巧妙求和(二)

第十六周巧妙求和（二）专题简析：某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。

要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。

这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。

练习二1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

第十一课时巧妙求和（二）【教学目标】1.某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和；2.如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式；3.在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

【教学重点】理解等差数列求和公式的概念，灵活使用等差数列求和公式。

【教学难点】准确确定数列的项数【教学内容】【典型例题】例题1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？练习1：（1）刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？（2）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？（3）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例题2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？（1）有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？（2）有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了？（3）有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？例题3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。

那么共握了多少次手？练习3：（1）学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？（2）在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？（3）假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？例题4：求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。

三、总结：（5分）
记住以下三个公式，可以帮助我们更好地掌握此类问题：
通项公式：第n项＝首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差+1
求和公式：总和＝（首项+末项）×项数÷2
四、随堂练习：
1.一个电影院第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，最后一
排有82个座位，则这些座位被分成几排？
板书：
（82-36）÷2+1=24（排）
答：这些座位被分成24排。

2.工地将一堆规格相同的木料如图码放在空地上，最上面一层有8根，堆了 18层，则最底下一层有多少根木料？
板书：
8+（18-1）×1=25（根）
答：最底下一层有25根木料。

3. 计算3＋11＋19＋……＋99＋107＋115的和。

板书：
（115-3）÷8+1=15
（3+115）×15÷2=885
4.马上父亲节了，卡尔决定为父亲折满一罐纸鹤，她第一天折了15只纸鹤，
之后每天都多折5只纸鹤，一共折了10天，她一共折了多少只纸鹤？
板书：
15+5×（10-1）=60（只）
（60+15）×10÷2=375（只）
答：她一共折了375只。

5.学徒不小心将锁匠的45把锁的钥匙弄乱了，为了使每把锁都找到相配的钥
匙，最多要试几次？
板书：
44+43+…+1
=（44+1）×44÷2
=990（次）
答：最多要试990次。

第二讲巧妙求和教室：姓名：【知识要点】聪明的数学家高斯小时候就非常巧妙地算出1+2+3+4+…+100的结果。

小高斯算得又快又准的方法就是巧妙求和。

【例题精讲】例1、（1）9+10+11+12+13+14（2）1+3+5+7+……+97+99例2、老师读一本小说，第一天读20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读75页，这本书共多少页？例3、100―2―4―6―8―10―12例4、100把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？例5、活动课上，三（1）班全班同学玩接力棒赛跑游戏，规定跑第一棒的同学跑30米，跑第二棒的跑32米，第三棒的跑34米……小明跑第九棒，他应跑多少米？例6、有一个挂钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，三点钟敲3下……十二点钟敲12下，每逢半点钟也敲一下。

问：这个挂钟一昼夜共敲多少下？【池中戏水】1、看谁算得又对又快：（1）1+3+5+7+9+11+13+15 （3）100+102+104+106+108（2）18+19+20+21+22+23+24+25 （4）98+95+92+89+86+83+802、比101小的所有偶数的和是多少？3、小龙读一本科幻书，第一天读18页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多读2页，第30 天读76页正好读完。

这本书共多少页？4、有30把锁的钥匙不慎搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？5、李明在小学一年级是捐款10元，以后每年捐款数额都是前一年的2倍。

他在读小学的六年中共捐款多少元？【江中畅游】1、我们班级里的42个同学进行象棋比赛，如果用循环赛的方法决出冠军，一共要进行几场比赛？2、五个连续偶数的和是150，这五个偶数是哪几个数？3、有10只盒子，45只乒乓球，能不能把45只乒乓球放到盒子中去，使各个盒子里的乒乓球不相等？【海中冲浪】有30个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大4。

四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握巧妙的求和方法，能够运用所学的求和技巧解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等活动，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和解决问题的能力。

二、教学重点、难点1. 教学重点：掌握巧妙的求和方法，能够运用求和技巧解决实际问题。

2. 教学难点：灵活运用求和技巧，解决实际问题。

三、教学过程1. 导入通过提问方式引导学生回顾已学的求和方法，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课讲解（1）出示例题，引导学生观察、分析、讨论，发现求和的规律。

例题：计算1 2 3 ... 100的和。

（2）引导学生总结求和的方法，并加以验证。

方法一：高斯求和法1 2 3 ... 100 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050方法二：等差数列求和公式1 2 3 ... 100 = (首项末项) × 项数÷ 2 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050（3）出示练习题，巩固所学方法。

练习题1：计算1 3 5 ... 99的和。

练习题2：计算2 4 6 ... 100的和。

3. 小组合作探究（1）出示探究题，引导学生小组合作，共同解决问题。

探究题：计算1×1 2×2 3×3 ... 10×10的和。

（2）小组展示探究成果，师生共同总结求和方法。

方法：平方求和公式1×1 2×2 3×3 ... 10×10 = n(n 1)(2n 1) ÷ 6 = 3854. 课堂小结通过本节课的学习，学生能够掌握巧妙的求和方法，并能够运用求和技巧解决实际问题。

同时，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。

5. 课后作业（布置必做题和选做题）必做题：完成练习册相关题目。