巧妙求和(二)

＋
速解技法——学一招
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 掌握规律
巧妙求和
结 束
[技法领悟]
利用错位相减法求和应注意以下 3 点 (1)判断模型，即判断数列{an}，{bn}中一个为等差数列， 一个为等比数列； (2)错开位置，一般先乘以公比，再把前 n 项和退后一 个位置来书写，这样避免两式相减时看错列； (3)相减，相减时定要注意式中最后一项的符号，考生 常在此处出错，一定要细心．
故
1 2Pn＋Sn＝ ＋2－a ＝2. an＋1 n＋1
1
速解技法——学一招
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 掌握规律
巧妙求和
结 束
[技法领悟]
利用裂项相消法求和应注意以下 2 点 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项， 也有可能 前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后， 有时需要调整前面的系数， 使裂开的 两项之差和系数之积与原通项相等． 如： 若{an}是等差数列， 1 1 1 1 1 1 1 1 － 则 ＝d a －a ， ＝ an a ＋ . 2 d ＋ anan＋1 n a a ＋ n 1 n 2 n n 2
所以 an＋1>an>0，an＋1＝an(an＋1)， an＋1－an 1 1 a2 1 n 所以 bn＝ ＝ ＝ ＝ － . an an＋1 1＋an anan＋1 anan＋1 a1 a2 an 1 Pn＝b1b2· …· bn＝ · · …· ＝ ， a2 a3 an＋1 2an＋1
1 1 1 1 1 1 1 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝a －a ＋a －a ＋…＋a －a ＝2－ ， ＋ n a 1 n 1 2 2 3 n＋1

第八周：巧妙求和
通项公式： 第n项=首项+（项数-1）×公差 项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1 求和公式： 总和=（首项+末项） ×项数÷2
例题一：求项数
有一个数列：4、10、16、22· · · · · · 52，
这个数列共有多少项？
分析： 项数=（末项-首项）÷公差+1 公差=10-4=6 末项=52 首项=4 项数=（末项-首项）÷公差+1 =（52-4）÷6+1 = 9（项）
练习4：求总和
总和=（首项+项数）×项数÷2 第1题：2+6+10+14+18+22 总和=（2+22）×6÷2=72 第2题： 5+10+15+20· · · · · · +195+200 项数=（200-5）÷（10-5）+1 =40 总和=（5+200）×40÷2 =4100
第3题：9+18+27+36· · · · · · +261+270
项数=（270-9）÷（18-9）+1 =30 总和=（9+270）×30÷2 =4185
例题五：求总和的应用
计算： （2+4+6+ · · · · · ·+100）- （1+3+5+ · · · · · ·+99） 减数 被减数 分析： 先分别求出被减数和减数 被减数 =（2+100）×50÷2 =2550 减数 =（1+99）×50÷2 =2500
第1题：1+2+3+4· · · · · · +49+50

第十六周巧妙求和（二）专题简析：某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。

要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。

这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。

练习二1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

第3题：100+99+98· · +61+60 先求项数 ·· ··
项数=（100-60）÷（61-60）+1 =41 总和=（60+100）×41÷2 =3280
例题四：等差数列 求等差数列2、4、6···48、50的和 ···
分析： 总和=（首项+末项）×项数÷2 首项=2 末项=50 项数=（50-2）÷（4-2）+1 = 25 总和=（首项+末项）×项数÷2 =（2+50）×25 ÷2 = 650
疯狂操练1：求项数
项数=（末项-首项）÷公差+1
第1题：
项数=（39-1）÷2+1=20
第2题：
项数=（101-2）÷3+1=34
第3题：
项数=（1001-11）÷5+1=199
例题二：求末项
有一个数列：3、7、11、15···这 ···
个数列的第100项是多少？
第n项=首项+（项数-1）×公差 分析： 公差=7-3=4 首项=3 项数=100 第100项=首项+（项数-1）×公差 =3+（100-1）×4 = 399 “1”指的是首项
疯狂操练5：第2题
（2+4+6+···+2000）-（1+3+5 +···+1999 ） ··· ···
方法2：用简便方法
（2+4+6+···+2000）-（1+3+5 +···+1999 ） ··· ··· =（2-1）+（4-2）+（6-5） +···+（2000-1999） ··· 1000个（） =1+1+1 +···+1 ··· 1000个1 =1000

第十一课时巧妙求和（二）【教学目标】1.某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和；2.如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式；3.在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

【教学重点】理解等差数列求和公式的概念，灵活使用等差数列求和公式。

【教学难点】准确确定数列的项数【教学内容】【典型例题】例题1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？练习1：（1）刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？（2）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？（3）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例题2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？（1）有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？（2）有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了？（3）有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？例题3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。

那么共握了多少次手？练习3：（1）学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？（2）在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？（3）假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？例题4：求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。

三、总结：（5分）
记住以下三个公式，可以帮助我们更好地掌握此类问题：
通项公式：第n项＝首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差+1
求和公式：总和＝（首项+末项）×项数÷2
四、随堂练习：
1.一个电影院第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，最后一
排有82个座位，则这些座位被分成几排？
板书：
（82-36）÷2+1=24（排）
答：这些座位被分成24排。

2.工地将一堆规格相同的木料如图码放在空地上，最上面一层有8根，堆了 18层，则最底下一层有多少根木料？
板书：
8+（18-1）×1=25（根）
答：最底下一层有25根木料。

3. 计算3＋11＋19＋……＋99＋107＋115的和。

板书：
（115-3）÷8+1=15
（3+115）×15÷2=885
4.马上父亲节了，卡尔决定为父亲折满一罐纸鹤，她第一天折了15只纸鹤，
之后每天都多折5只纸鹤，一共折了10天，她一共折了多少只纸鹤？
板书：
15+5×（10-1）=60（只）
（60+15）×10÷2=375（只）
答：她一共折了375只。

5.学徒不小心将锁匠的45把锁的钥匙弄乱了，为了使每把锁都找到相配的钥
匙，最多要试几次？
板书：
44+43+…+1
=（44+1）×44÷2
=990（次）
答：最多要试990次。

1+19=20
3+17=20 5+15=20 7+13=20
原来的式子相当于5个20的和： 20+20+20+20+20=100
9+11=20
拓展训练2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 90
解题思路：通过观察题中有两组一样的 数列，聪明的你想到了哪些方法呢？
小学数学二年级上册——冬之韵
巧妙求和
巧妙求和的常用方法：
1、凑整先算 2、改变运算顺序 3、基数法 4、拆数法
冬之韵 P20
在动物学院里，马老师出了一道数学题：2+4+6+…+18=？ 大家看了都目瞪口呆 ，小兔子算着 :”2+4=6 ，6+6=12，…” 1 分钟后，小猪说：“这道题的答案是 90。” 可是大家都疑惑不解，马老师给大家讲解到：“孩子们，做什 么事都要找窍门。我们可以用：2+18=20，4+16=20， 6+14=20，…，一直到 8+12=20，那么中间就还剩一个 10， 把这几个20 加上，再加一个我们先前没有算的 10，答案是不 是出来了呢？” 大家恍然大悟。 同学们，你会算吗？试着算一算。
2+4+6+8+10+12+14+16+18= 90
解析：利用巧算中的常用方法——凑整，我们可 以用2+18=20，4+16=20，6+14=20，8+12=20，那 么原来这个式子的和为：20+20+20+20+10=90

通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
例1、20把锁的钥匙摆乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙， 至多要试多少次？
分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了19把锁还不行，那所
剩的一把就一定能把锁打开，即开第一把锁至多需要试19次。同理，开第
例2、李铭读一本故事书，他第一天读20页，从第二天起，他每天 读的页数都比前一天多4页，第10天读了56页，正好读完。这本书 共有多少页？
分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多4页”可以知道 他每天读的页数是按一定规律排列的数，即20,24,28，…，52,56。
要求这本书共多少页也就是求这列数的和。这列数是一个等差数列， 首项=20，末项=56，项数=10，因此可以很快得解。
答：共拥抱了630次。
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
练习三
1、某羽毛球俱乐部进行羽毛球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手 各赛一场，如果有32人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？
31+30+29+…+2+1
=（31+1）×31÷2 =32×31÷2 =992÷2 =496（场）
例3、某班有36个同学，庆元旦时每人都和其他所有人拥抱一次，那么共拥抱 了多少次？
分析与解答：假设36个同学排成一排，第一个人依次和其他人拥抱，一 共拥抱35次；第二个人依次和剩下的人拥抱，共拥抱了34次；第三个人拥 抱33次，以此类推，这样，他们拥抱的次数如下：35,34,33，…，2,1。

第二讲巧妙求和教室：姓名：【知识要点】聪明的数学家高斯小时候就非常巧妙地算出1+2+3+4+…+100的结果。

小高斯算得又快又准的方法就是巧妙求和。

【例题精讲】例1、（1）9+10+11+12+13+14（2）1+3+5+7+……+97+99例2、老师读一本小说，第一天读20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读75页，这本书共多少页？例3、100―2―4―6―8―10―12例4、100把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？例5、活动课上，三（1）班全班同学玩接力棒赛跑游戏，规定跑第一棒的同学跑30米，跑第二棒的跑32米，第三棒的跑34米……小明跑第九棒，他应跑多少米？例6、有一个挂钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，三点钟敲3下……十二点钟敲12下，每逢半点钟也敲一下。

问：这个挂钟一昼夜共敲多少下？【池中戏水】1、看谁算得又对又快：（1）1+3+5+7+9+11+13+15 （3）100+102+104+106+108（2）18+19+20+21+22+23+24+25 （4）98+95+92+89+86+83+802、比101小的所有偶数的和是多少？3、小龙读一本科幻书，第一天读18页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多读2页，第30 天读76页正好读完。

这本书共多少页？4、有30把锁的钥匙不慎搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？5、李明在小学一年级是捐款10元，以后每年捐款数额都是前一年的2倍。

他在读小学的六年中共捐款多少元？【江中畅游】1、我们班级里的42个同学进行象棋比赛，如果用循环赛的方法决出冠军，一共要进行几场比赛？2、五个连续偶数的和是150，这五个偶数是哪几个数？3、有10只盒子，45只乒乓球，能不能把45只乒乓球放到盒子中去，使各个盒子里的乒乓球不相等？【海中冲浪】有30个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大4。

四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握巧妙的求和方法，能够运用所学的求和技巧解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等活动，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和解决问题的能力。

二、教学重点、难点1. 教学重点：掌握巧妙的求和方法，能够运用求和技巧解决实际问题。

2. 教学难点：灵活运用求和技巧，解决实际问题。

三、教学过程1. 导入通过提问方式引导学生回顾已学的求和方法，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课讲解（1）出示例题，引导学生观察、分析、讨论，发现求和的规律。

例题：计算1 2 3 ... 100的和。

（2）引导学生总结求和的方法，并加以验证。

方法一：高斯求和法1 2 3 ... 100 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050方法二：等差数列求和公式1 2 3 ... 100 = (首项末项) × 项数÷ 2 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050（3）出示练习题，巩固所学方法。

练习题1：计算1 3 5 ... 99的和。

练习题2：计算2 4 6 ... 100的和。

3. 小组合作探究（1）出示探究题，引导学生小组合作，共同解决问题。

探究题：计算1×1 2×2 3×3 ... 10×10的和。

（2）小组展示探究成果，师生共同总结求和方法。

方法：平方求和公式1×1 2×2 3×3 ... 10×10 = n(n 1)(2n 1) ÷ 6 = 3854. 课堂小结通过本节课的学习，学生能够掌握巧妙的求和方法，并能够运用求和技巧解决实际问题。

同时，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。

5. 课后作业（布置必做题和选做题）必做题：完成练习册相关题目。

第2讲巧妙求和一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。

二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习1：1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2、有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1、一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2、求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)三、课后作业1、已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？2、求等差数列2，6，10，14……的第100项。

3、 丽丽学英语单词，第一天学会了6个， 以后每天都比前一天多学1个，最后一天学 会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个 单词？
【例题2】
30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己 的钥匙，至多要试几次？
举一反三2
1、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁 都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
2、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试 28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。 一共有几把锁的钥匙搞乱了？
3、有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球 放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？
【例3】
某班有51个同学，毕业时每人都和其他 的每个人握一 次手。那么共握了多少次 手？
举一反三3
1、学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有 选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进 行多少场比赛？
巧妙求和（二）
专题简析
某些问题可以转化为求若干个数的和，在解决 这些问题时，同样要先判断是否是求某个等差数 列的和。如果是等差数列求和，才可以用等差数 列公式求和。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具 体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并 将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。
【例题1 】
2、星星电影院共有座位630个。已知第一排有座位 18个，最后一排有座位52个，而且每相邻两排相差 的座位数相等，那么相邻两排相差多少个座位？
3、用1320页纸由少到多地装订不同规格的练 习本。已知第一本18页，最后一本102页，而 且前后两本纸张的相差页数相等，那么相邻 的前后两本相差多少页？
2、一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师， 每一位同学或老师都要和其他人握一次手。那 么一共握了多少次手？

四年级巧妙求和教案四年级巧妙求和教案《巧妙求和》教案――四年级《奥数读本》第十二谈教学目标科学知识目标：并使学生认知首项、末项以及项数的概念；掌控数列的议和公式。

能力目标：使学生能利用数列求和公式解决实际问题；通过对求和公式的推导，培养学生的观察能力和探究能力；情感目标：通过使学生体验探究辨认出的快感，培育学生的积极探索精神。

教学重点和难点重点：1、数列议和公及其适用于条件2、项数的求法。

难点：数列议和公式的推论过程，达至使学生意义记忆，而不是机械记忆的目的。

教学用具ppt，教字卡片链，公式卡片，积分榜方块卡片。

数字卡片链：写下着1――10的十个自然数的圆形卡片链。

按照1和10，2和9，3和8，4和7，5和6，分为5组与，相同组的卡片用相同颜色则表示。

用作议和公式的推论。

例如图。

12345678910公式卡片：分别写有“和=（首项+末项）×项数÷2”和“项数=（末项-首项）÷相邻两数的差+1”的卡片两张。

用于向学生直观展而立科学知识重点。

积分榜方块：准备方块若干，用于竞争机制。

竞争机制采用的是分组竞争，回答一次问题，可堆一个方块，看哪一组方块堆砌较高。

方块堆积要求如图：教学过程设计（一）引入老师拿出事先准备的6支中性笔。

师：在听课之前呢，老师恳请恳请一位同学帮忙老师把这6两支中性笔堆积成一堆。

并且建议堆积成3层。

学生动手。

师（鼓励学生观测）：我们一起来看看这位同学堆上的？每一层分别存有几支笔？生：第一层有1支，第二层有2支，第三层有3支。

师：对的。

生活中是不是也有很多东西像这样堆起来的呢？我们来看一副图片。

老师展现ppt图片。

师：这堆水泥一共有多少层？每一层分别有多少根呢？生：一共有10层。

第一层1根，第二层2根，??第十层10根。

师：较好。

那么这堆上水泥一共存有多少根呢？生：1+2+??+10师：很酷。

10个数相乘，会用9次，我们是不是直观的方法，快速算是出来答案呢？不好，跟著老师一起来深入探讨。

思远教育四年级拓展测试卷第8次课姓名：分数（60）：【教学目标】主讲内容：巧妙求和（二）例4、例51.解决自然数各个数位数字之和的问题。

2.已知首项、末项、总和，求项数及公差的问题。

3.涉及公式：项数 = 总和×2÷（首项+末项）公差 =（末项-首项）÷（项数-1）在解自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。

【测试】1、求1-699的699个连续自然数的所有数字之和。

2、李师傅做零件，他第一天做了8个，以后每一天比前一天多做的数量相同，最后一天做了36个，共做了330个。

李师傅每天比前一天多做了多少个？3、求1-499的499个连续自然数的所有数字之和。

4、星华剧院共有座位598个。

已知第一排有座位22个，最后一排有座位70个，而且每相邻的两排相差的座位相等，那么相邻的两排相差多少个座位？5、求1-4000的4000个连续自然数的所有数字之和。

【能力冲浪】1、求1-709这1001个连续自然数的全部数字之和。

微信作业周一：1、求1-599的599个连续自然数的全部数字之和。

2、求1-399的399个连续自然数的全部数字之和。

周二：1、求1-5000的5000个连续自然数的全部数字之和。

2、求2000-3000的1001个连续自然数的全部数字之和。

周三：刘阿姨做一批帽子，她第一天做了3顶，以后每天比前一天多做的数量相同，最后一天做了25顶，共做了168顶，刘阿姨每天比前一天多做几顶帽子？。

1＋2＋3＋ … ＋98+99+100＝？
让我们从最简单的问题中寻找规律：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=？
4
32
1
5
11 × 5 = 55
1＋2＋3 ＋… ＋98+99+100＝？
让我们从最简单的问题中寻找规律：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 =55
遇到新问题：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 =45
9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
11 11 11 111
00 00 00 000
10×9=90
90÷2=45
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋ 1
11 11 11 1 11 1 11 11 11 1 11 1
11×10÷2=55
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=55
（9+14）×6÷2
= 20×6÷2 = 120÷2 = 60
（2）1、3、5、7、9……97、99
（1+99）×50÷2 = 100×50÷2 = 5000÷2 = 2500
留问课后
（1）求出下面数列中各数的和。 4、6、8、10、12
（2）求出自然数中所有两位数的和。
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/3/202021/3/20Saturday, March 20, 2021
巧妙求和
高斯是德国数学家、科学家，他是近代数学奠
基者之一，和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三 大数学家，有“数学王子”之称。

巧妙求和教学目标：①知识与技能目标:使学生理解首项，末项以及项数的概念，掌握数列求和的公式②过程与方法目标:使学生能利用数列求和公式解决实际问题；通过对求和公式的推导，培养学生的观察能力和探究能力③情感态度与价值观目标:通过让学生体验探究发现的乐趣，培养学生的探索精神教学重点：数列求和公式及其适用条件教学难点：数列求和公式的推导过程[知识引领与方法]通项公式：第n项=首项+（项数-1）X公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X项数÷2在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。

巧妙求和(二)[例题精选及训练]【例1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第十一天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？练习：1.刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个正好做完。

这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完。

这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每一天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个单词？【例2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？练习：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？2.平面上有10个点，没有3个点在同一直线上。

过这些点最多可以画出多少条直线？3.有10个盒子，44个羽毛球。

能不能把44个羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？【例3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他所有人握一次手，那么共握了多少次手？练习：1.学校进行乒乓球比赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，如果有21人参加比赛,问一共要进行多少场比赛?2.一次同学聚会中，参加聚会的有43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他人握一次手。

巧妙求和教学设计巧妙求和的教学设计一、教学目标：1.了解求和的概念，并通过实际例子感受求和的实际意义。

2.掌握求和的基本方法和技巧。

3.能够应用求和的方法解决实际问题。

二、教学准备：1.物质准备：黑板、彩色粉笔、计算器、板书工具等。

2.教学资源：电子课件、教科书、练习册等。

三、教学过程：Step 1 引导探究（10分钟）1.通过播放一段视频或讲解的方式，引导学生了解求和的概念。

让学生观察视频中的场景并尝试总结，以引发学生的思考。

2.通过教师的带领，让学生发表自己对求和的理解和想法，梳理归纳学生的回答，确立求和的定义。

Step 2 探索求和方法（15分钟）1.教师通过实际例子，如求1+2+3+...+10的和，引导学生思考并尝试求解。

教师可以采用如下两种方法进行讲解：a.逐项相加法：写出每一项并逐一相加，然后写出最后的结果。

b.利用递推关系：观察数列的规律，求出相邻两项之间的关系，并进行递推。

2.将学生的思路和方法进行总结和归纳，强调逐项相加法和递推法的异同点，并让学生自主选择合适的方法进行求和。

Step 3 规律总结与运用（25分钟）1.通过展示一些数学公式和模式，引导学生发现求和的规律，并与学生一起总结归纳。

如：1+2+3+...+n=n(n+1)/2；1+3+5+...+(2n-1)=n^2。

2.通过给出一些特定的求和问题，让学生应用求和公式和规律进行求解。

Step 4 拓展运用（25分钟）1.通过生活实例，引导学生发现求和方法在现实生活中的应用。

如：计算每个人的月总收入、计算一辆车的总行驶里程等。

2.设计一些开放性问题，让学生结合实际情境，应用求和方法进行求解。

如：小明每天步行上学需要10分钟，班上有20个学生，他们一起步行上学需要多少时间？Step 5 练习与巩固（15分钟）1.以课堂练习的形式，布置一些求和问题，让学生独立完成。

2.教师通过随机点名或召唤志愿者回答问题，进行检查和指导。