成都七中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(pdf版)

2018-2019学年四川省成都七中高二（下）入学数学试卷（文科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线y2=4x的准线方程是()A. x=−1B. x=1C. x=−2D. x=2【答案】A【解析】解：根据题意，抛物线的方程为y2=4x，其开口向右，且p=2，则其准线方程为：x=−1；故选：A．根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的开口方向与p的值，进而由抛物线的准线方程计算即可得答案．本题考查抛物线的标准方程，关键是掌握抛物线标准方程的形式．2.双曲线x24−y212=1的焦距为()A. 4B. 8C. 2√2D. 2√3【答案】B【解析】解：由双曲线x24−y212=1，可得c=√4+12=4，故其焦距2c=8．故选：B．利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．3.过点(2,1)的直线中被圆(x−1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线方程是()A. 3x−y−5=0B. 3x+y−7=0C. x+3y−5=0D. x−3y+5=0【答案】A【解析】解：∵过点(2,1)的直线中被圆(x−1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1,−2)的直线，∴其方程为：y+2x−1=1+22−1，整理，得3x−y−5=0．故选：A．过点(2,1)的直线中被圆(x−1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，由此能求出结果．本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．4.已知p：“a=√2”，q：“直线x+y=0与圆x2+(y−a)2=1相切”，则p是q的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：当a=√2时，圆的方程为：x2+(y−√2)2=1，则圆心坐标为(0,√2)，半径r=1，所以圆心到直线x+y=0的距离d=√2|√2=1=r，则直线与圆的位置关系是相切；而当直线与圆的位置关系相切时，圆心坐标为(0,a)，半径r=1，则圆心到直线AB的距离d=√2=1，解得a=±√2，所以p是q的充分非必要条件．故选：A．当a等于√2时，把a的值代入圆的方程中，找出圆心坐标和圆的半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y=0的距离d，发现d等于圆的半径r，进而得到直线与圆的位置关系是相切；而当直线x+y=0与圆相切时，由圆心坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d，让d等于圆的半径1列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值为两个值，综上，得到p是q的充分非必要条件．此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握必要、充分及充要条件的判断方法，是一道中档题．5.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为x−A，x−B，A、B两班学生成绩的方差分别为S A2，S B2，则观察茎叶图可知()A. x−A<x−B，S A2<S B2B. x−A>x−B，S A2<S B2C. x−A<x−B，S A2>S B2D. x−A>x−B，S A2>S B2【答案】B【解析】解：A班学生的分数多集中在[70,80]之间，B班学生的分数集中在[50,70]之间，故x−A>x−B；相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散，故S A2<S B2，故选：B．观察茎叶图数据，根据平均分，方差的定义即可判断得解．本题主要考查了平均分，方差的定义，考查了茎叶图的应用，属于基础题．6.某高中在校学生2000人.为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动.每人都参其中a：b：c=2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的35，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取()A. 6人B. 12人C. 18人D. 24人【答案】B【解析】解：根据题意可知样本中参与跑步的人数为100×25=40人，所以高二级参与跑步的学生中应抽取的人数为40×310=12人．故选：B．先求得参与跑步的总人数，再乘以抽样比例，得出样本中参与跑步的人数．本题主要考查了分成抽样，分层抽样又称按比例抽样，是高考中常见的题型，同时考查了分析问题、解决问题的能力，属于基础题．7.在区间[0,2π]上随机取一个数x，则事件“sinx≤0”发生的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 23【答案】C【解析】解：解三角不等式sinx≤0(x∈[0,2π]，得：π≤x≤2π，由几何概型中的线段型可得：事件“sinx≤0”发生的概率为2π−π2π−0=12，故选：C．由三角不等式的解法得：π≤x≤2π，由几何概型中的线段型得：事件“sinx≤0”发生的概率为2π−π2π−0=12，得解．本题考查了三角不等式的解法及几何概型中的线段型，属简单题．8.如图程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A. A>1000和n=n+1B. A>1000和n=n+2C. A≤1000和n=n+1D. A≤1000和n=n+2【答案】D【解析】解：因为要求A>1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A>1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．通过要求A>1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A>1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9.双曲线x29−y216=1的左顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l，则点A到直线l的距离为()A. 815B. 325C. 3215D. 85【答案】B【解析】解：双曲线x29−y216=1的a=3，b=4，c=√9+16=5，可得A(−3,0)，F(5,0)，双曲线的渐近线方程为y=±43x，可设过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l为y=43(x−5)，即4x−3y−20=0，则A到直线l的距离为d=√16+9=325．故选：B．求得双曲线的a，b，c，求得A，F的坐标和渐近线方程，设出过F于渐近线平行的直线，运用点到直线的距离公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．10.已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为()A. 23B. 34C. 35D. 57【答案】D【解析】解：假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：(1)球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a−c)；(2)球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a+c)；(3)球从F1沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A，反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，经F1反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a．综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，小球经过的最大路程是4a，最小路程是2(a−c)．∴由题意可得4a=7×2(a−c)，即5a=7c，得ca=57．∴椭圆的离心率为57．故选：D．利用椭圆的性质可得4a=7×2(a−c)，由此即可求得椭圆的离心率．本题考查了椭圆的定义及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知点E是抛物线C：y2=2px(P>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin∠EFP=μ⋅sin∠FEP，则μ的最大值为()A. √22B. √32C. √2D. √3【答案】C【解析】解：过P(x轴上方)作准线的垂线，垂足为H，则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，由sin∠EFP=μ⋅sin∠FEP，则△PFE中由正弦定理可知：则|PE|=μ|PF|，∴|PE|=μ|PH|，设PE的倾斜角为α，则cosα=PH PE=1μ，当μ取得最大值时，cosα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为x=ty−p2，则，即y 2−2pty +p 2=0， ∴△=4p 2t 2−4p 2=0，∴k =1，即tanα=1，则cosα=√22，则μ的最大值为√2， 故选：C ．设PE 的倾斜角为α，则cosα=PHPE =1μ，当μ取得最大值时，cosα最小，此时直线PM 与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，△=0，求得k 的值，即可求得λ的最大值．本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查正弦定理，考查直线与抛物线相切，考查计算能力，属于中档题．12. 已知椭圆M ：x 2a 2+y 2=1，圆C ：x 2+y 2=6−a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A. (1,6)B. (1,5)C. (3,6)D. (3,5)【答案】D【解析】解：设P(x 0,y 0)， 由椭圆M ：x 2a2+y 2=1，圆C ：x 2+y 2=6−a 2在第一象限有公共点P ， 当焦点在x 轴时，即a >1时，则{√6−a 2<a√6−a 2>1，解得：3<a 2<5， 当焦点在y 轴，即0<a <1时，显然圆与椭圆无交点，圆x 2+y 2=6−a 2在P 点的切线方程为x 0x +y 0y =6−a 2，则切线斜率k 1=−xy 0，椭圆M ：x 2a 2+y 2=1在P 点的切线方程为x 0x a 2+y 0y =1，则切线斜率k 2=−x0y 0a 2， 则k1k 2=a 2， ∴k 1k 2的取值范围(3,5)，故选：D ．由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，则{√6−a 2<a √6−a 2>1，求得3<a 2<5，根据椭圆及圆的切线方程，求得切线的斜率，即可求得k 1k 2=a 2，求得k1k 2的取值范围．本题考查椭圆及圆的切线方程，考查圆与椭圆的交点问题，考查计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若椭圆x 236+y 216=1的焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 上任意一点，则|PF 1|+|PF 2|=______．【答案】12 【解析】解：椭圆x 236+y 216=1的焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 上任意一点， ∴a =6．则|PF 1|+|PF 2|=2a =12．故答案为：12．利用椭圆的定义即可得出．本题考查了椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽为______米.【答案】2√6【解析】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2=my ， 将A(2,−2)代入x 2=my ， 得m =−2∴x 2=−2y ，代入B(x 0,−3)得x 0=√6， 故水面宽为2√6m.故答案为：2√6．先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把y =−3代入抛物线方程求得x 0进而得到答案．本题主要考查抛物线的应用.考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．15. 设双曲线y 2a2−x 2b 2=1(a,b >0)的一条渐近线为y =−2x ，且一个焦点与抛物线x 2=4√10y 的焦点相同，则此双曲线的标准方程为______． 【答案】y 28−x 22=1【解析】解：双曲线y 2a2−x 2b 2=1(a,b >0)的渐近线方程为y =±ab x ，由题意可得ab =2，抛物线x 2=4√10y 的焦点为(0,√10)，可得a 2+b 2=c 2=10， 解得a =2√2，b =√2， 则双曲线的方程为y 28−x 22=1．故答案为：y 28−x 22=1．求得双曲线的渐近线方程，可得a =2b ，求得抛物线的焦点，可得a 2+b 2=c 2=10，解方程可得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16. 已知直线l 过椭圆C ：x 22+y 2=1的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点，O 为坐标原点.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，过点O 作直线AB 的垂线，垂足为H ，则点H 为______． 【答案】(−23,√23)，或(−23,−√23)【解析】解：由椭圆C ：x 22+y 2=1，可得F(−1,0)，①若直线l 无斜率，直线l 方程为x =−1，此时A(−1,√22)，B(−1,−√22)，∴k OA =−√22，k OB =√22，∴k OA ⋅k OB =−12.不符合题意．②若直线l 有斜率，设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立方程组{x 2+2y 2=2y=k(x+1)，消元得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1x 2=2k 2−21+2k2，x 1+x 2=−4k 21+2k 2，∴y 1y 2=k 2(x 1+1)(x 2+1)=k 2[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]， ∴k OA ⋅k OB =y 1x 1⋅y2x 2=−1，∴(k 2+1)x 1x 2+k 2(x 1+x 2)+k 2=0， ∴(k 2+1)2k 2−21+2k2−4k 21+2k2⋅k 2+k 2=0， 化为：k 2=2．解得k =±√2．∴直线l 的方程为√2x −y +√2=0，或√2x +y +√2=0， 经过O 且与直线l 垂直的直线方程为：y =√2 联立{√2x −y +√2=0y =√2，{√2x +y +√2=0y =√2． 解得H(−23,√23)，或(−23,−√23)． 故答案为：(−23,√23)，或(−23,−√23)．对直线l 的斜率分类讨论，可得直线l 的方程，与椭圆方程联立，结合斜率计算公式，利用数量积运算性质可得直线l 的斜率，进而得出答案．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 命题p ：方程x 2m+2+y 24−m =1表示椭圆；命题q ：双曲线C ：x 2m 2−y 24=l(m >0)的虚轴长于实轴．(1)当简单命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围；(2)当复合命题“p ∧q ”为真命题时，求实数m 的取值范围．【答案】解：(1)若p 是真命题，则{m +2>04−m >0m +2≠4−m ，得{m >−2m <4m ≠1，得−2<m <4且m ≠1，即实数m 的取值范围是−2<m <4且m ≠1．(2)当q 是真命题时，4>2m >0，得0<m <2，若“p ∧q ”为真命题，则p ，q 同时为真命题，即{−2<m <4且m ≠10<m<2得0<m <2且m ≠1【解析】(1)根据椭圆方程的特点进行求解即可(2)求出命题p ，q 为真命题的等价条件进行求解即可本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p ，q 为真命题的等价条件是解决本题的关键．18. 过抛物线y 2=8x 的焦点作倾斜角为45∘的直线，交抛物线于A 、B 两点.求：(1)被抛物线截得的弦长|AB|；(2)线段AB 的中点到直线x +2=0的距离．【答案】解：(1)抛物线y 2=8x ，焦点为(2,0)，x =−2，∴直线l 方程为y =x −2， 直线AB 即为x +y −2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，{y 2=8x y=x−2：整理得：x 2−12x +4=0由韦达定理可知：x 1+x 2=12，x 1x 2=4，弦长|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√122−4×4=16， 被抛物线截得的弦长|AB|=16； 中点(x,y)满足：x =x 1+x 22=6，y =6−2=4，∴：AB 的中点为(6,4)，到直线x +2=0，即抛物线的准线x =−2的距离为6−(−2)=8 ∴线段AB 的中点到直线x +2=0的距离为8．【解析】(1)由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，由直线的倾斜角为45∘，则直线的斜率k =1，求得直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x 1+x 2=12，x 1x 2=4，由弦长公式可知|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2；(2)由中点坐标公式求得线段AB 的中点坐标，由抛物线的定义，即可求得中点到直线x +2=0的距离． 本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，弦长公式及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19. 2019年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台SCTV −4“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上.这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到620该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？ (参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −)【答案】解：(1)由表中2月至5月份的数据， 得x −=14(11+13+12+8)=444=11，y −=14(25+29+26+16)=964=24，故有∑(5i=2x i −x −)(y i −y −)=0×1+2×5+1×2+(−3)×(−8)=36，∑(5i=2x i −x −)2=02+22+12+(−3)2=14， 由参考公式得b ̂=87，由a ̂=y −−b ̂x −得a ̂=−307，即y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂=87x −307．(2)由1月份数据得当x =10时，y ̂=87×10−307=1507． |1507−22|=47<2，由6月份数据得当x =6时，y ̂=87×6−307=787．|787−22|=67<2，则该小组所得线性回归方程是理想的．【解析】(1)根据数据求出x −，y −以及b ^，a ^的值，即可求出y 关于x 的线性回归方程y ^=bx +a ； (2)分别计算出1月份和6月份对应的预测值，和22作差，进行比较即可得到结论．本题主要考查线性回归方程的求解，根据条件求出x −，y −以及b ^，a ^的值是解决本题的关键.考查学生的运算能力．20. 已知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=2，点P 坐标为(2,−1)，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ．(1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆的切线长； (3)求直线AB 的方程． 【答案】解：(1)设切线的斜率为k ， ∵切线过点P(2,−1)，∴切线方程为：y +1=k(x −2)即：kx −y −2k −1=0，又圆C ：(x −1)2+(y −2)2=2的圆心坐标为(1,2)，半径为√2， 由点到直线的距离公式，得：√2=√k 2+(−1)2，解得：k =7或k =−1，则所求的切线方程为：x +y −1=0和7x −y −15=0． (2)圆心C 到P 的距离为：√(2−1)2+(−1−2)2=√10． ∴切线长为：√(√10)2−(√2)2=2√2．(3)以P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为：(x −2)2+(y +1)2=8…① 由圆C ：(x −1)2+(y −2)2=2，…②②−①可得AB 的方程：(x −1)2+(y −2)2−(x −2)2−(y +1)2=−6， 可得x −3y +3=0．【解析】(1)设切线方程斜率为k ，由切线过点P ，表示出切线方程，根据圆标准方程找出圆心C 坐标与半径r ，根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，即可确定出切线方程．(2)通过p 到圆心C 的距离、圆的半径以及切线长满足勾股定理，求出切线长即可． (3)利用(2)写出圆心为P 的圆的方程，通过圆系方程写出公共弦方程即可．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．21. 某电视台为了宣传本区，随机对本区内15～65岁的人群抽取了n 人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：(2)根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数．(3)若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率．【答案】解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为90.36=25， 再结合频率分布直方图可知n =250.025×10=100，…(1分) a =100×(0.010×10)×0.5=5，b =100×(0.030×10)×9=27，…(2分) x =18100×(0.020×10)=0.9，…(3分) y =3100×(0.015×10)=0.2.…(4分)(2)设中位数为x ，由频率分布直方图可知x ∈[35,45)， 且有0.010×10+0.020×10+(x −35)×0.030=05， 解得x ≈41.67，…(6分)故估计这组数据的中位数为41.67， 估计这组数据的平均数为：x −=20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10+50×0.025×10+60×0.030×10=41.5.…(8分)(3)由(1)知a =5，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性， 男性分别记为a ，b ，c ，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，共有：(a,b)，(a,c)，(a,1)，(a,2)，(b,1)，(b,2)，(c,1)，(c,2)，(1,2)，(b,c)10个基本事件， 记“至少抽中一名女性”为事件A ，共有(a,1)，(a,2)，(b,1)，(b,2)，(c,1)，(c,2)，(1,2)7个基本事件， ∴至少抽中一名女性的概率p =710．【解析】(1)由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n =100，由此有求出a ，b ，x ，y ．(2)设中位数为x ，由频率分布直方图可知x ∈[35,45)，且有0.010×10+0.020×10+(x −35)×0.030=05，得x ≈41.67，由此能估计这组数据的中位数和平均数．(3)第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a ，b ，c ，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少抽中一名女性的概率．本题考查实数值、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P(1,32)，两个焦点分别为F 1，F 2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为3√27，求以F 2为圆心且与直线l相切的圆的方程． 【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P(1,32)，两个焦点分别为F 1，F 2． ∴ca =12，a =2c ，∴a 2=4c 2，b 2=3c 2， 将点P(1,32)的坐标代入椭圆方程得c 2=1， 故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.…(6分)(Ⅱ)设直线l 的方程为x =ty −1，代入椭圆方程得(4+3t 2)y 2−6ty −9=0，判别式大于0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1+y 2=6t4+3t 2，y 1y 2=−94+3t 2，r 0=3√27∴S △AF 2B =S △AF 1F 2+S △BF 1F 2=12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=12|F 1F 2|⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√t 2+14+3t 2，而S △AF 2B =12|AB|r 0+12|BF 2|r 0+12|AF 2|r 0=12r 0(|AB|+|BF 2|+|AF 2|)=12r 0(|AF 1|+|BF 1|+|BF 2|+|AF 2|)=12r 0⋅4a =12×8×3√27=12√27，∴12√t 2+14+3t 2=12√27，解得t 2=1，∵所求圆与直线l 相切，∴半径r =√t 2+1=√2， ∴所求圆的方程为(x −1)2+y 2=2.…(12分)【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为12，且经过点P(1,32)，求出a ，b ，c ，由此能求出椭圆方程．(Ⅱ)设直线l 的方程为x =ty −1，代入椭圆方程得(4+3t 2)y 2−6ty −9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．本题考查椭圆方程、圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切的性质的合理运用．。

考试时间：120分 总分：150分（请将选择题的选项填在机读卡．．．上，填空题及解答题的作答写在答题卷．．．上） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、现有以下两项调查：①某校高二年级共有15个班，现从中选择2个班，检查其清洁卫生状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1∶5∶9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ▲ ）A. 简单随机抽样法，分层抽样法B. 系统抽样法，简单随机抽样法C ．分层抽样法，系统抽样法D ．系统抽样法，分层抽样法2、不等式213x +>的解集为（ ▲ ）A. (1,2)-B. (,1)(2,)-∞-+∞C.(,2)(1,)-∞-+∞D. (2,1)-3、命题“00,()0x R f x ∃∈<”的否定是（ ▲ ）A. 00,()0x R f x ∃∉≥B. ,()0x R f x ∀∉≥C ．,()0x R f x ∀∈≥D ．,()0x R f x ∀∈<4、已知,,a b c R ∈，且0c ≠，则下列命题正确的是（ ▲ ）A. 如果a b >，那么a b c c> B. 如果ac bc <，那么a b < C ．如果a b >，那么11a b > D ．如果22ac bc <，那么a b < 5、在投掷两枚硬币的随机试验中， 记“一枚正面朝上，一枚反面朝上” 为事件A ，“两枚正面朝上” 为事件B ，则事件A ，B （ ▲ ）A. 既是互斥事件又是对立事件B. 是对立事件而非互斥事件C ．既非互斥事件也非对立事件D ．是互斥事件而非对立事件6、若函数3()3f x x ax =+在R 上单增，则a 的取值范围为（ ▲ ）A.[0,)+∞B. (0,)+∞C.(,0]-∞D. (,0)-∞7、根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL （含80）以上时，属醉酒驾车。

2018-2019学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不在曲线x2-xy+2y+1=0上的点的坐标是（）A. B. C. D.2.抛物线y2=12x的焦点到准线的距离等于（）A. 9B. 6C. 3D. 123.双曲线=1的渐近线方程是（）A. B. C. D.4.直线2x+y=2在x轴上的截距为（）A. 1B. 2C.D.5.直线3x-4y+12=0与坐标轴围成的三角形的周长为（）A. 6B. 12C. 15D. 206.实数x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A. 1B.C. 3D.7.设P为双曲线y2-=1上任一点，F（0，-2）则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含8.已知P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆离心率的范围是（）A. B. C. D.9.点M（x，y）满足关系式+=6，则点M的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 线段10.圆C：x2+y2-x+2y=0关于直线l：x+y+1=0对称的圆的方程为（）A. B.C. D.11.设点A（-5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当k=-1时，点M的轨迹方程为；x2+y2=25；②当k=时，点M的轨迹方程为-=1（x≠±5）；③当k=0时，点M的轨迹方程为y=0．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 312.设A，B，M为椭圆x2+=1上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且•=0，则|MN|的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线25x2-16y2=400的实轴长为______．14.已知实数x，y满足，则x2+y2的最大值为______．15.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则+=______．16.点为椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则△F1MF2的内心的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C的圆心在直线3x+2y=0上，并且与x轴的交点分别为A（-2，0），B（6，0）．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线3x+2y=0，直线l交圆C于M，N，求△MCN的面积．18.已知双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，焦距为2．过点M（2，1）作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为AB的中点．（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程．19.某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元．那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润？20.已知圆P过A（5，-2），B（0，3），C（4，1）．（1）求圆P的方程；（2）若过点M（-3，-3）的直线l被圆P所截得的弦长为8，求直线l的方程．21.从抛物线y2=16x上各点向x轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线y=x-4与曲线E相交于A，B两点，求证：OA⊥OB；（3）若点F为曲线E的焦点，过点Q（2，0）的直线与曲线E交于M，N两点，直线MF，NF分别与曲线E交于C，D两点，设直线MN，CD的斜率分别为k1，k2，求的值．22.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，直线AB过原点O交椭圆于A、B、P（-2，1），直线AP，B，P分别交椭圆于C，D，且直线AD，BC交于点M，图中所有直线的斜率都存在．（1）求椭圆方程；（2）求证：k AD•k BD=-；（3）求k MP•k AB的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：曲线x2-xy+2y+1=0，（1，-2）代入方程，可得1+2-4+1=0，所以（1，-2）在曲线x2-xy+2y+1=0上，（2，-3）代入方程，可得4+6-6+1≠0，所以（2，-3）不在曲线x2-xy+2y+1=0上，（3，10）代入方程，可得9-30+20+1=0，所以（3，10）在曲线x2-xy+2y+1=0上，（0，-）代入方程，可得-1+1=0，所以（0，-）在曲线x2-xy+2y+1=0上，故选：B．利用点的坐标代入方程，验证即可．本题考查切线与方程的应用，是基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：抛物线y2=12x的焦点到准线的距离P=6．故选：B．直接利用抛物线的标准方程，转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.【答案】B【解析】解：双曲线的渐近线方程是，即，故选：B．把双曲线的标准方程中的1换成0，即得其渐近线的方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．4.【答案】A【解析】解：因为直线方程为2x+y=2，令y=0得x=1所以直线2x+y=2在x轴上的截距为1，故选：A．直线方程为2x+y=2令y=0得x=1，得到直线2x+y=2在x轴上的截距即可．本题考查直线的横截距的求法：只需令y=0求出x即可，本题如求直线的纵截距，只需令x=0求出y即可，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵线3x-4y+12=0交x轴于点A（-4，0），交y轴于点（0，3），∴|AB|==5，∴直线3x-4y+12=0与坐标轴围成的三角形的周长为3+4+5=12，故选：B．根据题意，求出直线与两坐标轴的交点坐标，利用勾股定理，即可求得．本题给出直线方程，着重考查了直线的方程等知识，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=-2x+z经过点C时，z最小由，可得A（-1，-1），此时z=-3故选：B．作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值越小，z越小，结合图象可求z的最小值本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义7.【答案】A【解析】解：P为双曲线y2-=1上任一点，F（0，-2），则以FP为直径的圆，以双曲线实轴长为直径的圆如图：由双曲线的定义可知：||PF2|-|PF||=2a，Q与O分别为两个圆的圆心，也是所在线段的中点，所以|QO|=|PF|+a，所以两个圆的位置关系是外切．故选：A．画出图形，利用双曲线的定义，转化求解判断即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力数形结合的应用．8.【答案】D【解析】解：P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=a≤a+c，∴e．∴椭圆离心率的范围是[，1）故选：D．利用已知条件以及椭圆的性质，列出不等式求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：点M（x，y），等式+=6的几何意义为动点M到两定点A（0，-3），B（0，3）的距离和为6，则M的轨迹为线段AB．故选：D．直接由+=6的几何意义，即动点M到两定点A（0，-3），B（0，3）的距离和为6得点M的轨迹．本题考查轨迹方程，考查两点间距离公式的应用，是基础题．10.【答案】C【解析】解：法1：以x=-y-1，y=-x-1代换圆C方程中的x，y即可得解x2+y2+3y+1=0，故选C法2：圆C方程标准化为（x-）2+（y+1）2=，得圆心C（），根据特殊对称，得C关于l的对称点C′（0，-）从而得圆C′的方程为x2+（y）2=整理得x2+y2+3y+1=0，故选：C．对于选择题不必使用常规步骤求解，可利用直线方程的特殊性，快速定项．这是一道特殊对称的问题，很容易得解．11.【答案】B【解析】解：设M（x，y），k=•，①当k=-1时，即有x2+y2=25点M的轨迹方程为；x2+y2=25（x≠±5），故①错误；②当k=时，即有-=1，点M的轨迹方程为-=1（x≠±5），故②正确；③当k=0时，即有y=0，点M的轨迹方程为y=0（x≠±5），故③错误．故选：B．设M（x，y），k=•，分别代入化简可得所求轨迹方程，注意x≠±5，即可得到正确结论．本题考查轨迹方程的求法，注意运用直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：设AB：y=kx+m，由•=0，可得ON⊥AB，即有ON：y=-，求得k=-，m=y+，①．将直线y=kx+m代入椭圆x2+=1，可得（4+k2）x2+2kmx+m2-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0．∴，整理得：4+4k2=5m2．再由①，化简可得．即有N的轨迹为以原点O为圆心，以为半径的圆．由圆与椭圆的对称性，可得|MN|的最大值r+a=，最小值为b-r=1-．∴|MN|的取值范围是[1-，2+]．故选：B．设AB：y=kx+m，由•=0，可得ON⊥AB，即有ON：y=-，求得k=-，m=y+，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系结合x1x2+y1y2=0，消去k，m可得N的轨迹方程，再由圆与椭圆的对称性可得|MN|的取值范围．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．13.【答案】8【解析】解：双曲线25x2-16y2=400的标准方程为：，可得a=4，所以双曲线的实轴长为8．故答案为：8．利用双曲线的方程，直接求解实轴长即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】13【解析】解：先根据约束条件画出可行域，而z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P在黄色区域里运动时，点P跑到点C时OP最大当在点C（2，3）时，z最大，最大值为22+32=13，故答案为：13先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．15.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决，根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入+答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=-1．设过F点直线方程为y=k（x-1）代入抛物线方程，得k2（x-1）2=4x．化简后为：k2x2-（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=1根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴+====1故答案为1.16.【答案】（y≠0）【解析】解：如图，设△F1MF2的内心为I，连接MI交x轴于点N，连接IF1，IF2．在△MF1I中，F1I是∠MF1N的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理，有，同理可得，∴，根据等比定理得：．由+=1，得a=3，c=2．∴．设I（x，y），M（x0，y0），N（x1，y1），由焦半径公式可得：，，而|F1N|=x1+2，|F2N|=2-x1，则，可得．∴N（），，，由，得，，∴，代入+=1，得：（y≠0）．故答案为：（y≠0）．设△F1MF2的内心为I，连接MI交x轴于点N，由内角平分线性质定理得到，设I（x，y），M（x0，y0），N（x1，y1），再由焦半径公式及内角平分线定理得到，则N（），然后利用向量关系把M的坐标用I得坐标表示，代入椭圆方程求解．本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题．17.【答案】解：（1）设圆C的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，AB中垂线方程：x=2，则，∴ ，r=|AC|==5，∴圆C的方程为（x-2）2+（y+3）2=25；（2）l：2x-3y=0由得13x2-108=0，∴x1+x2=0，x1x2=-，|MN|==4，圆心C到直线l的距离d==，S△MCN=|MN|d=×4×=2．【解析】（1）先求圆心坐标，即两直线3x+2y=0，AB中垂线x=2的交点坐标，再求半径r=|AC|，得圆的标准程；（2）求弦长|MN|，圆心C到直线l的距离d，利用三角形面积公式可得结果．本题主要考查圆的方程求法，弦长公式，点到直线的距离公式，三角形面积公式，熟练掌握方程和公式是关键．18.【答案】解：（1）∵双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，焦距为2．∴ ，解得a=1，b=，∴双曲线E的方程为=1．（2）∵过点M（2，1）作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为AB的中点．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入双曲线方程，得：，二式相减，得：2（）-（）=0，即4（x1-x2）=2（y1-y2）=0，∴直线l的斜率k==2，∴直线l的方程为y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．【解析】1112（1）由双曲线的渐近线方程为y=±x ，焦距为2，列方程组，求出a=1，b=，由此能求出双曲线E 的方程．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入双曲线方程，利用点差法能求出直线l 的方程．本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查双曲线、直线方程、点差法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：，；（6分） 再设分别生产甲、乙两种肥料各x 、y 车皮产生 的利润为z =10000x +5000y =5000（2x +y ），由得两直线的交点M （2，2）．（10分）令t =2x +y ，当直线L ：y =-2x +t 经过点M （2，2）时，它在y 轴上的截距有最大值为6，此时z =30000．故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30000元．（13分）． 【解析】先设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，根据题意列出约束条件，再利用线性规划的方法求解最优解即可．利用线性规划知识解决的应用题．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．20.【答案】解：（1）设圆P 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得 ，解得，∴圆P 的方程为：x 2+y 2+4y -21=0；（2）圆P 的标准方程为：x 2+（y +2）2=25， 圆心P （0，-2），半径r =5，设直线l ：y +3=k （x +3），即kx -y +3k -3=0，圆心P 到直线l 的距离d = ， ∵d = =3，∴k=-，l：y+3=-（x+3），即4x+3y+21=0；当直线l斜率不存在时，即x=-3，圆心P到直线l的距离为3，弦长为2=8，满足题意．综上可知，直线l的方程为：4x+3y+21=0或x=-3．【解析】（1）设圆的一般方程，把三点坐标代入得方程组，解之可得；（2）斜率存在时，利用半径、弦心距、半弦长构成直角三角形可得，斜率不存在也满足题意．本题考查圆的方程求法，方法是待定系数法；考查了半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用．本题需注意斜率不存在的情况．21.【答案】（1）解：设垂线段的中点G（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，垂足E（x0，0），∵G是PE的中点，∴x0=x，y=y0，∵点P在抛物线上，∴y02=16x，即4y2=16x，∴y2=4x，∴所求曲线E的方程为：y2=4x；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得x2-12x+16=0，∴由韦达定理可知：x1+x2=12，x1•x2=16．∴y1•y2=（x1-4）（x2-4）=x1•x2-4（x1+x2）+16=16-4×12+16=-16．∴=-1，∴OA⊥OB；（3）解：设直线MN的方程为x=my+2，M（x3，y3），N（x4，y4）．联立，得y2-4my-8=0．△=16m2+32＞0，y3+y4=4m，y3y4=-8．∵点M在抛物线E：y2=4x上，∴点M的坐标（，y3），∴k MF=，∴直线MF的方程为：y-0=（x-1），即x=，与y2=4x联立，解得C（，-），同理可得D（，-），∴，=．13∴=4．【解析】（1）设出垂线段的中点为G（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可求曲线E的方程；（2）将直线y=x-4代入抛物线方程，求得x1+x2，x1•x2，代入直线方程求得y1•y2，由=-1即可证明OA⊥OB；（3）设直线MN的方程为x=my+2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的方程，利用根与系数的关系求得M，N的纵坐标的和与积，分别写出MF，NF的方程，与抛物线方程联立求得C，D的坐标，求得直线MN，CD的斜率k1，k2，则的值可求．本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，∴，2b=2，结合a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆方程为：．（2）证明：可设A（x，y），B（-x，-y），D（x0，y0）．∴，⇒．同理．∴k AD•k BD=．（3）设M（x3，y3），P（x4，y4），，，由（2）可得k AD•k BD=-，k AC•k BC=-；∴，．⇒（）；=-14两式相减可得2y（y4-y3）=2（-）x（x4-x3）．∴，∴k MP•k AB=．【解析】（1）可得，2b=2，结合a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可得椭圆方程；（2）可设A（x，y），B（-x，-y），D（x0，y0）．⇒.．∴k AD•k BD=．（3）设M（x3，y3），P（x4，y4）由（2）可得k AD•k BD=-，k AC•k BC=-，即，．两式相减可得2y（y4-y3）=2（-）x（x4-x3），即k MP•k AB=．本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，转化思想，计算能力，属于难题．15。

又 D 为 AC 中点,从而 DO // AB1
………3 分
∵ AB1 平面 BDC1 , DO 平面 BDC1
∴ AB1 // 平面 BDC1
………5 分
（Ⅱ）建立空间直角坐标系 B xyz 如图所示,
zB 1
C1
O
B
x
D Cy
A
则 B(0, 0, 0) , A(
3,1, 0) , C(0, 2, 0) , D(
f
x0
m
3 cos x0 0 x0 k k Z
m
m
2
x0 m
k 1,kZ 2
x0 m
k1 2
1 2
x0
m 2
x02
f
x0
2
m2 4
3.
x02
f
x0 2
m2
m2
m2 4
3
3m2 4
3
m
2或m
2.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 50
14. , 4 说明：不写为集合的形式扣 2 分
15.
,
0
1
e
16．
3 4
，3 2
16．解：由
f
x
x2
2 3
ax3
a
0, x R.
f
0
f
3 2a
0
当 x
0，23a
时，
f
x
0;
当
x
3 2a
,
时，
f
x
0.
设集合 A
f
x
x 2,
,
B
f

2 5 5
]
B. D.
[1 ‒ [1 ‒
2 5 5
,2 + ,2 ‒
2 5 5 2 5 5
]
[1,1 +
2 5 5
2 5 5
]
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 双曲线 25x2-16y2=400 的实轴长为______． 2������ + ������ ‒ 2 ≥ 0 ������ ‒ 2������ + 4 ≥ 0 14. 已知实数 x，y 满足 3������ ‒ ������ ‒ 3 ≤ 0 ，则 x2+y2 的最大值为______．
2018-2019 学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷 （理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 不在曲线 x2-xy+2y+1=0 上的点的坐标是（ ）
A. (1, ‒ 2)
2.
B. (2, ‒ 3)
C. (3,10)
D.
(0, ‒ 2)
1
抛物线 y2=12x 的焦点到准线的距离等于（ ）
A. 0
12. 设 A，B，M 为椭圆
B. 1
������2 x2+ 4 =1
C. 2
D. 3
上的三个点，且以 AB 为直径的圆过原点 O，点 N 在
⃗ ⃗ 线段 AB 上，且������������•������������=0，则|MN|的取值范围是（ ）
A. C.
[1 ‒
2 5 5
,1 + ]
2 2 A. ������ + ������ + 4������ ‒ 3������ + 4 = 0 2 2 C. ������ + ������ + 3������ + 1 = 0 2 2 B. ������ + ������ ‒ 2������ + ������ = 0 2 2 D. ������ + ������ + 2������ ‒ ������ = 0

1 (1 2
1 2
1 2
1 3
1 1) 1 (1 1), n 1 n 2 n
ln 22 24
ln 32 34
... ln n2 n4
(n
1)
(Leabharlann 1 221 32...
1 n2
)
1 1 2n2 n3 1
(n 1 ) (1 )
.
2n
2n
所以当
n
N
,
n
2
时，
ln 2 24
ln 3 34
ln n n4
，
ln 32 34
1
1 32
,...,
ln n2 n4
1
1 n2
.
将以上各式相加得
ln 22 24
ln 32 34
...
ln n2 n4
(n 1)
(
1 22
1 32
...
1 n2
)
当 n N,n
2 时，
1 n2
1 2n(n 1)
1( 1 2 n 1
1 ), n
1 22
1 32
...
1 n2
当 x 1时， a R .
当1 x 4时， a x 1.而 y x 1在 x 4 时， ymax 5 ，则 a 5.
综上 a 5.
……12 分
20.解：（1）由已知得，
an1
n 1 n
an
1 n
,
又
a1
3,
所以 a2 5, a3 7, a4 9 .
……3 分
（2）猜想 an 2n 1.证明：
（lnk(
k 1） 1)3
2k 2
2k 4k

成都七中高2020届高二下期入学考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共12题，每题5分，满分60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卷上）1．抛物线2=4y x 的准线方程为（ ）A ．1y =-B ．1y =C ．1x =-D ．1x =2．双曲线221124x y -=的焦距为（ ）A．B ． 8C．D ．43．过点(2,1)的直线中，被圆22(1)(2)5x y -++=截得的最长弦所在的直线方程为（ ）A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝04．已知p：“a =q ：“直线0x y -=与圆22()1x y a +-=相切”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．为了测试小班教学的实践效果，任课教师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计 如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，则观察茎叶图可知（ ）A ．A x <B x ， 2A s <2B s B ．A x >B x ， 2A s <2B sC ．A x <B x ， 2A s >2B sD ．A x >B x ， 2A s >2B s6．某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只限参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：其中::2:3:5a b c =，全校参与登山的人数占总人数的60%，为了了解学生对本次活动的满意程度， 现用分层抽样从中抽取了一个100人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取（ ）A.6人B.12人C.18人D.24人7．在区间[0，2π]上随机取一个数x ，则事件“sin cos x x ≥”发生的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．238．右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么两个空白框中可以分别填入（ ） A ．A >1000? 和 n =n +1 B ．A >1000? 和 n =n +2 C ．A ≤1000? 和 n =n +1 D ．A ≤1000? 和 n =n +29．双曲线221916x y -=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线l ，则点A 到直线l 的距离为（ ）A. 815B. 325C. 3215D. 8510．已知椭圆的左焦点为1F ，有一质点A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射（无论经过几次反射速率始终保持不变），若质点第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e 为（ ） A.23 B. 34 C. 35 D. 5711．已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点在抛物线C 上．在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ）A ．B ．C D12．如图， 12,A A 为椭圆22195x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A. 7B. 9C. 12D. 14二、填空题（共4题，每题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上）13．若双曲线2213616x y -=的焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 上任意一点，则12PF PF -=________．14．如图是抛物线形拱桥，此时水面宽4米，拱顶离水面2米．当水位下降1米后，则水面宽为_________米．15．已知直线l 过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点，O 为坐标原点．若以线段AB为直径的圆经过点O ，则点O 到直线AB 的距离为_________．16．已知椭圆222:1(0)x y a aΓ+=>，圆222:6C x y a +=-在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为1k ，椭圆Γ在点P 处的切线斜率为2k ，则12k k 的取值范围为_________． 三、解答题（共6题，满分70分．第17题10分，第18～22题每题12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷的相应题号的下面）17．命题p ：方程22124x y m m +=+-表示椭圆；命题q ：双曲线222:1(0)4x y C m m -=>的虚轴长于实轴． （1）当简单命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围； （2）当复合命题 “p ∧q ”为真命题时，求实数m 的取值范围．18． 过抛物线x y 82=的焦点作倾斜角为045的直线，交抛物线于A 、B 两点，求：（1）被抛物线截得的弦长AB ； （2）线段AB 的中点到直线02=+x 的距离．19． 2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台SCTV -4“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1） 若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a=+；（2） 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式: 1122211()(),()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb a y bx x x x nx====---===---∑∑∑∑)20．如图，已知圆22:(1)(2)2C x y -+-=，点P 坐标为(2,1)-， 过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ．（1）求直线PA ，PB 的方程； （2）求过P 点的圆的切线长； （3）求直线AB 的方程．21．某市电视台为宣传所在城市，随机对该市15～65岁的人群抽取了n 人调查，回答预设答案的问题“本市著名旅游景点有哪些？”，统计结果如下列表格和频率分布直方图所示：（1）分别求出题设或表格中n ，a ，b ，x 和y 的值；（2）根据频率分布直方图估算这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数；（3）若第1组回答正确的人员中有两名女性，其余均为男性，现从中随机抽取两名，求至少抽中一名女性的概率．22．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 21(a ＞b ＞0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM ―→＝λ1MQ ―→，PN ―→＝λ2NQ ―→．（1）求椭圆的标准方程；（2）若λ1＋λ2＝－3，求证：直线l 过定点，并求出该定点．(第20题)成都七中高2020届高二下期入学考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：1～5：CBAAB 6～10：BCDBD 11～12：CD ． 二、填空题：13．12 14． 15． 16. （3，5）． 三、解答题：17. 解：（1）当命题p 是真命题时，满足20m +>，40m ->，且24m m +≠-时，得24m -<<且1m ≠，即(2,1)(1,4)m ∈-⋃时，方程表示椭圆； ……………5 分 （2）当命题q 是真命题时，满足22b a >，则有420m >>，即(0,2)m ∈时， 虚轴长于实轴， 当复合命题“p ∧q ”为真命题时，则p 、q 都是真命题，则有(0,1)(1,2)m ∈⋃． ……………10分 18. 解：（1）抛物线的焦点为（2，0），则直线方程为：2-=x y ………2分联立方程组得：4,12041228212122==+⇒=+-⇒⎩⎨⎧-==x x x x x x x y x y ………6分 因此 164)(2)(2)()(21221221221221=-+=-=-+-=x x x x x x y y x x AB …………8分（2）法一：该点到02=+x 的距离为：82421=++=x x d ；……………12分法二：线段AB 的中点为)2,2(2121y y x x ++，由（1）可得中点为（6，4）， 所以该点到02=+x 的距离为：8=d ．………………………12分20.解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0．因为圆心C (1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 － － 2k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0． ……………4 分(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 － ＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2，所以|PA |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22． ……………8 分(3)法一：容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0． ……………12 分法二：由四边形对角互补，易知P ,A ,C ,B 四点共圆，且以线段PC 为直径，设该圆圆心为M ，则31(,)22M ，半径122r PC ==，则圆M 标准方程为22315()()222x y -+-=，即2230x y x y +--=， 又知圆C 方程的方程为222430x y x y +--+=，∴ 圆M 和圆C 方程之差即为两相交圆之公共弦所在直线AB 的方程是x －3y ＋3＝0．…………12 分20(0.0101030(0.02010)40(0.03010)50(0.02510)60(0.03010)26.......1212.5941.58x =⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++++=分315,32,,,1,252,),(,),(,1),(,2),(,),(,1),(,2),(,1),(,2),(1,2)10(,1),(,2),(,1),(,2),(,1),(,2),(1,2)7a a b c a b a c a a b c b b c c A a a b b c c =（）由（）知则第一组中回答正确的人员中有名男性，名女性，男性分别记为女性分别为记，先从人中随机抽取人，共有（个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件，共有个7() (1210)P A =基本事件，则分22. 解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3．所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．……………4 分(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝t (y －m )，由PM ―→＝λ1MQ ―→ ，知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝my 1－1．同理由PN ―→＝λ2NQ ―→知λ2＝my 21．∵λ1＋λ2＝－3，∴m y 1－1＋my 2－1＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，……① 联立2233()x y x t y m ⎧+=⎨=-⎩，得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)＞0，……②且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，……③ 将③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，由题意mt ＜0，∴mt ＝－1，满足②，故直线l 的方程为x ＝ty ＋1， 过定点(1,0)，即Q 为定点．……………12 分。

成都七中2018～2019 学年度上期高2020 届数学半期考试试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不在曲线上的点的坐标是（）2.抛物线的焦点到准线的距离等于（）3.双曲线的渐近线方程为（）4.直线在x轴上的截距为（）5.直线与坐标轴围成的三角形的周长为（）6.若x,y满足约束条件，则的最小值为（）7.设P为双曲线上任一点，，则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）相切相交相离内含8.已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）9.点满足关系式，则点M的轨迹是（）椭圆双曲线双曲线的一支线段10.圆关于直线对称的圆的方程为（）.x2+y2+3y+1=011.设点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M的轨迹方程为；x2 9y2②当时，点M的轨迹方程为-=1(x≠±5);25 100③当时，点M的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（）0 1 2 312．设A,B,M为椭圆上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且，则的取值范围是（）⎨⎩二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上)13.双曲线的实轴长为.⎧2x+y-2≥0,14．已知x,y满足约束条件⎪x-2y+4≥0,则的最大值为.⎪3x -y-3≤0.15.直线l过抛物线的焦点F交抛物线于A,B两个点，则1+1= .FA FB16.点为椭圆x 2 y2+ =1上一点，F1,F2为椭圆的两个焦点，则∆F1MF2的内心的轨迹方程为9 5.三、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M,N，求的面积.x2 y218.已知双曲线E:-a2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±，焦距为作直线l交双曲线E于A,B 两点，且M为AB的中点.（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程.19.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t，生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t，现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种肥料，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料，产生的肥料为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？20.已知圆P 过.（1）求圆P 的方程；（2）若过点的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.21.从抛物线上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E .（1）求曲线E 的方程;（2）若直线与曲线E 相交于A ,B 两点，求证：OA ⊥OB ；（3）若点F 为曲线E 的焦点，过点Q (2,0)的直线与曲线E 交于M ,N 两点，直线MF ,NF 分 别与曲线E 交于C ,D 两点，设直线MN ,CD 的斜率分别为k 1,k 2 ，求k 2 的值.k 122.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB 过原点O 交椭圆于A ,B ，，直线AP ,BP 分别交椭圆于C ,D ，且直线AD ,BC交于点M ，图中所有直线的斜率都存在.（1）求椭圆方程；（2）求证：;（3）求的值.成都七中2018～2019 学年度上期高2020届数学半期考试（理科）参考答案一、 选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.814.1315. 116.x 2 5y 2+ =1(y ≠0)4 4三、 解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：,由，得,∴圆心C 为 ,又半径,∴圆C 的方程为.……5分（2）直线l 的方程为：,所以点C 到直线l 的距离为：，∴，∴. ……10分b18.解：（1）由已知得= a2，2c =2 3，解得a =1,b =2.∴双曲线E 的方程为.……4分（2）设直线l 方程为:，，.由，得……6分∴…①……8分∴，由为AB的中点，得，解得，适合①……10分∴直线l的方程为，即……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验∆>0的学生，扣1分.19.解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元，目标函数为,其中x，y满足以下条件：……4分可行域如右图：……6分把变形为，……8分得到斜率为，在y轴上的截距为2z，随z变化的一族平行直线，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大，联立方程得.……10分∴……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.……12分20.解：（1）设圆P的方程为：.∵A,B,C都在圆上,∴, 解得.∴所求圆P的方程为.……6分（2）由，知圆心，半径，如右图，由直线l被圆p截得的弦长为8，得圆心距……8分当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为：,即,∴圆心P到直线l距离，化简得，则.∴直线l方程为：，即.……10分当直线轴时，直线l方程为，代入圆方程得，解得，，∴弦长仍为8,满足题意.……11分综上，直线l的方程为,或.……12分21.解：（1）令抛物线上一点,设.由已知得,∵满足，∴,则，即.∴曲线E的方程为：.……4分（2）由，可得，设，由于∆=122 -4⨯16>0,由韦达定理可知：，，∴，∴OA⊥OB.……8分22.解：（1）由2b=4，得b=2.由e=，得，解得.∴椭圆的方程为.……3分（2）设，则.∴由得：,即，，即. ……7分（3）设,由（2）知,又,,∴,∴…③同理,又, ,∴,∴…④由化简得：,∴，即.……12分。

成都七中2018～2019学年度上期高2020届数学半期考试试题（文科）参考答案一、选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13. 8 14. 2 15. 45 16.2291(0)5y x y +=≠三、解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：x =2,由{x =2 3x +2y =0，得y =−3,∴圆心C 为(2,−3), 又半径r =|AC|=5,∴圆C 的方程为(x −2)2+(y +3)2=25. ……5分（2）直线l 的方程为：2x −3y =0,所以点C 到直线l 的距离为：d =4+9√4+9√13，∴|MN |==4√3，∴S △MCN =12×|MN |×d =12×4√3×√13=2√39. ……10分18.解：（1）由已知得b a =2c =，解得1,a b ==∴双曲线E 的方程为x 2−y 22=1. ……4分（2）设直线l 方程为:y −1=k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).由{y =kx +(1−2k )x 2−y 22=1 ，得(2−k 2)x 2+2k (2k −1)x −(1−2k)2−2=0 (∗)……6分∴{2−k 2≠0 Δ=4k 2(2k −1)2+4(2−k 2)[(1−2k )2+2]>0…①……8分 ∴x 1+x 2=2k (2k−1)k 2−2，由M(2,1)为AB 的中点，得x 1+x 22=k (2k−1)k 2−2=2，解得k =4，适合①……10分∴直线l 的方程为y −1=4(x −2)，即4x −y −7=0……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验0∆>的学生，扣1分.19.解：（1）令抛物线上一点P(x 0,y 0),设E(x,y).由已知得x 0=x,y =12y 0,∵P(x 0,y 0)满足y 2=16x ，∴y 02=16x 0,则4y 2=16x ，即y 2=4x .∴曲线E 的方程为：y 2=4x . ……6分（2）由{y =x −4y 2=4x，可得x 2−12x +16=0， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由于2124160,∆=-⨯> 由韦达定理可知：x 1+x 2=12,x 1x 2=16，y 1y 2=(x 1−4)(x 2−4)=x 1x 2−4(x 1+x 2)+16=−16，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， ∴OA ⊥OB . ……12分20.解：设生产甲种肥料x 车皮，乙种肥料y 车皮，能够产生利润z 万元，目标函数为z =x +0.5y ,其中x ，y 满足以下条件：{4x +y ≤1018x +15y ≤66x ≥0y ≥0……4分 可行域如右图：……6分把z =x +0.5y 变形为y =−2x +2z ，……8分得到斜率为−2，在y 轴上的截距为2z ，随z 变化的一族平行直线，当直线y =−2x +2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大，联立方程{4x +y =1018x +15y =66,得M(2,2). ……10分 ∴z max =2+1=3. ……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元. ……12分21.解：（1）设圆P 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.∵A ,B ,C 都在圆上,∴ {29+5D −2E +F =09+3E +F =017+4D +E +F =0 , 解得{D =0E =4F =−21. ∴所求圆P 的方程为x 2+y 2+4y −21=0. ……6分（2）由x 2+(y +2)2=25，知圆心P(0,−2)，半径r =5，如右图，由直线l 被圆p 截得的弦长为8，得圆心距d =22=3 ……8分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为：y +3=k(x +3),即kx −y +3k −3=0,∴圆心P 到直线l 距离d =|3k−1|2=3，化简得−6k =8，则k =−43. ∴直线l 方程为：y +3=−43(x +3)，即4x +3y +21=0. ……10分 当直线l ⊥x 轴时，直线l 方程为x =−3，代入圆方程得y 2+4y −12=0，解得y 1=−6，y 2=2，∴弦长仍为8,满足题意. ……11分 综上，直线l 的方程为4x +3y +21=0,或x =−3. ……12分22.解：（1）由2b =4，得b =2.由e =√53=c a ，得a 2−4a 2=59，解得a 2=9. ∴椭圆的方程为x 29+y 24=1. ……3分（2）设A (x 0,y 0),D (x 1,y 1)，则B (−x 0,−y 0).∴{x 029+y 024=1…①x 129+y 124=1…②由①−②得：(x 0−x 1)(x 0+x 1)9+(y 0−y 1)(y 0+y 1)4=0, 即(x 0−x 1)(x 0+x 1)9=−(y 0−y 1)(y 0+y 1)4，−49=(y 0−y 1)(y 0+y 1)(x 0−x 1)(x 0+x 1)， 即k AD ∙k BD =−49. ……7分（3）由（2）知k AD ∙k BD =−49，设A (3cos θ,2sin θ),则B (−3cos θ,−2sin θ).又k BD =k BP =2sin θ1+3cos θ,则k AD =−2(1+3cos θ)9sin θ, ∴直线AD 方程为：y −2sin θ=−2(1+3cosθ)9sinθ(x −3cos θ) …③ 同理k BC ∙k AC =−49,又k AC =k AP =2sin θ3cos θ−1,则k BC =−2(3cosθ−1)9sinθ,∴直线BC 方程为：y +2sin θ=−2(3cos θ−1)9sin θ(x +3cos θ)…④ 由③−④得：−4sin θ=−29sin θ[(1+3cos θ)(x −3cos θ)−(3cos θ−1)(x +3cos θ)],化简得x =9.∴点M 在定直线x =9上. ……12分。

四川省成都市七中育才学校2018-2019学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知的展开式中的系数为，则（）A. 1B.C.D.参考答案：D【分析】由题意可得展开式中x2的系数为前一项中常数项与后一项x的二次项乘积，加上第一项x 的系数与第二项x的系数乘积的和，由此列方程求得a的值．【详解】根据题意知，的展开式的通项公式为，∴展开式中含x2项的系数为a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故选：D．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式是解决此类问题的关键．2. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（）A．y2=4x B．y2=8x C．y2=3x D．y2=6x参考答案：D【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p，即可得出结论．【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=，联立抛物线方程整理可得3x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=p，x1x2=，∴|x1﹣x2|==p，又|AB|==8求得p=3，∴抛物线的方程为y2=6x．故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的应用，两点间的距离公式的应用．解题的时候注意利用好韦达定理，设而不求，找到解决问题的途径．3. 设a，b， c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论正确的是（）A . a+c>b+d B. a-c>b-d C. ac>bd D.参考答案：A略4. 下列四个关系式中，正确的是（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是A． B. C. D. 参考答案：B略6. 集合，，，则集合的元素个数为（）A. B. C. D.参考答案：B7. 是的等差中项，是的正的等比中项，大小关系是（）A. B. C. D.大小不能确定参考答案：A8. 以下三个命题：①“”是“”的充分不必要条件；②若为假命题，则，均为假命题；③对于命题：，使得；则是：，均有.其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个参考答案：B【分析】①求出不等式的解集然后再判断两集合的关系，从而得出结论.②用联结的两个命题，只要有一个为假则这个复合命题即为假.③根据特称命题的否定为全称命题判断.【详解】①不等式，解得或，所以，，“”是“”的充分不必要条件.①正确；②若为假命题，则，至少有一个为假，故②错误；③命题：使得的否定为，均有.③正确，故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，简单逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定，属于基础题。

成都七中2019—2020学年度下期高2018级半期考试高二数学试卷(理科)考试时间：120分钟 满分：150分 命题人: 审题人：一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知复数12z i =-，则=z （ ）（A（B ）1+2i （C ）12+55i （D ）1255i - 2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,3A -关于yOz 平面对称的点的坐标是（ ） （A ）()2,1,3 （B ） ()2,1,3-- （C ）()2,1,3- （D ）()2,1,3--3.在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ= （B ）2θπ= （C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ 4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下面判断正确的是（ ） （A ）在区间(－2,1)上f (x )是增函数 （B ）在区间(1,3)上f (x )是减函数 （C ）在区间(4,5)上f (x )是增函数（D ）当x ＝2时，f (x )取到极小值 5. 函数()2cos f x x x =+在 ） （A ）0 （B ）6π （C ）3π （D ）2π 6. 已知实数x y z 、、满足236x y z ++=，则222+x y z +的最小值是（ ）（A（B ）3 （C ）187（D ）67．成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 （ ）（A）2332cm （B ）24cm （C ）232cm （D ）223cm 8.若3211()232f x x x ax =-++在(1,)+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,0]-∞ （B ）(,0)-∞ （C ）[0,)+∞ （D ）(0,)+∞9.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2+2+2+中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2+x x =确定=2x ，则11+=11+1+是（ ）（A ）1+52 （B ）512- （C ）512-- （D ）152- 10.二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点， AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ， 且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为（ ）（A ）2a （B ）22a （C ）5a （D ）3a11.已知函数()f x 的导数()f x '满足()()()f x xf x f x ''+>-对x R ∈恒成立，且实数,x y 满足()()()()xf x yf y f y f x ->-，则下列关系式恒成立的是（ ）（A ）331111x y <++ （B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）x yx y e e < （D ）sin sin x y x y ->-12.设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）()(),66,-∞-⋃+∞ （B ）()(),22,-∞-⋃+∞ （C ）()(),44,-∞-⋃+∞ （D ）()(),14,-∞-⋃+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.54xdx =⎰.14.不等式152x x ---<的解集是 .15.已知函数()211,0,2ln ,0.x e x x x ef x x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪>⎩若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m 的取值范围是 .16.已知函数()()2320,.3f x x ax a x R =->∈若对任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得()()121f x f x ⋅=，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分 17.（本小题满分10分）已知函数311()32f x x =+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）求过点12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线方程．18.（本小题满分12分）如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面是正三角形ABC ，2=AB .四边形11BCC B是矩形，二面角1A BC C --是直二面角.（Ⅰ）点D 在AC 上运动，当点D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ； （Ⅱ）当//1AB 平面1BDC 时，求二面角D BC C --1的余弦值.C 1B 1D CBA19.（本小题满分12分）已知直线l 的参数方程为()1cos 0sin x t t y t ααπα=+⎧≤<⎨=⎩为参数，，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin .ρρθρθ+=+（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于A B 、两点，且AB =求α的值．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的导函数．若()()()()11,,n ng x g x g x g g x n N *+==∈⎡⎤⎣⎦．（Ⅰ）求()n g x 的表达式；（Ⅱ）求证：()()()()2222211213111n g g g g n n -+-+-++-<+，其中n N *∈．21.（本小题满分12分）已知函数()()21ln 12f x a x a x x =-++-，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当0a >时，若()212f x x ax b ≥-++恒成立，求1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，实数b 的最大值．22.（本小题满分12分）已知函数()ln xe f x ax x x=-+． （Ⅰ）1a =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若211,42e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值()g a 的取值范围．成都七中2019～2020学年度下期2021届高二半期考试数学试卷（理科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12.解：由()f x 的极值为()203f x =⎡⎤⎣⎦，()()002x x f x k k Z mmmπππππ'==∴=+∈000111,2222x xm k k Z k x m m ∴=+∈∴=+≥⇒≥ ()()222222222000033.332 2.444m m m x f x x f x m m m m ∴+≥++<⇒>+⇒>⇒><-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.5014.(),4-∞说明：不写为集合的形式扣2分 15.(]1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭16． 3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，16．解：由()()2320,.3f x x ax a x R =->∈()()3002f fa ∴==当()302x a∈，时，()0;f x >当3,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0.f x < 设集合()(){}()()()12,,1,,0,A f x x B x f x f x ⎧⎫⎪⎪=∈+∞=∈+∞≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭若对任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得()()121f x f x ⋅=，等价于.A B ⊆ 显然0.B ∉①当332,024a a ><<即时，由302f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知0,0A B ∈∉，不满足A B ⊆； ②当33312,242a a ≤≤≤≤即时，由()20f ≤，且此时()f x 在()2,+∞上递减，()()(),2,0.A f A ∴=-∞⇒⊆-∞由()10f ≥，得()f x 在()1,+∞上取值范围包含(),0-∞.A B ∴⊆③当331,22a a <>即时，由()10f <，且此时()f x 在()1,+∞上递减，()()()1,0,,2,1B A f f ⎛⎫∴==-∞ ⎪ ⎪⎝⎭不满足A B ⊆. 综上，33.42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，三、解答题：（本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分） 17.解：（Ⅰ）由函数311()32f x x =+，则2()f x x '=． 曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率()11,k f '== 故切线方程为51,6610.6y x x y -=-∴--= 故所求三角形的面积1111.26672S =⨯⨯= ………5分（Ⅱ）由点12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭及311()32f x x =+，则811(2)322f =+≠，不妨设切点为()00,P x y ，则()()20000300000003111193222122k f x x x x y x y y y k x ⎧'⎪====⎧⎧⎪⎪⎪⎪=+⇒⎨⎨⎨==⎪⎪⎪⎩⎩⎪-=-⎪⎩或 …………8分 故切线方程为1182350.2y x y =--=或 …………10分（漏解扣2分）18. 解：（Ⅰ）当D 为AC 中点时,有//1AB 平面1BDC ………2分 连结1B C 交1BC 于O ,连结DO∵四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点又D 为AC 中点,从而1//DO AB ………3分 ∵1AB ⊄平面1BDC ,DO ⊂平面1BDC∴//1AB 平面1BDC ………5分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -如图所示,则(0,0,0)B ,(3,1,0)A ,(0,2,0)C ,33(,,0)22D 1(0,2,23)C …6分 所以33(,,0)22BD =,1(0,2,23)BC =. ………7分 设为平面1BDC 的法向量,则有330222230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩, 即33x z y z=⎧⎪⎨=-⎪⎩ ………8分 令1=z ,可得平面1BDC 的一个法向量为1(3,3,1)n =-. …………9分 而平面1BCC 的一个法向量为2(1,0,0)n = …………10分1212123313cos ,1313||||n n n n n n ⋅<>===，则二面角D BC C --1的余弦值为13133 …………12分 （其他建系方式也可以）19.解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+，知圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=． ……………………4分 （Ⅱ）解法1：将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程222410x y x y +--+=中，有),,(1z y x n =C 1B 1D C BAOyxzC 1B 1D CBA24sin 0t t α-=．设A B 、两点对应的参数分别为12,t t ，则12124sin 0t t t t α+=⎧⎨=⎩． ……………………8分由12124sin AB t t t t α=-==+==，得2sin .33ππααα=⇒==或 ……………………12分 解法2：化为直角坐标方程求解．20.解：（Ⅰ）由题意可知，(),0.1xg x x x=≥+ 由已知()()()()12131,,,11121311xx x x x x g x g x g g x g g x x x x xx x⎛⎫+======⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭++， 猜想(),.1n xg x n N nx*=∈+ ……………………2分下面用数学归纳法证明． ①当1n =时，()11xg x x=+，结论成立； ……………………1分②假设()1,n k k k N *=≥∈时结论成立，即().1k x g x kx=+ 那么，当()11,n k k k N *=+≥∈时，()()()()()1111111k k k k xg x x kx g x g g x x g x k x kx++====⎡⎤⎣⎦+++++，即结论成立． 由①②可知，结论对n N *∈成立． ……………………6分 （Ⅱ）证明：(),0.1xg x x x=≥+()()221111111x g x g n x x n∴==-⇒-=-++． ……………………8分()()()()()222222222222211213111111111112311111231111122334111111112231111g g g g n n n n n n n n n n n n n n ∴-+-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭⎡⎤<-++++⎢⎥⨯⨯⨯+⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=⎪+⎝⎭.1+ ……………………12分21.解：（Ⅰ）()()()21ln 12f x a x a x x a R =-++-∈，定义域为()0,+∞．()()()11,0.x a x af x a x x x x---'∴=-++-=> ……………………1分令()0f x '=，则12, 1.x a x ==①当0a ≤时，令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则 1.x >()f x ∴在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减．②当01a <<时，令()0f x '>，则1a x <<；令()0f x '<，则0x a <<或 1.x >()f x ∴在()0,a ，()1,+∞上单调递减；在(),1a 上单调递增．③当1a =时，令()0f x '≤，则()f x 在()0,+∞上单调递减．④当1a >时，令()0f x '>，则1x a <<；令()0f x '<，则01x <<或.x a >()f x ∴在()0,1，(),a +∞上单调递减；在()1,a 上单调递增． ……………5分综上所述，①当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减．②当01a <<时，()f x 在()0,a ，()1,+∞上单调递减；在(),1a 上单调递增． ③当1a =时，()f x 在()0,+∞上单调递减．④当1a >时，()f x 在()0,1，(),a +∞上单调递减；在()1,a 上单调递增． ………6分（Ⅱ）()()21ln 12f x a x a x x =-++-且当0a >时，()212f x x ax b ≥-++恒成立ln b a x x ∴≤-+恒成立 (7)分令()ln ,0g x a x x x =-+>，即()min .b g x ≤()()10,a x a g x a x x-'=-=> ()g x ∴在()0,a 上单调递减；在(),a +∞上单调递增， ()()min ln .g x g a a a a ∴==-+1ln ,,12b a a a a ⎡⎤∴≤-+∈⎢⎥⎣⎦． ………………9分令()1ln ,,1,2h a a a a a ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦()()ln 0,h a a h a '∴=-≥∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()min 1ln 21ln 21,222h a h b ++⎛⎫∴==∴≤ ⎪⎝⎭，即b 的最大值为ln 212+． ……………12分22.解：（Ⅰ）当1a =时，()()ln 0xe f x x x x x=-+> ()()()221111.x xe x xf x e x x x x--'∴=-+=- ……………1分令()xh x e x =-，则当()0,x ∈+∞时，()10xh x e '=-> ，()()()0,01,.x h x h e x ∴+∞>=>在上，即 (2)分（未证明，扣1分）令()0,f x '=则1x =，经检验，在()0,1上()0f x '<，()f x 单调递减；在()1,+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．∴当1x =时，函数()y f x =取得极小值1e -，无极大值． ……………4分（未注明无极大值，扣1分）（Ⅱ）()()()2110x e x f x a x x x-'=-+>， 令()()()211()0x e x p x f x a x x x-'==-+>， 则()()()23220.x e x x x p x x x -+-'=> (6)分由（Ⅰ）知，当()0,x ∈+∞时，,x e x > ()()()222222210x e x x x x x x x x x -+->-+-=-≥， ()()()232200x e x x x p x x x -+-'∴=>>()f x '∴为定义域上的增函数. ()()22111,110,204242e e a f a f a ⎡⎤''∈+∴=-+≤=-+≥⎢⎥⎣⎦∴方程()0f x '=在()0,+∞上有唯一解. ………………8分设()0f x '=的解为0x ，则在()00,x 上()0f x '<，在()0,x +∞上()0f x '>，且01 2.x ≤≤()f x ∴的最小值()()00000ln x e g a f x ax x x ==-+． 由()00f x '=，得()0020011,x e x a x x -=+代入()g a 得， ()()()[]()00000000020000121ln 1ln 1,2.x x x e x e x e g a x x x x x x x x ⎡⎤--=-++=-+∈⎢⎥⎣⎦……10分令()()[]()21ln 1,2x e x x x x x ϕ-=-+∈，则()()2222.x e x x x x x ϕ--+'=()2222111x x x -+-=---≤-()2220,x x e x x x x e ∴-+-+≤-< 故()x ϕ为[]1,2上的减函数． ()()()()[]21ln 21,1.x g a e ϕϕϕ∴∈∴∈--⎡⎤⎣⎦， ……12分。

2018-2019学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不在曲线x2-xy+2y+1=0上的点的坐标是（）A. B. C. D.2.抛物线y2=12x的焦点到准线的距离等于（）A. 9B. 6C. 3D. 123.双曲线=1的渐近线方程是（）A. B. C. D.4.直线2x+y=2在x轴上的截距为（）A. 1B. 2C.D.5.直线3x-4y+12=0与坐标轴围成的三角形的周长为（）A. 6B. 12C. 15D. 206.实数x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A. 1B.C. 3D.7.设P为双曲线y2-=1上任一点，F（0，-2）则以FP为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含8.已知P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆离心率的范围是（）A. B. C. D.9.点M（x，y）满足关系式+=6，则点M的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 线段10.圆C：x2+y2-x+2y=0关于直线l：x+y+1=0对称的圆的方程为（）A. B.C. D.11.设点A（-5，0），B（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当k=-1时，点M的轨迹方程为；x2+y2=25；②当k=时，点M的轨迹方程为-=1（x≠±5）；③当k=0时，点M的轨迹方程为y=0．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 312.设A，B，M为椭圆x2+=1上的三个点，且以AB为直径的圆过原点O，点N在线段AB上，且•=0，则|MN|的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线25x2-16y2=400的实轴长为______．14.已知实数x，y满足，则x2+y2的最大值为______．15.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则+=______．16.点为椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则△F1MF2的内心的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C的圆心在直线3x+2y=0上，并且与x轴的交点分别为A（-2，0），B（6，0）．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直直线3x+2y=0，直线l交圆C于M，N，求△MCN的面积．18.已知双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，焦距为2．过点M（2，1）作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为AB的中点．（1）求双曲线E的方程；（2）求直线l的方程．19.某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元．那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润？20.已知圆P过A（5，-2），B（0，3），C（4，1）．（1）求圆P的方程；（2）若过点M（-3，-3）的直线l被圆P所截得的弦长为8，求直线l的方程．21.从抛物线y2=16x上各点向x轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线y=x-4与曲线E相交于A，B两点，求证：OA⊥OB；（3）若点F为曲线E的焦点，过点Q（2，0）的直线与曲线E交于M，N两点，直线MF，NF分别与曲线E交于C，D两点，设直线MN，CD的斜率分别为k1，k2，求的值．22.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，直线AB过原点O交椭圆于A、B、P（-2，1），直线AP，B，P分别交椭圆于C，D，且直线AD，BC交于点M，图中所有直线的斜率都存在．（1）求椭圆方程；（2）求证：k AD•k BD=-；（3）求k MP•k AB的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：曲线x2-xy+2y+1=0，（1，-2）代入方程，可得1+2-4+1=0，所以（1，-2）在曲线x2-xy+2y+1=0上，（2，-3）代入方程，可得4+6-6+1≠0，所以（2，-3）不在曲线x2-xy+2y+1=0上，（3，10）代入方程，可得9-30+20+1=0，所以（3，10）在曲线x2-xy+2y+1=0上，（0，-）代入方程，可得-1+1=0，所以（0，-）在曲线x2-xy+2y+1=0上，故选：B．利用点的坐标代入方程，验证即可．本题考查切线与方程的应用，是基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：抛物线y2=12x的焦点到准线的距离P=6．故选：B．直接利用抛物线的标准方程，转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.【答案】B【解析】解：双曲线的渐近线方程是，即，故选：B．把双曲线的标准方程中的1换成0，即得其渐近线的方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．4.【答案】A【解析】解：因为直线方程为2x+y=2，令y=0得x=1所以直线2x+y=2在x轴上的截距为1，故选：A．直线方程为2x+y=2令y=0得x=1，得到直线2x+y=2在x轴上的截距即可．本题考查直线的横截距的求法：只需令y=0求出x即可，本题如求直线的纵截距，只需令x=0求出y即可，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵线3x-4y+12=0交x轴于点A（-4，0），交y轴于点（0，3），∴|AB|==5，∴直线3x-4y+12=0与坐标轴围成的三角形的周长为3+4+5=12，故选：B．根据题意，求出直线与两坐标轴的交点坐标，利用勾股定理，即可求得．本题给出直线方程，着重考查了直线的方程等知识，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=-2x+z经过点C时，z最小由，可得A（-1，-1），此时z=-3故选：B．作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值越小，z越小，结合图象可求z的最小值本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义7.【答案】A【解析】解：P为双曲线y2-=1上任一点，F（0，-2），则以FP为直径的圆，以双曲线实轴长为直径的圆如图：由双曲线的定义可知：||PF2|-|PF||=2a，Q与O分别为两个圆的圆心，也是所在线段的中点，所以|QO|=|PF|+a，所以两个圆的位置关系是外切．故选：A．画出图形，利用双曲线的定义，转化求解判断即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力数形结合的应用．8.【答案】D【解析】解：P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=a≤a+c，∴e．∴椭圆离心率的范围是[，1）故选：D．利用已知条件以及椭圆的性质，列出不等式求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：点M（x，y），等式+=6的几何意义为动点M到两定点A（0，-3），B（0，3）的距离和为6，则M的轨迹为线段AB．故选：D．直接由+=6的几何意义，即动点M到两定点A（0，-3），B（0，3）的距离和为6得点M的轨迹．本题考查轨迹方程，考查两点间距离公式的应用，是基础题．10.【答案】C【解析】解：法1：以x=-y-1，y=-x-1代换圆C方程中的x，y即可得解x2+y2+3y+1=0，故选C法2：圆C方程标准化为（x-）2+（y+1）2=，得圆心C（），根据特殊对称，得C关于l的对称点C′（0，-）从而得圆C′的方程为x2+（y）2=整理得x2+y2+3y+1=0，故选：C．对于选择题不必使用常规步骤求解，可利用直线方程的特殊性，快速定项．这是一道特殊对称的问题，很容易得解．11.【答案】B【解析】解：设M（x，y），k=•，①当k=-1时，即有x2+y2=25点M的轨迹方程为；x2+y2=25（x≠±5），故①错误；②当k=时，即有-=1，点M的轨迹方程为-=1（x≠±5），故②正确；③当k=0时，即有y=0，点M的轨迹方程为y=0（x≠±5），故③错误．故选：B．设M（x，y），k=•，分别代入化简可得所求轨迹方程，注意x≠±5，即可得到正确结论．本题考查轨迹方程的求法，注意运用直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：设AB：y=kx+m，由•=0，可得ON⊥AB，即有ON：y=-，求得k=-，m=y+，①．将直线y=kx+m代入椭圆x2+=1，可得（4+k2）x2+2kmx+m2-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0．∴，整理得：4+4k2=5m2．再由①，化简可得．即有N的轨迹为以原点O为圆心，以为半径的圆．由圆与椭圆的对称性，可得|MN|的最大值r+a=，最小值为b-r=1-．∴|MN|的取值范围是[1-，2+]．故选：B．设AB：y=kx+m，由•=0，可得ON⊥AB，即有ON：y=-，求得k=-，m=y+，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系结合x1x2+y1y2=0，消去k，m可得N的轨迹方程，再由圆与椭圆的对称性可得|MN|的取值范围．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．13.【答案】8【解析】解：双曲线25x2-16y2=400的标准方程为：，可得a=4，所以双曲线的实轴长为8．故答案为：8．利用双曲线的方程，直接求解实轴长即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】13【解析】解：先根据约束条件画出可行域，而z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P在黄色区域里运动时，点P跑到点C时OP最大当在点C（2，3）时，z最大，最大值为22+32=13，故答案为：13先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．15.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决，根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入+答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=-1．设过F点直线方程为y=k（x-1）代入抛物线方程，得k2（x-1）2=4x．化简后为：k2x2-（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有x1x2=1根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴+====1故答案为1.16.【答案】（y≠0）【解析】解：如图，设△F1MF2的内心为I，连接MI交x轴于点N，连接IF1，IF2．在△MF1I中，F1I是∠MF1N的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理，有，同理可得，∴，根据等比定理得：．由+=1，得a=3，c=2．∴．设I（x，y），M（x0，y0），N（x1，y1），由焦半径公式可得：，，而|F1N|=x1+2，|F2N|=2-x1，则，可得．∴N（），，，由，得，，∴，代入+=1，得：（y≠0）．故答案为：（y≠0）．设△F1MF2的内心为I，连接MI交x轴于点N，由内角平分线性质定理得到，设I（x，y），M（x0，y0），N（x1，y1），再由焦半径公式及内角平分线定理得到，则N（），然后利用向量关系把M的坐标用I得坐标表示，代入椭圆方程求解．本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题．17.【答案】解：（1）设圆C的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，AB中垂线方程：x=2，则，∴ ，r=|AC|==5，∴圆C的方程为（x-2）2+（y+3）2=25；（2）l：2x-3y=0由得13x2-108=0，∴x1+x2=0，x1x2=-，|MN|==4，圆心C到直线l的距离d==，S△MCN=|MN|d=×4×=2．【解析】（1）先求圆心坐标，即两直线3x+2y=0，AB中垂线x=2的交点坐标，再求半径r=|AC|，得圆的标准程；（2）求弦长|MN|，圆心C到直线l的距离d，利用三角形面积公式可得结果．本题主要考查圆的方程求法，弦长公式，点到直线的距离公式，三角形面积公式，熟练掌握方程和公式是关键．18.【答案】解：（1）∵双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，焦距为2．∴ ，解得a=1，b=，∴双曲线E的方程为=1．（2）∵过点M（2，1）作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为AB的中点．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入双曲线方程，得：，二式相减，得：2（）-（）=0，即4（x1-x2）=2（y1-y2）=0，∴直线l的斜率k==2，∴直线l的方程为y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为y=±x，焦距为2，列方程组，求出a=1，b=，由此能求出双曲线E的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入双曲线方程，利用点差法能求出直线l的方程．本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查双曲线、直线方程、点差法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：，；（6分） 再设分别生产甲、乙两种肥料各x 、y 车皮产生的利润为z =10000x +5000y =5000（2x +y ），由得两直线的交点M （2，2）．（10分）令t =2x +y ，当直线L ：y =-2x +t 经过点M （2，2）时，它在y 轴上的截距有最大值为6，此时z =30000．故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30000元．（13分）．【解析】先设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，根据题意列出约束条件，再利用线性规划的方法求解最优解即可．利用线性规划知识解决的应用题．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．20.【答案】解：（1）设圆P 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得 ，解得，∴圆P 的方程为：x 2+y 2+4y -21=0；（2）圆P 的标准方程为：x 2+（y +2）2=25，圆心P （0，-2），半径r =5，设直线l ：y +3=k （x +3），即kx -y +3k -3=0，圆心P 到直线l 的距离d =， ∵d = =3，∴k =- ，l ：y +3=-（x +3），即4x +3y +21=0；当直线l 斜率不存在时，即x =-3，圆心P 到直线l 的距离为3，弦长为2=8，满足题意．综上可知，直线l的方程为：4x+3y+21=0或x=-3．【解析】（1）设圆的一般方程，把三点坐标代入得方程组，解之可得；（2）斜率存在时，利用半径、弦心距、半弦长构成直角三角形可得，斜率不存在也满足题意．本题考查圆的方程求法，方法是待定系数法；考查了半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用．本题需注意斜率不存在的情况．21.【答案】（1）解：设垂线段的中点G（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，垂足E（x0，0），∵G是PE的中点，∴x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，∵点P在抛物线上，∴y02=16x，即4y2=16x，∴y2=4x，∴所求曲线E的方程为：y2=4x；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得x2-12x+16=0，∴由韦达定理可知：x1+x2=12，x1•x2=16．∴y1•y2=（x1-4）（x2-4）=x1•x2-4（x1+x2）+16=16-4×12+16=-16．∴=-1，∴OA⊥OB；（3）解：设直线MN的方程为x=my+2，M（x3，y3），N（x4，y4）．联立，得y2-4my-8=0．△=16m2+32＞0，y3+y4=4m，y3y4=-8．∵点M在抛物线E：y2=4x上，∴点M的坐标（，y3），∴k MF=，∴直线MF的方程为：y-0=（x-1），即x=，与y2=4x联立，解得C（，-），同理可得D（，-），∴，=．∴=4．【解析】（1）设出垂线段的中点为G（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可求曲线E的方程；（2）将直线y=x-4代入抛物线方程，求得x1+x2，x1•x2，代入直线方程求得y1•y2，由=-1即可证明OA⊥OB；（3）设直线MN的方程为x=my+2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的方程，利用根与系数的关系求得M，N的纵坐标的和与积，分别写出MF，NF的方程，与抛物线方程联立求得C，D的坐标，求得直线MN，CD的斜率k1，k2，则的值可求．本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，∴，2b=2，结合a2=b2+c2，解得a=3，b=2，∴椭圆方程为：．（2）证明：可设A（x，y），B（-x，-y），D（x0，y0）．∴，⇒．同理．∴k AD•k BD=．（3）设M（x3，y3），P（x4，y4），，，由（2）可得k AD•k BD=-，k AC•k BC=-；∴，．⇒（）；=-两式相减可得2y（y4-y3）=2（-）x（x4-x3）．∴，∴k MP•k AB=．【解析】（1）可得，2b=2，结合a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可得椭圆方程；（2）可设A（x，y），B（-x，-y），D（x0，y0）．⇒.．∴k AD•k BD=．（3）设M（x3，y3），P（x4，y4）由（2）可得k AD•k BD=-，k AC•k BC=-，即，．两式相减可得2y（y4-y3）=2（-）x（x4-x3），即k MP•k AB=．本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，转化思想，计算能力，属于难题．。

2018-2019学年四川省成都市第七中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．复数23i -的虚部为（ ） A ．2 B ．3i - C ．3i D ．3-【答案】D【解析】利用复数定义即可得到虚部. 【详解】复数23i -的虚部为3-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是复数的定义，是基础题. 2．已知()2f x x =，则()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．2xB ．2xC ．()2x ∆D ．x ∆【答案】B【解析】根据导数定义，可得()()()0lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，求导，即可的结论.【详解】根据导数定义，可得()()()0limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，()2f x x =Q ，()2f x x '∴=，()()lim2x f x x f x x x∆→+∆-∴=∆.故选：B . 【点睛】本题主要考查的是导数的定义，考查学生的分析和计算能力，是基础题.3．函数()3223f x x x =--的导数为（ ）A ．()234f x x x '=-B ．()2343f x x x '=--C ．()232f x x x '=-D ．()2323f x x x '=--【答案】A【解析】利用导数的运算法则即可得出. 【详解】()3223f x x x =--Q ， ()234f x x x '∴=-故选：A . 【点睛】本题主要考查的是导数的运算法则，要求学生熟练掌握导数运算法则，考查学生的计算能力，是基础题.4．正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是1CC ，11D B 的中点，则EF 与1AB 所成角的大小为（ ） A ．30° B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出EF 与1AB 所成角的大小. 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()()()()12,0,0,2,2,2,0,2,1,1,1,2A B E F ，()()11,1,1,0,2,2EF AB =-=u u u r u u u r，设EF 与1AB 所成角为θ，则11cos 0EF AB EF AB θ⋅==⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ， 又090θ︒<≤︒Q ，90θ∴=︒.故选：C . 【点睛】本题主要考查的是异面直线所成角的求法，利用向量法求异面直线所成角，考查的是计算能力，是基础题. 5．定积分()20sin cos x x dx π+⎰的值为（ ）A ．0B ．1-C ．2D ．1【答案】A【解析】先确定()sin cos F x x x '=+的函数()F x ，代入即可求出()20sin cos x x dx π+⎰的值.【详解】令()cos sin F x x x =-+，()sin cos F x x x '∴=+， ()()()20sin cos 20110x x dx F F ππ∴+=-=-+=⎰.故选：A . 【点睛】本题主要考查的是简单复合函数的定积分，解题的关键是熟练掌握定积分的相关性质，考查计算能力，是基础题.6．以下不等式在0x >时不成立．．．的是（ ） A ．ln x x < B ．e x x <C ．ln 1x x e +>D ．1x e x >+【答案】C【解析】对,,A B D 分别构造函数，利用导数一一研究其单调性和最值，即可判断，对于C 取特值即可判断. 【详解】对于A ，令()ln f x x x =-，则()111xf x x x-'=-=，当()()0,1,0x f x '∈>，()f x 单调递增，当()()1,,0x f x '∈+∞<，()f x 单调递减，∴()()110f x f ≤=-<，即ln x x <，因此A 正确.对于B ，令()(),1xxf x e x f x e '=-∴=-，当0x >时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,∞+单调递增，()()010f x f >=>，即e x x <，因此B 正确.对于C ，令()ln 1xf x x e =+-，令1x =，则()110f e =-<，不满足ln 1x x e +>，因此C 不正确.对于D ，令()()1,1xxf x e x f x e '=--∴=-，当0x >时，()0f x '>恒成立，()f x 在()0,∞+单调递增，()()00f x f >=，即1x x e +<，因此D 正确. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是利用导数研究其单调性和最值，考查学生构造函数的思想，考查计算能力，是中档题.7．已知P ABC -为正三棱锥，则PA 与BC 所成角大小为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D【解析】取BC 的中点D ，连结AD,PD ，由正棱锥的性质证PD BC ⊥且AD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证出BC ⊥平面PAD ，得BC PA ⊥，即可得直线PA 与BC 所成的角的大小. 【详解】取BC 的中点D ，连结AD,PD ，PB PC =Q ，D 为BC 中点，PD BC ∴⊥. 同理可得AD BC ⊥，,AD PD Q 是平面PAD 内的相交直线，BC ∴⊥平面PAD ，PA ⊂Q 平面PAD ，BC PA ∴⊥，即直线PA 与BC 所成的角的大小为2π. 故选：D . 【点睛】本题在正三棱锥中求异面直线所成角的大小，着重考查了正棱锥的性质、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角的定义等知识，属于基础题.8．在ABC ∆中，1119A B C π++≥；在四边形ABCD 中，1111162A B C D π+++≥；在五边形ABCD 中，11111253A B C D E π++++≥.则在六边ABCDE 中，111111x A B C D E F+++++≥，x 的值为（ ） A ．254π B ．9πC ．64πD ．494π 【答案】B【解析】观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案. 【详解】Q 在ABC ∆中，()21119332A B C ππ++≥=-，在四边形ABCD 中，()21111164242A B C D ππ+++≥=-，在五边形ABCD 中，()211111255352A B C D E ππ++++≥=-，∴在六边ABCDE 中，()21111116962x A B C D E F ππ+++++≥==-. 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是归纳推理，考查学生的分析归纳能力，是基础题.9．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为()5284100c x x=-（80100x <<）.当净化到95%时所需净化费用的瞬时变化率为（ ）元/吨. A ．5284 B ．1056.8C ．211.36D ．105.68【答案】C【解析】根据()c x ，利用导数除法法则求出()c x '，将95代入()c x '即可求得.【详解】5284()100c x x ''⎛⎫= ⎪-⎝⎭25284(100)5284(100)(100)x x x ''⨯--⨯-=-20(100)5248(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-()2528495211.36(10095)c '==-. 故选：C . 【点睛】本题考查复合函数的导数、导数的几何意义及利用导数知识解决相关问题的能力，是中档题.10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60︒，若对角线1A C 的长是棱长的m 倍，则m 等于（ ）A ．2B ．3C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意画出结晶体的图形，利用向量加法的三角形法则求解晶体的对角线的长. 【详解】设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，1AA c =u u u r r，棱长为t ，则两两夹角为60︒，11AC AB AD A A a b c =++=+-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r Q ，22222222122232A C a b c a b c a b a c c b t t t ∴=+-=+++⋅-⋅-⋅=-=u u u r r r r r r r r r rr r r ，1AC ∴=u u u r. m ∴=故选：A . 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了向量加法三角形法则，解答的关键是掌握22||a a =r r，是基础题.11．已知向量sin cos ,tan 24x a x x π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，1,tan 24x b π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，()f x a b =⋅r r ，[]0,x π∈，且()()1f x f x '+=-，则x 的值为（ ）A ．2π B ．4π C ．6π D ．不存在【答案】D【解析】先表示出函数()f x 的解析式，然后对其求导，令()()1f x f x '+=-，即可得答案. 【详解】sin cos ,tan 24x a x x π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r Q ，1,tan 24x b π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，()f x a b ∴=⋅rrsin cos tan tan 2424x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当x π≠时，tan tan tan tan 2424()sin cos 1tan tan 1tan tan2424x x f x x x x x ππππ+-=++⋅-+， tan 1tan 122sin cos sin cos 11tan 1tan22x x x x x x x x +-=++⋅=+--+ ()cos sin f x x x '∴=-，()()2cos 11f x f x x '∴+=-=-，2x π∴=， 当2x π=时，tan 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭无意义，故2x π≠；当x π=时，()sin cos tan tan 2424x x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22tan tan 2424()cos sin 2cos 2cos 2424x x f x x x x x ππππ'⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-++⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()211131f f ππ'∴+=--+-=-≠-.故选：D . 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和三角函数求导运算，是小综合题，向量和三角函数的综合是高考热点要给予重视，是中档题. 12．已知ln 10x axe x x ---≥对0x >恒成立，则a 的范围是（ ）A ．(],1-∞B ．1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,+∞ D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】根据0x >将不等式化为ln 1x x x a xe ++≥，令()ln 1xx x f x xe++=，求出函数()f x 在()0,∞+的最大值即可得出a 的范围.【详解】0x Q >，ln 10x axe x x ---≥，ln 1xx x a xe++∴≥在()0,∞+上恒成立， 令()ln 1xx x f x xe ++=()0x >，则()()211(ln 1)()x x x xx e x x e x exf x x e '⎛⎫+⋅-+++⋅ ⎪⎝⎭=⋅ ()2(1)(ln 1)(1)x xx x e x x x e x e +-+++⋅=⋅()2(1)(1ln 1)x xx e x x xe +⋅---=2(1)(ln )xx x x x e-++=⋅ 令()0f x '=的根为0x ，即()00()00f x x '=>，00ln 0x x ∴+=，即()0000max 000ln 11()x x x x f x f x x e x e ++===⋅⋅，又00ln 0x x +=Q ，00ln 0x x e e +∴=，即00ln 1x x e e ⋅=， 001x x e ∴⋅=，max ()1f x ∴=，1a …∴.故选：C . 【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的最值，解决本题的关键是分离参数，构造函数再利用导数求其最值，考查学生的分析问题解决问题的能力，考查计算能力，是难题.二、填空题 13．复数52i-的共轭复数为______. 【答案】2i -【解析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】()()()5252222i i i i i +==+--+Q， ∴复数52i-的共轭复数2i -. 故答案为：2i -. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是基础题.14．正四面体OABC 的棱长为2，点D 、E 分别是边AB ，OC 的中点，则DE =______. 【答案】2【解析】连接,OD DC ，根据题意可得OD DC =，3OD =，E 为OC 的中点，DE OC ⊥，利用勾股定理求出DE .【详解】连接,OD DC ，Q 正四面体OABC 中点D 是边AB 的中点，OD AB ∴⊥，Q 正四面体OABC 的棱长为2，22213OD ∴-=同理3DC =，OD DC ∴=，Q E 为OC 的中点，DE OC ∴⊥，DE ∴==【点睛】本题主要考查的是正四面体的性质，考查学生的推理能力和计算能力，是基础题.15．设()0f n >（n *∈N ），()24f =，对1n ∀，2n N *∈，()()()1212f n n f n f n +=成立，则()f n =______. 【答案】2n【解析】根据()24f =，对1n ∀，2n N *∈，()()()1212f n n f n f n +=成立，可求出(1),(2),(3)f f f 的值，找出规律总结结论即可. 【详解】(2)4f =Q ，对1n ∀，2n N *∈，()()()1212f n n f n f n +=成立，且()0f n >，2(2)(11)(1)(1)2f f f f ∴=+==，()12f ∴=，213(3)(21)(2)(1)222f f f f =+==⨯=，观察(1),(2),(3)f f f 的值，可猜想()f n 的一个解析式是()2nf n =.下面用数学归纳法进行证明： （1）当1n =时，()12f =成立， （2）假设当n k =时成立，即()2kf k =，则当1n k =+时，()()()111222kk f k f k f ++==⨯=，所以1n k =+时成立，所以()2nf n =.故答案为：2n . 【点睛】本题主要考查了归纳推理，解题的关键是求出()f n 的前几项，同时考查了推理的能力，属于基础题.16．设函数()22ln f x x x x =+-，若关于x 的方程()2f x x x a =++在(]0,2上恰有两个相异实根，则实数a 的范围是______. 【答案】(]1,2ln 2-【解析】根据题意得ln a x x =-，转化为直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，利用导数研究函数()g x 的单调性和最值，即可得出实数a 的范围. 【详解】由()22ln f x x x x =+-及()2f x x x a =++，得ln a x x =-，令()ln g x x x =-，根据题意可得：直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，1()1g x x'=-， 令()0g x '<，得01x <<，此时函数()g x 单调递减， 令()0g x '>，得12x <≤，此时函数()g x 单调递增，所以，当1x =时，函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈取得最小值，值为(1)1g =， 又(2)2ln 2g =-，且当210x e<<时， 2211()22ln 2g x g e e⎛⎫>=+>- ⎪⎝⎭， 故当12ln 2a <≤-时，直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，所以实数a 的范围是(]1,2ln 2-. 故答案为：(]1,2ln 2-. 【点睛】本题主要考查的是函数零点问题，本题解题的关键是转化为两函数图像的交点问题，利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生的分析问题能力，是中档题.三、解答题17．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.【答案】（1）1；（2）8.【解析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；（2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=；（2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=；解法二：21i -Q 是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根， 因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=.【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.18．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于AD 和BC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且2SA AB BC ===，1AD =.（1）求直线SB 与CD 所成角的余弦值； （2）求点C 到平面SBD 的距离. 【答案】（1）105；（2）63d =. 【解析】（1）延长DA 到M ，使得1AM =，连接SM ，BM ，证明//BM CD ，得到SBM ∠（或其补角）是直线SB 与CD 所成的角，取SB 的中点N ，连接MN ，再由题中数据，即可求出结果；（2）由（1）知N 为SB 的中点，连接DN ，BD ，设点C 到平面SBD 的距离为d ，根据题中数据，由等体积法，借助S BCD C SBD V V --=，即可求出结果. 【详解】（1）如图，延长DA 到M ，使得1AM =，连接SM ，BM .由//DM CB ，DM CB =，得四边形BCDM 为平行四边形，从而//BM CD .SBM ∴∠（或其补角）是直线SB 与CD 所成的角.SA ⊥Q 平面ABCD ，SA AB ∴⊥，SA AD ⊥.又2SA AB ==，5SM BM ∴==22SB =取SB 的中点N ，连接MN ，则MN SB ⊥，2BN =则210cos 5BN SBM BM ∠===（2）由（1）知N 为SB 的中点，如图，连接DN ，BD ， 设点C 到平面SBD 的距离为d ，SA ⊥Q 平面ABCD ，SA AB ∴⊥，SA AD ⊥.又2SA AB BC ===，1AD =，22SB ∴=5SD BD ==3DN ∴=11223622SBD S SB DN ∆=⋅=⨯= 又1122222CBDS CB AB ∆=⋅=⨯⨯=，由S BCD C SBD V V --=，得1133BDC SBD S SA S d ∆∆⋅⋅=⋅⋅. 即1122633d ⨯⨯=⨯⨯， 解得26d =.【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，以及点到面的距离，熟记异面直线所成角的概念，用等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型. 19．已知函数()()32111132f x x ax a x =-+-+，a 为实数. （1）当2a ≥时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间[]1,4上是减函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）5a ≥【解析】（1）求出函数()f x 的导函数()f x '，对1a -和1进行比较即可得到()f x 的单调性；（2）根据x 的取值范围，分1x =和14x <≤进行求解，当14x <≤时分离出a ，根据1y x =+的单调性，即可得出a 的取值范围.【详解】 （1）()()()2111f x x ax a x x a '=-+-=---⎡⎤⎣⎦，当11a -=即2a =时，()()210f x x '=-≥，()f x 在R 上单调递增；当11a ->即2a >时，由()0f x '>得1x <或1x a >-，由()0f x '<得11x a <<-.()f x ∴分别在(),1-∞与()1,a -+∞单调递增，在()1,1-a 单调递减.综上所述，当2a =时，()f x 在R 上单调递增；当2a >时，()f x 分别在(),1-∞与()1,a -+∞单调递增，在()1,1-a 单调递减.（2）由已知得()210f x x ax a '=-+-≤在区间[]1,4上恒成立.()211a x x ∴-≥-在区间[]1,4上恒成立.当1x =时，a R ∈. 当14x <≤时，1a x ≥+.而1y x =+在(]1,4x ∈上单调递增，∴4x =时，max 5y =，则5a ≥. 综上5a ≥. 【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将a 分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，是基础题.20．已知数列{}n a 中，13a =，()111n n na n a +=+-. （1）求2a ，3a ，4a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明； （3）求证：数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和16nT <. 【答案】（1）25a =，37a =，49a =.（2）21n a n =+，见解析（3）见解析 【解析】（1）根据题意即可得到2a ，3a ，4a 的值；（2）根据（1）归纳出通项公式，再用数学归纳法证明即可； （3）采用列项法将1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，即可求得其前n 项和，即可证明. 【详解】解：（1）由已知得，111n n n a a n n++=-，又13a =. 所以21111511a a +=-=，32211722a a +=-=，34931133a a +-==. （2）猜想21n a n =+.证明： ①当1n =时，13a =，等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即21k a k =+， 当1n k =+时，()()()()211112112323211k k k a k k k k a k k kkk++-++-+====+=++.1n k ∴=+时，等式成立，由①②可知，21n a n =+成立. （3）证明：令()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 121n n n T b b b b -=++++L1111111112355721212123n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+++⎝⎭L 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 111236<⨯=. 【点睛】本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，用裂项法进行数列求和，裂项求和是解题的难点，考查学生的计算能力，是中档题.21．已知如图，直线PQ 是抛物线22x py =（0p >）和圆C ：()2231x y -+=的公切线，切点（在第一象限）分别为P 、Q .F 为抛物线的焦点，切线PQ 交抛物线的准线于A ，且2PA PF =.（1）求切线PQ 的方程； （2）求抛物线的方程. 【答案】（1）33y x =（2）23x = 【解析】（1）根据抛物线定义得PF PH =，再由2PA PH =可得切线的斜率，再根据圆的性质可得切点Q 坐标，从而得到切线PQ 的方程.（2）设切点()11,P x y ，利用导数的几何意义得出在点P 的切线方程再根据（1）可求得11,x y ，代入抛物线，即可求得p ，从而求得抛物线的方程.【详解】（1）如图，过P 作PH ⊥准线于H.由PF PH =，知2PA PH =，则30PAH ∠=︒.33PQ k ∴=. 设切点()00,Q x y ，又()3,0C ，则0033QC y K x ==-- 又()220031x y -+=②由①②解得052x =，032y =53,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. ∴切线PQ 的方程为3352y x ⎫=-⎪⎝⎭，即33y x =. （2）由抛物线方程22x y p=，求导数得x y p '=，设切点()11,P x y ，则2112x py =.所以点P 处切线方程为()111x y y x x p -=-，即11x y x y p=-. 由（1）可知切线方程为33y x =， 113333x p y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，则113,3x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入2112x py =，得213233p p =⋅，则23p = ∴抛物线方程为243x =. 【点睛】本题主要考查的是抛物线的几何意义，以及直线与圆的位置关系，以及导数的几何意义的应用，抛物线方程的求法，考查计算能力，是中档题. 22．设l 为曲线C ：ln xy x=在点()1,0处的切线. （1）求l 的方程；（2）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方；（3）求证：2444ln 2ln 3ln 231234n n n n n-++++<L （其中n *∈N ，2n ≥）.【答案】（1）10x y --=（2）见解析（3）见解析【解析】（1）求出切点处切线斜率，代入点斜式方程，可以求解；（2）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论； （3）法一，充分利用（2）的结果，对不等式左端进行放大，进一步放大为可以列项相消的形式来证明，法二，利用数学归纳法证明即可. 【详解】 （1）设()ln x f x x =（0x >），则()21ln xf x x-'=（0x >）， 从而曲线在点()1,0处的切线斜率为()11k f '==， 于是切线方程为()011y x -=⋅-，即1y x =-， 因此直线l 的方程为10x y --=. （2）令()()1g x x f x =--（0x >），则除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方等价于()0g x >（任意0x >，1x ≠）恒成立.()g x Q 满足()10g =，且()()221ln 1x xg x f x x-+''=-=（0x >，1x ≠）， 当01x <<时，210x -<，ln 0x <，从而()0g x '<，于是()g x 在()0,1单调递减； 当1x >时，210x ->，ln 0x >，从而()0g x '>，于是()g x 在()1,+∞单调递增. 因此()()10g x g >=（任意0x >，1x ≠），除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方.（3）方法1 由（2）可知ln 1xx x<-（任意0x >，1x ≠）.令2x n =得222ln 1n n n <-，即242ln 11n n n<-. 则242ln 21122<-，242ln 31133<-，…，242ln 11n n n<-. 将以上各式相加得222444ln 2ln 3ln 23n n+++L ()222111123n n ⎛⎫<--+++ ⎪⎝⎭L ，当n *∈N ，2n ≥时，()2111112121n n n n n ⎛⎫≥=- ⎪--⎝⎭， 222111111111111123222312n n n n ⎛⎫⎛⎫∴+++≥-+-++-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭L L ， ()222444222ln 2ln 3ln 11112323n n n n ⎛⎫∴+++<--+++ ⎪⎝⎭L L ()2112311122n n n n n-+⎛⎫≤---= ⎪⎝⎭，所以当n *∈N ，2n ≥时，2444ln 2ln 3ln 231234n n n n n-++++<L ，结论成立.方法2：用数学归纳法证明：①当2n =时，左边4ln 22=，右边2223213428⨯-⨯+==⨯，左边<右边，不等式成立.②假设当n k =（k *∈N ，2k ≥）时，不等式成立，即2444ln 2ln 3ln 231234k k k k k-++++<L ，当1n k =+时，()()4444ln 1ln 2ln 3ln 231k k k k ++++++L ()()24ln 123141k k k k k +-+<++，只需证明()()()()()224ln 1213112314411k k k k k k k k ++-++-++<++（） ()()()()()()2224ln 121311231221414411k k k k k k k k k k k k ++-++-++-⇔<-=+++()()23ln 122141k k k kk ++-⇔<+（）.由（2）可知ln 1xx x<-（任意0x >，1x ≠），第 21 页 共 21 页 则()()ln 1111k k k k +<+-=+（2k ≥）. 又当k *∈N ，2k ≥时，()22222142212222130k k k k k +--=--≥⨯-⨯-=>， 222114k k k+-∴>， ()()()232ln 12211411k kk k k k k ++-∴<<<++（2k ≥）. 所以（）成立，从而（）成立.1n k ∴=+时，不等式成立.由①②可知，当k *∈N ，2k ≥时，2444ln 2ln 3ln 231234n n n n n -++++<L 成立. 【点睛】本题主要考查的是导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，放缩法证明不等式，数学归纳法的应用，考查的是分析问题的能力以及计算能力，是难题.。

P
x0
,
y0
，则
k f x0 x02
y0
1 3
x03
1 2
1 2
y0
k
2
x0
x0 y0
0 1 2
或
x0 3
y0
19 2
故切线方程为 y 1 或18x 2 y 35 0. 2
（漏解扣 2 分）
…………8 分 …………10 分
18. 解：（Ⅰ）当 D 为 AC 中点时,有 AB1 // 平面 BDC1
成都七中 2019～2020 学年度下期 2021 届高二半期考试
数学试卷（文科）答案
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
D
C
B
C
D
D
A
A
D
B
12.解：由 f x m ln x 2x ，故 f ex mx 2ex
3
2019-2020学年四川省成都七中2018级高二下学期期中考试数学（文）试卷
故存在直线 l：x＋y＋4＝0 或 x－y－4＝0 满足题意.
…………12 分
22.解：（Ⅰ）由已知得 f x a 1 ax 1 x 0 ，
xx
①当 a 0 时， f x 0 ， f x 在 0, 上单调递减．
………1 分
②当 a 0 时，令 f x =0 ，则 x 1
a
当x
0,
1 a
时，f
x
0
f

2019-2020学年成都七中高二(下)期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知实数a，b满足(a+i)(1−i)=3+bi(i为虚数单位)，记z=a+bi，则|z|是()A. √3B. √5C. 5D. 252.武汉炼油厂某分厂将原油精练为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A. 8B.C.D.3.已知函数f(x)=f′(1)x2+2x，则f′(2)的值为()A. −2B. 0C. −4D. −64.如图，长方形ABCD，M，N分别为AB，AD上异于点A的两点，现把△AMN沿着MN翻折，记AC与平面BCD所成的角为θ1，直线AC与直线MN所成的角为θ2，则θ1与θ2的大小关系是()A. θ1=θ2B. θ1>θ2C. θ1<θ2D. 不能确定5.已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n,S n)在函数f(x)=∫(x12t+1)dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为()A. a n=2n−2B. a n=n2+n−2C. a n={0,n=12n−1,n≥2D. a n={0,n=12n,n≥26.关于x方程|xx−1|=xx−1的解集为()A. {0}B. {x|x≤0，或x>1}C. {x|0≤x<1}D. (−∞,1)∪(1,+∞)7.在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，则PC与AB成角的大小是()A. 30°B. 60°C. 120°D. 90°8.某市在今年高中学生足球联赛分组中，通过抽签方式，把甲、乙丙、丁四支队伍分到编号为1，2，3，4的四个小组中作为种子队(每组有且只有一个种子队).A，B，C，D四位学生进行如下预测：A预测：乙队在第1小组，丙队在第3小组；B预测：乙队在第2小组，丁队在第3小组；C预测：丁队在第4小组，丙队在第2小组；D预测：甲队在第4小组，丙队在第3小组．如果A，B，C，D四位学生每人的预测都只对了一半，那么在第3小组和第4小组的种子队分别是()A. “丁在第3小组，丙在第4小组”或“甲在第3小组，丁在第4小组B. “丙在第3小组，丁在第4小组或“甲在第3小组，丁在第4小组C. “丁在第3小组，丙在第4小组”或“丁在第3小组，甲在第4小组”D. “丙在第3小组，丁在第4小组”或“丁在第3小组，甲在第4小组9.甲乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)，那么他持有的资金最多可变为()A. 120万元B. 160万元C. 220万元D. 240万元10.已知a⃗,b⃗ 是两个非零向量，且|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |，则下列说法正确的是()A. a⃗+b⃗ =0⃗B. a⃗=b⃗C. a⃗与b⃗ 共线反向D. 存在正实数λ，使a⃗=λb⃗11.如图：在平行四边形中，与交于点，设=()A. B. C. D.12.若(2,+∞)为函数y=2x−a的递增区间，则a的取值范围为()xA. a≥−8B. −8<a<0C. a<−8D. a>0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知为纯虚数，则复数的共轭复数为。