成都七中19届高二理科数学下学期半期考试试卷及答案

一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13606]函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A -3．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 5．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=sin 2α=（ ）A ．12B 3C ．12-D ．3 6．(0分)[ID ：13624]设,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan( ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-7．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 23cos 042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1B ．65C ．43 D ．328．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心9．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A ．72B ．72-C ．72±D ．12±10．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89C ．79D ．79-11．(0分)[ID ：13568]函数()()f x Asin ωx φ=+（其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象如图所示，为了得到()πg x sin ωx 6⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象上所有点( )A ．向右平移π12个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向左平移π6个单位长度 12．(0分)[ID ：13563]平面向量a 与b 的夹角23π，(2,0)a =，223a b +=，则a b ⋅=（ ）A ．3B ．3-C ．-2D ．213．(0分)[ID ：13538]3cos()45x π-=，那么sin 2x =（ ） A ．1825B ．2425±C ．725-D ．72514．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB + B ．1162AC AB + C ．1126AC AB + D ．1263AC AB + 15．(0分)[ID ：13533]下列命题中，真命题是（ ） A ．若a 与b 互为相反向量，则0a b += B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = C ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=D ．若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =二、填空题16．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．17．(0分)[ID ：13697]在ABC ∆中， 、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若tan 210tan A cB b++=，则A =____________. 18．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为___________19．(0分)[ID ：13693]已知()()()()()1cos ,sin ,1cos ,sin ,1,0,0,,,2a b c ααββαπβππ=+=-=∈∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且1θ23πθ-=，求sin2αβ-=_______.20．(0分)[ID ：13667]在ABC ∆中，sin 2cos sin A B C =，则ABC ∆为_____三角形．21．(0分)[ID ：13665]已知5cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 22．(0分)[ID ：13659]已知O 为ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为________23．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________24．(0分)[ID ：13646]已知点()01A ，，()13B ，，()C x y ，，若以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为2，则y 关于x 的函数解析式为________________． 25．(0分)[ID ：13641]若向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，且//a b ，则x =______．三、解答题26．(0分)[ID ：13790]已知点()0,2A 、()4,4B 、12OM t OA t OB =+. （1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围；（2）若14cos t θ=，2sin t θ=，R θ∈，求OM 在AB 方向上投影的取值范围；（3）若22t a =，求当OM AB ⊥，且ABM ∆的面积为12时，a 和2t 的值.27．(0分)[ID ：13789]已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =， （1）若25c =，且//a c ，求c 的坐标； （2）若52b =，且(2)(2)a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的余弦值. 28．(0分)[ID ：13774]已知向量a →(1=，2)，b →(3=-，4)． （1）求a b +与a b -的夹角；（2）若a →(⊥a b λ→→+)，求实数λ的值．29．(0分)[ID ：13754]已知在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边,AB AD 的长分别为2,1，若,M N 分别是,BC CD 上的点，（1）若,M N 分别是,BC CD 上的中点，求AM AN ⋅的值； （2）若点,M N 满足BM CN BCCD=，求AM AN ⋅的取值范围.30．(0分)[ID ：13736]设函数21()sin 2cos ()24f x x x π=-+． （I ）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()02Bf =，B 为锐角，1b =，2c =，求ABC ∆的面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．C4．B5．A6．A7．C8．A9．A10．C11．A12．C13．C14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量17．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合18．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以19．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题20．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式21．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公22．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况24．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,22a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A . 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】 【分析】结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin 1C =，进而求出角C 是直角，即可选出答案． 【详解】由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-， 所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-， 即sin cos sin cos 1A B B A +=， 则()sin 1A B +=， 故sin 1C =， 所以角C 为直角，即ABC ∆的形状一定是直角三角形． 故答案为C. 【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π）．故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （2x +6π+3π）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 5．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.6．A解析：A【解析】 【分析】由平方关系得出cos α，再结合诱导公式以及商数关系得出答案. 【详解】4cos 5α==-sin 353tan()tan cos 544απααα⎛⎫-=-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+， ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆∴ 23ωπππ+≤，403ω∴<≤ ， 综上可知403ω<≤. 故选C【点睛】 本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.8．A解析：A【解析】【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB AC OP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．9．A【解析】【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案．【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>，∴sin cos 0αα+>，∴sin cos 2αα+==== 故选A ．【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号． 10．C解析：C【解析】【分析】 根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 本题正确选项：C【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.解析：A【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得()f x 得解析式，再利用函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数()()f x Asin ωx φ=+ （其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象， 可得A 1=，12π7ππ4ω123⋅=-，ω2∴=． 再利用五点法作图可得π2φπ3⋅+=，求得πφ3=，()πf x sin 2x .3⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 为了得到()ππg x sin ωx sin 2x 66⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 只需将()f x 的图象上所有点向右平移π12个单位长度，即可， 故选A ．【点睛】本题主要考查由函数()y Asin ωx φ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，属于基础题． 12．C解析：C【解析】【分析】 求得22,2cos 3a a b b b π=⋅=⋅=-，将223a b +=平方列方程求解即可. 【详解】因为平面向量a 与b 的夹角为()2,2,0,2233a a b π=+=， 所以22,2cos 3a a b b b π=⋅=⋅=-，()2212a b +=，即为2224444412a a b b b b+⋅+=-+=,解得2(1b =-舍去），则2a b ⋅=-，故选C.本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）cos a b a b θ⋅=；（2）22a a =. 13．C解析：C【解析】【分析】由3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值． 【详解】 由题意可得3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故选C ．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 14．B 解析：B 【解析】 由题意结合向量的加法法则可得：213221()3221132211.62EM EC CMAC CB AC CA AB AC AC AB AC AB =+=+=++=-+=+ 本题选择B 选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．D解析：D【解析】根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A 的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B 的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C 的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D 的真假；进而得到答案．【详解】对A ，若a 与b 互为相反向量，则0a b +=，故A 为假命题；对B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 为假命题；对C ，若a ，b 都是单位向量，则11a b -⋅，故C 为假命题；对D ，若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =，故D 为真命题；故选：D ．【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量解析：16-【解析】【分析】取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解.【详解】如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：因为O 为ABC ∆的外心所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅221122AC AB =- 218=-16=-，即16AO BC ⋅=-，故答案为：16-.【点睛】 本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.17．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合 解析：23π. 【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得120cos A +=，解出A 即可. 【详解】 由正弦定理可得tan 2sin 10tan sin A C B B ++=，故sin cos 2sin 10cos sin sin A B C A B B ++=， 通分得到()sin 2sin 0cos sin sin A B C A B B++=，sin 2sin 0cos sin sin C C A B B +=. 因为(),0,B C π∈，所以sin 0sin C B ≠，故120cos A +=即1cos 2A =-. 因为()0,A π∈，故23A π=，填23π. 【点睛】 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.18．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC 和AC 的夹角也是θ所以解析：13【解析】∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=2()PA PB PC PB PA ++=-，即30PA BC +=，即3PA CB =，∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，12APC SAP AC sin θ=⋅， 12ABC S BC AC sin θ=⋅， 所以1.3APC ABC S S =19．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题解析：12- 【解析】【分析】由(0,)απ∈，可得2α的范围．利用向量的夹角公式化简可得12αθ=，同理可得222βπθ=-，再利用123πθθ-=，即可得出sin 2αβ-的值． 【详解】 (0,)απ∈，∴(0,)22απ∈．1cos a c α=+，||(1cos a =+=||1c =，11cos cos cos ||||222cos a c a c αθ⋅+∴=====⋅+， 12αθ∴=．(,2)βππ∈，∴(22βπ∈，)π， ∴(0,)22βππ-∈．1cos b c β⋅=-，||(1cos b =-=21cos cos sin cos()222||||22cos b c b c ββπθ-∴=====--，222βπθ∴=-，123πθθ-=，∴()2223αβππ--=，化为26αβπ-=-， 1sin sin()262αβπ-=-=-． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．20．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式 解析：等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出()sin sin A B C =+，然后利用两角差的正弦公式得出B C =，由此可判断出ABC ∆的形状.【详解】因为()A B C π=-+，所以()sin 2cos sin B C B C π⎡⎤-+=⎣⎦，即()sin 2cos sin B C B C +=，所以sin cos cos sin 2cos sin B C B C B C +=，即sin cos cos sin 0B C B C -=，所以()sin 0B C -=，因为B 、()0,C π∈，(),B C ππ-∈-，所以B C =，因此，ABC ∆是等腰三角形． 故答案为等腰.【点睛】本题考查利用内角和定理、诱导公式以及三角恒等变换思想来判断三角形的形状，考查推理能力，属于中等题.21．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公 解析：13【解析】【分析】本题首先可根据cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果． 【详解】因为cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭()()44sin tan 24cos ππαπαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()4444tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππππαππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos ααα=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能力，是中档题． 22．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所 解析：23【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系，设(),B x y ，列方程用、λμ表示出x y ，，代入圆的方程，再利用不等式解出λμ+的范围即可.【详解】设ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系， 因为3ABC π∠=，所以23AOC π∠=， 不妨设()A 1,0，122C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，(),B x y ， 则()1,BA x y =--，12BC x y ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()y BO x =--，， 因为BO BA BC λμ=+，所以()1122x x x y y y λμλμ⎧⎛⎫--+=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-+-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得121321x y λμλμμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩， 因为B 在圆221x y +=上，所以221322111λμμλμλμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()22213122λμμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22132λμλμλμ+-+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭， 所以()()21210433λμλμ+-++≥， 解得23λμ+≤或2λμ+≥， 因为B 只能在优弧AC 上，所以23λμ+≤， 故23【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况解析：25- 【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案. 【详解】(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：8122105a b b⋅-==- 故答案为：25- 【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.24．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量解析：21y x =-或23y x =+ 【解析】 【分析】求得,ABAC ，然后求得cos ,AB AC ，进而求得sin ,AB AC ，利用平行四边形的面积列方程，化简后求得y 关于x 的函数解析式. 【详解】依题意()()1,2,,1AB AC x y ==-，所以25,AB AC x ==cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=，由于[],0,πAB AC ∈，所以2sin ,1cos ,15AB AC AB AC x =-=-⎣AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积sin ,2AB AC AB AC ⋅⋅=，化简得()()23210x y x y -+--=，所以21y x =-或23y x =+. 故答案为：21y x =-或23y x =+. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查平面向量夹角的计算，考查同角三角函数的基本关系式，考查平行四边形面积的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题解析：0或-3【解析】 【分析】根据//a b ，得到120x x x ++=（），即可求解x 的值，得到答案． 【详解】由题意，向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，因为//a b ，所以120x x x ++=（），整理得230x x +=，解得0x =或3-． 故答案为0或3-． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线的条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题 26．（1）()(),11,0-∞--；（2）,55⎡-⎢⎣⎦；（3）5a =±，225t =.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求出2t 的取值范围；（2）根据向量投影的定义，利用三角函数的性质可求出OM 在AB 方向上投影的取值范围；（3）根据OM AB ⊥，转化为0OM AB ⋅=，结合ABM ∆的面积列出方程组，可求出a 与2t 的值. 【详解】（1）点()0,2A 、()4,4B ，()122124,24OM t OA t OB t t t =+=+，若点M 在第二或第三象限，且12t =，则2240440t t <⎧⎨+≠⎩，解得20t <且21t ≠-.因此，实数2t 的取值范围是()(),11,0-∞--；（2）()4,2AB =，()2124,24OM t t t =+，OM ∴在AB方向上的投影为4cos ,OM AB OM OM AB AB⋅⋅===θϕ+==，锐角ϕ满足cos 13ϕ=，sin 13ϕ=.因此，OM 在AB方向上投影的取值范围是⎡⎢⎣⎦； （3）()2124,24OM t t t =+，124240OM AB t t ⋅=+=，且22t a =，216t a ∴=-，()224,8OM a a =-，点M 到直线:240AB x y -+=的距离为2d =，且25AB =ABM ∆的面积为22112041222ABMS AB d a ∆=⋅=⨯=+=， 解得a =2225t a ==.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、向量投影的计算以及三角形的面积问题，同时也涉及了三角恒等变换思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.27．（1）(2,4)c =或(2,4)c =--；（2）1- 【解析】 【分析】（1）根据共线关系将c 用a 的形式表示，再根据模长完成坐标计算；（2）根据向量垂直关系得到数量积表达式，然后得到a b ⋅的结果，即可求解相应夹角. 【详解】 （1）//a c ，∴设c a λ=，R λ∈，则||||||||ca a λλ==，即|145|λλ=+=，得||2λ=，得2λ=±. 当2λ=时，(2,4)c =；当2λ=-时，(2,4)c =--. （2）(2)(2)a b a b +⊥-，∴ (2)(2)0a b a b +⋅-=，即222320a a b b +⋅-=，即5253204a b ⨯+⋅-⨯=，得52a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则52cos 1||||5a b a b θ-⋅===-⨯.【点睛】向量垂直的坐标表示形式：已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ⊥，则12120x x y y +=； 向量平行的坐标表示形式：已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ，则12210x y x y -=.28．（1）34π； （2）1λ=-. 【解析】 【分析】(1)先求a b +与a b -的坐标，再代入向量的夹角公式求解.(2)由题得()0a a b λ⋅+=，解方程即得解. 【详解】（1）∵(1a =，2)，(3b =-，4)， ∴(2a b +=-，6)，(4a b -=，2)-， ∴()()2642202cos 240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，，，； 又∵()0,a b a b ，π+-∈，∴34a b a b π+⋅-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，∴()()1213240λλ⋅-+=，，，则13480λλ-++=，∴1λ=-． 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.29．（1）154;（2）[2,5] 【解析】 【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标， （1）根据坐标直接求出数量积； （2）通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0),(0,0)B A ，13(,)22D ，53(,22C ， （1）因为,M N 分别是,BC CD 上的中点，93(,(,4422M N ∴，933(,),(,442AM AN ∴==，9327315((42884AM AN ∴⋅=⋅=+=；（2）设||||||||BM CN BC CD==,[0,1]λλ∈， 52,,2,2222M N λλ⎛⎫⎛+- ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以25222522AM AN λλλλ⎛⎛⋅=+⋅-=--+ ⎝⎭⎝⎭， 因为[0,1]λ∈，二次函数的对称轴为：-1λ=，2222250205=5251215=2λλλλ∴--+≤--⨯+--+≥--⨯+，所以AM AN ⋅的取值范围是[2,5]． 【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，是中档题．30．(1) [,]()44k k k Z ππππ-+∈;(2)2. 【解析】试题分析:(1)由二倍角公式和诱导公式化简函数()f x ,根据正弦函数的单调递增区间列出不等式,即可求出()f x 的单调递增区间;(2)由02B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求出角B ,再由余弦定理求出边a ,利用三角形的面积公式求出结果. 试题解析: （I ）由题意知，()21cos 21112sin2cos sin2sin224222x f x x x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+=-=- ⎪⎝⎭； 因为222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（II ）因为1sin 022B f B ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以1sin 2B =，又B 为锐角，所以,cos 6B B π==.1b =，2c =，22221cos22a B a +-==⨯⨯a =因此111sin 2222ABC S ac B ∆==⨯=，所以ABC ∆。

2019学年四川省成都市高二下学期半期考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于( )A. 第一象限________B. 第二象限________C. 第三象限________D. 第四象限2. 为空间任意一点，若，则四点 ( )A. 一定不共面________B. 一定共面________C. 不一定共面________D. 无法判断3. 用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程没有实根________B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根________D. 方程恰好有两个实根4. 定积分的值为( )A. B. C. D.5. 若函数在是增函数,则的取值范围是( )A. B. C. D.6. 已知函数，则的图象大致为（）A. B.C. D.7. 设不重合的两条直线、和三个平面、、给出下面四个命题：（1）（2）（3）（4）其中正确的命题个数是（）A. B. C. D.8. 设则（）A. 都不大于________B. 都不小于C. 至少有一个不大于________D. 至少有一个不小于9. 已知函数，则( )A. 是的极大值也是最大值________B. 是的极大值但不是最大值C. 是的极小值也是最小值________D. 没有最大值也没有最小值10. 如图，二面角的大小是，线段，与所成的角为，则与平面所成的角的正弦值是( )A. B. C. D.11. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.12. 函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解是( )A. B. C. D.二、填空题13. 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________ ．14. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为 __________ ．15. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B·曼德尔布罗特(Benoit B．Mandelbrot)在世纪年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是__________ ．16. 若定义在上的函数对任意两个不等的实数都有，则称函数为“ 函数”.给出下列四个定义在的函数：① ；② ；③ ；④，其中“ 函数”对应的序号为 __________ ．三、解答题17. 已知复数满足．试判断复数在复平面内对应的点的轨迹是什么图形，并求出轨迹方程．18. 如图所示，在三棱柱中，底面 ,, , 是侧面的中心，点、、分别是棱、、的中点.(1)证明平面；(2)求直线和BC 所成的角．19. 观察下列等式第一个式子第二个式子第三个式子第四个式子照此规律下去(1)写出第个等式；(2)试写出第个等式，并用数学归纳法验证是否成立.20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥ ，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，， .(1)求证：平面平面；(2)若二面角大小的为，求的长．21. 设函数 , .(1)求函数的单调区间；(2)当时，讨论函数与的图象的交点个数.22. 已知 , .(1)当时，为增函数，求实数的取值范围；(2)设函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；(3)若，设函数，求证：对任意，恒成立.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

四川省成都七中2019届高三数学下学期入学考试试题（含解析）一、选择题(本大题共12小题，共60. 0分)1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝（0，+∞），B＝[0，2]，再求交集即可．【详解】解：由y＝3x，x∈R，得y＞0，即A＝（0，+∞），由y，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，即A∩B＝（0，2]，故选：C．【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．3.函数的大致图象是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性及取特殊值，进行排除即可得答案.【详解】由题意得，函数，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C、D，又由当时，，故排除B，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值进行排除求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4.执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )A. 7B. 9C. 11D. 13【答案】C【解析】第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，第五次：，此时不满足条件，所以输出k=115.已知等边内接于，为线段的中点，则=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC中点为E，则（）•．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．6.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．7.二项式的展开式中的系数是，则( )A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得二项展开式中的通项公式，令，解得，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，二项式的展开式中的通项公式，令，解得，所以含项的系数为，解得故选：B．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟练求解二项展开式的通项，准确得出的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.如图所示，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC a，∴O'C a，OO'a，∴OD a，∴S阴影＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，S正六边形a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P，故选：C．【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．9.如图所示，点为双曲线的右顶点，为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，可设P（2a，b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），即|AP|＝2a，即有2a，可得a＝b，e，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换的公式，化简求得，得到，再利用两角和的正切函数的公式，即可求解．【详解】由题意，因为，所以，则即，即，又由，故选：B．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记两角和与差的三角函数的基本公式，合理、准确化简计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.如图所示，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上，设，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.设是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则( )A. B. 为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D【解析】【分析】由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设满足约束条件，则的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值.【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线-3x+4y=0，然后把直线l向可行域平移，结合图形可知，平移到点时z最大，由此时z=5.故答案为:5．【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

2019-2020学年四川省成都市第七中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设集合[]1,2A =-，{}2,B y y x x A ==∈，则A B =（ ）A ．[]1,4B ．[]1,2C ．[]1,0-D ．[]0,2【答案】D【分析】根据题意，求得[0,4]B =，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合[]1,2A =-，可得{}2,[0,4]B y y x x A ==∈=， 所以[]0,2A B =故选：D2．设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+i B ．-1-i C ．1+i D ．1-i【答案】A【分析】()12i z i -= 【详解】由()12i z i -=得21iz i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容. 3．sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．B ．12C ．12-D 【答案】B【分析】利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20cos10cos160sin10-()sin 20cos10cos 18020sin10=--sin 20cos10cos 20sin10=+()sin 2010=+sin30=12=故选：B4．抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ） A ．3 B ．23C ．2D ．1【答案】A【解析】28y x =的焦点为()2,0，由点到直线的距离可得：233d ==，故选A. 5．如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是1x 、2x ，则下列判断正确的是（ ）A ．12x x >，甲比乙成绩稳定B ．12x x <，乙比甲成绩稳定C ．12x x =，甲比乙成绩稳定D ．12x x =，乙比甲成绩稳定 【答案】D【分析】由茎叶图分别求出12,x x ，从而得到12x x =，由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中，从而得到乙比甲成绩稳定. 【详解】由茎叶图知：11111151231281361431266x +++++==21121261271241321351266x +++++==所以12x x =由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中所以乙比甲成绩稳定 故选：D【点睛】本题考查的是茎叶图的知识，较简单. 6．已知()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ．12x π=【答案】A【详解】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数()2sin[2]2sin 2666g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 令262x k πππ-=+，k Z ∈，求得()23k x k Z ππ=+∈，故函数的图象的一条对称轴的方程为3x π=，故选A.7．直线3230x y +-=截圆224x y +=所得的劣弧所对圆心角为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C 【解析】圆心到直线3230x y +-=的距离为，又圆半径为2，所以直线3230x y +-=截圆224x y +=所得的弦长为，可知两半径与弦围成等边三角形，所以所得的劣弧所对圆心角为60°. 8．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞【答案】D【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e =，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．12B ．13C．4D．3【答案】C【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得44k -<<，再由几何概型概率公式即可得解.【详解】由题意圆221x y +=的圆心(0,0)，半径1r =， 由直线与圆相交可得直线(3)y k x =+与圆心的距离1d =<，解得k <<故所求概率为()21124P ⎛ ⎝⎭===--. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用及几何概型概率的求解，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于基础题.10．()f x 是定义在非零实数集上的函数，()'f x 为其导函数，且0x >时，()()0xf x f x '-<，记0.3220.322(log 5)(2)(0.2)20.2log 5f f f a b c ===，，，则 （ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C【分析】构造函数()()f x g x x=，可得()g x 在(0,)+∞的单调性，可得答案. 【详解】解:令()()f x g x x =，可得'2()()()g x xf x x f x '-=，由0x >时，()()0xf x f x '-<，可得'()0g x ＜，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又22log 5log 42=＞，0.3122＜＜，240.20.0=，可得0.322log 520.2＞＞，故0.322(log 5)(2()0.2g g g ＜)＜，故c a b <<， 故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，属于基础题.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ 是以1PFQ ∠为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．2CD【答案】D【分析】设1PF m =，2QF n =，利用双曲线的定义可得m =，2)n a =，再利用余弦定理可得,a c 的关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设1PF m =，2QF n =，则1QF m =，||2PQ m =，由双曲线的定义可知2122PF PF m n m a -=+-=，122QF QF m n a -=-=，解得22m a =，(222)n a =-，在12QF F 中，由余弦定理得2221212122cos135F F QF QF QF QF =+-︒， 即22222224(22)(222)222(222)12c a a a a a ⎛⎫=+--⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭， 所以223c c e a a===. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 12．已知不等式1ln a xx a x x e ++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．e B ．e 2- C ．e - D ．2e -【答案】C【分析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解.【详解】不等式1ln ax x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立 设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()x a g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤ 只需maxln x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.二、填空题13．已知实数x 、y 满足约束条件2{26x y x y ≥≥+≤,则24z x y =+的最大值为______ ．【答案】20【解析】画可行域如图，目标函数24z x y =+，可看成是直线124zy x =-+的纵截距四倍，直线过()2,4A 点时z 有最大值20.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是： 准确无误的做出可行域（注意边界的实虚）；画出目标函数所对应的直线时要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取到.14．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a ++的值为______． 【答案】322+【分析】先根据等差中项的性质可知得31212()22a a a ⨯=+，进而利用通项公式表示出212q q =+，求得q ，代入91078a a a a ++中即可求得答案．【详解】解：设1a ，2a ，3a 为1a ，1a q ，21a q ，()10a >∵1a ，312a ，22a 成等差数列，∴1232a a a +=， 所以21112a a q a q +=，所以2210q q --=，0q ∴>，所以21q =+，()()812910678113221a q q a a q a a a q q ++===+++ 故答案为：322+15．执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为_____．【答案】4【解析】试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：结束循环，因此判断框内①的取值范围为即应填的整数为4. 【解析】循环结构流程图16．点M 在曲线G ：3ln y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为__________. 【答案】2.【分析】设()00,3ln M x x ，得001,N x x ⎛⎫⎪⎝⎭，得001ln 03x x +=，令()1ln 3f x x x=+，利用导数得单调性与最值，从而得出结论．【详解】解：设()00,3ln M x x ，则直线l 的方程为0x x =，由题意得001,N x x ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴00021,ln 333x OM ON OP x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， ∴001ln 03x x +=， 令()1ln 3f x x x =+，则()22113133x f'x x x x -=-=， 由()'0f x =得13x =，∴函数()f x 在103⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，在1+3⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， ∴函数()f x 在13x =处取得最小值，且11ln 11ln 3033f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，∴函数()f x 有两个零点，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的的单调性与最值，属于难题．三、解答题17．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值．【答案】（1）()2224x y -+=，它是以()2,0为圆心，半径为2的圆；（2.【分析】（1）将4cos ρθ=两边同时乘以ρ可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入即可求解；（2）将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t 的值，12PQ t t -==.【详解】（1）∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=得：224x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+= 它是以()2,0为圆心，半径为2的圆（2）把1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y x +=整理得250t -+=， 设其两根分别为1t 、2t ，则12t t +=125t t =， ∴12PQ t t =-==【点睛】关键点点睛：求弦长PQ 关键点是利用直线参数方程中t 的几何意义，设P 、Q 两点对应的参数为12,t t ，则12PQ t t -==，所以将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t 的值代入即可求弦长.18．在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，且3C π=，4c =.（Ⅰ）若3sin 4A =，求a ； （Ⅱ）若ABC 的面积等于a ，b . 【答案】（Ⅰ）a =（Ⅱ）4a b ==.【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理可知：342a =，进而可得结果；（Ⅱ）由ABC∆的面积等于1sin 2ABC S ab C ∆==，可得16ab =，再由余弦定理可得结果.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理a c sinA sinC=可知：334a=，从而求得23a=（Ⅱ）由ABC∆的面积等于43，可知13432ABCS absinC ab∆===，从而16ab=①，由余弦定理2222c a b abcosC=+-可得，2216a b ab+-②，联立①②得4a b==.19．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.【答案】（1）频率为：0.08；平均分为102；（2）25.【分析】（1）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用81i iix x p==∑（其中i x表示第i组的中间值，i p表示该组的频率）求出平均值；（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1300.081400.04102+⨯+⨯=.（2）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为,a b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名， 基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个 他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般.（1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案； （2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数. 20．已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++>的图象在1x =-处的切线方程为0y =. （1）求常数,a b 的值；（2）若方程()f x c =在区间[4,1]-上有两个不同的实根，求实数c 的值.【答案】（1）29a b =⎧⎨=⎩；（2）0c 或4c =.【分析】（1）求出()'f x ，由(1)0,(1)0f f '-=-=，建立,a b 方程求解，即可求出结论；（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在[4,1]-的图象，即可求解.【详解】（1）2()36'=++f x x ax b ，由题意知2(1)0360(1)0130f a b f a b a ⎧-=-+=⎧⇒⎨⎨-=-+-+=⎩'⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩（舍去）或29a b =⎧⎨=⎩. （2）当2,9a b ==时，2()31293(3)(1)'=++=++f x x x x x故方程()0f x '=有根，根为3x =-或1x =-，x (,3)-∞-3-(3,1)--1-(1,)-+∞()'f x+-+()f x极大值 极小值由表可见，当1x =-时，()f x 有极小值0. 由上表可知()f x 的减函数区间为(3,1)--， 递增区间为(,3)-∞-，(1,)-+∞.因为(4)0,(3)4,(1)0,(0)4-=-=-==f f f f ，(1)20=f .由数形结合可得0c 或4c =.【点睛】本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.21．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，离心率为22，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点. （1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12y x =-（2）存在；定点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，可得椭圆方程,与直线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，进而可得直线OM 的方程；（2）直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合平面向量数量积公式可得在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值，再验证直线l 的斜率为0的情况即可. 【详解】（1）由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=，于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，从而1212423x x y y +=++=，故211,,332OM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222 -102m m y y ++=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩所以()()()()()210201212012012112QA QB x x x x y y my my x my my x y y ⋅=--+=++-++++ ()()()()()2222121200000022121121112122mm y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+++()22002231212x m x xm --=+-++，由023112x --=，得054x =，故此时点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，716QA QB ⋅=-；②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭.综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值. 【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (3)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径. 22．已知函数()()21ln f x x x x =--. （1）求函数()f x 的零点个数； （2）求证：()20f x x +>.【答案】（1）()f x 有两个零点，（2）证明见解析【分析】（1）抽象函数判断零点的个数，需要综合考虑导数，单调性，极值最值等等，还有特殊值的分析．（2）构造新函数，求新函数的最值，即可证明． 【详解】解：（1）()f x 定义域为()0,+∞，()211'2ln 12ln 1x f x x x x x-=+-=+-．定义域在()0,+∞上，()'10f =， ∴01x <<时，()'0f x <；1x >时，()'0f x >，∴()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1， ∵()110f =-<，222222212112151ln 2120f e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 在21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有1个零点，∵()()21ln 10f e e e e e =--=->，∴()f x 在()1,e 内有1个零点， ∴()f x 有两个零点，证明：（2）令()()()221ln g x f x x x x x =+=-+，则()g x 定义域为()0,+∞，()211'2ln 12ln 3x g x x x x x -=++=-+， 令()12ln 3h x x x =-+，则()221'0h x x x =+>，∴()h x 在()0,+∞上是增函数，()120h =>，11ln402h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =，即()0001'2ln 30g x x x =-+=，∴0013ln 22x x =-， ∴()00,x x ∈时，()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()'0g x >， ∴()g x 的单调减区间为()00,x ，单调增区间为()0,x +∞， ∴()()()()0000000min 00135121ln 2122222g x g x x x x x x x x x ⎛⎫==-+=--+=--⎪⎝⎭，令()51222m x x x =--，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则()()()22221212114'20222x x x m x x x x+--=-+==≤对12x ≥成立，∴()m x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()5112022m x m >=--=，∴()min 0g x >，∴()20f x x +>.【点睛】（1）抽象函数大多数由基础函数进行加减乘除混合运算得来的，求导时应注意求导法则．（2）证明不等式成立问题，一般采取构造新函数的方法，可求导、单调性，求最值问题．。

成都Q 中2018-2019学年高二下期入学考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共12题，每题5分，满分60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卷上）1．抛物线2=4y x 的准线方程为（ ）A ．1y =-B ．1y =C ．1x =-D ．1x =2．双曲线221124x y -=的焦距为（ ）A．B ． 8C．D ．43．过点(2,1)的直线中，被圆22(1)(2)5x y -++=截得的最长弦所在的直线方程为（ ）A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝04．已知p：“a =q ：“直线0x y -=与圆22()1x y a +-=相切”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．为了测试小班教学的实践效果，任课教师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计 如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，则观察茎叶图可知（ ）A ．A x <B x ， 2A s <2Bs B ．A x >B x ， 2A s <2Bs C ．A x <B x ， 2A s >2B s D ．A x >B x ， 2A s >2Bs 6．某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只限参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：其中::2:3:5a b c =，全校参与登山的人数占总人数的60%，为了了解学生对本次活动的满意程度， 现用分层抽样从中抽取了一个100人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取（ ）A.6人B.12人C.18人D.24人7．在区间[0，2π]上随机取一个数x ，则事件“sin cos x x ≥”发生的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．238．右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么两个空白框中可以分别填入（ ） A ．A >1000? 和 n =n +1 B ．A >1000? 和 n =n +2 C ．A ≤1000? 和 n =n +1D ．A ≤1000? 和 n =n +29．双曲线221916x y -=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线l ，则点A 到直线l 的距离为（ ）A. 815B. 325C. 3215D.8510．已知椭圆的左焦点为1F ，有一质点A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射（无论经过几次反射速率始终保持不变），若质点第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e 为（ ） A.23B.34C.35D.5711．已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点在抛物线C 上．在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ）A ．B ．C D 12．如图， 12,A A 为椭圆22195x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A.7B.9C.12D.14二、填空题（共4题，每题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上）13．若双曲线2213616x y -=的焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 上任意一点，则12PF PF -=________．14．如图是抛物线形拱桥，此时水面宽4米，拱顶离水面2米．当水位下降1米后，则水面宽为_________米．15．已知直线l 过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点，O 为坐标原点．若以线段AB为直径的圆经过点O ，则点O 到直线AB 的距离为_________．16．已知椭圆222:1(0)x y a aΓ+=>，圆222:6C x y a +=-在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为1k ，椭圆Γ在点P 处的切线斜率为2k ，则12k k 的取值范围为_________． 三、解答题（共6题，满分70分．第17题10分，第18～22题每题12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷的相应题号的下面）17．命题p ：方程22124x y m m +=+-表示椭圆；命题q ：双曲线222:1(0)4x y C m m -=>的虚轴长于实轴． （1）当简单命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围；（2）当复合命题 “p ∧q ”为真命题时，求实数m 的取值范围．18． 过抛物线x y 82=的焦点作倾斜角为045的直线，交抛物线于A 、B 两点，求：（1）被抛物线截得的弦长AB ； （2）线段AB 的中点到直线02=+x 的距离．19． 2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台SCTV -4“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a=+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式: 1122211()(),()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb a y bx x x x nx====---===---∑∑∑∑)20．如图，已知圆22:(1)(2)2C x y -+-=，点P 坐标为(2,1)-， 过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ．（1）求直线PA ，PB 的方程； （2）求过P 点的圆的切线长； （3）求直线AB 的方程．21．某市电视台为宣传所在城市，随机对该市15～65岁的人群抽取了n 人调查，回答预设答案的问题“本市著名旅游景点有哪些？”，统计结果如下列表格和频率分布直方图所示： （1）分别求出题设或表格中n ，a ，b ，x 和y 的值；（2）根据频率分布直方图估算这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数；（3）若第1组回答正确的人员中有两名女性，其余均为男性，现从中随机抽取两名，求至少抽中一名女性的概率．22．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 21(a ＞b ＞0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM ―→＝λ1MQ ―→，PN ―→＝λ2NQ ―→．（1）求椭圆的标准方程；（2）若λ1＋λ2＝－3，求证：直线l 过定点，并求出该定点．(第20题)CBAAB BCDBD CD 成都Q中2018-2019学年高二下期入学考试数学（理科）试卷一、选择题：1～5： 6～10： 11～12： ．二、填空题： 13．12 14．15．16.（3，5）．三、解答题：17.解：（1）当命题p 是真命题时，满足20m +>，40m ->，且24m m +≠-时，得24m -<<且1m ≠，即(2,1)(1,4)m ∈-⋃时，方程表示椭圆；……………5 分（2）当命题q 是真命题时，满足22b a >，则有420m >>，即(0,2)m ∈时， 虚轴长于实轴，当复合命题“p ∧q ”为真命题时，则p 、q 都是真命题，则有(0,1)(1,2)m ∈⋃． ……………10分 18.解：（1）抛物线的焦点为（2，0），则直线方程为：2-=x y ………2分联立方程组得：4,12041228212122==+⇒=+-⇒⎩⎨⎧-==x x x x x x x y x y ………6分 因此 164)(2)(2)()(21221221221221=-+=-=-+-=x x x x x x y y x x AB …………8分（2）法一：该点到02=+x 的距离为：82421=++=x x d ；……………12分法二：线段AB 的中点为)2,2(2121y y x x ++，由（1）可得中点为（6，4），所以该点到02=+x 的距离为：8=d ．………………………12分20.解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0．因为圆心C (1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 － － 2k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0． ……………4 分(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 － ＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2，所以|PA |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22． ……………8 分(3)法一：容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0． ……………12 分法二：由四边形对角互补，易知P ,A ,C ,B 四点共圆，且以线段PC 为直径，设该圆圆心为M ，则31(,)22M ，半径122r PC ==，则圆M 标准方程为22315()()222x y -+-=，即2230x y x y +--=， 又知圆C 方程的方程为222430x y x y +--+=，∴ 圆M 和圆C 方程之差即为两相交圆之公共弦所在直线AB 的方程是x －3y ＋3＝0．…………12 分20(0.0101030(0.02010)40(0.03010)50(0.02510)60(0.03010)26.......1212.5941.58x =⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++++=分315,32,,,1,252,),(,),(,1),(,2),(,),(,1),(,2),(,1),(,2),(1,2)10(,1),(,2),(,1),(,2),(,1),(,2),(1,2)7a a b c a b a c a a b c b b c c A a a b b c c =（）由（）知则第一组中回答正确的人员中有名男性，名女性，男性分别记为女性分别为记，先从人中随机抽取人，共有（个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件，共有个7() (1210)P A =基本事件，则分22. 解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3．所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．……………4 分(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝t (y －m )，由PM ―→＝λ1MQ ―→ ，知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝my 1－1．同理由PN ―→＝λ2NQ ―→知λ2＝my 21．∵λ1＋λ2＝－3，∴m y 1－1＋my 2－1＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，……① 联立2233()x y x t y m ⎧+=⎨=-⎩，得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)＞0，……②且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，……③ 将③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，由题意mt ＜0，∴mt ＝－1，满足②，故直线l 的方程为x ＝ty ＋1， 过定点(1,0)，即Q 为定点．……………12 分。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．将圆221x y +=经过坐标变换后得到的曲线方程为（）．221641x y +=B ．4x 221164x y +=D ．．已知函数()sin cos f x a x =+上单调递增，则实数a 的范围是（．(],1-∞B ．[0,)2,⎡+∞⎣D ．．已知0.5e a -=，0.5b =，c ，则下列不等关系正确的是（）．a c b>>B ．a b a c>>D ．．已知椭圆(2222:1x y C a b+=的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线有相同的焦点，点P 为抛物线在第一象限内的交点，直线相切，则椭圆C 的长轴长为（．22+B ．24D ．．关于函数()114f x x x ⎛=- ⎝的零点，下列说法正确的是（）．函数()f x 有两个零点．函数()f x 有两个零点．函数()f x 有三个零点231x x =二、填空题三、解答题(1)求证：平面PCE ⊥平面PBC ；(2)求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值21．已知过点()0,2的直线与抛物线过M 作x 轴的垂线与抛物线交于点(1)若抛物线在N 点处的切线的斜率等于(2)设()0,11D ，求DAB 与NAB △22．已知函数()()1ln x x xf x =+-(1)求函数()f x 的最小值；(2)证明不等式()11ln 221nk k k =>⋅+∑参考答案：3．A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案【详解】利用分析法证明不等式则P M N N >⇒>，则“P 故选：A.4．D【分析】利用换元法，设化回椭圆的切线方程.所以()11111114ln f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111114n 1n 4l x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---⎝++ ⎪ ⎪⎭⎝⎭故选：C.12．A【分析】根据均值不等式可得0a ≤+()233f t t t =-，利用导数求解单调性，进而可求值域【详解】由22a b a b +=+得()2a b +-故()()()(2224a b a b a b a b +-++≤⇒+由于()()3322a b a b a b ab +=++-将()()22a b a b ab +-+=和22a b a +=()()(2332a b a b a b a b a b ⎛+-++++- ⎝=()1,0,0B -，()0,0,3P ，(1,2C -(1223)PC =-- ，，，(22CE =- ，设平面PCE 法向量为()111,,x n y z =则11111220223x y n CE n PC x y z ⎧⎧-=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+-=⎪⎪⎩⎩所以()1,2,3n = ，(1223)PC =-- ，，，(022BC = ，设平面PBC 的法向量为22(,m x y =则2222220223y m BC m PC x y z ⎧⎧=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+-⎪⎪⎩⎩ 可得()3,0,1m =-，又3030n m ⋅=+-=所以平面PCE ⊥平面PBC ，（2）由（1）知，()1,0,3PA =- ，平面令222t k =+≥，所以3182S t t =-，即函数()182f t t t =-则()()2218663f t t t '=-=-，令()f t '=令()0f t '>得23t <<，令()0f t '<得所以函数()f t 在区间(2,3)上单调递增，在所以3t =，函数()3182f t t t =-取到最大为即1k =±时，DAB 与NAB △面积之差取得最大值22．(1)2(2)证明见解析【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值；（2）结合（1）的结论，得到当1x >时，()1112ln 21221n nnk k k +=>+⋅+∑.【详解】（1）对函数求导可得()1f x '=-令函数()12ln g x x x x =--，则()1g x '=所以函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增，又∵()10g =，。

2019学年四川省高二下期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离为（________ ）A．10________ B．8_________ C．4_________ D．32. 以下各点，在曲线上的点为（_________ ）A．________ B． C．________ D．3. 双曲线的离心率为（________ ）A． B． C．2_________ D．4. 焦点为的抛物线的标准方程为（_________ ）A．________ B． C．________ D．5. 方程表示双曲线，则的取值范围是（）A．B．C．D．6. 抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是（_________ ）A．或________ B．或C．或________________________ D．或7. 短轴长等于8，离心率等于的椭圆的标准方程为（_________ ）A． B．或C．______________ D．或8. 若，，且直线交轴于，直线交轴于，则线段中点的轨迹方程是（_________ ）A． B． C． D．9. 已知集合，若对于任意，存在，使成立，则称集合是“好集合”. 给出下列4个集合：，，，，其中为“好集合”的个数为（________ ）A．1 ________ B．2 ________ C．3________ D．410. 若直线与抛物线交于两点，则点到两点的距离之积为（_________ ）A． B． C．4 D．211. 经过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，点是直线上任意一点，直线的斜率分别为，则（________ ）A． B． ________ C．D．12. 已知椭圆，过右焦点作一条与轴不垂直的直线交椭圆于两点，线段的中垂线分别交直线和于，则的取值范围是（________ ）A． B． C． D．二、填空题13. 点的极坐标化成直角坐标的结果是____________________ .14. 方程（为参数）所表示曲线的准线方程是____________________ .15. 已知圆锥曲线的一个焦点坐标为，则该圆锥曲线的离心率为____________________ .16. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同两点（在之间），有以下四个结论：①若，则的取值范围是；②若是椭圆的右顶点，且的角平分线是轴，则直线的斜率为；③若以为直径的圆过原点，则直线的斜率为；④若，椭圆变成曲线，点变成，曲线与轴交于点，则直线与的交点必在一条定直线上.其中正确的序号是____________________ .三、解答题17. 甲、乙两人各掷一枚骰子，试解答下列各问：（1）列举所有不同的基本事件；（2）求事件“向上的点数之差为3”的概率；（3）求事件“向上的点数之积为6”的概率.18. 已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为.（1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程.19. 已知为抛物线上一点，点到直线的距离为.（1）求的最小值，并求此时点的坐标；（2）若点到抛物线的准线的距离为，求的最小值.20. 在一个盒子中装有6枚圆珠笔，其中4枚一等品，2枚二等品，从中依次抽取2枚，求下列事件的概率.（1）恰有一枚一等品；（2）有二等品.21. 已知抛物线的顶点在坐标原点，其图像关于轴对称且经过点.（1）求抛物线的方程；（2）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；（3）过点作抛物线的两条弦，设所在直线的斜率分别为，当时，试证明直线恒过定点，并求出该定点坐标.22. 已知椭圆的一个焦点为，且经过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，直线与椭圆交于两点，且；（ⅰ）若，求直线的方程；（ⅱ）求面积的最大值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

成都七中高2019届高三二诊模拟考试数学（理科）试卷一、选择题：（共12个小题，每小题5分，共60分.）1.已知复数满足，则为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案. 【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.在的二项展开式中，若第四项的系数为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，解得：，故选B.4.在△中，,,且的面积为，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为的面积为，所以，解得，在中，由余弦定理可得，所以，故选B.考点：正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据三角形的面积公式，求得，再利用正、余弦定理是解得关键.5.在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有零点的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先列出函数有零点的条件，再根据面积求几何概型概率.【详解】因为函数有零点，所以所以所求概率为，选B.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．6. 如果执行如图所示的程序框图，输出的S＝110，则判断框内应填入的条件是( )．A. k＜10?B. k≥11?C. k≤10?D. k＞11?【答案】C【解析】试题分析：因为，所以时结束循环，因此选C.考点：循环结构流程图【方法点睛】研究循环结构表示算法，第一要确定是当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要注意根据条件，确定计数变量、累加变量等，特别要注意正确理解循环结构中条件的表述，以免出现多一次循环或少一次循环的情况．7.已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，求得的解析式，之后根据图象变换的原则，求得的解析式，根据，得到和都是函数的最大值3，从而得出的值为周期的整数倍，求得结果.【详解】由题意得，所以，所以的最小正周期为，由，可知和都是函数的最大值3（或都是最小值-3），所以的值为周期的整数倍，所以其最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题，涉及到的知识点有三角式的化简，三角函数的图象变换，函数的最值，函数的周期，熟练掌握相关公式是正确解题的关键.8.外接圆的半径为，圆心为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】为边BC的中点，因而,又因为,所以为等边三角形，.9.给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定形式是“，”.③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为种.其中正确说法的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据充要关系、存在性问题否定形式以及排列组合分别判断，最后得结果.【详解】①时，反之不然，所以“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定形式是“，”, ②错；③四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，分法有种，其中甲、乙两名学生分到同一个班，有种，因此甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为种.综上正确说法的个数为2，选C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．10.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先还原几何体，再根据锥体体积公式求体积，由长方体性质得外接球球心位置，根据球体积公式求条件，最后作商得结果.【详解】几何体为如图三棱锥S-ABC，SA=2,SC=4,BD=2,体积为，其外接球球心为SB中点,外接球半径为，所以几何体的体积与其外接球的体积之比为，选A.【点睛】若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求给定的几何体的体积．11.设双曲线（）的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为，若以（为坐标原点）为直径的圆与相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：解：设以（为坐标原点）为直径的圆与相切于点 ,圆心为点，，，由题意可知：设，则，在中可得：，据此可得：，整理可得：，则：分解因式有：，双曲线的离心率，故：，解得：，双曲线的离心率： .本题选择D选项.点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立的齐次关系式，将用表示，令两边同除以或化为的关系式，进而求解．12.已知函数，若函数恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则充分利用函数的图象，分类讨论ａ的取值情况，得到的取值范围．【详解】当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故.当时，的图像恒过点，当时，；当时，.有5个零点，即方程有5个解，设，则.结合图像可知，当时，方程有三个根，，（∵，∴），于是有1个解，有1个解，有3个解，共有5个解.由，得，再由，得，∵，∴.而当时，结合图像可知，方程不可能有5个解.故选：C【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，方差为，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】结合平均数和方差的计算方法，建立方程，计算结果，即可。

成都七中数学考试题及答案成都七中作为中国四川省内知名的重点中学，其数学考试题目通常具有较高的难度和创新性。

以下是一套模拟的成都七中数学考试题及答案，仅供参考。

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 有理数集QB. 整数集ZC. 无理数集D. 复数集C答案：D2. 若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，则\( f(2) \)的值为：A. 0B. 4C. 8D. -4答案：A3. 已知三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，若\( \sin A + \sinB + \sinC = 2 \)，则三角形ABC的类型是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形答案：B4. 一个圆的半径为1，圆心到直线的距离为0.5，那么直线与圆的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 直线经过圆心答案：B5. 已知等差数列的前n项和为S，若\( S_{10} = 100 \)，且\( a_1 = 2 \)，则第10项\( a_{10} \)的值为：A. 12B. 14C. 16D. 18答案：A二、填空题（每题5分，共15分）6. 若\( \cos \alpha = \frac{4}{5} \)，且\( \alpha \)为锐角，则\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)。

7. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，若体积为120，且a=4b，则c的值为\( \frac{15}{b} \)。

8. 已知\( e^x = 3 \)，则\( x = \ln 3 \)。

三、解答题（共65分）9.（15分）证明：若\( a, b, c \)为正数，且\( a + b + c = 1 \)，则\( \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \frac{3}{2} \)。

证明：略10.（20分）已知函数\( f(x) = \ln(x) + x^2 \)，求\( f(x) \)在区间[1, e]上的最大值和最小值。