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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.） 1.已知命题:,2,p x R x ∃∈>命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ） A 命题p ⌝是真命题 B 命题q 是真命题 C 命题p q ∨是假命题 D 命题p q ⌝∧是真命题2.“1m =”是“直线y mx m =+与直线2y mx =+平行”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.△ABC 中，若()()0CA CB AC CB +⋅+=，则△ABC 为（ ） A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 无法确定4.如图，一个“半圆锥”的正视图是边长为2的正三角形，侧视图是直角三 角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为（） 3 B 23π3 3π5.若双曲线221mx y -=经过抛物线22y x =的焦点，在双曲线的离 心率为（） 53526.执行右边的程序框图，则输出n 的值为( ) A 6 B ．5 C ．4 D ．3 7. 函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是( )A ．]3,0[πB ．]127,12[ππC ．]65,3[ππD ．],65[ππ8．已知函数()f x =6(3)3(7)(7)x a x x a x ---≤⎧⎨>⎩，，数列{a n }满足a n =f (n )（n∈N +），且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A(1，3)B 9[34，） C [)23，D(2，3) 9. 直线l ：10060x y +-=分别与函数3xy =和3log y x =的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y 则122()y y +=（ ） A 2010 B 2012 C 2014 D 不确定10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知320122012(1)20140a a -+=，32333320174029a a a -+=，则下列结论正确的是（）A 2014201232014,S a a =<B 2014201232014,S a a =>C 2014201232013,S a a =<D 2014201232013,S a a =>二、填空题（本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.） 11.为了解高2014级学生的身体发育情况，抽查了该年级100名年龄为17．5岁—18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如右图：根据上图可得这100名学生中体重在［56．5，64．5］的学生人数是___________人 12.在平面直角坐标系xoy 中，设D是由不等式组10100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是________.13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点,P Q 在棱1CC 上，且1PQ =，则三棱锥P QBD -的体积是____________________. 14. 若2221()sin cos f θθθ=+(())2k k Z πθ≠∈，则()f θ的最小值为____________15.设()f x 为定义在区间I 上的函数.若对I 上任意两点1212,()x x x x ≠和实数(0,1)λ∈，总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-<+-，则称()f x 为I 上的严格下凸函数。
2023学年成都七中高新校区高二数学上学期10月考试卷2023.10总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．直线112y x =-+的一个方向向量是（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,2D ．()2,12．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果错误的是（）A ．()PB =710B ．()0P A B =C ．()7100P B C ⋂=D ．()910P A B ⋃=3．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为（）A ．14，14B ．12，14C ．14，15.5D ．12，15.54．{},,a b c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A ．a ，a b + ，a b -B ．b ，a b +，a b - C ．c ，a b + ，a b - D ．2a b +，a b + ，a b- 5．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离（）A ．等于5aB ．和EF 的长度有关C ．等于D ．和点Q 的位置有关6．设直线l 的方程为66cos 130x y β-+=，则直线l 的倾斜角α的范围是（）A ．[]0,πB ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．πππ3π,4224⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ ，D ．π4,3π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件A 与事件B 对立C ．事件A 与事件B 相互独立D ．()56P A B +=8．在正四棱锥P ABCD -中，若23PE PB = ，13PF PC= ，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）A ．746B ．845C ．745D ．445二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．[多选题]下列命题是真命题的是（）．A ．若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB 与CD是共线向量B ．若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB 与CD不是共线向量C ．若向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上D ．若向量AB 与AC 是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、O 分别是11A B 、11A C 的中点，P 在正方体内部且满足1312423AP AB AD AA =++uu u r uu u r uuu r uuu r，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BEB ．点O 到平面11ABC D 的距离为24C ．平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为D ．点P 到直线AB 的距离为353611．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，π3DAB ∠=，22AB AD PD ==，PD ⊥底面ABCD ，则（）A ．PA BD⊥B ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PCD ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为7712．如图，在正四面体ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，CD （不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A ．对任意点M ，N ，都有MN 与AD 异面B ．存在点M ，N ，使得MN 与BC 垂直C ．对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC共面D ．对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．点(1,2,5)P -到xOy 平面的距离.14．已知过点()2,A m -和点(),4B m 的直线为1l，2l ：21y x =-+，3l ：11y x n n =--，若12l l ∥，23l l ⊥，则m n +的值为.15．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则二面角P BD Q --余弦值的取值范围是．16．已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，3AB AD CD ===，π3ABC ∠=，PA =，M 是线段AB 上一点，且AM AB λ=．过点M作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．18．（1）已知(3,3)A ，(4,2)B -，(0,2)C -，若点D 在线段AB （包括端点）上移动时，求直线CD 的斜率k 的取值范围；（2）求函数sin cos 2y θθ=+，θ∈R 的值域.19．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)证明：1AC BD ⊥；(2)求1BD 与AC 所成角的余弦值.20．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．21．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211Y Y T TY Y T T --=--，其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T ，2T 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y 表示考生的原始分，Γ表示考生的等级分，规定原始分为1Y时，等级分为1T ，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：(1)根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间；(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分.22．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点.(1)求证：OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =.①求二面角C AE B --所成平面角的正弦值；②在线段CE 上是否存在一点M ，使得直线MO 与平面BCP 所成角为30︒？1．B【分析】直接根据方向向量的定义解答即可．【详解】直线112y x =-+的斜率为12-，则选项中()2,1-是直线的一个方向向量，即B 正确．故选：B ．2．C【分析】根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及频率与频数的关系，即可求解．【详解】解：由题意可知，A ，B ，C 为互斥事件，()0P A B = ，()0P B C ⋂=，故B 正确，C 错误，抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，则()2011005P A ==，()70710010P B ==，故A 正确，()()()()179051010P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故D 正确．故选：C ．3．A【分析】把给定数据按由小到大排列，再结合众数、中位数的定义求解作答.【详解】把这组数据按由小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，所以其众数为14，中位数为14.故选：A 4．C【分析】确定()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ ，()()31222a b a b a b +=+--排除ABD ，得到答案.【详解】对选项A ：()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项B ：()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项C ：假设()()c a b a bλμ=++- ，即()()c a bλμλμ=++- ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对选项D ：()()31222a b a b a b+=+-- ，向量共面，故不能构成基底，错误；故选：C 5．A【分析】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，利用线面平行判断出选项B,D 错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.【详解】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，则//PG CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又11//A B 平面PGCD ，所以点1A 到平面PGCD 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则1(0,,0),(0,0,0),(,0,),,0,2a C a D A a a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴(0,,0)DC a = ，1(,0,)DA a a =，,0,2a DP a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设(,,)n x y z = 是平面PGCD 的法向量，则由0,0,n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得0,20,a x az ay ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1z =，则2,0x y =-=，所以(2,0,1)n =- 是平面PGCD 的一个法向量．设点Q 到平面PEF 的距离为d，则155||DA n d n ⋅=，A 对，C 错．故选：A ．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.6．D【分析】当cos 0β=时，可得倾斜角π2α=，当cos 0β≠时，由直线方程可得斜率1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解．【详解】当cos 0β=时，方程为6130+=x ，直线的倾斜角π2α=，当cos 0β≠时，由直线方程可得斜率1tan cos αβ==k ，[]cos 1,1β∈- ，且cos 0β≠，),1(1,[]k ∴∈-∞-+∞ ，即)tan ,1]1,([α∈-∞-+∞ ，又[0,π)α∈，ππ[,)(,422π3π4α∴∈ ，综上，倾斜角α的范围是3π[,4π].4故选：D ．7．C【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A 与事件B 的基本事件可判断A ，B ；根据独立事件的概率公式可判断C ；求出事件A B +的概率可判断D.【详解】对于A ，B ，事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A 与事件B 不互斥，也不对立，A ，B 错误；对于C ，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，事件A ：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为1()2P A =,B ：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为1()3P B =,事件AB 包含的基本事件个数有1个，其概率为1()6P AB =,由于()()()P AB P A P B =,故事件A 与事件B 相互独立，C 正确；对于D ，事件A B +包含的基本事件个数有朝上的点数为2,4,5,6共4个，故()4263P A B +==，D 错误，故选：C 8．B【分析】利用A 、E 、F 、G 四点共面，25PG PD=，由锥体体积公式，求出P AEF P ABCD V V --和P AGF P ABCD V V --的值，即可得P AEFG P ABCDV V --的值.【详解】如图所示，设PG PD λ=，由A 、E 、F 、G 四点共面，设AF x AE y AG =+ ，则()()AP PF x AP PE y AP PG +=+++ ，即()12()()33x AP AB AD AP xAP AB AP y AP y AD APλλ++-=+-++- ，得2120133333x x y y AP AB y AD λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又AP ，AB ，AD 不共面，则203312033103x y y xy λλ⎧--+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：2=5λ，即25PG PD = ，设1h ，2h 分别是点F 到平面PAE 和点C 到平面PAB 的距离，则12h PF h PC =，所以1229P AEF F PAE PAE PAE P ABC C PAB PAB PAB V S PF PA h P S E V V V S h S P C A PB PF PE P PB F PC P PC ----⋅===⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅ ，12P ABC P ABCDV V --=，19P AEF P ABCD V V --=，同理，215P AGF F PAG P ADC C PAD PA V PG PF PG PF PC P V V V PA P C D PD ----=⋅=⋅=⋅⋅=，12P ADC P ABCDV --=，115P AGF P ABCD V V --=，11891545P AEFG P AGF P AEF P ABCD P ABCD V V V V V -----+=+==则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为845.故选：B【点睛】方法点睛：点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.9．AD【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A 项为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，则向量AB ，CD 的方向相同或相反，因此AB 与CD 是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 的方向不确定，不能判断AB 与CD是否共线；C 项为假命题，因为AB ，CD两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB ，AC 两个向量所在的直线有公共点A ，且AB 与AC是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线．故选：AD ．10．BC【分析】建立空间直角坐标系，用向量法直接求解可得．【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系：则(0A ,0,0)，(1B ,0,0)，(0D ,1,0)，1(0A ,0,1)，1(1C ,1,1)，1(0D ,1,1)，1(,0,1)2E ．所以(1,0,0)BA =-uu r ，1(,0,1)2BE =- ，则A 到直线BE的距离15d =，故A 不正确；易知111111(,,0)222C O C A ==-- ，又1(0,1,1)DA =-uuu r ，()()11,0,0,1,1,1AB AC == ，所以1110,0DA AB DA AC ⋅=⋅= ，则平面11ABC D 的一个法向量为1(0,1,1)DA =-uuu r，则点O 到平面11ABC D的距离1121124DA C O d DA ⋅=，故B 正确；1(1,0,1)A B =-uuu r ，1(0,1,1)A D =-uuu r ，11(0,1,0)A D =uuuu r ．设平面1A BD 的法向量为()n x y z =++，则1100n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，得1y =，1x =，所以(1,1,1)n =，所以点1D 到平面1A BD 的距离1133A D n d n ⋅==．因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD的距离，即为，故C 正确；因为1312423AP AB AD AA =++uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以312(,,)423AP = ，(1,0,0)AB = ，则34||AP AB AB ⋅=uu u r uu u ruu u r ，所以点P 到AB的距离56d =，故D 不正确．故选：BC ．11．ABC【分析】由线面垂直的判定定理及异面直线所成角的求法，结合空间向量的应用逐一判断即可得解．【详解】对于选项A ，因为π3DAB ∠=，2AB AD =，由余弦定理可得BD AD =，从而222BD AD AB +=，即BD AD ⊥，由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，可得BD PD ⊥，又,,AD PD D AD PD ⋂=⊂面PAD ，即BD ⊥面PAD ，又PA ⊂面PAD ，即PA BD ⊥，故选项A 正确；对于选项B ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PBD ∠就是PB 与平面ABCD 所成的角，又3tan 3PD PBD BD ∠==，即π6PBD ∠=，故选项B 正确；对于选项C ，显然PCD ∠为异面直线AB 与PC 所成的角，易得25cos 5CD PCD PC ∠==，故选项C 正确；对于选项D ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD =，则(0D ,0,0)，(1A ,0,0)，(0B 30)，(1C -30)，(0P ,0,1)，设平面PAB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11113030x y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则113x z ==即(3,1,3)n =，设平面PBC 的一个法向量为222(,,)m x y z =，则00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则222300z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令21y =，则20x =，23z =3)m =，则27cos ,7m n m n m n ⋅==，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为27，故选项D 不正确.故选：ABC ．12．ACD【分析】A 选项，首先MN 不可能与AD 相交，其次证明AD 与MN 不可能平行，故A 正确；B 选项，证明出BC ⊥平面ADF ，因为直线AB 与CD 分别与平面ADF 的交点为A ，D ，但M ，N 与A ，D 不会重合，故B 错误；C 选项，作出辅助线，得到存在0λ≠，使得()1MN AD BCλλ=+- ，由空间向量性质可知C 正确；D 选项，作出辅助线，对于任意点M ，找到点N ，得到MN 与AD ，BC 所成的角，利用相似和余弦定理得到MN 与AD ，BC 所成的角相等.【详解】A 选项，M ，N 分别是线段AB ，CD （不含端点）上的动点，故MN 不可能与AD 相交，过点M 作ME ∥AD 交BD 于点E ，MN 与ME 相交，故AD 与MN 不可能平行，综上：对任意点M ，N ，都有MN 与AD 异面，A正确；B 选项，取BC 中点F ，连接AF ，DF ，因为四面体ABCD 为正四面体，所以AF ⊥BC ，DF ⊥BC ，因为AF DF F ⋂=，所以BC ⊥平面ADF ，因为直线AB 与CD 分别与平面ADF 的交点为A ，D ，但M ，N 与A ，D 不会重合，故BC 不可能与MN 垂直，B 错误；C 选项，对于任意点M ，作ME ∥AD 交BD 于点E ，过点E 作EN ∥BC 交CD 于点N ，连接MN ，此时MN ME EN =+u u u u r u u u r u u u r，故存在0λ≠，使得()1MN AD BC λλ=+- ，所以对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 共面，C 正确；D 选项，对任意的点M ，在CD 上取点N ，使得CN=AM ，则BM DN =，过点M 作ME ∥AD 交BD 于点E ，过点N 作NF ∥BC 交BD 于点F ，则NME ∠为MN 与AD 形成的角，∠MNF 为MN 与BC 形成的角，且FN=EM ，DE=BF ，由BM=DN ，∠ABD=∠CDB=60°，DE=BF 得：△BMF ≌△DNE ，所以MF=EN ，由余弦定理得：222cos 2MN NF MF MNF MN NF +-∠=⋅，222cos 2MN ME EN NME MN ME +-∠=⋅，由于三边对应相等，故∠MNF=∠NMF ，对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等，D 正确.故选：ACD【点睛】立体几何中动点问题，在点运动过程中求解垂直或平行关系或角度或长度的最值等，需要把点运动到特殊位置或抓住运动过程中的不动量作为解题的突破口.13．5【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案.【详解】点(1,2,5)P -在平面xOy 上的射影是(1,2,0)P '-，则点(1,2,5)P -在平面xOy 距离为5PP '=.故答案为：514．10-【分析】由平行、垂直直线的斜率关系求解即可.【详解】因为12l l ∥，所以422AB m k m -==-+，解得8m =-，又23l l⊥，所以1((2)1n -⨯-=-，解得2n =-，所以10m n +=-.故答案为：10-.15．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】连接AC 、BD 、AD '、A D '，设AC BD O = ，连接OC '、OP ，证明出A D '⊥平面ABC D ''，可知点Q 的轨迹为线段BC '，由二面角的定义可知二面角P BD Q --的平面角为POC '∠，求出cos POC '∠的最小值和最大值，即可得解.【详解】连接AC 、BD 、AD '、A D '，设AC BD O = ，连接OC '、OP，如下图所示：因为//AB C D ''且AB C D ''=，则四边形ABC D ''为平行四边形，因为四边形AA D D ''为正方形，则AD A D '⊥'，因为AB ⊥平面AA D D ''，A D '⊂平面AA D D ''，则ADAB '⊥，因为AB AD A ⋂'=，AB 、AD '⊂平面ABC D ''，所以，A D '⊥平面ABC D ''，因为BC '⊂平面ABC D ''，所以，BC A D ''⊥，因为Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，所以，点Q 的轨迹为线段BC '，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，则BC BD C D ''===因为四边形ABCD 为正方形，AC BD O = ，则O 为BD 的中点，且OC BD '⊥，由勾股定理可得PB PD ==，则OP BD ⊥，所以，二面角P BD Q--的平面角为POC'∠，由图可知，当点P与点A重合时，POC'∠最大，sin60OC BC''==1122OC AC==⨯=因为CC'⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则CC AC'⊥，此时，()cos cosπcos3OCPOC COC COCOC'''∠=-∠=-∠=-=--'；当P与点A'重合时，POC'∠最小，此时，()221 cos cosπ2cos212cos123POC COC COC COC''''∠=-∠=-∠=-∠=-⨯=⎝⎭，又因为函数cosy x=在[]0,π上单调递减，所以，31cos33POC'≤∠≤，因此，二面角P BD Q--的余弦值的取值范围13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.16．13或23【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.【详解】在等腰梯形ABCD中，连接AC，如图，因为//AD BC，3AB AD CD===，π3ABC∠=，则2π3BAD ADC∠=∠=，π6CAD∠=，于是π2BAC∠=，取BC中点1O，连接11,O A O D，则111O A O B O C==，得11,AO B CO D均为正三角形，即有1111O A O B O C O D ===，即1O 是梯形ABCD 外接圆圆心，而O 为四棱锥P ABCD -的外接球球心，因此1O O ⊥平面ABCD ，又PA ⊥平面ABCD ，则1//O O PA ，而PA 为球O 的弦，则过点O 垂直于PA 的平面必过PA 的中点E ，连接,OE OA ，于是OE PA ⊥，而1O A PA⊥，即有1//O A OE，四边形1O AEO为矩形，112O O AE PA ===，因此球O 的半径R OA ==M 的球O 的最小截面圆所在平面必垂直于OM ，而此截面圆半径为，则3OM ==，连接1O M ，在1Rt O OM △中，1O M ==在1AMO 中，1π3BAO ∠=，22211112cos AM O A AM O A BAO O M +-⋅∠=，即有2937AM AM +-=，解得1AM =或2AM =，所以13λ=或23λ=.故答案为：13或23【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.17．(1)证明见解析；【分析】（1）作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，利用勾股定理证明AD BD ⊥，根据线面垂直的性质可得PD BD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】（1）证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF ==，故DE =，BD ==所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，又=PD AD D ⋂，所以BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥；（2）解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD =则()()(1,0,0,,0,0,A B P ，则(((,0,,AP BP DP =-==，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则有0{0n AP x n BP ⋅=-=⋅==，可取)n =，则cos ,n DP n DP n DP⋅==，所以PD 与平面PAB所成角的正弦值为18．【小问1】1k ≤-或53k ≥【小问2】3333⎡-⎢⎣⎦【分析】（1）求出直线AC ，BC 的斜率，数形结合可得答案；（2）利用辅助角公式，结合三角函数的性质求解.【详解】（1）直线AC 的斜率235033AC k --==-，直线BC 的斜率2210(4)BC k --==---，如图所示，点D 在线段AB （包括端点）上移动时，BC k k ≤或AC k k ≤，故直线CD 的斜率的取值范围是：1k ≤-或53k ≥.（2）由sin cos 2y θθ=+，得2cos sin y y θθ+=，所以2sin cos sin()y y θθθϕ=--，其中cos ϕϕ则sin()θϕ-=，由|sin 1()|θϕ≤-1≤，即231y ≤，解得y ≤，所以函数sin cos 2y θθ=+，θ∈R的值域为⎡⎢⎣⎦.19．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）根据向量的线性运算和数量积的运算性质，得到10AC BD ⋅= ，即可得证；（2）求出11||,||,BD AC BD AC⋅ ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】（1） 以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒，1166cos 6018AA AB AA AD AD AB ∴⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，1111111()()())(AC BD AA A B B C AD AB AA AB AD AD AB ∴⋅=++⋅-=++⋅-2211AA AD AA AB AB AD AB AD AD AB =⋅-⋅+⋅+--⋅181836360=--+=，1.AC BD ∴⊥（2）111BD AD DD AB AD AA AB =+-=+- ，AC AB BC AB AD =+=+，1||BD ∴====||AC ==== 11()()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 22113636181836AD AB AA AB AA AD =-+⋅+⋅=-++=，111cos ,6||||BD AC BD AC BD AC ⋅∴===⋅，则异面直线1BD与AC所成角的余弦值为620．（1）（2）25【详解】甲校的男教师用A 、B 表示，女教师用C 表示，乙校的男教师用D 表示，女教师用E 、F 表示，（1）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，有（AD ），（AE ），（AF ），（BD ），（BE ），（BF ），（CD ），（CE ），（CF ），共9种；其中性别相同的有（AD ）（BD ）（CE ）（CF ）四种；则选出的2名教师性别相同的概率为P=；（2）若从报名的6名教师中任选2名，有（AB ）（AC ）（AD ）（AE ）（AF ）（BC ）（BD ）（BE ）（BF ）（CD ）（CE ）（CF ）（DE ）（DF ）（EF ）共15种；其中选出的教师来自同一个学校的有6种；则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=．21．(1)73(2)[85,98](3)91分【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a ，由频率分布直方图中平均数的概念求解平均数；（2）求出等级A 的原始分区间的最低分，又最高分为98，即可得解；（3）利用给定转换公式求出等级分作答．【详解】（1）由10(0.020.030.04)1a a ++++=，可得0.005a =，此次化学考试成绩的平均值为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分．（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[90,100]的占比为5%，位于区间[80,90)的占比为20%，因为成绩A 等级占比为15%，所以等级A 的原始分区间的最低分位于区间[80,90)，估计等级A 的原始分区间的最低分为15%5%90108520%--⨯=，已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间为[85,98]．（3）由9890100908586T T --=--，解得11889113T =≈，该学生的等级分为91分．22．(1)证明见解析(2)①1113；②存在【分析】（1）取AB 的中点D ，可证得OD 面PAC ,DE 面PAC ,从而面ODE 面PAC ,进而得结论；（2）①以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AEB 和平面AEC 的法向量，利用向量夹角公式求解；②设(1)OM OC OE λλ=+- ，（01λ<<），则33,111,22OM λ⎫=--⎪⎭ ，求出平面BCE 的法向量，利用向量夹解公式列出方程求解λ即可.【详解】（1）如图，取AB 的中点D ，连接,OA OB ,∵PO ⊥面ABC ,PA PB =,∴OA OB =,则OD AB ⊥,又AC AB ⊥,∴OD AC ∥,OD ⊄面PAC ,AC ⊂面PAC ,∴OD 面PAC ,∵,D E 分别为,AB PB 的中点，∴DE PA ∥,DE ⊄面PAC ,PA ⊂面PAC ,∴DE 面PAC ,DE OD D = ,,DE OD ⊂面ODE ,∴面ODE 面PAC ,又OE ⊂平面ODE ，所以OE 平面PAC.（2）①以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为3,5PO AP ==，所以4OA ==，又30ABO CBO ∠=∠=︒，4OA OB ==，所以cos 30AD BD OB ==︒=则212AB BD AC ====，则(0,0,0)A，()B ，(0,12,0)C，()2,3P，32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3),(0,12,0)2AE AB AC ===，设平面AEB 的法向量为(),,m x y z =，则3020m AE y m AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则3,0y x =-=，所以()0,3,2m =-，设平面AEC 的法向量(,,)n a b c =，则302120m AE b c m AB b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1a =-，则0c b ==，所以(1,0,n =-，所以cos ,n m n m n m⋅〈〉== .设二面角C AE B --的大小为θ，则11sin 13θ==.②()2,0O ，设(1)OM OC OE λλ=+-，（01λ<<），则33,111,22OM λ⎫=--⎪⎭，()3,2BC BE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，21设平面BCE 的法向量(),,r d e f = ，则120302r BC e r BE e f ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令d =41,3e f ==，所以43r ⎫=⎪⎭，r = ，4r OM ⋅= ，因为sin 30r OM r OM ⋅︒=，所以OM =26018925104252λλ--=，解得λ=（负根舍去），1λ-=，因为222260125160125189(60189)895121313⨯⨯+--=-+60125125142360160142301313⨯⎛⎫=-⨯+=-< ⎪⎝⎭，所以10λ-<，即01λ<<，所以存在点M 满足条件.。
成都七中高2022届高二下期零诊模拟考试数学（文）时间：120分钟 满分：150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.1.设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B ⋃= （）A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2 D.(1,)+∞2．复数z 满足i z i =-)1(（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．21- B ．21C ．i 21-D ．i 213．极坐标系中，直线l 的方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与曲线:2C ρ=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定，与θ有关4．若双曲线C 的中心为坐标原点，其焦点在y 轴上，离心率为2，则该双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．y =B．y x =C ．4y x =±D ．14y x =±5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-，则A 的大小为（） A ．4πB ．3πC ．6πD ．34π6.等差数列{}n a 公差为d (d ≠0)，且满足358,,a a a 成等比数列，则1d a =( )A.12 B.1 C.3 D.27．在圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的区域内的概率为 （） A ．14πB ．34πC ．1πD ．43π8.已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是()算步骤.17. （本小题满分12分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如图所示.（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.18.(本小题满分12分)已知曲线2()ln 1f x x x ax =+-+.（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；（2）对任意的x ∈[1，+∞)，都有()0f x ≥，求实数a 的取值范围.19.(本小题满分12分)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形， AC BD O ⋂=， 1AO ⊥底面ABCD ， 2AB =，13AA =. （1）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求D 点到面B 1BC 的距离.20．(本小题满分12分)已知函数()()ln x f x mx m R x=-∈． （1）若f(x)≤0恒成立，求实数m 的最小值；（2）当0m ≥时，试确定函数()f x 的极值点个数，并说明理由.21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为且经过点(-.点M 是x 轴上一点.过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若||2||,AM MB =且直线l 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求||MN 的长．22．(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (t为参数)，曲线C 的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点，直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求的值. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231θρcos 4=)0,1(P 11PA PB+成都七中高2022届高二下期零诊模拟考试数学（文）1.D 2．B 3．B 4．B 5．A 6.A. 7．C 8.C 9．A 10．B 11．B 12．C 13．1217151311ln +++++>+n n ）（14．6365或336515.{x 丨x ＜-1或x ＞1或x=0} 16．4917.解：（1）由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=. ……4分 （2）因为第1，2，3组共有5050200300++=人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人. ……8分（3）设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从6位同学中抽两位同学有：()()()()()()()()()1234123412(,),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A C A C A C B C B C B C B C C C ， ()()()()()1314232434,,,,,,,,,C C C C C C C C C C 共15种可能.……10分其中2人年龄都不在第3组的有：(),A B 共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=.……12分 18.解：（1）函数f (x )的定义域为{x |x >0}，当a =1时，2()ln 1f x x x x =+-+，1()21f x x x '=+-，(1)2,(1)1f f '∴==， 所求切线方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.……5分（2）由题意对于[)1,x ∀∈+∞有2()ln 10f x x x ax =+-+≥则可得2ln 1x a x x ++≤，x ∈[1，+∞).设2ln 1()x x g x x ++=，x ∈[1，+∞)，22ln ()x x g x x'-=，x ∈[1，+∞) 再设m (x )=x 2-ln x ，x ∈[1，+∞)，2121()20x m x x x x '-=-=>，m (x )在[1，十∞)上为增函数，m (x )≥m （1）=1，即g '(x )>0，g (x )在[1，+∞)上为增函数，g (x )≥g （1）=2，即a ≤2. ……12分由韦达定理得212122224,.44tm m y y y y t t -+=-=++ ……6分 由2122122222,2,y y y y y y y y =-+=-+=-则[]221212122()2().y y y y y y =--+=-+2222422().44m tm t t -=--++化简得2222(4)(4)8.m t t m -+=- 原点O到直线的距离d = 又直线l 与圆224:7O x y +=相切,= 即227 1.4t m =- 22224222(4)(4)82116160714m t t m m m t m ⎧-+=-⎪⇒--=⎨=-⎪⎩即22(34)(74)0.m m -+= 解得243m =.此时243t =,满足0.∆>此时(3M ± ……10分 在Rt ONM △中，||21MN ==∴||MN的长为21……12分22．解： ..........5分（2）........7分 .........10分 013t 21231)1(=-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y x l t y t x 的普通方程为得直线消去 .42-x 04cos 4cos 422222=+∴=-+∴=∴=y x y x ）（曲线的直角坐标方程：θρρθρ 03304:21231222=-+=-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t t x y x C t y t x 得代入曲线0,033,21212121><⎩⎨⎧-=⋅-=+t t t t t t t t B A 不妨设则两点对应的参数分别为，设.3154)(111121212212121212121=-+=-=+=+=+∴t t t t t t t t t t t t t t t t PB PA。
四川省成都市七中育才学校高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，若a、b、c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（A－C）＝1，则有A．a、c、b成等比数列 B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列参考答案：D2. 已知方程的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）A. B. C. 或 D.参考答案：C略3. 在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点F为CD的中点，点E在BC边上，若=﹣4，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立坐标系，根据=﹣4求出E点坐标，再计算．【解答】解：以A为原点，以AD、AB为坐标轴建立坐标系，如图所示：则A（0，0），B（0，2），C（3，2），D（3，0），F（3，1），设E（a，2），则=（3，1），=（a﹣3，2），=（a，2），=（3，﹣1），∴=3（a﹣3）+2=﹣4，解得a=1，∴=3a﹣2=1．故选B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系转化为坐标运算可简化计算，属于中档题．4. 正三棱柱ABC﹣A1B1C1，E，F，G为 AB，AA1，A1C1的中点，则B1F 与面GEF成角的正弦值（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】直线与平面所成的角．【专题】综合题．【分析】利用等体积，计算B1到平面EFG距离，再利用正弦函数，可求B1F 与面GEF成角的正弦值．【解答】解：设正三棱柱的，取A1B1中点M，连接EM，则EM∥AA1，EM⊥平面ABC，连接GM∵G为A1C1的中点，棱长为∴GM=B1C1=1，A1G═A1F=1，FG=，FE=，GE=在平面EFG上作FN⊥GE，则∵△GFE是等腰三角形，∴FN=，∴S△GEF=GE×FN=，S△EFB1=S正方形ABB1A1﹣S△A1B1F﹣S△BB1E﹣S△AFE=，作GH⊥A1B1，GH=，∴V三棱锥G﹣FEB1=S△EFB1×GH=，设B1到平面EFG距离为h，则V三棱锥B1﹣EFG=S△GEF=，∵V三棱锥G﹣FEB1=V三棱锥B1﹣EFG，∴，∴h=设B1F与平面GEF成角为θ，∵B1F=∴sinθ==∴B1F与面GEF所成的角的正弦值为．故选A．【点评】本题考查线面角，考查三棱锥的体积计算，考查转化思想，解题的关键是利用等体积计算点到面的距离．5. 已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则＋等于()A. B. C. D.参考答案：A6. 如果且，那么直线不通过的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：C【分析】化为点斜式，判断斜率和轴截距的正负，即可得出结论.【详解】化为，且，，直线不通过第三象限.故选:C.【点睛】本题考查直线方程一般式和斜截式互化，考查直线的特征，属于基础题.7.参考答案：C8. 直线y=kx+2与双曲线有且只有一个交点，那么实数k的值是A. B. C. 或 D.参考答案：C略9. 命题“?x0∈R，≤0”的否定是（）A．?x0∈R，＞0 B．?x0?R，≤0C．?x∈R，2x＞0 D．?x∈R，2x≤0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是?x∈R，2x＞0，故选：C10. 已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（）A. 2B.C.D.参考答案：A【分析】还原几何体得四棱锥，其中面，分别计算各侧面的面积即可得解. 【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥，其中面，.中有，由，所以.所以.所以面积最大值是的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线C的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率e=_______参考答案：或12. 已知x＞0，y＞0，x+2y=1，则的最小值为．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】x＞0，y＞0，x+2y=1，则=+=++2，再根据基本不等式即可求出．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y=1，则=+=++2≥2+2=4，当且仅当x=y=时取等号，故则的最小值为4，故答案为：4．13. 若复数z=2﹣3i，则在复平面内，z对应的点的坐标是．参考答案：（2，﹣3）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义即可得出．【解答】解：复数z=2﹣3i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）．14. 若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是▲ ．参考答案：15. 在的展开式中，x6的系数是．参考答案：1890【考点】二项式定理．【分析】先分析题目求在的展开式中x6的系数，故要写出的展开式中通项，判断出x6为展开式中的第几项，然后代入通项求出系数即可．【解答】解：在的展开式中通项为故x6为k=6，即第7项．代入通项公式得系数为. =9C106=1890故答案为：1890．16. 已知,则△ABC内切圆的圆心到直线的距离为.参考答案：117. 设a=sin（sin2008°），b=sin（cos2008°），c=cos（sin2008°），d=cos（cos2008°）．则a，b，c，d从小到大的顺序是．参考答案：b＜a＜d＜c【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值．【分析】先应用诱导公式化简sin2008°=﹣sin28°，cos2008°=﹣cos28°=﹣sin62°，从而a=﹣sin（sin28°），b=﹣sin（sin62°），c=cos（sin28°），d=cos（sin62°），再根据正弦、余弦函数的单调性即可判断a，b，c，d的大小．【解答】解：∵2012°=5×360°+208°，∴a=sin（sin2008°）=sin（sin208°）=sin（﹣sin28°）=﹣sin（sin28°）＜0，b=sin（cos2008°）=sin（cos208°）=sin（﹣cos28°）=﹣sin（cos28°）＜0，c=cos（sin2008°）=cos（sin208°）=cos（﹣sin28°）=cos（sin28°）＞0，d=cos（cos2008°）=cos（cos208°）=cos（﹣cos28°）=cos（cos28°）＞0，∵cos28°=sin62°，∴＜sin32°＜＜sin62°，∴c＞d，﹣b＞﹣a，∴b＜a＜d＜c故答案为：b＜a＜d＜c．【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的单调性及应用，注意单调区间，同时考查诱导公式的应用，是一道中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
成都七中2023~2024学年度上期10月阶段性测试数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点()0,3A ，点()1,23B -，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒2．已知直线,a b 的方向向量分别为()()1,0,1,1,1,0a b =-=-，且直线,a b 均平行于平面α，平面α的单位法向量为（）A ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．()1,1,1D ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭或333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．有2位同学在游艺楼的底层进入电梯，电梯共6层。
假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（）A ．15B ．45C ．56D ．164．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点,,M AB a AD b == ，1AA c = ，则1MC =（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c---C ．1122a b c-++D ．1122a b c--+5．成都七中高二年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：85，85，86，87，88，89，90，91，91，91，92，93，94，96，98，则这组数据的80%分位数是（）A ．90B ．93.5C ．86D ．936．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A ．平均数为2，方差为2.4B ．中位数为3，方差为1.6C ．中位数为3，众数为2D ．平均数为3，中位数为27．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是（）A ．23535B ．66565C ．1315D ．358．已知正方体1111ABCD A B C D -，设其棱长为1（单位：m ）．平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，记为θ．平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论正确的是（）A ．M 可能为三角形，四边形或六边形B ．3cos 3θ=C ．M 235m 4D ．正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列命题中是真命题的为（）A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面10.已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（）A ．1e n l α⊥⇔∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．12n n αβ⇔∥∥D ．1e n l α⊥⇔⊥11．以下结论正确的是（）A ．“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B ．假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B =C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D ．6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立12．如图，已知矩形,4,2,ABCD AB AD E ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（）A ．翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B ．翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C ．翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2αβ>．D ．当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的取值范围为()1,2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体各面所在平面将空间分成________部分．14．某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________．15．如图，两条异面直线,a b 所成的角为3π，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥（AA '称为异面直线,a b 的公垂线）．已知，1,2A E AF ='=，5EF =，则公垂线AA '=__________．16．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式。
2022年四川省成都七中高考数学二诊模拟试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A，B满足A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝{2，4}，A＝{2，3，4，5}，则B＝（）A．{2，4，5，6}B．{1，2，4，6}C．{2，4，6}D．{1，2，4}2．若z＝1+2i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生日常防控意识，现从该校随机抽取30名学生参加防控知识测试，得分（10分制）如图所示，以下结论正确的是（）A．这30名学生测试得分的中位数为6B．这30名学生测试得分的众数与中位数相等C．这30名学生测试得分的平均数比中位数小D．从这30名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握不够，建议学校加强学生疫情防控知识的学习，增强学生日常防控意识4．在（﹣2）5的展开式中，x2的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．105．若f（x）是定义在R的奇函数，且f（x+1）是偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝ln（x+1），则2≤x≤3时，f（x）的解析式为（）A．f（x）＝ln（x﹣1）B．f（x）＝﹣ln（x﹣1）C．f（x）＝﹣ln（3﹣x）D．f（x）＝ln（3﹣x）6．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取到的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续的奇数5，7，9：第四次取4个连续的偶数10，12，14，16……，按此规律一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，…，则在这个子数列中，第2020个数是（）A．3976B．3978C．3980D．39827．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+18．设，为非零向量，λ，μ∈R，则下列命题为真命题的是（）A．若•（﹣）＝0，则＝B．若＝λ，则||+||＝|+|C．若λ+μ＝，则λ＝μ＝0D．若||＞||，则（+）•（﹣）＞09．1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）？后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题．我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l上有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大．建立如图2所示的平面直角坐标系，设A，B两点的坐标分别为（0，a），（0，b）（0＜b＜a），设点C的坐标为（c，0），当∠ACB最大时，c＝（）A．2ab B．ab C．D．10．阿波罗尼斯（公元前262年～公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足＝λ（λ＞0，且λ≠1）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足|MP|＝2|MQ|，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得|MR|的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（）A．2πB．4πC．8πD．16π11．已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，1} 12．已知F1，F2是双曲线）的左、右焦点，点A是双曲线上第二象限内一点，且直线AF1与双曲线的一条渐近线平行，△AF1F2的周长为9a，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为．14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC：BC＝3：2，则BD：AD的值为．15．甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你不是第一名．”对乙说：“你和甲都不是最后一名．”从这两个回答分析，5人的名次排列有种不同情况．16．已知双曲线的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q为C上两点，点M（﹣2，1）为弦PQ的中点，且PQ∥BF，记双曲线的离心率为e，则e2＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足，{b n}是公差不为0的等差数列，b1＝1，b4是b2与b8的等比中项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）对任意的正整数n，设，求数列{c n}的前2n项和T2n．18．某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据（x i，y i），i＝1，2，3，4，5，其中x i表示连续用药i天，y i 表示相应的临床疗效评价指标A的数值．根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．经计算得到如下一些统计量的值：，y i＝62，（x i﹣）（y i﹣）＝47，u i≈4.79，（u i﹣）2≈1.615，（u i﹣）（y i﹣）≈19.38，其中u i＝lnx i．12346739610.012．（1）试判断y＝a+bx与y＝a+blnx哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；（2）新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍．若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立．（ⅰ）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；（ⅱ）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），⋅⋅，⋅（x n，y n），其回归直线y＝a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△P AB为正三角形，PD ＝，E为线段AB的中点，M为线段PD（不含端点）上的一个动点，且PM＝λPD．（1）证明：PE⊥平面ABCD；（2）若二面角M﹣EC﹣D的大小为60°，求实数λ的值．20．如图，已知椭圆与等轴双曲线C2共顶点，过椭圆C1上一点P（2，﹣1）作两直线与椭圆C1相交于相异的两点A，B，直线P A，PB的倾斜角互补．直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N．（1）若△PMN的面积为，求直线AB的方程；（2）若AB与双曲线C2的左、右两支分别交于Q，R，求的范围．21．已知函数f（x）＝（k+1）2x+2﹣x，k是实数．（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值；（2）若f（x）≥4对任意的x∈[0，2]恒成立，求k的取值范围；（3）若k＝0，方程f（2x）＝2af（x）﹣6a﹣9有解，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知点P（1，2），圆C：x2+y2﹣6y＝0．（1）若直线l过点P且在两坐标轴上截距之和等于0，求直线l的方程；（2）设A是圆C上的动点，求（O为坐标原点）的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣4|．（1）求不等式f（x）≤3x的解集；（2）若f（x）≥k|x﹣1|对任意x∈R恒成立，求k的取值范围．。
成都市2022级高中毕业班摸底测试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5．考试结束后，只将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.61x x + 的展开式中常数项为（ ） A.10 B.15 C.20 D.302.曲线sin y x =在点()0,0处的切线方程为（ ）A.0x y −=B.0x y +=C.π0x y −=D.π0x y +=3.记n S 为等差数列{}n a 前n 项和．若26128,16a a a +==，则15S =（ ） A.140B.150C.160D.1804.已知函数()()ln a f x x a x =+∈R 的最小值为1，则=a （ ）A.1e B.e C.12 D.15.同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件A =“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件B =“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则()|P A B =（ ）A 19 B.13 C.25 D.126.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1A B C D ，则四面体ABCD 的体积为（）的.A. 13B.C. D. 237. 将正整数1，2，3，…按从小到大且第k 组含2k 个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, ，则2024第（ ）组．A. 8B. 9C. 10D. 118. 某学校有,A B 两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去A 餐厅，那么第2天还去A 餐厅的概率为13；如果某天去B 餐厅，那么第2天还去B 餐厅的概率为12．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去A 餐厅用餐的概率为（ ） A. 1124 B. 3172 C. 718 D. 2572二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知椭圆222:1(0)6x y C b b+=>的两个焦点分别为12,F F，点)A 在椭圆C 上，则（ ）A. b =B. 12F AF 的面积为2C. 椭圆CD. 12F AF2−10. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知2n n S a n =+，则（ ） A. 11a =−B. 1n n a a +<C. 数列{}1n a −为等比数列D. 202320242024S a =+ 11. 已知函数()()2()0f x ax x c a =−≠，则（ ）A. 若1a c ==，则函数()()2g x f x =−有且仅有1个零点B. 若()f x 在2x =处取得极值，则2c =C. 若()f x 无极值，则0cD. 若()f x 的极小值小于0，则0ac >三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在12. 若函数()e xf x ax =−的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为_____________． 13. 用1，2，3，4，5这5个数字可以组成_____________个无重复数字三位数，这些三位数中能被3整除的共有_____________个（用数字作答）．14. 已知四个整数a b c d ,,,满足0a b c d <<<<．若,,a b c 成等差数列，,,b c d 成等比数列，且48d a −=，则+++a b c d 的值为_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1DD 的中点．（1）证明：1//BD 平面ACE ；（2）求1AC 与平面ACE 所成角的正弦值．16. 已知等差数列{}n a 满足47a =，221nn a a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 17. “十四五”时期，成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活需要，高水平推进“三城三都”（世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐之都、会展之都）建设.2023年，成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心，让世界看到成都的专业、活力和对体育的热爱；2024年，相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已经成为成都人最时尚的生活方式之一．已知足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．成都蓉城队2024年七月还将迎来主场与A 队和客场与B 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，设成都蓉城队主场与A 队比赛：胜的概率为12，平的概率为13，负的概率为16；客场与B 队比赛：胜的概率为14，平的概率为12，负的概率为14，且两场比赛结果相互独立．（1）求成都蓉城队七月主场与A 队比赛获得积分超过客场与B 队比赛获得积分的概率；（2）用X 表示成都蓉城队七月与A 队和B 队比赛获得积分之和，求X 分布列与期望．的的18. 已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过F 的直线与抛物线E 相交于,A B 两点． （1）当直线AB 的倾斜角为π4时，直线AB 被圆2240x y y +−=，求p 的值； （2）若点C 在x 轴上，且ABC 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线AB 的斜率．19. 已知函数()()()ln f x ax x a a =−+∈R ． （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1f x a a≥−恒成立，求a 的取值范围； （3）若数列{}n a 满足21121,1n n n a a n a +==+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和．证明：221n S n >−．。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题一、单选题1．以点()1,5C --为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是（）A ．22(1)(5)9x y +++=B ．22(1)(5)16x y +++=C ．22(1)(5)9x y -+-=D ．22(1)(5)25x y +++=2．若(1,2,1),(1,3,2)a b =-= ，则()(2)+⋅-=a b a b （）A ．2B ．5C ．21D ．263．“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知椭圆的两个焦点坐标分别为()()2,0,2,0-，且椭圆上的点P 到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（）A ．2213627x y +=B ．221106x x +=C ．2211612x y +=D ．2211612y x +=5．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）A ．23B ．12C ．13D ．146．如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（）A ．数据中可能存在极端大的值B ．这组数据是不对称的C ．数据中众数一定不等于中位数D ．数据的平均数大于中位数7．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE =，点F 为BD 中点，则点1D 到直线EF 的距离（）A ．1143B ．1142C D 8．已知(0,0),(0,1)O Q ，直线1:240l kx y k -++=，直线2:420l x ky k +++=，若P 为12,l l 的交点，则2||||PO PQ +的最小值为（）A ．6-BC ．9-D ．3二、多选题9．成都七中高新校区高二年级14个班团体操比赛成绩（满分100分）从小到大排序依次为：88，89，90，90，90，90，91，91，91，92，92，93，93，94（单位分），则下列说法正确的是（）A ．众数为90B ．中位数为91.5C ．第80百分位数为92D ．方差为18710．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F ，G 分别为棱1AB DD 、和11C D 的中点，则下列说法正确的有（）A ．1B D GE⊥B ．,P Q 分别是线段1AA 和1DB 上的两个动点，则min ||PQ =C ．平面EFG 与平面11ADD A D ．平面EFG 被正方体截得的截面面积为11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，经过左焦点1F的直线与椭圆相交于,A B 两点，2c a =，则以下说法正确的是（）A ．2ABF △的周长为B ．2ABF △2C ．记A 关于坐标原点O 的对称点为A '，则min 1BA BA k k '-=D ．若M 为AB 的中点，则M 的轨迹方程为2240y x +=三、填空题12．点(3,2)M 关于直线1y x =-+的对称点坐标为.13．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为.14．已知(1,0),(1,0)A B -，点C 满足：22||||10AC BC +=，过点(1,1)D 分别作两条相互垂直的射线DM ，DN 分别与点C 的轨迹交于M ，N 两点，记MN 的中点为E ，记E 的轨迹为Γ，过点C 分别作轨迹Γ的两条切线，切点分别为,G F ，则CG CF ⋅取值范围为.四、解答题15．为了检验同学们高二以来的学习效果，某市在期末的时候将组织调研考试．在某次调研考试中学校为了解同学们的调考情况，从所有同学中随机抽取某学科的100份答卷作为样本，将样本成绩按从低到高依次分为第1,2,,6 组（如下图所示，成绩满分为100分且成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图求样本成绩的上四分位数；（上四分位数即75百分位数）(2)已知第2组的平均成绩是54，方差是4，第3组的平均成绩为66，方差是4，①分别求第2组和第3组的人数；②求这两组成绩的总平均数z 和总方差2s .参考公式或数据：方差：()22222221111;542916;664356;623844n n i i i i s x x x x n n ===-=-===∑.16．设向量(),(,(,R)s x y t y x x y =+=-∈，满足||||4s t += .(1)求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；(2)若点12(F F ，设斜率为33-且过2F 的直线l 与（1）中的轨迹交于P ，Q 两点，求1F PQ 的面积.17．2024年10月1日是新中国诞辰75周年，为弘扬爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动，在最后一轮晋级中，参赛选手两人为一组，要求：在规定时间内两人分别对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立．已知甲答对每道题的概率为(01)a a <<，乙答对每道题的概率为(01)b b <<，答题过程中甲乙每次是否作答正确互不影响．(1)若32,43a b ==，①甲在两次作答中，分别求甲答对两道题和甲答对一道题的概率；②求甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率；(2)若3a b ab +=，求甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率的最小值．18．已知圆221:4O x y +=，圆2O 与圆1O 关于直线2y x =+对称，圆223:(1)(4)9O x y -+-=.(1)求圆1O 与圆3O 的公共弦所在的直线方程和圆2O 的方程；(2)Q 为平面内一动点，,QC QD 分别为圆1O 与圆2O 的切线（,C D 为切点）且||2||QD QC =，求点Q 的轨迹方程；(3)斜率为(0)k k ≠的直线l 过点(1,0)-与圆1O 交于,A B 两点（A 在x 轴上方）.将平面xOy 沿x 轴折叠，使平面AOx ⊥平面BOx ，设折叠后AB 的长度为()f k ．求函数()f k 的解析式，并求函数的值域.19．如图1所示，直角梯形MBCD ，//MD BC ，BM MD ⊥，且223MD BC ==，点A ，E 分别在线段MD ，BC 上，且1MA BE ==，点P 为DC 的中点，将四边形MBEA 沿AE 折起，使二面角C AE B --的大小为θ.(1)若π1,2AE θ==（如图2所示），求直线AB 与平面BCD 所成角的正弦值；(2)若πθ4=，点Q 为平面ABE 内一点，若PQ ⊥平面ABE （如图3所示），求PQ 的值；(3)若π1,θ2AE==时，点N为线段EC的中点，将DCN沿DN折起，使DCN与四边形AEBM在平面AEND的同侧且平面CDN⊥平面ADE，点R为四面体MECD内切球球面上一动点，求13RD RC+的最小值.。
四川省成都七中2024届高第一学期第一次质量检测数学理科满分: 150分年级: 高二一选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1.若直线2 x+y−1=0是圆( x−a)2+ y2=1的一条对称轴, 则a=（）A.12B.−12 C.1 D.−12.已知命题p: ∃x ∈R,sinx<1; 命题q: ∀x ∈R,e|x|≥1, 则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.¬p ∧qC.p ∧¬qD.¬(p ∨q)3.已知半径为 1 的圆经过点(3,4), 则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4B.5C.6D.74.设圆 x2+ y2−2 x−2 y−2=0的圆心为C, 直线l过点(0,3), 且与圆C交于A,B两点, 若|A B|=2 √3, 则直线l的方程为（）A.3 x+4 y−12=0B.3 x+4 y−12=0或4 x+2 y+1=0C.x=0D.x=0或3 x+4 y−12=05.若x,y满足约束条件{x+y ⩾2,x+2 y ⩽4,y ⩾0,则z=2 x−y的最大值是（）A.−2B.4C.8D.126.设椭圆C: x 24 +y2=1的左焦点为F, 直线l: y=k x(k ≠0)与椭圆C交于A,B两点, 则|A F|+|B F|的值是（）A.2B.2 √3C.4D.4 √37.已知 F1, F2分别是椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点, 点A(0,b), 点B在椭圆C上, A F1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 F1 B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D,E分别是 A F2, B F2的中点, 且△D E F2的周长为 4 , 则椭圆C的方程为（）A. x24+y23=1 B.x24+3 y28=1C. x24+3 y24=1 D. x2+ 3 y22=18.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时, 相应水面的面积为140.0 km2; 水位为海拔157.5 m时, 相应水面的面积为180.0 km2, 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台, 则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时, 增加的水量约为(√7 ≈2.65)（）A.1.0 ×1 09m3B.1.2 ×1 09m3C.1.4 ×1 09m3D.1.6 ×1 09m39.下列结论正确的是（ ）①过点 A(−2,−3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为x +y =−5; ②圆 x 2+ y 2=4上有且仅有 3 个点到直线l: x −y +√2=0的距离都等于 1③已知 a b ≠0,O 为坐标原点, 点P(a,b)是圆 E: x 2+ y 2= r 2外一点, 且直线m 的方程是 a x +b y =r 2, 则直线m 与圆E 相交;④已知直线 k x −y −k −1=0和以M(−3,1),N(3,2)为端点的线段相交, 则实数k 的取值范围为−12 ≤k ≤32; A.①③B.②③C.②④D.③④10.已知矩形 A B C D,A B =1,B C =√3, 将△A D C 沿对角线A C 进行翻折, 得到三棱锥D −A B C , 则在翻折的过程中，有下列结论:①三棱锥 D −A B C 的体积最大值为13;②三棱锥 D −A B C 的外接球体积不变;③三棱锥 D −A B C 的体积最大值时, 二面角D −A C −B 的大小是 60∘; ④异面直线 A B 与C D 所成角的最大值为 90∘. 其中正确的是（ ） A.①②④B.②③C.②④D.③④11.若直线 l: a x +b y +1=0始终平分圆 M: x 2+ y 2+4 x +2 y +1=0的周长, 则( a −2)2+( b −7)2的最小值为（ ） A.√5B.5C.2 √5D.2012.在平面直角坐标系 x O y 中, 已知圆C:( x −2)2+ y 2=9,E,F 是直线l: y =x +2上的两点, 若对线段E F 上任意一点P , 圆C 上均存在两点A,B , 使得cos∠A P B ≤0, 则线段E F 长度的最大值为（ ） A.2B.√14C.2 √10D.4二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13. 填空题（5分）已知命题 p: ∀x ∈R,cosx ≤1, 则¬p :____________________. 14. 填空题（5分）命题 p:“∃x ∈R, a x 2+2 a x −4 ≥0"为假命题, 则a 的取值范围是_______________. 15. 填空题（5分）如图, F 1, F 2分别是椭圆的左、右焦点, 点P 是以 F 1 F 2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点, 延长 P F 2与椭圆交于点Q , 若|P F 1|=4|Q F 2|, 则直线 P F 2的斜率为________________.16. 填空题（5分）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一, 指的是: 已知动点M与两定点Q,P的距离之比|M Q||M P|=λ(λ>0,λ≠1), 那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆, 其方程为 x2+ y2=1, 定点Q为x轴上一点,P(−12,0)且λ=2,若点B(1,1), 则2|M P|+|M B|的最小值为__________________.三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. （本题满分10分）已知命题 p: x2−6 x+8 ≤0, 命题q: 3−m ≤x ≤3+m. 若¬p是¬q的充分不必要条件, 求m的取值范围.18. （本题满分12分）已知△A B C的顶点A(5,1), 边A B上的中线C M所在直线方程为2 x−y−5=0, 边A C上的高B H所在直线方程为x−2 y−5=0,(1) 求顶点C的坐标;(2) 求△A B C的面积.19. （本题满分12分）已知线段A B的端点B的坐标为(1,3), 端点A在圆C:( x+1)2+ y2=4上运动.(1)求线段A B的中点M的轨迹;(2)过B点的直线L与圆C有两个交点A,D. 当C A ⊥C D时, 求L的斜率.20. （本题满分12分）最近国际局势波云诡谲, 我国在某地区进行军事演练, 如图, O,A,B是三个军事基地,C为一个军事要塞, 在线段A B上. 已知tan∠A O B=−2,O A=100 km,C到O A,O B的距离分别为50 km,30 √5km, 以点O为坐标原点, 直线O A为x轴, 建立平面直角坐标系如图所示.(1)求两个军事基地A B的长;(2)若要塞C正北方向距离要塞100 km处有一E处正在进行爆破试验, 爆炸波生成t h时的半径为r= 5 √a t(参数a为大于零的常数), 爆炸波开始生成时, 一飞行器以300 √2km / h的速度自基地A开往基地B,问参数a控制在什么范围内时, 爆炸波不会波及到飞行器的飞行.21. （本题满分12分）如图所示正四棱锥S−A B C D,S A=S B=S C=S D=2,A B=√2,P为侧棱S D上的点.(1) 求证: A C ⊥S D;(2) 若 S S A P= 3 S A P D,( i ) 求三棱锥S−A P C的体积.(ii ) 侧棱S C上是否存在一点E, 使得B E / /平面P A C. 若存在, 求S EE C的值；若不存在，试说明理由．22. （本题满分12分）已知椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0), 长轴是短轴的 3 倍, 点(1,2 √23)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2) 若过点Q(1,0)且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M,N两点, 在x轴的正半轴上是否存在点T(t,0), 使得直线T M,T N斜率之积为定值? 若存在, 求出t的值; 若不存在, 请说明理由.参考答案一选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】A4. 【答案】D5. 【答案】C6. 【答案】C7. 【答案】B8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】C11. 【答案】D【解析】∵直线l: a x+b y+1=0始终平分圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的周长∴直线必过圆 M: x2+ y2+4 x+2 y+1=0的圆心即圆心(−2,−1)点在直线l: a x+b y+1=0上则2 a+b−1=0则( a−2)2+( b−7)2表示点(2,7)至直线2 a+b−1=0点的距离的平方则其最小值 d2=(|2 ×2+7 ×1−1|√ 22+ 122=20故选D.12. 【答案】C【解析】由题意, 圆心到直线l: y=x+2的距离为d=|2−0+2|√2=2 √2<3 (半径) 故直线l和圆相交;当点P在圆外时, 从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,∠A P B才是最大的角,设切线为P M,P N, 则由cos∠A P B ≤0,得∠A P B ≥9 0∘,∴∠M P N ≥9 0∘;当∠M P N=90∘时,sin∠M P C=3P C=sin4 5∘=√22,∴P C=3 √2设P( x0, x0+2),|P C|=√( x0−2)2+( x0+2)2=3 √2, 解得： x0=±√5,设 E(−√5,−√5+2),F(√5,√5+2),如图, E F 之间的任何一个点P , 圆C 上均存在两点A,B , 使得∠A P B ≥9 0∘,线段 E F 长度的最大值为|E F|=√( −√5−√5)2+[(−√5+2)−(√5+2)]2=2 √10故选C.二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13. 【答案】∃ x 0 ∈R, cos x 0>1 14. 【答案】−4<a ≤0 15. 【答案】−2【解析】如图,连接 Q F 1, 设|Q F 2|=x(x >0), 则|P F 1|=4 x , 因为|P F 1|+|P F 2|=2 a,|Q F 1|+|Q F 2|=2 a , 所以|P F 2|=2 a −4 x,|Q F 1|=2 a −x , 在△P F 1 Q 中,∠ F 1 P Q =90∘, 所以|P F 1|2+ |P Q|2=|Q F 1|2, 即( 4 x)2+( 2 a −4 x +x)2=( 2 a −x)2, 整理得a =3 x , 所以tan∠P F 2 F 1=|P F 1||P F 2|= 4 x 2 a−4 x = 4 x 6 x−4 x =2, 所以直线 P F 2的斜率为k =tan (1 80∘−∠P F 2 F 1)=−216. 【答案】√10【解析】令2|M P|=|M Q|，则|M Q||M P|=2, 由题意可得圆 x 2+ y 2=1是关于P,Q 的阿波罗尼斯圆, 且λ=2,设点 Q 的坐标为(m,n), 则√( x−m)2+( y−n)2√(x+2)2+ y 2=2 整理得， x 2+ y 2+4+2 m 3 x +2 n 3 y + 1−m 2− n 23=0由已知该圆的方程为 x 2+ y 2=1, 则{4+2 m =02 n =0 1−m 2− n 23=−1, 解得{m =−2n =0, ∴点Q 的坐标为(−2,0),∴2|M P|+|M B|=|M Q|+|M B|,由图象可知，当点 M 位于 M 1或 M 2时取得最小值, 且最小值为|Q B|=√( −2−1)2+1=√10三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. 【答案】a 的取值范围是(−∞,1).【解析】解: 设 A ={x ∣ x 2−6 x +8 ≤0}={x ∣2 ≤x ≤4},B ={x ∣3−m ≤x ≤3+m}. 因为 ¬p 是¬q 的充分不必要条件, 则q 是p 的充分不必要条件, 所以,B ⫋A . (i) 若 B =∅, 则B ⫋A 成立, 此时有3+m <3−m , 解得m <0; (ii) 若 B ≠∅, 则{3−m ≤3+m3−m ≥2 3+m ≤4, 解得0 ≤m ≤1,当 m =0时,B ={3} ⫋A , 合乎题意,当 m =1时,B ={x ∣2 ≤x ≤4}=A , 不合乎题意. 综上所述, 实数 a 的取值范围是(−∞,1).18. 【答案】(1)C(4,3).(2) S △A B C =8.【解析】(1) 设 C(m,n), 因为直线A C 与直线B H 垂直, 且C 点在直线2 x −y −5=0上, 所以 {n−1m−5=−2 2 m −n −5=0,解得{m =4n =3, 故C(4,3).(2) 设 B(a,b)由题知:M (a+52,b+12),所以 {a +5−b+12−5=0 a −2 b −5=0, 解得{a =−1b =−3, 即B(−1,−3).k B C =3+34+1=65, 直线B C: y −3=65(x −4), 即:6 x −5 y −9=0. |B C|=√( 4+1)2+( 3+3)2=√61点 A 到直线 B C 的距离d =√ 62+( −5)2=√61, 所以 S △A B C =12 ×√61 ×16√61=8.19. 【答案】(1)点 M 的轨迹是以(0,32)为圆心, 1 为半径的圆;(2)k =3 ±√222.【解析】(1) 设 A ( x 1, y 1),M(x,y), 由中点公式得 { x 1+12=x y 1+32=y⇔{ x 1=2 x −1 y 1=2 y −3, 因为 A 在圆C 上, 所以( 2 x)2+( 2 y −3)2=4, 即 x 2+(y −32)2=1,点 M 的轨迹是以(0,32)为圆心, 1 为半径的圆;(2) 设 L 的斜率为k , 则L 的方程为y −3=k(x −1), 即k x −y −k +3=0, 因为 C A ⊥C D,△C A D 为等腰直角三角形, 有题意知, 圆心 C(−1,0)到L 的距离为√2 C D =√2=√2.由点到直线的距离公式得√2=√2,∴4 k 2− 12 k +9=2 k 2+2.∴2 k 2−12 k +7=0, 解得k =3 ±√222.20. 【答案】(1)基地 A B 的长为200 √2km .(2)当 0<a <2400 √5−4800时, 爆炸波不会波及飞行器的飞行.【解析】(1) 则由题设得: A(100,0), 直线O B 的方程为y =−2 x,C ( x 0,50)( x 0>0), 由 0√22=30 √5, 及 x 0>0解得 x 0=50, 所以C(50,50).所以直线 A C 的方程为y =−(x −100), 即x +y −100=0, 由 {y =−2 x x +y −100=0得x =−100,y =200, 即B(−100,200),所以 A B =√( −100−100)2+ 2002=200 √2, 即基地 A B 的长为200 √2km . (2) 设爆炸产生的爆炸波圆 E ,由题意可得 E(50,150), 生成t 小时时, 飞行在线段A B 上的点F 处, 则 A F =300 √2 t,0 ≤t ≤23, 所以F(100−300 t,300 t).爆炸波不会波及卡车的通行, 即 E F 2> r 2对t ∈[0,33]恒成立.所以 E F 2=( 300 t −50)2+( 300 t −150)2> r 2=25 a t , 即 ( 300 t −50)2+( 300 t −150)2>25 a t . 当 t =0时, 上式恒成立,当 t ≠0即t ∈(0,23]时,a <7200 t +1000t−4800, 因为7200 t +1000t −4800 ≥2 √7200 t ×1000t −4800=2400 √5−4800当且仅当 7200 t =1000t , 即t =√56时等号成立, 所以, 在 0<a <2400 √5−4800时,r <E F 恒最立, 亦即爆炸波不会波及飞行的通行. 答: 当 0<a <2400 √5−4800时, 爆炸波不会波及飞行器的飞行.21. 【答案】(1)证明见解析；(2)(i)√34,(ii) 侧棱S C 上存在一点E , 当满足S E E C =2时,B E / /平面P A C .【解析】证明：(1) 连 B D , 设A C 交B D 于O , 由题意S O ⊥A C . 在正方形 A B C D 中, 有A C ⊥B D , 又S O ∩B D =O , ∴A C ⊥平面S B D , 得A C ⊥S D ;(2) ∵ S △S A P = 3 S △A P D ,∴P D S P =13, 则S P =34S D , (i) V S−A P C =34 V S−A D C =34 ∙13 S O ∙ S △A D C =34 ∙13 ∙√3 ∙12 ∙√2 ∙√2=√34.(ii) 侧棱 S C 上存在一点E , 当满足S EE C=2时,B E / /平面P A C .由 S △S A P = 3 S △A P D , 可得S P =3 P D 取点 F 为S D 的中点, 则点P 为F D 的中点, 又 O 为B D 的中点 所以在△B F D 中,B F / / O P . B F /⊂平面A C P,O P ⊂平面A C P ,则 B F / /平面A C P 过点F 作F E / / P C , 交S C 于点E , 连结B E 由 E F /⊂平面A C P,P C ⊂平面A C P , 则E F / /平面A C P 又 E F ∩B E =E , 所以平面B E F / /平面A C P 又 B E ⊂平面B E F , 则B E / /平面P A C . 由 F E / / P C , 则S E E C =S FF P, 由 S P =3 P D,F 为S D 的中点, 则S FF P=2, 所以S E E C =2 所以侧棱 S C 上存在一点E , 当满足S EE C=2时,B E / /平面P A C .22. 【答案】(1)椭圆 C 的方程即为 x 29+y 2=1; (2)存在点 T(3,0), 使得直线T M 与T N 斜率之积为定值−29, 此时t =3.【解析】解: 由题意得 a =3 b , 故椭圆C 为 x 2 9 b 2+ y 2b2=1, 又点 (1,2 √23)在C上, 所以1 9 b 2+8 9 b 2=1, 得 b 2= 1,a 2=9, 故椭圆 C 的方程即为 x 29+y 2=1;（2）解: 由已知知直线 l 过Q(1,0), 设l 的方程为x =m y +1,联立两个方程得 { x 29 +y 2=1 x =m y +1, 消去x 得:( m 2+9) y 2+2 m y −8=0,Δ=4 m 2+32( m 2+9)>0得m ∈R , 设 M ( x 1, y 1),N ( x 2, y 2), 则 y 1+ y 2=− 2 m m 2+9 ,y 1 y 2=−8m 2+9(∗), k T M ∙ k T N= y 1 x 1−t ∙ y 2 x 2−t = y 1 m y 1+1−t ∙ y 2 m y 2+1−t = y 1 y 2 m 2 y 1 y 2+m(1−t)( y 1+ y 2)+( 1−t)2, 将 (*) 代入上式, 可得:−8m 2+9m 2 ∙−8 m 2+9+m(1−t)(− 2 m m 2+9)+( 1−t)2=8( 9−t 2) m 2−9( 1−t)2, 要使 k T M ∙ k T N 为定值, 则有 9−t 2=0, 又∵t >0,∴t =3, 此时 k T M ∙ k T N =8−9 ×4=−29,∴存在点T(3,0), 使得直线T M 与T N 斜率之积为定值−29, 此时t =3.。
成都七中高新校区高 2022 级高二上期学科素养测试数学试卷总分:150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.直线 y =−12x +1的一个方向向量是A. (1,-2)B. (2,-1)C. (1,2)D. (2,1)2. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，具余为不合格品， 现在这个工厂随机抽查一件产品， 设事件Ａ为“是一等品”，Ｂ为“是合格品”， Ｃ为“是不合格品”，则下列结果错误的是A.P (B )=710B. P(A∩B)=0C.P (B ∩C )=7100D.P (A ∪B )=9103. 一组样本数据为：19、 23， 12， 14， 14、17， 10， 12， 13， 14，27， 则这组数的众数和中位数分别为A. 14, 14B. 12, 14C. 14, 15.5D. 12, 1554.若 {a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是 A.{a ⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} B.{b ⃗⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} C.{c ⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} D.{a ⃗+2b ⃗⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b⃗⃗} 5. 如图，在棱长为 a 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P 为A₁D₁的中点，Q 为AB₁上任意一点, E, F 为 CD 上两个动点, 且EF 的长为定值,则点Q 到平面PEF 的距离.A.等于 √55aB.和EF 的长度有关 C 和点Q 的位置有关 D.等于 √23a6. 设直线l 的方程为6x-6ycosβ+13=0. 则直线l 的倾斜角α的范围是A. [0,π]B.[π4,π2]C.[π4,π2)∪(π2,3π4])D.[π4,3π4]7. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，下列说法正确的是A. 事件A 与事件B 互斥B. 事件A 与事件B 对立C. 事件A 与事件B 相互独立D.P (A +B )=56 8. 在正四棱锥P-ABCD 中,若 PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,平面AEF 与棱PD 交于点G,则四棱锥 P-AEFG 与四棱锥P-ABCD 的体积比为 ( )A.746B.845C.745D. 445二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.全部选对得５分，部分选对得２分，有选错的得０分.9. 下列命题是真命题的是A. 若A, B, C, D 在一条直线上, 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量B.若A, B, C, D 不在一条直线上, 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗不是共线向量C. 若向量AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 D. 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上 10.已知正方体.ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,点E 、O 分别是 A₁B₁、A₁C₁的中点, P 在正方体内部且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则下列说法正确的是 A.点A 到直线BE 的距离是 √55 B.点O 到平面ABC₁D₁的距离为 √24C.平面A₁BD 与平面B₁CD₁间的距离为 √33D.点P 到直线AB 的距离为 253611. 在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形, ∠DAB =π3, A B=2AD=2PD,PD ⊥底面ABCD,则A. PA ⊥BDB. PB 与平面ABCD 所成角为6π C.异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为 2√55D.平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为 √7712.在正四面体 ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，CD(不含端点)上的动点，则下列说法正确的是A. 对任意点M, N, 都有MN 与AD 异面B. 存在点 M, N, 使得 MN 与BC 垂直C. 对任意点M,存在点 N, 使得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面 D. 对任意点M, 存在点 N, 使得 MN 与AD, BC 所成的角相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 点P(1,-2,5)到xOy 平面的距离 .14.为已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为1l , 2l ∶y =−2x +1, l 3:y =−1n x −1n .若1l //2l ,23l l ⊥,则m+n 的值为 . 15.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点P 是AA'上的动点，Q 是平面BB'C'C 内的一点，且满足A'D ⊥BQ ，则二面角P-BD-Q 余弦值的取值范围是 . 16.已知四棱锥P-ABCD 的各个顶点都在球 O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面 ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC, AB=AD=CD=3,∠ABC=3, PA=2 √2 ,M 是线段AB 上一点, 且AM=λAB. 过点M 作球O 的截面， 所得截面圆面积的最小值为2π， 则λ= .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥底面ABCD,CD ∥AB,AD=DC=CB=1 AB =2,DP =√3.(1) 证明: BD ⊥PA;(2) 求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值.18.(12分) 已知A(3,3), B(-4,2), C(0,-2).(1)若点D 在线段AB (包括端点) 上移动时，求直线CD 的斜率的取值范围.(2)求函数 y =sinθcosθ+2,θ∈R 的值域.19. (12分)如图， 一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中， 以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°（１：）证明ＡＣ1⊥ＢＤ．(2)求BD₁与AC 所成角的佘弦值.20.(１２分)甲、乙两校各有３名教师报名支教，其中甲校２男１女，乙校１男２女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的６名教师中任选２名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的２名教师来自同一学校的概率.21. (12分)从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“２”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D. E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]为Y2−YY−Y1=T2−TT−T1,其中X₁，X₁分别表示原始分区间的最低分和最高分，T₁，T₁分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，Γ表示考生的等级分，规定原始分为Y₁时，等级分为T₁，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：(1)根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；22. （12分）如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点.(1) 求证: OE∥平面PAC;(2) 若∠ABO=∠CBO=30°, PO=3, PA=5①求二面角C-AE-B所成平面角的正弦值.②在线段CE上是否存在一点M，使得直线MO 与平面BCP所成角为30°?高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。
