2018-2019学年四川省成都七中高二上学期入学考试理科数学试题 解析版

2018-2018学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面3．求经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+1=04．圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=4的公切线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣26．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．7．若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为（）A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣48．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=1 9．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．12．在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右图），则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为（）A．﹣ B．C．﹣D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为．15．已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O 为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为．16．关于图中的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列说法正确的有：．①P点在线段BD上运动，棱锥P﹣AB1D1体积不变；②P点在线段BD上运动，直线AP与平面A1B1C1D1平行；③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．三、解答题：本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：平面CBC1⊥平面EAD．18．直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为且过点（1，），求弦AB所在直线的方程．19．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．（1）求证：B1C∥平面A1DB；（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA ⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求l方程．22．点P到A（﹣2，0）的距离是点P到B（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）点P与点Q关于点（2，1）对称，点C（3，0），求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值．（Ⅲ）若过A的直线从左向右依次交第（II）问中Q的轨迹于不同两点E，F，=λ，判断λ的取值范围并证明．2018-2018学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角即可．【解答】解：由于直线y=﹣x+2，设倾斜角为θ，则tanθ=﹣，θ=120°，故选：C．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．3．求经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+1=0【考点】圆的一般方程．【分析】将圆的方程x2+2x+y2=0可化为，（x+1）2+y2=1求其圆心G（﹣1，0），根据直线垂直的斜率关系，求出与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，根据点斜式即可写出所求直线方程．【解答】解：圆的方程x2+2x+y2=0可化为，（x+1）2+y2=1∴圆心G（﹣1，0），∵直线x+y=0的斜率为﹣1，∴与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，∴由点斜式方程可知，所求直线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0，故选：A．4．圆（x﹣4）2+y2=9和圆x2+（y﹣3）2=4的公切线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数．【解答】解：圆（x﹣4）2+y2=9，表示以（4，0）为圆心，半径等于3的圆．圆x2+（y﹣3）2=4，表示以（0，3）为圆心，半径等于2的圆．两圆的圆心距等于=5=2+3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3，故选：C．5．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【考点】两条直线平行的判定；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】由题意可知直线L1：ax+3y+1=0，斜率存在，直线L2：2x+（a+1）y+1=0，斜率相等求出a的值．【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选A．6．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选B．7．若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为（）A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；两条平行直线间的距离．【分析】先用待定系数法求出过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程，再利用直线在y轴上的截距大于且小于，求出整数b的值．【解答】解：设过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+c=0，把点（5，b）代入直线的方程解得c=4b﹣15，∴过点（5，b）且与两直线平行的直线的方程为3x﹣4y+4b﹣15=0，由题意知，直线在y轴上的截距满足：＜＜，∴＜b＜5，又b是整数，∴b=4．故选C．8．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=1【考点】圆的标准方程．【分析】根据切线的性质可知PA垂直于CA，PB垂直于CB，所以过A、B、C三点的圆即为四边形PACB的外接圆，且线段AC为外接圆的直径，所以根据中点坐标公式求出外接圆的圆心，根据两点间的距离公式即可求出圆的半径，根据求出的圆心坐标与圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，得到圆心C（1，2），又P（﹣1，0）则所求圆的圆心坐标为（，）即为（0，1），圆的半径r==，所以过A、B、C的圆方程为：x2+（y﹣1）2=2．故选A9．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．综上可知：只有（1）（3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2．故选B．10．二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由题设条件，结合向量法求出CD的长．【解答】解：如图，∵在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，AB=AC=1，BD=2，∴，＜＞=120°，∴==1+1+4+2×1×2×cos120°=4．∴|CD|=．故选：C．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x ﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．12．在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右图），则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由（1）的证明可得∠A′EF为二面角A﹣BD﹣C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，从而当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得cos∠AEO=，利用互补得出二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．【解答】解：过A作AE⊥BD，在原图延长角BC与F，过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO 交CD延长线于M，∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点，AB=，BD=AC，∴△ABD为等边三角形，∴BD⊥AE，BD⊥EF，∴∠AEF为二面角A﹣BD﹣C的平面角，过A作AO⊥面BCD，垂足为O，∵面AEF⊥面BCD，∴O在EF上，理解BO交CD延长线于M，当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理可知：MB⊥CM，∴O为翻折之前的三角形ABD的中心，∴OE=AE，cos∠AEO=，∴cos∠AEF=，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】由于给出的直线恒过定点（0，﹣1）所以直线的斜率确定了直线的具体位置，由斜率大于0可求解a的范围．【解答】解：因为直线y=（3a﹣1）x﹣1过定点（0，﹣1），若直线y=（3a﹣1）x﹣1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a﹣1＞0，所以a＞．故答案为a．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是两个正四棱锥的组合体，根据图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为四棱锥，下部也为四棱锥的组合体，且两个四棱锥是底面边长为1的正方形，高为正四棱锥；所以该几何体的表面积为S=8××1×=2．故答案为：2．15．已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O 为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为4．【考点】直线的一般式方程．【分析】设AB方程为，点P（2，1）代入后应用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB面积面积的最小值．【解答】解：设A（a，0）、B（0，b ），a＞0，b＞0，AB方程为，点P （2，1）代入得=1≥2，∴ab≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB面积S=ab≥4，故答案为4．16．关于图中的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列说法正确的有：①②③．①P点在线段BD上运动，棱锥P﹣AB1D1体积不变；②P点在线段BD上运动，直线AP与平面A1B1C1D1平行；③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．【考点】棱柱的结构特征．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：①中，BD∥B1D1，B1D1⊂平面AB1D1，BD⊄平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1，又P∈BD，∴棱锥P﹣AB1D1体积不变是正确的，故①正确；②中，P点在线段BD上运动，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，直线AP⊂平面ABCD，∴直线AP与平面A1B1C1D1平行，故②正确；③中，一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形，故③正确；④中，一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则可能是平行四边形，或梯形，故④错误；⑤中，截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长不变，故⑤错误．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：平面CBC1⊥平面EAD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由已知及三角形中位线的性质可得DE∥CB1，AE∥FB1，即可证明平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）先证明AD⊥BC，又CC1⊥AD，即可证明AD⊥平面BCC1，从而证明平面CBC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F 分别为BC，BB1，AA1的中点．∴DE∥CB1，AE∥FB1，∵DE∩AE=E，CB1∩FB1=B1，DE，AE⊂平面EAD，CB1，FB1⊂平面B1FC∴平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．∴AD⊥BC，又∵CC1⊥AD，BC∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1，又∵AD⊂平面EAD，∴平面CBC1⊥平面EAD．18．直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为且过点（1，），求弦AB所在直线的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由题意可得，A（0，3）B（﹣4，0），AB的中点（﹣2，）为圆的圆心，直径AB=5，从而可利用圆的标准方程求解；（2）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y﹣=k（x﹣1），利用点到直线的距离公式，即可求弦AB所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，A（0，3）B（﹣4，0）AB的中点（﹣2，）为圆的圆心，直径AB=5以线段AB为直径的圆的方程（x+2）2+（y﹣）2=；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+=0，所以=1，所以k=0或﹣，所以弦AB所在直线的方程为y=或3x+4y﹣5=0．19．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．（1）求证：B1C∥平面A1DB；（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AB1，交A1B于点O，由三角形中位线定理得OD∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1DB．（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AB1，交A1B于点O，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1中点，∵D为AC中点，∴OD∥B1C，∵OD⊂平面A1DB，B1C⊄平面A1DB，∴B1C∥平面A1DB．解：（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点，∴B（0，，0），D（0，0，0），A1（﹣1，0，2），C1（1，0，2），=（0，﹣，0），=（﹣1，﹣，2），=（1，﹣，2），设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，2，3），设直线BD与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=||=∴直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值为．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA ⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【分析】（1）先证明直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直，可得PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，确定平面POC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求出平面PDC的法向量，利用距离公式，可求B点到平面PCD的距离．（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1），求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量=（0，0，1），根据二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，利用向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；所以，易证：OA⊥平面POC，所以，平面POC的法向量，所以PB与平面POC所成角的余弦值为…．（2），设平面PDC的法向量为，则，取z=1得B点到平面PCD的距离…．（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求l方程．【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径，判定，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）设出弦AB中点M，求出直线L，利用弦的中点与圆心连线与割线垂直，求出轨迹方程．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程利用韦达定理，以及定点P（1，1）分弦AB为，求出A 的坐标，代入圆的方程，求出m，即可求l方程．【解答】解：（1）圆心C（0，1），半径r=，则圆心到直线L的距离d=，∴d＜r，∴对m∈R直线L与圆C总头两个不同的交点；（或用直线恒过一个定点，且这个定点在圆内）（2）设中点M（x，y），因为L：m（x﹣1）﹣（y﹣1）=0恒过定点P（1，1）斜率存在时则，又，k AB•K MC=﹣1，∴，整理得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0，即：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆；斜率不存在时，也满足题意，所以：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）解方程组得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，∴，①又∴（x2﹣1，y2﹣1）=2（1﹣x1，1﹣y1），即：2x1+x2=3②联立①②解得，则，即A（）将A点的坐标代入圆的方程得：m=±1，∴直线方程为x﹣y=0和x+y﹣2=022．点P到A（﹣2，0）的距离是点P到B（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）点P与点Q关于点（2，1）对称，点C（3，0），求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值．（Ⅲ）若过A的直线从左向右依次交第（II）问中Q的轨迹于不同两点E，F，=λ，判断λ的取值范围并证明．【考点】与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求点P的轨迹方程；（Ⅱ）求出Q的轨迹方程，令z=|QA|2+|QC|2=（x+2）2+y2+（x﹣3）2+y2=6x+8y+5，所以6x+8y+5﹣z=0，利用直线与圆的位置关系，即可求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值；（Ⅲ）设过A的直线方程为x=ty﹣2（一定存在），与Q的轨迹方程联立，消去x 得（1+t2）y2﹣（8t+4）y+16=0，利用韦达定理，结合基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（I）设点P（x，y），由题意可得|PA|=2|PB|，即=2．化简可得（x﹣2）2+y2=4．（II）设Q（x0，y0），由题可得x=4﹣x0，y=2﹣y0代入上式消去可得（x0﹣2）2+（y0﹣2）2=4，即Q的轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，即x2+y2+4=4x+4y．令z=|QA|2+|QC|2=（x+2）2+y2+（x﹣3）2+y2=6x+8y+5，所以6x+8y+5﹣z=0，d=≤2，所以13≤z≤53．因此|QA|2+|QC|2的最大值为53，最小值为13．（III）λ的取值范围是（1，]．证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）且y1＜y2．因为=λ，所以，且λ＞1．设过A的直线方程为x=ty﹣2（一定存在），与Q的轨迹方程联立，消去x得（1+t2）y2﹣（8t+4）y+16=0．△＞0，解得t＞．而y1+y2=，y1y2=， +2=，因此+2=4+=4+≤5，当且仅当t=2时等号成立．所以﹣3≤0（k＞1），解得1＜λ≤．2018年1月15日。

2018-2019学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不在曲线x2-xy+2y+1=0上的点的坐标是（）A. B. C. D.2.抛物线y2=12x的焦点到准线的距离等于（）A. 9B. 6C. 3D. 123.双曲线=1的渐近线方程是（）A. B. C. D.4.直线2x+y=2在x轴上的截距为（）A. 1B. 2C.D.5.直线3x-4y+12=0与坐标轴围成的三角形的周长为（）A. 6B. 12C. 15D. 206.实数x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A. 1B.C. 3D.7.设P为双曲线y2-=1上任一点，F（0，-2）则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含8.已知P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆离心率的范围是（）A. B. C. D.9.点M（x，y）满足关系式+=6，则点M的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 线段10.圆C：x2+y2-x+2y=0关于直线l：x+y+1=0对称的圆的方程为（）A. B.C. D.11.设点A（-5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当k=-1时，点M的轨迹方程为；x2+y2=25；②当k=时，点M的轨迹方程为-=1（x≠±5）；③当k=0时，点M的轨迹方程为y=0．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 312.设A，B，M为椭圆x2+=1上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且•=0，则|MN|的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线25x2-16y2=400的实轴长为______．14.已知实数x，y满足，则x2+y2的最大值为______．15.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则+=______．16.点为椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则△F1MF2的内心的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C的圆心在直线3x+2y=0上，并且与x轴的交点分别为A（-2，0），B（6，0）．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线3x+2y=0，直线l交圆C于M，N，求△MCN的面积．18.已知双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，焦距为2．过点M（2，1）作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为AB的中点．（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程．19.某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元．那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润？20.已知圆P过A（5，-2），B（0，3），C（4，1）．（1）求圆P的方程；（2）若过点M（-3，-3）的直线l被圆P所截得的弦长为8，求直线l的方程．21.从抛物线y2=16x上各点向x轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线y=x-4与曲线E相交于A，B两点，求证：OA⊥OB；（3）若点F为曲线E的焦点，过点Q（2，0）的直线与曲线E交于M，N两点，直线MF，NF分别与曲线E交于C，D两点，设直线MN，CD的斜率分别为k1，k2，求的值．22.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，直线AB过原点O交椭圆于A、B、P（-2，1），直线AP，B，P分别交椭圆于C，D，且直线AD，BC交于点M，图中所有直线的斜率都存在．（1）求椭圆方程；（2）求证：k AD•k BD=-；（3）求k MP•k AB的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：曲线x2-xy+2y+1=0，（1，-2）代入方程，可得1+2-4+1=0，所以（1，-2）在曲线x2-xy+2y+1=0上，（2，-3）代入方程，可得4+6-6+1≠0，所以（2，-3）不在曲线x2-xy+2y+1=0上，（3，10）代入方程，可得9-30+20+1=0，所以（3，10）在曲线x2-xy+2y+1=0上，（0，-）代入方程，可得-1+1=0，所以（0，-）在曲线x2-xy+2y+1=0上，故选：B．利用点的坐标代入方程，验证即可．本题考查切线与方程的应用，是基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：抛物线y2=12x的焦点到准线的距离P=6．故选：B．直接利用抛物线的标准方程，转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.【答案】B【解析】解：双曲线的渐近线方程是，即，故选：B．把双曲线的标准方程中的1换成0，即得其渐近线的方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．4.【答案】A【解析】解：因为直线方程为2x+y=2，令y=0得x=1所以直线2x+y=2在x轴上的截距为1，故选：A．直线方程为2x+y=2令y=0得x=1，得到直线2x+y=2在x轴上的截距即可．本题考查直线的横截距的求法：只需令y=0求出x即可，本题如求直线的纵截距，只需令x=0求出y即可，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵线3x-4y+12=0交x轴于点A（-4，0），交y轴于点（0，3），∴|AB|==5，∴直线3x-4y+12=0与坐标轴围成的三角形的周长为3+4+5=12，故选：B．根据题意，求出直线与两坐标轴的交点坐标，利用勾股定理，即可求得．本题给出直线方程，着重考查了直线的方程等知识，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=-2x+z经过点C时，z最小由，可得A（-1，-1），此时z=-3故选：B．作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值越小，z越小，结合图象可求z的最小值本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义7.【答案】A【解析】解：P为双曲线y2-=1上任一点，F（0，-2），则以FP为直径的圆，以双曲线实轴长为直径的圆如图：由双曲线的定义可知：||PF2|-|PF||=2a，Q与O分别为两个圆的圆心，也是所在线段的中点，所以|QO|=|PF|+a，所以两个圆的位置关系是外切．故选：A．画出图形，利用双曲线的定义，转化求解判断即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力数形结合的应用．8.【答案】D【解析】解：P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=a≤a+c，∴e．∴椭圆离心率的范围是[，1）故选：D．利用已知条件以及椭圆的性质，列出不等式求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：点M（x，y），等式+=6的几何意义为动点M到两定点A（0，-3），B（0，3）的距离和为6，则M的轨迹为线段AB．故选：D．直接由+=6的几何意义，即动点M到两定点A（0，-3），B（0，3）的距离和为6得点M的轨迹．本题考查轨迹方程，考查两点间距离公式的应用，是基础题．10.【答案】C【解析】解：法1：以x=-y-1，y=-x-1代换圆C方程中的x，y即可得解x2+y2+3y+1=0，故选C法2：圆C方程标准化为（x-）2+（y+1）2=，得圆心C（），根据特殊对称，得C关于l的对称点C′（0，-）从而得圆C′的方程为x2+（y）2=整理得x2+y2+3y+1=0，故选：C．对于选择题不必使用常规步骤求解，可利用直线方程的特殊性，快速定项．这是一道特殊对称的问题，很容易得解．11.【答案】B【解析】解：设M（x，y），k=•，①当k=-1时，即有x2+y2=25点M的轨迹方程为；x2+y2=25（x≠±5），故①错误；②当k=时，即有-=1，点M的轨迹方程为-=1（x≠±5），故②正确；③当k=0时，即有y=0，点M的轨迹方程为y=0（x≠±5），故③错误．故选：B．设M（x，y），k=•，分别代入化简可得所求轨迹方程，注意x≠±5，即可得到正确结论．本题考查轨迹方程的求法，注意运用直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：设AB：y=kx+m，由•=0，可得ON⊥AB，即有ON：y=-，求得k=-，m=y+，①．将直线y=kx+m代入椭圆x2+=1，可得（4+k2）x2+2kmx+m2-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0．∴，整理得：4+4k2=5m2．再由①，化简可得．即有N的轨迹为以原点O为圆心，以为半径的圆．由圆与椭圆的对称性，可得|MN|的最大值r+a=，最小值为b-r=1-．∴|MN|的取值范围是[1-，2+]．故选：B．设AB：y=kx+m，由•=0，可得ON⊥AB，即有ON：y=-，求得k=-，m=y+，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系结合x1x2+y1y2=0，消去k，m可得N的轨迹方程，再由圆与椭圆的对称性可得|MN|的取值范围．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．13.【答案】8【解析】解：双曲线25x2-16y2=400的标准方程为：，可得a=4，所以双曲线的实轴长为8．故答案为：8．利用双曲线的方程，直接求解实轴长即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】13【解析】解：先根据约束条件画出可行域，而z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P在黄色区域里运动时，点P跑到点C时OP最大当在点C（2，3）时，z最大，最大值为22+32=13，故答案为：13先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．15.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决，根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入+答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=-1．设过F点直线方程为y=k（x-1）代入抛物线方程，得k2（x-1）2=4x．化简后为：k2x2-（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=1根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴+====1故答案为1.16.【答案】（y≠0）【解析】解：如图，设△F1MF2的内心为I，连接MI交x轴于点N，连接IF1，IF2．在△MF1I中，F1I是∠MF1N的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理，有，同理可得，∴，根据等比定理得：．由+=1，得a=3，c=2．∴．设I（x，y），M（x0，y0），N（x1，y1），由焦半径公式可得：，，而|F1N|=x1+2，|F2N|=2-x1，则，可得．∴N（），，，由，得，，∴，代入+=1，得：（y≠0）．故答案为：（y≠0）．设△F1MF2的内心为I，连接MI交x轴于点N，由内角平分线性质定理得到，设I（x，y），M（x0，y0），N（x1，y1），再由焦半径公式及内角平分线定理得到，则N（），然后利用向量关系把M的坐标用I得坐标表示，代入椭圆方程求解．本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题．17.【答案】解：（1）设圆C的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，AB中垂线方程：x=2，则，∴ ，r=|AC|==5，∴圆C的方程为（x-2）2+（y+3）2=25；（2）l：2x-3y=0由得13x2-108=0，∴x1+x2=0，x1x2=-，|MN|==4，圆心C到直线l的距离d==，S△MCN=|MN|d=×4×=2．【解析】（1）先求圆心坐标，即两直线3x+2y=0，AB中垂线x=2的交点坐标，再求半径r=|AC|，得圆的标准程；（2）求弦长|MN|，圆心C到直线l的距离d，利用三角形面积公式可得结果．本题主要考查圆的方程求法，弦长公式，点到直线的距离公式，三角形面积公式，熟练掌握方程和公式是关键．18.【答案】解：（1）∵双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，焦距为2．∴ ，解得a=1，b=，∴双曲线E的方程为=1．（2）∵过点M（2，1）作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为AB的中点．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入双曲线方程，得：，二式相减，得：2（）-（）=0，即4（x1-x2）=2（y1-y2）=0，∴直线l的斜率k==2，∴直线l的方程为y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．【解析】1112（1）由双曲线的渐近线方程为y=±x ，焦距为2，列方程组，求出a=1，b=，由此能求出双曲线E 的方程．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入双曲线方程，利用点差法能求出直线l 的方程．本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查双曲线、直线方程、点差法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：，；（6分） 再设分别生产甲、乙两种肥料各x 、y 车皮产生 的利润为z =10000x +5000y =5000（2x +y ），由得两直线的交点M （2，2）．（10分）令t =2x +y ，当直线L ：y =-2x +t 经过点M （2，2）时，它在y 轴上的截距有最大值为6，此时z =30000．故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30000元．（13分）． 【解析】先设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，根据题意列出约束条件，再利用线性规划的方法求解最优解即可．利用线性规划知识解决的应用题．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．20.【答案】解：（1）设圆P 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得 ，解得，∴圆P 的方程为：x 2+y 2+4y -21=0；（2）圆P 的标准方程为：x 2+（y +2）2=25， 圆心P （0，-2），半径r =5，设直线l ：y +3=k （x +3），即kx -y +3k -3=0，圆心P 到直线l 的距离d = ， ∵d = =3，∴k=-，l：y+3=-（x+3），即4x+3y+21=0；当直线l斜率不存在时，即x=-3，圆心P到直线l的距离为3，弦长为2=8，满足题意．综上可知，直线l的方程为：4x+3y+21=0或x=-3．【解析】（1）设圆的一般方程，把三点坐标代入得方程组，解之可得；（2）斜率存在时，利用半径、弦心距、半弦长构成直角三角形可得，斜率不存在也满足题意．本题考查圆的方程求法，方法是待定系数法；考查了半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用．本题需注意斜率不存在的情况．21.【答案】（1）解：设垂线段的中点G（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，垂足E（x0，0），∵G是PE的中点，∴x0=x，y=y0，∵点P在抛物线上，∴y02=16x，即4y2=16x，∴y2=4x，∴所求曲线E的方程为：y2=4x；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得x2-12x+16=0，∴由韦达定理可知：x1+x2=12，x1•x2=16．∴y1•y2=（x1-4）（x2-4）=x1•x2-4（x1+x2）+16=16-4×12+16=-16．∴=-1，∴OA⊥OB；（3）解：设直线MN的方程为x=my+2，M（x3，y3），N（x4，y4）．联立，得y2-4my-8=0．△=16m2+32＞0，y3+y4=4m，y3y4=-8．∵点M在抛物线E：y2=4x上，∴点M的坐标（，y3），∴k MF=，∴直线MF的方程为：y-0=（x-1），即x=，与y2=4x联立，解得C（，-），同理可得D（，-），∴，=．13∴=4．【解析】（1）设出垂线段的中点为G（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可求曲线E的方程；（2）将直线y=x-4代入抛物线方程，求得x1+x2，x1•x2，代入直线方程求得y1•y2，由=-1即可证明OA⊥OB；（3）设直线MN的方程为x=my+2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的方程，利用根与系数的关系求得M，N的纵坐标的和与积，分别写出MF，NF的方程，与抛物线方程联立求得C，D的坐标，求得直线MN，CD的斜率k1，k2，则的值可求．本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，∴，2b=2，结合a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆方程为：．（2）证明：可设A（x，y），B（-x，-y），D（x0，y0）．∴，⇒．同理．∴k AD•k BD=．（3）设M（x3，y3），P（x4，y4），，，由（2）可得k AD•k BD=-，k AC•k BC=-；∴，．⇒（）；=-14两式相减可得2y（y4-y3）=2（-）x（x4-x3）．∴，∴k MP•k AB=．【解析】（1）可得，2b=2，结合a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可得椭圆方程；（2）可设A（x，y），B（-x，-y），D（x0，y0）．⇒.．∴k AD•k BD=．（3）设M（x3，y3），P（x4，y4）由（2）可得k AD•k BD=-，k AC•k BC=-，即，．两式相减可得2y（y4-y3）=2（-）x（x4-x3），即k MP•k AB=．本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，转化思想，计算能力，属于难题．15。

四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 拋物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：抛物线方程变形为，准线为考点：抛物线方程及性质2. “”是“直线与圆相切”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与圆相切，则或所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．故选A．3. 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C.....................4. 圆和圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】B【解析】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．考点：圆与圆的位置关系．5. 已知是拋物线的焦点，是该拋物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】试题分析：：∵F是抛物线y2＝x的焦点，F（，0）准线方程x=−，设A，B，根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|=解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．考点：抛物线的简单性质6. 设椭圆的右焦点与拋物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为F(2,0),所以c=2,再由离心率为，所以m=4,所以所以.考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而,因而椭圆方程确定.7. 在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】椭圆即，焦点在轴上；抛物线，即；焦点在轴的非正半轴上；比较四个选项，综合分析可知选D8. 如果实数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】=k,则与圆有交点，因此圆心到直线距离解得即的最大值是，故选．点睛：与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．9. 椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，则四边形的周长为（）A. 6B.C. 12D.【答案】C【解析】∵过的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，∴四边形的周长为，∵椭圆，∴四边形的周长为12．故选C．【点睛】本题考查椭圆的定义，考查四边形的周长，正确运用椭圆的定义是解题的关键．10. 设直线，圆，则下列说法中正确的是（）A. 直线与圆有可能无公共点B. 若直线的一个方向向量为，则C. 若直线平分圆的周长，则或D. 若直线与圆有两个不同交点，则线段的长的最小值为【答案】D【解析】对于，时，由已知，圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为：所以直线与圆一定相交； A错；对于B，直线的一个方向向量为,则直线的斜率为则故B错误；对于C，直线平分圆的周长，则直线过圆心 , 则，C错；对于D，若直线与圆有两个不同交点，线段的长的最小时圆心到直线的距离最大，即时的，此时；故D正确．故选D．11. 已知椭圆左右焦点分别为，直线与椭圆交于两点（点在轴上方），若满足，则的值等于（）A. B. 3 C. 2 D.【答案】C【解析】由条件可知，直线过椭圆的左焦点.由消去y整理得，解得或。

四川省成都市2018-2019学年高二上学期期末调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如图是某班篮球队队员身高单位：厘米的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是A. 168B. 181C. 186D. 191【答案】C【解析】【分析】利用茎叶图能求出该篮球队队员身高的众数．【详解】如图是某班篮球队队员身高单位：厘米的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是186．故选：C．【点睛】本题考查众数的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．2.命题“若，则”的逆否命题是A. 若，则，B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若，则”，写出即可．【详解】命题“若，则”，它的逆否命题是“若，则”．故选：C．【点睛】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题．逆否命题是既否条件又否结论，同时将条件和结论位置互换.3.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，则抛物线C的标准方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义，可以构造出关于的方程，求解可得抛物线方程。

【详解】由题意可设抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，即为，解得，则抛物线的方程为．本题正确选项：【点睛】本题考查根据抛物线的定义求解标准方程，属于基础题。

4.在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为，若票仓中有足够多的票则下列说法正确的是A. 若只摸取一张票，则中奖的概率为B. 若只摸取一张票，则中奖的概率为C. 若100个人按先后顺序每人摸取1张票则一定有2人中奖D. 若100个人按先后顺序每人摸取1张票，则第一个摸票的人中奖概率最大【答案】B【解析】【分析】利用概率的定义和性质直接求解．【详解】在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为，在A中，若只摸取一张票，则中奖的概率为，故A错误；在B中，若只摸取一张票，则中奖的概率为，故B正确；在C中，若100个人按先后顺序每人摸取1张票，不一定有2人中奖，故C错误；在D中，若100个人按先后顺序每人摸取1张票，则第一个摸票的人中奖概率都是，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查概率定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.阅读如图所示的算法语句如果输入的A，B的值分别为1，2，那么输出的A，B的值分别为A. 1，1B. 2，2C. 1，2D. 2，1【答案】D【解析】【分析】模拟程序的运行，根据赋值语句的功能即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得，，，输出A的值为2，B的值为1．故选：D．【点睛】本题考查了程序语言的应用问题，考查了对应思想的应用，属于基础题．6.已知数据，，的方差，则，，的方差为A. 4B. 6C. 16D. 36【答案】A【解析】【分析】利用方差的性质直接求解．【详解】数据，，的方差，，，的方差为．故选：A．【点睛】本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7.如图是某超市一年中各月份的收入与支出单位：万元情况的条形统计图已知利润为收入与支出的差，即利润收入一支出，则下列说法正确的是A. 利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元B. 利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元C. 收入最少的月份的利润也最少D. 收入最少的月份的支出也最少【答案】D【解析】【分析】利用收入与支出单位：万元情况的条形统计图直接求解．【详解】在A中，利润最高的月份是3月份，且2月份的利润为15万元，故A错误；在B中，利润最小的月份是8月份，且8月分的利润为5万元，故B错误；在C中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月分的利润不是最少，故C错误；在D中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查收入与支出单位：万元情况的条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8.已知圆：与圆：外切，则圆与圆的周长之和为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过圆的一般方程，求得两圆圆心坐标；再利用两圆外切，圆心距等于半径之和求解出周长之和。

四川省成都市第七中学高2020届高二上期入学考试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．） 1．化简 15 45 75 45cos cos cos sin ︒︒︒︒－的值为( )A ．12 B ．2 C ． 12- D ．2-【答案】A【解析】 15 45 75 45cos cos cos sin ︒︒︒︒－15 45 15 45cos cos sin sin ︒︒︒︒=－1602cos ==o ，故选A ． 【考点】余弦和差公式 【难度】★★★ 2．直线123x y-=-在x 轴上的截距是( ) A ．2 B ．3 C ．2- D ．3-【答案】C【解析】令0y =得到2x =-，故选C ． 【考点】直线的截距 【难度】★★★3．点()25P ，关于直线1x y +=的对称点的坐标是( ) A ．()52--，B ．()41--，C ．()63--，D ．()42--， 【答案】B【解析】设点()25P ，关于直线1x y +=的对称点Q 的坐标为m n （，）， 则由题意可得()511225122n m m n -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，41m n ∴=-=-，，故选B ．【考点】点关于直线对称的点的求法 【难度】★★★4．已知数列{}n a 的首项12a =，且()11n n n a na ++=，则5a = ( )A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】C【解析】由题得()11n nn a an++=，()211141a a+==，()322162a a+==，()433183a a+==，()5441104a a+==，故选C ．【考点】递推公式 【难度】★★★5．下列说法中正确的是( )A ．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B ．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C ．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D ．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 【答案】D【解析】对于选项A ，斜棱柱的每个侧面是平行四边形，但是全部展开以后，那些平行四边形未必可以构成一个平行四边形.所以是假命题．对于选项B ，水平放置的正方形的直观图是平行四边形，不可能是梯形，所以是假命题．对于选项C ，一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱不一定是长方体，因为底面可能不是矩形，所以是假命题．对于选项D ，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台，是真命题．故选D【考点】空间几何体的概念+三视图和直观图 【难度】★★★★6．两个公比均不为1的等比数列{}n a ，{}n b ，其前n 项的乘积分别为n A ,n B ，若552a b =，则99A B = ( ) A ．512 B ．32 C ．8 D ．2【答案】A【解析】由题得()()()()()()919285599129991291928552512a a a a a a A a a a B b b b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．故选A ． 【考点】等比数列的性质 【难度】★★★★7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织5尺，经过一个月（按30天计）后，共织布九匹三丈．问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：1匹4=丈，1丈10=尺）那么此问题的答案为( )A ．12尺 B ．815尺 C ．1631尺 D ．1629尺 【答案】D【解析】设每天多织布d 尺，由题意得：30293053902d ⨯⨯+=， 解得1629d =．∴每天多织布1629尺．故选D ． 【考点】等比数列求和公式 【难度】★★★★8．函数()0,0,2f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭（）的部分图象如图所示，要得到函()24g x sin x π=+（）的图象，只需将函数()f x 的图象( )A ． 向右平移12π长度单位B ． 向左平移24π长度单位C ． 向左平移12π长度单位D ． 向右平移24π长度单位【答案】D【解析】由函数()f x Asin x ωϕ=+（）的部分图象可得1A =，再根据127==44123T πππω⨯-，求得2ω=，最小正周期T π=．再根据五点法作图可得23πϕπ⨯+=，求得3πϕ=∴函数()23f x sinx π=+（）．()224243g x sinx sin x πππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（）=（）+，所以应该向右右平移24π长度单位．故选D ．【考点】角函数解析式的求法+三角函数图像的变换 【难度】★★★★9．若点A 在点C 的北偏东30︒，点B 在点C 的南偏东60︒，且AC BC ＝，则A 在点B 的( )A ． 北偏东15︒B ． 北偏西15︒C ．北偏东10︒D ． 北偏西10︒ 【答案】B【解析】由90ACB ∠=︒，又AC BC ＝，∴45CBA ∠=︒，而30β=︒，∴90453015α=︒-︒-︒=︒．∴点A 在点B 的北偏西15︒．故选B ．【考点】方位角的计算 【难度】★★★★10．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，2AD =，2CD =，1AB =，由勾股定理可知：PA =PC =3PB =，BC =，则在四棱锥中，直角三角形有：PAD ∆，PCD ∆，PAB ∆共三个，故选C ．【考点】三视图 【难度】★★★★11．已知等差数列{}n a 中，若3a ，11a 是方程220x x --=的两根，单调递减数列{}()n b n N *∈通项公式为27n b n a n λ=+⋅．则实数λ的取值范围是()A ．(),3-∞-B ． 1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ． 1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ． ()3,-+∞ 【答案】B【解析】由3a ，11a 是220x x --=的两根，∴3111a a +=．（或两根为3112,11a a -⇒+=）∵{}n a 等差，∴31177122a a a a +=⇒=，∴212n b n n λ=+． ∵{}n b 递减，∴10n n b b +-<对恒成立，()()221111022n n n n λλ⎛⎫⇒+++-+<⎪⎝⎭ ()12102n λ⇒++<，∴142n λ<-+对恒成立．∵min11426n ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，∴16λ<-．故选B ． 【考点】韦达定理+等差数列的性质+数列的单调性+等式的恒成立问题 【难度】★★★★★12．在锐角ABC ∆中，A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c , 且cos cos b A a a B =+，则11tan tan A B-的取值范围为( ) A ．233⎛ ⎝ B ．22,63 C ．(3 D ．()1,+∞【答案】A【解析】由cos cos b A a a B =+化边为角整理可得：()sin sin B A A -=，由此 2B A =．结合在锐角ABC ∆中，有32B ππ<<，由11123tan tan sin A B B ⎛-=∈ ⎝⎭． 故选A ．【考点】正余弦定理 【难度】★★★★★二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．） 13.已知228x y +=，则x y +的最大值为___________． 【答案】4【解析】因为228x y +=，所以设22sin ,22cos x y αα==， 所以，()22sin cos 4sin ,4x y πααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭所以x y +y 的最大值为4. 故答案为：4.【考点】三角换元+三角恒等变换 【难度】★★★14.在长方体1111ABCD A B C D -中，1345AB AD AA ===，，，则直线1AC 与平面ABCD所成角的大小为__________ 【答案】45o 【解析】试题分析：根据题意，由于长方体1111ABCD A B C D -中， 1345AB AD AA ===，，，由于点1C 在底面的射影为C ，那么可知得到线面角为1CAC ,然后借助于已知的边长和三角函数定义可知则直线1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，故可知角的大小为45o 。

成都七中2018～2019 学年度上期高2020 届数学半期考试试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不在曲线上的点的坐标是（）2.抛物线的焦点到准线的距离等于（）3.双曲线的渐近线方程为（）4.直线在x轴上的截距为（）5.直线与坐标轴围成的三角形的周长为（）6.若x,y满足约束条件，则的最小值为（）7.设P为双曲线上任一点，，则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）相切相交相离内含8.已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）9.点满足关系式，则点M的轨迹是（）椭圆双曲线双曲线的一支线段10.圆关于直线对称的圆的方程为（）.x2+y2+3y+1=011.设点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M的轨迹方程为；x2 9y2②当时，点M的轨迹方程为-=1(x≠±5);25 100③当时，点M的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（）0 1 2 312．设A,B,M为椭圆上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且，则的取值范围是（）⎨⎩二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上)13.双曲线的实轴长为.⎧2x+y-2≥0,14．已知x,y满足约束条件⎪x-2y+4≥0,则的最大值为.⎪3x -y-3≤0.15.直线l过抛物线的焦点F交抛物线于A,B两个点，则1+1= .FA FB16.点为椭圆x 2 y2+ =1上一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则∆F1MF2的内心的轨迹方程为9 5.三、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M,N，求的面积.x2 y218.已知双曲线E:-a2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±，焦距为作直线l交双曲线E于A,B 两点，且M为AB的中点.（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程.19.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t，现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种肥料，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料，产生的肥料为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？20.已知圆P 过.（1）求圆P 的方程；（2）若过点的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.21.从抛物线上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E .（1）求曲线E 的方程;（2）若直线与曲线E 相交于A ,B 两点，求证：OA ⊥OB ；（3）若点F 为曲线E 的焦点，过点Q (2,0)的直线与曲线E 交于M ,N 两点，直线MF ,NF 分 别与曲线E 交于C ,D 两点，设直线MN ,CD 的斜率分别为k 1,k 2 ，求k 2 的值.k 122.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB 过原点O 交椭圆于A ,B ，，直线AP ,BP 分别交椭圆于C ,D ，且直线AD ,BC交于点M ，图中所有直线的斜率都存在.（1）求椭圆方程；（2）求证：;（3）求的值.成都七中2018～2019 学年度上期高2020届数学半期考试（理科）参考答案一、 选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.814.1315. 116.x 2 5y 2+ =1(y ≠0)4 4三、 解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：,由，得,∴圆心C 为 ,又半径,∴圆C 的方程为.……5分（2）直线l 的方程为：,所以点C 到直线l 的距离为：，∴，∴. ……10分b18.解：（1）由已知得= a2，2c =2 3，解得a =1,b =2.∴双曲线E 的方程为.……4分（2）设直线l 方程为:，，.由，得……6分∴…①……8分∴，由为AB的中点，得，解得，适合①……10分∴直线l的方程为，即……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验∆>0的学生，扣1分.19.解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，目标函数为,其中x，y满足以下条件：……4分可行域如右图：……6分把变形为，……8分得到斜率为，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大，联立方程得.……10分∴……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.……12分20.解：（1）设圆P的方程为：.∵A,B,C都在圆上,∴, 解得.∴所求圆P的方程为.……6分（2）由，知圆心，半径，如右图，由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距……8分当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：,即,∴圆心P到直线l距离，化简得，则.∴直线l方程为：，即.……10分当直线轴时，直线l方程为，代入圆方程得，解得，，∴弦长仍为8,满足题意.……11分综上，直线l的方程为,或.……12分21.解：（1）令抛物线上一点,设.由已知得,∵满足，∴,则，即.∴曲线E的方程为：.……4分（2）由，可得，设，由于∆=122 -4⨯16>0,由韦达定理可知：，，∴，∴OA⊥OB.……8分22.解：（1）由2b=4，得b=2.由e=，得，解得.∴椭圆的方程为.……3分（2）设，则.∴由得：,即，，即. ……7分（3）设,由（2）知,又,,∴,∴…③同理,又, ,∴,∴…④由化简得：,∴，即.……12分。

四川省成都市七中育才学校2018-2019学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知的展开式中的系数为，则（）A. 1B.C.D.参考答案：D【分析】由题意可得展开式中x2的系数为前一项中常数项与后一项x的二次项乘积，加上第一项x 的系数与第二项x的系数乘积的和，由此列方程求得a的值．【详解】根据题意知，的展开式的通项公式为，∴展开式中含x2项的系数为a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故选：D．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式是解决此类问题的关键．2. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（）A．y2=4x B．y2=8x C．y2=3x D．y2=6x参考答案：D【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p，即可得出结论．【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=，联立抛物线方程整理可得3x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=p，x1x2=，∴|x1﹣x2|==p，又|AB|==8求得p=3，∴抛物线的方程为y2=6x．故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的应用，两点间的距离公式的应用．解题的时候注意利用好韦达定理，设而不求，找到解决问题的途径．3. 设a，b， c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是（）A . a+c>b+d B. a-c>b-d C. ac>bd D.参考答案：A略4. 下列四个关系式中，正确的是（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是A． B. C. D. 参考答案：B略6. 集合，，，则集合的元素个数为（）A. B. C. D.参考答案：B7. 是的等差中项，是的正的等比中项，大小关系是（）A. B. C. D.大小不能确定参考答案：A8. 以下三个命题：①“”是“”的充分不必要条件；②若为假命题，则，均为假命题；③对于命题：，使得；则是：，均有.其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个参考答案：B【分析】①求出不等式的解集然后再判断两集合的关系，从而得出结论.②用联结的两个命题，只要有一个为假则这个复合命题即为假.③根据特称命题的否定为全称命题判断.【详解】①不等式，解得或，所以，，“”是“”的充分不必要条件.①正确；②若为假命题，则，至少有一个为假，故②错误；③命题：使得的否定为，均有.③正确，故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，简单逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定，属于基础题。

2018-2019学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不在曲线x2-xy+2y+1=0上的点的坐标是（）A. B. C. D.2.抛物线y2=12x的焦点到准线的距离等于（）A. 9B. 6C. 3D. 123.双曲线=1的渐近线方程是（）A. B. C. D.4.直线2x+y=2在x轴上的截距为（）A. 1B. 2C.D.5.直线3x-4y+12=0与坐标轴围成的三角形的周长为（）A. 6B. 12C. 15D. 206.实数x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A. 1B.C. 3D.7.设P为双曲线y2-=1上任一点，F（0，-2）则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含8.已知P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆离心率的范围是（）A. B. C. D.9.点M（x，y）满足关系式+=6，则点M的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 线段10.圆C：x2+y2-x+2y=0关于直线l：x+y+1=0对称的圆的方程为（）A. B.C. D.11.设点A（-5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当k=-1时，点M的轨迹方程为；x2+y2=25；②当k=时，点M的轨迹方程为-=1（x≠±5）；③当k=0时，点M的轨迹方程为y=0．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 312.设A，B，M为椭圆x2+=1上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且•=0，则|MN|的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线25x2-16y2=400的实轴长为______．14.已知实数x，y满足，则x2+y2的最大值为______．15.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则+=______．16.点为椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则△F1MF2的内心的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C的圆心在直线3x+2y=0上，并且与x轴的交点分别为A（-2，0），B（6，0）．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线3x+2y=0，直线l交圆C于M，N，求△MCN的面积．18.已知双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，焦距为2．过点M（2，1）作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为AB的中点．（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程．19.某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元．那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润？20.已知圆P过A（5，-2），B（0，3），C（4，1）．（1）求圆P的方程；（2）若过点M（-3，-3）的直线l被圆P所截得的弦长为8，求直线l的方程．21.从抛物线y2=16x上各点向x轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线y=x-4与曲线E相交于A，B两点，求证：OA⊥OB；（3）若点F为曲线E的焦点，过点Q（2，0）的直线与曲线E交于M，N两点，直线MF，NF分别与曲线E交于C，D两点，设直线MN，CD的斜率分别为k1，k2，求的值．22.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，直线AB过原点O交椭圆于A、B、P（-2，1），直线AP，B，P分别交椭圆于C，D，且直线AD，BC交于点M，图中所有直线的斜率都存在．（1）求椭圆方程；（2）求证：k AD•k BD=-；（3）求k MP•k AB的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：曲线x2-xy+2y+1=0，（1，-2）代入方程，可得1+2-4+1=0，所以（1，-2）在曲线x2-xy+2y+1=0上，（2，-3）代入方程，可得4+6-6+1≠0，所以（2，-3）不在曲线x2-xy+2y+1=0上，（3，10）代入方程，可得9-30+20+1=0，所以（3，10）在曲线x2-xy+2y+1=0上，（0，-）代入方程，可得-1+1=0，所以（0，-）在曲线x2-xy+2y+1=0上，故选：B．利用点的坐标代入方程，验证即可．本题考查切线与方程的应用，是基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：抛物线y2=12x的焦点到准线的距离P=6．故选：B．直接利用抛物线的标准方程，转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.【答案】B【解析】解：双曲线的渐近线方程是，即，故选：B．把双曲线的标准方程中的1换成0，即得其渐近线的方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．4.【答案】A【解析】解：因为直线方程为2x+y=2，令y=0得x=1所以直线2x+y=2在x轴上的截距为1，故选：A．直线方程为2x+y=2令y=0得x=1，得到直线2x+y=2在x轴上的截距即可．本题考查直线的横截距的求法：只需令y=0求出x即可，本题如求直线的纵截距，只需令x=0求出y即可，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵线3x-4y+12=0交x轴于点A（-4，0），交y轴于点（0，3），∴|AB|==5，∴直线3x-4y+12=0与坐标轴围成的三角形的周长为3+4+5=12，故选：B．根据题意，求出直线与两坐标轴的交点坐标，利用勾股定理，即可求得．本题给出直线方程，着重考查了直线的方程等知识，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=-2x+z经过点C时，z最小由，可得A（-1，-1），此时z=-3故选：B．作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值越小，z越小，结合图象可求z的最小值本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义7.【答案】A【解析】解：P为双曲线y2-=1上任一点，F（0，-2），则以FP为直径的圆，以双曲线实轴长为直径的圆如图：由双曲线的定义可知：||PF2|-|PF||=2a，Q与O分别为两个圆的圆心，也是所在线段的中点，所以|QO|=|PF|+a，所以两个圆的位置关系是外切．故选：A．画出图形，利用双曲线的定义，转化求解判断即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力数形结合的应用．8.【答案】D【解析】解：P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=a≤a+c，∴e．∴椭圆离心率的范围是[，1）故选：D．利用已知条件以及椭圆的性质，列出不等式求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：点M（x，y），等式+=6的几何意义为动点M到两定点A（0，-3），B（0，3）的距离和为6，则M的轨迹为线段AB．故选：D．直接由+=6的几何意义，即动点M到两定点A（0，-3），B（0，3）的距离和为6得点M的轨迹．本题考查轨迹方程，考查两点间距离公式的应用，是基础题．10.【答案】C【解析】解：法1：以x=-y-1，y=-x-1代换圆C方程中的x，y即可得解x2+y2+3y+1=0，故选C法2：圆C方程标准化为（x-）2+（y+1）2=，得圆心C（），根据特殊对称，得C关于l的对称点C′（0，-）从而得圆C′的方程为x2+（y）2=整理得x2+y2+3y+1=0，故选：C．对于选择题不必使用常规步骤求解，可利用直线方程的特殊性，快速定项．这是一道特殊对称的问题，很容易得解．11.【答案】B【解析】解：设M（x，y），k=•，①当k=-1时，即有x2+y2=25点M的轨迹方程为；x2+y2=25（x≠±5），故①错误；②当k=时，即有-=1，点M的轨迹方程为-=1（x≠±5），故②正确；③当k=0时，即有y=0，点M的轨迹方程为y=0（x≠±5），故③错误．故选：B．设M（x，y），k=•，分别代入化简可得所求轨迹方程，注意x≠±5，即可得到正确结论．本题考查轨迹方程的求法，注意运用直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：设AB：y=kx+m，由•=0，可得ON⊥AB，即有ON：y=-，求得k=-，m=y+，①．将直线y=kx+m代入椭圆x2+=1，可得（4+k2）x2+2kmx+m2-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0．∴，整理得：4+4k2=5m2．再由①，化简可得．即有N的轨迹为以原点O为圆心，以为半径的圆．由圆与椭圆的对称性，可得|MN|的最大值r+a=，最小值为b-r=1-．∴|MN|的取值范围是[1-，2+]．故选：B．设AB：y=kx+m，由•=0，可得ON⊥AB，即有ON：y=-，求得k=-，m=y+，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系结合x1x2+y1y2=0，消去k，m可得N的轨迹方程，再由圆与椭圆的对称性可得|MN|的取值范围．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．13.【答案】8【解析】解：双曲线25x2-16y2=400的标准方程为：，可得a=4，所以双曲线的实轴长为8．故答案为：8．利用双曲线的方程，直接求解实轴长即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】13【解析】解：先根据约束条件画出可行域，而z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P在黄色区域里运动时，点P跑到点C时OP最大当在点C（2，3）时，z最大，最大值为22+32=13，故答案为：13先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．15.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决，根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入+答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=-1．设过F点直线方程为y=k（x-1）代入抛物线方程，得k2（x-1）2=4x．化简后为：k2x2-（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=1根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴+====1故答案为1.16.【答案】（y≠0）【解析】解：如图，设△F1MF2的内心为I，连接MI交x轴于点N，连接IF1，IF2．在△MF1I中，F1I是∠MF1N的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理，有，同理可得，∴，根据等比定理得：．由+=1，得a=3，c=2．∴．设I（x，y），M（x0，y0），N（x1，y1），由焦半径公式可得：，，而|F1N|=x1+2，|F2N|=2-x1，则，可得．∴N（），，，由，得，，∴，代入+=1，得：（y≠0）．故答案为：（y≠0）．设△F1MF2的内心为I，连接MI交x轴于点N，由内角平分线性质定理得到，设I（x，y），M（x0，y0），N（x1，y1），再由焦半径公式及内角平分线定理得到，则N（），然后利用向量关系把M的坐标用I得坐标表示，代入椭圆方程求解．本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题．17.【答案】解：（1）设圆C的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，AB中垂线方程：x=2，则，∴ ，r=|AC|==5，∴圆C的方程为（x-2）2+（y+3）2=25；（2）l：2x-3y=0由得13x2-108=0，∴x1+x2=0，x1x2=-，|MN|==4，圆心C到直线l的距离d==，S△MCN=|MN|d=×4×=2．【解析】（1）先求圆心坐标，即两直线3x+2y=0，AB中垂线x=2的交点坐标，再求半径r=|AC|，得圆的标准程；（2）求弦长|MN|，圆心C到直线l的距离d，利用三角形面积公式可得结果．本题主要考查圆的方程求法，弦长公式，点到直线的距离公式，三角形面积公式，熟练掌握方程和公式是关键．18.【答案】解：（1）∵双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，焦距为2．∴ ，解得a=1，b=，∴双曲线E的方程为=1．（2）∵过点M（2，1）作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为AB的中点．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入双曲线方程，得：，二式相减，得：2（）-（）=0，即4（x1-x2）=2（y1-y2）=0，∴直线l的斜率k==2，∴直线l的方程为y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为y=±x，焦距为2，列方程组，求出a=1，b=，由此能求出双曲线E的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入双曲线方程，利用点差法能求出直线l的方程．本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查双曲线、直线方程、点差法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：，；（6分） 再设分别生产甲、乙两种肥料各x 、y 车皮产生的利润为z =10000x +5000y =5000（2x +y ），由得两直线的交点M （2，2）．（10分）令t =2x +y ，当直线L ：y =-2x +t 经过点M （2，2）时，它在y 轴上的截距有最大值为6，此时z =30000．故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30000元．（13分）．【解析】先设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，根据题意列出约束条件，再利用线性规划的方法求解最优解即可．利用线性规划知识解决的应用题．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．20.【答案】解：（1）设圆P 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得 ，解得，∴圆P 的方程为：x 2+y 2+4y -21=0；（2）圆P 的标准方程为：x 2+（y +2）2=25，圆心P （0，-2），半径r =5，设直线l ：y +3=k （x +3），即kx -y +3k -3=0，圆心P 到直线l 的距离d =， ∵d = =3，∴k =- ，l ：y +3=-（x +3），即4x +3y +21=0；当直线l 斜率不存在时，即x =-3，圆心P 到直线l 的距离为3，弦长为2=8，满足题意．综上可知，直线l的方程为：4x+3y+21=0或x=-3．【解析】（1）设圆的一般方程，把三点坐标代入得方程组，解之可得；（2）斜率存在时，利用半径、弦心距、半弦长构成直角三角形可得，斜率不存在也满足题意．本题考查圆的方程求法，方法是待定系数法；考查了半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用．本题需注意斜率不存在的情况．21.【答案】（1）解：设垂线段的中点G（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，垂足E（x0，0），∵G是PE的中点，∴x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，∵点P在抛物线上，∴y02=16x，即4y2=16x，∴y2=4x，∴所求曲线E的方程为：y2=4x；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得x2-12x+16=0，∴由韦达定理可知：x1+x2=12，x1•x2=16．∴y1•y2=（x1-4）（x2-4）=x1•x2-4（x1+x2）+16=16-4×12+16=-16．∴=-1，∴OA⊥OB；（3）解：设直线MN的方程为x=my+2，M（x3，y3），N（x4，y4）．联立，得y2-4my-8=0．△=16m2+32＞0，y3+y4=4m，y3y4=-8．∵点M在抛物线E：y2=4x上，∴点M的坐标（，y3），∴k MF=，∴直线MF的方程为：y-0=（x-1），即x=，与y2=4x联立，解得C（，-），同理可得D（，-），∴，=．∴=4．【解析】（1）设出垂线段的中点为G（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可求曲线E的方程；（2）将直线y=x-4代入抛物线方程，求得x1+x2，x1•x2，代入直线方程求得y1•y2，由=-1即可证明OA⊥OB；（3）设直线MN的方程为x=my+2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的方程，利用根与系数的关系求得M，N的纵坐标的和与积，分别写出MF，NF的方程，与抛物线方程联立求得C，D的坐标，求得直线MN，CD的斜率k1，k2，则的值可求．本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，∴，2b=2，结合a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆方程为：．（2）证明：可设A（x，y），B（-x，-y），D（x0，y0）．∴，⇒．同理．∴k AD•k BD=．（3）设M（x3，y3），P（x4，y4），，，由（2）可得k AD•k BD=-，k AC•k BC=-；∴，．⇒（）；=-两式相减可得2y（y4-y3）=2（-）x（x4-x3）．∴，∴k MP•k AB=．【解析】（1）可得，2b=2，结合a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可得椭圆方程；（2）可设A（x，y），B（-x，-y），D（x0，y0）．⇒.．∴k AD•k BD=．（3）设M（x3，y3），P（x4，y4）由（2）可得k AD•k BD=-，k AC•k BC=-，即，．两式相减可得2y（y4-y3）=2（-）x（x4-x3），即k MP•k AB=．本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，转化思想，计算能力，属于难题．。