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三垂线定理及其逆定理知识点：1.三垂线定理；；2.三垂线定理的逆定理；3.综合应用； 教学过程：1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥。
求证：a PO ⊥； 证明： 说明：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。
（4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。
求证：PC BC ⊥。
例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。
求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。
PBB例4.在正方体1AC 中，求证：11111,AC B D AC BC ⊥⊥；2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明：例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。
求证：（1）AD BC ⊥；（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心；PDAB C1A C例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知： 求证：说明：可以作为定理来用。
例5．已知：Rt ABC ∆中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 的斜线，3PAB PAc π∠=∠=。
(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上；B作业：1.正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别是1,A A AB 上的点,1EC EF ⊥. 求证: 1EF EB ⊥。
三垂线定理及其逆定理知识点：1.三垂线定理；；2.三垂线定理的逆定理；3.综合应用； 教学过程：1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α⊂a AO ⊥。
求证：a PO ⊥； 证明： 说明：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。
（4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。
求证：PC BC ⊥。
例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。
求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。
PBB例4.在正方体1AC 中，求证：11111,AC B D AC BC ⊥⊥；2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明：例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。
求证：（1）AD BC ⊥；（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心；PDAB C1A C例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：说明：可以作为定理来用。
例5．已知：Rt ABC ∆中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 的斜线，3PAB PAc π∠=∠=。
(1)求PA 与面ABC 所成的角的大小;(2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上；B作业：1.正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别是1,A A AB 上的点,1EC EF ⊥. 求证: 1EF EB ⊥。
三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。
它是线面垂直性质的延伸。
利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。
所以在立体几何中有核心定理的作用。
【课程目标】一.知识与技能目标理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。
二.过程与方法目标1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。
三．情感、态度和价值观目标3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。
【教学重点和难点】一.教学重点定理的理解和运用二．教学难点如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。
【教学方法】以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。
【教学过程】一复习引入：1.复习提问1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。
）2.有意设疑，引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。
那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。
经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。
启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）二、新课讲授：由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
三垂线定理及其逆定理•正射影的概念：自一点向平面引垂线，垂足叫做这一点在平面内的正射影（简称为射影）；平面的斜线的概念：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。
•三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
•三垂线定理与其逆定理的关系：即：•三垂线定定理的主要应用：证明线线、线面垂直，求点到线的距离、二面角大小。
应用两个定理解题的一般思路：平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
证明：1）用线面垂直证明已知：如图，PO在α上的射影OA垂直于a三垂线定理的证明三垂线定理的证明求证：OP⊥a证明：过P做PA垂直于α∵PA⊥α且a⊆α∴a⊥PA又a⊥OAOA∩PA=A∴a⊥平面POA∴a⊥OP（2）用向量证明三垂线定理1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）∴向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b ）=0，∴PA⊥向量b。
2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。
解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。
用途在做图中，做二面角的平面角在证明中，证明线线垂直在计算中，用归纳法归拢已知条件，便于计算口诀线射垂，线斜垂；线斜垂，线射垂。
三垂线定理及其逆定理
【学习内容分析】
“三垂线定理”就是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。
它就是线面垂直性质的延伸。
利用三垂线定理及其逆定理,可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化,具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。
所以在立体几何中有核心定理的作用。
【课程目标】
一. 知识与技能目标理解与掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明与应用。
二. 过程与方法目标
1 通过对定理的学习, 培养学生观察、猜想与论证数学问题的能力。
三.情感、态度与价值观目标
3、培养学生逻辑推理证明的能力与相互转化的思想。
【教学重点与难点】
一. 教学重点
定理的理解与运用
二. 教学难点
如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线与平面。
【教学方法】
以教师为主导,以学生为主体,以能力发展为目标,从学生的认识规律出发进行启发式教学运用小组学习合作探究。
【教学过程】
一复习引入:
1. 复习提问
1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念;
设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影就是三垂线定理的基础,直线与平面垂直的判定与性质又就是证明三垂线定理的基本方法,因此我用提问的形式让学生温故知新
作好新课的铺垫。
）
2、有意设疑,引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线;平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线,但也不就是与每一条直线都不垂直。
那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下就是垂直的呢？
学生思考后,我再引导学生利用三角板与直尺在桌面上搭建模型（如图）,使直尺与三角板的
斜边垂直，引导学生猜想发现规律。
经过实验 ，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时
便与斜边垂直。
启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来 ，表达成数学命题：
平面内的一条直线如果与平面的斜线的射影垂直
，那么就与平面的这条斜线垂直（板书）
设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通 过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）
二、新课讲授：
由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。
P0丄a ,PA 与a 斜交于点 A,AO 丄a ，问PA 与a 所成的角 显然P0丄a 一 PO a
a ' OA a
PO 0A=0
即:PA 与a 所成的角为900
三垂线定理来源于“线面垂直” ，抓住平面a 的垂线 PO ， 才就是抓住了定理的实质与关键
，并启发学生猜想逆命题的真假
本质很容易得出三垂线定理的逆定理。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它与这个平面的一条斜线垂直 ，那么它与这
条斜线在平面内的射线垂直。
（板书）
设计意图（1证明命题。
通过对猜想得到的命题的论证 ，加深学生对命题内容的认识 ，使学生 的思维提高到演绎推理的水平上来。
我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结 ，帮助学 生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。
2、利用命题变换，培养学生思维的灵
活性，进一步深化对定理的学习与理解。
3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理 内容的理解与记忆。
） 剖析命题
（1）、三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系 ，平面内的直线与平面的
斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价
，本质就就是线面垂直的定义。
（2）、通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结 ：
一找垂面：即先确定平面及平面的垂线 : 二找斜线:接着确定平面的斜线：
三定射影：由上面的垂足与斜足确定斜线的射影
；
四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。
（板书）
设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的
a 平面POA PA 平面POA
应用方法。
）三讲解例题
例1、已知：点0就是ABC 的垂心，P0平面ABC ,垂足为O ,求证：PA BC 证明：•••点0就是ABC 的垂心,
••• AD BC
又P0 平面ABC ,垂足为0
PAp 平面 ABC A
所以，由三垂线定理知，PA BC .
例2、如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等 个角的平分线上•
已知：/ BAC 在 a 内,P ,PE AB 于 E,PF AC 于 F 且 PE=PF,PO 求证:0在/ BAC 的平分线上（即/ BAO=Z CAO ） 证明:连接OE,OF •/ P0 • EO,FO 分别为PE,PF 在上的射影 •/ PE=PF • OE=OF •/ PE AB,PF AC • OE AB,OF AC （三垂线定理的逆定理 ） • 0到/ BAC 两边距离相等 • 0在/ BAC 的平分线上 变式：
BA0 CA0
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线 ,如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜
线在平面上的射影就是这个角的平分线所在直线
例3、在三棱锥 P-ABC 中，三条侧棱PA,PB,P （两两垂直,H 就是△ ABC 的垂心 求证：（1）PH 底面ABC （2） △ ABC 就是锐角三角形、
证明：（1）略
，那么这点在平面内的射影在这
已 知
BAC
在平 面
内，
占 八、
P ,PE AB, PF AC
,P°
,垂足分别为E,F,O,PE
PF
5
求证 :BA0
)
CA0.
证明：
•/
PE AB.PF AC,P0
• AB 0E, AC
0F （三垂线定理逆定理）
...PE
PF, PA PA 5
• Rt PAE Rt A0F 5
• AE
AF
,又.
A0 A0 • Rt A0E Rt
5 * *
A0F
P
A
B
O
D
C
f I
C
⑵设AH 与直线BC 的交点为E 连接PE 由(1)知PH 底面ABC ••• AE 为PE 在平面 ABC 的射影， 由三垂线定理:PE BC
••• PB PC 即厶BPC 就是直角三角形,BC 为斜边 • E 在BC 边上 由于AE BC 故B Z C 都就是锐角 同理可证：Z A 也就是锐角
ABC 为锐角三角形
设计意图(为了培养学生灵活应用定理的能力 ，帮助学生掌握重点，化解难点，我精选了三 条有层次的、由易到难的例题，通过引导学生观察，分析后，我用设问的方法，深入浅出地引导学 生寻找证题的基本思路，确定适应定理的“四线一面” ，然后，由学生板书解答后，我再较正学生 的证明过程，进一步培养学生的书面语言表达能力与逻辑推理能力。
)
四小结：
知识：三垂线定理以及逆定理
问题:平面中斜线与射影的垂直问题 方法：空间垂直与平面垂直互相转化 思想：转化思想
五作业：
1、边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面内，PA 1 ，PA=a 则P 到CD 的距离为_，P 至U BC 的距离为 ________ 、 AC 就是平面 的斜线，且AO=a ，AO 与 成60o 角，0C ，AA Z
± 于A'，Z A OC=45o,
.7 14 2
2a ，—a ------------a,—
答案：1、 2 ; 2、 4 4
3、如图，已知ABCD 就是矩形，AB=a ，AD= b ，PA 平面ABCD ，PA=2c ，C 就是PA 的中点.
六板书设计： 七教学后记
本节课采用教师为主导学生为主体的启发式教学方式 ，学生反映较好，定理记得牢，理解深 刻，应用灵活，不仅让学生学习了新的知识，而且培养了能力。
从学生的课后作业瞧，书写规 范,推理正确,取得较好的教学效果，圆满完成本节课的教学任务。
2、
则A 到直线OC 的距离就是
，Z AOC 的余弦值就是
D。
