＝，当x变化时，F′（x）与F（x）的变化情况如下表所示：）（∴函数F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减，故当x＝时，F（x）max＝F（）＝ln﹣1+ln2e＝0，∴任给x∈（0，+∞），F（x）＝f（x）﹣x≤0，即f（x）≤x，（Ⅲ）由题意可得，g（x）＝，∴g′（x）＝，当g′（x）≥0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递增，当g′（x）≤0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递减，∴x﹣2lnx+1﹣2a≥0在（1，e）上恒成立，或x﹣2lnx+1﹣2a≤0在（1，e）上恒成立，∴2a≤x﹣2lnx+1在（1，e）上恒成立，或2a≥x﹣2lnx+1在（1，e）上恒成立，令h（x）＝x﹣2lnx+1，∴h′（x）＝1﹣＝，由h′（x）＝0，解得x＝2，当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（2，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（1）＝2，h（e）＝e﹣2+1＝e﹣1，∴h（x）max＝h（1）＝2∴h（x）min＝h（2）＝3﹣2ln2，∴2a≥2或2a≤3﹣2ln2，∴a≥1或a≤﹣ln2，∵函数在区间（1，e）上不是单调函数，∴﹣ln2＜a＜1，故a的取值范围为（﹣ln2，1）．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．19．（14分）过椭圆W：＝1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，﹣1）重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求B点坐标和直线l1的方程；（Ⅱ）求证：|EF1|＝|F1G|．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得直线l1的方程为y＝x+1．与椭圆方程联立，由可求．……………（4分）（Ⅱ）证明：当l2与x轴垂直时，C，D两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|＝|F1G|．当l2不与x轴垂直时，设C（x1，y1），D（x2，y2），l2的方程为y＝k（x+1）（k≠1）．由消去y，整理得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0．则，．由已知，x2≠0，则直线AD的方程为，令x＝﹣1，得点E的纵坐标．把y2＝k（x2+1）代入得．由已知，，则直线BC的方程为，令x＝﹣1，得点G的纵坐标．把y1＝k（x1+1）代入得．＝＝把，代入到2x1x2+3（x1+x2）+4中，2x1x2+3（x1+x2）+4＝．即y E+y G＝0，即|EF1|＝|F1G|..…………（14分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查设而不求转化思想的应用，分类讨论思想的应用．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）若点M是棱P A的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．【解答】证明：（Ⅰ）因为：AB∥CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，所以：AB∥平面PCD．（Ⅱ）法一：因为：平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD所以：AD⊥平面PCD．法二：在平面PCD中过点D作DH⊥CD，交PC于H，因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，DH⊂平面PCD，所以DH⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以DH⊥AD，又AD⊥PC，PC∩DH＝H，所以AD⊥平面PCD．（Ⅲ）法一：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，连接AC，取其中点N，在△P AC中，因为M，N分别为P A，CA的中点，所以MN∥PC，因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF与MN重合，所以点F在线段AC上，所以F是AC，BC的交点C，即MF就是MC，而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证．法二：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，显然F与点C不同，所以P，M，F，C四点在同一个平面α中，所以FC⊂α，PM⊂α，所以B∈FC⊂α，A∈PM⊂α，所以α就是点A，B，C确定的平面ABCD，且P∈α，这与P﹣ABCD为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证．【点评】本题主要考查了线面平行判定定理，面面垂直的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，考查了数形结合思想和反证法的应用，属于中档题．。

2019届中国人民大学附属中学高三4月月考数学（文）试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若集合,或,则( )A．B．C．D．2）A．0 B．1 C．2 D．43．已知平面向量,且,则实数的值是( ) A．B．C．D．或4．如图,网格纸上小正方形的边长为,若四边形及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点,则的最大值为( )A．B．C．D．5．已知是平面的一条斜线,直线过平面内一点,那么下列选项中能成立的是( ) A．,且B．,且C．,且∥D．,且∥6．已知圆截直线所得弦的长度为,则实数的值为( )A．B．C．D．7．某校高一年级有400名学生,高二年级有360名学生,现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生,则在高二年级中应抽取的学生人数为( )A．B．C．D．8．已知四边形ABCD为边长等于的正方形，PA⊥平面ABCD，QC∥PA，且异面直线QD 与PA所成的角为30°，则四棱锥Q－ABCD外接球的表面积等于( ) A．B．C．D．二、填空题9．命题“,”的否定是__________.10．若抛物线,则焦点的坐标是________.11．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88,89,90；乙组：87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________．12．在无穷数列中,为的前项和.若对任意,,则称这个数列为“有限和数列”,试写出一个“有限和数列”________.13．已知函数()()2sinf x xω=,其中常数0ω>;若()y fx=,则ω的取值范围__________。

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.已知A={|}，B={|}，则A∪B =A. {|或}B. {|}C. {|}D. {|}【答案】D【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到B={|}=，再根据集合的并集运算得到结果.【详解】B={|}=,A={|},则A∪B ={|}.故答案为:D.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．2.设，则（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】直接把代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由，得.故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点为，则双曲线的一个焦点为，即，设双曲线的方程为，则，由，，则双曲线的方程为，选B.4.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线与直线平行，∴直线化为：.∴它们的距离为.本题选择A选项.5.已知双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为双曲线的实轴长为，所以，解得舍去），，该双曲线的渐近线的斜率为，故选C.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数f（x）为偶函数，，排除B,D ，再由函数的特殊值确定答案．【详解】令f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C，A项满足.【点睛】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．7.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为：.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（）A. 15B. 16C. 17D. 14【答案】C【解析】【分析】由题意可得，，且，由等差数列的性质和求和公式可得结论．【详解】∵等差数列的前项和有最大值，∴等差数列为递减数列，又，∴，，∴，又，，∴成立的正整数的最大值是17，故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．9.半径为1的圆内切于正方形，正六边形内接于圆，当绕圆心旋转时，的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】以为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得，设与的反向延长线成角，即有，，，运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围．【详解】以为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得，设与的反向延长线成角，即有，，，则，当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值．即有的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的范围，考查坐标法的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题（二）教师版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，那么等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，，.故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线，，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A,把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项A是错误的；对于选项B,把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线,所以选项B是错误的；对于选项C,曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以选项C是正确的；对于选项D,把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，所以选项D是错误的.故选：【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是( )A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：；下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为：．故选：A．【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.6.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则；B. 若，则；C. 若，则；D. 若，则【答案】D【解析】【分析】在中，则或；在中，则与相交、平行或；在中，则与相交或平行；由线面平行的性质定理得．【详解】由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则与相交或平行，故错误；在中，若，，，则由线面平行的性质定理得，故正确．故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. ；B. ；C. ；D.【答案】C【解析】【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得．内切圆的面积为，豆子落在内切圆外部的概率，故选：【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解.【详解】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】本题首先可以求出曲线的导函数，然后将带入曲线中计算出纵坐标，再然后将带入曲线的导函数中求出曲线在这一点处的切线斜率，最后根据点斜式方程即可得出结果。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）2019.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。

(1)已知集合{}02P x x =≤≤，且M P ⊆，则M 可以是 (A) {}0,1 (B) {}13， (C) {}1,1- (D) {}0,5答案：A考点：集合的运算。

解析：依题意，M 是P 的子集，只有A 符合。

(2)若0x 是函数21()log f x x x=-的零点，则 (A) 010x -<< (B) 001x << (C) 012x << (D)024x <<答案：C考点：函数的零点。

解析：因为f （1）＝－1，f （2）＝12，即f （1）•f （2）＜0， 所以，函数在（1,2）内有零点，所以，012x <<(3若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+ 答案：D考点：三角函数的符号、诱导公式。

解析：角α的终边在第二象限，sin(+)2πα＝cos α＜0，A 不符；s(+)2co πα＝sin α-＜0，B 不符；sin()πα+＝sin α-＜0，C 不符； s()co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确。

(4)已知a b <，则下列结论中正确的是(A) 0,c a b c ∀<>+ (B) 0,c a b c ∀<<+ (C) 0,c a b c ∃>>+ (D) 0,c a b c ∃><+答案：D考点：不等式的性质。

解析：（A ）不一定成立，如a ＝1，b ＝10，c ＝－1，a b c >+不成立；（B ）也不一定成立，如a ＝9.5，b ＝10，c ＝－1，a b c <+不成立； （C ）不成立，因为a b <，0c >，所以，a b c <+恒成立，因此（D ）必正确(5)抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线形上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4答案：B考点：抛物线的性质。

……○………_______班级：_______……○………绝密★启用前 北京市第四中学2019届高三高考调研卷文科数学试题（一) 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合 ， ，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．复数 的虚部是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．阅读如图所示的程序框图，若输入a 的值为178，则输出的k 值是（ ）…………装…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※…………装…………○…………A．9 B．10 C．11 D．125．已知三棱柱HIG EFD-的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示，A，B，C分别是GHI∆三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．6．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了A．60里B．48里C．36里D．24里7．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosb a C C⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，2a=，c=C=（）A．34πB．3πC．6πD．4π8．已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A．或B．或C．D．…○……………订…………○…※※请※※不线※※内※※答※※题※※ …○……………订…………○…第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 9．若变量x ， y 满足不等式组20,{5100, 80,x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2y z x =+的最大值为__________． 10．如图，有5个全等的小正方形， ，则 的值是__________．11．已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ===， 4AB =，则球O 的表面积为__________．12．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地， ABC ∆外的地方种草， ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =， ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定， θ变化时，则12SS 的最小值是__________．13．如图所示，格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是__________．…线…………○………线…………○…… 14．已知首项为2的数列{}n a 的前n 项和n S 满足： ()()*12210n n S a n N +-+=∈，记()()()*123112n n a f n n n N -=-+-∈，当()f n 取得最大值时， n 的值为__________．三、解答题 15．设数列{}n a 的前n 项之和为13322n n S +=-，数列{}n b 满足2132113(21)log n n n b n a -+=+-。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）2019.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。

(1)已知集合{}02P x x =≤≤，且M P ⊆，则M 可以是 (A) {}0,1 (B) {}13， (C) {}1,1- (D) {}0,5答案：A考点：集合的运算。

解析：依题意，M 是P 的子集，只有A 符合。

(2)若0x 是函数21()log f x x x=-的零点，则 (A) 010x -<< (B) 001x << (C) 012x << (D)024x <<答案：C考点：函数的零点。

解析：因为f （1）＝－1，f （2）＝12，即f （1）•f （2）＜0， 所以，函数在（1,2）内有零点，所以，012x <<(3若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+ 答案：D考点：三角函数的符号、诱导公式。

解析：角α的终边在第二象限，sin(+)2πα＝cos α＜0，A 不符；s(+)2co πα＝sin α-＜0，B 不符；sin()πα+＝sin α-＜0，C 不符；s()co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确。

(4)已知a b <，则下列结论中正确的是(A) 0,c a b c ∀<>+ (B) 0,c a b c ∀<<+ (C) 0,c a b c ∃>>+ (D) 0,c a b c ∃><+答案：D考点：不等式的性质。

解析：（A ）不一定成立，如a ＝1，b ＝10，c ＝－1，a b c >+不成立；（B ）也不一定成立，如a ＝9.5，b ＝10，c ＝－1，a b c <+不成立； （C ）不成立，因为a b <，0c >，所以，a b c <+恒成立，因此（D ）必正确(5)抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线形上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4答案：B考点：抛物线的性质。

2019年4月北京市西城区高三二模数学试题（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ） （A ）1i22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ） （A ）① ② （B ）③ ④ （C ）① ③ （D ）② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①2x y =； ②2xy =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂. 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是(5,0)，则其渐近线的方程为（ ） （A ）14y x =± （B ）4y x =± （C ）12y x =±（D ）2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x <，12s s < （C ）12x x >，12s s < （D ）12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A ）7层 （B ）8层（C ）9层（D ）10层8．已知集合1220{,,,}A a a a =，其中0(1,2,,20)k a k >=，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）（A ）210个 （B ）200个（C ）190个（D ）180个第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在△ABC 中，3BC =，2AC =，π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}， 那么⊥a b 的概率是_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形；③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是62. 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数()sin()3cos()f x x x ωϕωϕ=+++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-．AD CB E（Ⅰ）求ω与ϕ的值； （Ⅱ）若554)4(=αf ，求αααα2sin sin 22sin sin 2+-的值．17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最 大值．20．（本小题满分14分）若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N ，则称12n a a a ⨯⨯⨯为N 的一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()N k a k ∈中2的个数不超过2； （Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n =，使得N 的分解积最大．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．π4； 10．2-； 11．16； 12．0，{|12}x x <<； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分GF OADCB E所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++21(31)(1)2n n n c c c --=+++++． ………………10分从而当1=c 时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c--=+-． ………………13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分 设()f x 的最小正周期为T ．由图可得 πππ()2442T =--=，所以 πT =，2=ω． ………………4分 由 2)0(=f ，得 πsin()13ϕ+=，因为 ππ(,)22ϕ∈-，所以 π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos 22f x x x =+=． ………………8分由 5542cos2)4(==ααf ，得 5522cos =α， ………………9分 所以 5312cos 2cos 2=-=αα． ………………11分 所以2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． ………………13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分因为 AB ∥CD ，CD AB 2=， 所以 BO ∥CD ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以DO AB ⊥． ………………4分因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ………………5分 所以 ED AB ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，AB FG 21=． 因为AB ∥CD ，AB CD 21=，所以FG ∥CD ，CD FG =． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分 因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分 所以 DF // 平面BCE ． ………………13分 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分 由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分 （Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a =，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞．………………13分 综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a +∞单调递减；在1(,)a a-单调递增.x1(,)x -∞ 1x 12(,)x x2x 2(,)x +∞ ()f x ' -+-()f x↘1()f x ↗2()f x ↘x2(,)x -∞2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞()f x ' +-+()f x↗2()f x↘1()f x↗0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解： 由 222222213a b b e a a -==-=， 得 13b a =． ① ………………2分 由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b +=． ② ………………3分 联立① ②，解得 1b =，3a =． …………4分所以椭圆C 的方程是 2213x y +=． …………5分 （Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得 0912)31(22=+++kx x k ． ………………7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k =+． ……………9分 所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=-． ………………10分 因为 22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设 21(0)k t t -=>， 则 21223636363()16(34)4169242924t x x t t t t t-==≤=+++⨯+． ……………13分 当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值23． ………………14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ………………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ………………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． ………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n =中可以有2个2． ………………4分当(1,2,,)k a k n =有3个或3个以上的2时，因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯，所以，此时分解积不是最大的．因此，*()N k a k ∈中至多有2个2． ………………7分 （Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n =中有1时，因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ② 由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n =中至多有2个2．③ 当(1,2,,)k a k n =中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大． 因此，(1,2,,)k a k n =中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分 ④ 当(1,2,,)k a k n =中有大于4的数时，不妨设4i a >，因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n =中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++个使得分解积最大； …………12分当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++个个使得分解积最大； ………………13分 当32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++个使得分解积最大．………………14分。