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四川省成都七中2021-2022高二数学上学期10月月考试题文（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x时只记得，忘记了n的值，但输出v的值为56，则可推断出输入n的值为A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有A. 3B. 6C. 12D. 243.某市要对20000多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出1000名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A. 岁B. 岁C. 岁D. 岁4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位时间x 2 3 5 8 9 12工资y30 40 60 90 120 140则小赵这段时间每天工资与每天工作时间满足的线性回归方程为A. B. C. D.5.对具有线性相关关系的两个变量，，测得一组数据如表所示：x 2 4 5 6 8y20 m60 70 n根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为，则A. 119B. 120C. 129D. 1306.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分十分制如图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均值为，则A. B. C. D.7.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有A. 27个B. 28个C. 29个D. 30个8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有A. 192B. 336C. 600D. 以上答案均不对二、填空题（本大题共4小题）9.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数，，那么输出的p等于______10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．11.把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中F为半椭圆的右焦点，A是圆弧与x轴的交点，过点F的直线交“曲圆”于P，Q两点，则的周长取值范围为______ 12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______三、解答题（本大题共3小题）13.从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组频数 6 26 38 22 8在图中作出这些数据的频率分布直方图；估计这种产品质量指标值的平均数、中位数保留2位小数；根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的”的规定？14.为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．数学120 118 116 122 124物理79 79 77 82 83已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；我们常用来刻画回归的效果，其中越接近于1，表示回归效果越好．求．已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？15.如图，椭圆，抛物线，过上一点异于原点作的切线l交于A，B两点，切线l交x轴于点Q．若点P的横坐标为1，且，求p的值．求的面积的最大值，并求证当面积取最大值时，对任意的，直线l均与一个定椭圆相切．答案和解析1.【答案】C【解析】解：初始值为n，，模拟程序运行过程如下；，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出v的值为，即，解得．故选：C．由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i，v的值，当时，不满足条件时跳出循环，输出v的值，由此列方程求出n的值．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i，v 值是解题的关键，是中档题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本，分2步进行分析：，在4本书中任选2本，分给甲，有种情况，，剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法；故选：B．根据题意，分2步进行分析：，在4本书中任选2本，分给甲，，剩下的2本送给乙，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图，得：司机年龄在的频率为：，司机年龄在的频率为：，司机年龄在的频率为：，估计该市出租车司机年龄的中位数大约是：岁．故选：C．由频率分布直方图，求出司机年龄在的频率为，司机年龄在的频率为：，司机年龄在的频率为：，由此能求出估计该市出租车司机年龄的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：，．，．小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为．故选：B．由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：，，样本点的中心的坐标为，代入线性回归方程，得，解得．故选：B．由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解的值．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数，得分为5的最多，故众数，其平均数；则有，故选：D．根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案．本题考查数据的平均数、中位数、众数的计算，关键是由统计图分析得到平均数、中位数、众数．7.【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况，，四位数的千位数字为3，其百位数字为1时，有3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，此时有个符合条件的四位数；，四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有个符合条件的四位数；则有个符合条件的四位数；故选：A．根据题意，按四位数的千位数字不同分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：E，F，G分别有4，3，2种方法，当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，若C与F不同，则此时D有2种方法，故此时共有：种方法；当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，若C与F不同，则D有1种方法，故此时共有：种方法；当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法；若B不同于F，则B有1种方法，Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法；Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；故此时共有：种方法；综上共有种方法．故选：C．根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．9.【答案】210【解析】解：模拟程序的运行，可得，，，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，不满足条件，退出循环，输出p的值为210．故答案为：210．讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10.【答案】46【解析】解：由茎叶图得：该样本的中位数是：．故答案为：46．由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数．本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】【解析】解：显然直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，由半椭圆方程为可得，圆弧方程为：的圆心为，半径为2，且恰为椭圆的左焦点，，与y轴的两个交点为，，当直线PQ经过B时，，即有；当直线PQ经过C时，，即有．当时，Q、P分别在圆弧：、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，则，的周长；当时，P、Q分别在圆弧：、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，且，的周长；当时，P、Q在半椭圆上，的周长．综上可得，的周长取值范围为．故答案为：．首先判断直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，求得F，A的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ经过圆与y轴的交点B，C的倾斜角，分别讨论当时，当，时，当时，P，Q的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得的周长的范围．本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于中档题．12.【答案】60【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：，4名大学生中录用3人，有种录取情况；，4名大学生全部录用，有种录取情况，则有种录用种数；故答案为：60．根据题意，分2种情况讨论：，4名大学生中录用3人，，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．本题考查分步计数原理的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．13.【答案】解：由已知作出频率分布表为：质量指标值分组频数 6 26 38 22 8频率由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：质量指标值的样本平均数为：，内频率为：，中位数位于内，设中位数为x，则，中位数为．质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为．由于该估计值小于，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的规定．【解析】由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图．由频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数、中位数位．质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值．由于该估计值小于，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的规定．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、众数、中位数、方差的求法，考查产品质量指标所占比重的估计值的计算与应用．14.【答案】解：计算，；；，所以y关于x的线性回归方程是；由题意，填表得y79 79 77 82 8380 77 83计算相关系数；所以接近于1，表示回归效果越好；第6次考试该生的数学成绩达到132，计算，预测他的物理成绩为89分．【解析】计算、，求出回归系数、，写出回归方程；利用回归方程计算y对应的值，求出相关系数的值；利用回归方程计算时的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．15.【答案】解：点，由对称性不妨设．于是，于是所以点Q是的左焦点．设焦准距为．类比抛物线的焦半径算法可得．于是，于是，所以．设于是l：．于是令，则l：．联立．设，．．当且仅当取等，且满足所以的面积的最大值为．注意到即为这个等式类似于；于是猜想椭圆联立得：；；故当面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆相切．【解析】不妨设计算出AQ，BQ的长度代入条件计算出p值；设则令，则l：表示出的面积，求出其最大值，验证直线l与椭圆相切；本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．。
四川省成都市第七中学高三10月阶段性测试数学（文）试题一、单选题1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ） A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D. 【考点】1、一元二次不等式；2、集合的运算. 2．复数313ii -的共轭复数是( ) A ．3i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i -【答案】D 【解析】把313ii -化简为a bi +的性质，可得其共轭复数，可得答案. 【详解】 解：313(13)3ii i i i-=-=+， 可得其共轭复数为：3i -， 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的代数运算及共轭复数的概念，注意运算准确. 3．下列曲线中离心率为62） A ．22124x y -=B ．22142-=x yC ．22146x y -= D ．221410x y -= 【答案】B【解析】由6e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B.4．已知幂函数()y f x =的图象过点1(,)22，则4log (2)f 的值为（ ） A ．14-B ．14C ．2-D ．2【答案】B【解析】利用幂函数图象过点12⎛ ⎝⎭可以求出函数解析式，然后求出()4log 2f 即可． 【详解】设幂函数的表达式为()nf x x =，则122n⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12n =，所以()12f x x =，则()11224421111log 2log 2log 22224f ===⨯=.故答案为B. 【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题．5．已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数()()22f x a x b =-+为增函数的概率是（ ） A ．25B ．35C ．12D ．310【答案】B【解析】试题分析：∵2()(2)f x a x b =-+为增函数，∴22a ->0，又∵{}2,0,1,3,4a ∈-，∴{}2,3,4a ∈-，又{}1,2b ∈，∴函数2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是35，故选B ． 【考点】1．函数的单调性；2．古典概型求概率．6．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1DC 和1B C 所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】将1DC 平移到1AB ，则1AB C ∠或其补角为异面直线所成的角，解三角形即可. 【详解】如图所示，将1DC 平移到1AB ，则1AB C ∠或其补角为异面直线1DC 和1B C 所成的角.显然1AB C ∆为等边三角形，故1AB C ∠=60︒. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，通常采用平移法，将异面直线平移到一起，构造三角形，本题是一道基础题.7．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场得分的情况如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为A ．13、19B ．19、13C ．18、20D ．20、18 【答案】B【解析】由茎叶图分别得到甲、乙两运动员的得分，分别按照从小到大的顺序排列后可得所求的中位数． 【详解】根据茎叶图中的数据，得甲运动员得分按从小到大的顺序排列为：6，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41， 所以甲运动员得分的中位数是19；乙运动员得分按从小到大的顺序排列为：5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40， 所以乙运动员得分的中位数是13． 故选B ． 【点睛】本题考查茎叶图和样本数据的中位数的概念，解题的关键是从敬业图中的两运动员的得分情况，然后再根据中位数的定义求解，属于基础题．8．已知x y ，满足约束条件50{00x y x y y ++≥-≤≤，则2+4z x y =的最小值为（ ）A ．14-B ．15-C ．16-D ．17-【答案】B【解析】【详解】试题分析：画出不等式组所表示的平面区域，如下图所示：目标函数变成：，画出的图象并平移，当它经过点B 时，在y轴上的截距最小，联立方程组：，解得B 点坐标为，所以，z的最小值为：＝－15.【考点】1、不等式组的平面区域；2、用线性规划方法求最优解. 9．己知函数cos 2x y ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则ϕ的最大负值为（ ） A ．4324π-B ．4124π-C ．1924π-D ．1724π-【答案】D【解析】先求出函数cos 2x y ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π后的解析式，然后将,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式计算即可.【详解】由已知，函数cos 2x y ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后得到解析式61cos ()2y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即cos 1212y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又平移后的图象关于,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos 024121ππϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即5cos 024πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得5,242k k Z ππϕπ+=+∈，即7,24k k Z πϕπ=+∈，当1k =-时，1724πϕ=-. 故选：D. 【点睛】本题考查余弦型三角函数图象的平移及应用，要注意平移针对的是自变量x ，本题是一道基础题.10．执行如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】运行程序，由输入为a ，输出m 的值为35，依次进行循环，可得输入a 的值. 【详解】解：起始阶段有23m a =-，1i =，第一次循环后2(23)349m a a =--=-，2i =， 第二次循环后2(49)3821m a a =--=-，3i =， 第三次循环后2(821)31645m a a =--=-，4i =，第四次循环后2(1645)33293m a a =--=-， 跳出循环，输出329335m a =-=，解得4a =， 故选：A . 【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，相对不难，属于基础题型.11．对任意0x …，不等式sin cos 2x x ax ≤恒成立，则实数a 的最小值是（ ） A ．14B ．1C ．2D ．12【答案】D【解析】将已知不等式写成sin24x ax ≤，构造两个函数，利用图象来处理. 【详解】由已知，sin cos 2x x ax ≤，即sin24x ax ≤，对任意的0x …恒成立，令()sin 2f x x =，4y ax =，则4y ax =的图象恒在()sin 2f x x =图象上方或重合，又4y ax =与()sin 2f x x =均过原点，又'(sin 2)2cos 2x x =，所以()sin 2f x x =在原点处的切线斜率为2，从而切线方程为2y x =，故42a ≥，12a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键在于构造了()sin 2f x x =与4y ax =，利用4y ax =的图象恒在()sin 2f x x =图象上方或重合来解决，本题是一道中档题.12．抛物线2:4E x y =与圆22:(1)16M x y +-=交于A 、B 两点，圆心(0,1)M ，点P 为劣弧¶AB 上不同于A 、B 的一个动点，平行于y 轴的直线PN 交抛物线于点N ，则PMN ∆的周长的取值范围是( )A ．(6,12)B ．(8,10)C ．(6,10)D ．(8,12)【答案】B【解析】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过P 作准线的垂线，垂足为H ，根据抛物线的定义，可得MN NH =，故PMN ∆的周长为4PH +，联立圆与抛物线可得B点坐标，可得PH 的取值范围，可得答案. 【详解】解：如图，可得圆心(0,1)M 也是抛物线的焦点，过P 作准线的垂线，垂足为H ，根据抛物线的定义，可得MN NH = 故PMN ∆的周长4l NH NP MP PH =++=+，由2224(1)16x y x y ⎧=⎨+-=⎩可得(23B ，3). PH 的取值范围为(4,6)PMN ∴∆的周长4PH +的取值范围为(8,10)故选：B . 【点睛】本题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的基本量的计算与性质，综合性大，属于中档题.二、填空题13．在等比数列{}n a 中，22a =-，66a =-，则4a =__. 【答案】23-【解析】由22a =-，66a =-，可得2q 的值，可得4a 的值.【详解】解：等比数列{}n a 中，22a =-，66a =-， 4623a q a ∴==， 23q ∴=则24223a a q ==-故答案为：23-【点睛】本题主要考查等比数列的性质及应用，相对不难. 14．已知||2a =r，||1b =r ，a r 与b r的夹角为45︒，若tb a -r r 与a r 垂直，则实数t =__.【答案】2【解析】由||2a =r ，||1b =r ，a r 与b r 的夹角为45︒，可得21,2a b a ⋅==r r r ，由tb a -r r 与ar垂直，可得()0tb a a -⋅=r r r ，可得t 的值. 【详解】解：Q ||2,||1a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为45︒； ∴21,2a b a ⋅==rr r ；又tb a -r r 与a r垂直；∴2()20tb a a ta b a t -⋅=⋅-=-=r r r r r r ；2t ∴=.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的性质，属于基础题.15．某几何体为长方体的一部分，其三视图如图，则此几何体的体积为__.【答案】53【解析】由题目所给的几何体的三视图可得该几何体的直观图，可得此几何体的体积. 【详解】解：由题目所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如图所示：该几何体是底面边长为1的正方形，高为2的长方体切去如图所示的一角，∴剩余几何体的体积等于正方体的体积减去窃取的直三棱锥的体积，1152112323V ∴=-⨯⨯⨯⨯=.故答案为：53. 【点睛】本题主要考查三视图转化为直观图及空间几何体体积的计算，属于基础题. 16．已知ABC V 三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC V 外接圆的面积为__________.【答案】43π 【解析】用a 换掉(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-中的2，利用正余弦定理可得A ，再进一步得到外接圆半径即可解决. 【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，2a =，由正弦定理得(2)()()b a b c b c +-=-，即(a b)()(c b)a b c +-=-，从而222c b a bc +-=，由余弦定理得222cos 2c b a A bc+-=12=，故3A π=，所以432sin 3aR A ===，233R =，从而ABC V 外接圆的面积为2R π=43π. 故答案为：43π. 【点睛】本题考查正余弦定理在三角形中的应用，本题难点在于用a 去换(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-中的2，本题属于中档题.17．选修4-5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--， （Ⅰ）求不等式()2f x >的解集； （Ⅱ）若x R ∀∈，()272f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）263x xx ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）322t ≤≤. 【解析】试题分析：（I ）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为263x x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（II ）由（I ）值，函数()f x 的最小值为()13f -=-，即2732t t -≥-，由此解得322t ≤≤. 试题解析：（I ）()4,1{3,124,2x x f x x x x x --<-=-≤<+≥，当1x <-，42x -->，6x <-，6x ∴<- 当12x -≤<，32x >，23x >，223x ∴<<当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ∴≥ 综上所述263x xx ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或. （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥-恒成立， 则只需()22min 7332760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述322t ≤≤. 【考点】不等式选讲．三、解答题18．微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用.某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下抢到的红包个数进行统计，得到如表数据：（1）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请完成上述2×2列联表，据此判断是否有85％的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关?（2）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售.求在选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号恰有两种的概率. 下面临界值表供参考：()20P K k … 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.【答案】（1）表格见解析，没有85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关；（2）35【解析】（1）认真读取表中数据可完成列联表，利用公式计算后对比临界值即可； （2）采用枚举法，枚举出基本事件总数以及事件“抢到的红包超过5个的型号恰有两种”所包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】（1）根据题意列出22⨯列联表如下： 红包个数手机品牌优非优合计甲品牌（个数）32 52210(94)0.4 2.0725555K -==<⨯⨯⨯，所以没有85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关.（2）从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机共有如下10种情况：（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ），（Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ），（Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ），（Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ），（Ⅰ，Ⅲ，Ⅴ），（Ⅰ，Ⅳ，Ⅴ），（Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ），（Ⅱ，Ⅲ，Ⅴ），（Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ），（Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ），其中抢到的红包超过5个的型号恰有两种共有如下6，即（Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ）（Ⅰ，Ⅲ，Ⅴ）（Ⅰ，Ⅳ，Ⅴ）（Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ）， （Ⅱ，Ⅲ，Ⅴ），（Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ），故概率为35P =. 【点睛】本题考查独立性检验以及古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，第二问在枚举情况的时候要注意细心，不要漏掉任意一种情况，本题属于基础题.19．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21n n n S a n S =≥-. （1）证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：12311111357212n S S S S n +++⋯+<+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由22(2)21n n n S a n S =≥-，可得当2n …时，21221n n n n S S S S --=-，化简可得 1112n n S S --=，可得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）由（1）可知可得111(1)221n n n S S =+-⨯=-，可得121n S n =-,利用裂项相消可得答案. 【详解】解：证明：（1）依题意，当2n …时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S SS S --∴-=g ，∴1112n n S S --=， 又11a =Q ，∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项、2为公差的等差数列； （2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，即121n S n =-， 所以1231111111135721133557(21)(21)n S S S S n n n +++⋯+=+++⋯++⨯⨯⨯-+ 11111111111(1)(1)23355721212212n n n =-+-+-+⋯+-=-<-++. 【点睛】本题主要考查等差数列的判定与证明及数列求和的裂项相消法，属于中档题.20．如图，在五面体ABCDPN 中，棱PA ⊥面ABCD ，2AB AP PN ==，底面ABCD 是菱形，23BAD π∠=（1）求证：//PN AB（2）求五面体ABCDPN 的体积. 【答案】（1）见解析；（2）33【解析】（1）要证明AB PN ∥，只需证明AB ∥面CDPN ，再利用线面平行的性质定理即可；（2）分别算出四棱锥-P DMN 的体积以及三棱柱PMN BCK -的体积相加即可. 【详解】（1）在菱形ABCD 中，AB CD ∥，CD ⊂Q 面CDPN ，AB ⊄面CDPN ，AB ∴P 面CDPN .又AB Ì面ABPN ，面ABPN I 面CDPN PN =，AB PN ∴∥.（2）取CD 、AB 中点M 和N .记四棱锥PDMN 体积为1V ，三棱柱PMN BCK -体积为2V ，总体积为V ，12V V V =+ 1223V V =Q1113522V V V v ∴=+=11132V PA S =⋅⋅⋅Q菱形1122432ABCD =⋅⋅⋅=3V ∴=. 【点睛】本题考查了线面平行的判定与性质、分割法求不规则几何体体积，强调一点：要注意证明的过程中不要遗漏任何定理条件，本题是一道基础题.21．已知椭圆E 的一个顶点为()A 0,1，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线x y 0-+=的距离是3．()1求椭圆E 的方程；()2设过点A 的直线l 与该椭圆交于另一点B ，当弦AB 的长度最大时，求直线l 的方程．【答案】（1）2213x y +=（2）1y x =+或1y x =-+【解析】（1）根据点到直线的距离列式求得c ，再求得a ； （2）根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值． 【详解】（1）由题意，1b =右焦点(),0(0)c c >到直线0x y -+=的距离3d ==,c ∴=，a ∴=∵椭圆E 的焦点在x 轴上，所以椭圆E 的方程为2213xy +=（2）〖解法1〗当k 不存在时，2AB =当k 存在时，设直线方程为1y kx =+，联立22113y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221360k x kx ++=， 260,13A B kx x k-==+()()22222361|13k k AB AB k +==+令()213,1,,t k t =+∈+∞则2211||421AB t t ⎡⎤⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，当114t =，即21k =，得1k =±时 2||AB 的最大值为92，即AB直线的方程为11y x y x 或=+=-+.（2）〖解法2〗设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），设A B 、点对应的参数分别为,A B t t ，且0A t =;将参数方程代入椭圆方程2213x y +=可得：()()22cos 1sin 13t t αα++=，化简可得：()2212sin 6sin 0t t αα++=，若sin 0α=，则上面的方程为20t =，则0B t =,矛盾 若sin 0α≠，则0A t =，26sin 12sin B t αα=-+，则弦AB 长为226sin 6sin AB 12sin 12sin B t αααα==-=++0απ<<Q (]sin 0,1α∴∈∴上式26sin 6112sin 2sin sin αααα==++，2≤=当且仅当12sin ,sin αα=即4πα=或34πα=，tan 1α=±时等号成立. ∴直线l 方程为：1y x =+或1y x =-+【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．22．若定义在R 上的函数()(1)x f x e a x =--，a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若x 、y 、m 满足||||x m y m -≤-，则称x 比y 更接近m .当x e >，试比较ex和1x e a -+哪个更接近lnx ，并说明理由.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)lna +∞，单调减区间为(,)lna -∞；（2）e x比12x e -+更接近lnx ，理由见解析. 【解析】（1）对()f x 求导，分0a „与0a >进行讨论，可得其单调区间; （2）设()ep x lnx x=-，1()x q x e a lnx -=+-，分别对()p x 与()q x 求导，可得当x e >时，()0p x <，()()q x q e >110e e e-=->，当x e >时，可得11|()||()|()()22x x ep x q x p x q x lnx e a lnx e a x---=--=-+--<--，设1()2x n x lnx e a -=--，对其求导可得答案. 【详解】解：（1）()x f x e a '=-，①当0a „时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增； ②当0a >时，令()0x f x e a '=-=得x lna =，令()0f x '>，得x lna >，()f x 单调递增， 令()0f x '<，得x lna <，()f x 单调递减；综上，当0a …时，函数()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； 当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(,)lna +∞， 单调减区间为(,)lna -∞. （2）设()ep x lnx x=-，1()x q x e a lnx -=+-， 21()0e p x x x'=--<Q ，()p x ∴在[e ，)+∞上为减函数，又p （e ）0=， ∴当x e >时，()0p x <.11()x q x e x-'=-，()q x 'Q 在[e ，)+∞上为增函数，又q '（e ）0>， ∴当x e >时，()0q x '>，()q x ∴在(,)e +∞上为增函数，()()q x q e ∴>110e e e-=->. 当x e >时，11|()||()|()()22x x e p x q x p x q x lnx e a lnx e a x---=--=-+--<--，设1()2x n x lnx e a -=--，则12()x n x e x-'=-， ()n x 'Q 在(,)e +∞是减函数，()n x n ∴'<'（e ）120e e e-=-<， ()n x ∴在(,)e +∞是减函数，()n x n ∴<（e ）10a e -=-<， |()||()|p x q x ∴<，∴ex比12x e -+更接近lnx . 【点睛】本题主要靠利用导数求函数的单调区间及导数的综合运用，综合性大，注意分类讨论思想的运用. 23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点(0,2)P ，l 和C 交于A ，B 两点，求||+||PA PB .【答案】(1) 2219x y +=.4π.(2) ||||5PA PB +=. 【解析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角. （2）判断点(0,2)P 在直线l 上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案. 【详解】（1）3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得2219x y +=，即C 的普通方程为2219x y +=.由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，（） 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入（），化简得+2y x =， 所以直线l 的倾斜角为4π. （2）由（1），知点(0,2)P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），即222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，245271080∆=-⨯⨯=>，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1205t t +=-<，122705t t =>，所以10t <，20t <，所以()1212||||5PA PB t t t t +=+=-+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.。
成都七中2023~2024学年度上期10月阶段性测试数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点()0,3A ，点()1,23B -，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒2．已知直线,a b 的方向向量分别为()()1,0,1,1,1,0a b =-=-，且直线,a b 均平行于平面α，平面α的单位法向量为（）A ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．()1,1,1D ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭或333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．有2位同学在游艺楼的底层进入电梯，电梯共6层。
假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（）A ．15B ．45C ．56D ．164．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点,,M AB a AD b == ，1AA c = ，则1MC =（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c---C ．1122a b c-++D ．1122a b c--+5．成都七中高二年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：85，85，86，87，88，89，90，91，91，91，92，93，94，96，98，则这组数据的80%分位数是（）A ．90B ．93.5C ．86D ．936．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A ．平均数为2，方差为2.4B ．中位数为3，方差为1.6C ．中位数为3，众数为2D ．平均数为3，中位数为27．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是（）A ．23535B ．66565C ．1315D ．358．已知正方体1111ABCD A B C D -，设其棱长为1（单位：m ）．平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，记为θ．平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论正确的是（）A ．M 可能为三角形，四边形或六边形B ．3cos 3θ=C ．M 235m 4D ．正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列命题中是真命题的为（）A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面10.已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（）A ．1e n l α⊥⇔∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．12n n αβ⇔∥∥D ．1e n l α⊥⇔⊥11．以下结论正确的是（）A ．“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B ．假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B =C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D ．6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立12．如图，已知矩形,4,2,ABCD AB AD E ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（）A ．翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B ．翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C ．翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2αβ>．D ．当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的取值范围为()1,2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体各面所在平面将空间分成________部分．14．某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________．15．如图，两条异面直线,a b 所成的角为3π，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥（AA '称为异面直线,a b 的公垂线）．已知，1,2A E AF ='=，5EF =，则公垂线AA '=__________．16．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式。
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。
高2022届高三上期数学（文科）阶段性测试题本卷满分150分 ；考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{||2|3}A x x =-<，则A =RA ．(,1)(5,)-∞-+∞B ．(,1][5,)-∞-+∞C ．[]1,5- D ．(1,5)-2．已知复数43i 1i z =+-，其中i 为虚数单位，则z z += A ．i B ．7i C ．7D ．1 3．已知命题23000:(0,1),p x x x ∃∈≥，则命题p 的否定为A ．23000(0,1),x x x ∃∈≤B ．23000(0,1),x x x ∃∈<C ．23(0,1),x x x ∀∈<D ．23(0,1),x x x ∀∈≤4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x <时，12()4log (1)x f x x -=+-，则(1)f =A ．3B ．3-C ．5D ．5-5．“22m n <”是“ln ln m n <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知变量x ，y 之间满足线性相关关系 1.31ˆyx =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：则m = A ．0.8B ．1.8C ．0.6D ．1.6 7．已知单位向量,a b 满足||20++⋅=a b a b ，则|3|+a b 的值为A B ．7C D ．8.在ABC △中，1AB =，AC =6C =π，则B = A ．4π B ．4π或2πC ．34πD ．4π或34π9．已知4tan 23α=-，02απ<<，则sin 3cos αα+=A B ．2 C D 10.若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a λλ+-+-=∈R ，则67a a λ+的最小值为A ．2-B ．4-C ．2D ．4三、解答题：共70分。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期十月阶段测试数学试题一、单选题1．已知点((,A B ，若向量AB u u u r是直线l 的方向向量，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 2．方程2222x y x y a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)2,-+∞D ．()2,-+∞3．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=r r ，则b a -r r 的最小值为（ ）ABCD4．已知直线()1111111:0,,,0l A x B y C A B C ++=≠与直线()2222222:0,,,0l A x B y C A B C ++=≠，则直线12,l l 关于y 轴对称的充要条件是（ ）A ．1122BC B C = B ．1122A B A B -= C ．111222A B C A B C -=≠ D ．111222A B C A B C -== 5．在空间直角坐标系中，点()()()1,2,1,2,2,1,0,0,2A B C --，向量a r 是平面ABC 的法向量，则向量a r 的坐标可以是（ ）A ．()8,5,6B ．()8,6,5C ．()6,5,8D ．()5,8,6 6．已知平面上两点()()4,1,0,4,A B M 是直线310x y --=上一动点，则MA MB -的最大值为（ ）A ．52 BC．D ．57．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,3AB BC AA ===，点M 满足()11AM AB AC λλ=+-u u u u r u u u r u u u u r ，()λ∈R ，点N 满足()()11,AN AC AD μμμ=+-∈R u u u r u u u r u u u u r ，则向量MN u u u u r 模的最小值为（ ） ABCD8．平面内四个点()()()()12340,3,2,0,4,1,6,4M M M M 分布在直线:0l Ax By C ++=的两侧，且两侧的点到直线l 的距离之和相等，则直线l 过定点（ ）A ．()2,3B ．()3,2C ．()2,3--D ．()3,2--二、多选题9．记空间向量,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，向量,,a b c r r r 均为单位向量且两两夹角为60o .则下列命题中，正确的是（ ）A ．向量,,a b b c a c +++r r r r r r 不能作为空间向量的基底B ．向量a b c ++r r r 是平面ABC 的法向量C ．向量171362OD a b c =+-u u u r r r r ，则D 点在ABC V 内D ．向量c r 在向量a b +r r 10．已知直线:sin cos 1l x y αα-=，其中[)0,2πα∈.有以下命题正确的有（ ）A ．直线l 的倾斜角为αB ．若(),P x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥C．当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l 与两坐标轴的截距之和的最小值为D ．集合{}PP l ∈∣，当α变化时，该集合在坐标平面内的补集构成的图形面积为π 11．在平面直角坐标系中，点A 关于直线y x =的对称点为A '，向量2||OA OA 'u u u r u u u r 对应的点叫做点A 的仿射点，在下列选项中，对点A 的仿射点的描述，正确的是（ ）A ．若点A 在圆221x y +=上，则点A 到仿射点的距离的最大值为2B ．点A 的仿射点的仿射点是AC ．若点A 的轨迹是一条不过原点的直线，则其仿射点的轨迹是圆D ．若点A 的轨迹是圆，则其仿射点的轨迹是一条直线三、填空题12．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()()2,0,2,1,2,4A B ，则直线AB 与坐标平面Oxy 的交点坐标为.13．已知直线12:220,:220l x y l x y -+=--=，若直线1l 与2l 关于直线l 对称，则直线l 的方程为.14．已知棱长为2的正四面体ABCD ，动点P 是正四面体ABCD 内切球上一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 的值等于.四、解答题15．某保险公司在2023年度给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？(2)经调查，年龄在[)30,50之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在[)30,40和 40,50 的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率. 16．已知ABC V 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，边AC 上的高BH 所在直线方程为250x y --=.(1)求顶点,B C 的坐标；(2)求过ABC V 三个顶点的圆的方程，并求出该圆的圆心和半径. 17．已知点()3,1M ，直线()1:2140l ax a y -++=，()a ∈R ，2:210l x y ++=，3:20l x y --=.(1)若这三条直线不能围成三角形，求实数a 的值；(2)点M 关于直线1l 的对称点为N ，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,2ABC ABC BA AA ∠==o ，D 是棱AC 的中点，E 在棱1BB 上，且1AE AC ⊥.(1)证明：BD ∥平面1AEC ；(2)若点1C 到平面11ABB A①求直线BD 到平面1AEC 的距离；②求平面1AEC 与平面11ABB A 的夹角.19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,CC AA 的中点，点P 是正方形ABCD 内一动点（包括正方形ABCD 边界）.(1)当1A PF ∠取得最大值时，求点P 在正方形ABCD 内轨迹的长度；(2)在（1）的条件下，求向量BP u u u r 在向量1BD u u u u r 上投影的取值范围；(3)当1A PE 取得最大值时，求线段AP 的长度.。
成都七中高2024届零诊模拟考试数学试题（文科）时间：120分钟 满分：150分一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分．1．直线1l ：210x y +-=与直线2l ：20ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-2．设1i2i 1iz -=++，则z 的虚部为（ ） A ．iB ．3iC ．1D ．33．一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（ ）A B ．C ．10D ．504．已知函数()f x 在其定义域R 上的导函数为()f x '，当x R ∈时，“()0f x '>”是“()f x 单调递增”的（ ） A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件5．圆C ：22(1)(1)1x y -+-=与直线l ：143x y+=的位置关系为（ ） A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法确定6．如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的a =（ ）A ．0B ．8C ．12D ．247．直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D 、E 两点，若0OD OE ⋅=，其中O 为坐标原点，则C 的准线方程为（ ） A ．14x =-B ．12x =-C ．1x =-D ．2x =-8．函数lg y x =的图象经过变换ϕ：10,2x x y y '=⎧⎨'=+⎩后得到函数()y f x ''=的图象，则()f x =（ ）A ．1lg x -+B ．1lg x +C ．3lg x -+D ．3lg x +9．有甲、乙、丙、丁四名学生参加歌唱比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四人，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．点A 、B 在以PC 为直径的球O 的表面上，且AB BC ⊥，2AB BC ==，已知球O 的表面积是12π，下列说法中正确的个数是（ ）①BC ⊥平面PAB ；②平面PAC ⊥平面ABC ；③PB AC ⊥． A ．0B ．1C ．2D ．311．关于圆周率π，数学史上出现过很多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，可通过设计如下实验来估计π值：先请100名同学每人随机写下一组正实数对(,)x y ，且要求x ，y 均小于1；再统计x 、y 和1作为三边长能形成钝角三角形的数对(,)x y 的个数m ；最后利用统计结果估计π值．假如某次实验结果得到28m =，那么本次实验可以将π值估计为（ ） A ．227B ．4715C ．7825D ．531712．函数25()log sin f x x x π=-零点个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：共45分，共20分．13．命题“0x ∀>，tan x x >”的否定为________． 14．函数()cos xf x x=的图象在x π=处的切线方程为________． 15．某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．16．双曲线H ：22221(,0)x y a b a b -=>其左、右焦点分别为1F 、2F ，倾斜角为3π的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设双曲线H 右顶点为A ，若226PF AF ≥，则双曲线H 的离心率的取值范围为________．三、解答题：共5道大题，共70分．17．（12分）设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，（1）求(1)f '-、(1)f 的值； （2）求()f x 在[0,2]上的最值．18．（12分）如图1，E 、F 、G 分别是边长为4的正方形的三边AB 、CD 、AD 的中点，先沿着虚线段FG 将等腰直角三角形FDG 裁掉，再将剩下的五边形ABCFG 沿着线段EF 折起，连接AB 、CG 就得到了一个空间五面体，如图2．（1）若O 是四边形EBCF 对角线的交点，求证：AO ∥平面GCF ； （2）若23AEB π∠=，求三棱锥A BEF -的体积． 19．（12分）信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018-2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018-2022年对应的代码依次为1~5．（1）从2018-2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型xy a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a ，b 的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，，(),n n u w ，其回归直线ˆˆˆwu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni ii nii uw nuwunu β==-=-∑∑，ˆˆw u αβ=-． 20．（12分）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为O ．已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(-，直线PT 与y 轴交于点Q ．当T 与F 重合时，有||||PB PT =，且2BT BP BQ =+． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 的横坐标为t ，且(0,1)t ∈，当DTQ △时，求t 的取值． 21．（12分）设函数()xf x e ax =-，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；（2）若1a =，设()f x '为()f x 的导函数，当1t >时，有11(ln )(ln )ln f t f t tλλ+>+''-，求正实数λ的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 和直线l的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和：sin 4x πρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭M ，N 两个不同点． （1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=，求a 的值．成都七中高2024届零诊模拟考试数学参考答案（文科）一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分．二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分．13．00x ∃>，00tan x x ≤ 14．0x y += 15．80.5 16．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共5道大题，共70分．17．（12分）解：（1）由题设知2(1)()22f f x x x '-'=-+，取1x =-，则有(1)(1)32f f '-'-=+，即(1)6f '-=； 也即3213()2(1)32f x x x x f =-+-，取1x =，则有5(1)(1)6f f =-，即5(1)12f =．故(1)6f '-=，5(1)12f =．（2）由（1）知32135()2f x x x x =-+-，2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--，故max ()(1)12f x f ==，min ()(0)12f x f ==-． 18．（12分）解：（1）在图2中取线段CF 中点H ，连接OH 、GH ，如图所示：由图1可知，四边形EBCF 是矩形，且2CB EB =， ∴O 是线段BF 与CE 的中点，∴OH BC ∥且12OH BC =，图1中AG EF ∥且12AG EF =，而EF BC ∥且EF BC =． 所以在图2中，AG BC ∥且12AG BC =，∴AG OH ∥且AG OH =，∴四边形AOHG 是平行四边形，则AO HG ∥， 由于AO ⊂/平面GCF ，HG ⊂平面GCF ， ∴AO ∥平面GCF ．（2）∵EF AE ⊥，EF BE ⊥，AE ，BE ⊂面ABE ，AEBE E =，∴EF ⊥平面ABE ，121sin 22232ABE S AE BE π=⋅⋅=⨯⨯=△所以114333A BEF F ABE ABE V V S EF --==⋅==△， 即三棱锥A BEF -的体积为3． 19．（12分）解：（1）从2018-2022年中国信创产业规模中任取2个数据有(8.1,9.6)，(8.1,11.5)，(8.1,13.8)，(8.1,16.7)，(9.6,11.5)，(9.6,13.8)， (9.6,16.7)，(11.5,13.8)，(11.5,16.7)，(13.8,16.7)，共10种情况．其中这2个数据都大于10的有(11.5,13.8)，(11.5,16.7)，(13.8,16.7)，共3种情况， 所以2个数据都大于10的概率310P =． （2）xy a b =⋅两边同时取自然对数， 得()ln ln ln ln xy a ba xb =⋅=+，则ln ln v a x b =+．因为3x =， 2.45v =，52155ii x==∑，所以5152221538.5253 2.45ln 0.17755535i i i ii x v xvb xx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ln ln 2.450.1773 1.919a v x b =-⋅=-⨯=，所以ˆ 1.9190.177v x =+， 即ln 1.9190.177y x =+，所以 1.9190.177ˆe 6.81 1.19xx y+==⨯，即y 关于x 的回归方程为ˆ 6.81 1.19xy=⨯． 2023年的年份代码为6，把6x =代入ˆ 6.81 1.19xy =⨯， 得6ˆ 6.81 1.19 6.81 2.8419.3420y=⨯=⨯≈<， 所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元． 20．（12分）解：（1）设(,0)F c -，由2BT BP BQ =+知2()20c -=-+，即1c =， 由||||PB PT =知2222(20))[2(1)]0)b --+=---+，即b =则2a =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）直线BT的方程为x y =，与22143x y +=联立，可得()222243120t y y t +-+-=，且0>△，有223124D t y t -=+，即D y =；直线PT的方程为2x y +=-，令0x =，可得2Q y t =+；由sin sin DTQ PTBS y y QT DT DTQ QT DT S PT BT BTP PT BT ⋅-⋅⋅∠⋅===⋅⋅∠⋅△△3Q D DTQ PTB y yS S =-△△， 即2224DTQt t S t -=+△，(0,1)t ∈．22245t t t -=+，解得23t =，或1t =（舍去）． 故t 的取值为23． 21．（12分）解：（1）由()xf x e ax =-知()xf x e a '=-，1）当a e ≤时，且有[1,)x ∈+∞，()0f x '≥，()f x 单增，故无极值；2）当a e >时，有(1,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 单减，而(ln ,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单增，故()(ln )ln f x f a a a a ==-极小值，()f x 无极大值．综上，当a e ≤时，()f x 无极值；当a e >时，()f x 极小值为ln a a a -，()f x 无极大值． （2）由（1）可知()1xf x e '=-，即有1111ln t t t tλλ+>+--， 整理可令得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，而()22221(1)1(1)()(1)(1)t t F t t t t t λλλλ--+'=-=++， 1）当1λ≥时，且(1,)t ∈+∞，有22(1)()0(1)t F t t t λ-'≥>+，()F t 单增，()(1)0F t F >=，满足题设； 2）当01λ<<时，且211,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()0F t '<，()F t 单减，()(1)0F t F <=，不满足题设； 综上，λ的取值范围为[1,)+∞． 22．（10分）解：（1）由2sin 2cos a ρθθ=+，得22sin 2cos a ρρθρθ=+，故曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即222()(1)1x a y a -+-=+；由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=， 故直线l 的直角坐标方程为2y x =+．（2）点P 的直角坐标为(2,0)-，在直线l 上，而直线l的标准参数方程为22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 将其代入2222x y y ax +=+，整理可得2)440t t a -++=． 由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a ∆=+-+=->，解得1a ≠．又12t t +=，1244t t a =+．当1a >-，且1a ≠时，有1t ，20t >，则1212||||3)PM PN t t t t a +=+=+=+=解得2a =；当1a ≤-时，有120t t ≤，则1212||||1|PM PN t t t t a +=+=-==-= 解得4a =-． 故a 的值为2或4-．。
2020-2021学年四川省成都七中高二上期10月阶段性考试数学（理）试题一、单选题1．已知命题p ：x R ∀∈，sin x x >，则命题p 的否定为（ ） A ．p ⌝：0x R ∃∈，00sin x x < B ．p ⌝：x R ∀∈，sin x x < C ．p ⌝：0x R ∃∈，00sin x x ≤ D ．p ⌝：x R ∀∈，sin x x ≤【答案】C【解析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可． 【详解】解：命题p ：x R ∀∈，sin x x >，为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故p ⌝：0x R ∃∈，00sin x x ≤故选：C 【点睛】本题考查命题的否定，存在量词命题与全称量词命题的否定关系，属于基础题． 2．直线():11l y k x -=-和圆2240x y x +-=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交 D ．相切【答案】C【解析】求出直线l 所过的定点A 的坐标，判断点A 与圆的位置关系，由此可判断出直线l 与圆的位置关系. 【详解】直线():11l y k x -=-过定点()1,1A ，2211410+-⨯<，则点A 在圆2240x y x +-=内，因此，直线():11l y k x -=-和圆2240x y x +-=相交.故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.3．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先正方体对角面是矩形，其次根据圆与矩形的位置关系分析清楚即可. 【详解】由组合体的结构特征知，球只与正方体的面相切，而与侧棱相离， 故选B. 【点睛】本题考查正方体的内切球的截面问题，难度一般.注意根据几何体的特征去分析. 4．已知P 是圆O ：221x y +=上的动点，则点P 到直线l ：20x y +-=的距离的最小值为（ ） A ．1 B 2C ．2D ．2【答案】A【解析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求. 【详解】解：因为圆O ：221x y +=的圆心()0,0O 到直线l ：220x y +-的距离220022211d +-==+，且圆的半径等于1，故圆上的点P 到直线的最小距离为211d r -=-=故选：A 【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.5．已知a ，b ,c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b ∥，b α⊂，则a αB ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥C ．若αβ∥，a α，则a β∥D ．若a αβ⋂=，b βγ=，c αγ⋂=，a b ∥，则b c ∥【答案】D【解析】由空间线面、面面平行的性质和判定逐一判断各选项即可. 【详解】A, 若a b ∥，b α⊂,则a α或a α⊂，故A 不正确.B, 若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥或α与β相交，故B 不正确. C ，若αβ∥，a α，则a β∥或a β⊂，故C 不正确. D,如图，由a b ∥可得b α，易证b c ∥，故D 正确.【点睛】本题考查空间线面的位置关系.使用空间线面、面面平行(垂直)的判定定理和性质定理时，一定要保证条件完整才能推出结论. 6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或，因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A.7．已知函数()22f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若对任意[]11,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]0,3D ．[)3,+∞ 【答案】D【解析】根据二次函数的性质求出()f x 在[1,2]-上的值域为[]1,3A =-，利用一次函数的单调性求出()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得A B ⊆，再根据集合的包含关系即可求解. 【详解】()22()211f x x x x =-=--，[1,2]x ∈-，()()min 11f x f ∴==-，()()max 13f x f =-=，∴()f x 在[1,2]-上的值域为[]1,3A =-，又()2(0)g x ax a =+>在[1,2]-上单调递增，∴()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得A B ⊆，021223a a a >⎧⎪∴-+≤-⎨⎪+≥⎩，解得3a ≥.故选：D 【点睛】该题考查了二次函数的性质、由函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题目.8．过点，且与椭圆221259y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ）A ．221204x y +=B2214y += C ．221204y x +=D．2214x += 【答案】C【解析】将与椭圆221259y x +=焦点相同的椭圆的方程设为221(9)259y x k k k +=<--，再将点代入，求得k 的值，即可得出椭圆标准方程. 【详解】设所求椭圆方程为221(9)259y x k k k+=<--，将点(3,5)-代入，可得22(5)(3)1259k k-+=--，解得5k =（21k =舍去）， 故所求椭圆的标准方程为221204y x +=．故选：C 【点睛】本题主要考查了求与已知椭圆方程有相同焦点的椭圆的标准方程，属于基础题. 9．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．36π+B ．46π+C ．28π+D ．38π+【答案】A【解析】分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，进而得到结果．详解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体， 三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，，半圆柱的底面半径为1，高为2， 故组合体的表面积为111S ππ22212122?362222π=+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+=+，故选A ．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10．平面直角坐标系内，过点)2,0的直线l 与曲线21y x =-A B 、两点，当AOB ∆的面积最大时，直线l 的斜率为（ ）A ．3-B ．3-C ．12-D ．22-【答案】A【解析】作出图象，利用三角形面积的最值，确定∠AOB ＝90°，然后求出圆心到直线的距离，结合三角形的边角关系进行求解即可． 【详解】曲线21y x =-O 圆心半径为1的上半圆， 则AOB ∆的面积11sin sin 22S OA OB AOB AOB =∠=∠， 要使三角形的面积最大，此时sin 1AOB ∠=， 即090AOB ∠=，则2AB =，取AB 的中点C ，则1222OC AB ==，∵2OD = ∴212sin 22OC ODC OD ∠===，则030ODC ∠=，0150xDA ∠=， 即直线的倾斜角为150°，则直线的斜率03tan150k ==， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线斜率的计算，结合直线和圆相交的性质以及三角形面积公式进行转化是解决本题的关键．11．已知点(2,0),(2,0)A B -，若圆222(3)(0)x y r r -+=>上存在点P （不同于点,A B ），使得0PA PB ⋅=，则实数r 的取值范围是（ ）A ．(1,5)B ．[1,5]C ．(1,3]D ．[3,5)【答案】A【解析】问题转化为AB 为直径的圆与圆()2223x y r -+=相交，利用两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出r 的取值范围. 【详解】0,PA PB P ⋅=∴在以AB 为直径的圆22:4O x y +=上，因为圆()2223(0)x y r r -+=>上存在点P （不同于点,A B ），使得0PA PB ⋅=，∴圆()()22230x y r r -+=>与圆224x y +=相交，232r r ∴-<<+，解得15r <<，故选A.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及转化与划归思想的应用，属于中档题. 两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.12．已知点P 是椭圆221(0)1612x y xy +=≠上的动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且10F M MP ⋅=，则||OM 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．C ．(0,4)D ．(2,【答案】A【解析】延长2PF 与1F M 交于点G ，由条件判断1PF G ∆为等腰三角形，OM 为12F F G ∆的中位线，故2122111=22222OM F G PF PF a PF =-=-，再根据2PF 的值域，求得OM 的最值，从而得到结果.【详解】 如图，延长2PF 与1F M 交于点G ，则PM 是12F PF ∠的角平分线， 由10F M MP ⋅=可得1F M 与PM 垂直，可得1PF G ∆为等腰三角形，故M 为1F G 的中点， 由于O 为12F F 的中点，则OM 为12F F G ∆的中位线，故21=2OM F G ， 由于1PF PG =，所以212F G PF PF =-， 所以12211=2222OM PF PF a PF -=-， 问题转化为求2PF 的最值，而2PF 的最小值为a c -，2PF 的最大值为a c +，即2PF 的值域为[,]a c a c -+， 故当2PF a c =+或2PF a c =-时，OM 取得最大值为22211=2222()1612222OM a PF a a c c a b -=--==-=-=， 当2PF a =时，P 在y 轴上，此时M 与O 重合，OM 取得最小值为0，又由题意，最值取不到，所以OM 的取值范围是(0,2)， 故选：A. 【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.二、填空题13．已知直线:210l x y --=和圆22:210C x y y +--=相交于A 、B 两点，则弦长AB =__________．【解析】由圆C 方可知其圆心坐标为(0,1)，半径r =5d ==∴5AB ===，故答案为5. 点睛：本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式.14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足“幂势既同”.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为________．【解析】根据侧面展开图先计算圆锥的体积，再根据祖暅原理得到三棱锥的体积. 【详解】圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆则圆锥的底面半径满足：221r r ππ=∴= ，高h ==2133V r h π==【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，新知识的引入，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.15．已知12,F F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，且12PF tPF =，则t 的值为________． 【答案】7.【解析】由题意可得PF 2平行y 轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵原点O 是F 1F 2的中点， ∴PF 2平行y 轴，即PF 2垂直于x 轴 ∵c =3， ∴|F 1F 2|=6，设|PF 1|=x ，根据椭圆定义可知2PF x =∴22)36x x +=，解得x =∴|PF 2|=2∵|PF 1|=t |PF 2|， ∴t =7. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面,,1,2,3BCD BC CD AB BC CD ⊥===,则球O 的表面积为__________．【答案】14π【解析】根据题意及边长关系得到因为AB ⊥平面BCD 故得到1,AB AD AC === 三角形ABC 为直角三角形，三角形ACD 也为直角三角形，故球心在AD 的中点上，球的半径为1441424V ππ=⨯= 故答案为14π.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.三、解答题17．已知集合A 是函数()2lg 208y x x=--的定义域，集合B 是不等式22210x x a -+-≥（0a >）的解集，p ：x A ∈，q ：x B ∈．（1）若A B =∅，求实数a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1） 11a ≥；（2） 01a <≤． 【解析】（1）分别求函数()2lg 208y x x=--的定义域和不等式22210(0)x x a a -+->的解集化简集合A B ，，由A B =∅得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a 的取值范围；（2）求出p ⌝对应的x 的取值范围，由p ⌝是q 的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a 的范围． 【详解】（1）由条件得： {|102}A x x =-<<， {|1B x x a =+或1}x a -若A B =Φ，则必须满足121100a a a +≥⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩所以，a 的取值范围为： 11a ≥ （2）易得： p ⌝： 2x ≥或10x ≤-， ∵p ⌝是q 的充分不必要条件，{|2x x ∴或10}x -是{|1B x x a =+或1}x a -的真子集，则121100a a a +≤⎧⎪-≥-⎨⎪>⎩，解得：01a <≤ ∴a 的取值范围为： 01a <≤ 【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了对数函数的定义域以及一元二次不等式的解法，正确理解充要条件的定义，是解答的关键．18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）如果点E 是11B C 的中点，求证：1//AE 平面1ADC . 【答案】（1）证明见解析． （2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，关键证明线线垂直.已知1,AD C D ⊥，所以还需再找一组线线垂直. 11,,,CC ABC AD ABC CC AD ⊥⊂∴⊥面面∴AD ⊥平面11BCC B .（2）证明线面平行，关键证明线线平行.本题有中点条件，所以从中位线寻找平行条件. 因为AD ⊥平面11BCC B ，所以.AD BC ⊥从而D 是BC 中点.连接1,//.DE DE AA ===则1.A ADE ∴四边形是平行四边形∴1A E //111,,AD ADC A E ADC ⊂∉面面∴1A E //平面1ADC .证：（1）11,,,CC ABC AD ABC CC AD ⊥⊂∴⊥面面1,AD C D ⊥又111,CC C D C ⋂=∴AD ⊥平面11BCC B . 7分(2) 因为AD ⊥平面11BCC B ，所以.AD BC ⊥从而D 是BC 中点.连接1,//.DE DE AA ===则 1.A ADE ∴四边形是平行四边形∴1A E //111,,AD ADC A E ADC ⊂∉面面∴1A E //平面1ADC . 14分【考点】线面平行判定定理，线面垂直判定定理19．已知命题:p x R ∃∈，使240x x a -+<成立，命题:,21q x R x x a ∀∈-++≥恒成立.（1）若命题p ⌝为真，求实数a 的取值范围； （2）若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4a ≥；（2）34a <<【解析】（1）写出非P 命题，通过二次函数恒成立问题，求解参数的范围； （2）先求出每个命题真假分别对应的参数范围，再分类讨论，先交后并即可. 【详解】（1）p ⌝为真，即240x x a -+≥恒成立， 故0∆≤，即1640a -≤， 解得4a ≥，故a 的取值范围为：4a ≥（2）由（1）可知命题p 为假命题，则4a ≥ 故命题p 为真，则4a <，对命题q ，若其为真，则21x x a -++≥ 恒成立 则()()21213x x x x a -++≥--+=≥ 解得：3a ≤故命题q ,若其为假，则3a >； 又由p 或q 为真，p 且q 为假， 则p ，q 中一个为真，一个为假即43a a <⎧⎨>⎩或43a a ≥⎧⎨≤⎩解得()3,4a ∈故实数a 的取值范围为34a <<. 【点睛】本题考查由命题的真假，求参数的取值范围，涉及二次函数恒成立，绝对值不等式. 20．如图，矩形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM 折到D AM ∆'的位置，AD BM '⊥．（1）求证：平面D AM '⊥平面ABCM ；（2）若E 为'D B 的中点，求三棱锥A D EM -'的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13A D EM V -'=. 【解析】试题分析：（1）在矩形ABCD 中，由题意可得90AMB ∠=，结合'D A BM ⊥，可得BM ⊥平面'D AM ，再由面面垂直的判定可得面ABCM ⊥面'D AM ；（2）在矩形ABCD 中，求得12,2212ADM BM S ∆==⨯⨯=，然后利用等积法求得三棱锥A DEM -的体积.试题解析：（1）由题知，在矩形ABCD 中， 45AMD BMC ︒∠=∠=， 90AMB ︒∴∠=，又D A BM '⊥，BM ∴⊥面D AM '，面ABCM ⊥面D AM '；（2）1111212663A D EM E AD MB AD M D AM V V V BM S '''--∆'-===⋅⋅=⋅⋅=. 21．已知两个定点A （0，4），B （0，1），动点P 满足|PA |＝2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y ＝kx ﹣4. （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k ＝1，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由. 【答案】（1）224x y +=；（2）15（3）直线MN 过定点(1,1)-.【解析】（1）设点P 坐标为（x ，y ），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，由点到线的距离公式得直线l 的斜率；（3）由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭运用直径式圆的方程，得直线MN 的方程为(4)40tx t y ，结合直线系方程，即可得到所求定点．【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ， 由||2||PA PB =可得，2222(4)2(1)x y x y +-=+-整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=.（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离211k =+，解得15k =±，所以直线l 的斜率为15±.（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥， 则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点， 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=， 又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩， 可得(4)40tx ty即直线MN 的方程为(4)40tx ty由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩， 所以直线MN 是过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6. 【解析】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，可得出4MP NP MN +=>，符合椭圆的定义，可知曲线C 是以M 、N 为焦点的椭圆，由此可得出曲线C 的方程； （2）设直线2l 的方程为1x ty =+，设点()11,D x y 、()22,E x y ，将直线2l 的方程与曲线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出DE ，同理得出AB ，并计算出两平行直线1l 、2l 的距离，可得出四边形ABDE 的面积关于t 的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出四边形ABDE 面积的最大值. 【详解】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，42MP NP PQ NP MN ∴+=+=>=， 所以，动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则2a =，b =，因此，曲线C 的方程为:22143x y +=；（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 设()11,D x y 、()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以()2212134t DE t +===+， 同理()2212134t AB t +=+，1l 与2l 的距离为d =，所以，四边形ABDE 的面积为22434S t =⨯+，u =，则1u ≥，得224241313u S u u u ==++，由双勾函数的单调性可知，函数13y u u=+在[)1,+∞上为增函数，所以，函数2413S u u=+在[)1,+∞上为减函数， 当且仅当1u =，即0t =时，四边形ABDE 的面积取最大值为6. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及椭圆的定义，同时也考查了直线与椭圆中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中等题.。
