北京四中高二(上)期中数学试卷

2023北京四中高二（上）期中数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ）A．B．C．D．﹣12．已知点A（﹣2，3，0），B（1，3，2），，则点P的坐标为（ ）A．（4，3，4）B．（﹣4，﹣1，﹣4）C．（﹣1，6，2）D．（﹣5，3，﹣2）3．已知直线方程kx﹣y﹣2k＝0，则可知直线恒过定点的坐标是（ ）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）4．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是1，O为A1C1中点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，则（ ）A．x＝1，y＝1B．x＝1，C．，D．，y＝15．“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y＝1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（ ）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝5B．C．（x﹣3）2+（y﹣8）2＝50D．（x﹣3）2+y2＝28．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD中心，A1P＝λA1B1（λ∈[0，1]），直线OP与平面ABC所成角为θ，则θ取最大时λ的值为（ ）A．B．C．D．9．A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，若沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A、B两点间的距离是（ ）A．6B．C．D．10．点M（x0，y0）到两条直线：x+3y﹣2＝0，x+3y+6＝0距离相等，y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若向量与向量共线，则x的值为 ．12．（5分）直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0之间的距离是 ．13．（5分）以A（2，3），B（4，9）为直径的两个端点的圆的方程是 ．14．（5分）在空间四边形ABCD中，＝ ．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC 上滑动，点E在棱BB1上滑动，给出下列四个结论：①三棱锥C1﹣A1DE的体积不变；②A1D+DB的最小值为；③点D到直线C1E的距离的最小值为；④使得A1D⊥C1E成立的点D、E不存在．其中所有正确的结论为 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（13分）已知点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）．（1）求△ABC的面积；（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，求直线l的方程．17．（13分）如图，在△ABC中，，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）平面A1OB⊥平面BCED；（2）若F为A1C的中点，求点F到面A1OB的距离．18．（14分）已知直线l过点P（2，3），圆C：x2+4x+y2﹣12＝0．（1）求与圆C相切的直线l的方程；（2）当直线l是圆C的一条对称轴，交圆C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于D，E两点，求|DE|．19．（15分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，|CD|＝|DA|＝|AF|＝|FE|＝2，|AB|＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求二面角C﹣BF﹣A的余弦值；（3）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．20．（15分）已知圆和圆（r＞0）．（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．21．（15分）对于n维向量A＝（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i＝0或a i＝1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）＝．（Ⅰ）若A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1＝（1，1，1，1，1）且满足：d（A i，A i+1）＝2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若且满足：d（A i，A i+1）＝m，m∈N*，i＝1，2，3，…，若存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【答案】D【分析】利用斜率公式求解．【解答】解：因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为．故选：D．2．【答案】A【分析】设P（x，y，z），表示出、，即可得到方程组，解得即可．【解答】解：设P（x，y，z），因为A（﹣2，3，0），B（1，3，2），所以，，因为，所以（x+2，y﹣3，z）＝2（3，0，2），所以，解得，即P（4，3，4）．故选：A．3．【答案】B【分析】依题意可得（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得即可．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k＝0，即（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得，所以直线kx﹣y﹣2k＝0恒过点（2，0）．故选：B．4．【答案】C【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．【解答】解：依题意＝＝，又，所以，．故选：C．5．【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可．【解答】解：当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a+a（a+2）＝0，得a2+3a＝0，解得a＝0或a＝﹣3，所以当a＝﹣3时，直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直，而当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a＝0或a＝﹣3，所以“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．6．【答案】C【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a＝tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a＝tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．7．【答案】D【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得k BC＝﹣1，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在AB的垂直平分线x＝3上，由此可求得a，b的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解．【解答】解：设圆心C（a，b），因为直线x﹣y＝1与圆C相切于点B（2，1），所以，即a+b﹣3＝0，因为AB中垂线为x＝3，则圆心C满足直线x＝3，即a＝3，∴b＝0，所以半径，所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝2．故选：D．8．【答案】A【分析】在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，即可得到∠POP1即为线OP与平面ABC所成角，且，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，从而求出（tanθ）max，即可得解．【解答】解：在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，由正方体的性质可知PP1⊥平面ABCD，则∠POP1即为直线OP与平面ABC所成角，则，设正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱长为2，则，所以当OP1＝1时（tanθ）max＝1，此时θ取最大值，P1为AB的中点，又A1P＝λA1B1，所以当时θ取最大值．故选：A．9．【答案】C【分析】求出沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影C的坐标，作BD ⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），然后利用空间向量表示，利用向量的模的性质进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，∴y1＝﹣，y2＝2，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影为C（1，0），作BD⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），∴＝++，∴＝+++2•+2•+2•＝3+9+12﹣2××2×＝18，∴||＝3．故选：C．10．【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式得到x0+3y0+2＝0，结合y0＜x0+2求出x0，再由x0≠0及计算可得．【解答】解：依题意，所以x0+3y0+2＝0，即，又y0＜x0+2，所以，解得x0＞﹣2，显然x0≠0，所以，当﹣2＜x0＜0时，所以，当x0＞0时，所以．综上可得．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．【答案】3．【分析】利用向量共线定理求解．【解答】解：因为向量与向量共线，所以，解得x＝3．故答案为：3．12．【答案】．【分析】由平行线间的距离公式可求得结果．【解答】解：易知直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0平行，这两条直线间的距离为．故答案为：．13．【答案】（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可．【解答】解：易知该圆圆心为A（2，3），B（4，9）的中点C（3，6），半径，所以该圆方程为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．14．【答案】见试题解答内容【分析】如图：设；由向量的加、减运算知：，，代入上式即得结论．【解答】解：如图，设＝，＝，＝，则，＝，＝，＝．所以，＝＝0故答案是：015．【答案】①②③．【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC 于点D，此时A1D+DB取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得③，利用，即可判断④．【解答】解：∵BB1⊥平面ABC，对于①：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又CC1⋂AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又点D在棱AC上滑动，∴，∴，∴三棱锥C1﹣A1DE的体积不变，故①正确；对于②：如图将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC于点D，此时A1D+DB取得最小值，∵A1C1＝CC1＝2，BC＝1，∴A1B＝＝，∴A1D+DB的最小值为，故②正确；对于③：如图建立空间直角坐标系，设D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），∴，，则点D到直线C1E的距离d＝＝＝，当c＝2时，，当0≤c＜2时，0＜（c﹣2）2≤4，∴，∴，∴，∴∈（0，]，∴当取最大值，且a2＝0时，，即当D在C点E在B点时，点D到直线C1E的距离的最小值为，故③正确；对于④：A1（2，0，2），，，∴，∵c∈[0，2]，∴当c＝2时，，∴，即A1D⊥C1E，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．【答案】（1）；（2）3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．【分析】（1）求出三角形的三边长，并求其中一个角的余弦值，代入公式即可求得面积．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，代入求解即可．【解答】解：（1）由点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）可得，，，，在△ABC中，，所以，△ABC的面积为．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，当过点C的直线l与平行时，，则直线方程为3x+4y﹣26＝0；当过点C的直线l过AB的中点，AB的中点坐标，，所以直线方程为，即3x+14y﹣46＝0．所以直线方程为3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．17．【答案】（1）证明过程请见解答；（2）．【分析】（1）由A1O⊥DE，平面A1DE⊥平面BCED，可知A1O⊥平面BCED，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）作DP⊥BC于P，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离，即可得解．【解答】（1）证明：由题意知，A1D＝A1E，因为点O是DE的中点，所以A1O⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED，又A1O⊂平面A1OB，所以平面A1OB⊥平面BCED．（2）解：作DP⊥BC于P，则BP＝1，因为DE∥BC，所以DP⊥DE，以D为坐标原点，DP，DE所在直线分别为x，y轴，作Dz⊥平面BCED，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，2），O（0，1，0），B（2，﹣1，0），C（2，3，0），因为F为A1C的中点，所以F（1，2，1），所以＝（0，0，2），＝（2，﹣2，0），＝（1，1，1），设面A1OB的法向量为＝（x，y，z），则，即，取x＝1，则y＝1，z＝0，所以＝（1，1，0），故点F到面A1OB的距离为＝＝．18．【答案】（1）x＝2或7x+24y﹣86＝0；（2）10．【分析】（1）将圆的方程化为标准式，再分斜率存在与不存在两种情况讨论；（2）依题意直线l过圆心C，即可求出直线l的方程，即可得到，利用锐角三角函数求出|AD|，从而求出|CD|，从而得解．【解答】解：（1）圆C：x2+4x+y2﹣12＝0，即（x+2）2+y2＝16，所以圆心C（﹣2，0），半径r＝4，当斜率不存在时直线的方程为x＝2，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0，则，解得，所以切线方程为7x+24y﹣86＝0，综上可得切线方程为x＝2或7x+24y﹣86＝0．（2）因为直线l是圆C的一条对称轴，所以直线l过圆心C，则直线l的方程，即3x﹣4y+6＝0，则，又，即，所以|AD|＝3，则，同理可得|CE|＝5，所以|DE|＝10．19．【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．【分析】（1）先证明四边形CDFE为平行四边形，从而得到DF∥CE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，证明AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）利用待定系数法求出平面ACE的法向量，利用向量垂直的坐标表示，证明平面ACE与平面BCF不可能垂直，即可得到答案．【解答】（1）证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE，因为DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以DF∥平面BCE；（2）解：在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．由题意得，A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），E（0，3，），F（0，1，），所以＝（2，﹣2，0），＝（0，﹣3，），设平面BCF的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝1，则x＝1，z＝，所以＝（1，1，），平面ABF的一个法向量为＝（1，0，0），则cos＜，＞＝＝，所以平面CBF和平面BFA的夹角的余弦值为；（3）解：线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：设平面ACE的法向量为＝（a，b，c），所以，令b＝1，则a＝﹣1，c＝﹣，所以＝（﹣1，1，﹣），因为•＝﹣1+1﹣3≠0，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．20．【答案】（1）（﹣2，+2）；（2）k＝；（3）（，）或（，）．【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求r的取值范围；（2）联立直线与圆C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；（3）由两圆半径相等，两直线11和12截得圆C1和圆C2，弦长相等可得弦心距相等，得＝，转化为求方程组的解即可．【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，|C1C2|＝＝，∵圆C1与圆C2相交，∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|＜＜r+2，解得：﹣2＜r＜+2，∴r∈（﹣2，+2）．（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与圆C1联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，由Δ＞0得k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，∵，∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，∴5+﹣3＝0，解得：k＝，∵k2＜，∴k＝．（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m），即kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣x﹣y+n+＝0，由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，则＝，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，则有或，故P（，）或（，）．21．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，求d（A，B）的值．（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，可得d（A，B）＝4．…（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…A n，使得A1＝（1，1，1，1，1），A m＝（0，0，0，0，0）．因为向量A1＝（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设A1的第i（i＝1，2，3，4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）＝2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2）﹣1次，此数为奇数．又因为，说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i+1，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）（Ⅲ）存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，此时m＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）。

高二数学 期中测试卷试卷分为两卷，A 卷100分，B 卷50分，共计150分考试时间：120分钟A 卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 不等式302x x -<+的解集为 A. {}23x x -<< B. {}2x x <- C. {}23x x x <->或 D.{}3x x > 2. 已知数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且12a =，那么3a =A ． 4B ．5C ．6D ．7 3. 下列命题中的假命题．．．是 A. R x ∀∈,30x > B. R x ∃∈，使tan 2x = C. R x ∀∈，20x > D. R x ∃∈，使lg 0x =4. 已知等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =，则{}n a 的前5项和等于 A. 15- B. 17- C. 15 D. 175. 若0<<b a ，则下列不等式中成立的是A ．22b a <B ．1<b aC ．ba 11< D ．b a 11>6. 设2:4P a =, :2Q a =，则P 是Q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +> B．a b +≥ C．11a b +> D ．2b a a b +≥8. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-，则n S 取最小值时的n 为A. 6B. 7C. 8D. 99. 函数9πtan (π)tan 2y x x x =+<<的最大值为 A. 6 B. 9 C.6- D. 9- 10. 已知常数(0,1)k ∈，数列{}n a 满足()N n n a n k n *=⋅∈. 下面说法正确的是①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；③当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项；④当1k k -为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．命题“x ∀∈R ，210x ->”的否定是_____．12．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则公比q =_____，42SS =_____．13．若正数,a b 满足141a b +=，则a b +的最小值等于_____．14. 已知函数()f x 的对应关系如下表所示：数列{}n a 满足113,()n n a a f a +==，则4a =_____, 2019a =_____.15. 能够说明“设,,a b c 是任意实数. 若a b c >>，则a b c +>.”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_____.三．解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 16．（本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足13b =，245b a a =+，求{}n b 的前n 项和公式． 17．（本小题满分10分）已知函数2()4f x x ax =+-．（Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x <；（Ⅱ）若不等式()50f x +>的解集为R ，求实数a 的取值范围. 18. （本小题满分10分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，581b =，11a b =，144a b =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．B 卷一．选填题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 1.若0,0m n <>且0m n +<，则A. m n n m <-<<-B. n m m n -<<-<C. m n m n <-<-<D.n m n m -<<<-2.设}{n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1≠q , 且0(1,2,3,)n b n >= . 若11b a =,1111b a =，则6a 与6b 的大小关系为A ．66b a =B ．66b a >C ．66b a <D ．不确定 3.已知数列}{n a 满足143n n a a n ++=+，则12020a a +=A ．4043B ．4046C ．4047D ．40494.已知数列}{n a 满足43n n a S =-，n ∈N *，则13521n a a a a +++++=_____．5.若0,0a b >>, 则不等式1b a x-<<的解集．．是_____． 6.已知0a b >>, 则224a b ab--的最小值是_____． 7. 有穷数列*{}(,12)n a n N n ∈≤满足1||1n n a a +-=，且1412,,a a a 成等比数列. 若1121,4a a ==，则满足条件的不同数列{}n a 的个数为_____．二．解答题（本大题共2小题，共22分） 8．（本小题满分10分）已知二次函数()2f x ax bx =+，()14f -=-，恒有()62f x x ≤+. 数列{}n a 满足()1n n a f a +=，且102n a <<(n ∈N *). （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）证明：数列{}n a 单调递增； （Ⅲ）记121ni n i a a a a ==⋅⋅∏. 若113a =，求1(12)ni i a =-∏.9．（本小题满分12分）给定数列12,,,n a a a . 对1,2,3,,1i n =-，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++的最小值记为i B ，i i i d A B =-.（Ⅰ）设数列{}n a 为3,4,7,1. 写出123,,d d d 的值； （Ⅱ）设12,,,(4)n a a a n ≥是公比大于1的等比数列，且10a >. 证明121,,,n d d d -是等比数列；（Ⅲ）若1210n d d d -====，证明{}n a 是常数列.参考答案A 卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 16．（本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足13b =，245b a a =+，求{}n b 的前n 项和公式． 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为366,0a a ==，所以112650a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得110,2a d ==-.所以10(1)(2)212n a n n =+-⋅-=-+.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为24516,3b a a b =+==，所以36q =，即2q =.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)3(21)1n n n b q S q-==--. 17．（本小题满分10分）已知函数2()4f x x ax =+-．（Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x <；（Ⅱ）若不等式()50f x +>的解集为R ，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）由2()340f x x x =+-<得(4)(1)0x x +-<， 由二次函数的图象，得原不等式解集为{|41}x x -<<. （Ⅱ）若不等式()50f x +>的解集为R ，因为抛物线2()()51g x f x x ax =+=++开口向上，所以只需240a ∆=-<，解得22a -<<.故()50f x +>解集为R 时，实数a 的取值范围为(2,2)-. 18．（本小题满分10分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且25111443,81,,b b a b a b ====． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）等比数列{}n b 的公比35281273b q b ===，故3q =. 所以211b b q==，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==， 所以11327d +=，即2d =． 所以*21()n n a N n =∈-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-，13n n b -=，从而1(21)3n n c n -=-⋅．由于123n n T c c c c =++++L ，即 2113353(21)3n n T n -=+⨯+⨯++-⋅L （1） 则23333353(21)3n n T n =+⨯+⨯++-⋅L （2）由（1）-（2）得23111212(3333)(21)33(13)12(21)31313(31)(21)32(22)3n nn n nn n nT n n n n ----=+⨯++++--⋅⨯-=+⨯--⋅-=+⨯---⋅=---⋅L所以(1)31n n T n =-⋅+.B 卷一．选填题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）二．解答题：（本大题共2小题，共22分） 8．（本小题满分10分）已知二次函数()2f x ax bx =+，()14f -=-，恒有()62f x x ≤+. 数列{}n a 满足()1n n a f a +=，且102n a <<(n ∈N *). （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）证明：数列{}n a 单调递增； （Ⅲ）记121ni n i a a a a ==⋅⋅∏. 若113a =，求1(12)ni i a =-∏.解：（Ⅰ）由()14f -=-得4a b -=-，即4b a =+；因为()62f x x ≤+恒成立，即2(6)20ax b x +--≤恒成立， 即2(2)20ax a x +--≤恒成立，从而22(2)8(2)0a a a ∆=-+=+≤，所以2a =-；所以表达式为()222f x x x =-+；（Ⅱ）由于2211(22)22()2n n n n n n n n n a a a a a a a a a +-=-+-=-+=--，又因为102n a <<(n ∈N *)， 所以12()02n n a a -->，因此1n n a a +>，所以数列{}n a 单调递增；（Ⅲ）因为22211212(22)144(12)0n n n n n n a a a a a a +-=--+=-+=->，所以313log (12)2log (12)n n a a +-=-，即313log (12)2log (12)n n a a +-=-，所以数列3log (12)n a -是等比数列，其首项31log (12)1a -=-，公比2q =，所以1(1)121n nn b q S q -==--，所以121(12)33n n nS i i a -=-==∏.9. （本小题满分12分）给定数列12,,,n a a a . 对1,2,3,,1i n =-，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++的最小值记为i B ，i i i d A B =-.（Ⅰ）设数列{}n a 为3,4,7,1. 写出123,,d d d 的值； （Ⅱ）设12,,,(4)n a a a n ≥是公比大于1的等比数列，且10a >. 证明121,,,n d d d -是等比数列；（Ⅲ）若1210n d d d -====，证明{}n a 是常数列.解：（Ⅰ）111312d A B =-=-=，222413d A B =-=-=，333716d A B =-=-= （Ⅱ）因为12,,,(4)n a a a n ≥是公比大于1的等比数列，且10a >所以11n n a a q -=. 所以当1,2,3,,1k n =-时，1k k k k k d A B a a +=-=- 所以当2,3,,1k n =-时，11111(1)(1)k k k k k k k k d a a a q q q d a a a q +------===-- 所以121,,,n d d d -是等比数列.（Ⅲ）因为1110d A B =-=即123max{}min{,,,}n a a a a =，故{2,3,,}k n ∃∈，使1k a a =，且对{2,3,,}j n ∀∈，都有j k a a ≥……①.若2k =，则12a a =；若2k >，因为10k d -=，所以11k k A B --=12111max{,,,}min{,,,}k k k n k a a a a a a a a -+===，所以对{2,3,,1}j k ∀∈-，都有1j k a a a ≤=……②.由①②知，对{2,3,,1}j k ∀∈-，都有j k a a =.综上，12k a a a ===.因为0k d =，所以k k A B =，所以1212max{,,,}min{,,,}k k k k n a a a a a a a ++==，所以'{1,2,,}k k k n ∃∈++，使'k k a a =.同上可证'k k a a ==. 以此类推，由于{}n a 仅有有限项，所以{}n a 是常数列.。

2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试数学试卷 2019.11一、选择题（本大题共13小题，共62.0分）1.不等式x−3x+2<0的解集为()A. {x|−2<x<3}B. {x|x<−2}C. {x|x<−2或x>3}D. {x|x>3}2.已知数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，那么a3=()A. 4B. 5C. 6D. 73.下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，x3>0B. ∃x∈R，使tanx=2C. ∀x∈R，2x>0D. ∃x∈R，使lgx=04.已知等差数列{a n}中，a1=−1，公差d=2，则{a n}的前5项和等于()A. −15B. −17C. 15D. 175.若a<b<0，则下列不等式中成立的是()A. a2<b2B. ab <1 C. 1a<1bD. 1a>1b6.“x2=4”是“x=2”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A. a2+b2>2abB. a+b≥2√abC. 1a +1b>√abD. ba+ab≥28.等差数列{a n}前n项和为S n，a4+a6=−6，a1=−11.则当S n取最小值时，n=()A. 6B. 7C. 8D. 99.函数y=tanx+9tanx (π2<x<π)的最大值为()A. 6B. 9C. −6D. −910.已知常数k∈(0,1)，数列{a n}满足a n=n⋅k n(n∈N∗).下面说法正确的是()①当k=12时，数列{a n}为递减数列；②当0<k<12时，数列{a n}为递减数列；③当12<k<1时，数列{a n}不一定有最大项；④当k1−k为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④11.若m<0，n>0且m+n<0，则()A. m<−n<n<−mB. −n<m<−m<nC. m<−n<−m<nD. −n<m<n<−m12.设{a n}是等差数列，{b n}为等比数列，其公比q≠1，且b n>0(n=1,2，3，…).若a1=b1，a11=b11，则a6与b6的大小关系为()A. a6>b6B. a6=b6C. a6<b6D. a6≥b613.已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3，且a1=2，则a1+a2020=()A. 4043B. 4046C. 4047D. 4049二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）14.命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是______．15.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2−a5=0，则公比q=______，S4S2=______．16.若正数a，b满足1a +4b=1，则a+b的最小值等于______．17.已知函数f(x)的对应关系如表所示：数列{a n}满足a1=3，a n+1=f(a n)，则a4=______，a2019=______．18.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．19.已知数列{a n}满足a n=4S n−3，n∈N∗，则a1+a3+a5+⋯+a2n+1=______．20.已知a>0，b>0，不等式−b<1x<a的解集是______．21.已知a>b>0，则a2−4b2−ab的最小值是______．22.有穷数列{a n}(n∈N∗,n≤12)满足|a n+1−a n|=1，且a1，a4，a12成等比数列．若a1=1，a12=4，则满足条件的不同数列{a n}的个数为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）23.已知{a n}为等差数列，且a3=6，a6=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a4+a5，求{b n}的前n项和公式．24.已知函数f(x)=x2+ax−4．(Ⅰ)当a=3时，解不等式f(x)<0；(Ⅱ)若不等式f(x)+5>0的解集为R，求实数a的取值范围．25.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b5=81，a1=b1，a14=b4．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．26.已知二次函数f(x)=ax2+bx，f(−1)=−4，恒有f(x)≤6x+2.数列{a n}满足(n∈N∗)．a n+1=f(a n)，且0<a n<12(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)证明：数列{a n}单调递增；(Ⅲ)记πn i=1ai =a1a2…a n，若a1=13，求πn i=1(1−2a i).27.给定数列a1，a2，…，a n.对i=1，2，3，…，n−1，该数列前i项的最大值记为A i，后n−i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i−B i．(Ⅰ)设数列{a n}为3，4，7，1.写出d1，d2，d3的值；(Ⅱ)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明d1，d2，…，d n−1是等比数列；(Ⅲ)若d1=d2=⋯=d n−1=0，证明{a n}是常数列．2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试数学试题参考答案1.【答案】A<0，得到(x−3)(x+2)<0【解析】解：∵x−3x+2即x−3>0且x+2<0解得：x>3且x<−2所以无解；或x−3<0且x+2>0，解得−2<x<3，所以不等式的解集为−2<x<3故选A本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．2.【答案】B【解析】解：数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，当n=1时，a2=a1+1=3，当n=2时，a3=a2+2=5，故选：B．直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】A【解析】解：对于A，当x=0时，x3=0，与x3>0矛盾；故A为假命题；对于B，由于正切函数值域为R，故∃x∈R，使tanx=2正确，故B为真命题；对于C，由于指数函数值域为(0,+∞)，故∀x∈R，2x>0正确，故C为真命题；对于D，当x=1时，使lg1=0，故∃x∈R，使lgx=0正确，故D为真命题．故选：A．对于全称命题，若为假命题，举反例即可，若为真命题，需证明；对于特称命题，若为真命题，举例即可，若为假命题，需要证明．根据含量词的命题判断方法逐一判断即可．本题考查了含量词的命题的真假的判断，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=−1，公差d=2，∴{a n}的前5项和为：S5=5×(−1)+5×42×2=15．故选：C．等差数列{a n}中，由a1=−1，公差d=2，能求出{a n}的前5项和．本题考查等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：a<b<0，则−a>−b>0，故(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故A错，若a=−2，b=−1，则ab=2>1，故B不成立，1 a −1b=b−aab>0，故C错，D对，故选：D．利用不等式的性质，作差法，举特例法，a<b<0，则−a>−b>0，故(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故A错，若a=−2，b=−1，则ab =2>1，故B不成立，1a−1b=b−aab>0，故C错，D对，故选：D．考查了不等式的性质，用了作差法，举特例法等数学方法，基础题．6.【答案】B【解析】解：由x2=4得x=2或x=−2，则“x2=4”是“x=2”成立的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．利用基本不等式需注意：各数必须是正数，而不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A，a2+b2≥2ab，所以A错；对于B，C，ab>0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，a+b<2√ab，1a +1b<ab，所以B，C错;对于D，因为ab>0，所以ba >0,ab>0，ba+ab≥2，当且仅当ba=ab时等号成立，所以D正确，故选D．8.【答案】A【解析】a1=−11,【分析】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．根据等差数列的性质化简a4+a6=−6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式S n，配方后即可得到Sn取最小值时n 的值．【解答】由a4+a6=2a5=−6，解得a5=−3，又a1=−11，∴a5=a1+4d=−11+4d=−3，解得d=2，则a n=−11+2(n−1)=2n−13，∴S n=n(a1+a n)2=n2−12n=(n−6)2−36，∴当n=6时，S n取最小值．故选：A．9.【答案】C【解析】解：函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)，tanx <0， 由基本不等式，−tanx −9tanx ≥2√9=6， 当且仅当tanx =−3成立， 所以tanx +9tanx ≤−6， 故选：C ．函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)，tanx <0，由基本不等式，−tanx −9tanx ≥2√9=6，得出结论．考查基本不等式的应用，基础题．10.【答案】C【解析】解：①当k =12时，a 1=12,a 2=2×(12)2=12，所以数列{a n }不是递减数列，①不正确； ②当0<k <12时，a n+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n<nn+1≤1，即a n+1<a n ，数列{a n }是递减数列，②正确；③当12<k <1时，an+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，则k <k(n+1)n<2k ，例如取k =78，则a 7=a 8且为最大项，③错误； ④a n+1a n =(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，当k1−k 为正整数时，1>k ≥12， 当k =12时，a 1=a 2>a 3>a 4>⋯…… 当12<k <1 时，令k1−k =m ，解得k =mm+1； 则a n+1a n =(n+1)k n+1nk n =k(n+1)n=(n+1)mn(m+1)，当n <m 时，a n+1a n>1，数列{a n }单调递增； 当n >m 时，a n+1a n<1，数列{a n }单调递减；当n =m 时，a n+1=a n ；所以数列{a n }必有两项相等的最大项；④正确； 故选：C ．直接用作商比较法计算a n+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，对k 的范围进行讨论，得到数列{a n }的单调性．本题考查数列的增减性，作商法比较大小，属于难题．11.【答案】A【解析】解：由m<0，得−m>0，−n>0，得−n<0，由m+n<0，−m>n>0，0>−n>m，所以m<−n<0<n<−m，故选：A．由m<0，得−m>0，−n>0，得−n<0，由m+n<0，−m>n>0，0>−n>m，所以由不等式的传递性得，m<−n<0<n<−m，得出结论．考查不等式的性质，不等式的传递性等，基础题．12.【答案】A【解析】解：由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6．∵公比q≠1，b i>0，∴b1+b11>2√b1b11=2b6，∴2a6>2b6，即a6>b6，故选：A．由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6，再由b1+b11>2√b1b11=2b6，从而得出结论．本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3①，则a n+2+a n+1=4n+7②，②−①得a n+2−a n=4(常数)，所以数列{a n}的奇数项和偶数项公差都为4的等差数列．由于a1=2，所以a1+a2=7，解得a2=5，所以a n={2n(n为奇数) 2n+1(n为偶数)．所以a1+a2020=2+2×2020+1=4043．故选：A．直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.【答案】∃x∈R，x2−1≤0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是：∃x∈R，x2−1≤0．故答案为：∃x∈R，x2−1≤0．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．15.【答案】2 5【解析】解：∵等比数列{a n}中8a2−a5=0，设首项为a1，∴a5a2=a1q4a1q=q3=8，∴q=2，∴由等比数列前n项和公式得：S4S2=a1(1−q4)1−qa1(1−q2)1−q=1−241−22=22+1=5，故答案为：2；5．利用递推式8a2−a5=0根据等比数列的定义得到公比q，设该数列首项为a1，利用前n 项和公式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题．16.【答案】9【解析】解：若正数a，b满足1a +4b=1，则(a+b)(1a +4b)≥(1+2)2=9，当且仅当a=2b=9时，取等号，故答案为：9．若正数a，b满足1a +4b=1，则(a+b)(1a+4b)≥(1+2)2=9，得出结论．考查基本不等式的应用，本题用了柯西不等式，基础题．17.【答案】3 1【解析】解：由函数对应关系得a1=3，a2=f(a1)=f(3)=2，a3=f(a2)=f(2)=1，a4=f(a3)=f(1)=3，则a4=a1，则数列{a n}的周期是3，则a2019=a672×3+3=a3=1，故答案为：3，1根据函数与数列的对应关系，进行递推，得到数列{a n}是周期为3的周期数列，结合数列的周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数与数列的综合，结合数列的递推关系，得到数列{a n}是周期为3的周期数列是解决本题的关键．考查学生的运算推理能力．18.【答案】−1，−2，−3【解析】【分析】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．直接举例即可，本题答案不唯一．【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题，可设a，b，c的值依次−1，−2，−3，(答案不唯一)，故答案为−1，−2，−3．19.【答案】98−18⋅9n【解析】解：数列{a n}满足a n=4S n−3，n∈N∗，可得n=1时，a1=4S1−3=4a1−3，即a1=1，当n≥2时，a n−1=4S n−1−3，又a n=4S n−3，两式相减可得a n−a n−1=4(S n−S n−1)=4a n，可得a n=−13a n−1，可得{a n}为首项为1，公比q为−13的等比数列，则a n=a1q n−1=(−13)n−1，可得a1，a3，a5，…，a2n+1为首项为1，公比为19的等比数列，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n+1=1−19n+11−19=98−18⋅9n ．故答案为：98−18⋅9n ．运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，可得a n =(−13)n−1，可得a 1，a 3，a 5，…，a 2n+1为首项为1，公比为19的等比数列，由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．20.【答案】(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)【解析】解：∵−b <1x <a ， ∴1x +b >0且1x −a <0， ∵b >0，由1+bx x>0，解得x >0或x <−1b ；① 1x−a <0，得1−ax x<0⇔ax−1x>0，∵a >0，∴x >1a 或x <0；② 由①②得：x >1a 或x <−1b ；∴不等式−b <1x <a 的解集是(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)． 故答案为：(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)．在a >0，b >0的条件下将−b <1x <a 转化为{1+bxx>01−axx<0即可求得答案． 本题考查分式不等式组的解法，将−b <1x <a 转化为{1+bxx>01−axx<0是关键，也是难点，考查化归思想与分析运算的能力，属于中档题．21.【答案】8【解析】解：令t =ab −b 2>0，则a =tb +b ≥2√t ，当且仅当t =b 2时成立， 所以a 2−4b 2−ab =(tb +b)2+4t ≥4t +4t ≥8，当且仅当t =1时成立， 故答案为：8令t =ab −b 2>0，则a =t b +b ≥2√t ，当且仅当t =b 2时成立，所以a 2−4b 2−ab =(tb +b)2+4t≥4t +4t≥8，当且仅当t =1时成立．考查了基本不等式的应用，还用了换元法，中档题．22.【答案】176【解析】解：根据题意，由|a n+1−a n |=1|分析可得必有在a n+1−a n =1和a n+1−a n =−1中，必须且只能有1个成立，∵a 1，a 4，a 12成等比数列．且a 1=1，a 12=4， 则a 4=±2， 分2种情况讨论： ①、若a 4=−2，在1≤n ≤3中，a n+1−a n =−1都成立，在4≤n ≤11中，有1个a n+1−a n =−1，7个a n+1−a n =1成立，则有C 81=8种情况，即有8个不同数列；②、若a 4=2，在1≤n ≤3中，有1个a n+1−a n =−1成立，2个a n+1−a n =1成立，有C 31=3种情况， 在4≤n ≤11中，有3个a n+1−a n =−1，5个a n+1−a n =1成立，有C 83=56种情况，则有3×56=168种情况，即有168个不同数列； 则一共有8+168=176个满足条件的不同数列． 故答案为：176．根据题意，由|a n+1−a n |=1|分析可得必有在a n+1−a n =1和a n+1−a n =−1中，必须且只能有1个成立，由等比数列的性质求得a 4=±2，进而分2种情况讨论，分析由乘法原理计算可得每种情况的数列数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，涉及函数的定义以及函数值的计算，关键是将函数值的问题转化为排列、组合问题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵{a n }为等差数列，且a 3=6，a 6=0．∴{a 3=a 1+2d =6a 6=a 1+5d =0， 解得d =−2，a 1=10，∴a n =10+(n −1)×(−2)=−2n +12． (Ⅱ)∵等比数列{b n }满足b 1=3，b 2=a 4+a 5=(−8+12)+(−10+12)=6，∴q=6=2，3∴{b n}的前n项和公式为：S n=3(1−2n)=3×2n−3．1−2【解析】(Ⅰ)利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公差，由此能求出a n．(Ⅱ)求出等比数列{b n}的首项和公差，由此能求出{b n}的前n项和公式．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24.【答案】解：(1)函数f(x)=x2+ax−4，当a=3时，f(x)=x2+3x−4=(x+4)(x−1)<0，故不等式的解集为(−4,1)．(2)不等式f(x)+5>0的解集为R，x2+ax+1>0在R上恒成立，△=a2−4<0，即a∈(−2,2)．【解析】(1)函数f(x)=x2+ax−4，当a=3时，f(x)=x2+3x−4=(x+4)(x−1)< 0，解出即可；(2)不等式f(x)+5>0的解集为R，△=a2−4<0，即a∈(−2,2)．考查一元二次不等式的解法，恒成立问题，基础题．25.【答案】解：(Ⅰ){a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，且b2=3，b5=81，=27，即q=3，则b n=b2q n−2=3n−1；可得q3=b5b2=2，a1=b1=1，a14=b4=27，则d=a14−a114−1则a n=1+2(n−1)=2n−1：(Ⅱ)c n=a n b n=(2n−1)⋅3n−1，可得前n项和T n=1⋅30+3⋅31+5⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n−1，3T n=1⋅3+3⋅32+5⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n，两式相减可得−2T n=1+2(3+32+⋯+3n−1)−(2n−1)⋅3n−(2n−1)⋅3n，=1+2⋅3(1−3n−1)1−3化为T n =1+(n −1))⋅3n ．【解析】(Ⅰ){a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式；(Ⅱ)求得c n =a n b n =(2n −1)⋅3n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．26.【答案】解：(Ⅰ)f(−1)=a −b =−4，即b =a +4，因为f(x)=ax 2+bx ≤6x +2恒成立，即对任意x ，ax 2+(b −6)x −2≤0恒成立， 所以{a <0△=(b −6)2+8a ≤0b =a +4，整理得(a +2)2≤0，所以a =−2，b =2，则f(x)=−2x 2+2x ；(Ⅱ)证明：因为a n+1=f(a n )=−2a n 2+2a n ，所以a n+1−a n =−2a n 2+2a n −a n =−2a n 2+a n =−2(a n −14)2+18，因为0<a n <12(n ∈N ∗)，所以a n+1−a n ∈(0,18)，则a n+1>a n ，所以数列{a n }单调递增；(Ⅲ)因为a n+1=−2a n 2+2a n ，即a n+1−12=−2(a n −12)2，两边同时乘以−2，可得1−2a n+1=(1−2a n )2，两边取对数可得lg(1−2a n+1)=2lg(1−2a n )，则数列{lg(1−2a n )}是以2为公比，lg(1−2a 1)=lg 13为首项的等比数列，所以lg(1−2a n )=2n−1lg 13=lg(13)2n−1，则1−2a n =(13)2n−1，πni =1(1−2a i )=(1−2a 1)(1−2a 2)(1−2a 3)…(1−2a n )=(13)1+2+22+⋯+2n−1=(13)2n −1．【解析】(Ⅰ)根据f(−1)=−4可得a ，b 数量关系，再根据恒有f(x)≤6x +2.可求出a ，进而得f(x)解析式；(Ⅱ)利用二次函数验证a n+1−a n >0即可；(Ⅲ)先求出数列{lg(1−2a n )}是以2为公比，lg(1−2a 1)=lg 13为首相的等比数列，所以1−2a n =(13)2n−1，进而可求出πni =1(1−2a i )的值．本题考查数列与函数的综合运用，能判断出数列{lg(1−2a n )}是等比数列是关键，属于难题．27.【答案】解：(I)d 1=A 1−B 1=2，d 2=A 2−B 2=4−1=3，d 3=A 3−B 3=7−1=6；(II)证明：a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，所以a n =a 1q n−1，且数列为递增数列，所以当k =1，2，3，…，n −1时，d k =A k −B k =a k −a k+1，所以d kdk−1=a k−a k+1a k−1−a k=a k−1q(1−q)a k−1(1−q)=q ，所以d 1，d 2，…，d n−1是等比数列； (iii)若d 1=d 2=⋯=d n−1=0，由d 1=A 1−B 1=0，即max{a 1}=min{a 2,…,a n }，故存在k ≥2时，a 1=a k ，且对于任意的j ∈{2,3，…，n}，都有a j ≥a k ，① 若k =2，则a 1=a 2，若k >2，因为d k−1=0，所以A k−1=B k−1，即max{a 1,…,a k−1}=min{a k ,…,a n }=a k ， 又a 1=a k ，所以对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，a j ≤a 1=a k ，② 由①②可知，对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，都有a j =a k ， 故a 1=a 2=⋯=a k ，因为d k =0，所以A k =B k ，所以a k =max{a 1,…,a k }=min{a k+1,…,a n }， 所以存在k′∈{k +1,k +2,…,n}，使得a k ′=a k ， 根据以上道理，可得故a k =⋯=a k ， 依此类推，故{a n }是常数列．【解析】(I)由d 1=A 1−B 1=2，d 2=A 2−B 2=4−1=3，d 3=A 3−B 3=7−1=6，得出结论；(II)根据题意得，d k =A k −B k =a k −a k+1，由d kd k−1=a k −a k+1a k−1−a k=a k−1q(1−q)a k−1(1−q)=q 为定值，得出结论；(III)先证明d 1=A 1−B 1=0，即max{a 1}=min{a 2,…,a n }，故存在k ≥2时，a 1=a k ，且对于任意的j ∈{2,3，…，n}，都有a j ≥a k ，①再证明对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，a j ≤a 1=a k ，②由①②可知，对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，都有a j =a k ，故a 1=a 2=⋯=a k ，同理得出结论．本题是一道创新型数列题，结合等比数列的性质，考查了数学的逻辑推理能力和数学运算能力，难度较大，综合性强．。

北京市西城区第四中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.不等式32x x -+＜0的解集为 A. {}|23x x -<<B. {}|2x x <-C. {}|23x x x -或D.{}|3x x >【答案】A 【解析】 略【此处有视频，请去附件查看】2.已知数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且12a =，那么3a =（ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系，依次求得23,a a 的值. 【详解】当1n =时，2113a a =+=； 当2n =时，3225a a =+=. 故选B.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的项，属于基础题. 3.下列命题中的假命题．．．是（ ） A. x R ∀∈,30x > B. x R ∃∈，使tan 2x = C. x R ∀∈，20x > D. x R ∃∈，使lg 0x =【答案】A 【解析】【分析】对选项逐一分析命题的真假性，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，当0x ≤时，30x ≤，故A 选项是假命题； 对于B 选项，正切函数的值域为R ，故B 选项是真命题； 对于C 选项，根据指数函数的值域可知，C 选项是真命题； 对于D 选项，lg10=，故D 选项是真命题. 故选:A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断，考查幂函数、正切函数、指数函数和对数函数有关知识，属于基础题.4.已知等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =，则{}n a 的前5项和等于（ ） A. 15- B. 17- C. 15 D. 17【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，求得{}n a 的前5项和.【详解】由于数列{}n a 是等差数列，所以5151052015S a d =+=-+=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，属于基础题. 5.若0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ） A. 22a b < B.1ab< C.11a b< D.11a b> 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，由于0,0a b a b <<-<，()()220a b a b a b -=+->，故22a b >，所以A 选项不成立.对于B 选项，由于0a b <<，所以1ab>，所以B 选项不成立.对于C 、D 选项，由于0,0a b b a <<->，110b aa b ab --=>，故11a b>，所以C 选项不成立，D 选项成立. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，考查差比较法，属于基础题.6.设2:4P a =, :2Q a =，则P 是Q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将,P Q 相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】由24,2a a ==±.所以P Q ⇒，Q P ⇒，故P 是Q 的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 7.若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A. 222a b ab +>B. 2a b ab +≥C. 11a b ab+> D.2b aa b+≥ 【答案】D 【解析】 试题分析：，所以A 错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B 错；同时C 错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D 正确．考点：不等式的性质【此处有视频，请去附件查看】8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】A 【解析】分析：条件已提供了首项，故用“a 1，d”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 解答：解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2， 所以S n =-11n+()n n 12-×2=n 2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S n 取最小值．故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．【此处有视频，请去附件查看】9.函数9πtan (π)tan 2y x x x =+<<的最大值为（ ） A. 6 B. 9C. 6-D. 9-【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合正切函数的取值范围，求得函数9πtan (π)tan 2y x x x =+<<的最大值. 【详解】由于ππ2x <<，所以tan 0x <，所以()99tan tan 6tan tan y x x x x ⎡⎤=+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当9tan tan x x-=-，tan 3x =-时等号成立.故选：C【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查正切函数的取值范围，属于基础题. 10.已知数列{a n }满足a n = nk n(n∈N *，0 < k < 1)，下面说法正确的是( ) ①当12k =时，数列{a n }为递减数列； ②当112k <<时，数列{a n }不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{a n }为递减数列；④当1k k-为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项.A. ①②B. ②④C. ③④D. ②③【答案】C 【解析】试题分析：选项①：当12k =时，1()2n n a n =⋅，有112a =，211242a =⨯=，则12a a =，即数列{}n a 不是递减数列，故①错误；选项②：当112k <<时，11(1)(1)n n n n a n k k n a n k n +++⋅+==⋅，因为(1)2k n k k n+<<，所以数列{}n a 可有最大项，故②错误；选项③：当112k <<时，11(1)(1)112n n n n a n k k n n a n k n n +++⋅++==<≤⋅，所以1n n a a +<，即数列{}n a 是递减数列，故③正确；选项④：11(1)(1)n n n n a n k k n a n k n +++⋅+==⋅，当1k k -为正整数时，112k >≥；当12k =时，1234a a a a =>>>⋅⋅⋅；当112k <<时，令1k m N k +=∈-，解得1mk m=+，1(1)(1)n n a m n a n m ++=+，数列{}n a 必有两项相等的最大项，故④正确. 所以正确的选项为③④. 考点：数列的函数特征.二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.命题“x R ∀∈，210x ->”的否定是_______ 【答案】2,10x R x ∃∈-≤ 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，因此否定为：2,10x R x ∃∈-≤ 考点：全称命题与特称命题12.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则公比q =_____，42S S =_____． 【答案】 (1). 2 (2). 5 【解析】 【分析】将已知转化为1,a q 的形式，由此求得公比q ，进而求得42S S 的值. 【详解】由于数列{}n a 为等比数列，故41180a q a q -=，解得2q =，所以4422115513S q S q -===-. 故答案为：（1）2；（2）5.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式基本量计算，属于基础题. 13.若正数,a b 满足141a b+=，则+a b 的最小值等于_____． 【答案】9 【解析】 【分析】利用 “1的代换”方法，利用基本不等式，求得+a b 的最小值. 【详解】由于141a b +=，所以()144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1412a b ==，即2,8a b ==时等号成立. 故答案为：9.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.已知函数()f x 的对应关系如下表所示：数列{}n a 满足113,()n n a a f a +==，则4a =_____, 2019a =_____. 【答案】 (1). 3 (2). 1 【解析】 【分析】根据函数的对应关系，求得数列的前6项，找到规律，由此求得42019,a a 的值.【详解】依题意()()2132a f a f ===，()()3221a f a f ===，()()4313a f a f ===，()()5432a f a f ===，()()6521a f a f ===，……，以此类推，数列{}n a 是周期为3的周期数列，故2019673331a a a ⨯===. 故答案为：（1）3；（2）1.【点睛】本小题主要考查周期数列，考查函数的对应关系，属于基础题.15.能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________. 【答案】1,2,3--- 【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．三．解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 16.已知{}n a 为等差数列，且36a =，60a =. （1）求{}n a 通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足13b =，245b a a =+，求{}n b 的前n 项和公式．【答案】（1）212n a n =-+；（2）3(21)nn S =-【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d ，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）将已知条件转化为1,b q 的形式列方程组，解方程组求得1,b q ，进而求得数列{}n b 的前n 项和公式.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为366,0a a ==， 所以112650a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得110,2a d ==-.所以10(1)(2)212n a n n =+-⋅-=-+. （2）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为24516,3b a a b =+==， 所以36q =，即2q =.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)3(21)1n n n b q S q-==--. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比数列通项和前n 项和的基本量计算，属于基础题.17.已知函数2()4f x x ax =+-．（1）当3a =时，解不等式()0f x <；（2）若不等式()50f x +>的解集为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|41}x x -<<；（2）(2,2)- 【解析】 【分析】（1）当3a =时，根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.（2）构造函数()()5g x f x =+，根据二次函数函数值恒为正数的条件列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）由2()340f x x x =+-<得(4)(1)0x x +-<，所以原不等式解集为{|41}x x -<<.（2）若不等式()50f x +>的解集为R ，因为抛物线2()()51g x f x x ax =+=++开口向上，所以只需240a ∆=-<，解得22a -<<. 故()50f x +>解集为R 时，实数a的取值范围为(2,2)-.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于基础题.18.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，581b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）*21()n n a N n =∈-；（2）(1)31nn T n =-⋅+ 【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为11,,,b q a d 的形式列方程解方程求得11,,,b q a d ，进而求得数列{}{},n n a b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T .【详解】（1）等比数列{}n b 的公比35281273b q b ===，故3q =. 所以211b b q==，4327b b q ==，13n n b -=． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =． 所以*21()n n a N n =∈-．（2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=，从而1(21)3n n c n -=-⋅．由于123n n T c c c c =++++L ， 即 2113353(21)3n n T n -=+⨯+⨯++-⋅L （1）则23333353(21)3nn T n =+⨯+⨯++-⋅L （2） 由（1）-（2）得23111212(3333)(21)33(13)12(21)31313(31)(21)32(22)3n nn n nn n nT n n n n ----=+⨯++++--⋅⨯-=+⨯--⋅-=+⨯---⋅=---⋅L所以(1)31nn T n =-⋅+.【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列通项的基本量计算，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.一．选填题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 19.若0,0m n <>且0m n +<，则（ ） A. m n n m <-<<- B. n m m n -<<-< C. m n m n <-<-< D. n m n m -<<<-【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值对选项进行排除，根据不等式的性质，证明正确的选项结论成立.【详解】不妨设2,1,0m n m n =-=+<，所以n m ->，故BD 选项错误；m n ->，故C 选项错误.正确的选项为A.对于A 选项.由于0,0m n <>且0m n +<，即,m n n m <-<-，所以0m n n m <-<<<-.故选：A.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查比较大小，属于基础题.20.设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠, 且0(1,2,3,)n b n >=L ，若11a b =,1111a b =，则6a 与6b 的大小关系为（ ）A. 66a b =B. 66a b >C. 66a b <D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项和等比中项的性质，结合基本不等式，判断出6a 与6b 的大小关系.【详解】由于{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，所以11166,2a a ab +==，而11a b =,1111a b =，所以11166,2b b a b +==，由于111,0n b b b ≠>，根据基本不等式可知1112b b +>66a b >. 故选：B.【点睛】本小题主要考查等差中项、等比中项的性质，考查基本不等式求最值. 21.已知数列{}n a 满足143n n a a n ++=+，则12020a a +=（ ） A. 4043 B. 4046C. 4047D. 4049【答案】A 【解析】 【分析】根据已知判断24n na a +-=，即135,,,a a a L 与246,,,a a a L 分别是公差为4的等差数列，利用201920202019,a a a +的值，求得12020a a +的值.【详解】由143n n a a n ++=+得2147n n a a n +++=+，两式相减的24n n a a +-=，即135,,,a a a L 与246,,,a a a L 分别是公差为4的等差数列，所以2019110094a a =+⨯①.而20202019420193a a +=⨯+②，由①②得12020a a +=420193100944043⨯+-⨯=.故选：A.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的和，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.22.已知数列{}n a 满足43n n a S =-，*n N ∈，则13521n a a a a -++++=L _____． 【答案】91189n⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先求得1a 的值，再根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由此求得13521n a a a a -++++L 的值.【详解】当1n =时，11143,1a a a =-=.当2n ≥时，由43n n a S =-得1143n n a S --=-，两式相减得14n n n a a a --=，故113n n a a -=-，故数列{}n a 是首项为11a =，公比为13-的等比数列.而13521,,,,n a a a a -L 是首项为1，公比为21319-=⎛⎫ ⎪⎝⎭的等比数列的前n 项和.所以13521n a a a a -++++=L 119119n --91189n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故答案为：91189n ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列通项公式及前n 项和公式，属于中档题.23.若0a >，0b > ，则关于x 的不等式1b a x-<<的解集为________． 【答案】11,,b a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【解析】 【分析】可将该不等式转化为一元二次不等式组，从而可求原不等式的解集.【详解】不等式1b a x -<<等价于1010b xa x ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩即1010bx x ax x+⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，故()()1010x bx x ax ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，整理得到1010x x bx x a ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩或或，该不等式组的解为1x b <-或1x a >.故原不等式的解集为11,,b a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U .故答案：11,,b a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U .【点睛】本题考查分式不等式解的求法，一般地，分式不等式可以转化为一元二次不等式来求解，注意转化时分母不为零. 24.已知0a b >>, 则224a b ab--的最小值是_____．【答案】8 【解析】 【分析】将要求最小值的表达式化简为2244a ab ab a ab ab-+++-，再利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】由于0a b >>，所以224a b ab--224a ab b =+-2244a ab ab a ab ab =-+++-≥448=+=，当且仅当2244a ab a ab ab ab ⎧-=⎪⎪-⎨⎪=⎪⎩，即2,1a b ==时，取得最小值.故答案为：8.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.25.有穷数列*{}(,12)n a n N n ∈≤满足1||1n n a a +-=，且1412,,a a a 成等比数列. 若1121,4a a ==，则满足条件的不同数列{}n a 的个数为_____．【答案】176 【解析】 【分析】根据1412,,a a a 成等比数列，求得4a 的可能取值，由此进行分类讨论，结合1||1n n a a +-=，判断出满足条件的不同数列{}n a 的个数.【详解】由于1||1n n a a +-=，所以11n n a a +-=或11n n a a +-=-.由于1412,,a a a 成等比数列，所以24112a a a =⋅，所以244a =，故42a =或42a =-.当42a =-时，在13n ≤≤中，11n n a a +-=-都成立；在411n ≤≤中，有1个11n n a a +-=-，7个11n n a a +-=成立.故方法数有8种.当42a =时，在13n ≤≤中，有1个11n n a a +-=-成立，2个11n n a a +-=成立，方法数有3种；在411n ≤≤中，有3个11n n a a +-=-，5个11n n a a +-=成立，方法数有3856C =种.故方法数有356168⨯=种.综上所述，满足条件的不同数列{}n a 的个数为8168176+=. 故答案为：176.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，考查组合数的计算，属于中档题. 二．解答题（本大题共2小题，共22分）26.已知二次函数()2f x ax bx =+，()14f -=-，恒有()62f x x ≤+. 数列{}n a 满足()1n n a f a +=，且102n a <<(n ∈N *). （1）求()f x 的解析式；（2）证明：数列{}n a 单调递增；（3）记121ni n i a a a a ==⋅⋅∏L . 若113a =，求1(12)ni i a =-∏.【答案】（1）()222f x x x =-+；（2）见解析；（3）123n-【解析】 【分析】（1）利用()14f -=-得到,a b 的关系式，利用()62f x x ≤+恒成立，列不等式，由此求得,a b 的值，进而求得函数()f x 解析式.（2）利用差比较法，结合（1）的结论，证得10n n a a +->，由此证得数列{}n a 单调递增.（3）首先判断2112(12)0n n a a +-=->，然后证得数列3log (12)n a -是等比数列，并求得其首项和公比，进而求得其前n 项和的表达式，利用对数式化为指数式，求得1(12)nii a =-∏的值.【详解】（1）由()14f -=-得4a b -=-，即4b a =+；因为()62f x x ≤+恒成立，即2(6)20ax b x +--≤恒成立，即2(2)20ax a x +--≤恒成立，从而22(2)8(2)0a a a ∆=-+=+≤，所以2a =-； 所以表达式为()222f x x x =-+；（2）由于2211(22)22()2n n n n n n n n n a a a a a a a a a +-=-+-=-+=--，又因为102n a <<(n ∈N *)， 所以12()02n n a a -->，因此1n n a a +>，所以数列{}n a 单调递增； （3）因为22211212(22)144(12)0n n n n n n a a a a a a +-=--+=-+=->， 所以313log (12)2log (12)n n a a +-=-，即313log (12)2log (12)n n a a +-=-，所以数列3log (12)n a -是等比数列，其首项31log (12)1a -=-，公比2q =，其前n 项和为()121212n n--=--，即()()()312log 12121212nn a a a -⋅-⋅⋅-=-⎡⎤⎣⎦L ，所以121(12)3nni i a -=-=∏.【点睛】本小题主要考查二次函数解析式的求法，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略；考查利用差比较法证明数列的单调性，考查构造数列法求数列前n 项乘积的值，考查运算求解能力，属于中档题.27.给定数列12,,,n a a a L . 对1,2,3,,1i n =-L ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++L 的最小值记为i B ，i i i d A B =-.（1）设数列{}n a 为3,4,7,1. 写出123,,d d d 的值；（2）设12,,,(4)n a a a n ≥L 是公比大于1的等比数列，且10a >，证明121,,,n d d d -L 是等比数列；（3）若1210n d d d -====L ，证明{}n a 是常数列.【答案】（1）12d =，23d =，36d =；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据,,i i i A B d 的定义，求得123,,d d d 的值.（2）根据数列n a 的单调性，确定1i i i d a a +=-，根据等比数列的定义，证得121,,,n d d d -L 是等比数列；（3）先证得1a 后面的项，都不小于1a ，然后证得1a 后面的项，都不大于1a ，由此证得1a 后面的项，和1a 都相等，即证得数列{}n a 的每一项和1a 都相等，也即证得{}n a 是常数列. 【详解】（1）111312d A B =-=-=，222413d A B =-=-=，333716d A B =-=-= （2）因为12,,,(4)n a a a n ≥L 是公比大于1的等比数列，且10a >所以11n n a a q -=.所以当1,2,3,,1i n =-L 时，1i i i i i d A B a a +=-=-所以当2,3,,1i n =-L 时，11111(1)(1)i i i i i i i i d a a a q q q d a a a q +------===-- 所以121,,,n d d d -L 是等比数列.（3）因为1110d A B =-=即123max{}min{,,,}n a a a a =L ，故{2,3,,}k n ∃∈L ，使1k a a =，且对{2,3,,}j n ∀∈L ，都有1j k a a a ≥=……①.若2k =，则12a a =； 若2k >，因为10k d -=，所以11k k A B --=12111max{,,,}min{,,,}k k k n k a a a a a a a a -+===L L ，所以对{2,3,,1}j k ∀∈-L ，都有1j k a a a ≤=……②. 由①②知，对{2,3,,1}j k ∀∈-L ，都有j k a a =. 综上，12k a a a ===L . 因0k d =，所以k k A B =，所以1212max{,,,}min{,,,}k k k k n a a a a a a a ++==L L ，所以'{1,2,,}k k k n ∃∈++L ，使'k k a a =. 同上可证'k k a a ==L .以此类推，由于{}n a 仅有有限项，所以{}n a 是常数列.【点睛】本小题主要考查新定义i i i d A B =-的理解和运用，考查等比数列的定义，考查分析思考与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.。

2019-2020学年北京四中高二上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合A={x∈Z|(x+2)(x−1)<0}，B={－2，－1），那么A∪B等于A．{－2，－1，0，1} B．{－2，－1，0}C．{－2，－1} D．{－1}2．已知数列{a n）的通项公式为a n=n2−n，则下列各数中不是数列中的项的是A．2 B．40 C．56 D．903．等差数列{a n}的前n项和S n，若a1=2,S3=12，则a6=A．8 B．10 C．12 D．144．若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式一定成立的是A．ac>bc B．ab>bc C．ab<bc D．ac<bc5．若1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为A．3 B．3或－1 C．－3 D．3或－36．设函数f(x)={x2 x≤0lg(x+1) x>0，若f(x0)>1，则x0的取值范围为A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．（－∞，9）D．（－∞，－1）∪（9，+∞）7．数列{a n}中，“a n+12=a n a n+2（n∈N*）”是“数列{a n}为等比数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．当x>1时，若不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是A．（－∞，2] B．[2，+∞）C．（－∞，3] D．[3，+∞）9．不等式121xx-≤+的解集为A．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦B．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭D．[)1,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞⎥⎝⎦10．等差数列{a n}的公差d>0，前n项和为S n，则对n>2时有A．a1<S nn<a n B．S nn<a1<a nC．a1<a n<S nnD．a1,S nn,a n的大小不确定11．下列不等式：①x2+3>3x；②a2+b2≥2(a−b−1)；③ba+ab≥2，其中恒成立的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个二、解答题12．已知：等差数列{a n}的公差d≠0，a2=1，且a2、a3、a6成等比数列（I）求{a n}的通项公式；（II）设数列{a n}的前n项和为S n，求使S n>35成立的n的最小值.13．已知：关于x的不等式（mx－（m+1））（x－2）>0（m∈R）的解集为集合P（I）当m>0时，求集合P；（II）若{x|−3<x<2}⊆P，求m的取值范围.14．已知：等比数列{a n}中，公比为q，且a1=2，a4=54，等差数列{b n}中，公差为d，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+ a2+ a3.（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{b n}的前n项和S n的公式；（III）设P n=b1+b4+b7+⋯+b3n−2，Q n=b10+b12+b14+⋯+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论.15．已知：函数f(x)=ax2+(b−8)x−a−ab，当x∈（－3，2）时，f(x)>0，当x∈（－∞，－3）∪（2，+∞）时，f(x)<0（I）求a，b的值；（II）若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，求实数c的取值范围.16．对于数列A：a1，a2，a3，…，定义A的“差数列” ΔA：a2−a1,a3−a2,a4−a3，…（I）若数列A：a1，a2，a3，…的通项公式a n=2n−1+1，写出ΔA的前3项；（II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，…，使得ΔA是等差数列；（III）若数列A：a1，a2，a3，…的差数列的差数列Δ（ΔA）的所有项都等于1，且a19=a92=0，求a1的值.三、填空题17．命题“∀x∈R，x2+1>0”的否定为_______=_______18．等差数列{a n}中，a1+a3+a5+a7a2+a4+a619．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是，则a n=_______；S5=_______ 20．数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n。

北京四中高二数学 期中测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知向量()1,2,1a =-，则下列向量与a 垂直的是（ ）A. ()0,0,1B. ()2,1,0-C. ()1,1,2D. ()4,1,1- 2. 若直线:210l x ay ++=与直线2:220l x y -+=平行，则a =（ ）A. 1B. 1-C. 4D. 4- 3. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 4. 在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（ ）A. 平面ADC ⊥平面BCDB. 平面ABC ⊥平面BCDC. 平面ABD ⊥平面ADCD. 平面ABD ⊥平面ABC5. 圆()2224x y ++=与直线3420x y ++=相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A. 4360x y ++=B. 3480x y ++=C. 4360x y --=D. 4360x y -+= 6. 若()2,3A -、()3,2B -、()1,C m 三点共线，则m 的值为（ ） A. 12 B. 1- C. 2- D. 07. 下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A. B. C. D.9. 直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（ ）A. ()6,2--B. 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 10. 如图所示，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在平面ABC 上的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. △ABC 的内部二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 经过1,0A ，(3B 两点的直线的倾斜角为______________.12. 圆心为()4,3C -且与直线2100x y ++=相切的圆的方程为______________.13. 圆224410x y x y +-+-=截直线60x y --=所得弦长等于______________.14. 若空间向量()5,3,a m =，()1,1,2b =--，()0,2,3c =-共面，则m =______________. 15. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，则点B 到平面1AB E 的距离为______________．16. 三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60； ④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.三、解答题：本大题共3小题，共36分17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PB 的中点.（1）求直线PD 与CE 所成角的余弦值；（2）求直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值；（3）求二面角E AC P --的余弦值.19. 已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点(2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点()0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分20. 圆()()22135x y -+-=关于直线y x =对称的圆方程为______________.21. 已知ABC 的三个顶点分别是()0,3A ，()4,2B ，()2,1C .若直线l 过点A ，且将ABC 分割成面积相等的两部份，则直线l 的方程是______________.22. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ， 1AD AB ==，AD AB ⊥， 45BCD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为'A ，且平面A BD '⊥平面BCD ，则下列四个命题中正确的是______________.①'A D BC ⊥；②三棱锥'A BCD -2； ③CD ⊥平面'A BD④平面'A BD ⊥平面A DC '23. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ： 2y x =上在第一象限内点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若45DBA ∠︒≥，则点A 的横坐标的取值范围为______________.三、解答题：本大题共2小题，共24分24. 在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===， 120PDC ∠=︒.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ⊥平面PAC ？如果存在，求BF BC 的值；如果不存在，说明理由；（3）若M 是棱PA 的中点，N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行.25. 设N n *∈，且3n ≥.对1，2，…，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称（s i ，t i ）是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序()2,1，()3,1 ，则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1，2，…，n 的的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.（1）求()32f 的值；（2）判断()2n f 与()+12n f 大小，并说明理由；（3）求()()24n f n ≥的表达式（用n 表示）.北京四中高二数学 期中测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知向量()1,2,1a =-，则下列向量与a 垂直的是（ ）A. ()0,0,1B. ()2,1,0-C. ()1,1,2D. ()4,1,1-【答案】B2. 若直线:210l x ay ++=与直线2:220l x y -+=平行，则a =（ ）A. 1B. 1-C. 4D. 4-【答案】D3. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B4. 在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（ ）A. 平面ADC ⊥平面BCDB. 平面ABC ⊥平面BCDC. 平面ABD ⊥平面ADCD. 平面ABD ⊥平面ABC【答案】A5. 圆()2224x y ++=与直线3420x y ++=相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A. 4360x y ++=B. 3480x y ++=C. 4360x y --=D. 4360x y -+=【答案】C6. 若()2,3A -、()3,2B -、()1,C m 三点共线，则m 的值为（ ）A. 12B. 1-C. 2-D. 0【答案】D7. 下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A. B. C. D.【答案】BC9. 直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（ ）A. ()6,2--B. 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】C10. 如图所示，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在平面ABC 上的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. △ABC 的内部【答案】A 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 经过1,0A ，()0,3B 两点的直线的倾斜角为______________.【答案】23π 12. 圆心为()4,3C -且与直线2100x y ++=相切的圆的方程为______________.【答案】()()22435x y ++-=13. 圆224410x y x y +-+-=截直线60x y --=所得弦长等于______________.【答案】2714. 若空间向量()5,3,a m =，()1,1,2b =--，()0,2,3c =-共面，则m =______________.【答案】22-15. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，则点B 到平面1AB E 的距离为______________．【答案】6616. 三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60； ④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.【答案】①②③三、解答题：本大题共3小题，共36分17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PB 的中点.（1）求直线PD 与CE 所成角的余弦值；（2）求直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值；（3）求二面角E AC P --的余弦值.【答案】（1）3；（2）3；（3）6. 19. 已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上. （1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点(0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.【答案】（1）220x --=；（2）()2219x y ++=；（3）422213422213,22⎡⎢⎣⎦. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分20. 圆()()22135x y -+-=关于直线y x =对称的圆方程为______________.【答案】()()22315x y -+-=21. 已知ABC 的三个顶点分别是()0,3A ，()4,2B ，()2,1C .若直线l 过点A ，且将ABC 分割成面积相等的两部份，则直线l 的方程是______________.【答案】260x y +-=22. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ， 1AD AB ==，AD AB ⊥， 45BCD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为'A ，且平面A BD '⊥平面BCD ，则下列四个命题中正确的是______________.①'A D BC ⊥；②三棱锥'A BCD -的体积为22； ③CD ⊥平面'A BD④平面'A BD ⊥平面A DC '【答案】③④23. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ： 2y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若45DBA ∠︒≥，则点A 的横坐标的取值范围为______________.【答案】[]1,3- 三、解答题：本大题共2小题，共24分24. 在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===， 120PDC ∠=︒.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ⊥平面PAC ？如果存在，求BF BC的值；如果不存在，说明理由； （3）若M 是棱PA 的中点，N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行.【答案】（1）详见解析（2）详见解析；（3）详见解析.25. 设N n *∈，且3n ≥.对1，2，…，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称（s i ，t i ）是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序()2,1，()3,1 ，则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1，2，…，n 的的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.（1）求()32f 的值；（2）判断()2n f 与()+12n f 的大小，并说明理由；（3）求()()24n f n ≥的表达式（用n 表示）.【答案】（1）2；（2）()()+122n n f f >，证明见解析；（3）()()22242n n n n f --=≥.。

北京四中高二数学 期中测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知向量()1,2,1a =-，则下列向量与a 垂直的是（ ）A. ()0,0,1B. ()2,1,0-C. ()1,1,2D. ()4,1,1- 2. 若直线:210l x ay ++=与直线2:220l x y -+=平行，则a =（ ）A. 1B. 1-C. 4D. 4- 3. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 4. 在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（ ）A. 平面ADC ⊥平面BCDB. 平面ABC ⊥平面BCDC. 平面ABD ⊥平面ADCD. 平面ABD ⊥平面ABC5. 圆()2224x y ++=与直线3420x y ++=相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A. 4360x y ++=B. 3480x y ++=C. 4360x y --=D. 4360x y -+= 6. 若()2,3A -、()3,2B -、()1,C m 三点共线，则m 的值为（ ） A. 12 B. 1- C. 2- D. 07. 下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A. B. C. D.9. 直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（ ） A. ()6,2-- B. 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 10. 如图所示，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在平面ABC 上的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. △ABC 的内部 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 经过1,0A ，(3B 两点的直线的倾斜角为______________. 12. 圆心为()4,3C -且与直线2100x y ++=相切圆的方程为______________.13. 圆224410x y x y +-+-=截直线60x y --=所得弦长等于______________.14. 若空间向量()5,3,a m =，()1,1,2b =--，()0,2,3c =-共面，则m =______________. 15. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，则点B 到平面1AB E 的距离为______________． 16. 三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60；④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.三、解答题：本大题共3小题，共36分17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PB 的中点.（1）求直线PD 与CE 所成角的余弦值；（2）求直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值；（3）求二面角E AC P --的余弦值.19. 已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点()0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分20. 圆()()22135x y -+-=关于直线y x =对称的圆方程为______________. 21. 已知ABC 的三个顶点分别是()0,3A ，()4,2B ，()2,1C .若直线l 过点A ，且将ABC 分割成面积相等的两部份，则直线l 的方程是______________.22. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为'A ，且平面A BD '⊥平面BCD ，则下列四个命题中正确的是______________.①'A D BC ⊥；②三棱锥'A BCD -的体积为22； ③CD ⊥平面'A BD④平面'A BD ⊥平面A DC '23. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ： 2y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若45DBA ∠︒≥，则点A 的横坐标的取值范围为______________. 三、解答题：本大题共2小题，共24分24. 在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===， 120PDC ∠=︒.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ⊥平面PAC ？如果存在，求BF BC 的值；如果不存在，说明理由；（3）若M 是棱PA 的中点，N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行. 25. 设N n *∈，且3n ≥.对1，2，…，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称（s i ，t i ）是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序()2,1，()3,1 ，则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1，2，…，n 的的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.（1）求()32f 的值；（2）判断()2n f 与()+12n f 的大小，并说明理由；（3）求()()24n f n ≥的表达式（用n 表示）.。

北京市第四中学2017-2020学年上学期期中考试高二数学（文）试题试卷分为两卷，卷（I） 100分，卷（II） 50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（I）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是A. 空间任意三点B. 空间两条直线C. 空间两条平行直线D. 一条直线和一个点2. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A. l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B. l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C. l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D. l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB. 若m⊥α，n⊥α，则m∥nC. 若m∥α，n∥α，则m∥nD. 若m ∥α，m∥β，则α∥β4. 在四面体P-ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个5. 下列命题中错误．．的是A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，αβ=l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是A. CC1与B1E是异面直线B. AC⊥平面ABB1A1C. AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D. A1C1∥平面AB1E7. 把正方形ABCD沿对角线BD折，使平面ABD⊥平面CBD后，下列命题正确的是A. AB⊥BCB. AC⊥BDC. CD⊥平面ABCD. 平面ABC⊥平面ACD8. 如图所示点P为三棱柱ABC-A1B1C1侧棱AA1上一动点，若四棱锥P-BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为A. 2VB. 3VC. 43VD.32V二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α; ②m⊥α; ③m ⊂α; ④α⊥β; ⑤α∥β（1）当满足条件___________（填序号或序号组合）时，有m∥β；（2）当满足条件_____________（填序号或序号组合）时，有m⊥β.10. 己知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题正确的是（1）若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；（2）若l平行于α，则l平行于α内所有直线；（3） m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；（4）若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β；（5）m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l.11. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是_____________.12. 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，，己知空间中有一个点到这四个点距离相等，则这个距离是__________.13. 某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为_______________.14. 如下图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，己知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，不考虑A'与A、F重合的情形，给出下列命题：①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A'DE；③三棱锥A'-FED的体积有最大值.其中真命题的序号是_______________.三、解答题：本大题共3小题，共30分15. 已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示：（I）求四棱锥P-ABCD的表面积；（II）求四棱锥P-ABCD的体积.16. 若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求证：BC⊥AC17. 如图，已知PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，AB=2，C是圆O上的一点，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC中点，F为PB的中点.（I）求证：EF∥面ABC；（II）求证：EF⊥面PAC；（III）求三棱锥B-PAC的体积.卷（Ⅱ）一、选填题：本大题共5小题，每小题5分，共25分1. 下列说法正确的是A. 一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C. 一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真2. 在空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）. 画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q 在（）位置时，平面D1BQ∥平面PAO.A. Q与C重合B. Q与C1重合C. Q为CC1的三等分点D. Q为CC1的中点4. 若a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，①当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β；②当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β③当b⊂α时，若a∥α，则a∥b：④若a，b异面，则有无数条直线与a，b都垂直；⑤若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b.真命题的序号是_________________.5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上. 若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为____________.二、解答题：本大题共2小题，第6题10分，第7题15分.6. 如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G 分别是棱SA，SC的中点，求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA.7. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ?说明理由。

2021-2022学年北京四中高二（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）空间直角坐标系中，若点A（-2，1，4）关于点B（-2，0，0）的对称点为B′，则点B′的坐标为（）A.（-2，-1，-4）B.（-4，-1，-4）C.（-6，1，4）D. (−2，12，2)2.（单选题，4分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是（）A.0B.2或-1C.0或-3D.-33.（单选题，4分）椭圆x216+y2b2=1过点（-2，√3），则其焦距为（）A.2 √5B.2 √3C.4 √5D.4 √34.（单选题，4分）已知直线l：x-y+1=0和圆C：（x+1）2+（y+2）2=5交于M，N两点，则|MN|=（）A.2B.4C. 2√3D. 2√55.（单选题，4分）已知直线l的方程为（sin70°）x-（sin20°）y-5=0，则l的倾斜角是（）A.20°B.160°C.70°6.（单选题，4分）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0相切于点P（2，-1）的圆的方程为（）A.（x-1）2+（y+2）2= √2B.（x-2）2+（y+1）2=2C.（x+2）2+（y-1）2= √2D.（x-1）2+（y+2）2=27.（单选题，4分）椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距为2c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（）A. 2−√22B. 2√2−12C. √3−1D. √2−18.（单选题，4分）“六边形教室”是四中校友记忆中不可磨灭的一部分．空间中，教室的形状近似一个正六棱柱．设正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，所有棱长均相等，M、N分别是四边形EFF1E1，DEE1D1的中心，设MN与A1B1所成的角为α，D1B与A1B1所成的角为β，则α+β=（）A.120°B.90°C.75°D.60°9.（单选题，4分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆x 29+y24=1的公共点个数为（）A.至多一个B.0个C.1个D.2个10.（单选题，4分）在一平面直角坐标系中，已知A（-1，6），B（2，-6），现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为（）A. 2√7B. √41C. √1711.（填空题，5分）与向量a⃗=(1，2，−2)方向相同的单位向量是 ___ ．12.（填空题，5分）已知点P（4，2），Q（1，0），则过点Q且与OP（O是坐标原点）平行的直线方程是 ___ ．13.（填空题，5分）若向量a⃗=(2，−4，m)，b⃗⃗=(1，−1，2)，c⃗=(0，2，−3)共面，则m=___ ．14.（填空题，5分）椭圆x2+ky2=1的两个焦点在圆x2+y2=4上，则实数k=___ ．15.（填空题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，P为C上的动点，则下列说法正确的是 ___ ．① 当a=√2b时，使得∠F1PF2=90°的点P有两个；② 当a＜√2b时，使得∠F1PF2=90°的点P有四个；③ 当a=2b时，使得△PF1F2是等腰三角形的点P有四个；④ 当a＞2b时，使得△PF1F2是等腰三角形的点P有六个．16.（问答题，12分）已知椭圆C：x2+4y2=4，斜率为-1的直线l与椭圆C交于A、B两点且|AB|=8√25．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求直线l的方程．17.（问答题，14分）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1= 12AB=1，M为CC1的中点．（Ⅰ）求平面A1BM与平面ABCD所成锐二面角的余弦值；（Ⅱ）求点D到平面A1BM的距离．18.（问答题，14分）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．19.（问答题，15分）已知△ABC的顶点坐标分别为A（-3，0），B(−1，−2√2)，C（3，0）．圆M为△A BC的外接圆．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）直线l与圆M相切，求直线l与两坐标轴所围成的三角形面积最小时l的方程．20.（问答题，15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e= √63，且经过点A（0，-1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于C，D两点．是否存在直线l使得以CD为直径的圆过点E（-1，0）？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．21.（问答题，15分）对于给定的正整数n，记集合R n={α|α=（x1，x2，x3，⋅⋅⋅，x n），x j∈R，j=1，2，3，⋅⋅⋅，n}，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0⃗⃗=(0，0，⋅⋅⋅，0)称为零向量．设k∈R，α=（a1，a2，⋅⋅⋅，a n），β=（b1，b2，⋅⋅⋅，b n）∈R n，定义加法和数乘：α+β=（a1+b1，a2+b2，⋅⋅⋅，a n+b n），kα=（ka1，ka2，⋅⋅⋅，ka n）．对一组向量α1⃗⃗⃗⃗⃗，α2⃗⃗⃗⃗⃗，…，αs⃗⃗⃗⃗⃗（s∈N+，s≥2），若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，k s，使得k1α1⃗⃗⃗⃗⃗ +k2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+k sαs⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．（Ⅰ）对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．① α⃗=(1，1，1)，β⃗=(2，2，2)；② α⃗=(1，1，1) ， β⃗=(2，2，2) ， γ⃗=(5，1，4) ；③ α⃗=(1，1，0) ， β⃗=(1，0，1) ， γ⃗=(0，1，1) ， δ⃗=(1，1，1) ． （Ⅱ）已知向量 α⃗ ， β⃗ ， γ⃗ 线性无关，判断向量 α⃗+β⃗ ， β⃗+γ⃗ ， α⃗+γ⃗ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．（Ⅲ）已知m （m≥2）个向量 α1⃗⃗⃗⃗⃗ ， α2⃗⃗⃗⃗⃗ ，…， αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明下列结论：（ⅰ）如果存在等式k 1 α1⃗⃗⃗⃗⃗+k 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+k m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 0⃗⃗ （k i ∈R ，i=1，2，3，⋅⋅⋅，m ），则这些系数k 1，k 2，…，k m 或者全为零，或者全不为零；（ⅱ）如果两个等式k 1 α1⃗⃗⃗⃗⃗+k 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+k m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，l 1 α1⃗⃗⃗⃗⃗+l 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+l m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 0⃗⃗ （k i ∈R ，l i ∈R ，i=1，2，3，⋅⋅⋅，m ）同时成立，其中l 1≠0，则 k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=k m l m．2021-2022学年北京四中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）空间直角坐标系中，若点A（-2，1，4）关于点B（-2，0，0）的对称点为B′，则点B′的坐标为（）A.（-2，-1，-4）B.（-4，-1，-4）C.（-6，1，4）D. (−2，1，2)2【正确答案】：A【解析】：在空间直角坐标系中，利用中点坐标公式求解即可．【解答】：解：在空间直角坐标系中，点A（-2，1，4）关于点B（-2，0，0）的对称点为B′，则点B′坐标为（-2，-1，-4）．故选：A．【点评】：本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，4分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是（）A.0B.2或-1C.0或-3D.-3【正确答案】：C【解析】：由垂直可得a+a（a+2）=0，解方程可得．【解答】：解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，且l1⊥l2，∴a+a（a+2）=0，解得a=0或a=-3故选：C．【点评】：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．3.（单选题，4分）椭圆x216+y2b2=1过点（-2，√3），则其焦距为（）A.2 √5B.2 √3C.4 √5D.4 √3【正确答案】：D【解析】：先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数m，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的a，b，c之间的关系即可求出焦距2c．【解答】：解：由题意知，把点（-2，√3）代入椭圆的方程可求得 b2=4，故椭圆的方程为x 216+y24=1，∴a=4，b=2，c= √a2−b2 = √16−4 =2 √3，则其焦距为4 √3．故选：D．【点评】：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及椭圆方程中a、b、c之间的关系．4.（单选题，4分）已知直线l：x-y+1=0和圆C：（x+1）2+（y+2）2=5交于M，N两点，则|MN|=（）A.2B.4C. 2√3D. 2√5【正确答案】：C【解析】：首先求得圆心到直线的距离，然后计算弦长即可．【解答】：解：圆心（-1，-2）到直线的距离d=√1+1=√2，则直线与圆相交的弦长为|MN|=2√5−2=2√3．【点评】：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解等知识，属于基础题．5.（单选题，4分）已知直线l 的方程为（sin70°）x-（sin20°）y-5=0，则l 的倾斜角是（ ）A.20°B.160°C.70°D.110°【正确答案】：C【解析】：由题意利用直线方程求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系，得出结论．【解答】：解：∵直线l 的方程为（sin70°）x-（sin20°）y-5=0，则l 的斜率为 sin70°sin20° = sin70°cos70° =tan70°，故该直线的倾斜角为70°，故选：C ．【点评】：本题主要考查求直线的斜率，诱导公式，直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．6.（单选题，4分）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0相切于点P （2，-1）的圆的方程为（ ）A.（x-1）2+（y+2）2= √2B.（x-2）2+（y+1）2=2C.（x+2）2+（y-1）2= √2D.（x-1）2+（y+2）2=2【正确答案】：D【解析】：由题意确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程．【解答】：解：过点P （2，-1）且与直线y=-x+1垂直的直线为x-y-3=0，由 {y =−2x x −y −3=0⇒{x =1y =−2 ． 即圆心C （1，-2），半径 r =|CP |=√2 ，所求圆的方程为（x-1）2+（y+2）2=2．【点评】：本题主要考查圆的方程的求解，属于基础题．7.（单选题，4分）椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距为2c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（）A. 2−√22B. 2√2−12C. √3−1D. √2−1【正确答案】：D【解析】：联立直线与椭圆的方程，解得交点的横坐标，由题意可得a，c的关系，进而求出离心率的值【解答】：解：联立{x2a2+y2b2=1y=2x，可得x2= a2b2b2+4a2，由题意可得c2= a2b2b2+4a2 = a2(a2−c2)a2−c2+4a2，整理可得：e4-6e2+1=0，解得：e2=3 ±2√2，e∈（0，1），解得e= √2 -1，故选：D．【点评】：本题考查椭圆的离心率的求法，属于基础题．8.（单选题，4分）“六边形教室”是四中校友记忆中不可磨灭的一部分．空间中，教室的形状近似一个正六棱柱．设正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，所有棱长均相等，M、N分别是四边形EFF1E1，DEE1D1的中心，设MN与A1B1所成的角为α，D1B与A1B1所成的角为β，则α+β=（）A.120°B.90°C.75°D.60°【正确答案】：A【解析】：根据题意画出图形，通过平行关系得MN与A1B1所成的角就是PQ与D1E1所成的角，D1B与A1B1所成的角为∠E1D1B或其补，通过研究几何关系，进行计算，得到结果．【解答】：解：如图，由图形特点可得AB || D1E1，因为M、N分别是四边形EFF1E1，DEE1D1的中心，即分别为FE1，DE1的中点，过点M、N分别作FE1，DE1的垂线，故MN与A1B1所成的角就是PQ与D1E1所成的角，即∠PQE1，因为∠PE1Q=120°，∠QPE1=∠PQE1=30°，∴α=30°，D1B与A1B1所成的角为∠E1D1B或其补，设六棱柱棱长为2，可求得BE1=2 √5，BD1=2 √5，D1E1=2，即BE1²=BD1²+D1E1²，所以∠E1D1B=90°，即β=90°，所以α+β=120°，故选：A．【点评】：本题主要考查了异面直线所成角的求解，考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．9.（单选题，4分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆x 29+y24=1的公共点个数为（）A.至多一个B.0个C.1个D.2个【正确答案】：D【解析】：先根据题意可知原点到直线mx+ny-4=0的距离大于等于 2求得m和n的范围可推断点P（m，n）是以原点为圆心，2为半径的圆内的点，根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆，进而可知点P是椭圆内的点，进而判断可得答案．【解答】：解：因为直线mx+ny=4和圆x 2+y 2=4没有公共点， 所以原点到直线mx+ny-4=0的距离d= √m 2+n 2＞2，所以m 2+n 2＜4，所以点P （m ，n ）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点． ∵椭圆的长半轴 3，短半轴为 2 ∴圆x 2+y 2=4内切于椭圆 ∴点P 是椭圆内的点∴过点P （m ，n ）的一条直线与椭圆的公共点数为2． 故选：D ．【点评】：本题主要考查了直线与圆、直线与圆锥曲线的关系，以及点到直线的距离公式，解决此类问题可采用数形结合的方法较为直观．10.（单选题，4分）在一平面直角坐标系中，已知A （-1，6），B （2，-6），现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为（ ） A. 2√7 B. √41 C. √17 D. 3√5【正确答案】：D【解析】：直接利用向量的线性运算，向量的模的运算求出结果．【解答】：解：如图所示： 如图折叠作AC⊥CD ，BD⊥CD ， 则AC=6，BD=6，CD=3， AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗和BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°， 故 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， =36+9+36-2×6×0+2×6×6×（- 12 ）+2×3×0=81-36=45． 故 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3√5 ． 故选：D ．【点评】：本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.（填空题，5分）与向量a⃗=(1，2，−2)方向相同的单位向量是 ___ ．【正确答案】：[1]（13，23，- 23）【解析】：求出向量的模，然后求解单位向量即可．【解答】：解：向量a⃗=(1，2，−2)，可得|a⃗| = √1+4+4 =3，所以与向量a⃗=(1，2，−2)方向相同的单位向量是：（13，23，- 23）．故答案为：（13，23，- 23）．【点评】：本题考查单位向量的求法，向量的模的计算，是基础题．12.（填空题，5分）已知点P（4，2），Q（1，0），则过点Q且与OP（O是坐标原点）平行的直线方程是 ___ ．【正确答案】：[1]x-2y-1=0【解析】：根据直线平行关系先求直线的斜率，然后结合直线的点斜式可求．【解答】：解：由题意得直线OP的斜率k= 12，所以过点Q且与OP平行的直线方程为y= 12（x-1），即x-2y-1=0．故答案为：x-2y-1=0．【点评】：本题主要考查了直线的斜率公式，直线的位置关系及直线方程的求解，属于基础题．13.（填空题，5分）若向量a⃗=(2，−4，m)，b⃗⃗=(1，−1，2)，c⃗=(0，2，−3)共面，则m=___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：由题意设 a ⃗=xb ⃗⃗+yc ⃗ ，代入坐标，利用坐标相等列出方程组，即可求得m 值．【解答】：解：∵向量 a ⃗=(2，−4，m) ， b ⃗⃗=(1，−1，2) ， c ⃗=(0，2，−3) 共面， ∴可设 a ⃗=xb ⃗⃗+yc ⃗ ，即（2，-4，m ）=（x ，-x ，2x ）+（0，2y ，-3y ）=（x ，2y-x ，2x-3y ）， 则 {x =22y −x =−4m =2x −3y ，解得 {x =2y =−1m =7 ．故答案为：7．【点评】：本题考查共面向量基本定理的应用，考查运算求解能力，是基础题． 14.（填空题，5分）椭圆x 2+ky 2=1的两个焦点在圆x 2+y 2=4上，则实数k=___ ． 【正确答案】：[1] 15【解析】：分椭圆的焦点在x ，y 轴上，由椭圆的定义可得c 的值，即求出焦点坐标，将焦点坐标代入圆的方程可得k 的值．【解答】：解：将椭圆的方程x 2+ky 2=1化为标准方程：x 2+ y 21k=1，当焦点在x 轴上时，a 2=1，b 2= 1k ＜1，则c 2＜1， 焦点不可能在圆x 2+y 2=4上， 当焦点在y 轴上时，a 2= 1k，b 2=1， 所以c 2= 1k-1，所以焦点坐标为（0，±c ）， 由题意c 2=4，即 1k -1=4，解得：k= 15 ， 故答案为： 15 ．【点评】：本题考查椭圆的性质，及点到账圆上的性质，属于基础题． 15.（填空题，5分）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为C 上的动点，则下列说法正确的是 ___ ．① 当 a =√2b 时，使得∠F 1PF 2=90°的点P 有两个； ② 当 a ＜√2b 时，使得∠F 1PF 2=90°的点P 有四个；③ 当a=2b时，使得△PF1F2是等腰三角形的点P有四个；④ 当a＞2b时，使得△PF1F2是等腰三角形的点P有六个．【正确答案】：[1] ① ④【解析】：对于① ② ，将问题转化为以O为圆心，c为半径的圆与椭圆交点个数问题；对于③ ④ ，利用椭圆对称性得到短轴端点满足题意后，将问题转化为以F1为圆心，2c为半径的圆与椭圆交点个数的判断问题；由此可得各选项的正误．【解答】：解：对于① ，当a=√2b时，FM，则以O为圆心，c为半径的圆与椭圆交于短轴两端点，即使得∠F1PF2=90°的点P为短轴两个端点，① 正确；对于② ，当a＜√2b时，c=√a2−b2＜b，则以O为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，即使得∠F1PF2=90°的点P不存在，② 错误；对于③ ，当a=2b时，若P为短轴端点，则△PF1F2为等腰三角形；假设|PF1|=|F1F2|=2c，则P在以F1为圆心，2c为半径的圆上，∵ a+c=2b+√a2−b2=(2+√3)b，a−c=(2−√3)b，2c=2√3b，椭圆半通径长为b 2a =b2，∴ a−c＜b2＜2c＜a+c，∴以F1为圆心，2c为半径的圆与椭圆有两个不同交点，即此时使得△PF1F2是等腰三角形的点P有两个；同理可知：若|PF2|=|F1F2|=2c，此时使得△PF1F2是等腰三角形的点P有两个；综上所述：若a=2b，则使得△PF1F2是等腰三角形的点P有六个，③ 错误；对于④ ，当a＞2b时，若P为短轴端点，则△PF1F2为等腰三角形；假设|PF1|=|F1F2|=2c，则P在以F1为圆心，2c为半径的圆上，∵a＞2b，∴ c=√a2−b2＞√3b，离心率e=√1−b2a2＞√1−14=√32；∴ a−c2c =12(1e−1)＜12×(√31)=√3−12＜1，∴a-c＜2c，又椭圆半通径长为b 2a ＜b2，∴以F1为圆心，2c为半径的圆与椭圆有两个不同交点，此时使得△PF1F2是等腰三角形的点P有两个；同理可知：若|PF2|=|F1F2|=2c，此时使得△PF1F2是等腰三角形的点P有两个；综上所述：若a＞2b，则使得△PF1F2是等腰三角形的点P有六个，④ 正确．故答案为：① ④ ．【点评】：本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．16.（问答题，12分）已知椭圆C ：x 2+4y 2=4，斜率为-1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点且 |AB |=8√25． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求直线l 的方程．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将椭圆的方程化为标准方程，可得a ，b 的值，进而求出c 的值，再求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，代入弦长的公式求出弦长，由题意求出参数的值，可得直线l 的方程．【解答】：解：（Ⅰ）将椭圆的方程x 2+4y 2=4化为标准方程： x 24 +y 2=1，所以a 2=4，b 2=1，可得c 2=a 2-b 2=4-1=3， 所以椭圆的离心率e= ca = √32 ， 所以椭圆的离心率为 √32 ；（Ⅱ）设直线的方程为x=-y+t ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立 {x =−y +t x 2+4y 2=4 整理可得：5y 2-2ty+t 2-4=0，则Δ=4t 2-4×5×（t 2-4）＞0，即t 2＜5， 且y 1+y 2= 2t 5，y 1y 2=t 2−45， 所以弦长|AB|= √1+(−1)2 • √(y 1+y 2)2−4y 1y 2 = √2 • √4t 225−4•t 2−45 = √2 • √80−16t 25， 由题意可得 √2•√80−16t 25 = 8√25， 解得：t=±1，符合判别式大于0的条件， 所以直线AB 的方程为x=-y±1， 即直线l 的方程x+y±1=0．【点评】：本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题． 17.（问答题，14分）已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1= 12 AB=1，M 为CC 1的中点． （Ⅰ）求平面A 1BM 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值； （Ⅱ）求点D 到平面A 1BM 的距离．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）在正四棱柱中，DA ，DC ，DD 1两两垂直，建立以D 点为坐标原点的空间直角坐标系，分别求得平面A 1BM 与平面ABCD 的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的夹角余弦值；（Ⅱ）利用向量法求得DB 与平面A 1BM 的夹角正弦值，进而求得D 到平面A 1BM 的距离．【解答】：解：（Ⅰ）在正四棱柱中，DA ，DC ，DD 1两两垂直，建立以D 点为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示：则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A 1（2，0，1），B （2，2，0）， M (0，2，12) ，则 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2，0，12) ， BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2，1) ，设平面A 1BM 法向量 m ⃗⃗⃗=(x ，y ，z) ，则 {BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗=0BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗=0 ，即 {−2x +12z =0−2y +z =0 ，取 m ⃗⃗⃗=(1，2，4) ，因DD 1⊥平面ABCD ，故取平面ABCD 的法向量为 DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，0，1) ， 则 cos〈DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，m⃗⃗⃗〉=4√12+22+42×1=4√2121， 平面A 1BM 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为4√2121； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2，2，0) ， DB =2√2 ， cos〈DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，m ⃗⃗⃗〉=DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|=2+42√2×√21=√4214 ， 则点D 到平面A 1BM 的距离为 2√2×√4214=2√217．【点评】：本题主要考查空间向量计算面面角的方法，空间向量计算点面距离的方法等知识，属于中等题．18.（问答题，14分）已知在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，CD⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点． （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为 π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（I ）因为PO⊥AD ，又CD⊥平面PAD ，得到PO⊥CD ，进而证明结论；（II ）以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，平面EFG 的法向量，又平面ABCD 的法向量 n ⃗⃗=(0，0，1) ，利用夹角公式求出即可； （III ）假设线段PA 上存在点M ，设 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，λ∈[0，1] ，由直线GM 与平面EFG 所成角为 π6，得到关于λ的方程，解方程判断即可．【解答】：解：（Ⅰ）证明：因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO⊥AD ． 又因为CD⊥平面PAD ，PO⊂平面PAD ，所以PO⊥CD ，AD∩CD=D ，AD ，CD⊂平面ABCD ， 所以PO⊥面ABCD ；（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 则O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(−2，4，0)，D(−2，0，0)，G(0，4，0)，P(0，0，2√3) ， E(−1，2，√3)，F(−1，0，√3) ， EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2，0)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，2，−√3) ， 设平面EFG 的法向量为 m ⃗⃗⃗=(x ，y ，z) ， 由 {m ⃗⃗⃗•EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0m ⃗⃗⃗•EG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，得 {−2y =0，x +2y −√3z =0，令z=1，则 m ⃗⃗⃗=(√3，0，1) ， 又平面ABCD 的法向量 n ⃗⃗=(0，0，1) ， 设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 所以 cosθ=|m ⃗⃗⃗⃗n ⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|=12． 所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为 π3 ；（Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为 π6 ， 设 PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，λ∈[0，1] ，由 GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=GP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=GP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λPA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2λ，−4，2√3(1−λ)) ． 所以 sin π6=|cos ＜GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，m ⃗⃗⃗＞| = √32√4λ2−6λ+7，整理得2λ2-3λ+2=0，无解， 所以，不存在这样的点M ．【点评】：考查线面垂直的判定，向量法求二面角和线面所成的角的余弦值，考查运算能力，中档题．19.（问答题，15分）已知△ABC 的顶点坐标分别为A （-3，0）， B(−1，−2√2) ，C （3，0）．圆M 为△ABC 的外接圆．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）直线l 与圆M 相切，求直线l 与两坐标轴所围成的三角形面积最小时l 的方程．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设出圆的一般方程，代入A ，B ，C 可构造方程组求得结果；（Ⅱ）设 l ：xa +yb =1 ，利用直线与圆相切和基本不等式可知当|a|=|b|直线l 与两坐标轴所围成的三角形面积最小，由此得到a ，b ，进而整理得到直线方程．【解答】：解：（Ⅰ）设圆M 方程为：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）， 则 {9−3D +F =01+8−D −2√2E +F =09+3D +F =0 ，解得： {D =0E =0F =−9 ，∴圆M 方程为：x 2+y 2-9=0，即x 2+y 2=9．（Ⅱ）由题意知：直线l 在x ，y 轴的截距不为零，∴可设 l ：xa +yb =1 ，即bx+ay-ab=0， ∵l 与M 相切，∴√a 2+b 2=3 ，即 |ab |=3√a 2+b 2≥3√2|ab | （当且仅当|a|=|b|时取等号），∴|ab|≥18，即当 |a |=|b |=3√2 时，直线l 与两坐标轴所围成的三角形面积最小， 此时所有可能的结果为： {a =3√2b =3√2 或 {a =3√2b =−3√2 或 {a =−3√2b =3√2 或 {a =−3√2b =−3√2，∴l 方程为： x +y −3√2=0 或 x −y −3√2=0 或 x −y +3√2=0 或 x +y +3√2=0 ．【点评】：本题主要考查圆的方程的求解，圆中的最值问题等知识，属于中等题． 20.（问答题，15分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率e= √63 ，且经过点A （0，-1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P （0，2）的直线l 与椭圆交于C ，D 两点．是否存在直线l 使得以CD 为直径的圆过点E （-1，0）？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意列关于a ，b ，c 的方程组，求得a 与b 的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 方程为x=0，以CD 为直径的圆过点E ；当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为y=kx+2，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系，结合已知条件，即可求出当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线l 的方程．【解答】：解：（Ⅰ）由题意， {c a=√63b =1a 2=b 2+c 2，解得 a =√3 ，b=1，c= √2 ．∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1 ；（Ⅱ） ① 当直线l 的斜率不存在时，直线l 方程为x=0， 则直线l 与椭圆的交点为（0，±1），又∵E （-1，0）， ∴∠CED=90°，即以CD 为直径的圆过点E ；② 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为y=kx+2，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 由 {y =kx +2x 23+y 2=1 ，得（1+3k 2）x 2+12kx+9=0， 由Δ=144k 2-4×9（1+3k 2）=36k 2-36＞0，得k ＞1或k ＜-1， ∴ x 1+x 2=−12k1+3k 2， x 1x 2=91+3k 2， ∴y 1y 2=（kx 1+2）（kx 2+2）=k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4． ∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC⊥ED ，即 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得（x 1+1）（x 2+1）+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2+（2k+1）（x 1+x 2）+5=0， ∴9(1+k 2)1+3k 2+（2k+1）• −12k 1+3k 2 +5=0，解得k= 76 ＞1，即l ：y= 76x +2．综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线l 的方程为x=0或y= 76 x+2．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，是中档题．21.（问答题，15分）对于给定的正整数n ，记集合R n ={α|α=（x 1，x 2，x 3，⋅⋅⋅，x n ），x j ∈R ，j=1，2，3，⋅⋅⋅，n}，其中元素α称为一个n 维向量．特别地， 0⃗⃗=(0，0，⋅⋅⋅，0) 称为零向量．设k∈R ，α=（a 1，a 2，⋅⋅⋅，a n ），β=（b 1，b 2，⋅⋅⋅，b n ）∈R n ，定义加法和数乘：α+β=（a 1+b 1，a 2+b 2，⋅⋅⋅，a n +b n ），kα=（ka 1，ka 2，⋅⋅⋅，ka n ）．对一组向量 α1⃗⃗⃗⃗⃗ ， α2⃗⃗⃗⃗⃗ ，…， αs ⃗⃗⃗⃗⃗ （s∈N +，s≥2），若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，…，k s ，使得k 1 α1⃗⃗⃗⃗⃗ +k 2 α2⃗⃗⃗⃗⃗ +⋅⋅⋅+k s αs ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． （Ⅰ）对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ① α⃗=(1，1，1) ， β⃗=(2，2，2) ； ② α⃗=(1，1，1) ， β⃗=(2，2，2) ， γ⃗=(5，1，4) ；③ α⃗=(1，1，0) ， β⃗=(1，0，1) ， γ⃗=(0，1，1) ， δ⃗=(1，1，1) ． （Ⅱ）已知向量 α⃗ ， β⃗ ， γ⃗ 线性无关，判断向量 α⃗+β⃗ ， β⃗+γ⃗ ， α⃗+γ⃗ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．（Ⅲ）已知m （m≥2）个向量 α1⃗⃗⃗⃗⃗ ， α2⃗⃗⃗⃗⃗ ，…， αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明下列结论：（ⅰ）如果存在等式k 1 α1⃗⃗⃗⃗⃗+k 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+k m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ （k i ∈R ，i=1，2，3，⋅⋅⋅，m ），则这些系数k 1，k 2，…，k m 或者全为零，或者全不为零；（ⅱ）如果两个等式k 1 α1⃗⃗⃗⃗⃗+k 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+k m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ ，l 1 α1⃗⃗⃗⃗⃗+l 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+l m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ （k i ∈R ，l i ∈R ，i=1，2，3，⋅⋅⋅，m ）同时成立，其中l 1≠0，则 k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=k ml m．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据定义逐一判断即可；（Ⅱ）设 k 1(α⃗+β⃗)+k 2(β⃗+γ⃗)+k 3(α⃗+γ⃗)=0⃗⃗ ，则 (k 1+k 3)α⃗+(k 1+k 2)β⃗+(k 2+k 3)γ⃗=0⃗⃗ ，然后由条件得到k 1=k 2=k 3=0即可； （Ⅲ）（i ）如果某个k i =0，i=1，2，⋯，m ，然后证明k 1，k 2，⋯k i-1，k i+1，⋅⋅⋅，k m 都等于0即可；（ii ）由 l 1α1⃗⃗⃗⃗⃗+l 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+l m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ 可得 α1⃗⃗⃗⃗⃗=−l 2l 1α2⃗⃗⃗⃗⃗−⋅⋅⋅−lm l 1αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后代入 k 1α1⃗⃗⃗⃗⃗+k 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+k m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ 证明即可．【解答】：（Ⅰ）解：对于 ① ，设 k 1α⃗+k 2β⃗=0⃗⃗ ，则可得k 1+2k 2=0，所以 α⃗，β⃗ 线性相关； 对于 ② ，设 k 1α⃗+k 2β⃗+k 3γ⃗=0⃗⃗ ，则可得 {k 1+2k 2+5k 3=0k 1+2k 2+k 3=0k 1+2k 2+4k 3=0 ，所以k 1+2k 2=0，k 3=0， 所以 α⃗，β⃗，γ⃗ 线性相关；对于 ③ ，设 k 1α⃗+k 2β⃗+k 3γ⃗+k 4δ⃗=0⃗⃗ ，则可得 {k 1+k 2+k 4=0k 1+k 3+k 4=0k 2+k 3+k 4=0 ，解得k 1=k 2=k 3=k 4=0， 所以 α⃗，β⃗，γ⃗，δ⃗ 线性无关； （Ⅱ）解：设 k 1(α⃗+β⃗)+k 2(β⃗+γ⃗)+k 3(α⃗+γ⃗)=0⃗⃗ ， 则 (k 1+k 3)α⃗+(k 1+k 2)β⃗+(k 2+k 3)γ⃗=0⃗⃗ ， 因为向量 α⃗ ， β⃗ ， γ⃗ 线性无关，所以 {k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0 ，解得k 1=k 2=k 3=0，所以向量 α⃗+β⃗ ， β⃗+γ⃗ ， α⃗+γ⃗ 线性无关，（Ⅲ）证明：（i ） k 1α1⃗⃗⃗⃗⃗+k 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+k m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ ，如果某个k i =0，i=1，2，⋯，m ， 则 k 1α1⃗⃗⃗⃗⃗+k 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋯k i−1αi−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+k i+1αi+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+k m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ ， 因为任意m-1个都线性无关，所以k 1，k 2，⋯k i-1，k i+1，⋅⋅⋅，k m 都等于0， 所以这些系数k 1，k 2，⋅⋅⋅，k m 或者全为零，或者全不为零， （ii ）因为l 1≠0，所以l 1，l 2，⋅⋅⋅，l m 全不为零，所以由 l 1α1⃗⃗⃗⃗⃗+l 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+l m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ 可得 α1⃗⃗⃗⃗⃗=−l 2l 1α2⃗⃗⃗⃗⃗−⋅⋅⋅−l ml 1αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 代入 k 1α1⃗⃗⃗⃗⃗+k 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+k m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ 可得 k 1(−l 2l 1α2⃗⃗⃗⃗⃗−⋅⋅⋅−l m l1αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+k 2α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+k m αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ ， 所以 (−l 2l 1k 1+k 2)α2⃗⃗⃗⃗⃗+⋅⋅⋅+(−l ml1k 1+k m )αm ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ ， 所以 −l 2l 1k 1+k 2=0 ，⋯， −lm l 1k 1+k m =0 ，所以 k1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=k ml m．【点评】：本题主要考查平面向量的综合运用，新定义概念的理解与应用等知识，属于中等题．。