四年级巧妙求和(二)

小学四年级奥数讲解：巧妙求和一、知识要点某些问题，能够转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”能够知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。

要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。

这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.所以能够很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。

练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

第十六周巧妙求和（二）专题简析：某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。

要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。

这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。

练习二1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

第十一课时巧妙求和（二）【教学目标】1.某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和；2.如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式；3.在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

【教学重点】理解等差数列求和公式的概念，灵活使用等差数列求和公式。

【教学难点】准确确定数列的项数【教学内容】【典型例题】例题1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？练习1：（1）刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？（2）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？（3）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例题2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？（1）有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？（2）有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了？（3）有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？例题3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。

那么共握了多少次手？练习3：（1）学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？（2）在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？（3）假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？例题4：求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。

六上数学思维训练13巧妙求和例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？练习：1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习：1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习：计算下面各题。

（1）6+7+8+…+74+75 （2）100+99+98+…+61+60 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200巧妙求和的应用例1 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？练习：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例2: 30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？练习：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

四年级巧妙求和奥数题摘要：一、引言二、四年级巧妙求和奥数题的类型与解题思路1.数字求和2.图形求和3.逻辑求和三、解题技巧与方法1.利用数学公式2.寻找规律3.转化思维四、实例解析1.数字求和实例2.图形求和实例3.逻辑求和实例五、结尾正文：一、引言随着数学教育的不断推进，奥数题已经成为许多小学生课外学习的热门话题。

其中，四年级巧妙求和奥数题备受孩子们喜爱。

这类题目既能锻炼孩子们的思维能力，又能培养他们的创新精神。

那么，如何解决这类题目呢？接下来，我们就来探讨一下。

二、四年级巧妙求和奥数题的类型与解题思路1.数字求和数字求和题主要涉及到加法运算，孩子们需要运用加法公式和运算规律来解决。

例如，给出一些数字，让孩子们找到一个合适的规律，使得这些数字相加等于一个特定的和。

2.图形求和图形求和题要求孩子们通过观察图形，找到图形的面积或周长与数字之间的联系。

这类题目需要孩子们具备一定的观察能力和几何知识。

3.逻辑求和逻辑求和题主要以故事或问题的形式出现，让孩子们在理解题意的基础上，通过逻辑推理找到答案。

这类题目对孩子的思维逻辑能力有较高要求。

三、解题技巧与方法1.利用数学公式在解决四年级巧妙求和奥数题时，可以尝试运用数学公式，简化运算过程。

例如，利用平方差公式、完全平方公式等，将复杂数字求和问题转化为简单的计算。

2.寻找规律观察题目中的数字、图形或故事，找到潜在的规律。

例如，数字求和题中，数字之间可能存在等差、等比等关系；图形求和题中，图形的边长、角度等可能存在一定的规律。

3.转化思维当遇到困难时，可以尝试转换思维角度，从另一个角度审视问题。

例如，将问题从一个维度转化为另一个维度，或者从整体到局部，再从局部到整体进行分析。

四、实例解析1.数字求和实例题目：1，2，3，4，5，…，99的和是多少？解：利用等差数列求和公式，求和=（首项+末项）×项数÷2，可得答案。

2.图形求和实例题目：一个正方形的面积是16平方厘米，周长是16厘米，求正方形的边长。

2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题06 巧妙求和知识精讲在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。

这类问题在数学中称为统筹问题。

我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1典例分析【典例分析01】有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

【典例分析02】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399【典例分析03】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

第四周巧妙求和专题解析：前面我们学习了等差数列求和，其实生活中某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，要先判断是否是求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，就可以用等差数列公式求和。

某一项=首项+（项数-1）×公差项数=（末项－首项）÷公差 + 1总和=（首项+末项）×项数÷2例题1：计算1+3+5+7+……+197+199【思路导航】仔细观察发现，这个算式是一个等差数列求和的问题，公差为2，再根据项数=（末项－首项）÷公差 + 1来求得项数是多少，然后根据公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 ，即得到算式总和。

解：公差为2，项数=（199-1)÷2+1=100,总和：（1+199）×100÷2=10000。

练习1：（1）计算：2+6+10+14+……+398+402 （2）计算：5+10+15+20+……+195+200（3）计算：1+11+21+31+……+1991+2001+2011 （4）计算：100+99+98+……+61+60例题2：计算：（2+4+6+……+98+100）-（1+3+5+……+97+99）【思路导航】我们可以发现，被减数和减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。

练习2：计算下面各题。

（1）（2+4+6+......+2000）-（1+3+5+ (1999)（2）（2001+1999+1997+1995）-（2000+1998+1996+1994）（3）1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60例题3：王俊读一本小说，他第一天读了30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？练习3：（1）（2）刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完，这批零件共有多少个？（3）（4）一个电影院的第一排有17个座位，以后每排比第一排多2个座位，最后一排有75个座位，这个电影院共有多少个座位？（5）（6）赵玲读一本书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完，这本书有多少页？。

（四年级）备课教员：* * *第八讲巧妙求和一、教学目标：知识目标1.认识等差数列及各个相关名称。

2.利用规律来简便求出等差数列的项数。

能力目标根据实际情况会判断所求的总和是否是求等差数列的总和。

情感目标善于发现善思考，提高计算能力。

培养良好的审题习惯和思维习惯。

二、教学重点：利用规律来简便求出等差数列的项数。

三、教学难点：理解等差数列的意义，知道等差数列中各部分的名称，掌握求尾项和项数的公式。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：故事引入，提高学生学习兴趣。

】师：今年上课前，老师要给大家讲一个数学家高斯的故事。

高斯7岁那年开始上学。

10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。

数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。

一天，老师布置了一道题，1+2+3……这样从1一直加到100等于多少。

高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。

”高斯说出答案就是5050，高斯是这样算的1+100=101，2+99=101……1加到100有50组这样的数，所以50×101=5050。

布特纳对他刮目相看。

他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。

”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。

他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。

师：听了故事后，你有什么感想？生：学生回答。

师：高斯是利用什么方法去求1至100这100个数的和？生：分组的方法。

师：是的，就是把头尾两两分组。

为什么要这样分组呢？生：因为这样分组后，每组的和都是一样的。

师：这位同学讲的太棒了！是的，这样分组，刚好每组的两个数的和是一样的。

这也是我们在计算中一种重要的方法，也就是分组法。

接下来我们就要用这种方法去解答我们数学问题。

四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握巧妙的求和方法，能够运用所学的求和技巧解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等活动，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和解决问题的能力。

二、教学重点、难点1. 教学重点：掌握巧妙的求和方法，能够运用求和技巧解决实际问题。

2. 教学难点：灵活运用求和技巧，解决实际问题。

三、教学过程1. 导入通过提问方式引导学生回顾已学的求和方法，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课讲解（1）出示例题，引导学生观察、分析、讨论，发现求和的规律。

例题：计算1 2 3 ... 100的和。

（2）引导学生总结求和的方法，并加以验证。

方法一：高斯求和法1 2 3 ... 100 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050方法二：等差数列求和公式1 2 3 ... 100 = (首项末项) × 项数÷ 2 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050（3）出示练习题，巩固所学方法。

练习题1：计算1 3 5 ... 99的和。

练习题2：计算2 4 6 ... 100的和。

3. 小组合作探究（1）出示探究题，引导学生小组合作，共同解决问题。

探究题：计算1×1 2×2 3×3 ... 10×10的和。

（2）小组展示探究成果，师生共同总结求和方法。

方法：平方求和公式1×1 2×2 3×3 ... 10×10 = n(n 1)(2n 1) ÷ 6 = 3854. 课堂小结通过本节课的学习，学生能够掌握巧妙的求和方法，并能够运用求和技巧解决实际问题。

同时，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。

5. 课后作业（布置必做题和选做题）必做题：完成练习册相关题目。