【精品】四年级下册奥数试题-第十一课时 巧妙求和(二) 全国通用

巧妙求和
基本概念
1 数列：若干个数排成一列，称为数列
2 项：数列中的每一个数
首项：数列中的第一项
末项：数列中的最后一项
项数：数列中项的个数
3 等差数列：从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列
公差：后项与前项的差
4 等差数列求和
通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差
项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1
求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2
例1：数列4,10,16,22…52共有多少项？
例2：等差数列9,12,15,18…，2004，这个数列共有多少项？
例3：等差数列1000,993,986,979，…20，这个数列共有多少项？
例4：已知等差数列3,7,11,15，…，则该等差数列第100项是多少？
例5：求等差数列1,6,11,16，…的第61项。

例6：求等差数列307,304,301,298，…第99项。

例7：有这样一列数：1,2,3,4，…98,99,100.请求出这列数各项相加之和。

例8：求等差数列2,4,6,…48,50的和。

例9：用简便方法计算（100+102+104+...+200）-（1+5+9+13+ (97)
作业：
1.3+5+7+9+…+63
2.100+110+120+…+350
3.160+154+148+…+16
4.2+3-4+5+6-7+8+9-10+11+12-13+…+101+102-103。

四年级奥数第11讲巧妙(qiǎomiào)求和（教师版）xλ掌握(zhǎngwò)等差数列的基本概念,首项(shǒu xiànɡ)、末项、公差等；λ掌握(zhǎngwò)等差数列的常用公式,并能灵活运用。

一、数列(shùliè)的概念按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做项,第一项称为首项,最后一项称为末项。

数列中共有的项的个数叫做项数。

如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列二、等差数列与公差一个数列,从第二项起,每一项与与它前一项的差都相等,这样的数列的叫做等差数列,其中相邻两项的差叫做公差。

三、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）项数 2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．考点一：等差数列的基本(jīběn)认识例1、下面(xiàmian)的数列中,哪些(nǎxiē)是等差数列?若是,请指明(zhǐmíng)公差,若不是(bù shi),则说明理由。

①6,10,14,18,22, (98)②1,2,1,2,3,4,5,6；③ 1,2,4,8,16,32,64；④ 9,8,7,6,5,4,3,2；⑤3,3,3,3,3,3,3,3；⑥1,0,1,0,l,0,1,0；【考点】等差数列的基本认识【解析】①是,公差d=4.②不是,因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是,因为4-2≠2-1.④是,公差d=l.⑤是,公差d=0.⑥不是,因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

四年级巧妙求和奥数题摘要：一、巧妙求和的概念二、例题1：刘俊读一本长篇小说三、例题2：等差数列的求和四、练习题：等差数列的求和五、举一反三- 巧妙求和（一）微课视频六、小学四年级奥数题及答案：求和正文：一、巧妙求和的概念巧妙求和是奥数中的一种解题方法，它主要涉及到对数字的合理分组和配对，以便顺利解决一些有关自然数的计算问题。

这种方法需要根据题目的具体特点来运用，让问题得以顺利解决。

二、例题1：刘俊读一本长篇小说刘俊第一天读30 页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3 页，第11 天读了60 页，正好读完。

这本书共有多少页？【思路导航】此题可以运用巧妙求和的方法解决。

首先，将刘俊读书的天数分组，第一天单独一组，剩下的天数为一组。

然后，根据每天读书的页数，将每组的页数配对，即第一天的30 页和第11 天的60 页配对，剩下的天数的页数互相配对。

最后，将配对后的页数相加，即可得到这本书的总页数。

三、例题2：等差数列的求和有一个等差数列：2.5，8，11，...，101。

这个等差数列共有多少项？【思路导航】此题可以运用等差数列的求和公式解决。

首先，根据等差数列的性质，可以求出公差为4。

然后，根据等差数列的求和公式：Sn = n * (a1 + an) / 2，其中Sn 为等差数列的和，n 为项数，a1 为首项，an 为末项。

将已知的首项、末项和公差代入公式，即可求得项数n。

四、练习题：等差数列的求和1.等差数列中，首项为1，末项为39，公差为2。

这个等差数列共有多少项？2.等差数列的首项为3，公差为4，项数为100。

求第100 项的数值。

【参考答案】1.等差数列共有20 项。

2.第100 项的数值为397。

五、举一反三- 巧妙求和（一）微课视频微信公众号：小学数学奥数课堂六、小学四年级奥数题及答案：求和求和：(中等难度) 如图1-1 所示的表中有55 个数，那么它们的和加上多少才等于1994？【参考答案】1 + 7 + 13 + 19 + 25 + 31 + 37 + 43 + 49 + 55 + 61 +2 + 8 + 14 + 20 + 26 + 32 + 38 + 44 + 50 + 56 + 62 +3 + 9 + 15 + 21 + 27 + 33 +39 + 45 + 51 + 57 + 63 + 10 + 16 + 22 + 28 + 34 + 40 + 46 + 52 + 58 + 64 + 11 + 17 + 23 + 29 + 35 + 41 + 47 + 53 + 59 + 65 = 1994 【总结】本文通过四年级巧妙求和奥数题的例子，介绍了巧妙求和的概念和应用。

四年级奥数B版巧妙求和（一）姓名( ) 11基础卷1、有一个等差数列：9、12、15、18、…、2004，这个数列共有多少项？2、已知等差数列：1000、993、986、979、…、20，这个数列共有多少项？3、求等差数列：l、6、1l、16、…的第61项。

4、求等差数列：307、304、301、298、…的第99项。

5、计算：4+5+6+7+8+…+806、计算：11+12+13+…-+200四年级奥数B版巧妙求和（一）姓名( ) 12提高卷1、计算：3+5+7+9+ (93)2、计算：100+110+120+…+3503、计算：160+154+148+…+164、简便方法计算：( 100+102+104+...+200)-（1+5+9+13+ (97)5、用简便方法计算：2+3-4+5+6-7+8+9-10+11+12-13+…+101+102-1036、用简便方法计算：2005+2004-2003+2002+2001+1999+1998-1997+…+1006+1005-1004四年级奥数B版变化规律（一）姓名( ) 13基础卷1、两个数相加，一个加数增加9，另一个加数增加18，和起什么变化？2、两个数相加，如果一个加数减少7，要使和增加7，另一个加数应如何变化？3、两个数相加，如果一个加数减少4，要使和减少9，另一个加数应如何变化？4、两个数相加，如果一个加数增加11，要使和减少5，另一个加数应如何变化？5、两数相减，若被减数减少6，减数减少7，差有何变化？6、两数相减，若被减数增加8，减数减少18，差有何变化？四年级奥数B版变化规律（一）姓名( ) 14提高卷1、两数相减，被减数减少15，要使差减少9，减数应怎样变化？2、两数相减，被减数减少9，要使差增加4，减数应怎样变化？3、两数相减，减数增加7，要使差增加10，被减数应怎样变化？4、被减数、减数、差相加得1050,减数是差的一半。

巧算与速算（二）巧点晴——方法和技巧数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数叫末项。

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。

后一项与前一项的差叫做这个数列的公差。

如：1，3．5．7，…是等差数列，公差为2；5，10，15，20…是等差数列，公差为5。

在等差数列中，有如下规律：总和=（首项＋末项）×项数÷2项数=（末项－首项）÷公差＋1第n项=首项＋（n－1）×公差巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴[例1]求下面各数列有多少项。

（1）2，5，8，…65，68 （2）1，3，5…，97，99做一做1已知等差数列7，11，15，…，195。

问这个数列共有多少项？[例2]计算：（1）2＋5＋8＋…＋65＋68（2）（2＋4＋6＋...＋2008）－（1＋3＋5＋ (2007)做一做2 计算：（1）2＋4＋6＋…＋98＋100 （2）51＋52＋53＋…＋99＋100【例3】计算：1÷2003＋2÷2003＋3÷2003＋…＋2001÷2003＋2002÷2003＋2003÷2003做一做3计算：15÷49＋17÷49＋19÷49＋21÷49＋23÷49＋25÷49＋27÷49B级培优竞赛·更上层楼【例4】求等差数列3，5，7…的第10项和第100项。

【例5】有20个朋友聚会，见面时如果每人都和其他人握手1次，这20个人一共握手多少次？做一做5 如果参加宴会的每一个人都和其他人握手1次，宴会结束时，统计出一共握手28次。

问参加宴会的一共有多少人？【例6】如下图所示，这是一个堆放钢管的V形架。

如果V开架上一共放有465根钢管，问最上面一层有多少根钢管？做一做6 在一个七层高的书架上放了497本书，上面一层总比下面一层少7本书。

第十一课时巧妙求和（二）【教学目标】1.某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和；2.如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式；3.在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

【教学重点】理解等差数列求和公式的概念，灵活使用等差数列求和公式。

【教学难点】准确确定数列的项数【教学内容】【典型例题】例题1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？练习1：（1）刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？（2）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？（3）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例题2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？（1）有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？（2）有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了？（3）有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？例题3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。

那么共握了多少次手？练习3：（1）学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？（2）在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？（3）假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？例题4：求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。

第十一课时巧妙求和（二）【教学目标】1.某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和；2.如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式；3.在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

【教学重点】理解等差数列求和公式的概念，灵活使用等差数列求和公式。

【教学难点】准确确定数列的项数【教学内容】【典型例题】例题1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？练习1：（1）刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？（2）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？（3）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例题2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？（1）有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？（2）有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了？（3）有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？例题3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。

那么共握了多少次手？练习3：（1）学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？（2）在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？（3）假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？例题4：求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。

速算与巧算计算（1）9+99+999+9999+99999 （2）489+487+485+484+486+488 （3）632－156－232 （4）128+186+72－86（5）248+（152－127）（6）325÷25（7）25×125×4×8 （8）（360+108）÷36（9）（450-75）÷15 （10）158×61÷79×3（11）123×96÷16 （12）200÷（25÷4）（13）19×25×64×125 （14）26×25（15）5×64×25×125×2009 （16）2004×25 （17）125×792 （18）125×16-111×9 （19）256×9999（20）5÷（7÷11）÷（11÷15）÷（15÷21）【答案】1.【解析】这四个加数分别接近10、100、1000、10000.在计算这类题目时，常使用减整法，例如将99转化为100－1.这是小学数学计算中常用的一种技巧.9+99+999+9999=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）=10+100+1000+10000－4=111062.【解析】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数.489+487+483+485+484+486+488=490×7－1－3－7－5－6－4－2=3430－28=34023.【解析】在没有括号的算式里，如果只有第一级运算，计算时可根据减法的运算性质来做.632－156－232=632-232-156=400-156=2444.【解析】在没有括号的算式里，如果只有第一级运算，计算时可根据运算定律来做.128+186+72-86=128+72+186-86=（128+72）+（186-86）=200+100=3005.【解析】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+”号，去括号时，括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时，括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号.计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号.248+（152－127）= 324124+97= 200+97= 2976.【解析】在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.利用这一性质，可以使这道计算题简便.325÷25=（325×4）÷（25×4）= 1300÷100= 137.【解析】经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了.这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便.25×125×4×8=（25×4）×（125×8）= 1000008.【解析】两个数的和除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和.（360+108）÷36=360÷36+108÷36=10+3=139.【解析】两个数的差除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的差.（450-75）÷15=450÷15-75÷15=30-5=2510.【解析】在乘除法混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置.158×61÷79×3=158÷79×61×3=2×61×3=36611.【解析】采用加括号或去括号的方法，使计算简便.括号前是乘号，添、去括号不变号.123×96÷16=123×（96÷16）=123×6=73812.【解析】采用加括号或去括号的方法，使计算简便.括号前是除号，添、去括号要变号.200÷（25÷4）=200÷25×4=8×4=3213.【解析】把64分成4×8×2，采用乘法结合律便可速算.19×25×64×125=（25×4）×（125×8）×（19×2）=100×1000×38=380000014.【解析】26不能被4整除，但26可以拆成6×4+2.26×25=（6×4+2）×25=6×4×25+2×25=600+50=65015.【解析】把64分成4×8×2，采用乘法结合律便可速算.5×64×25×125×2009=5×（2×4×8）×25×125×2009=（5×2）×（4×25）×（8×125）×2009=10×100×1000×2009=200900000016.【解析】把2004拆成2000+4，便可简便计算.2004×25=（2000+4）×25=2000×25+4×25=50000+100=5010017.【解析】把792拆成800-8，便可简便计算.125×792=125×（800-8）=125×800-125×8=100000-1000=9900018.【解析】根据乘法凑整原则可求125×16-111×9=125×8×2-999=2000-（1000-1）=2000-1000+1=100119.【解析】把9999拆成10000-1，便可简便计算.256×9999=256×（10000-1）=2560000-256=255974420.【解析】采用加括号或去括号的方法，使计算简便.括号前是除号，添、去括号要变号.5÷（7÷11）÷（11÷15）÷（15÷21）=5÷7×11÷11×15÷15×21=5×（11÷11）×（15÷15）×（21÷7）=5×3=15。