高二数学试题：成都七中高二数学月考试题一

2023-2024学年四川省成都七中高二（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若R 上的可导函数y =f(x)在x =x 0处满足limΔx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)2Δx=3，则f′(x 0)=( )A. 6B. 32C. 3D. 232.已知向量a =(−1,2,3),b =(1,0,2)，则向量a 在向量b 上的投影向量c 的坐标为( )A. (−1,2,3)B. (1,0,2)C. ( 5,0,25)D. (1,2,0)3.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 3+a 5=1，a 2+a 4+a 6=2，则S 12−S 6=( )A. 18B. 54C. 128D. 1924.直线l ：(2m +1)x +(m +1)y−8m−5=0，被圆C ：(x−2)2+(y−1)2=25截得最短弦的长为( )A. 46B. 26C. 223D.235.三个数a =2lne e 2，b =ln2，c =ln33的大小顺序为( )A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. a <b <c6.给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有( )种不同的染色方案．A. 48B. 60C. 72D. 847.已知椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F 1，离心率为32,M 、N 为椭圆上关于y 轴对称的两点，|MN|=855，若MF 1⊥NF 1，则椭圆方程为( )A. x 28+y 22=1 B. x 24+y 2=1C. x 22+y 28=1 D. x 2+y 24=18.已知曲线y =1a lnx 与y =e ax 的两条公切线的夹角的正切值43，则a 2的值为( )A.3eB. 1eC. 3e 2D. 1e 2二、多选题：本题共3小题，共18分。

高二数学试题：成都七中高二数学月考试题一你还在为高中数学学习而苦恼吗?别担心，看了高二数学试题：成都七中高二数学月考试题一以后你会有很大的收获：高二数学试题：成都七中高二数学月考试题一一、选择题（每小题5分，共50分。

）1、要完成下列两项调查，①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为（ A ）A．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法B．①用随机抽样法，②用系统抽样法C．①用系统抽样法，②用分层抽样法D．①②都用分层抽样法2、如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( C )．A．圆台、三棱柱、圆锥、三棱台B．圆台、三棱锥、圆锥、三棱台C．圆台、四棱锥、圆锥、三棱柱D．圆台、三棱台、圆锥、三棱柱3、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为，且它的八个顶点在同一个球面上，这个球的表面积为( B )．A．B．C．D．4、对于一组数据（=1，2，3，，），如果将它们改变为（=1，2，3，，），其中，则下列结论中正确的是（C ）A．平均数与方差均不变B．平均数不变，而方差变了C．平均数变了，而方差保持不变D．平均数与方差均发生了变化5、100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02，，09；第2组：10，11，12，，19；；第10组：90，91，92，，99．现在从第组中抽取其号码的个位数与的个位数相同的个体，其中是第1组随机抽取的号码的个位数，则当时，从第7组中抽取的号码是（ D ）A．B．C．D．6.已知两个不同的平面和两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（ D ）A.若则B. 若则C.若，，则D.若,，则7、如图，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将△ABD 折起，使面ABD面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为(C)A．1 B．2C．3 D．48、执行如图所示的程序框图,输出的S值为（D ）A．4B．8C．16D．649.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形侧棱长为3，则与平面所成的角为（ A ）A. B. C. D.10、三棱柱中，点的中点以及的中点所决定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，那么小部分的体积与大部分的体积比是（B）A、B．语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．i 6．若x ，y 满足约束条件224 0x y x y y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．4B ．4-C ．5D ．-二、填空题三、解答题(1)求图中x 的值；(2)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在[130,1405名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在[)130140,的概率．18．已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 在[]1,e 上的最小值是32，求a 的值．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A B BA 和侧面的中点．(1)证明：平面1ADC ⊥平面(2)若直线1AC 与平面1B BCC 20．过抛物线24E x y =：的焦点相交于点A ，B ，2l E 与相交于点圆心)的公共弦所在的直线记为(1)若122k k ⋅=，求FM FN ⋅ (2)若122k k +=，求点M 到直线21．已知函数()(3f x x =-(1)当1a =时，求函数(f x (2)当02a <<时，讨论函数22．已知直线1:(1)l x m -=-设动点P 的轨迹为曲线Γ，直线(1)写出C 的坐标，并求曲线(2)若直线:22,l x y t t =-∈使得ACN BCN ∠=∠恒成立？若存在，求出点参考答案：故选：A 7．D【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出换即可得出答案.【详解】对ln 2y x n =-+求导得1y x'=，由11e y x '==得e x =，则1e 1ln em ⋅++=所以()11112n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭当且仅当12m n ==时取等号．连接11,C B DC ，设BD AC ⋂由正方体1111ABCD A B C D -可得【详解】23F A =，所以12F AF ∽1F BC △，2c =，则24F C c =，设1AF t =，则13BF t =，2AB t =．以A 为原点，以AB，AC ，1AA 坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0D ，(10,2,2C 设(),,m x y z =是平面1ADC 的一个法向量，则10,0,AD m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,220,x y y z +=⎧⎨+=⎩取【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.。

四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期10月测试数学试题一、单选题1．已知a r 和b r 是两个单位向量，若π,3a b =r r ，则向量a r 与向量a b -r r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π32．在四面体OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，点D 满足BD BC λ=u u u r u u u r，E 为AD 的中点，且111244OE a b c =++u u u r r r r，则λ=（ ）A ．12B ．14C ．13D ．233．有一组样本数据12,,,n x x x ⋯，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ⋯，其中()1,2,,i i y x c i n =+=L ，c 为非零常数，则下列说法正确的是（ ）①两组样本数据的样本平均数相同 ②两组样本数据的样本中位数相同 ③两组样本数据的样本标准差相同 ④两组样本数据的样本极差相同 A ．①③ B ．②③C ．②④D ．③④4．已知集合(){},20A x y x ay a =++=，(){},10B x y ax ay =+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．存在a ∈R ，使得A =∅ B ．当1a =-时，13,22A B ⎛⎫⋂=- ⎪⎝⎭C ．当A B =∅I 时，1a =D ．对任意的a ∈R ，都有A B ≠5．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：π的值取35≈）A ．2300.88cmB ．2311.31cmC ．2322.24cmD ．2332.52cm6．如图一，矩形ABCD 中，2,BC AB AM BD =⊥交对角线BD 于点O ，交BC 于点M ，现将ABD △沿BD 翻折至A BD 'V 的位置，如图二，点N 为棱A D '的中点，则下列判断一定成立的是（ ）A ．BD CN ⊥B ．AO '⊥平面BCDC ．//CN 平面A OM 'D ．平面A OM '⊥平面BCD7．过定点A 的直线20ax y +-=与过定点B 的直线420x ay a -+-=交于点(P P 与A 、B 不重合)，则PAB V 面积的最大值为（ ）A B ．C ．2D ．48．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有A ，B 两点，C α∈，AC l ⊥，D β∈，BD l ⊥，且1AC AB BD ===，则下列说法错误的是（ ）A ．当二面角l αβ--的大小为60o 时，直线AB 与CD 所成角为45oB ．当二面角l αβ--的大小为60o 时，直线CD 与平面βC ．若CD C BD A --7D ．若CD ABCD 外接球的表面积为7π3二、多选题9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于 80,90 内的学生成绩方差为12，成绩位于[)90,100内的同学成绩方差为10.则（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：m 、x 、21s ；n 、y 、22s .记样本平均数为ω，样本方差为2s ，()()2222212m n s s x s y m n m n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦++.A ．0.004a =B ．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.2510．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为511．如图，P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则下列说法正确的有（ ）A ．当P 在平面11BCCB 内运动时，四棱锥11P AA D D -的体积不变 B ．当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11AC 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π＋D ．若F 是棱11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面11B CD 时，PF三、填空题12．若直线260x a y ++=和直线(2)320a x ay a -++=没有公共点，则a 的值为. 13．过点()1,4A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为14．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为．四、解答题15．黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求x 的值；(2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；(3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[)[)50,60,60,70的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在 50,60 和 60,70 内各1人的概率.16．如图，四边形ABCD 是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，OA BF AD ===3，点G 是线段BF 的中点，点H 是»BF的中点．(1)证明：//EG 平面DAF ； (2)求点H 到平面DAF 的距离．17．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1160,A AB A AD BAD E F ∠∠∠===o ､分别在1B B 和1D D 上，且1112,33BE BB DF DD ==.(1)证明1A E C F ､､､四点共面；(2)若1AC 与EF 相交与点M ，求点M 到直线AB 的距离.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1AC AC =； (2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19．如下图，在ABC V 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，D 是AC 中点，E 、F 分别是BA 、BC 边上的动点，且//EF AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正切值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围．。

四川省成都市成都市第七中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．1122a b c++C．1122-++a b c5．某校高一年级15个班参加合唱比赛，90,91,91,91,92,93,94,96,98，则这组数据的A．90B．93.56．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，A ．23535B 8．已知正方体ABCD -棱所成的角均相等，记为正确的是（）A ．M 可能为三角形，四边形或六边形B ．3cos 3θ=C ．M 的面积的最大值为D ．正方体ABCD A -二、多选题9．下列命题中是真命题的为（）A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB=+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面10．已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量(,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（）A ．1e n l α⊥⇔∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．12n n αβ⇔∥∥ D ．1e n l α⊥⇔⊥ 11．以下结论正确的是（）A ．“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B ．假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B ⋃=C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D ．6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立12．如图，已知矩形,4,2,ABCD A AD E B ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（）A ．翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B ．翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C ．翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2a b >．D ．当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的范围为()1,2三、填空题16．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为四、解答题17．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式.某校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值；(2)估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数．18．用向量的方法证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么DE平面PAB (1)证明：//(1)证明：平面//PCD平面QAB (2)设G为QBC△的重心，是否在棱值为3020，若存在，求S到平面。

成都七中高新校区高 2022 级高二上期学科素养测试数学试卷总分:150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.直线 y =−12x +1的一个方向向量是A. (1,-2)B. (2,-1)C. (1,2)D. (2,1)2. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，具余为不合格品， 现在这个工厂随机抽查一件产品， 设事件Ａ为“是一等品”，Ｂ为“是合格品”， Ｃ为“是不合格品”，则下列结果错误的是A.P (B )=710B. P(A∩B)=0C.P (B ∩C )=7100D.P (A ∪B )=9103. 一组样本数据为：19、 23， 12， 14， 14、17， 10， 12， 13， 14，27， 则这组数的众数和中位数分别为A. 14, 14B. 12, 14C. 14, 15.5D. 12, 1554.若 {a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是 A.{a ⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} B.{b ⃗⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} C.{c ⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} D.{a ⃗+2b ⃗⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b⃗⃗} 5. 如图，在棱长为 a 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P 为A₁D₁的中点，Q 为AB₁上任意一点, E, F 为 CD 上两个动点, 且EF 的长为定值,则点Q 到平面PEF 的距离.A.等于 √55aB.和EF 的长度有关 C 和点Q 的位置有关 D.等于 √23a6. 设直线l 的方程为6x-6ycosβ+13=0. 则直线l 的倾斜角α的范围是A. [0,π]B.[π4,π2]C.[π4,π2)∪(π2,3π4])D.[π4,3π4]7. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，下列说法正确的是A. 事件A 与事件B 互斥B. 事件A 与事件B 对立C. 事件A 与事件B 相互独立D.P (A +B )=56 8. 在正四棱锥P-ABCD 中,若 PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,平面AEF 与棱PD 交于点G,则四棱锥 P-AEFG 与四棱锥P-ABCD 的体积比为 ( )A.746B.845C.745D. 445二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.全部选对得５分，部分选对得２分，有选错的得０分.9. 下列命题是真命题的是A. 若A, B, C, D 在一条直线上, 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量B.若A, B, C, D 不在一条直线上, 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗不是共线向量C. 若向量AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 D. 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上 10.已知正方体.ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,点E 、O 分别是 A₁B₁、A₁C₁的中点, P 在正方体内部且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则下列说法正确的是 A.点A 到直线BE 的距离是 √55 B.点O 到平面ABC₁D₁的距离为 √24C.平面A₁BD 与平面B₁CD₁间的距离为 √33D.点P 到直线AB 的距离为 253611. 在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形, ∠DAB =π3, A B=2AD=2PD,PD ⊥底面ABCD,则A. PA ⊥BDB. PB 与平面ABCD 所成角为6π C.异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为 2√55D.平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为 √7712.在正四面体 ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，CD(不含端点)上的动点，则下列说法正确的是A. 对任意点M, N, 都有MN 与AD 异面B. 存在点 M, N, 使得 MN 与BC 垂直C. 对任意点M,存在点 N, 使得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面 D. 对任意点M, 存在点 N, 使得 MN 与AD, BC 所成的角相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 点P(1,-2,5)到xOy 平面的距离 .14.为已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为1l , 2l ∶y =−2x +1, l 3:y =−1n x −1n .若1l //2l ,23l l ⊥,则m+n 的值为 . 15.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点P 是AA'上的动点，Q 是平面BB'C'C 内的一点，且满足A'D ⊥BQ ，则二面角P-BD-Q 余弦值的取值范围是 . 16.已知四棱锥P-ABCD 的各个顶点都在球 O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面 ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC, AB=AD=CD=3,∠ABC=3, PA=2 √2 ,M 是线段AB 上一点, 且AM=λAB. 过点M 作球O 的截面， 所得截面圆面积的最小值为2π， 则λ= .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥底面ABCD,CD ∥AB,AD=DC=CB=1 AB =2,DP =√3.(1) 证明: BD ⊥PA;(2) 求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值.18.(12分) 已知A(3,3), B(-4,2), C(0,-2).(1)若点D 在线段AB (包括端点) 上移动时，求直线CD 的斜率的取值范围.(2)求函数 y =sinθcosθ+2,θ∈R 的值域.19. (12分)如图， 一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中， 以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°（１：）证明ＡＣ1⊥ＢＤ．(2)求BD₁与AC 所成角的佘弦值.20.(１２分)甲、乙两校各有３名教师报名支教，其中甲校２男１女，乙校１男２女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的６名教师中任选２名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的２名教师来自同一学校的概率.21. (12分)从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“２”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D. E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]为Y2−YY−Y1=T2−TT−T1,其中X₁，X₁分别表示原始分区间的最低分和最高分，T₁，T₁分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，Γ表示考生的等级分，规定原始分为Y₁时，等级分为T₁，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：(1)根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；22. （12分）如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点.(1) 求证: OE∥平面PAC;(2) 若∠ABO=∠CBO=30°, PO=3, PA=5①求二面角C-AE-B所成平面角的正弦值.②在线段CE上是否存在一点M，使得直线MO 与平面BCP所成角为30°?高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期十月阶段测试数学试题一、单选题1．已知点((,A B ，若向量AB u u u r是直线l 的方向向量，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 2．方程2222x y x y a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)2,-+∞D ．()2,-+∞3．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=r r ，则b a -r r 的最小值为（ ）ABCD4．已知直线()1111111:0,,,0l A x B y C A B C ++=≠与直线()2222222:0,,,0l A x B y C A B C ++=≠，则直线12,l l 关于y 轴对称的充要条件是（ ）A ．1122BC B C = B ．1122A B A B -= C ．111222A B C A B C -=≠ D ．111222A B C A B C -== 5．在空间直角坐标系中，点()()()1,2,1,2,2,1,0,0,2A B C --，向量a r 是平面ABC 的法向量，则向量a r 的坐标可以是（ ）A ．()8,5,6B ．()8,6,5C ．()6,5,8D ．()5,8,6 6．已知平面上两点()()4,1,0,4,A B M 是直线310x y --=上一动点，则MA MB -的最大值为（ ）A ．52 BC．D ．57．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,3AB BC AA ===，点M 满足()11AM AB AC λλ=+-u u u u r u u u r u u u u r ，()λ∈R ，点N 满足()()11,AN AC AD μμμ=+-∈R u u u r u u u r u u u u r ，则向量MN u u u u r 模的最小值为（ ） ABCD8．平面内四个点()()()()12340,3,2,0,4,1,6,4M M M M 分布在直线:0l Ax By C ++=的两侧，且两侧的点到直线l 的距离之和相等，则直线l 过定点（ ）A ．()2,3B ．()3,2C ．()2,3--D ．()3,2--二、多选题9．记空间向量,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，向量,,a b c r r r 均为单位向量且两两夹角为60o .则下列命题中，正确的是（ ）A ．向量,,a b b c a c +++r r r r r r 不能作为空间向量的基底B ．向量a b c ++r r r 是平面ABC 的法向量C ．向量171362OD a b c =+-u u u r r r r ，则D 点在ABC V 内D ．向量c r 在向量a b +r r 10．已知直线:sin cos 1l x y αα-=，其中[)0,2πα∈.有以下命题正确的有（ ）A ．直线l 的倾斜角为αB ．若(),P x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥C．当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l 与两坐标轴的截距之和的最小值为D ．集合{}PP l ∈∣，当α变化时，该集合在坐标平面内的补集构成的图形面积为π 11．在平面直角坐标系中，点A 关于直线y x =的对称点为A '，向量2||OA OA 'u u u r u u u r 对应的点叫做点A 的仿射点，在下列选项中，对点A 的仿射点的描述，正确的是（ ）A ．若点A 在圆221x y +=上，则点A 到仿射点的距离的最大值为2B ．点A 的仿射点的仿射点是AC ．若点A 的轨迹是一条不过原点的直线，则其仿射点的轨迹是圆D ．若点A 的轨迹是圆，则其仿射点的轨迹是一条直线三、填空题12．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()()2,0,2,1,2,4A B ，则直线AB 与坐标平面Oxy 的交点坐标为.13．已知直线12:220,:220l x y l x y -+=--=，若直线1l 与2l 关于直线l 对称，则直线l 的方程为.14．已知棱长为2的正四面体ABCD ，动点P 是正四面体ABCD 内切球上一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 的值等于.四、解答题15．某保险公司在2023年度给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？(2)经调查，年龄在[)30,50之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在[)30,40和 40,50 的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率. 16．已知ABC V 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，边AC 上的高BH 所在直线方程为250x y --=.(1)求顶点,B C 的坐标；(2)求过ABC V 三个顶点的圆的方程，并求出该圆的圆心和半径. 17．已知点()3,1M ，直线()1:2140l ax a y -++=，()a ∈R ，2:210l x y ++=，3:20l x y --=.(1)若这三条直线不能围成三角形，求实数a 的值；(2)点M 关于直线1l 的对称点为N ，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,2ABC ABC BA AA ∠==o ，D 是棱AC 的中点，E 在棱1BB 上，且1AE AC ⊥.(1)证明：BD ∥平面1AEC ；(2)若点1C 到平面11ABB A①求直线BD 到平面1AEC 的距离；②求平面1AEC 与平面11ABB A 的夹角.19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,CC AA 的中点，点P 是正方形ABCD 内一动点（包括正方形ABCD 边界）.(1)当1A PF ∠取得最大值时，求点P 在正方形ABCD 内轨迹的长度；(2)在（1）的条件下，求向量BP u u u r 在向量1BD u u u u r 上投影的取值范围；(3)当1A PE 取得最大值时，求线段AP 的长度.。

成都七中实验学校高二（上）第二次月考文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题：（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1.某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1， 要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生 A ．80人 B ． 60人 C ． 100人 D ． 20人2．已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为 A ． 中位数 >平均数 >众数 B ． 众数 >中位数 >平均数C ． 众数 >平均数 >中位数D ． 平均数 >众数 >中位数 3．若某几何体的三视图（单位：cm ） 如图所示，则此几何体的体积 A ．π B ．π2C ．π3D ．π44．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥5． 对任意的实数k ，直线y =kx +1与圆222x y +=的位置关系一定是A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心6．已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为A .43-B .23- C .43 D .23 7．已知三棱锥A PBC -中，PA ⊥面,ABC AB AC ⊥22BA CA PA ===,则三棱锥A PBC -底面PBC 上的高是A．6B．3C ．3D ．38．执行右面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3], 则输出的s 属于A ．[-3,4]B . [-5,2]C . [-4,3]D . [-2,5]9．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为俯视图A ．4B ．3C ．2 D10．如图所示，在棱长为2的正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，若P 是棱AC 上一动点，则BP PE +的最小值为A ．3 BC．1D11．若直线b x y +=与曲线224690(3)x x y y y -+-+=≤有公共点,则b 的取值范围是A ．]221,1[+-B ．]221,221[+- C．[1- D ．]3,21[-12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF = 12．则下列结论中正确的个数．．．．．为 ①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年四川省成都七中万达学校高二（下）月考数学卷（3月份）A .S n =2a n -1B .S n =2n +1C .a n +1=2a nD .{S n }是等比数列（5分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，给出以下条件，其中一定可以推出{a n }为等比数列的条件是（ ）1.A .5或13B .5C .8或10D .8（5分）椭圆+=1的焦距为2，则m 为（ ）2.x 29y 2m A .B .C .D .2（5分）如图，在三棱锥P -ABC 中，点D 满足PB =4PD ，CD =xAB +yAC +zAP ，则x -y +z =（ ）3.→→→→→→123274A .事件A 与事件C 互斥B .P （BC ）=C .事件A 与事件D 对立D .P （CD ）=（5分）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A ：2个球都是红球，事件B ：2个球中恰有1个红球，事件C ：2个球至少有1个红球，事件D ：2个球不都是红球，则下列法正确的是（ ）4.13122323A .B .C .D .（5分）已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且=，则的值为（ ）5.S nT n 2n +3n +1a 5b 101311211013222120A .-1B .0C .2D .0或2（5分）若斜率为1的直线l 与曲线y =ln （x +a ）和圆x 2+y 2=都相切，则实数a 的值为（ ）6.12A .4862B .4962C .4952D .4852（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前7分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第100项为（ ）7.一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）A .2B .C .D .（5分）已知等比数列{a n }的公比为-，其前n 项和为S n ，且a 1，，a 3成等差数列，若对任意的n ∈N *，均有A ≤-≤B 恒成立，则B -A 的最小值为（ ）8.13+4a 23S n 2S n7610353A .图中的a =0.006B .m =200C .同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2D .该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为71，则甲将会被邀请参与产品改进会议（6分）一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了m 名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在[40，50）内，则（ ）9.A .已知函数f （x ）=x 3+2x ,则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为30B .已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在函数y =f （x ）图像上，若函数f （x ）从x 1到x 2平均变化率为，则曲线y =f （x ）的割线AB 的倾斜角为C .已知直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是V =2t 2-1，则t =2时瞬时加速度为7D .已知函数f （x ）=，则f （9.05）≈3.008（6分）下列说法正确的是（ ）10.M 3π3√x A .|f （x n ）|=1B .数列{x n }为等差数列C .=tan （+）D .[f （）=（6分）已知函数f （x ）=sinx -cosx ,x ∈[0，+∞），动直线l 过原点且与曲线y =f （x ）相切，切点的横坐标从到大依次为x 1，x 2，x 3，⋯⋯，x n ⋯⋯，则下列说法错误的是（ ）11.x n x n π4x n ]22xn2+1x n 2（5分）设A ，B 是随机事件，且P （A ）=，P （B ）=，P （A ∪B ）=，则P （A ∩B ）=.12.383412（5分）已知点M 在抛物线Γ：x 2=4y 上运动，过点M 的两直线l 1，l 2与圆C ：x 2+（y -3）2=4相切，切点分别为A B ，则当|AB |•|MC |取最小值时，点M 的坐标为.13.二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分）三、填空题（本大题共3小题，每5分，共15分）（5分）已知向量AB =（n ,1，1）（n ∈）在向量CD =（12，5，0）上的投影向量的模为a n ，则a 5= ，使a n 为整数的n 的值按照从小到大的顺序排列，得到的新数列的前n 项和S n =.14.→N *→（13分）已知曲线f （x ）=x 3-x ,求：（1）曲线过点（-1，0）的切线方程；（2）曲线平行于直线11x -y +1=0的切线方程.15.（15分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，点O 为AD 的中点，∠APD =90°且AD =PB .（1）求证：OB ⊥平面PAD ；（2）若AD ⊥PB ，求平面PBC 与平面PAD 所成角的余弦值.16.（15分）已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n ,数列{b n }的首项b 1=，且满足b n +1=.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：数列{+1}为等比数列；（3）设c n =，求数列{c n }的前n 项和T n .17.12b n 2+3b n 1b na nb n（17分）已知双曲线C ：-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左、右顶点分别为A 1、A 2，点P （，4）在C 上，|=18||.（1）求双曲线C 的标准方程.（2）若过焦点F 2且斜率存在的直线与双曲线C 的右支交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，试问+是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.18.x 2a 2y 2b2M 3F 1F 2|2A 1A 2sin ∠MQF 2sin ∠QMF 2sin ∠NQF 2sin ∠QNF 2（17分）设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列.且a 1=b 1=1，a 3+b 2=7，2a 2-b 3=2，n ∈N *.（Ⅰ）求{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）记T n 为{b n }的前n 项和，求证：T n •T n +2<；（Ⅲ）若c n =，求数列{c n }的前2n 项和S 2n .19.T n +12V W X （+1）•，n 为奇数，n 为偶数a n Mb n 3b n （-）（-）b n 12b n +212四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）。

2023~2024学年度上期高二上12月考试数学试题（测试时间120分钟，满分150分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线30y -+=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.1502.已知)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则x =（）A.7- B.1- C.1 D.73.在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（）A .0.25B.0.4C.0.6D.0.754.方程12=，化简的结果是（）A.221364x y += B.2213632x y += C.2213616x y += D.2213616y x +=5.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该拋物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ +的最小值为（）A.4B.3C.2D.16.已知矩形,ABCD P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 满足12PM PC =，23PN PD = ．若MN x AB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A.1-B.1C.12- D.127.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB BA =，则l 的斜率为（）A.2B.1C.12D.74-8.已知ABC 的三个顶点都在椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）上，其中A 为左顶点，B 为上顶点，若以B 为顶角的等腰三角形ABC 恰好有3个，则Γ的离心率的取值范围为（）A.6,13⎛⎫⎪⎪⎝⎭B.2,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.60,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.30,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数据22,24,32,33,35,28,56,x 的第65百分位数为35，则x 的取值可以是（）A.20B.35C.42D.5310.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，其中()18n Ω=，()9n A =，()6n B =，()12n A B ⋃=则（）A.事件A 与事件B 互斥B.()23P A B ⋃=C.事件A 与事件B 相互独立D.()16P AB =11.已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上第一象限内一点，且12π3F PF ∠=，12F F =，1F 关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上，则（）A.C 的实轴长为2B.C 的离心率为C.12F PF △的面积为D.12F PF ∠10y --=12.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点P 为正方形1111D C B A 上的动点，则（）A.满足MP //平面1BDA 的点PB.满足MP AM ⊥的点P 的轨迹长度为223C.存在点P ，使得平面AMP 经过点BD.存在点P 满足5PA PM +=三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为__．14.已知向量()2,3,1a =- ，()4,,2b t =- ，若a 与b的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为______.15.已知椭圆2212516x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点，若点M 是线段1PF 的中点，则1MOF ∆的周长为______.16.过点()1,M m -作抛物线()2:2,0C y px p =>的两条切线，切点分别为()11,A x y 和()22,B x y ，又直线AB 经过抛物线C 的焦点F ，那么12MA MBy y k k =______.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数、将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，…，[]80,90，并整理得到如图的频率分布直方图．（1）估计总体400名学生中分数小于60的人数；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数；（3）根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考．18.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-++=相交于,A B 两点，求：（1）线段AB 的长；（2）两圆有公切线方程.19.如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF //DE ，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点.（1）证明：当H 为棱DE 的中点时，GH //平面ABE ；（2）是否存在点H ，使得GH AC ⊥；若存在，求:DH DE 的值；若不存在，请说明理由.20.甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为23，乙胜丙的概率为12，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率.21.已知抛物线()2:20C x py p =>上第一象限的一点(),1P x 到其焦点的距离为2．（1）求抛物线C 的方程和P 点坐标；（2）过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 交抛物线C 于A 、B ，若APB ∠的角平分线与y 轴垂直，求弦AB 的长．22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，且12,F F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点23,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线,AB CD 分别交椭圆E 于,,,A B C D ，且,M N 分别是弦,AB CD 的中点.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线MN 过定点；（3）求2MNF 面积的最大值.成都外国语学校2023~2024学年度上期高二上12月考试数学试题（测试时间120分钟，满分150分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线30y -+=的倾斜角为（）A.30 B.60C.120D.150【答案】A 【解析】【分析】求出直线30y -+=的斜率，进而可得出该直线的倾斜角.【详解】因为直线30y -+=的斜率为33k =，因此，该直线的倾斜角为30 .故选：A.2.已知)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则x =（）A .7- B.1- C.1 D.7【答案】B 【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，且//αβ，所以12//n n ，即33==-=1x -故选：B3.在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（）A.0.25 B.0.4C.0.6D.0.75【答案】A 【解析】【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.【详解】20组数据中，都不含1,2,3,4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989；故三只豚鼠都没被感染的概率为：50.2520=.故选：A .4.方程12=，化简的结果是（）A.221364x y += B.2213632x y += C.2213616x y += D.2213616y x +=【答案】B 【解析】【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得.12+=，可得点(),M x y 到定点()12,0F ，()22,0F -的距离之和等于12，即1212124MF MF F F +=>=，所以动点(),M x y 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，设其方程为22221(0)x ya b a b+=>>，则212a =，2c =，所以6a =，b =，故方程为2213632x y +=.故选：B.5.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该拋物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ +的最小值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】由已知点()2,3在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求PF PQ +的最小值.【详解】设抛物线的方程为()220y px p =>，因为6AB =，2MO =，所以点()2,3A 在抛物线上，所以94p =，故94p =，所以抛物线的方程为292y x =，所以抛物线的焦点F 的坐标为9,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为98x =-，在方程292y x =中取158x =可得2135416y =>，所以点Q 在抛物线内，过点P 作PP '与准线垂直，P '为垂足，点Q 作QQ '与准线垂直，Q '为垂足，则PF PP '=，所以159388PF PQ PP PQ QQ ''+=+≥=+=，当且仅当直线PQ 与准线垂直时等号成立，所以PF PQ +的最小值为3，故选：B.6.已知矩形,ABCD P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 满足12PM PC =，23PN PD = ．若MN x AB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A.1-B.1C.12- D.12【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.【详解】因为12PM PC = ，23PN PD = ，所以()()21213232MN PN PM PD PC AD AP AC AP =-=-=---()()2111132266AD AP AB AD AP AB AD AP =--+-=-+-，因为MN x AB y AD z AP =++ ，所以12x =-，16y =，16z =-，所以12x y z ++=-.故选：C7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB BA =，则l 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.74-【答案】B 【解析】【分析】由已知FB BA =，可知BF ，再结合双曲线的定义，得1BF ，在1BFF △中用余弦定理可知1cos BFF ∠，又1cos bBFF c∠=，整理可得a b =，可得l 的斜率.【详解】由已知直线l 的方程为by x a=，即0bx ay -=，点(),0F c ，则FA b ==，因为FB BA =，所以B 为线段AF的中点，则2bBF =，设双曲线C 的左焦点为1F ，则122bBF a =+，在1BFF △中，222222111142242cos 2222b bc a BF FF BF b a BFF b BF FF c c ⎛⎫+-+ ⎪+--⎝⎭∠===⨯⨯，又1cos b BFF c∠=，所以a b =，故l 的斜率为1，故选：B.8.已知ABC 的三个顶点都在椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）上，其中A 为左顶点，B 为上顶点，若以B 为顶角的等腰三角形ABC 恰好有3个，则Γ的离心率的取值范围为（）A.6,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.60,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.30,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由题意知只需椭圆22221x y a b+=与圆()2222x y b a b +-=+有四个公共点，求出,a c 的关系得离心率的取值范围【详解】由题意知ABC 的第三个顶点C 在以B为圆心，以AB =为半径的圆上，要使以B 为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆22221x y a b+=与圆()2222x y b a b +-=+有四个公共点，由()222222221x y a b x y b a b ⎧+=⎪⎨⎪+-=+⎩得2222c y by b -=，所以0y =或322by c=-，当0y =时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当C 位于右顶点处满足条件；当322b y c =-时，要满足椭圆与圆有两个不同交点23,C C ，需要322b y b c =->-，即222b c <，即22222a c c -<，解得63c a >，所以,13e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆22221x y a b+=与圆()2222x y b a b +-=+有四个公共点解决.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数据22,24,32,33,35,28,56,x 的第65百分位数为35，则x 的取值可以是（）A.20 B.35 C.42 D.53【答案】BCD 【解析】【分析】根据第p 百分位数的概念进行计算并判断.【详解】因为865% 5.2⨯=，所以第65百分位数是这组数据的第6个，即为35，又因为本组数据中小于35的数据已有5个，所以35x ≥，故选：BCD.10.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，其中()18n Ω=，()9n A =，()6n B =，()12n A B ⋃=则（）A.事件A 与事件B 互斥B.()23P A B ⋃=C.事件A 与事件B 相互独立 D.()16P AB =【答案】BC 【解析】【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.【详解】由题意可得：()()()()()()11,23P A P B n A n B n n ==ΩΩ==，则()()213P B P B =-=，∵()()()()n A B n A n B n AB ⋃=+-，∴()()()()30n A B n AB n A n B +-==≠U ，即事件A 与事件B 不互斥，A 错误；可得：()()()()Ω12n A B n n A n AB ⋃=-+=，故()()()()()()()()()()1215,,1,1Ω6Ω336n A B n AB P AB P A B P AB P A B P AB P AB n n ⋃==⋃===-⋃==-=，可知B 正确，D 错误；又∵()()()P AB P A P B =，∴事件A 与事件B 相互独立，C 正确；故选：BC.11.已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上第一象限内一点，且12π3F PF ∠=，12F F =，1F 关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上，则（）A.C 的实轴长为2B.C 的离心率为C.12F PF △的面积为D.12F PF ∠10y --=【答案】ACD 【解析】【分析】求出双曲线的解析式，即可求出实轴长和离心率，求出焦点即可得出面积，利用倾斜角即可求出12F PF ∠的平分线所在直线的方程.【详解】由题意，在()2222:10,0x y C a b a b-=>>中，∵1F 关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上，∴P ，2F ，Q 三点共线，且1PF PQ =，∵12π3F PF ∠=，∴11PF F Q PQ ==.设11PF F Q PQ m ===，2PF n =，根据双曲线定义可得122PF PF m n a -=-=，()122QF QF m m n a -=--=，解得4m a =，2n a =，即222PF QF a ==，∴12PQ F F ⊥.在12F PF △中，根据勾股定理可得，2216412a a =+，解得1a =，∴C 的实轴长为2，所以A 正确；又1a =，c =∴C B 不正确；12F PF △的面积为212⨯=∴C 正确；∵12PQ F F ⊥，∴)2P ，∵12π3F PF ∠=，易得12F PF ∠的平分线的倾斜角为π3，∴12F PF ∠的平分线所在直线的方程为2y x -=-10y --=，所以D 正确.故选：ACD.12.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点P 为正方形1111D C B A 上的动点，则（）A.满足MP //平面1BDA 的点PB.满足MP AM ⊥的点P 的轨迹长度为223C.存在点P ，使得平面AMP 经过点BD.存在点P 满足5PA PM +=【答案】AD 【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点P 的轨迹，进而判断A ；建立空间直角坐标系，得到(2,0,0)A ，(0,2,1)M ，P 为正方形1111D C B A 上的点，可设(,,2)P x y ，且02x ≤≤，02y ≤≤，进而对BCD 各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.【详解】对于A ，取11B C 的中点Q ，11D C 的中点N ，又点M 为1CC 的中点，由正方体的性质知1//MQ A D ，//NQ BD ，MQ NQ Q = ，1A D BD D ⋂=，所以平面//MQN 平面1BDA ，又MP ⊂平面MQN ，MP ∴∥平面1BDA ，故点P 的轨迹为线段NQ ==，故A 正确；对B ，方法一：在平面11BCC B 中过M 作ME AM ⊥，交11B C 于E ，设1C E x =，则3AM ==，ME =，AE ==由222AM ME AE +=，可解得12x =，同理，在平面11DCC D 中过M 作MF AM ⊥，交11D C 于F ，可得112C F =，因为ME MF M = ，所以AM⊥平面MEF ，因为MP AM ⊥，所以MP ⊂平面MEF ，所以点P 的轨迹为线段EF ，长度为22，故B 不正确；方法二：以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,2,1)M ，设(,,2)P x y ，且02x ≤≤，02y ≤≤，(2,,2)AP x y =- ，(,2,1)MP x y =- ，(2,2,1)AM =-()22212230AM MP x y x y ⋅=-+-+=-+-= ，即32y x =+，又02x ≤≤，02y ≤≤，则点P 的轨迹为线段EF ，30,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,2,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭且22EF ==，故B 错误；对于C ，方法一：取1DD 中点G ，连接,AG MG ，正方体中，易得//AB MG ，所以平面ABM 截正方体的截面为平面ABMG ，显然P ∉平面ABMG ，故不存在点P ，使得平面AMP 经过点B ，故C 错误；方法二：设(,,2)P x y ，且02x ≤≤，02y ≤≤，若平面AMP 经过点B ，则DP aDA bDB cDM =++，且1a b c ++=，又(,,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,1)DP x y DA DB DM ====,所以()()()(),,22,0,02,2,00,2,1x y a b c =++，即()(),,222,22,x y a b b c c =++，因此222221x a b y b c c a b c =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪++=⎩，从而2x =-，不合题意，所以不存在点P ，使得平面AMP 经过点B ,故C 错误；对于D ，方法一：延长1CC 至M '，令11C M C M '=，则MP M P '=，所以PA PM PA PM AM ''+=+≥，因为4AM '==>，所以存在点P 满足5PA PM +=，故D 正确.方法二：点M 关于平面1111D C B A 的对称点的为(0,2,3)M '，三点共线时线段和最短，故4PA PM AM =='≥>+，故存在点P 满足5PA PM +=，故D 正确.故选：AD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为__．【答案】()1,1或17,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知得222(369)0x y x y m +--+-=，从而22203690x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩，由此能求出定点的坐标．【详解】解：2236920x y mx my m +--+-=，即222(369)0x y x y m +--+-=，令22203690x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩，解得1x =，1y =，或15x =，75y =，所以定点的坐标是()1,1或17,55⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：()1,1或17,55⎛⎫⎪⎝⎭.14.已知向量()2,3,1a =- ，()4,,2b t =- ，若a 与b的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为______.【答案】()10,66,3∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭【解析】【分析】两个向量的夹角为钝角等价于·0a b <且a与b不共线.【详解】由·0a b <⇒()()2,3,1·4,,20t --<⇒8320t -+-<⇒103t <；由a b⇒42231t -==-⇒6t =-.综上：103t <且6t ≠-.故答案为：()10,66,3⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.15.已知椭圆2212516x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点，若点M 是线段1PF 的中点，则1MOF ∆的周长为______.【答案】8【解析】【分析】由椭圆的定义以及三角形中位线的性质，即可得到本题答案.【详解】由椭圆2212516x y +=，得5,4,3a b c ===，由题意可知如图：连结2PF ，点M 是线段1PF 的中点，可得OM 为12PF F ∆的中位线，所以212OM PF =，由椭圆的定义可知122PF PF a +=，得15MF MO a +==，所以1MOF ∆的周长为：538a c +=+=.故答案为：8【点睛】本题主要考查椭圆的定义，其中涉及到三角形中位线的应用.16.过点()1,M m -作抛物线()2:2,0C y px p =>的两条切线，切点分别为()11,A x y 和()22,B x y ，又直线AB 经过抛物线C 的焦点F ，那么12MA MBy y k k =______.【答案】4【解析】【分析】由题意，利用两种方法化简所求代数式，方法一：设出过M 与抛物线的切线的点斜式方程，联立方程，由切点性质，则0∆=，可得方程2220k km p +-=，根据题意，结合韦达定理，可得2MA MB pk k ⋅=-，同样的思路，设出过焦点的直线AB ，联立方程，结合韦达定理，可得212y y p =-，故可得第一种所求代数式的表示；方法二：利用导数的几何意义，求切线斜率，可得212MA MB p k k y y ⋅=，结合方法一中212y y p =-，可得第二种所求代数式的表示；综上建立方程，求得p 的值，进而求得答案.【详解】由题意，显然过点()1,M m -作抛物线2:2C y px =的切线的斜率存在，设该斜率为k ，则该切线方程为()1y m k x -=+，即y kx k m =++，联立2=++=2y kx k m y px⎧⎨⎩，消去y 可得()2222222220k x k km p x k km m ++-+++=，由于切线与抛物线只有唯一交点，则()()22222222420k km p k k km m ∆=+--++=，整理可得2220k km p +-=，由题意，可知,MA MB k k 为方程2220k km p +-=的两个根，则2MA MB p k k ⋅=-，由题意，设直线AB 的方程为2p x ny =+，联立可得2=+2=2p x ny y px ⎧⎪⎨⎪⎩，消去x 可得2220y pny p --=，由题意可知12,y y 为该方程的两个根，则212y y p =-，故21222MA MB y y p pp k k -==⋅-，由抛物线方程()22,0y px p =>，可得函数y =与函数y =，则122y p '==与122y p '=-=不妨设()11,A x y 在第一象限，则110,0x y >>，即1y =1MA pk y ==，由设()11,A x y 在第一象限，则()12,B x y 在第四象限，即220,0x y ><，可得2y =，且2MBp k y ==，故212MA MB p k k y y ⋅=，由212y y p =-，则()212212122212MA MB y y y y y y p p k k p y y ===⋅，综上可得22p p =，解得=2p ，故124MA MBy y k k =⋅.故答案为：4.【点睛】对于抛物线的焦点弦，要熟记直线与抛物线联立，消元选择消去一次项，根据韦达定理，可得两个交点坐标与p 之间的等量关系；对于切线的斜率，利用导数的几何意义进行计算，要善于化简表达式，可用纵坐标表示，结合韦达定理，可得简化计算.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数、将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，…，[]80,90，并整理得到如图的频率分布直方图．（1）估计总体400名学生中分数小于60的人数；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数；（3）根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考．【答案】（1）80（2）20（3）65分【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出分数不小于60的频率，即可得到分数小于60的频率，即可估计人数；（2）由频率分布直方图求出分数在区间[)40,50内的人数，即可估计总体中分数在区间[)40,50内的人数；（3）根据百分位数计算规则计算可得.解：据频率分布直方图可知，样本中分数不小于60的频率为()0.020.040.02100.8++⨯=，所以样本中分数小于60的频率为10.80.2-=，所以估计总体400名学生中分数小于60的人数为4000.280⨯=．【小问2详解】解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为()0.010.020.040.02100.9+++⨯=，分数在区间[)40,50内的人数为1001000.955-⨯-=，所以总体中分数在区间[)40,50内的人数估计为540020100⨯=．【小问3详解】解：设分数的第25百分位数为x ，分数小于70的频率为()10.040.02100.4-+⨯=，分数小于60的频率为()10.020.040.02100.2-++⨯=，所以[)60,70x ∈，即()0.2600.010.25x +-⨯=，解得65x =，则本次考试的及格分数线为65分．18.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-++=相交于,A B 两点，求：（1）线段AB 的长；（2）两圆有公切线方程.【答案】（1）455（2）=2y -或43100x y +-=【解析】【分析】（1）两方程联立求出直线AB 的方程，利用垂径定理和勾股定理即可求出线段AB 的长；（2）利用图象找出一条公切线，利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程.由题意，联立方程组222244240x y x y x y ⎧+=⎨+-++=⎩，两式相减得到直线AB 的方程为24y x =-，则原点O 到直线AB 的距离为220044552(1)--=+-，根据勾股定理得2245452255AB 骣琪琪琪琪ø=è=-【小问2详解】由题意及（1）得，在圆22:4240M x y x y +-++=中，()2(2)11x y -++=，∴()2,1M -，半径为21r =，在圆22:4O x y +=中，圆心()0,0O ，半径为12r =，可得直线=2y -与两圆相切，即=2y -为两圆的公切线，则=2y -关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线，由()0,0O 和()2,1M -，可得两圆心所在直线为12y x =-，即20x y +=，联立方程组220y x y =-⎧⎨+=⎩，解得4,2x y ==-，即交点坐标为()4,2-，在直线=2y -上任取一点()1,2-，设点()1,2-关于直线20x y +=对称点为(),x y ，可得21112122022y x x y ⎧+⎛⎫⋅-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨+-⎪+⨯=⎪⎩，解得1,2x y =-=，即对称点的坐标为()1,2-，所求的另一条切线过点()()1,2,4,2--，可得其方程为43100x y +-=，故所求切线方程为=2y -或43100x y +-=.19.如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF //DE ，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点.（1）证明：当H 为棱DE 的中点时，GH //平面ABE ；（2）是否存在点H ，使得GH AC ⊥；若存在，求:DH DE 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）取EA 中点为M ，通过平行关系证明四边形HMBG 为平行四边形，再结合线面平行的判定定理完成证明；（2）建立合适空间直角坐标系，将垂直关系转化为向量的数量积为0，结合结果进行判断即可.【小问1详解】当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //1,2AD MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则HG //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ，故HG //面ABE ；【小问2详解】因为ED ⊥平面,,ABCD DA DC ⊂平面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ，设()[]0,0,,0,2H m m ∈，若GH AE ⊥，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=，即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故H 不存在.20.甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为23，乙胜丙的概率为12，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率.【答案】（1）1136（2）1954【解析】【分析】（1）设事件A 为甲胜乙，B 为甲胜丙，C 为乙胜丙，然后得出丙被淘汰可用事件C AC CAB ，根据互斥事件的概率公式以及事件的独立性，即可得出答案；（2）分最终的冠军为甲，乙，丙，分别求解出概率，然后根据互斥事件的概率公式，即可得出答案.【小问1详解】记事件A 为甲胜乙，则2()3P A =，则()1()13P A P A =-=，事件B 为甲胜丙，则2()3P B =，()1()13P B P B =-=，事件C 为乙胜丙，则1()2P C =，()1()12P C P C =-=.则丙被淘汰可用事件C AC CAB 来表示，所以，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为()()()()()()1()()P C P A P C P C P A P B P P CAC P CAB ==++1111221123223336=⨯⨯+⨯⨯=.【小问2详解】若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件CABA CBAB 来表示，()()()P CABA CBAB P CABA P CBAB =+ ()()()()()()()()P C P A P B P A P C P B P A P B =+1222122282333233327=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=；若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件C A C A 来表示，()()()()()P C AC A P C P A P C P A =11111232336=⨯⨯⨯=；若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件CBCB 来表示，()()()()()11111232336P C BC B P C P B P C P B ==⨯⨯⨯=.所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为()2(()P P CA B CA P CA A C P CBCB BAB =++ 8111927363654=++=.21.已知抛物线()2:20C x py p =>上第一象限的一点(),1P x 到其焦点的距离为2．（1）求抛物线C 的方程和P 点坐标；（2）过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 交抛物线C 于A 、B ，若APB ∠的角平分线与y 轴垂直，求弦AB 的长．【答案】（1）抛物线方程为：24x y =，P 点坐标为（2，1）（2）4【解析】【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出p ，则可得抛物线方程，再将1y =代入抛物线方程可求出x ，从而可求得点P 的坐标，（2）由题意可得直线l 的斜率存在，设直线方程为()112y k x =++，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再由APB ∠的角平分线与y 轴垂直，可得0PA PB k k +=，化简可求出k 的值，再利用弦长公式可求得弦AB 的长.【小问1详解】由122p+=可得：p ＝2，故抛物线方程为：24x y =，当y ＝1时，24x =，又因为x ＞0，所以x ＝2，所以P 点坐标为（2，1）；【小问2详解】由题意可得直线l 的斜率存在，设直线方程为()112y k x =++，()11,A x y ，()22,B x y ，由2124y kx k x y⎧=++⎪⎨⎪=⎩，得24420x kx k ---=，所以()2164420k k ∆=++>，124x x k +=，1242x x k ⋅=--，因为APB ∠的角平分线与y 轴垂直，所以0PA PB k k +=，所以121211022PA PBy y k k x x --+=+=--，即2212121144022x x x x --+=--，即1240x x ++=，所以1k =-，124x x +=-，122x x ⋅=，所以124AB x =-==.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，且12,F F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点23,22P ⎛⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线,AB CD 分别交椭圆E 于,,,A B C D ，且,M N 分别是弦,AB CD 的中点.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线MN 过定点；（3）求2MNF 面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析（3）19【解析】【分析】（1）根据条件列出方程组求解；（2）设直线AB 的方程为1,0x my m =+≠，根据已知条件，利用韦达定理和中点公式求得222,22m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，2222,2112m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，然后按照其横坐标是否相等，分别研究直线MN 的方程，从而得到结论；（3）求得△MNF 2面积S 关于m 的表达式，然后利用换元思想，设()12,m t t m+=≥转化为关于t 的函数，利用函数的单调性求解得到.【小问1详解】因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23,22P ⎛ ⎝⎭，所以2213124a b+=，因为12,F F 与短轴的一个顶点Q 构成一个等腰直角三角形，所以2222,2b c a b c b ==+=，所以22131224b b+=⨯，解得222,1a b ==，所以椭圆方程为2212x y +=.【小问2详解】证明：设直线AB 的方程为()1,0x my m =+≠，则直线CD 的方程为11x y m=-+，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()222210m y my ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212222122m y y y y m m +=-=-++,所以()()()121212241122x x my my m y y m +=+++=++=+，由中点坐标公式得222,22m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭，将M 的坐标中的m 用1m -代换，得CD 的中点2222,2112m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，当21m =时，MN 所在直线为23x =，当21m ≠时，()2321MN m k m =-，直线MN 的方程为()222322221m m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭，整理得23112m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，令312x -，可得23x =，即有0y =，所以直线MN 过定点R ，且为2,03R ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问3详解】方法一：2F MN 面积为32224222111211112232122252225M N m m m m m m S F R y y m m m m m m ++⎛⎫=⋅-=---=⋅= ⎪++++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭.令()211112,122122t m t t S m t t t+=≥=⋅=⋅++，由12y t t =+，2221212t y t t -'=-=，在[)2,+∞上0'>y ，∴12y t t =+递增，则在[)2,+∞上递减，所以当2t =，即1m =±时，S 取得最大值为19，则2MNF 面积的最大值为19.方法二：222212MF NF m m ===+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则2MNF 面积222112142mm S MF NF m m +=⨯⨯=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，令()12m t t m +=≥，则21124294t S t t t==≤++，当且仅当2t =，即1m =时，2MNF 面积的最大值为19.所以2MNF 面积的最大值为19.。