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对于非线性特征明显的对象，需要先将非线性系统进行线性化，才能应用常见的线性分析方法。
IAS 系统中，空气弹簧的作用力与所施加激励之间存在明显的非线性关系，而减振器作用力与施加激励也存在非线性关系，所以IAS 系统是典型的非线性系统。
精确线性化方法通过恰当的非线性状态反馈和非线性坐标变换（或动态补偿），将一个非线性系统变换成(部分或全部地)线性系统。
精确线性化方法基于微分几何理论，通过对系统输入输出的解耦，实现非线性系统的线性化。
在非线性系统线性化后，可引入相关的控制理论实现对减振器阻尼的切换。
在介绍精确线性化方法前，先介绍两个概念：李导数、相对阶。
设如下n 阶非线性系统()()()x f x g x u y h x =+⎧⎨=⎩ 其中，状态量0x X ∈，,f g 为n 维光滑向量场h 为光滑函数。
n x ∈R ，系统的输入1u ∈R ，系统的输出1y ∈R 。
(1) 李导数（Lie Derivative ）对系统（3.25）的输出方程求导数(()())()()f g dhdhy x f x g x u L h x L h x u dx dx ==+=+ (0.1)在式（3.17）中，定义()()f dh L h x f x dx ∆=，()()g dh L h x g x dx ∆=为李导数，f L 代表()h x 沿着系统的轨迹的导数。
(2) 相对阶（relative degree ） 定义3.2（相对阶）： 0x X ∈，如果存在0x 的邻域V 及正整数r 使（3.16）满足以下两个条件：① ()0k g f L L h x =,x V ∀∈,01k r ≤<-；② 1()0r g f L L h x -≠, x V ∀∈；则称系统（3.16）的相对阶为r 。
以单输入单输出系统（SISO ）为例，说明精确线性化原理：利用系统的输出方程得到所需要的坐标变化和状态反馈，实现系统的精确线性化【徐兴大论文，89-91】。
对于整车车身高度跟踪系统，基于三点测量策略，提出两种高度切换控制方案，一种为整车耦合系统的车身高度跟踪，也就是在整车模型的多输入多输出系统；另一种方案是，针对课题这类中大型客车，轴距和轮距均较大，各控制点之间的相关性较小，提出三点测量独立系统的变结构控制，考虑到高度跟踪过程中的车身姿态稳定性，在各点独立控制的基础上，增加俯仰姿态和侧倾姿态的稳定控制器来协调各独立系统控制的时序或者修正控制量大小，简化了控制算法，便于实现。
3.3.1三点测量车身高度跟踪模型的精确线性化对于三点测量独立系统的控制，每个点都是单输入单输出的非线性系统，其线性化的方法和步骤均类似，这里将三个独立系统统一成1/4车身高度跟踪模型（只是模型参数不同），在不考虑道路干扰情况下，根据第二章建立的数学模型（2.21）及精确线性化理论，设车身高度跟踪系统的状态变量3Ts sX Z Z P ⎡⎤=⎣⎦，则式（2.21）变为12(1)(2)2(3)32332323232333013011()()a e s s m X X X X P A m g C X C X C X m RT VX X X q V VX V VX κκ⎧⎪=⎪⎪⎡⎤=---++⎨⎣⎦⎪⎪∆=-+⎪+∆+∆⎩(0.1)1()y h X X ==(0.2)即闭环系统中，有2(1)(2)2(3)33323232233011()()()a e s s X f X X P A m g C X C X C X m VX X V VX κ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥∆-⎢⎥+∆⎣⎦(0.3)33010()0g X R T V VX κ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+∆⎣⎦(0.4)因为，0()()0g f g L L h X L h X ==，1()0g f L L h X =，()33012()0g f s Ae kRT L L h X m V V X ≠+∆=，根据相对阶的定义知道系统的相对阶为3，即均满足输入-状态线性化和输入-输出线性化的条件错误！未找到引用源。
第五章精确线性化方法精确线性化方法（Exact Linearization Method）是一种数学工具，用于在非线性系统中找到一个等效的线性系统，从而使得非线性系统的特性可以通过线性控制理论来分析和设计控制器。
在控制系统中，线性化是一种常用的方法，用于简化非线性系统的分析和设计过程。
然而，线性化方法只能近似地描述非线性系统的行为，而精确线性化方法则可以提供一个非常准确的线性化模型，从而更精确地分析和设计控制器。
精确线性化方法基于泰勒级数展开的原理，通过将非线性系统的输出和输入表示为泰勒级数的形式，从而将非线性系统转化为一个线性系统。
具体而言，精确线性化方法假设非线性系统可以表示为以下形式：\dot{x} = f(x,u)\]y=h(x,u)\]其中，\(\dot{x}\)表示状态变量的导数，\(f(x,u)\)是一个非线性函数，表示状态变量和输入的关系，\(y\)是输出变量，\(h(x,u)\)是一个非线性函数，表示状态变量和输入的关系。
为了进行精确线性化，首先需要将非线性函数\(f(x,u)\)和\(h(x,u)\)展开为泰勒级数的形式。
对于一个\(n\)维系统，泰勒级数的展开形式如下：f(x,u) = f(0,u) + \sum_{i=1}^n \left. \frac{{\partialf}}{{\partial x_i}} \right，_{x=0,u=0} \cdot x_i + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left. \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x_i \partial x_j}} \right，_{x=0,u=0} \cdot x_i x_j + \ldots\]h(x,u) = h(0,u) + \sum_{i=1}^n \left. \frac{{\partialh}}{{\partial x_i}} \right，_{x=0,u=0} \cdot x_i + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left. \frac{{\partial^2 h}}{{\partial x_i \partial x_j}} \right，_{x=0,u=0} \cdot x_i x_j + \ldots\]将上述展开式代入非线性系统的动态方程，可以得到一个等效的线性系统。
第五章精确线性化方法2012年4月12日星期四5时0非线性控制系统理论与应用本章安排SISO系统输入/输出线性化，SISO非线性系统的标准形，状态反馈精确线性化，系统零动态MIMO系统输入输出精确线性化，状态精确线性化，MIMO系统的动态扩展鲁棒输入/输出线性化问题2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用本章重点精确线性化的含义精确线性化的要精确线性化的主要思想输入输出精确线性化状态反馈精确线性化2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化方法含义在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项, 因此这种线性化不仅是精确的, 而且是整体的, 即线性化对变换有定义的整个区域都适用个区域都适用。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化主要思想通过适当的非线性状态和反馈变换,实现状态或输入/输出的精确线性化，将复杂输出的精确线性化将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题综合问题。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用微分几何回顾切空间向量场李括号李导数李括号、李导数分布和协分布定理一个正则分布完全可积的 Frobinus定理：一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的。
----某些类型分布或向量场对于的偏微分方程解的存在性定理。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用SISO 非线性系统的标准形定义()()⎪⎫==x h L x Φx h x Φ152()()()()⎪⎪⎭⎪⎬=−x h L x Φf f 12γγM 结论5.2（部分坐标变换）()()1,,2,1−=U i x d Φi γ中是线性无关的。
在导数L ()()()011 0110≠−=−=+−−−x h L L x h L L j i f g j j f g ad ifγγγ时，当()()⎤⎡⎤⎡−0001x h L x dh g ad γL ()()()()()[]()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣−−−−****001001000102x h L L x h L L x g ad x g ad x g x h dL x h dL f g f g ad f f f f f fγγγγM M L M 非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四SISO 非线性系统的标准形结论5.3则向量场定义如下非线性变换为局部微分同胚变换）。
是线性无关的（，则向量场性系统具有相对阶假设单输入单输出非线n g ad g ad g f f ≤−γγγ1,,,L 定义如下非线性变换：Φ为局部微分同胚变换()⎥⎤⎢⎡x h L x h ()()()()⎥⎥⎤⎢⎢⎡=⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢→−γηηξf ff x h L x h x h L x ΦM M M 11,,:＝令()⎥⎦⎢⎣⎥⎥⎦⎢⎢⎣⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢−−γγηηn f x h L M 11非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四⎦⎣−γηnSISO 非线性系统的标准形ξξ⎪⎫=21&&()ξξ⎪⎪⎪⎬=29.532&M ()()()q u a b ηξηηξηξξγ⎪⎪⎪==+=,,,&y ξγγ====⎪⎭−11其中()()()()()()i f i f g f L q q h L L a h L b ηηξηξηξηξ,,,,,,非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四SISO 非线性系统的标准形⎫ξ&()()⎤⎡⎤⎡⎪⎪==3221ξξξ&()()()()⎥⎥⎤⎢⎢⎡⎥⎥⎤⎢⎢⎡ξf f x h L x h x h L x h ＝()()⎪⎪⎪⎬+=⇒,,ηξηξξγu a b &M ()()⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎥⎥⎥⎢⎢⎢→−−γγf f x h L x h L x ΦM M 11:，令()⎪⎪⎪⎭==1,ξηξηy q &⎥⎥⎤⎢⎢⎡=⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢ηηηM M 11⎥⎦⎢⎣⎦⎣−−γγηηn n 非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四例5.2 考虑下列控制系统⎧⎪⎟⎞⎜⎛+⎟⎟⎞⎜⎜⎛+−=2311u cosx sinx x x x &⎪⎪⎨⎟⎟⎠⎜⎜⎝⎟⎠⎜⎝2320x 经过下面的计算可知该系统有相对阶2。
⎪⎩==3)(x x h y 2)( ,0)(x x h L x h L f g ==322)( ,1)(sinx x x h L x h L L ff g +==非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四为获得标准形的坐标我们选择该变换阵是一非奇异阵。
因此该变换是一全局微分同胚。
其逆变换为⎧+=21ξηsin x ⎪⎪⎨==22ξx 在新的坐标系中，系统的状态方程为⎩13ξx ⎪⎧=21ξξi &&⎪⎪⎨+−+=++=3122ξξξsin cos sin u sin&非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四⎪⎩)()(1222ξξξξηη单输入仿射非线性系统精确状态线性化问题有解的条件1.（能控性条件）d d d k 2.（能精确线性化条件）{})1 ;,,,,12n g ad g ad g ad g rank n n f ff =−−L ⎧{}|,,, 202是对合分布分布⎭⎬⎫⎩⎨===∑−=−n k k f k n f g ad c p p g ad g ad g span D f Lh(x)可解的充要条件2) 是对合分布。
a)线性无关b)对合性非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四和坐标变换⎟⎞⎜⎛⎟⎞⎜⎛2)(x x h ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝−−−=⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜==231312)()()(x x x x x h L x h L x z f Φ即可将原系统变换为下列标准形⎠⎝f ⎞⎛⎞⎛0010v z z⎟⎟⎟⎜⎜⎜+⎟⎟⎟⎜⎜⎜=0100&⎠⎝⎠⎝1000非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四状态精确线性化)()()()()2101 ,,,,n n f ffg x ad g x ad g x ad g x x −−L 在线性无关⎡& x xx x ==&&132400x x x x u ⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+−+−&&314231214210sin ()1()x x x x x x x αβγ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦&00⎡210[,][,]0f f f ad g f g ad g f ad g β⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−320ad ad g γβγ⎣⎦⎣⎦−⎡⎤⎢⎥⎢⎥==[,]00f f g f ⎢⎥⎢⎥⎣⎦23(,,,)4f f fra n k g a d g a d g a d g =非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四状态精确线性化)()()()()322,,,,n n −−L )()()()()2 ,,,,1f ffg x ad g x adg x adg x n −张成的分布（局部）具有常数秩由于23,,,f f fg ad g ad g ad g5.1均为常向量，所以任意两个向量的李括号均为零向量，所以2[]123)3i j (,,,[,],,,2,3)f f f frank g ad g ad g ad g ad g i j ==根据非线性系统的精确线性化有解的充要条件，可以知，该系统是可以实现输入状态线性化的非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四单输入仿射非线性系统精确状态线性化问题有解的条件⎡1122123(,)0(,,)0(),()f x xf x x xf xg x⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==M M11()0()()n nf x xxxβα−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L{}21,,,,;1)f fn nfrank g ad g ad g ad g n−−=L222)nn kg p−−⎧⎫分布是对合分布{},,,| 2)ff k fkD span g ad g ad p c ad g====⎨⎬⎩⎭∑L分布是对合分布。
1()()y h x f x==非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四系统零动态输入/输出精确线性化控制规律 零点消除法 零动态 输出零化问题 最小相位系统稳定的()最小相位的。
指数点是局部渐近在则称非线性系统稳定的，指数的平衡点是局部渐近如果零动态系统)(5.1)(,00x q ηη=& 零动态系统的稳定性非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四x ⎧=13ξ渐近镇定和SISO 系统的跟踪有界跟踪定理多项是并且多项式，是局部指数最小相位的的系统如果具有相对阶Hurwitz s ss 5.11αααγγγ++++−−L 有定义且是，对所有式，如果其零动态系统011ηξγ()统能够实现有界跟踪将使系阶导数时，反馈控制律和其前出位的，则当期望输连续和全局指数最小相t y d 5.62Lipschitz γ有界。
且状态趋于阶导数是渐近和其前即统能够实现有界跟踪，x e 00γ非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四SISO非线性系统精确线性化总结精确线性化的目的分析和综合精确线性化的目的：分析和综合①标准形②外部动态，内部动态（零动态）Æ最小相位系统的稳定性③引入状态反馈得到期望动态特性精确跟踪（逆系统）有界跟踪④精确跟踪（逆系统）、有界跟踪2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用MIMO 系统的I/O 精确线性化MIMO 系统f &()()()Tm m n x H y u x G x x5.65&==∈∈∈⎭⎬⎫=+=()()()()()()()()是充分光滑的标量函数上充分光滑的向量场是及i n i m m h R g f x h x h x H x g x g x G R y R u R x ;,,,;,,;,11L L ==∈∈∈考虑第j 个输出y j 对时间的导数()5.66 ∑+=mi j g j f j u h L h L yi &1=i 非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四MIMO 系统的I/O 精确线性化相对阶向量k ≤≤≡()()()()。
具有相对阶向量在点可逆，则称系统且矩阵使得如果存在正整数m j i f g j x x A m i k x h L L γγγγ,,5.65,,1,20,0100L L =−≤≤≡⎡()⎥⎥⎤⎢⎢=−−−−f g f g L h L L h L L x A m m m 111111111γγγγM M M L ⎥⎦⎢⎣m f g m f g h L h L L m 1L ()⎤⎡⎤⎡⎤⎡11111u h L y f γγ()()⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣+⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣=⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣2u x A h L y m f m m m M M M γγ非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四MIMO 系统的I/O 精确线性化 状态反馈律⎡()()vx A h L x A u f 1111−−+⎥⎥⎤⎢⎢−=γM 输入/输出线性动态响应关系h L f 11⎥⎦⎢⎣γ⎡()⎥⎤⎢⎡=⎥⎤⎢v y 111γ()⎥⎥⎦⎢⎢⎣⎥⎥⎦⎢⎢⎣m m v y m M M γ非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四MIMO 系统的标准形变换 选取状态变量⎫()()()573,,,,,,212222221111112111211⎪⎪======−−x h L x h L x h x h L x h L x h f f γγγξξξξξξL L ()()() 5.73 12⎪⎪⎬===−m m m f f m γγL M M M η的选择()()(),,,2,1m ⎭x h L x h L x h m f m f m γξξξ()(){}γη−≤≤≤≤≡⇒n i m j x L x g x g i g m 1 ,1 0,)(,,1张成的分布是对合的。
