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第九讲 巧妙求和(二)

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(八)掌握规律 巧妙求和

(八)掌握规律 巧妙求和
＋
速解技法——学一招
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 掌握规律
巧妙求和
结 束
[技法领悟]
利用错位相减法求和应注意以下 3 点 (1)判断模型，即判断数列{an}，{bn}中一个为等差数列， 一个为等比数列； (2)错开位置，一般先乘以公比，再把前 n 项和退后一 个位置来书写，这样避免两式相减时看错列； (3)相减，相减时定要注意式中最后一项的符号，考生 常在此处出错，一定要细心．
故
1 2Pn＋Sn＝ ＋2－a ＝2. an＋1 n＋1
1
速解技法——学一招
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 掌握规律
巧妙求和
结 束
[技法领悟]
利用裂项相消法求和应注意以下 2 点 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项， 也有可能 前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后， 有时需要调整前面的系数， 使裂开的 两项之差和系数之积与原通项相等． 如： 若{an}是等差数列， 1 1 1 1 1 1 1 1 － 则 ＝d a －a ， ＝ an a ＋ . 2 d ＋ anan＋1 n a a ＋ n 1 n 2 n n 2
所以 an＋1>an>0，an＋1＝an(an＋1)， an＋1－an 1 1 a2 1 n 所以 bn＝ ＝ ＝ ＝ － . an an＋1 1＋an anan＋1 anan＋1 a1 a2 an 1 Pn＝b1b2· …· bn＝ · · …· ＝ ， a2 a3 an＋1 2an＋1
1 1 1 1 1 1 1 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝a －a ＋a －a ＋…＋a －a ＝2－ ， ＋ n a 1 n 1 2 2 3 n＋1

趣味奥数之巧妙求和

趣味奥数之巧妙求和

趣味奥数之巧妙求和一、这一个标题若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【答案】1.（39-1）÷2+1=20项2.（101-2）÷3+1=34项3.（1001-11）÷5+1=199项【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【答案】1.末项是21 2.1+（30-1）×3=88 3.2+（100-1）×4=398【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

巧妙求和_x微课大赛微课公开课教案教学设计课件

巧妙求和_x微课大赛微课公开课教案教学设计课件
附件2
小学、初中、高中参赛作品信息表
新城区区（县）XXX小学 学校（公章）作品名称《巧妙求和》
学 科
数学
年级四年级
主创人员XX
XX
XX
手机
电子信箱
XXX
女
***********
*****************
制作人员
XX
XX
XX
手机
电子信箱
XXX
女
***********
*****************
作者简介
（单人或团队）
XXX,女,50岁，X宰门小学四年级教师
XXX,女，23岁，XX大学研究生
所用到的教学平 台、软件工具及 教学资源
片头曲歌曲<lost>
片尾曲歌曲<Moonlight>
创作思路简述
学生在三年级通过数图形，就接触了连续自然数相加求和的问题，也听过高 斯的传奇故事，有些学生也知道高斯的求和方法，但并不知道他是如何思考 的，选择这个问题就是想借助数学文化高斯的故事，引起学生学习兴趣，进 而激发他们的探索欲望，学习高斯的思维品质。
作者声明：
本人保证所提交的作品为原创作品，引用的资料已注明出处和原作者，不存在版权纠纷。本人 同意将该作品用于全市交流共享或编辑出版。
作者签名：XXX
2020年9月3日
注：①本表由参评作者填写，加盖单位公章，并提交电子文档；
②作品如果由专门技术人员参与制作，最多可填报2名制作人员。

四年级奥数---巧妙求和二

四年级奥数---巧妙求和二

第8次课巧妙求和（二）
一、巩固练习
278x99 321x55+321x45
47x101-47 125x32x25
二、挑战新知
1、刘俊读一本长篇小说,他第一天读了30页,从第二天起,他每天读的页数都比前一天多3页,第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页?
2、刘师傅做一批零件,第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个,第15 天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个?
3、胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,她每天读的页数都比前一天多5页,最后一天读了50 页恰好读完。

这本书共有多少页?
4、丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了16个。

这些天丽丽共学会了多少个单词?
5、30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次?
6、有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？
7、平面上有10个点,没有3个点在同一直线上。

过这些点最多可以画出多少条直线?
8、有10只盒子、44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等?9、某班有51名同学,毕业时每人都和其他所有人握一次手，那么共握了多少次手?
10、学校进行乒乓球比赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛?
11、在一次同学聚会中,参加聚会的有43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他人握一次手,那么一共握了多少次手?。

二年级数学《巧妙求和 》

二年级数学《巧妙求和 》

1+19=20
3+17=20 5+15=20 7+13=20
原来的式子相当于5个20的和： 20+20+20+20+20=100
9+11=20
拓展训练2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 90
解题思路：通过观察题中有两组一样的 数列，聪明的你想到了哪些方法呢？
小学数学二年级上册——冬之韵
巧妙求和
巧妙求和的常用方法：
1、凑整先算 2、改变运算顺序 3、基数法 4、拆数法
冬之韵 P20
在动物学院里，马老师出了一道数学题：2+4+6+…+18=？ 大家看了都目瞪口呆 ，小兔子算着 :”2+4=6 ，6+6=12，…” 1 分钟后，小猪说：“这道题的答案是 90。” 可是大家都疑惑不解，马老师给大家讲解到：“孩子们，做什 么事都要找窍门。我们可以用：2+18=20，4+16=20， 6+14=20，…，一直到 8+12=20，那么中间就还剩一个 10， 把这几个20 加上，再加一个我们先前没有算的 10，答案是不 是出来了呢？” 大家恍然大悟。 同学们，你会算吗？试着算一算。
2+4+6+8+10+12+14+16+18= 90
解析：利用巧算中的常用方法——凑整，我们可 以用2+18=20，4+16=20，6+14=20，8+12=20，那 么原来这个式子的和为：20+20+20+20+10=90

巧妙求和二

巧妙求和二

课后作业
课本：第84页 第85页 第85页 第86页
举一反三2 举一反三3 举一反三4 举一反三5
（1）、（2） （1）、（2） （ 2） （1）、（2）、（3）
练习册：
第23页 第25页 第27页
全部 全部 全部
10只盒子里面放的羽毛球不相等时最少需要 的羽毛球数是： 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（只） 45只>44只 答：不能。
3、假期里有一些同学约定要和对方互通电 话，每两人通一次，一共通了78次电话，一 共有多少同学约定？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（次） 12+1=13（名） 答：一共有13名同学约定。
PK
1、求1~199个连续自然数的所有数字之和。
（1）0和199 （2）1和198 （3）2和197 （4）3和196
0+1+9+9=19
1+1+9+8=19
2+1+9+7=19 3+1+9+6=19
…… …… 200÷2=100 （对） 100×（0+1+9+9）=1900
答：1~199个连续自然数的所有数字之 和是1900。
答：一共握手1275次。
PK
1、80把锁的钥匙搞乱了，为 了 使每把锁都配上自己的钥匙， 至多要试多少次？
79+78+77+76+75+……+2+1 =(79+1)×79÷2 =80×79÷2 =3160(次） 答：至多要试3160次。

四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和丨苏教版

四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握巧妙的求和方法，能够运用所学的求和技巧解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等活动，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和解决问题的能力。

二、教学重点、难点1. 教学重点：掌握巧妙的求和方法，能够运用求和技巧解决实际问题。

2. 教学难点：灵活运用求和技巧，解决实际问题。

三、教学过程1. 导入通过提问方式引导学生回顾已学的求和方法，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课讲解（1）出示例题，引导学生观察、分析、讨论，发现求和的规律。

例题：计算1 2 3 ... 100的和。

（2）引导学生总结求和的方法，并加以验证。

方法一：高斯求和法1 2 3 ... 100 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050方法二：等差数列求和公式1 2 3 ... 100 = (首项末项) × 项数÷ 2 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050（3）出示练习题，巩固所学方法。

练习题1：计算1 3 5 ... 99的和。

练习题2：计算2 4 6 ... 100的和。

3. 小组合作探究（1）出示探究题，引导学生小组合作，共同解决问题。

探究题：计算1×1 2×2 3×3 ... 10×10的和。

（2）小组展示探究成果，师生共同总结求和方法。

方法：平方求和公式1×1 2×2 3×3 ... 10×10 = n(n 1)(2n 1) ÷ 6 = 3854. 课堂小结通过本节课的学习，学生能够掌握巧妙的求和方法，并能够运用求和技巧解决实际问题。

同时，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。

5. 课后作业（布置必做题和选做题）必做题：完成练习册相关题目。

巧妙求和

巧妙求和一．引入1+2+3 (100)提问：（1）谁能既快又准的告诉我结果吗？（2）5050 ，想知道老师是怎么想的吗？我用了一个既巧妙又简便的方法，想学吗？咱们今天一起来学习如何巧妙地求和。

（揭题）二．例题讲解1.1+2+3+4+5+6+7+8+9+10提问：（1）仔细观察这一组数你发现了什么？（相邻两个数的差相等跟一列数首末两端距离相等的两数之和与首末两数之和相同）咱们把第一个数与最后一个数看作第一组，第二个数与倒数第二个数看作第二组……以此类推。

（2）这一列数共有几组？且每组的数的和相等是11因此 =11×5=55 提问：（1）11怎么来的？10+1=11（2）5怎么来的？10÷2=5总结：用这种方法求和与之前把每个数加起来求和更加的简便，方法也非常的巧妙二．公式的推倒在数学中，把若干个数排成一列称为数列。

数列中的每个数称为“一项”以之前的那道题为例：1是数列中的第一项，我们给它起个名称叫做“首相”首相=1，咱们也给它起个名称叫做“末相”末相=10数列中项的个数称为“项数”10是数列中的最后一项数=10咱们把名称对号入座，带到求解过程中数列的和=（首相+末项）×项数÷2这就是求数列的和的公式，也是解决问题的一个法宝，有了这样的公式，我们来解决下面一道题例2 11+12+13+14+15+16首相=11 末项=16项数=6数列的和=（11+16）×6÷2=81讨论：观察这两道题，想一想，在什么情况下，可以运用这一公式？数的排列有一定规律，相邻两数的差相等练习：1． 9+10+11+12+13+14首相=9 末项=14 项数=6数列的和=（9+14）×6÷2=692.1+3+5+7+……+97+99首项=1 末项=99 项数=？讲解：在实际应用时吧，关键是准确判断项数项数=（末项-首项）÷相邻两数的差+1项数=（99-1）÷2+1=50数列的和=（1+99）×50÷2=25003.求自然数中所有两位数的和书后练习：1 （1）（2）（4）（5）。

8巧妙求和(二)

思远教育四年级拓展测试卷第8次课姓名：分数（60）：【教学目标】主讲内容：巧妙求和（二）例4、例51.解决自然数各个数位数字之和的问题。

2.已知首项、末项、总和，求项数及公差的问题。

3.涉及公式：项数 = 总和×2÷（首项+末项）公差 =（末项-首项）÷（项数-1）在解自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。

【测试】1、求1-699的699个连续自然数的所有数字之和。

2、李师傅做零件，他第一天做了8个，以后每一天比前一天多做的数量相同，最后一天做了36个，共做了330个。

李师傅每天比前一天多做了多少个？3、求1-499的499个连续自然数的所有数字之和。

4、星华剧院共有座位598个。

已知第一排有座位22个，最后一排有座位70个，而且每相邻的两排相差的座位相等，那么相邻的两排相差多少个座位？5、求1-4000的4000个连续自然数的所有数字之和。

【能力冲浪】1、求1-709这1001个连续自然数的全部数字之和。

微信作业周一：1、求1-599的599个连续自然数的全部数字之和。

2、求1-399的399个连续自然数的全部数字之和。

周二：1、求1-5000的5000个连续自然数的全部数字之和。

2、求2000-3000的1001个连续自然数的全部数字之和。

周三：刘阿姨做一批帽子，她第一天做了3顶，以后每天比前一天多做的数量相同，最后一天做了25顶，共做了168顶，刘阿姨每天比前一天多做几顶帽子？。

人教版四年级下册奥数专讲：巧妙求和(教案)

1. 数列求和：学生已掌握简单的整数加减法，能运用此知识解决等差数列的求和问题。
2. 连续整数求和：学生掌握了乘法口诀，能运用口诀快速计算连续整数的求和。
3. 对称数求和：学生在学习多位数加减法时，已接触过对称数的概念，本节课将引导学生运用对称性简化求和过程。
核心素养目标
本节课旨在培养学生以下学科核心素养：
针对这些反思，我计划采取以下改进措施：
1. 在小组讨论环节，我会更加关注那些不太发言的学生，鼓励他们勇敢地表达自己的观点，并适时给予肯定和表扬。
2. 尝试引入更多样的教学方法，如角色扮演、数学建模等，让学生在丰富的教学活动中提高学习兴趣和参与度。
3. 加强学生的预习指导，通过设计具有思考性的预习问题，激发学生的求知欲，为课堂学习打下坚实基础。
2. 建议学生利用课余时间玩一些数学游戏，锻炼逻辑思维和计算能力，同时培养良好的学习习惯。
3. 鼓励学生阅读数学家传记，了解数学家的奋斗历程和成就，激发学生树立远大理想，为数学学习树立榜样。
4. 定期组织学生参加数学实践活动，如数学竞赛、讲座等，提高学生的数学素养，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
b. 讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中互相启发，共同探讨解决问题的方法。
c. 案例研究：通过具体的求和案例，让学生分析问题、总结规律，培养学生解决问题的能力。
d. 项目导向学习：将学生分成小组，每组负责研究一种求和方法，最后进行汇报和分享，以提高学生的团队协作和自主学习能力。
2. 教学活动：
人教版四年级下册奥数专讲：巧妙求和（教案）
主备人
备课成员
教学内容分析
本节课的主要教学内容为人教版四年级下册奥数专讲中的“巧妙求和”。教学内容主要包括：数列的求和、连续整数的求和以及对称数的求和。这些内容与学生在三年级学过的整数加减法、乘法口诀以及本学期学习的多位数加减法有密切联系。
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• 【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数 字之和。 • 【思路导航】首先应该弄清楚这题是求99个连续 自然数的数字之和，而不是求这99个数之和。为 了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不 影响我们计算数字之和）计算0～99这100个数的 数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的 数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50 对，所以，1～99这99个连续自然数的所有数字 之和是18×50=900。 • 练习4： • 1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。 • 2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。 • 3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之 和
• 【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个 人握一次手。那么共握了多少次手？ • 【思路导航】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其 他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手， 共握了49次，第三个人握了48次。依次类推，第50个人 和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为： • 50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）. • 练习3： • 1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛 一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？ • 2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一 位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多 少次手？ • 3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打 了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？
• 【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数 字之和。 • 【思路导航】不妨先求0～199的所有数字之和， 再求200～209的所有数字之和，然后把它们合起 来。0～199的所有数字之和为（1+9×2）× （200÷2）=1900，200～209的所有数字之和为 2×10+1+2+…+9=65。所以，1～209这209个连 续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。 • 练习5： • 1.求1～308连续自然数的全部数字之和。 • 2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。 • 3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。
一、知识要点
• 某些问题，可以转化为求若干个数的和， 在解决这些问题时，同样要先判断是否求 某个等差数列的和。如果是等差数列求和， 才可用等差数列求和公式。 • 在解决自然数的数字问题时，应根据题目 的具体特点，有时可考虑将题中的数适当 分组，并将每组中的数合理配对，使问题 得以顺利解决。
பைடு நூலகம்
二、精讲精练
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【例题1】 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读 的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天 读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书 共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项 =60，项数=11.因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15 天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比 前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后 一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
• 【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自 己的钥匙，至多要试几次？ • 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙 还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁 至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第 三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一 把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27 ＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 • 练习2： • 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥 匙，至多要试多少次？ • 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每 把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ • 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒 子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？