四川省成都七中高二数学上学期入学考试试题

成都七中2023~2024学年度上期10月阶段性测试数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点()0,3A ，点()1,23B -，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒2．已知直线,a b 的方向向量分别为()()1,0,1,1,1,0a b =-=-，且直线,a b 均平行于平面α，平面α的单位法向量为（）A ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．()1,1,1D ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭或333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．有2位同学在游艺楼的底层进入电梯，电梯共6层。

假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（）A ．15B ．45C ．56D ．164．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点,,M AB a AD b == ，1AA c = ，则1MC =（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c---C ．1122a b c-++D ．1122a b c--+5．成都七中高二年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：85，85，86，87，88，89，90，91，91，91，92，93，94，96，98，则这组数据的80%分位数是（）A ．90B ．93.5C ．86D ．936．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A ．平均数为2，方差为2.4B ．中位数为3，方差为1.6C ．中位数为3，众数为2D ．平均数为3，中位数为27．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是（）A ．23535B ．66565C ．1315D ．358．已知正方体1111ABCD A B C D -，设其棱长为1（单位：m ）．平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，记为θ．平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论正确的是（）A ．M 可能为三角形，四边形或六边形B ．3cos 3θ=C ．M 235m 4D ．正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列命题中是真命题的为（）A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面10.已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（）A ．1e n l α⊥⇔∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．12n n αβ⇔∥∥D ．1e n l α⊥⇔⊥11．以下结论正确的是（）A ．“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B ．假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B =C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D ．6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立12．如图，已知矩形,4,2,ABCD AB AD E ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（）A ．翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B ．翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C ．翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2αβ>．D ．当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的取值范围为()1,2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体各面所在平面将空间分成________部分．14．某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________．15．如图，两条异面直线,a b 所成的角为3π，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥（AA '称为异面直线,a b 的公垂线）．已知，1,2A E AF ='=，5EF =，则公垂线AA '=__________．16．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式。

2023-2024 学年度上期高 2025届半期考试高二数学试卷考试时间：120分钟满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效.5.考试结束后，只将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一．单选题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a =(x ,2,-2),b =(3,-4,2)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．1B ．−4C ．4D ．-12．已知直线l 1:3x -4y -1=0与l 2:3x -4y +3=0，则l 1与l 2之间的距离是( )A ．45B ．35C ．25D ．153．已知圆C 1:(x -2)2+(y +1)2=9与圆C 2:(x +1)2+(y -3)2=4，则圆C 1与圆C 2的位置关系为( )A ．相交B ．外切C ．内切D ．内含4.若直线l 1:x +(a -4)y +1=0与l 2:bx +y -2=0垂直，则a +b 的值为( )A ．2B ．45C ．23D ．45．已知事件A ,B 相互独立，且P (A )=0.3,P (B )=0.7，则P (AB )=( )A ．1B ．0.79C ．0.7D ．0.216．如图，三棱锥O -ABC 中，OA =a ,OB =b ,OC =c ，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且ON =2NA ，则MN =( )A ．23a -12b -12cB ．-23a +12b +12cC ．-12a -23b +12cD ．12a +12b -12c 7.已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，长轴为A 1A 2，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若MP 2A 1P ⋅A 2P=13，则该椭圆的离心率为()A ．33B ．63C ．13D ．23第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过A(0,2),B(−1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)，则k=.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为.15.写出一条与圆C1:x+12=1和圆C2:(x-3)2+(y+1)2=9都相切的直线方2+y+3程：.16.已知P为直线y=−2上一动点，过点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为B,C，则点A(2,1)到直线BC的距离的最大值为.四．解答题：．本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本大题满分10分）已知△ABC的周长为14，B(−3,0),C(3,0).(1)求点A的轨迹方程；(2)若AB⊥AC，求ΔABC的面积.18．（本大题满分12分）如图，四面体OABC的所有棱长都为1，D,E分别是OA,BC的中点，连接DE.(1)求DE的长；(2)求点D到平面ABC的距离.19．（本大题满分12分）现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155,160，⋯，第八组，第二组160,165190,195.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A表示随机抽取的两名男生不在同一组，求P(A)．20．（本大题满分12分）已知圆C 经过点A 0,2 ，B 6,4 ，且直线x -3y -4=0平分圆C 的周长.(1)求圆C 的方程；(2)若P -6,0 ，Q 6,0 ，点M 是圆C 上的点且满足MPMQ =2，求点M 的坐标.21.（本大题满分12分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =π2,AB =AC =2,AA 1=3,M 是AB 的中点，N 是B 1C 1的中点，P 是BC 1与B 1C 的交点，点Q 在线段A 1N 上.(1)若PQ ⎳平面A 1CM ，请确定点Q 的位置；(2)请在下列条件中任选一个，求A 1Q A 1N 的值；①平面BPQ 与平面ABC 的夹角余弦值为210653；②直线AC 与平面BPQ 所成角的正弦值为3106106..22.（本大题满分12分）已知A (2,3),B (−2,0),C (2,0),∠ABC 的内角平分线与y 轴相交于点E .(1)求ΔABC 的外接圆的方程；(2)求点E 的坐标；(3)若P 为ΔABC 的外接圆劣弧BC上一动点，∠ABC 的内角平分线与直线AP 相交于点D ,记直线CD 的斜率为k 1,直线CP 的斜率为k 2,当k 1k 2=-75时，判断点E 与经过P ,D ,C 三点的圆的位置关系，并说明理由.2023-2024 学年度上期高 2025 届半期考试高二数学参考答案与评分标准第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合12345678C A B D D A B C题目要求的.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是9101112AC AD BD ACD符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2 14. 38 15. x =0或y =-4或4x -3y =0或3x +4y +10=0（任写一条即可） 16.52.四．解答题：．本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本大题满分10分）【解】(1)∵△ABC 的周长为14且BC =6，∴AC +AB =8>BC =6,根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以B (−3,0),C (3,0)为焦点，以8为长轴长的椭圆，故顶点A 的轨迹方程为x 216+y 27=1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为x 216+y 27=1y ≠0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)∵AB ⊥AC ，∴AB 2+AC 2=BC 2=36.①∵A 点在椭圆x 216+y 27=1y ≠0 上，且B (−3,0),C (3,0)为焦点,∴AC +AB =8,故AC 2+AB 2+2AC ∙AB =64.②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分由①②可得，AC ∙AB =14,故S =12∙AC ∙AB =7.∴ΔABC 的面积为7.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分18．（本大题满分12分）【解】(1)因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，DE =DA +AB +BE =12OA +OB -OA +12OC -OB =-12OA +12OB +12OC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分而且OA ⋅OB =OB ⋅OC =OA ⋅OC =12，又P -6,0 ，Q 6,0 ，由MPMQ =2可得：x +6 2+y 2=4x -6 2+y 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分化简得x -10 2+y 2=64，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分联立x -4 2+y 2=20x -10 2+y 2=64 ,解得M 103,4113 或103,-4113.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21.（本大题满分12分）【解】(1)分别以AC ,AB ,AA 1所在直线为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，A 1(0,0,3),C (2,0,0),M (0,1,0),P 1,1,32 ,Q (a ,a ,3),⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分则A 1C =(2,0,-3),A 1M =(0,1,-3),PQ =a -1,a -1,32 .设面A 1CM 的法向量n =(x ,y ,z ),则A 1C ⋅n =0A 1M ⋅n =0,即2x -3z =0y -3z =0 .令z =2,得n =3,6,2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分因为PQ ⎳平面A 1CM ，所以PQ ⊥n ,即PQ ⋅n =0.所以3(a -1)+6(a -1)+3=0,得a =23，A 1Q =23,23,0 ,所以A 1Q =223.⋯⋯⋯6分因为A 1N =2，A 1Q A 1N =23，所以Q 为A 1N 靠近N 三等分点处时，有PQ ⎳平面A 1CM .(2)设A 1Q A 1N =λ(0<λ<1),则A 1Q =λA 1N =(λ,λ,0).所以PQ =PA 1 +A 1Q =PA 1 +λA 1N =(λ-1,λ-1,32),PB =(-1,1,-32).设平面BPQ 的法向量为n =(x ,y ,z ),则PQ ⋅n =0PB ⋅n =0 ,即(λ-1)x +(λ-1)y +32z =0-x +y -32z =0.令z =4(1-λ),得n =3λ,3(2-λ),4(1-λ) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分注意到平面ABC 的法向量为(0,0,1),直线AC 的方向向量为(1,0,0),若选择①⇒平面BPQ 与平面ABC 的夹角余弦值为210653,则θ1cos =n ∙(0,0,1) n =4(1-λ)34λ2-68λ+52 =210653.即4λ2-8λ+3=0(0<λ<1).∴λ=12.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分若选择②⇒直线AC 与平面BPQ 所成角的正弦值为3106106,则θ2sin =n ∙(1,0,0) n =3λ34λ2-68λ+52=3106106.即18λ2+17λ-13=0(0<λ<1).∴λ=12.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22.（本大题满分12分）【解】(1)易知ΔABC为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB边的中点(0,32),半径为52，所以外接圆的方程为x2+(y-32)2=254.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(2)设∠ABC的内角平分线交AC于点F,根据角平分线性质定理，可知ABBC=AF CF,由结合AF+CF=3,所以CF=43⇒k BD=CFBC=13所以，∠ABC的内角平分线方程为y=13x+23，令x=0,即可得点E坐标(0,23).⋯⋯⋯⋯6分(3)点E在经过P,D,C三点的圆上，理由如下：设直线AP的直线方程为y−3=k(x−2)，联立直线与圆的方程y−3=k(x−2)x2+y−322=254 ,可得(1+k2)x2+(3k−4k2)x+4k2−6k−4=0注意到A,P两点是直线与圆的交点，所以2⋅x P=4k2−6k−41+k2∴x P=2k2−3k−21+k2,故P2k2−3k−21+k2,3−4k1+k2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分联立直线AP与∠ABC的内角平分线方程y−3=k(x−2)y=13x+23,可得x=6k−73k−1∴D6k−73k−1,4k−3 3k−1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分此时k1=4k−33k−1-06k−73k−1-2=4k−33k−1-53k−1=3-4k5，k2=3−4k1+k2-02k2−3k−21+k2-2=3−4k1+k2−3k−41+k2=4k-33k+4，.∴k1k2=3-4k54k-33k+4=-3k+45=-75，∴k=1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分此时，点P-32,-12,点D-12,12.P点满足在劣弧BC 上.设经过P,D,C三点的圆的方程为x2+y2+mx+ny+t=0(m2+n2-4t>0),则4+2m+t=05-3m-n+2t=01-m+n+2t=0，解得m=-56n=176t=-73.所以，经过P,D,C三点的圆的方程为x2+y2-56x+176y-73=0.将点E(0,23)代入圆的方程成立，所以点E在经过P,D,C三点的圆上.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分。

成都七中高新校区高 2022 级高二上期学科素养测试数学试卷总分:150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.直线 y =−12x +1的一个方向向量是A. (1,-2)B. (2,-1)C. (1,2)D. (2,1)2. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，具余为不合格品， 现在这个工厂随机抽查一件产品， 设事件Ａ为“是一等品”，Ｂ为“是合格品”， Ｃ为“是不合格品”，则下列结果错误的是A.P (B )=710B. P(A∩B)=0C.P (B ∩C )=7100D.P (A ∪B )=9103. 一组样本数据为：19、 23， 12， 14， 14、17， 10， 12， 13， 14，27， 则这组数的众数和中位数分别为A. 14, 14B. 12, 14C. 14, 15.5D. 12, 1554.若 {a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是 A.{a ⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} B.{b ⃗⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} C.{c ⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} D.{a ⃗+2b ⃗⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b⃗⃗} 5. 如图，在棱长为 a 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P 为A₁D₁的中点，Q 为AB₁上任意一点, E, F 为 CD 上两个动点, 且EF 的长为定值,则点Q 到平面PEF 的距离.A.等于 √55aB.和EF 的长度有关 C 和点Q 的位置有关 D.等于 √23a6. 设直线l 的方程为6x-6ycosβ+13=0. 则直线l 的倾斜角α的范围是A. [0,π]B.[π4,π2]C.[π4,π2)∪(π2,3π4])D.[π4,3π4]7. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，下列说法正确的是A. 事件A 与事件B 互斥B. 事件A 与事件B 对立C. 事件A 与事件B 相互独立D.P (A +B )=56 8. 在正四棱锥P-ABCD 中,若 PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,平面AEF 与棱PD 交于点G,则四棱锥 P-AEFG 与四棱锥P-ABCD 的体积比为 ( )A.746B.845C.745D. 445二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.全部选对得５分，部分选对得２分，有选错的得０分.9. 下列命题是真命题的是A. 若A, B, C, D 在一条直线上, 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量B.若A, B, C, D 不在一条直线上, 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗不是共线向量C. 若向量AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 D. 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上 10.已知正方体.ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,点E 、O 分别是 A₁B₁、A₁C₁的中点, P 在正方体内部且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则下列说法正确的是 A.点A 到直线BE 的距离是 √55 B.点O 到平面ABC₁D₁的距离为 √24C.平面A₁BD 与平面B₁CD₁间的距离为 √33D.点P 到直线AB 的距离为 253611. 在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形, ∠DAB =π3, A B=2AD=2PD,PD ⊥底面ABCD,则A. PA ⊥BDB. PB 与平面ABCD 所成角为6π C.异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为 2√55D.平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为 √7712.在正四面体 ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，CD(不含端点)上的动点，则下列说法正确的是A. 对任意点M, N, 都有MN 与AD 异面B. 存在点 M, N, 使得 MN 与BC 垂直C. 对任意点M,存在点 N, 使得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面 D. 对任意点M, 存在点 N, 使得 MN 与AD, BC 所成的角相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 点P(1,-2,5)到xOy 平面的距离 .14.为已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为1l , 2l ∶y =−2x +1, l 3:y =−1n x −1n .若1l //2l ,23l l ⊥,则m+n 的值为 . 15.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点P 是AA'上的动点，Q 是平面BB'C'C 内的一点，且满足A'D ⊥BQ ，则二面角P-BD-Q 余弦值的取值范围是 . 16.已知四棱锥P-ABCD 的各个顶点都在球 O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面 ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC, AB=AD=CD=3,∠ABC=3, PA=2 √2 ,M 是线段AB 上一点, 且AM=λAB. 过点M 作球O 的截面， 所得截面圆面积的最小值为2π， 则λ= .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥底面ABCD,CD ∥AB,AD=DC=CB=1 AB =2,DP =√3.(1) 证明: BD ⊥PA;(2) 求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值.18.(12分) 已知A(3,3), B(-4,2), C(0,-2).(1)若点D 在线段AB (包括端点) 上移动时，求直线CD 的斜率的取值范围.(2)求函数 y =sinθcosθ+2,θ∈R 的值域.19. (12分)如图， 一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中， 以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°（１：）证明ＡＣ1⊥ＢＤ．(2)求BD₁与AC 所成角的佘弦值.20.(１２分)甲、乙两校各有３名教师报名支教，其中甲校２男１女，乙校１男２女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的６名教师中任选２名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的２名教师来自同一学校的概率.21. (12分)从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“２”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D. E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]为Y2−YY−Y1=T2−TT−T1,其中X₁，X₁分别表示原始分区间的最低分和最高分，T₁，T₁分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，Γ表示考生的等级分，规定原始分为Y₁时，等级分为T₁，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：(1)根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；22. （12分）如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点.(1) 求证: OE∥平面PAC;(2) 若∠ABO=∠CBO=30°, PO=3, PA=5①求二面角C-AE-B所成平面角的正弦值.②在线段CE上是否存在一点M，使得直线MO 与平面BCP所成角为30°?高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期十月阶段测试数学试题一、单选题1．已知点((,A B ，若向量AB u u u r是直线l 的方向向量，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 2．方程2222x y x y a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)2,-+∞D ．()2,-+∞3．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=r r ，则b a -r r 的最小值为（ ）ABCD4．已知直线()1111111:0,,,0l A x B y C A B C ++=≠与直线()2222222:0,,,0l A x B y C A B C ++=≠，则直线12,l l 关于y 轴对称的充要条件是（ ）A ．1122BC B C = B ．1122A B A B -= C ．111222A B C A B C -=≠ D ．111222A B C A B C -== 5．在空间直角坐标系中，点()()()1,2,1,2,2,1,0,0,2A B C --，向量a r 是平面ABC 的法向量，则向量a r 的坐标可以是（ ）A ．()8,5,6B ．()8,6,5C ．()6,5,8D ．()5,8,6 6．已知平面上两点()()4,1,0,4,A B M 是直线310x y --=上一动点，则MA MB -的最大值为（ ）A ．52 BC．D ．57．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,3AB BC AA ===，点M 满足()11AM AB AC λλ=+-u u u u r u u u r u u u u r ，()λ∈R ，点N 满足()()11,AN AC AD μμμ=+-∈R u u u r u u u r u u u u r ，则向量MN u u u u r 模的最小值为（ ） ABCD8．平面内四个点()()()()12340,3,2,0,4,1,6,4M M M M 分布在直线:0l Ax By C ++=的两侧，且两侧的点到直线l 的距离之和相等，则直线l 过定点（ ）A ．()2,3B ．()3,2C ．()2,3--D ．()3,2--二、多选题9．记空间向量,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，向量,,a b c r r r 均为单位向量且两两夹角为60o .则下列命题中，正确的是（ ）A ．向量,,a b b c a c +++r r r r r r 不能作为空间向量的基底B ．向量a b c ++r r r 是平面ABC 的法向量C ．向量171362OD a b c =+-u u u r r r r ，则D 点在ABC V 内D ．向量c r 在向量a b +r r 10．已知直线:sin cos 1l x y αα-=，其中[)0,2πα∈.有以下命题正确的有（ ）A ．直线l 的倾斜角为αB ．若(),P x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥C．当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l 与两坐标轴的截距之和的最小值为D ．集合{}PP l ∈∣，当α变化时，该集合在坐标平面内的补集构成的图形面积为π 11．在平面直角坐标系中，点A 关于直线y x =的对称点为A '，向量2||OA OA 'u u u r u u u r 对应的点叫做点A 的仿射点，在下列选项中，对点A 的仿射点的描述，正确的是（ ）A ．若点A 在圆221x y +=上，则点A 到仿射点的距离的最大值为2B ．点A 的仿射点的仿射点是AC ．若点A 的轨迹是一条不过原点的直线，则其仿射点的轨迹是圆D ．若点A 的轨迹是圆，则其仿射点的轨迹是一条直线三、填空题12．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()()2,0,2,1,2,4A B ，则直线AB 与坐标平面Oxy 的交点坐标为.13．已知直线12:220,:220l x y l x y -+=--=，若直线1l 与2l 关于直线l 对称，则直线l 的方程为.14．已知棱长为2的正四面体ABCD ，动点P 是正四面体ABCD 内切球上一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 的值等于.四、解答题15．某保险公司在2023年度给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？(2)经调查，年龄在[)30,50之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在[)30,40和 40,50 的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率. 16．已知ABC V 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，边AC 上的高BH 所在直线方程为250x y --=.(1)求顶点,B C 的坐标；(2)求过ABC V 三个顶点的圆的方程，并求出该圆的圆心和半径. 17．已知点()3,1M ，直线()1:2140l ax a y -++=，()a ∈R ，2:210l x y ++=，3:20l x y --=.(1)若这三条直线不能围成三角形，求实数a 的值；(2)点M 关于直线1l 的对称点为N ，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,2ABC ABC BA AA ∠==o ，D 是棱AC 的中点，E 在棱1BB 上，且1AE AC ⊥.(1)证明：BD ∥平面1AEC ；(2)若点1C 到平面11ABB A①求直线BD 到平面1AEC 的距离；②求平面1AEC 与平面11ABB A 的夹角.19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,CC AA 的中点，点P 是正方形ABCD 内一动点（包括正方形ABCD 边界）.(1)当1A PF ∠取得最大值时，求点P 在正方形ABCD 内轨迹的长度；(2)在（1）的条件下，求向量BP u u u r 在向量1BD u u u u r 上投影的取值范围；(3)当1A PE 取得最大值时，求线段AP 的长度.。

高2023届高二上期半期考试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.121213*********.:,:,,()()()()l ax y l x y l l a A B C D ++=−+= −− 已知：直线若则的值为222122122.:,()()()()x C y A y x B y C y x D y x −==± ==± =±已知双曲线则该双曲线的渐近线方程为3230333322.,()()()()l x y l A B C D ++=− −若直线的方程为则直线的纵截距为225420414414114.,()(,)()(,)()(,)(,)()(,)(,)x y ax y a a A B C D +−+−= −− −∞− −+∞ −∞+∞若方程表示圆则的取值范围为22222222520202628416482.(,),(,),()()()()x y x y A B x y x y C D −+=1 +=1+=1 +=焦点为离心率为26421234.,,()()()()x y F P y PF A B C D = 已知抛物线的焦点为若抛物线上一点到轴的距离为则的值为22272023011242.(),()()()()y px p x y x p A B C D =>+−−= 已知抛物线的准线与圆相切则的值为222281000121132442.:(),(,),(,).()()()(y x C a b c O c b a b c C A B C D +=>> 已知椭圆的半焦距为原点到经过两点的直线的距离为则椭圆的离心率为29022.(,):,()()()()P l C y x l A B C D = 若过点的直线与抛物线有且只有一个公共点则这样的直线的共有一条两条三条四条22221010013122.+()(,),,,,,()(,)()(,)()(,)x y a b F c b P a bmPF m PF n nA B C =>>> +∞ 已知椭圆的右焦点为满足：若点为椭圆上一点记的最大值为记最小值为则的取值范围为3()(,)D +∞22222251110021226110470350.,(,),:()(),,,,()()()x y C a b AB M x y a b C A B AB A x y B x y C x y −=>>++−=++= ++= ++= 如图双曲线：是圆的一条直径若双曲线过两点且离心率为则直线的方程为230()D x y ++=2212122121212121210305522.,:(),,,,()cos ,,()()y F F C x b P C I F PF bG GP GF GF GI F F R F PF PF F R R A B λλ−=>∆++==∈∠=∆ 已知分别为双曲线的左、右焦点点在双曲线上为的内心点满足：若且记的外接圆半径为则的值为31()()C DO第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.22131.::,.l y x a C x y a =++= 若直线与圆有公共点则实数的取值范围为144.(,),.P x y P = 平面上一动点则的轨迹方程为 1525.,,.x y x =± 已知焦点在轴的双曲线的渐近线为半焦距为则双曲线的标准方程为22221622521.:():(),.P M x y N x y P −+=++=动圆与圆和圆同时相切则动圆的圆心的轨迹方程三、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1222171030109.():,:,.(I);(II).l x y l x y P P P l x y l ++=−+=+=本小题满分分已知直线直线记两条直线的交点为求两条直线交点的坐标若过点的直线被圆截得的弦长为求直线的方程1812214323.()(,),(,),(,).M A B C −本小题满分分已知圆经过三点226490(I);(II),,.M P x y x y P M +−−+=求圆的一般方程已知圆：判断圆和圆的位置关系并说明理由22121219121303.():,,.(I);(II)y C x F F F l C A B AB ABF ︒−=∆本小题满分分如图双曲线的焦点为、过左焦点倾斜角为的直线与交于两点求弦长的值求的周长.F F O201222012.(),(I);(II)(,),(),;(),x P l A B i k AB ii O AOB =∆本小题满分分已知椭圆的长轴为短轴为焦点在轴上.求椭圆的标准方程过点斜率不为零的直线与椭圆相交于两不同点.若求弦长的值记为坐标原点求面积的最大值.22112221203.():(,),(,),,,.(I);(II),,,,.MM N NC x py A x B l CDE AD x M AE x N l x M N x x l x ==−本小题满分分如图抛物线经过定点过轴上一点的直线与抛物线交于两不同点直线交轴于点直线交轴于点求直线的斜率的取值范围记点的横坐标分别为若求直线的方程1222222212121212221211122192203.():(,).(I);(II),,,,(),,,,;(III),(,A D A C x y x a b y P a b A A x x m C D D C k k k k k k k k G Γ+=>>0)−=ΓΓΓ=Γ==⋅+本小题满分分已知椭圆和双曲线的焦距相同且椭圆经过点求椭圆的标准方程如图椭圆的长轴两个端点为垂直于轴的直线与椭圆相交于两点在的上方记求证：为定值并求的最小值如图已知过12),,,M N A M A N Γ的动直线与椭圆相交于两点求证：直线的交点在一条定直线上运动.POMNBOOA A 2G OA A成都七中高2023届高二上期半期考试理科数学参考解答一、选择题： 1-5 BADCB 6-10 BCDCA11-12 AA二、填空题：13.⎡⎣14. 22143x y +=15. 221520x y −=16. 2213032295()()x y x y x x x +=≠−=≠−≠−≠或且且三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)302110(I).x y x y x y ++=⎧=−=−⎨−+=⎩解:联立可知：且214(,).P P ∴−− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅点的坐标为分2112(II)(,)().P l y k x −−+=+设过点的直线的方程为：210.kx y k −+−=整理可得：2,d ==由点到直线距离公式可得：34:.k =−解得8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分34100;x y ∴++=所求直线方程为2,l x =−当直线的斜率不存在时即时满足条件.234100l x x y =−++=综上：所求直线的方程为或10 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分18.(本小题满分12分)220(I)x y Dx Ey F ++++=解:设圆的一般方程为222143230(,),(,),(,)A B C x y Dx Ey F −++++=将代入方程2543252313,D E F D E F D E F ++=−⎧⎪++=−⎨⎪−++=−⎩可得：287,,.D E F =−=−=解得222870.M x y x y +−−+=故所求的圆的方程为：6⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分2222111164903243228(II):,()(),,.(,),.P x y x y x y P O r O r +−−+=−+−== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅圆将其化为标准方程为：记圆的圆心为半径为可知该圆的圆心半径分22222222287014101410:,()(),,.(,),M x y x y x y M O r O r +−−+=−+−==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅同理将圆将其化为标准方程为：记圆的圆心为半径为可知该圆的圆心半径分121022O O −<=<.M P ∴圆与圆两圆相交12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分19.(本小题满分12分)12023(I)(,),(),F y x −=+解:易知：112212(,),(,),.A x y B x y x x <设222284130333().y x x x x y ⎧=+⎪−−=⎨⎪−=⎩联立可得：1212012138x x x x ⎧⎪∆>⎪⎪∴+=⎨⎪⎪=−⎪⎩4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分223.AB x ∴=−==6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分22222(II),.ABF ABF ABF C C AB AF BF ∆∆∆=++记的周长为则7 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分2222222222233(),BF x y y x BF =−+=−=又可知22222121,.BF x B BF x ∴=−=−点在右支故2112121,().A AF x x ∴=−=−−同理：点在左支 10 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分2221228()BF AF x x ∴+=−==⨯=11 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分2223.ABF C AB AF BF ∆∴=++=12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分20.(本小题满分12分)2222212(I),.x a b y ==∴+=易知：椭圆的标准方程为:3⋅⋅⋅⋅⋅⋅分202(),:().k k l y k x ≠=−易知存在且可设直线22222()y k x x y =−⎧⎨+=⎩联立可知：2222128820()k x k x k +−+−=22122212************,.k x x k k k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=∆><⎨+⎪⎪−⋅=⎪+⎩由解得AB =7 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分123,.k AB ==当时8 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分O l d =坐标原点到直线的距离为：12AOBS AB d ∆∴=⨯=10 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分1,AOB m m S k ∆=>=令易知：02,.AOB t t S t t∆=>==≤+可知6m k ==±当且仅当即.12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 ()本题其它解法酌情给分21.(本小题满分12分)2214(I)(,),.A x y =解：代点入抛物线方程易知抛物线的方程为2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分1122122224():(),(,),(,),,y k x l y k x D x y E x y x x x y =−⎧=−<⎨=⎩不妨设直线设联立21212048048,x kx k x x k x x k ∆>⎧⎪−+=∴+=⎨⎪⋅=⎩可知：020,k k ∆>><由可知：或4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分1214(,),l k −≠−又直线不过点故112044(,)(,)(,).k ∈+∞−∞−−综上：6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分(II)1111224AD y x k x −+==− 111111112420422(),,M x y x y y x x y x x x x +−∴−=−==+=++令可知8 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 2222,N x x x =+同理：12121121222223222.M N x x x x x x x x x x x x ++∴=⨯==−++1212230x x x x ∴++=9 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分12123000,,,,MNx x x k x x x =−<>∴<∴−==−又可知11分212235200035()k k k k k ∴=−==−∆><解得舍或满足且2235()l y x ∴=−−直线的方程为：12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 ()本题其它解法酌情给分22.(本小题满分12分)2223(I),.c a b ∴=−=解：椭圆和双曲线的焦距相同1⋅⋅⋅⋅⋅⋅分2242221142536023)+.x y P a a a a =−+=−将代入椭圆方程：可得22944(),a a ∴==或舍2214.x y +=故所求椭圆方程为：3⋅⋅⋅⋅⋅⋅分11111(II),(,),(,).D x y C x y −如图不妨设则 11122111022,,,,y yk k k k x x ==−>+−易知 22111222111414444().x y k k x x −∴⋅=−==−−6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分1212121393962,,,k k k k k k ∴+≥====当且仅当即时等号成立.7 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分(III)23,MN l x my −=不妨设直线:2233(,),(,).M x y N x y 222344x myx y ⎧−=⎪⎨⎪+=⎩联立可得229412320().m y my ++−=232232012943294()()my y m y y m ⎧⎪∆>⎪⎪−∴+=⎨+⎪⎪−=⎪+⎩8 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 122122222,:().A M y y k A M y x x x ==+++可知直线 32322:().y A N y x x =−−同理可得：可知直线9 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 213333211424.A N A N y x k k x y +=−=−−可知：10 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分3232222124()(),x x x x y y +++=−−323232238822338()()()().my my x x y y y y ++++==−11 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 2182624().x x x +∴=−⨯−==−解得12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 ()本题其它解法酌情给分。

一、单选题1．已知集合，，则（ ） [)2,4A =[]3,5B =()R A B = ðA ． B ． C ． D ．(]4,5[]4,5()[),23,-∞⋃+∞(][),23,-∞⋃+∞【答案】B【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案. A 【详解】集合，，则 [)2,4A =[]3,5B =()()[),24,R A =-∞⋃+∞ð所以， ()[]4,5R A B ⋂=ð故选：B.2．已知集合，则集合（ ） |sin ||cos ||tan |sin cos tan x x x A yy x x x ⎧⎫==++⎨⎬⎩⎭∣A =A ． B ． C ． D ．{1,1}-{1,3}-{}113-,,{1,3,3}-【答案】B【分析】由题知，x 终边不会落在坐标轴上，由此分类讨论即可求解. 【详解】依题意，根据函数的解析式可得，x 终边不会落在坐标轴上， 当x 在第一象限时，可得， 3y =落在第二、三、四象限时，， 1y =-可得． {}1,3A =-故选：B.3．已知正项等比数列中，公比，前项和为，若，，则{}n a 1q >n n S 2664a a ⋅=3520a a +=8S =（ ） A ．127 B ．128 C ．255 D ．256【答案】C【分析】由已知和等比数列的性质建立方程可求得，再由数列的通项公式求得数列35416a a ==，的首项和公式，由等比数列的求和可求得答案.【详解】解：∵，，且，所以， 263564a a a a ⋅=⋅=3520a a +=1q >35416a a ==，∴，，， 11a =2q =881225512S -==-故选：C.4．设，则（ ）2364log 3log 6log log 16m =m =A ．2B ．4C ．8D ．-2或4【答案】B【分析】根据换底公式及对数运算性质可得结果. 【详解】由， 2364log 3log 6log log 16m =可得， ln 3ln 6ln 2ln 2ln 3ln 6m⋅⋅=即， ln 2ln 2m =∴， 4m =故选：B5．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为(　). 1y ax =+[1,2]a A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0【答案】C【详解】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a ＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2； ③当a ＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2． 综上，得a=±2， 故选C ．6．函数的零点所在的区间为（ ）()2xf x x =+A ． B ． C ． D ．()2,1--()1,0-()0,1()1,2【答案】B【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点所在的区间，即可得正确选项.()f x 【详解】因为为单调递增函数，()2xf x x =+当时，， 2x =-()2722204f --=-=-<当时，， =1x -()1112102f --=-=-<当时，，0x =()002010f =+=>由于，且的图象在上连续， ()()010f f ⋅-<()f x ()1,0-根据零点存在性定理，在上必有零点， ()f x ()1,0-故选：B.7．定义运算，若，则等于 a b ad bc c d =-sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<βA ．B ．C ．D ．12π6π4π3π【答案】D【详解】试题分析：由定义运算知，即，又02πβα<<<，又，，1cos ,072παα=<<．【解析】同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用8．已知，则的最小值为（ ） 0,0,21x y x y >>+=21y x y+A ．6 B ．5C ．D ．3+2+【答案】D【分析】将所求代数式化简为，再利用基本不等式()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】因为，所以， 21x y +=21y x =-所以()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭， 2222y x x y =++≥+=+当且仅当即221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以的最小值为， 21y x y+2+故选：D.9．对于实数a ，b ，c 下列说法中错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则 0a b c a b c >>++=，ab ac >1a >11-<-aC ．若，则D ．若，，则 0a b <<11a b>a b >11a b>0ab <【答案】B【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论.【详解】当时，有，由得，A 选项说法正确； 0a b c a b c >>++=，0a >b c >ab ac >当时，，则有，故B 选项说法错误；1a >101a<<11a ->-当，有，则，即，C 选项说法正确；0a b <<0ab >a b ab ab<11b a <当，时，有，由则，D 选项说法正确； a b >11a b >110b a a b ab--=>0b a -<0ab <故选：B.10．已知，，则（ ）1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 2θ=A ．B C D ． 79【答案】B【分析】根据三角函数的基本关系式求得. cos θ=【详解】由，且，可得1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ==所以 1sin 22sin cos 23θθθ⎛⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭⎝故选：B.11．设向量，，则下列结论中正确的是（ ） ()1,0a =11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r bA ．B ．C ．与垂直D ．a b = a b ⋅= a b - b//a b 【答案】C【分析】根据向量坐标，求两个向量的模可判断A ；求出数量积即可判断B ；判断是否等()b a b -⋅ 于0可判断C ；根据向量共线的坐标表示可判断D.【详解】因为，，，故A 错误；()1,0a = 11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r b =a b ≠ ，故B 错误；11110222a b ⋅=⨯+⨯=，则，所以与垂直，故C 正确；11,22a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()111102222b b a ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎭⋅⎝- a b - b因为，所以不共线，故D 错误.1110022⨯-⨯≠,a b故选：C.12．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．a b()2,0a = 1b = 2a b +A B ．C ．4D ．12【答案】B【分析】利用转化即可22a a = 【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，()2,0a = ||2a = a b||1=b所以，所以1cos 602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯= 2a b +=== 故选：B二、填空题13．已知，，则________．1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=2cos cos 3sin sin αβαβ+=【答案】1312【分析】直接利用两角和与差的余弦公式展开即可求解. 【详解】依题意，因为，，1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=所以，， 1cos cos sin sin 2αβαβ-=-1cos cos sin sin 3αβαβ+=两式相加减可得，，1cos cos 12αβ=-5sin sin 12αβ=所以． 15132cos cos 3sin sin 23121212αβαβ⎛⎫+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：. 131214．已知扇形的圆心角为120°cm ，则此扇形的面积为________ cm 2.【答案】π【分析】由扇形的面积公式求解即可 【详解】设扇形的弧长为l ， 因为120°＝120×rad ＝(rad)， 180π23π所以． 23l R πα==所以S ＝lR ＝(cm 2)． 1212π故答案为：.π15．已知向量a =（2,6）,b =,若a ∥b ,则 ____________. (1,)λ-λ=【答案】-3【详解】由可得a b ∥162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．a b ∥(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于与共线.16．下面有四个结论:①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列;{}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a ②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列; {}n a {}n b {}n n a b ⋅③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列; {}n a 0d <④在等比数列中,各项与公比都不能为. 0其中正确的结论为__________(只填序号即可). 【答案】③④【分析】根据等差数列通项公式得数列单调性确定于公差正负，根据等差数列和项特点确定①真假，根据等比数列各项不为零的要求可判断②④真假.【详解】因为公差不为零的等差数列单调性类似于直线，所以公差,则此数列是递减数列; ③0d <正确；因为等差数列和项中常数项为零，即中所以①不对，因为等比数列各2n S an bn c =++0c =，项不为零，所以②中若数列是为零的常数列,则不是等比数列; ②不对，④正确，即正{}n a {}n n a b ⋅确的结论为③④.【点睛】等差数列特征：为的一次函数；；等比数列特征：各项以及公比都不为n a n 2n S An Bn =+零，为的类指数函数，.n a n (1)nn S A Aq q =-≠三、解答题17．已知，求的值．3tan 4α=π2sin(π)sin 2πcos()4cos 2αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【答案】54-【分析】根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.2tan 114tan αα+=-【详解】由三角函数的基本关系式和诱导公式，可得π2sin(π)sin 2sin cos 2πcos 4sin cos()4cos 2αααααααα⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 3212tan 154314tan 4144αα⨯++===---⨯18．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A cos cos 2cos a C c A b B +=（1）求B ；（2）若的面积为的周长. b =ABC AABC A 【答案】（1）；（2）3B π=6+【解析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出； 1cos 2B =B （2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出()2312a b ab +-=8ab =，进而求出的周长.6a b +=ABC A 【详解】解：（1）， cos cos 2cos a C c A b B += 由正弦定理得：， sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=整理得：， ()sin 2sin cos sin A C B B B +==∵在中，， ABC A 0B π<<∴， sin 0B ≠即， 2cos 1B =∴， 1cos 2B =即；3B π=（2）由余弦定理得：，(222122a c ac =+-⋅∴， ()2312a c ac +-=∵，1sin 2S ac B ===∴，8ac =∴， ()22412a c +-=∴，6a c +=∴的周长为.ABC A 6+19．记Sn 为等差数列的前n 项和，已知a 9=－4，a 10+a 12=0. {}n a （1）求的通项公式； {}n a （2）求Sn ，并求Sn 的最小值.【答案】（1）；（2），最小值为． 222n a n =-221441(24n S n =--110-【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公120a =-2d ={}n a 式．（2）由，．求出．从而当或时，的最小值为120a =-2d =221441(24n S n =--10n =11n =n S 110-．【详解】（1）∵为等差数列的前n 项和，，．n S {}n a 94a =-10120a a +=∴， 111849110a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩解得，．120a =-2d =∴的通项公式为． {}n a ()2012222n a n n =-+-⨯=-（2）∵，．120a =-2d =∴． ()2212144120221(224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--为开口向上的二次函数，对称轴为，又212n =*n ∈N ∴当或时，的最小值为．10n =11n =n S 110-20．已知二次函数的图象开口向上，且在区间上的最小值为0和最大值2()2g x ax ax b =++[2,2]-为9.（1）求的值；,a b （2）若，且，函数在上有最大值9，求k 的值. 0k >1k ≠()x g k [1,1]-【答案】（1）；（2）或. 1a b ==2k =12k =【分析】（1）根据二次函数解析式确定其对称轴，再由其开口方向，得到其在给定区间的单调性，推出，，列出方程求解，即可得出的值；min ()g x b a =-max ()8g x b a =+,a b （2）根据（1）得到函数解析式，令，分别讨论和两种情况，根据二次函数与x t k =1k >01k <<指数函数单调性，结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数的对称轴为；且其图象开口向上，则； 2()2g x ax ax b =++=1x -0a >所以在上单调递减，在上单调递增，2()2g x ax ax b =++[2,1]--(]1,2-则，又，，所以， min ()(1)g x g b a =-=-(2)g b -=(2)8g b a b =+>max ()(2)8g x g b a ==+因为在区间上的最小值为0和最大值为9，2()2g x ax ax b =++[2,2]-所以，解得；089b a b a -=⎧⎨+=⎩1a b ==（2）由（1）知，是开口向上，且对称轴为的二次函数； 2()21g x x x =++=1x -令，x t k =当时，单调递增，由可得，则在上单调递增，1k >x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则；2max ()()(1)9g t g k k ==+=2k =4k =-2k =当时，单调递减，由可得，则在上单调递增，01k <<x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则； 2max11()19g t g k k ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12k =14k =-12k =综上，或. 2k =12k =【点睛】思路点睛：求解含指数的二次函数的最值问题时，一般需要利用二次函数与指数函数的单调性，判定所给函数在给定区间的单调性，由函数单调性即可求出最值. 21．已知数列是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列．{}2nn a -{}21nan -+(1)求数列的通项公式； {}n a (2)记，且为数列的前n 项和，求证：． ()()111232n n n b n a ++=+-n T {}n b 16n T <【答案】(1)221nn a n =+-(2)证明见解析【分析】（1）首先由等差数列与等比数列的通项公式建立方程组，求出，从而可求得； 1a n a （2）首先由（1）求出，然后利用裂项相消法证明即可．n b 【详解】（1）由题意知，即 ()()()11122212112n n n na a n a n a -⎧-=-+-⎪⎨-+=-⋅⎪⎩()11112224,,1221n n n n a n a a a n --⎧=⋅++-⎪⎨=-⋅+-⎪⎩比较系数得所以，1121,41,a a =-⎧⎨-=-⎩13a =所以．221nn a n =+-（2）由（1）得，()()1111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以 1111111111112355721232323646n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1046n >+16n T ∴<22．已知函数．()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-(1)求函数的最小正周期；()f x (2)当时，求函数的值域．ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π2(2) []2,1-【分析】（1）根据二倍角正弦公式，余弦公式，辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据最()f x 小值正周期公式，即可得答案. （2）根据x 的范围，可得的范围，根据正弦型函数的性质，即可得答案. π46x -【详解】（1）解：()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-， 2π12cos 22cos 24cos 42sin 46x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期为． ()f x 2ππ42T ==（2）由，知， ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ4,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当时，的最小值为-1， π462x π-=-πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，的最大值为， π466x π-=πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12所以，则， π1sin 41,62x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]π2sin 42,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故函数的值域是． ()f x []2,1-。

成都七中2018～2019 学年度上期高2020 届数学半期考试试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不在曲线上的点的坐标是（）2.抛物线的焦点到准线的距离等于（）3.双曲线的渐近线方程为（）4.直线在x轴上的截距为（）5.直线与坐标轴围成的三角形的周长为（）6.若x,y满足约束条件，则的最小值为（）7.设P为双曲线上任一点，，则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）相切相交相离内含8.已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）9.点满足关系式，则点M的轨迹是（）椭圆双曲线双曲线的一支线段10.圆关于直线对称的圆的方程为（）.x2+y2+3y+1=011.设点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M的轨迹方程为；x2 9y2②当时，点M的轨迹方程为-=1(x≠±5);25 100③当时，点M的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（）0 1 2 312．设A,B,M为椭圆上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且，则的取值范围是（）⎨⎩二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上)13.双曲线的实轴长为.⎧2x+y-2≥0,14．已知x,y满足约束条件⎪x-2y+4≥0,则的最大值为.⎪3x -y-3≤0.15.直线l过抛物线的焦点F交抛物线于A,B两个点，则1+1= .FA FB16.点为椭圆x 2 y2+ =1上一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则∆F1MF2的内心的轨迹方程为9 5.三、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M,N，求的面积.x2 y218.已知双曲线E:-a2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±，焦距为作直线l交双曲线E于A,B 两点，且M为AB的中点.（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程.19.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t，现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种肥料，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料，产生的肥料为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？20.已知圆P 过.（1）求圆P 的方程；（2）若过点的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.21.从抛物线上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E .（1）求曲线E 的方程;（2）若直线与曲线E 相交于A ,B 两点，求证：OA ⊥OB ；（3）若点F 为曲线E 的焦点，过点Q (2,0)的直线与曲线E 交于M ,N 两点，直线MF ,NF 分 别与曲线E 交于C ,D 两点，设直线MN ,CD 的斜率分别为k 1,k 2 ，求k 2 的值.k 122.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB 过原点O 交椭圆于A ,B ，，直线AP ,BP 分别交椭圆于C ,D ，且直线AD ,BC交于点M ，图中所有直线的斜率都存在.（1）求椭圆方程；（2）求证：;（3）求的值.成都七中2018～2019 学年度上期高2020届数学半期考试（理科）参考答案一、 选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.814.1315. 116.x 2 5y 2+ =1(y ≠0)4 4三、 解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：,由，得,∴圆心C 为 ,又半径,∴圆C 的方程为.……5分（2）直线l 的方程为：,所以点C 到直线l 的距离为：，∴，∴. ……10分b18.解：（1）由已知得= a2，2c =2 3，解得a =1,b =2.∴双曲线E 的方程为.……4分（2）设直线l 方程为:，，.由，得……6分∴…①……8分∴，由为AB的中点，得，解得，适合①……10分∴直线l的方程为，即……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验∆>0的学生，扣1分.19.解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，目标函数为,其中x，y满足以下条件：……4分可行域如右图：……6分把变形为，……8分得到斜率为，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大，联立方程得.……10分∴……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.……12分20.解：（1）设圆P的方程为：.∵A,B,C都在圆上,∴, 解得.∴所求圆P的方程为.……6分（2）由，知圆心，半径，如右图，由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距……8分当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：,即,∴圆心P到直线l距离，化简得，则.∴直线l方程为：，即.……10分当直线轴时，直线l方程为，代入圆方程得，解得，，∴弦长仍为8,满足题意.……11分综上，直线l的方程为,或.……12分21.解：（1）令抛物线上一点,设.由已知得,∵满足，∴,则，即.∴曲线E的方程为：.……4分（2）由，可得，设，由于∆=122 -4⨯16>0,由韦达定理可知：，，∴，∴OA⊥OB.……8分22.解：（1）由2b=4，得b=2.由e=，得，解得.∴椭圆的方程为.……3分（2）设，则.∴由得：,即，，即. ……7分（3）设,由（2）知,又,,∴,∴…③同理,又, ,∴,∴…④由化简得：,∴，即.……12分。

四川省成都七中2024届高第一学期第一次质量检测数学理科满分: 150分年级: 高二一选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1.若直线2 x+y−1=0是圆( x−a)2+ y2=1的一条对称轴, 则a=（）A.12B.−12 C.1 D.−12.已知命题p: ∃x ∈R,sinx<1; 命题q: ∀x ∈R,e|x|≥1, 则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.¬p ∧qC.p ∧¬qD.¬(p ∨q)3.已知半径为 1 的圆经过点(3,4), 则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4B.5C.6D.74.设圆 x2+ y2−2 x−2 y−2=0的圆心为C, 直线l过点(0,3), 且与圆C交于A,B两点, 若|A B|=2 √3, 则直线l的方程为（）A.3 x+4 y−12=0B.3 x+4 y−12=0或4 x+2 y+1=0C.x=0D.x=0或3 x+4 y−12=05.若x,y满足约束条件{x+y ⩾2,x+2 y ⩽4,y ⩾0,则z=2 x−y的最大值是（）A.−2B.4C.8D.126.设椭圆C: x 24 +y2=1的左焦点为F, 直线l: y=k x(k ≠0)与椭圆C交于A,B两点, 则|A F|+|B F|的值是（）A.2B.2 √3C.4D.4 √37.已知 F1, F2分别是椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点, 点A(0,b), 点B在椭圆C上, A F1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 F1 B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D,E分别是 A F2, B F2的中点, 且△D E F2的周长为 4 , 则椭圆C的方程为（）A. x24+y23=1 B.x24+3 y28=1C. x24+3 y24=1 D. x2+ 3 y22=18.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时, 相应水面的面积为140.0 km2; 水位为海拔157.5 m时, 相应水面的面积为180.0 km2, 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台, 则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时, 增加的水量约为(√7 ≈2.65)（）A.1.0 ×1 09m3B.1.2 ×1 09m3C.1.4 ×1 09m3D.1.6 ×1 09m39.下列结论正确的是（ ）①过点 A(−2,−3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为x +y =−5; ②圆 x 2+ y 2=4上有且仅有 3 个点到直线l: x −y +√2=0的距离都等于 1③已知 a b ≠0,O 为坐标原点, 点P(a,b)是圆 E: x 2+ y 2= r 2外一点, 且直线m 的方程是 a x +b y =r 2, 则直线m 与圆E 相交;④已知直线 k x −y −k −1=0和以M(−3,1),N(3,2)为端点的线段相交, 则实数k 的取值范围为−12 ≤k ≤32; A.①③B.②③C.②④D.③④10.已知矩形 A B C D,A B =1,B C =√3, 将△A D C 沿对角线A C 进行翻折, 得到三棱锥D −A B C , 则在翻折的过程中，有下列结论:①三棱锥 D −A B C 的体积最大值为13;②三棱锥 D −A B C 的外接球体积不变;③三棱锥 D −A B C 的体积最大值时, 二面角D −A C −B 的大小是 60∘; ④异面直线 A B 与C D 所成角的最大值为 90∘. 其中正确的是（ ） A.①②④B.②③C.②④D.③④11.若直线 l: a x +b y +1=0始终平分圆 M: x 2+ y 2+4 x +2 y +1=0的周长, 则( a −2)2+( b −7)2的最小值为（ ） A.√5B.5C.2 √5D.2012.在平面直角坐标系 x O y 中, 已知圆C:( x −2)2+ y 2=9,E,F 是直线l: y =x +2上的两点, 若对线段E F 上任意一点P , 圆C 上均存在两点A,B , 使得cos∠A P B ≤0, 则线段E F 长度的最大值为（ ） A.2B.√14C.2 √10D.4二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13. 填空题（5分）已知命题 p: ∀x ∈R,cosx ≤1, 则¬p :____________________. 14. 填空题（5分）命题 p:“∃x ∈R, a x 2+2 a x −4 ≥0"为假命题, 则a 的取值范围是_______________. 15. 填空题（5分）如图, F 1, F 2分别是椭圆的左、右焦点, 点P 是以 F 1 F 2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点, 延长 P F 2与椭圆交于点Q , 若|P F 1|=4|Q F 2|, 则直线 P F 2的斜率为________________.16. 填空题（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一, 指的是: 已知动点M与两定点Q,P的距离之比|M Q||M P|=λ(λ>0,λ≠1), 那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆, 其方程为 x2+ y2=1, 定点Q为x轴上一点,P(−12,0)且λ=2,若点B(1,1), 则2|M P|+|M B|的最小值为__________________.三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. （本题满分10分）已知命题 p: x2−6 x+8 ≤0, 命题q: 3−m ≤x ≤3+m. 若¬p是¬q的充分不必要条件, 求m的取值范围.18. （本题满分12分）已知△A B C的顶点A(5,1), 边A B上的中线C M所在直线方程为2 x−y−5=0, 边A C上的高B H所在直线方程为x−2 y−5=0,(1) 求顶点C的坐标;(2) 求△A B C的面积.19. （本题满分12分）已知线段A B的端点B的坐标为(1,3), 端点A在圆C:( x+1)2+ y2=4上运动.(1)求线段A B的中点M的轨迹;(2)过B点的直线L与圆C有两个交点A,D. 当C A ⊥C D时, 求L的斜率.20. （本题满分12分）最近国际局势波云诡谲, 我国在某地区进行军事演练, 如图, O,A,B是三个军事基地,C为一个军事要塞, 在线段A B上. 已知tan∠A O B=−2,O A=100 km,C到O A,O B的距离分别为50 km,30 √5km, 以点O为坐标原点, 直线O A为x轴, 建立平面直角坐标系如图所示.(1)求两个军事基地A B的长;(2)若要塞C正北方向距离要塞100 km处有一E处正在进行爆破试验, 爆炸波生成t h时的半径为r= 5 √a t(参数a为大于零的常数), 爆炸波开始生成时, 一飞行器以300 √2km / h的速度自基地A开往基地B,问参数a控制在什么范围内时, 爆炸波不会波及到飞行器的飞行.21. （本题满分12分）如图所示正四棱锥S−A B C D,S A=S B=S C=S D=2,A B=√2,P为侧棱S D上的点.(1) 求证: A C ⊥S D;(2) 若 S S A P= 3 S A P D,( i ) 求三棱锥S−A P C的体积.(ii ) 侧棱S C上是否存在一点E, 使得B E / /平面P A C. 若存在, 求S EE C的值；若不存在，试说明理由．22. （本题满分12分）已知椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0), 长轴是短轴的 3 倍, 点(1,2 √23)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2) 若过点Q(1,0)且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M,N两点, 在x轴的正半轴上是否存在点T(t,0), 使得直线T M,T N斜率之积为定值? 若存在, 求出t的值; 若不存在, 请说明理由.参考答案一选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】A4. 【答案】D5. 【答案】C6. 【答案】C7. 【答案】B8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】C11. 【答案】D【解析】∵直线l: a x+b y+1=0始终平分圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的周长∴直线必过圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的圆心即圆心(−2,−1)点在直线l: a x+b y+1=0上则2 a+b−1=0则( a−2)2+( b−7)2表示点(2,7)至直线2 a+b−1=0点的距离的平方则其最小值 d2=(|2 ×2+7 ×1−1|√ 22+ 122=20故选D.12. 【答案】C【解析】由题意, 圆心到直线l: y=x+2的距离为d=|2−0+2|√2=2 √2<3 (半径) 故直线l和圆相交;当点P在圆外时, 从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,∠A P B才是最大的角,设切线为P M,P N, 则由cos∠A P B ≤0,得∠A P B ≥9 0∘,∴∠M P N ≥9 0∘;当∠M P N=90∘时,sin∠M P C=3P C=sin4 5∘=√22,∴P C=3 √2设P( x0, x0+2),|P C|=√( x0−2)2+( x0+2)2=3 √2, 解得： x0=±√5,设 E(−√5,−√5+2),F(√5,√5+2),如图, E F 之间的任何一个点P , 圆C 上均存在两点A,B , 使得∠A P B ≥9 0∘,线段 E F 长度的最大值为|E F|=√( −√5−√5)2+[(−√5+2)−(√5+2)]2=2 √10故选C.二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13. 【答案】∃ x 0 ∈R, cos x 0>1 14. 【答案】−4<a ≤0 15. 【答案】−2【解析】如图,连接 Q F 1, 设|Q F 2|=x(x >0), 则|P F 1|=4 x , 因为|P F 1|+|P F 2|=2 a,|Q F 1|+|Q F 2|=2 a , 所以|P F 2|=2 a −4 x,|Q F 1|=2 a −x , 在△P F 1 Q 中,∠ F 1 P Q =90∘, 所以|P F 1|2+ |P Q|2=|Q F 1|2, 即( 4 x)2+( 2 a −4 x +x)2=( 2 a −x)2, 整理得a =3 x , 所以tan∠P F 2 F 1=|P F 1||P F 2|= 4 x 2 a−4 x = 4 x 6 x−4 x =2, 所以直线 P F 2的斜率为k =tan (1 80∘−∠P F 2 F 1)=−216. 【答案】√10【解析】令2|M P|=|M Q|，则|M Q||M P|=2, 由题意可得圆 x 2+ y 2=1是关于P,Q 的阿波罗尼斯圆, 且λ=2,设点 Q 的坐标为(m,n), 则√( x−m)2+( y−n)2√(x+2)2+ y 2=2 整理得， x 2+ y 2+4+2 m 3 x +2 n 3 y + 1−m 2− n 23=0由已知该圆的方程为 x 2+ y 2=1, 则{4+2 m =02 n =0 1−m 2− n 23=−1, 解得{m =−2n =0, ∴点Q 的坐标为(−2,0),∴2|M P|+|M B|=|M Q|+|M B|,由图象可知，当点 M 位于 M 1或 M 2时取得最小值, 且最小值为|Q B|=√( −2−1)2+1=√10三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. 【答案】a 的取值范围是(−∞,1).【解析】解: 设 A ={x ∣ x 2−6 x +8 ≤0}={x ∣2 ≤x ≤4},B ={x ∣3−m ≤x ≤3+m}. 因为 ¬p 是¬q 的充分不必要条件, 则q 是p 的充分不必要条件, 所以,B ⫋A . (i) 若 B =∅, 则B ⫋A 成立, 此时有3+m <3−m , 解得m <0; (ii) 若 B ≠∅, 则{3−m ≤3+m3−m ≥2 3+m ≤4, 解得0 ≤m ≤1,当 m =0时,B ={3} ⫋A , 合乎题意,当 m =1时,B ={x ∣2 ≤x ≤4}=A , 不合乎题意. 综上所述, 实数 a 的取值范围是(−∞,1).18. 【答案】(1)C(4,3).(2) S △A B C =8.【解析】(1) 设 C(m,n), 因为直线A C 与直线B H 垂直, 且C 点在直线2 x −y −5=0上, 所以 {n−1m−5=−2 2 m −n −5=0,解得{m =4n =3, 故C(4,3).(2) 设 B(a,b)由题知:M (a+52,b+12),所以 {a +5−b+12−5=0 a −2 b −5=0, 解得{a =−1b =−3, 即B(−1,−3).k B C =3+34+1=65, 直线B C: y −3=65(x −4), 即:6 x −5 y −9=0. |B C|=√( 4+1)2+( 3+3)2=√61点 A 到直线 B C 的距离d =√ 62+( −5)2=√61, 所以 S △A B C =12 ×√61 ×16√61=8.19. 【答案】(1)点 M 的轨迹是以(0,32)为圆心, 1 为半径的圆;(2)k =3 ±√222.【解析】(1) 设 A ( x 1, y 1),M(x,y), 由中点公式得 { x 1+12=x y 1+32=y⇔{ x 1=2 x −1 y 1=2 y −3, 因为 A 在圆C 上, 所以( 2 x)2+( 2 y −3)2=4, 即 x 2+(y −32)2=1,点 M 的轨迹是以(0,32)为圆心, 1 为半径的圆;(2) 设 L 的斜率为k , 则L 的方程为y −3=k(x −1), 即k x −y −k +3=0, 因为 C A ⊥C D,△C A D 为等腰直角三角形, 有题意知, 圆心 C(−1,0)到L 的距离为√2 C D =√2=√2.由点到直线的距离公式得√2=√2,∴4 k 2− 12 k +9=2 k 2+2.∴2 k 2−12 k +7=0, 解得k =3 ±√222.20. 【答案】(1)基地 A B 的长为200 √2km .(2)当 0<a <2400 √5−4800时, 爆炸波不会波及飞行器的飞行.【解析】(1) 则由题设得: A(100,0), 直线O B 的方程为y =−2 x,C ( x 0,50)( x 0>0), 由 0√22=30 √5, 及 x 0>0解得 x 0=50, 所以C(50,50).所以直线 A C 的方程为y =−(x −100), 即x +y −100=0, 由 {y =−2 x x +y −100=0得x =−100,y =200, 即B(−100,200),所以 A B =√( −100−100)2+ 2002=200 √2, 即基地 A B 的长为200 √2km . (2) 设爆炸产生的爆炸波圆 E ,由题意可得 E(50,150), 生成t 小时时, 飞行在线段A B 上的点F 处, 则 A F =300 √2 t,0 ≤t ≤23, 所以F(100−300 t,300 t).爆炸波不会波及卡车的通行, 即 E F 2> r 2对t ∈[0,33]恒成立.所以 E F 2=( 300 t −50)2+( 300 t −150)2> r 2=25 a t , 即 ( 300 t −50)2+( 300 t −150)2>25 a t . 当 t =0时, 上式恒成立,当 t ≠0即t ∈(0,23]时,a <7200 t +1000t−4800, 因为7200 t +1000t −4800 ≥2 √7200 t ×1000t −4800=2400 √5−4800当且仅当 7200 t =1000t , 即t =√56时等号成立, 所以, 在 0<a <2400 √5−4800时,r <E F 恒最立, 亦即爆炸波不会波及飞行的通行. 答: 当 0<a <2400 √5−4800时, 爆炸波不会波及飞行器的飞行.21. 【答案】(1)证明见解析；(2)(i)√34,(ii) 侧棱S C 上存在一点E , 当满足S E E C =2时,B E / /平面P A C .【解析】证明：(1) 连 B D , 设A C 交B D 于O , 由题意S O ⊥A C . 在正方形 A B C D 中, 有A C ⊥B D , 又S O ∩B D =O , ∴A C ⊥平面S B D , 得A C ⊥S D ;(2) ∵ S △S A P = 3 S △A P D ,∴P D S P =13, 则S P =34S D , (i) V S−A P C =34 V S−A D C =34 ∙13 S O ∙ S △A D C =34 ∙13 ∙√3 ∙12 ∙√2 ∙√2=√34.(ii) 侧棱 S C 上存在一点E , 当满足S EE C=2时,B E / /平面P A C .由 S △S A P = 3 S △A P D , 可得S P =3 P D 取点 F 为S D 的中点, 则点P 为F D 的中点, 又 O 为B D 的中点 所以在△B F D 中,B F / / O P . B F /⊂平面A C P,O P ⊂平面A C P ,则 B F / /平面A C P 过点F 作F E / / P C , 交S C 于点E , 连结B E 由 E F /⊂平面A C P,P C ⊂平面A C P , 则E F / /平面A C P 又 E F ∩B E =E , 所以平面B E F / /平面A C P 又 B E ⊂平面B E F , 则B E / /平面P A C . 由 F E / / P C , 则S E E C =S FF P, 由 S P =3 P D,F 为S D 的中点, 则S FF P=2, 所以S E E C =2 所以侧棱 S C 上存在一点E , 当满足S EE C=2时,B E / /平面P A C .22. 【答案】(1)椭圆 C 的方程即为 x 29+y 2=1; (2)存在点 T(3,0), 使得直线T M 与T N 斜率之积为定值−29, 此时t =3.【解析】解: 由题意得 a =3 b , 故椭圆C 为 x 2 9 b 2+ y 2b2=1, 又点 (1,2 √23)在C上, 所以1 9 b 2+8 9 b 2=1, 得 b 2= 1,a 2=9, 故椭圆 C 的方程即为 x 29+y 2=1;（2）解: 由已知知直线 l 过Q(1,0), 设l 的方程为x =m y +1,联立两个方程得 { x 29 +y 2=1 x =m y +1, 消去x 得:( m 2+9) y 2+2 m y −8=0,Δ=4 m 2+32( m 2+9)>0得m ∈R , 设 M ( x 1, y 1),N ( x 2, y 2), 则 y 1+ y 2=− 2 m m 2+9 ,y 1 y 2=−8m 2+9(∗), k T M ∙ k T N= y 1 x 1−t ∙ y 2 x 2−t = y 1 m y 1+1−t ∙ y 2 m y 2+1−t = y 1 y 2 m 2 y 1 y 2+m(1−t)( y 1+ y 2)+( 1−t)2, 将 (*) 代入上式, 可得:−8m 2+9m 2 ∙−8 m 2+9+m(1−t)(− 2 m m 2+9)+( 1−t)2=8( 9−t 2) m 2−9( 1−t)2, 要使 k T M ∙ k T N 为定值, 则有 9−t 2=0, 又∵t >0,∴t =3, 此时 k T M ∙ k T N =8−9 ×4=−29,∴存在点T(3,0), 使得直线T M 与T N 斜率之积为定值−29, 此时t =3.。

成都七中数学考试试卷真题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. -3C. √2D. i2. 如果函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3，那么f(-1)的值是多少？A. 10B. 8C. 6D. 43. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 以下哪个不等式是正确的？A. |-5| < 5B. |-5| > 5C. |-5| = 5D. |-5| ≠ 55. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？B. 50πC. 100πD. 125π6. 以下哪个数列是等差数列？A. 1, 3, 5, 7, ...B. 2, 4, 6, 8, ...C. 1, 1, 1, 1, ...D. 3, 6, 9, 12, ...7. 以下哪个是二次方程的解？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 + 4x + 4 = 0C. x^2 - 4x - 4 = 0D. x^2 + 4x - 4 = 08. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = sin(x)9. 以下哪个是线性方程组的解？A. x + y = 2B. x - y = 1C. x + 2y = 3D. x - 2y = 410. 如果一个数列的前n项和为S(n)，且S(n) = n^2，那么这个数列的第5项是多少？B. 11C. 12D. 13二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4，它的体积是________。

12. 如果一个函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=2，那么在x=0处的切线斜率是________。

13. 一个圆的周长为12π，那么它的半径是________。

14. 如果一个数列的通项公式为a_n = 2n - 1，那么它的第10项是________。

四川省成都市第七中学2025届高三上学期入学考试数学试卷一、单选题1．已知集合2{|6},{2,1,0,1,2}M x x x N =-+<=--，则M N =I （ ） A ．{1,0,1}-B ．{2,1,0,1}--C ．{1,0}-D ．{1,0,1,2}-2．命题“0x ∃>，240x x -+≤”的否定为（ ） A ．0x ∀>，240x x -+> B ．0x ∀≤，240x x -+> C ．0x ∃>，240x x -+>D ．0x ∀≤，240x x -+≤3．已知向量()1,1a =r ，()0,b t =r ，若()2a a b ⊥+r r r，则b =r （ ）A B ．1C D ．24．已知圆()22:44C x y -+=，点M 在线段y x =（03x ≤≤）上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，以AB 为直径作圆C '，则圆C '的面积的最大值为（ ）. A ．πB ．2πC ．5π2D ．3π5．若过点(),a b 可以作曲线1e x y +=的两条切线，则（ ） A ．1e b a +<B ．1e a b +<C ．10e a b +<<D ．10e b a +<<6．已知定义在正实数集上的函数()4log 1,016,516.x x f x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩设a 、b 、c 是互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ） A ．()16,25B ．()256,400C ．()64,100D ．()64,2567．设正四面体ABCD 的棱长为2．则所有与此正四面体的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为（ ）A ．3B ．4C ．3D 8．“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过n 次随机选择后到达2号仓的概率为n P ，已知该粒子的初始位置在2号仓，则10P =（ ）．A ．171512B ．511512C ．1512D ．43128二、多选题9．二项式61)x的展开式中（ ）A ．前三项系数之和为22B ．二项式系数最大的项是第4项C ．常数项为15D ．所有项的系数之和为010．已知函数()()πcos 220,2f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与函数()()sin 2g x x ϕ=+的图象重合，则（ ）A ．()1g ϕ=B ．()g x 的单调区间为ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．直线π3x =是()g x 的图象的对称轴 D ．直线π132y x ⎫=-+⎪⎭是曲线y =g x 的切线11．设,a b 是非零复数，12,z z 是方程20x ax b ++=的两个复根，且1212z z z z +=-，则以下说法错误的是（ ）A ．存在负实数λ，使得21z z λ=B ．b 是负实数C ．存在实数4μ≥，使得2a b μ=D ．存在实数0ν<，使得2a b ν=三、填空题12．已知等比数列{}n a 为递增数列，且373a a +=，282a a ⋅=，则117a a =． 13．(tan 5tan102tan 5tan10︒+︒+︒︒=．14．设O 是ABC V 的外接圆的圆心，G 是重心，CD 是中线，且OG CD ⊥，则sin C 的最大值是．四、解答题15．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1cos sin sin sin 2A B C A =-，a =(1)求B ；(2)若ABC V 的面积为c .16．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．(1)求MN 的长；(2)当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．17．小叶紫檀是珍稀树种，因其木质好备受玩家喜爱，其幼苗从观察之日起，第x 天的高度为y cm ，测得数据如下：数据的散点图如图所示：为近似描述y 与x 的关系，除了一次函数$y bx a =+，还有$y a =和$2y bx a =+两个函数可选．(1)从三个函数中选出“最好”的曲线拟合y 与x 的关系，并求出其回归方程（b $保留到小数点．．．．．．后．1位．）； (2)判断说法“高度从1000cm 长到1001cm 所需时间超过一年”是否成立，并给出理由．参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑$，$ay bx =-$． 参考数据（其中i u =2i ii x =）：20x =，4u =，668i =，8y =， 7214676i i x ==∑，721140i i u ==∑，7217907396ii i==∑，711567i i i x y ==∑，71283i i i u y ==∑，7156575i i i i y ==∑．18．已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，且12F PF V的垂心为5)3H -． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 叫椭圆C 于D 、E 两点，记直线AD ，AE 的斜率分别为1k ，2k ，若1217k k +=-，求直线l 的方程．(3)设d 是从椭圆中心到椭圆在点Q 处切线的距离，当Q 在椭圆上运动时，判断212d QF QF 是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由． 19．已知函数()ln f x x x =，(1)判断()()12g x f x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调性．(2)求函数()()()11e1ln 1h x xx x -=+--，[)0,1x ∈的值域．(3)证明()()11e f y f x y x --≤-，01x y <<≤．。