2022-2023年高中学业水平考试数学试题 含答案

2022年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学试卷注意事项：1．本试卷共8页，共36道小题，总分100分，考试时间120分钟。

2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。

答题前请仔细阅读答卷上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请将答错的原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。

4．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回。

一、选择题(本题共8道小题，每小题2分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．设集合M={–1，0，1，2}，N={0，2，3}，则M∩N=A．{0}B．{－1，1}C．{2}D．{0，2}2．直线x+√3y－1=0的斜率是A．－√3B．－√33C．√3D．√333．在公差为－1的等差数列{a n}中，若a4=1，则a8=A．－4B．4C．－3D．34．若实数a，b，c满足a>b>0，c<0，则A．ac >bcB．ac>bcC．ca >cbD．a+c<b+c5．已知α是第四象限角，若cosα=13，则tanα=A．－√24B．√24C．－2√2D．2√26．不等式x2－2x－3<0的解集是A．(－ω，－3)∪(1，+∞)B．(－3，1)C．(━∞，－1)∪(3，+∞)D．(－1，3)7．已知向量a=(1，2)，b=(2，－λ)，若a⊥b，则实数λ=A．–1B．1C．－4D．48．圆x2+y2－4x+3=0的周长是A．2πB．πC．√3πD．√2π二、选择题(本题共28道小题，每小题3分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)9．样本数据x1，x2，x3，x，x5，x6的平均数为5，若x6=10，则数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3，x5+3的平均数是A．6B．4C．8D．710．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角是60°，则该圆锥的侧面积是A．2πB．2√3π3C．πD．2π311．已知函数f(x)={cos πx 3，x ≤0ln x ，x >0，则f(f(e －1)=A ．12B ．－12C ．√32D ．－√32 12，从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是A ．12B ．32C ．14D ．1313．下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是A ．f (x )=−2xB ．f (x )=ln 1xC ．f (x )=(12)xD ．f (x )=x 2−3x 14．已知α为平面，l ，m ，n 为三条不同的直线，给出以下四个结论：①若l ，m 与n 所成的角相等，则l ∥m ：②若1，m 与α所成的角相等，则l ∥m ﹔③若l 与n 所成的角等于30°，l ∥m ，则m 与n 所成的角等于30∘：④若l 与α所成的角等于30°，l ∥m ，则m 与α所成的角等于30∘。

河南省2023级普通高中学业水平考试数
学(含答案)
考试概况
本次考试为普通高中学业水平考试数学科目，考试时间为120分钟，总分150分。

试卷共8道大题，分别为选择题、填空题、判断题、计算题和证明题。

考试内容
试卷内容主要包括数及运算、代数式与方程、几何图形、三角函数和立体几何等内容。

试题分析
本次考试难度适中，特别是选择题和填空题较为简单，多为基础知识的考查。

计算题难度适中，需要考生熟练掌握运算方法和公式的应用。

而证明题难度较大，需要考生对所学知识进行深刻的理解和归纳总结。

答案解析
考试后，各种渠道陆续公布了本次考试的答案。

对于选择题、判断题和填空题，答案比较固定，只需掌握好基础知识即可得到高分。

对于计算题和证明题，答案思路比较重要，需要考生结合所学知识进行分析和求解。

总结
本次考试总体难度适中，考察知识点比较全面，但重点还是基础知识的考查。

考生应该注重对基础知识的巩固和学习，熟练掌握常用的运算方法和公式，同时也要注重对证明题的理解和分析能力的培养。

2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括两道大题，36道小题，总分100分，考试时间120分钟.2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3．答题时，请用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦拭干净后，再选涂其他答案标号.4．考试结束时，请将本试卷与答题卡一并交回.一、单项选择题（共8小题，每小题2分，共16分）1.设集合{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，则M N ⋂=（）A.{}2 B.{}5 C.{}3,4 D.{}2,3,4,52.若实数,a b 满足i i(1i)a b +=-，则a b +=（）A.2B.2- C.1D.1-3.若实数,,a b c 满足a b >，0c <，则（）A .ac bc> B.ac bc < C.a c b c+<+ D.a c b c-<-4.已知向量(2,1)a =- ，(,2)b m = ，若a b ⊥，则实数m =（）A.1B.1- C.4D.4-5.设命题p ：R α∀∈，sin 1α≥-，则p 的否定是（）A.R α∃∈，sin 1α≤-B.R α∃∈，sin 1α<-C.R α∀∈，sin 1α≤-D.R α∀∈，sin 1α<-6.函数()f x =）A.[]0,2 B.[]2,0-C.(][),02,-∞⋃+∞ D.(][),20,-∞-+∞7.魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”2ra a≈+．当a 取正整数且r 最小时，用“不加借算”的方法计算面积为21232m 的正方形区域的边长，其结果是（）A.35.1mB.35.3mC.35.5mD.35.7m8.若1sin 4α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos()α-=（）A.34 B.34-C.4-D.4二、单项选择题（共28小题，每小题3分，共84分）9.已知向量,a b满足||1,||2,a b a b ==⋅=r r r r ,a b的夹角为（）A.30B.60C.120D.15010.已知函数21,0()log (2),0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，则()f x 的最小值是（）A.1- B.0C.1D.211.已知m ，n 是两条不同的直线，α是平面，则下列四个结论中正确的是（）A.若m α⊥，n α⊥，则//m nB.若//m α，//n α，则//m nC.若m α⊥，m n ⊥，则//n αD.若m ，n 与α所成的角相等，则//m n12.在ABC 中，设3AD DB = ，CA a = ，CB b =uu r r ，则CD =（）A.1344a b+ B.1344a b -C.1233a b +D.1233a b- 13.某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表：天/第1234567件数285367463290335719698已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（）A.8808B.9696C.10824D.1185614.下列函数中，在区间(1,1)-上单调递减的是（）A.()1f x x =-+ B.()cos f x x= C.()e e x xf x -=+ D.1()ln 1xf x x+=-15.设,a b R ∈，则“a b >”是“33a b >”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.将一块棱长为60cm 的正方体石块，磨制成一个球形石块，则最大球形石块的体积是（取π3=）（）A.3864000cm B.3108000cm C.310800cm D.35400cm 17.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π0ϕ-<<）的图象如图所示，则ϕ的值是（）A.7π10-B.9π10-C.π2-D.π5-18.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是增函数，且()10f -=，则使()0f x >的x 的取值范围是（）A.()1,0- B.()0,1 C.()1,1- D.()(),11,-∞-⋃+∞19.若圆锥的底面半径为3，体积为37π，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A.π2B.2π3C.3π4D.3π220.某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（）A.35B.12C.13D.31021.已知0.12a -=，0.20.5b =，0.5log 0.2c =，则（）A.c a b<< B.c b a<< C.b a c<< D.a b c<<22.已知0a >，0b >，24a b +=，则ab 的最大值是（）A.2B.2C.22D.423.将函数sin 2cos 2y x x =+的图象向右平移π4个单位长度，所得图象的函数解析式可以是（）A.22y x =B.π224y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.π224y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.3π224y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭24.某足球队进行点球训练，假设守门员不变，球员甲进球的概率为0.9，球员乙、丙进球的概率均为0.8．若3人各踢点球1次，且进球与否相互独立，则至少进2球的概率是（）A.0.784B.0.864C.0.928D.0.99325.若3cos 210cos 1αα+=，则cos 2cos αα+=（）A.49-B.1-C.109D.126.在ABC 中，若1BC =，3AC =，2cos 3C =，则sin B =（）A.306B.155 C.106 D.10527.如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设1111A A A B ==，2AB =，有以下四个结论：①BC ⊥平面12AA A ；②1//AA 平面22BB C C ；③直线1AA 与2CC 成角的余弦值为56④直线11A C 与平面22AA B B 所成角的正弦值为63．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.428.河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．这批学员技能考核测试成绩的众数的估计值是（）A.65B.75C.85D.9529.河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．这批学员技能考核测试成绩的中位数的估计值是（）A.80.75B.81.25C.82.50D.82.7530.河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则这批学员技能考核测试成绩的平均数的估计值是（）A.79.0B.79.5C.81.0D.82.531.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 是等边三角形，平面PCD ⊥底面ABCD ，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为183，E 为PC 的中点．线段AB 的长是（）A.3B.32C.33D.632.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 是等边三角形，平面PCD ⊥底面ABCD ，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为183，E 为PC 的中点．平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值是（）A.2B.3C.2D.133.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 是等边三角形，平面PCD ⊥底面ABCD ，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为183，E 为PC 的中点．直线DE 与平面PAD 所成角的正弦值是（）A.32B.33C.13D.1234.已知函数12()22x x f x a --=-+．若函数()f x 的最大值为1，则实数=a （）A.78-B.78C.98-D.9835.已知函数12()22x x f x a --=-+．关于函数()f x 的单调性，下列判断正确的是（）A.()f x 在(),2-∞上单调递增B.()f x 在(),2-∞上单调递减C.()f x 在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减36.已知函数()1222xx f x a --=-+．若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，给出下列不等式：①124x x +>；②()120f x x +<；③()121132f x x +->-；④()1220f x x +->．其中恒成立的个数是（）A.1B.2C.3D.42023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题2分，共16分）1.设集合{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，则M N ⋂=（）A.{}2 B.{}5 C.{}3,4 D.{}2,3,4,5【答案】C【分析】根据交集运算法则即可计算得出{}3,4M N ⋂=.【详解】根据列举法表示的集合可知，由{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，利用交集运算可得{}3,4M N ⋂=.故选：C2.若实数,a b 满足i i(1i)a b +=-，则a b +=（）A.2 B.2- C.1D.1-【答案】A【分析】利用复数相等求出,a b 即可.【详解】因为i i(1i)1i a b +=-=+，所以1,1a b ==，所以2a b +=，故选：A.3.若实数,,a b c 满足a b >，0c <，则（）A.ac bc >B.ac bc< C.a c b c+<+ D.a c b c-<-【答案】B【分析】根据题意，利用不等式的性质逐项分析即可.【详解】因为a b >，0c <，所以ac bc <，故A 错误，B 正确，由不等式两边同时加上或减去同一个实数不等号不改变，所以a c b c +>+，a c b c ->-故C ，D 错误，故选：B4.已知向量(2,1)a =- ，(,2)b m = ，若a b ⊥，则实数m =（）A.1B.1- C.4D.4-【分析】根据平面向量数量积的运算即可求出结果.【详解】因为a b ⊥ ，则0a b =，又因为向量(2,1)a =- ，(,2)b m = ，所以220a b m =-+=，则1m =，故选：A .5.设命题p ：R α∀∈，sin 1α≥-，则p 的否定是（）A.R α∃∈，sin 1α≤-B.R α∃∈，sin 1α<-C.R α∀∈，sin 1α≤-D.R α∀∈，sin 1α<-【答案】B【分析】根据含有一个量词命题的否定可知，改变量词符号并否定结论即可.【详解】由题意可知，含有一个量词命题的否定将∀改为∃，并否定结论即可，所以命题p ：R α∀∈，sin 1α≥-的否定为“R α∃∈，sin 1α<-”.故选：B6.函数()f x =）A.[]0,2 B.[]2,0-C.(][),02,-∞⋃+∞ D.(][),20,-∞-+∞ 【答案】D【分析】根据函数解析式可得(2)0x x +≥，再利用一元二次不等式解法即可求得定义域.【详解】根据函数定义域可知(2)0x x +≥，解得0x ≥或2x ≤-；所以函数()f x 的定义域为(][),20,-∞-+∞ .故选：D7.魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”2ra a≈+．当a 取正整数且r 最小时，用“不加借算”的方法计算面积为21232m 的正方形区域的边长，其结果是（）A.35.1mB.35.3mC.35.5mD.35.7m【答案】A=结合题设公式得出结果.73535.170=≈+=，即用“不加借算”的方法计算面积为21232m 的正方形区域的边长，其结果是35.1m.8.若1sin 4α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos()α-=（）A.34 B.34-C.154-D.154【答案】C【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】因为1sin 4α=，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以15cos 4α==-，又因为cos()cos αα-=，所以15cos()4α-=-，故选：C .二、单项选择题（共28小题，每小题3分，共84分）9.已知向量,a b满足||1,||2,a b a b ==⋅=r r r r ,a b的夹角为（）A.30 B.60C.120D.150【答案】D【分析】根据向量的夹角公式运算求解.【详解】由题意可得：3cos ,2a b a b a b ⋅==-r rr r r r ，∵[],0,πa b ∈，∴向量,a b的夹角为150︒.故选：D10.已知函数21,0()log (2),0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，则()f x 的最小值是（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C【分析】求0x ≤时函数()f x 的最小值及0x >时函数()f x 的最小值，最后两个最小值比较，谁最小即为函数()f x 的最小值.【详解】当0x ≤时，函数()1f x x =-在(,0]-∞上单调递减，所以当0x =时，函数()1f x x =-有最小值为(0)1f =，当0x >时，函数2()log (2)f x x =+在(0,)+∞上单调递增，所以2()(0)log 21f x f >==，综上，当0x =时，函数21,0()log (2),0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩有最小值为1.故选：C11.已知m ，n 是两条不同的直线，α是平面，则下列四个结论中正确的是（）A.若m α⊥，n α⊥，则//m nB.若//m α，//n α，则//m nC.若m α⊥，m n ⊥，则//n αD.若m ，n 与α所成的角相等，则//m n【答案】A【分析】根据线面垂直的性质定理以及空间中线线垂直的关系可判断A 正确，C 错误；由线面平行性质定理以及线面角的定义可得BD 均错误.【详解】由线面垂直的性质定理可得垂直于同一平面的两直线平行，即A 正确；若//m α，//n α，可知m ，n 的位置关系可以是平行、相交或异面，即B 错误；若m α⊥，m n ⊥，则直线n 可以在平面α内，所以C 错误；由线面角的定义可知，若m ，n 与α所成的角相等，则m ，n 的位置关系可以是平行、相交或异面，即D 错误.故选：A12.在ABC 中，设3AD DB = ，CA a = ，CB b =uu r r ，则CD =（）A.1344a b+ B.1344a b -C.1233a b +D.1233a b-【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算法则，用CA 、CB表示出CD 即可.【详解】3313()4444CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+，则1344CD a b =+ ，故选：A .13.某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表：天/第1234567件数285367463290335719698已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（）A.8808B.9696C.10824D.11856【答案】C【分析】求出样本平均数，由此估计30天代收快递件数，并估算出服务费即可.【详解】样本数据7天代收快递的件数的平均数为：()12853674632903357196984517x =⨯++++++=（件），∴每月（按30天计算）代收快递约为4513013530⨯=件，∴该驿站每月（按30天计算）收取的服务费约为135300.810824⨯=元.故选：C.14.下列函数中，在区间(1,1)-上单调递减的是（）A.()1f x x =-+B.()cos f x x= C.()e e x xf x -=+ D.1()ln1x f x x+=-【答案】A【分析】根据三角函数及复合函数的单调性逐项判断即可.【详解】对于A:()1f x x =-+在()1,-+∞上单调递减,A 正确;对于B:()cos f x x =在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，B 错误；对于C:()e e x x f x -=+是1y t t=+，与e x t =复合在一起的复合函数，e xt =在(1,1)x ∈-是单调递增且1,e e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1y t t =+在1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是单调递减的，1y t t=+在()1,t e ∈是单调递增的，所以1()ln 1xf x x+=-在(1,0)x ∈-是单调递减的，在(0,1)x ∈是单调递增的，C 错误；对于D:1()ln 1xf x x +=-是ln y t =，与11x t x+=-，复合在一起的复合函数，11x t x+=-在(1,1)x ∈-是单调递增，ln y t =是单调递增的，所以1()ln 1xf x x+=-是在(1,1)x ∈-的单调递增的，D 错误.故选：A.15.设,a b R ∈，则“a b >”是“33a b >”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由“a b >”⇒“33a b >”，“33a b >”⇒“a b >”，即可得最后结果．【详解】∵函数()3f x x =在(),-∞+∞上单调递增，∴当a b >时，()()f a f b >，即33a b >，反之亦成立，∴“a b >”是“33a b >”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查必要条件、充分条件、充分必要条件的性质和应用，属于基础题.16.将一块棱长为60cm 的正方体石块，磨制成一个球形石块，则最大球形石块的体积是（取π3=）（）A.3864000cmB.3108000cm C.310800cm D.35400cm 【答案】B【分析】由题可得当球形石块半径等于正方体石块棱长时体积最大，根据球的体积公式计算可得结果.【详解】由题意可得，该问题相当于求正方体内切球体积，易知当石块直径等于正方体棱长时其体积最大，即最大球形石块的半径为30cm ，根据球的体积公式可得33334π430cm 108000cm 3V r ==⨯=.故选：B17.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π0ϕ-<<）的图象如图所示，则ϕ的值是（）A.7π10-B.9π10-C.π2-D.π5-【答案】A【分析】由图可得函数的最小正周期，从而可得ω，再利用待定系数法即可得解.【详解】由图可知π5ππ266T =-=，所以5π2π3T ω==，所以65ω=，则6()sin 5f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，把π,06⎛⎫⎪⎝⎭代入得，πsin 05ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 52k k ϕ+=-+∈，则7π2π,Z 10k k ϕ=-+∈，又因π0ϕ-<<，所以7π10ϕ=-.故选：A.18.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是增函数，且()10f -=，则使()0f x >的x 的取值范围是（）A.()1,0- B.()0,1 C.()1,1- D.()(),11,-∞-⋃+∞【答案】C【分析】使用函数的奇偶性和单调性进行求解即可.【详解】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(],0-∞上单调递增，且(1)0f -=，∴()f x 在区间()0,∞+上单调递减，且()()110f f =-=，∴当(],0x ∈-∞时，()()()00110f x f f x x >⇔=-<⇔-<≤，当()0,x ∈+∞时，()()0()1001f x f x f x >⇔>=⇔<<，综上所述，x 的取值范围是()1,1-.故选：C.19.若圆锥的底面半径为3，体积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A.π2B.2π3C.3π4D.3π2【答案】D【分析】根据圆锥底面半径和体积可计算出圆锥的母线，再根据侧面展开图的特征利用弧长公式即可得出圆心角.【详解】设圆锥的高为h ，母线为l ；将半径3r =代入体积公式21π3V r h ==可得，h =则母线长4l ==，设此圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则其侧面展开图的半径为4R l ==，弧长为圆锥底面周长2π6πr =，所以圆心角6π3π42α==.故选：D20.某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（）A.35B.12C.13D.310【答案】D【分析】列举出所有的基本事件，得到基本事件的总数，找出满足条件的事件数，由概率公式求解即可.【详解】设国外的2个城市和国内的3个城市分别为：12123,,,,A A B B B ，则随机选取2个城市的基本事件为：()()()()()1211121321,,,,,,,,,A A A B A B A B A B ，()()()()()2223121323,,,,,,,,,A B A B B B B B B B 共10种，选出的2个城市都在国内的情况为：()()()121323,,,,,B B B B B B 共3种，故所求概率310P =.故选：D.21.已知0.12a -=，0.20.5b =，0.5log 0.2c =，则（）A.c a b << B.c b a<< C.b a c<< D.a b c<<【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1进行比较即可.【详解】由已知0.12a -=，0.20.20.210.522b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭∵指数函数()2xf x =在R 上单调递增，且值域为()0,∞+，∴()()()00.20.10f f f <-<-<，∴0.20.1002221--<<<=，即01b a <<<又∵对数函数()0.5log g x x =在区间()0,∞+单调递减，∴()()0.20.5g g >，即0.50.5log 0.2log 0.51>=，即1c >.综上所述，a ，b ，c 的大小关系为b a c <<.故选：C.22.已知0a >，0b >，24a b +=，则ab 的最大值是（）A.B.2C. D.4【答案】B【分析】使用基本不等式求解即可【详解】∵0a >，0b >，24a b +=，∴由基本不等式有：22112142222222a b ab a b +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅≤⋅=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b =，即2a =，1b =时，等号成立.∴当且仅当2a =，1b =时，ab 的最大值为2.故选：B.23.将函数sin 2cos 2y x x =+的图象向右平移π4个单位长度，所得图象的函数解析式可以是（）A.2y x=B.π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.3π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】利用辅助角公式将函数写成π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据平移规则即可得出相应的解析式.【详解】由sin 2cos 2y x x =+可得π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移π4个单位长度可得πππ22444y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B24.某足球队进行点球训练，假设守门员不变，球员甲进球的概率为0.9，球员乙、丙进球的概率均为0.8．若3人各踢点球1次，且进球与否相互独立，则至少进2球的概率是（）A.0.784B.0.864C.0.928D.0.993【答案】C【分析】利用相互独立事件的概率公式，求出3人都进球和3人中恰有2人进球的概率即可计算求解.【详解】由题意知：由相互独立事件的概率公式得，3人都进球的概率为0.90.80.80.576⨯⨯=，3人中恰有2人进球的概率0.90.80.20.90.80.20.10.80.80.352⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故至少进2球的概率为0.5760.3520.928+=，故选：C .25.若3cos 210cos 1αα+=，则cos 2cos αα+=（）A.49-B.1-C.109D.1【答案】A【分析】由倍角公式结合换元法得出cos α，继而得出cos 2cos αα+的值.【详解】由题意可知()232cos 110cos 1αα-+=，令cos ,[1,1]t t α=∈-，则23520t t +-=解得1,23t t ==-（舍），故22cos 2cos 2cos 1cos 21t t αααα+=-+=+-2341999=+-=-.故选：A26.在ABC 中，若1BC =，3AC =，2cos 3C =，则sin B =（）A.306B.155 C.106 D.105【答案】A【分析】根据余弦定理可计算出c =，再利用正弦定理即可得出30sin 6B =.【详解】由题意可得1BC a ==，3AC b ==，AB c =，由余弦定理可得2222cos 6c a b ab C =+-=，即c =又()2cos ,0,π3C C =∈可得5sin 3C =；利用正弦定理可知sin sin b c B C=，所以53sin 303sin 6b C B c ⨯===.故选：A27.如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设1111A A A B ==，2AB =，有以下四个结论：①BC ⊥平面12AA A ；②1//AA 平面22BB C C ；③直线1AA 与2CC 成角的余弦值为56④直线11A C 与平面22AA B B 所成角的正弦值为63．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】对于①.如图所示，连接12A A ,取BC 中点,D 取11B C 中点E .连接1,,A E AD DE ,证明1BC AA ⊥，2,BC AA ⊥即可判断；对于②③④，取AB 中点O ,建立如图所示的空间直角坐标系，设1O 是111A B C △的中心，2O 是ABC 的中心.过1A 作1AG AD ⊥,过E 作EH AD ⊥，再利用向量法计算即可判断得解.【详解】对于①.如图所示，连接12A A ,取BC 中点,D 取11B C 中点E .连接1,,A E AD DE .由等边三角形的性质得BC AD ⊥，由等腰梯形的性质得BC DE ⊥.又,,AD DE D AD DE =⊂ 平面1ADEA ,所以BC ⊥平面1ADEA .所以1BC AA ⊥.同理2,BC AA ⊥又1212,,AA AA A AA AA =⊂ 平面12AA A ,所以BC ⊥平面12AA A ，所以该结论正确；对于②，首先计算等腰梯形的高2213=1()22-=，再计算几何体111ABC A B C -的高.取AB 中点O ,建立如图所示的空间直角坐标系，设1O 是111A B C △的中心，2O 是ABC 的中心.过1A 作1AG AD ⊥,过E 作EH AD ⊥.2231333326DH O D O H =-=-⨯=.22336()()263HE =-=.所以几何体111ABC A B C -的高为63.所以()()()121361361,0,0,,,,1,0,0,3,0,,,263263A A B C B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12136136(,,(1,3,0),(,,)263263AA BC BB ==-=-- ，设平面22BB C C 的法向量为111(,,)m x y z =，则112111·302,(3,1,1362·0263m BC x m m BB x y z ⎧=-=⎪∴=-⎨=-+-=⎪⎩，所以11362331()026323m AA =+-=≠,所以1//AA 平面22BB C C 不正确；对于③，由题得2226363,),(0,)3333C CC -∴=- .所以直线1AA 与2CC 336|()|5639613616436939⨯--=++⋅+，所以该结论正确；对于④，由题得11126133,),((2,0,0),3322C A C AB ∴== .2136(,,263BB =-- .设平面22AA B B 的法向量为222(,,)n x y z = ，则22222·20,(0,22,1)136·0263n AB x m n BB x y z ⎧==⎪∴=⎨=-+-=⎪⎩，所以直线11A C 与平面22AA B B 所成角的正弦值为3|22|623138144=+⋅+．所以该结论正确.故选：C28.河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．这批学员技能考核测试成绩的众数的估计值是（）A.65 B.75C.85D.95【答案】C【分析】根据频率分布直方图求众数的方法求解即可.【详解】根据频率分布直方图中频率值最大的组为(]80,90,则众数为8090852+=故选:C.29.河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．这批学员技能考核测试成绩的中位数的估计值是（）A.80.75 B.81.25C.82.50D.82.75【答案】B【分析】根据频率分布直方图进行中位数的估计即可.【详解】根据频率分布直方图可知前四组的频率分别为0.005100.05,0.015100.15,0.025100.25,0.040100.40⨯=⨯=⨯=⨯=，前三组频率之和为0.050.150.250.450.5++=<，所以中位数在(]80,90组，设中位数为x ，则()0.450.040800.5x +⨯-=，解得81.25x =.故这批学员技能考核测试成绩的中位数的估计值是81.25.故选：B.30.河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则这批学员技能考核测试成绩的平均数的估计值是（）A.79.0B.79.5C.81.0D.82.5【答案】B【分析】由频率分布直方图求平均数可将每一组数据的中点值乘以其对应的频率相加求和即可得出其平均数.【详解】根据题意可得，平均数的估计值为：()550.005650.015750.025850.04950.0151079.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故选：B31.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 是等边三角形，平面PCD ⊥底面ABCD ，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为，E 为PC 的中点．线段AB 的长是（）A.3B.C.D.6【答案】D【分析】设2AB a =，作出四棱锥的高，并用2AB a =求出高，再用体积解出a 即可.【详解】由已知，设2AB CD a ==，则矩形ABCD 的面积326ABCD S a a =⨯=，取CD 中点F ，连接PF ，∵PCD 是等边三角形，2PC PD CD a ===，∴PF CD ⊥，且PF =,∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PF ⊂平面PCD ，∴PF ⊥平面ABCD ，即PF 是四棱锥P ABCD -的高，∴四棱锥P ABCD -的体积11633P ABCD ABCD V S PF a -=⋅=⨯=∴解得，3a =，∴26AB a ==.故选：D.32.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 是等边三角形，平面PCD ⊥底面ABCD ，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为，E 为PC 的中点．平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值是（）A.2B.C.D.1【答案】B【分析】由PG ⊥底面ABCD 得出6CD =，进而由PF AB ⊥，FG AB ⊥得出平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值.【详解】分别取,CD AB 的中点为,G F ，连接,,,,G P FG P AG F B G ，设()2,0CD a a =>，则PG =.因为PCD 是等边三角形，所以PG CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PG ⊂平面PCD ，PG ⊥底面ABCD ，因为四棱锥P ABCD -的体积为，所以1(32)3a ⨯=3a =.则PG FG ⊥，,PG AG PG BG ⊥⊥，所以PA PB =，PF AB ⊥，又因为底面ABCD 为矩形，所以FG AB ⊥，所以PFG ∠为平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角，33tan3PG PFG FG ∠===故选：B33.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 是等边三角形，平面PCD ⊥底面ABCD ，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为，E 为PC 的中点．直线DE 与平面PAD 所成角的正弦值是（）A.2B.33C.13D.12【答案】D【分析】根据面面关系建立空间直角坐标系，由四棱锥P ABCD -的体积可得DC 长，从而可利用空间向量的坐标运算求得直线DE 与平面PAD 所成角的正弦值.【详解】取CD 中点为O ，AB 中点为M ，连接,OP OM ，因为PCD 是等边三角形，O 为CD 中点，所以OP CD ⊥，因为平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，OP ⊂平面PCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，又,OM OC ⊂平面ABCD ，则,OP OM OP OC ⊥⊥，如图，以O 为原点，,,OM OC OP 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，又1133332P ABCD V AD DC OP DC DC -=⋅⋅=⨯⋅⋅=，所以6DC =，则()()()(33,3,0,0,3,0,0,3,0,,0,,22A C D P E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以90,,22DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，又()(3,0,0,DA DP == ，则3000300x x DA n y y DP n ⎧==⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩，令1z =，则()0,n = ，所以9333122cos ,2n DE n DE n DE-+⋅===-⋅ ，则直线DE 与平面PAD 所成角的正弦值是12.故选：D .34.已知函数12()22x x f x a --=-+．若函数()f x 的最大值为1，则实数=a （）A.78-B.78C.98-D.98【答案】B【分析】令2x t -=，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出a .【详解】()2()222x xf x a --=-+，令()0,2xt -∈=+∞，则22112248y t t a t a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，当1,24t x ==时，max 118y a =+=，解得78a =.故选：B35.已知函数12()22x x f x a --=-+．关于函数()f x 的单调性，下列判断正确的是（）A.()f x 在(),2-∞上单调递增B.()f x 在(),2-∞上单调递减C.()f x 在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减【答案】A【分析】利用换元法，结合二次函数和指数函数的单调性，最后利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令2(0)x t t -=>，函数12()22x x f x a --=-+可化为为22(0)y t t a t =-++>，因为函数22(0)y t t a t =-++>开口向上，对称轴为14t =，即2x =.当104t <<时，函数22(0)y t t a t =-++>单调递增；当14t >时，函数22(0)y t t a t =-++>单调递减，又因为2xy -=在R 上单调递减，由复合函数的单调性可得，函数()f x 在(,2)-∞上单调递增.故选：A .36.已知函数()1222xx f x a --=-+．若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，给出下列不等式：①124x x +>；②()120f x x +<；③()121132f x x +->-；④()1220f x x +->．其中恒成立的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】D【分析】分析可知12x -、22x -是关于t 的二次方程220t t a --=的两根，根据函数()22g t t t a =--有两个不等的正零点可求得1,08a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，分析可得()1222x x a-+-=，利用指数函数的单调性可判断①；利用二次函数的基本性质可判断②③④的正误.【详解】()()12222222x x xx a f x a -----⨯=-++=，令()0f x =，则()22220x x a --⨯--=，令20x t -=>，可得220t t a --=，令()22g t t t a =--，则函数()g t 有两个不同的正零点，所以，()Δ18010400a g a =+>⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，解得108a -<<，由题意可知，12x -、22x -是关于t 的二次方程220t t a --=的两根，由韦达定理可得121212220,216x x x x a ----⎛⎫⋅==-∈ ⎪⎝⎭，所以，()12412216x x -+-<=，所以，()124x x -+<-，可得124x x +>，①对；由韦达定理可得()1222x x a -+-=，则()12122,08x xa -+⎛⎫=-⨯∈- ⎪⎝⎭，所以，()()()12122221222220222x x x x a a a a f x x a -+-+-⎛⎫+=-⨯+=-⨯-=< ⎪⎝⎭，②对；()()()()()()121212121221121132321212222282x x x x x x x x x x a f x x a a -+-+--+-+-+⎛⎫+-=-+=-+=-=-⋅- ⎪⎝⎭212,032a ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，③对；()()()()()121212212252212222228810x x x x x x f x x a a a a a a a -+-+--++-=-+=--+=--=-+>，④对.故选：D.。

福建省普通高中2022-2023学年高二学业水平合格性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．c b c >”是“a b >”．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分又不必要条件．某学校新建的天文观测台可看作一个球体，其半径为3m ．现要在观测台的表面涂一层防水漆，若每平方米需用涂料，则共需要涂料（单位：．1.5πB ．6π二、多选题16．下列函数中，是偶函数的有（）A ．21y x =+B ．2log y x=C ．2xy =D ．cos y x=17．袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2A ．11AB CC ⊥B ．11//A B B CC ．平面1A BD ⊥平面D ．平面1//A BD 平面19．某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（A ．该简谐运动的振幅是3cmB ．该简谐运动的初相是2π5C ．该简谐运动往复运动一次需要D ．该简谐运动100s 往复运动三、填空题20．已知i 为虚数单位，计算()i 1i -=________．四、解答题(1)求证：//EF 平面ABD (2)若AD BD ⊥，3AD =，的体积．26．某地有农村居民320息，采用分层抽样的方法抽取得样本民户样本的均值为8.3，方差为(1)根据以上信息，能否求出(2)如果A 中农村居民户、城镇居民户的样本量都是(3)能否用（2）的结论估计该地居民的户月均用水量的均值和方差？若能，若不能，请给出一个可以用来估计该地居民的户月均用水量的均值和方差的样本．参考答案：共需36π0.518π⨯=kg 涂料.故选：D 16．AD【分析】先求出函数的定义域，然后将x -代入，结合偶函数的性质，即可得出答案.【详解】对于A 项，设()21f x x =+，函数()f x 定义域为R ，且()()21f x x f x -=+=，所以函数21y x =+为偶函数，故A 正确；对于B 项，因为函数2log y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以函数2log y x =为非奇非偶函数，故B 错误；对于C 项，设()2xg x =，函数()g x 定义域为R ，但()22x x g x --=≠，所以函数2x y =不是偶函数，故C 错误；对于D 项，设()cos h x x =，函数()h x 定义域为R ，且()()()cos cos h x x x h x -=-==，所以函数cos y x =为偶函数，故D 正确.故选：AD.17．BC【分析】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为{}0,1,2Ω=.将事件用集合表示出来，即可得出答案.【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为{}0,1,2Ω=.对于A 项，“恰有一个红球”可用{}1A =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件,A B 互斥，但,A B 不是对立事件，故A 项错误；对于B 项，“恰有一个黑球”可用{}1A =来表示，“都是黑球”可用事件{}2C =来表示.所以事件,A C 互斥，故B 项正确；对于C 项，“至少有一个黑球”可用事件{}1,2D =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件,B D 为互斥事件，也是对立事件，故C 项正确；对于D 项，“至少有一个红球”可用事件{}0,1E =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件{}0B E = ，即交事件为“都是红球”，故D 项错误.故选：BC.18．CD【分析】根据长方体的性质推得11//AA CC ，即可判断A 项；根据长方体的性质推得四边形11DCB A 是平行四边形，得出11//A D B C ，即可判断B 项；根据长方体的性质以及线面垂直的判定定理，可得出BD ⊥平面11AAC C ，即可得出C 项；根据长方体的性质以及线面平行的判定定理，可得出1//A D 平面11CB D ，//BD 平面11CB D ，然后即可判定面面平行，得出D 项.【详解】对于A 项，由长方体的性质可知11//AA CC .又11,AA A B 不垂直，所以11,A B CC 不垂直，故A 错误；对于B 项，由长方体的性质可知11//A B CD ，11A B CD =，所以，四边形11DCB A 是平行四边形，所以，11//A D B C .因为11,A B A D 不平行，所以11,AB BC 不平行，故B 错误；对于C 项，因为AB BC =，根据长方体的性质可知ABCD 是正方形，所以，BD AC ⊥.根据长方体的性质可知，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以，1CC BD ⊥.因为AC ⊂平面11AAC C ，1CC ⊂平面11AAC C ，1AC CC C = ，所以，BD ⊥平面11AAC C .因为BD ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面11AAC C ，故C 项正确；）,AD BD的中点为,G H，连结H分别为,,,AC BC AD BD的中点，CD，且12GE CD=，//HF，且GE HF=.GHFE为平行四边形，GH.平面ABD，EF⊄平面ABD，平面ABD.）由已知可得，在BCD△中，有BD 根据余弦定理可知，。

2023-2024学年2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题✽一、单选题：本题共15小题，每小题4分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，且，则( )A. 1B. 2C. 3D. 42.设，则( ) A. 1 B. iC.D.3.已知，，则向量在向量上的投影向量是( )A.B.C.D.4.设a ，b ，c ，d 都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A. B.C. D.5.已知，且，则( )A. B.C.D.6.设向量，若，则( ) A. 4B. 3C. 2D. 17.下列函数中，定义域和值域都是R 的是( )A. B.C.D.8.若，则下列不等式正确的是( )A. B. C. D.9.设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为10m、宽为6m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪如图所示如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为( )A. 1mB. 2mC. 3mD. 4m11.有20种不同的绿色食品，每100克包含的能量单位：如下：110 120 120 120 123 123 140 146 150 162164 174 190 210 235 249 280 318 428 432根据以上数据，估计这些食品每100克包含能量的第50百分位数是( )A. 165B. 164C. 163D. 16212.“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm和12cm，高为厚度不计，则该升的1平升约为精确到( )A. B. C. D.13.如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数( )A. B. 2 C. D. 314.某对夫妇打算生育三个孩子，假设生男孩、女孩是等可能的，且不考虑多胞胎情形，则这三个孩子中男、女孩均有的概率是( )A. B. C. D.15.为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共12分。

2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、填空题
(1)求证//BM 平面AEF ；(2)求BM 与EF 所成角的余弦值．
21．在ABC 中，,,a b c 分别为内角(1)求ABC 的面积；
参考答案：
由于AB ⊥平面BCD ，故所作垂线与设外接球的半径为R ，而1O 则外接球的半径为1R O O =即当sin 1θ=即BC BD ⊥时，三棱锥的外接球的半径取得最小值此时三棱锥A BCD -的外接球表面积取得最小值：
【点睛】本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题[]()0,1BM x BC x →
→
=∈得111222AN x AC x →
→⎛=+- ⎝17．lg5
【详解】试题分析：令10x ＝t ，则lg x t =，∴考点：本题考查函数解析式的求法及求值
点评：此类问题常常用换元法求出函数的解析式，然后代入值求解，属基础题18．2024
∵,O M 分别为,AE AC 的中点，由//BF CE ，且2EC FB =∴//OM FB ，且 OM FB =∴四边形OMBF 为平行四边形，故又BM ⊄平面AEF ，OF
则1BF CG ==，FG AF EF =，所以△Rt ACE 中，AE =。

2022-2023学年上学期高一年级学业水平测试数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}|1B x x =≤≤，则A B = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}1,0,1- C.{}0,1 D.{}2,1,0,1,2--【答案】B 【解析】【分析】根据集合,A B ，按照交集的定义直接运算即可.【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，{}|1B x x =≤≤，所以{}1,0,1A B =- .故选：B .2.已知命题2:0,0p x x ∀<>，则p 的否定是（）A.20,0x x ∀<<B.20,0x x ∀<≤C.20,0x x ∃<<D.20,0x x ∃<≤【答案】D 【解析】【分析】根据含有量词的命题否定方法来求解.【详解】因为命题2:0,0p x x ∀<>，所以p 的否定是20,0x x ∃<≤.故选：D.3.已知lg 2,lg 3a b ==,则2log 12＝（）A.a +bB.2a -bC.2a b a+ D.2a b a+【答案】C 【解析】【分析】根据换底公式将2log 12写为lg12lg 2,再用对数运算法则展开,将lg 2,lg 3a b ==代入即可.【详解】解:因为lg 2,lg 3a b ==,而2lg12lg 4lg 32lg 2lg 32log 12lg 2lg 2lg 2a ba+++====.故选:C4.已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πtan(π)cos 2αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＝（）A.3215B.1115C.815-D.2915-【答案】A 【解析】【分析】通过三角函数定义得出角α的三角函数值，利用诱导公式化简表达式后求出数值.【详解】角α终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3cos 5α=-，4sin 5α=，4tan 3α=-.πtan(π)cos 2αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭4432tan sin 3515αα=-+=+=.故选：A.5.已知函数2()21xf x a =-+为奇函数，则不等式3()5f x <的解集为（）A.(2,)-+∞B.(2,)+∞ C.(,2)-∞- D.(,2)-∞【答案】D 【解析】【分析】根据()f x 是奇函数求出参数a 的值，求解不等式.【详解】函数()f x 定义域为R ，又()f x 为奇函数，所以(0)10f a =-=，故1a =，经检验符合题意；不等式3()5f x <，即231215x-<+，22215x >+，215x +<，24x <，所以2x <.故选：D.6.已知函数()e x f x x =+，()ln g x x x =+，3()h x x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.c b a<< D.c a b<<【答案】B 【解析】【分析】结合函数单调性，根据零点的定义列方程，确定各函数零点的正负情况，即可比较,,a b c 的大小.【详解】显然：函数()e x f x x =+，()ln g x x x =+，3()h x x x =+在定义域内都是增函数，又()e 0e 00a a f a a a a =+=⇒=->⇒<，而()ln 0g b b b =+=中的0b >，令()32()100h c c c c c c =+=+=⇒=，a ∴，b ，c 的大小顺序为：a c b <<，故选：B ．7.若不等式2221x mx m -+-<<的解集为(),2n 则m n -=（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】C 【解析】【分析】由题可得22y x mx m =+-对称轴在(),2n 之间,最小值大于-2,且221x mx m +-=的两个根为,2n ,列出相应不等式,找到关于,n m 的范围,再根据韦达定理解出,m n 的值,计算m n -即可.【详解】解:因为不等式2221x mx m -+-<<的解集为(),2n ,而22y x mx m =+-开口向上,所以有22mn ≤-≤,且最小值大于-2,即2254m ->-,解得:285m <,且221x mx m +-=的两个根为,2n ,所以2+221n m n m =-⎧⎨=--⎩,解得:35m n =⎧⎨=-⎩,11m n =-⎧⎨=-⎩,当35m n =⎧⎨=-⎩时,不符合285m <,故舍,所以11m n =-⎧⎨=-⎩,所以0-=m n .故选:C8.已知函数()2223,0log 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，则方程()()f f x k ＝的实数解的个数至多是（）A.5B.6C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】根据复合方程问题，换元()t f x =，作函数图象分别看内外层分别讨论方程()()f f x k ＝根的个数情况，即可得答案.【详解】设()t f x =，则()()ff x k ＝化为()f t k ＝，又()2223,0log 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，所以()()10322f f f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，()1144f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，如图为函数()f x的大致图象：由图可得，当3k >-时，()f t k ＝有两个根1212,2t t -，即()2t f x =<-或()12t f x =>，此时方程()()f f x k ＝最多有5个根；当43k -<≤-时，()f t k ＝有三个根1231121,10,42t t t -<<--<<<<，即()21f x -<<-或()10f x -<<或()1142f x <<，此时方程()()f f x k ＝最多有6个根；当4k =-时，()f t k ＝有两个根1211,4t t =-=，即()1f x =-或()14f x =，此时方程()()f f x k ＝有4个根；当4k <-时，()f t k ＝有一个根104t <<，即()104f x <<，此时方程()()f f x k ＝有2个根；综上，方程()()f f x k ＝的实数解的个数至多是6个.故选：B .二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知集合{}{}0,A x x B x x a =>=≥,若x A ∈是x B ∈的充分条件,则a 可以是（）A.-1B.0C.1D.2【答案】AB 【解析】【分析】根据充分条件的概念,得出集合之间的包含关系,即可得出a 的范围,选出选项.【详解】解:因为x A ∈是x B ∈的充分条件,所以A B ⊆,所以有0a ≤.故选:AB10.若0a >且0a b +<，则（）A.1ab <- B.22a b <C.2b aa b+<- D.33b a b+<【答案】BCD 【解析】【分析】由0a >且0a b +<，得出0b <，结合作差比较法和基本不等式可得答案.【详解】对于A ，因为0a >且0a b +<，所以0b <，所以10a a b b b ++=>，即1a b>-，A 不正确；对于B ，由选项A 可知0a b ->，所以()()220a b a b a b -=-+<，即22a b <，B 正确；对于C ，由于,a b 异号，所以0,0a b b a <<，所以2b a a b ⎛⎫⎛⎫-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于等号只能在a b =时取到，所以2b a a b ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2b a a b +<-，C 正确；对于D ，因为b a b <+，所以33b a b +<，D 正确.故选：BCD.11.已知sin 5α=，7cos 225β=，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（）A.αβ<B.2a b> C.π6β>D.π3αβ+<【答案】AC 【解析】【分析】根据平方公式、二倍角公式、和差角公式，结合正弦函数与余弦函数的单调性，逐项判断即可.【详解】因为27cos 212sin 25ββ=-=，所以29sin 25β=，又π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5β=，所以1sin sin 2αβ<<，即πsin sin sin 6αβ<<，又函数sin y x =，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π6αβ<<，故A 正确，C 正确；因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以257cos cos 2525αβ==>=，又函数cos y x =，在()0,π上单调递减，所以2a b <，故B 不正确；因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5β=，所以4cos 5β==，所以()254535π1cos cos cos sin sin cos 5555532αβαβαβ+=-=⨯-⨯=<=，又()0,παβ+∈，所以π3αβ+>，故D 不正确.故选：AC.12.已知定义在R 上的函数()f x 不恒等于零，()0f π=，且对任意的,x y ∈R ，有(2)(2)()()f x f y f x y f x y +=+-，则（）A.(0)2f = B.()f x 是偶函数C.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称 D.2π是()f x 的一个周期【答案】ABC 【解析】【分析】分别给,x y 取适当值代入条件，通过代数表达式判断函数性质.【详解】对于A ，令y x =得(2)(2)(2)(0)f x f x f x f +=，又函数()f x 不恒等于零，所以(0)2f =，选项A 正确；对于B ，令y x =-得(2)(2)(0)(2)2(2)f x f x f f x f x +-==，所以(2)(2)f x f x -=，故函数()f x 是偶函数，选项B 正确；对于C,D ，令π2t x +=，π2t y -=得(π)(π)()(π)0f t f t f t f ++-==，即(π)(π)f t f t +=--，()()()4π2πf t f t f t +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，且周期为4π，选项D 错误；又()f x 是偶函数，即(π)(π)f t f t -=-，所以(π)(π)(π)(π)0f t f t f t f t ++-=++-=，即(π)(π)f t f t +=--，所以()f x 的图象关于点(π,0)对称，选项C 正确.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()123f x x +=-，则()4f =______________.【答案】3【解析】【分析】根据函数解析式凑项法得()f x 的解析式，从而可求()4f 的值.【详解】因为()()123215f x x x +=-=+-，所以()25f x x =-，则()42453f =⨯-=.故答案为：3.14.已知扇形的圆心角为π4,弧长为2π3,则该扇形的面积为__________.【答案】8π9##8π9【解析】【分析】根据圆心角和弧长求得半径,根据弧长和半径利用扇形面积公式即可求得结果.【详解】解:记扇形的半径为r ,因为圆心角π4α=,弧长2π3l =,所以l r α=,即2ππ34r =,解得83r =,所以扇形的面积112π88π22339S lr ==⨯⨯=.故答案为:8π915.若关于x 的方程141k x xx x+=+有解，则k 的取值范围为_____________.【答案】[)9,+∞【解析】【分析】根据方程，讨论0x >，0x <时，可将方程141kx xx x+=+化为22145k x x=++有解，结合基本不等式及函数特点，即可求得k 的取值范围.【详解】方程141kx xx x +=+转化为114k x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，当0x >时，方程为22111445k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当0x <，22111445k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即方程22145k x x =++有解，又20x >，2214559x x ++≥+=，当且仅当2214x x =，即212x =时，取到最小值9，所以函数[)221459,y x x∞=++∈+，所以k 的取值范围为[)9,+∞.故答案为：[)9,+∞.16.声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin πy A t ω=.某技术人员获取了某种声波，其数学模型记为()y H t =，部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足()()9sin 2πsin π0810H t t t ωω=+<<，其中50.8663H ⎛⎫≈- ⎪⎝⎭，则ω＝_________.(1.732≈)【答案】3【解析】【分析】将53t =代入()H t ，结合题干数据可得05πsin 3ω⎛⎫⎪⎭=⎝，又()10H =，可得3ω=或6ω=，又1不是()H x 的周期，从而可求出满足题意的ω的值.【详解】由()()9sin 2πsin π0810H t t t ωω=+<<，且50.8663H ⎛⎫≈- ⎪⎝⎭，得5595sin 2πsin π33103H ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.86610π95π395πsinsin sin 31032103ω⎛⎫⎛⎫=+=-≈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3 1.732≈，所以3 1.7320.86622≈=，所以05πsin 3ω⎛⎫ ⎪⎭=⎝.由图可知()991sin 2πsin πsin π01010H ωω=+==，故ππ,k k ω=∈Z ，即,k k ω=∈Z .因为08ω<<，且05πsin 3ω⎛⎫⎪⎭=⎝，所以3ω=或6ω=.由图可知，1不是()H x 的周期，当6ω=时，()9sin 2πsin 6π10H t t t =+，此时()()()()991sin 2π1sin 6π1sin 2πsin 6π1010H t t t t t H t +=+++=+=，周期为1，不符合题意.当3ω=时，()9sin 2πsin 3π10H t t t =+，易知()()1H t H t +≠，满足题意.综上，3ω=.故答案为:3.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()122xxf x =-.（1）若()32f x =，求x 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明.【答案】（1）1x =；（2）()f x 为奇函数，证明见解析.【解析】【分析】（1）由()32f x =可得13222xx -=，解指数方程即可求解；（2）求出()f x -，结合奇函数的定义即可判断.【小问1详解】由()32f x =，可得13222xx -=,即()2223220x x -⋅-=，解得122=-x （舍）或22x =，解得1x =.【小问2详解】()f x 的定义域为R ，且()()112222x xx x f x f x ---=-=-=-，故函数()f x 为奇函数.18.已知函数()21xf x x =+（1）根据定义证明函数()f x 在()1,+∞单调递减；（2）若不等式()f x b <对一切实数x 都成立，求b 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据函数单调性步骤取值、作差、变形、定号、下结论证明即可；（2）判断函数的奇偶性，结合单调性求解函数的最值，即可得b 的取值范围.【小问1详解】证明：任取121x x >>，则()()()()()()()()22122112121212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++，因为121x x >>，所以()()22121221110,10,0x x x x x x ++>->-<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故函数()f x 在()1,+∞单调递减；【小问2详解】因为函数()21x f x x =+的定义域为R ，所以()()21xf x f x x --==-+，故()f x 为奇函数，由（1）知函数()f x 在()1,+∞单调递减，任取120x x ≤<，则()()()()()()()()22122112121212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++，因为120x x ≤<，所以()()22121221110,10,0x x x x x x ++>--，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故函数()f x 在[)0,1单调递增；所以此时()()max 112f x f ==，又()00f =且0x =是方程()0f x =唯一的根，所以[)0,x ∈+∞时，()10,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()f x 为奇函数，所以()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不等式()f x b <对一切实数x 都成立，则()max 12b f x >=即b 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.19.某同学用“五点法”画函数()()πsin ,0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ37π12()f x 022-0（1）请将上表数据补充完整，并根据表格数据做出函数()y f x =在一个周期内的图像；（2）将()y f x =的图形向右平移()0θθ>个单位长度，得到()y g x =的图像，若()y g x =的图像关于y 轴对称，求θ的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）2π3【解析】【分析】）（1）根据表格，分别求得,,A ωϕ，即可得到函数()f x 的解析式，从而得到其函数图像；（2）根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得θ的最小值.【小问1详解】x ωϕ+0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12()f x 022-0由表中数据可得，2A =，7ππ4123T =-，所以πT =，则2π2πω==，当π3x =时，π2x ωϕ+=，则π6ϕ=-，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】由题意可得，()()ππ2sin 22sin 2266g x x x θθ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为()y g x =的图像关于y 轴对称，则ππ2π62k θ--=+，k ∈Z ，解得ππ3k θ=--，k ∈Z且0θ>，所以当1k =-时，min 2π3θ=20.中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F 遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十五号航天员乘组与神舟十四号航天员乘组太空在轨轮换.已知火箭起飞质量x （单位：kg ）是箭体质量M （单位：kg ）和燃料质量m （单位：kg ）之和.在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：km/s ）和x 的函数关系是ln ln v a x b M =+，其中,a b 为常数，且当燃料质量为0kg 时，火箭的最大速度为0km/s .已知某火箭的箭体质量为kg M ，当燃料质量为()2e 1kg M -时，该火箭最大速度为4km/s .（1）求该火箭的最大速度v 与起飞质量x 之间的函数关系式；（2）当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到8km/s ？【答案】（1）2ln 2ln v x M=-（2）燃料质量至少是箭体质量的()4e 1-倍时，该火箭最大速度可达到8km/s 【解析】【分析】（1）有题意可得()20ln ln 4ln e ln a M b M a M b M =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求得,a b 的值，即可得该火箭的最大速度v 与起飞质量x 之间的函数关系式；（2）设m kM =且0k >，根据（1）中关系式，代入即可解得k 的值，从而得答案.【小问1详解】因为火箭的最大速度v （单位：km/s ）和x 的函数关系是ln ln v a x b M =+，又0m =时，x m M M =+=，0v =；()2e 1m M =-时，2e x m M M =+=，4v =，所以()20ln ln 4ln e ln a M b M a M b M=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得2,2a b ==-，所以2ln 2ln v x M =-；【小问2详解】设m kM =且0k >，则()1x m M k M =+=+，又2ln 2ln v x M =-所以8v =时可得()82ln 12ln k M M =+-，即()()14lnln 1k Mk M+==+，解得4e 1k =-故燃料质量至少是箭体质量的()4e 1-倍时，该火箭最大速度可达到8km/s .21.已知函数()2cos sin f x x x x m =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，对于给定的实数a ，若方程()f x a =有解，则记该方程所有解的和为a S ，求a S 的所有可能取值.【答案】（1）()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）a S 的所有可能取值为ππππ,,0,,3663--.【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，利用正弦型函数的性质求得最大值，即可得m 的值，从而得函数()f x 的解析式；（2）根据,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定函数()f x 的单调性及取值情况，作出函数()y f x =的图象，根据方程的根与函数对称性分类讨论得所有a S 取值即可.【小问1详解】()2311π1cos sin 2cos 2sin 222262f x x x x m x x m x m ⎛⎫=-+=++-=++- ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()max 13122f x m =+-=，则1m =，则()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；【小问2详解】当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π5π7π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以当ππ,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时函数单调递增，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，又π5π1π7π1ππ1sin 0,sin 0,sin 0262262662f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ11ππ13sin ,sin 32226222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则可得函数()y f x =的图象如下：对于给定的实数a ，若方程()f x a =有解，则当32a =时，方程的根为π6x =，此时π6a S =；当13,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程的两根关于直线π6x =对称，此时π3a S =；当12a =时，方程的根有三个1π3x =-，23,x x 关于直线π6x =对称，此时ππ033a S =-+=；当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程有四个根，12,x x 关于直线π3x =-对称，34,x x 关于直线π6x =对称，此时2πππ333a S =-+=-；当0a =时，方程的根有三个123πππ,,262x x x =-=-=，此时ππππ2626a S =--+=-；综上，a S 的所有可能取值为ππππ,,0,,3663--.22.已知函数()ln(2)ln f x x x a =+++，()e ln(2)x g x a x =-+.（1）当1a =时，解不等式()1f x x <+；（2）证明：当1a ≥时，函数()f x 有唯一的零点x 0，且0()0g x >恒成立.【答案】（1）(2,e 2)--；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由对数型函数的单调性直接求解即可；（2）由()f x 在(2,)-+∞上单调递增，利用零点存在性定理可知存在唯一的01(2,0)x a∈-，由00ln ln(2)x a x +=-+化简后可得0001()ln 2g x x a x =+++，利用均值不等式及等号成立条件即可得证.【小问1详解】当1a =时，()ln(2)f x x x =++，由()1f x x <+可得ln(2)1x +<，解得02e x <+<，即2e 2x -<<-，故不等式的解为(2,e 2)--.【小问2详解】因为y x =与ln(2)y x =+均为增函数，所以()f x 在(2,)-+∞上单调递增，当1a ≥时，(0)ln 2ln 0f a =+>，1111(2)2ln ln 21210f a a a a a-=-++=-≤-=-<，所以存在唯一的01(2,0)x a∈-，使得0()0f x =，即函数()f x 有唯一零点0x ，所以00ln(2)ln 0x x a +++=，即00ln ln(2)x a x +=-+，所以00ln ln(2)e e x a x +-+=，即001e2x a x =+，所以000000011()e ln(2)ln 22ln 22x g x x x a x a x x α=-+=++=++-+++，因为012x a >-，所以0120x a+>>，所以0()2ln ln 0g x a a ≥=-+≥，当且仅当01x =-与1a =时等号成立.当01x =-时，由00ln ln(2)x a x +=-+知ln 1a =，即e a =，所以等号不成立，所以0()0g x >.。

2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学一、单选题(共45 分)1设集合A={1,2,3,4}B={1,2,3,a}且A=B则a=（）A1B2C3D4【答案】D【分析】根据集合相等直接得解【详解】因为A={1,2,3,4}B={1,2,3,a}且A=B所以a=4故选：D2设z=1−i则z2+i=（）A1B i C−i D−1【答案】C【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得【详解】因为z=1−i所以z2+i=(1−i)2+i=12−2i+i2+i=−i故选：C3已知a⃗=(1,√3)b⃗⃗=(2,0)则向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量是（）A(0,2)B(2,0)C(0,1)D(1,0)【答案】D【分析】首先求出a⃗⋅b⃗⃗|b⃗⃗|再根据投影向量的定义计算可得【详解】因为a ⃗=(1,√3)b⃗⃗=(2,0) 所以a ⃗⋅b⃗⃗=2|b ⃗⃗|=2 所以向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量是a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗|×b ⃗⃗|b ⃗⃗|=12b ⃗⃗=12(2,0)=(1,0) 故选：D4设abcd 都是不等于1的正数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 在同一直角坐标系中的图象如图所示则abcd 的大小关系是（ ）A a <b <c <dB b <a <d <cC c <d <a <bD d <c <b <a【答案】B【分析】 先根据指数函数的单调性确定abcd 与1的关系再由x =1时函数值的大小判断【详解】因为当底数大于1时指数函数是定义域上的增函数当底数大于0且小于1时指数函数是定义域上的减函数所以cd 大于1ab 大于0且小于1由图知：c 1>d 1 即c >d b 1<a 1即b <a所以b <a <1<d <c故选：B5已知sinα=−35且π<α<3π2则cosα=（ ） A −45B −34C 34D 45 【答案】A【分析】应用平方关系求余弦值注意角的范围确定值的符号【详解】由题设cosα=−√1−sin2α=−45故选：A6设向量a⃗=(x,2)b⃗⃗=(6,3)．若a⃗//b⃗⃗则x=（）A4B3C2D1【答案】A【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得【详解】因为向量a⃗=(x,2)b⃗⃗=(6,3)且a⃗//b⃗⃗所以3x=2×6解得x=4故选：A7下列函数中定义域和值域都是R的是（）A y=x3B y=2xC y=lgxD y=tanx 【答案】A【分析】根据幂指对及正切函数的定义域、值域判断各项是否符合要求即可【详解】幂函数y=x3的定义域和值域都是R A符合；指数函数y=2x的值域为(0,+∞)B不符合；对数函数y=lgx的定义域为(0,+∞)C不符合；正切函数y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2},k∈Z D不符合；故选：A8若x>y>0则下列不等式正确的是（）A|x|<|y|B x2<y2C1x <1yD x+y2<√xy【答案】C 【分析】应用不等式性质、基本不等式判断各项的正误即可【详解】由x>y>0则|x|>|y|x2>y21x <1yA、B错C对由x+y2≥√xy且x>y>0故等号取不到则x+y2>√xy D错故选：C9设x∈R则“sinx=0”是“cosx=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据同角三角函数平方关系结合必要不充分性的判断即可求解【详解】由sinx=0则sin2x=1−cos2x=0⇒cosx=±1故充分性不成立由cosx=1则cos2x=1−sin2x=1⇒sinx=0故必要性成立故“sinx=0”是“cosx=1”的必要不充分条件故选：B10为建设美丽中国增强民众幸福感市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为10m、宽为6m的矩形花园其四周种植花卉中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同且草坪的面积不超过总面积的三分之一那么花卉带的宽度可能为（）A1m B2m C3m D4m【答案】B【分析】设花卉带的宽度为x m由题设有(10−2x)(6−2x)10×6≤13且{10−2x>06−2x>0求x范围即可得答案【详解】设花卉带的宽度为x m 则(10−2x)(6−2x)10×6≤13 所以(5−x)(3−x)≤5即(x −4)2≤6可得4−√6≤x ≤4+√6又{10−2x >06−2x >0⇒x <3故4−√6≤x <3而1<4−√6<2则x 可能取值为2 故选：B11有20种不同的绿色食品每100克包含的能量（单位：kJ ）如下：110 120 120 120 123 123 140 146 150 162164 174 190 210 235 249 280 318 428 432根据以上数据估计这些食品每100克包含能量的第50百分位数是（ ）A165B164 C163 D162 【答案】C【分析】由百分位数的求法求第50百分位数【详解】由已知数据知：20×50%=10则这些食品每100克包含能量的第50百分位数是162+1642=163故选：C12“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具升装满后沿升口刮平称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台上、下底面边长分别为15cm 和12cm 高为10cm （厚度不计）则该升的1平升约为（ ）（精确到0.1L,1L =1000cm 3）A 1.0LB 1.8LC 2.4LD 3.6L【答案】B【分析】 应用棱台的体积公式求1平升即可得答案【详解】由题设上底面积为S 1=225 cm 2下底面积为S 2=144 cm 2所以1平升为13×10×(225+√225×144+144)=1830 cm 3约为1.8L故选：B13如图在任意四边形ABCD 中EF 分别是ADBC 的中点且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λEF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗则实数λ=（ ）A 32B2 C 52 D3【答案】B【分析】 先将AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别用AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示再结合题意即可得解 【详解】AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λEF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以λ=2故选：B14某对夫妇打算生育三个孩子假设生男孩、女孩是等可能的且不考虑多胞胎情形则这三个孩子中男、女孩均有的概率是（ ）A 12B 58C 34D 78 【答案】C【分析】列表法求三个孩子中男、女孩均有的概率即可【详解】三个孩子性别依次如下表：所以这三个孩子中男、女孩均有的情况有6种而一共有8种情况则这三个孩子中男、女孩均有的概率是34故选：C15为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图设AB分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG使得HGB三点在同一直线上在GH两点用测角仪测得A的仰角分别是α和βCD=a测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB若α=75°,β=45°则此建筑物的高度是（）A√3+12a+ℎB√3+14a+ℎC√3+12a−ℎD√3+14a−ℎ【答案】A【分析】在△ACD中利用正弦定理求出AC再解Rt△ACE求出AE即可得解【详解】在△ACD中CD=a,∠ADC=45°,∠CAD=75°−45°=30°由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD所以AC=a×√2212=√2asin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6+√24在Rt△ACE中AE=ACsin∠ACE=√2a×√6+√24=√3+12a所以AB=AE+BE=√3+12a+ℎ即此建筑物的高度是√3+12a+ℎ故选：A二、多选题(共9 分)16随着我国高水平对外开放持续提速2022年货物进出口再创新高首次突破42万亿元．根据下图判断下列说法正确的是（）A从2018年开始货物进口额逐年增大B从2018年开始货物进出口总额逐年增大C从2018年开始2020年的货物进出口总额增长率最小D从2018年开始2021年的货物进出口总额增长率最大【答案】BCD【分析】根据统计图一一分析即可【详解】由图可知2020年的货物进口额小于2019年的货物进口额故A错误；2018年货物进出口总额为14.09+16.41=30.52019年货物进出口总额为14.33+17.24=31.572020年货物进出口总额为14.29+17.93=32.222021年货物进出口总额为17.36+21.69=39.052022年货物进出口总额为18.1+23.97=42.07所以从2018年开始货物进出口总额逐年增大故B正确；其中2019年的货物进出口总额增长率为31.57−30.530.5≈0.0352020年的货物进出口总额增长率为32.22−31.5731.57≈0.0212021年的货物进出口总额增长率为39.05−32.2232.22≈0.2122022年的货物进出口总额增长率为42.07−39.0539.05≈0.077所以从2018年开始2020年的货物进出口总额增长率最小故C正确；从2018年开始2021年的货物进出口总额增长率最大故D正确；故选：BCD17十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数f(x)满足f(x)⋅f(−x)=1则称f(x)为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（）A f(x)=1B f(x)=x2C f(x)=e xD f(x)=lnx【答案】AC【分析】根据所给定义一一计算可得【详解】对于A：f(x)=1则f(−x)=1所以f(x)⋅f(−x)=1故A正确；对于B：f(x)=x2则f(2)⋅f(−2)=16故B错误；对于C：f(x)=e x则f(−x)=e−x所以f(x)⋅f(−x)=e x⋅e−x=e0=1故C正确；对于D：f(x)=lnx定义域为(0,+∞)则当x∈(0,+∞)时−x∈(−∞,0)此时f(−x)无意义故D错误；故选：AC18“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现被刻在他的墓碑上当圆柱容球时圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为S球体积为V球；圆柱的表面积为S圆柱体积为V圆柱则（）A S圆柱:S球=3:2B V圆柱:V球=3:2C S圆柱:V圆柱=3:2D S球:V球=3:2【答案】AB【分析】设球的半径为R根据圆柱和球的表面积公式及体积公式分别求出其表面积与体积再逐一判断即可【详解】设球的半径为R则圆柱的底面圆的半径为R高为2R则S球=4πR2,V球=43πR3S圆柱=2πR2+2πR⋅2R=6πR2,V圆柱=πR2⋅2R=2πR3所以S圆柱:S球=6πR2:4πR2=3:2故A正确；V圆柱:V球=2πR3:43πR3=3:2故B正确；S圆柱:V圆柱=6πR2:2πR3=3:R故C错误；S 球:V球=4πR2:43πR3=3:R故D错误故选：AB三、填空题(共3 分)19已知两个单位向量a⃗与b⃗⃗的夹角是60°则a⃗⋅b⃗⃗=________．【答案】12## 0.5【分析】根据数量积的定义计算可得【详解】因为两个单位向量a⃗与b⃗⃗的夹角是60°所以a⃗⋅b⃗⃗=|a⃗|⋅|b⃗⃗|cos60°=1×1×12=12故答案为：12四、双空题(共3 分)20已知mn是两条不同直线αβ是两个不同平面．给出下列四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β．以其中三个论断作为条件余下一个论断作为结论写出一个正确命题：若_________则_________．（注：用序号作答．．．．．）【答案】(1) ①③④（答案不唯一）(2) ②（答案不唯一）【分析】由m⊥nm⊥α得n//α或n⊂α分类讨论并结合n⊥β及平面的基本性质、面面垂直的判定有α⊥β可得一个正确命题【详解】由m⊥nm⊥α则n//α或n⊂α当n⊂αn⊥β则α⊥β；当n//α过n作平面交α于l则n//l而n⊥β所以l⊥β而l⊂α则α⊥β；综上m⊥nm⊥αn⊥β则α⊥β故答案为：①③④②（答案不唯一）五、填空题(共3 分)21沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图AB⌢是以O为圆心OA为半径的圆弧C是AB的中点D在AB⌢上且CD⊥AB．记AB⌢的弧长的近似值为s“会圆术”给出了的一种计算公式：s=AB+CD 2OA．若OA=1∠AOB=90°则根据该公式计算s=_________．【答案】32## 1.5 【分析】连接OC 分别求出AB,OC,CD 再根据题中公式即可得出答案 【详解】 如图连接OC因为C 是AB 的中点 所以OC ⊥AB又CD ⊥AB 所以O,C,D 三点共线 即OD =OA =OB =1 又∠AOB =90°所以AB =√OA 2+OB 2=√2 则OC =√OA 2−AC 2=√22故CD =OD −OC =2−√22所以s =AB +CD 2OA=√2+(2−√22)2=32故答案为：32 六、双空题(共3 分)22为响应“强身健体智慧学习”倡议复兴中学开展了一次学生体质健康监测活动．已知高三（2）班有50名学生其中男生28人女生22人按男生、女生进行分层用分层随机抽样的方法从高三（2）班全体学生中抽取一个容量为25的样本．如果各层中按照比例分配样本则（1）女生应抽取的人数为_________人；（2）已知样本中男生、女生的平均体重分别为60.8kg和46.4kg．估计高三（2）班全体学生的平均体重为_________kg（精确到0.1kg）．【答案】(1) 11(2) 54.5【分析】（1）应用分层抽样等比例性质求女生应抽取的人数；（2）应用平均数的求法求样本均值即估计高三（2）班全体学生的平均体重【详解】（1）由分层抽样等比例性质知：女生应抽取的人数为25×2250=11人；（2）由（1）知：样本中男生人数为14人故样本均值为60.8×14+46.4×1125≈54.5kg故答案为：1154.5七、问答题(共6 分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据如下表：23 将上表数据补充完整填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．并写出函数y=f(x)的解析式；24 将函数y=f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度得到函数y=g(x)的图象求使g(x)≥0成立的x的取值集合．【答案】23 数据补充见解析f(x)=2sin(x+π6)；24 {x|2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3},k∈Z【分析】（1）根据已知数据求参数可得f(x)=2sin(x+π6)进而补充表格数据；（2）由图象平移得g(x)=2sin(x+π3)结合正弦型函数性质解不等式求解集即可【23题详解】由表格知：A=2且T2=5π3−2π3=π即T=2π故ω=2πT=1由ωπ2+φ=π2+φ=2π3⇒φ=π6则f(x)=2sin(x+π6)所以表格补充如下：【24题详解】由题设g(x)=f(x+π6)=2sin(x+π3)≥0即2kπ≤x+π3≤2kπ+π,k∈Z所以2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3,k∈Z即{x|2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3},k∈Z八、作图题(共6 分)如图长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8点EF分别在A1B1C1D1上且A1E= D1F=4．25 求AF的长；26 过点EF的平面与长方体的面相交交线围成一个正方形EFGH．在答题卡对应的图中．．．．．．．．．作出点GH并说明作法及理由．【答案】25 6√526 答案见解析【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）根据基本题意结合勾股定理作出这个正方形【25题详解】连接AD1因为C1D1⊥平面ADD1A1AD1⊂平面ADD1A1所以C1D1⊥AD1则AD1=√AD2+DD12=√100+64=2√41故AF=√AD12+D1F2=√164+16=6√5；【26题详解】因为A1E=D1F=4所以EF//A1D1且EF=A1D1=10过点E作EM⊥AB于M则EM=8,AM=4因为四边形EFGH为正方形所以EH=EF=10则MH=√102−82=6>4所以点H在线段MB上且AH=10在AB,DC上分别取H,G使得AH=DG=10连接EH,FG,GH 此时的四边形EFGH即为题中所要画的图形由上可知四边形EFGH为棱形因为A1D1⊥平面ABB1A1所以EF⊥平面ABB1A1又EH⊂平面ABB1A1所以EF⊥EH所以四边形EFGH为正方形九、证明题(共6 分)已知函数f(x)=pa x+qa−x(a>0,a≠1,且p,q∈R)．27 当|p|=|q|时讨论函数f(x)的奇偶性；28 从①②两组条件中选取一组作为已知条件证明：f(x)为增函数．①a>1,p>0,q<0；②0<a<1,p<0,q>0．注：如果选择两组条件分别解答按第一个解答计分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．【答案】27 答案见解析；28 所选条件及证明见解析【分析】（1）讨论p=q、p=−q≠0利用奇偶性定义证明；)再根据所选的条件判断（2）应用单调性定义令x1>x2f(x1)−f(x2)=(a x1−a x2)(p−qa x1a x2f(x1),f(x2)大小即可证【27题详解】由f(x)定义域为R当p=q则f(x)=p(a x+a−x)而f(−x)=p(a−x+a x)=f(x)即f(x)为偶函数；当p=−q则f(x)=p(a x−a−x)而f(−x)=p(a−x−a x)=−p(a x−a−x)=−f(x)即f(x)为奇函数；【28题详解】)令x1>x2则f(x1)−f(x2)=p(a x1−a x2)+q(a−x1−a−x2)=(a x1−a x2)(p−qa x1a x2>0选①a>1,p>0,q<0则a x1>a x2>0所以a x1−a x2>0p−qa x1a x2即f(x1)>f(x2)所以f(x)为增函数得证；<0选②0<a<1,p<0,q>0则a x2>a x1>0所以a x1−a x2<0p−qa x1a x2即f(x1)>f(x2)所以f(x)为增函数得证；。