2020年高中数学学业水平考试模拟题及答案

湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学（试题卷三）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量：120分钟，满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 三视图如右图的几何体是A. 三棱锥B. 四棱锥C. 四棱台D. 三棱台2.已知集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，若A B ⊆，则a 的值为（）A. 2-B. 1-C. 0D. 13.函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B. 52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， C. 5,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A . 4B. 5C. 6D. 75.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>6.已知直线a α⊂，给出以下三个命题：①若平面//α平面β，则直线//a 平面β；②若直线//a 平面β，则平面//α平面β；③若直线a 不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（ ）A. ②B. ③C. ①②D. ①③ 7.函数()1ln f x x =-的零点所在的区间是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,58.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知1a =，2b =，120C =o ，则c =（ ）A. 2B. 5C. 7D. 49.直线4350x y +-=与圆22(1)(2)9x y -+-=相交于A 、B 两点，则AB 的长度等于A. 1B. 2C. 22D. 4210.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）A. 172B. 192C. 10D. 12二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.在△ABC 中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC ＝ .12.在长方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 垂直且异面的棱的条数是______.13.过点()2,3-且平行于直线210x y -+=的直线方程为______.14.水平放置ABC ∆的斜二测直观图如图所示，已知3AC ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的长度为______.15.设1a >，2b >，且2ab a b =+，则+a b 的最小值为______.三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知A 是ABC ∆的一个内角，向量()1,3m =-u r ，()cos ,sin n A A =r 且1m n ⋅=u r r ，求角A 的大小. 17.某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.18.已知等差数列{}n a的公差为2，且1a，12a a+，()142a a+成等比数列.（1）设数列{}n a的通项公式；（2）设12nn nb a-=+，求数列{}n b的前n项和n S.19.已知圆C经过(3,2)A、(1,6)B两点，且圆心在直线2y x=上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l经过点(1,3)P-且与圆C相切，求直线l的方程．20.已知函数()()2lnlnaf x x a Rx =+∈.（1）若()1f e=，求a的值；（2）求函数()y f x=的定义域；（3）若对任意的x e≥，不等式()1f x≥恒成立，求实数a的取值范围.湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学（试题卷三）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分. 时量：120分钟，满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 三视图如右图的几何体是A. 三棱锥B. 四棱锥C. 四棱台D. 三棱台【答案】B【解析】 根据三视图可知，该几何体底面是四边形，侧面是三角形，因此可知该几何体是四棱锥，选B2.已知集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，若A B ⊆，则a 的值为（ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】根据A B ⊆可得出关于a 的等式，解出即可.【详解】Q 集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，A B ⊆，21a ∴+=，解得1a =-.故选：B.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 3.函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B. 52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， C. 5,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，并采用整体法，可得结果.【详解】由()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 令22,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈所以522,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 函数()f x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 故选：D 【点睛】本题考查正弦型函数的单调递增区间，重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用，使问题化繁为简，属基础题.4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果.【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.5.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】B【解析】【分析】根据所给数据，分别求出平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，然后进行比较可得选项. 【详解】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=， 中位数为1(1515)152b =+=， 众数为=17c .故选：B.【点睛】本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6.已知直线a α⊂，给出以下三个命题：①若平面//α平面β，则直线//a 平面β；②若直线//a 平面β，则平面//α平面β；③若直线a 不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（ ）A. ②B. ③C. ①②D. ①③【答案】D【解析】【分析】利用线面平行和面面平行的性质和判定定理对三个命题分析进行选择．【详解】①因为直线a ⊂α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．②因为当平面α与平面β相交时，仍然可以存在直线a ⊂α使直线a ∥平面β．故错误．③只要一个平面内有一条直线不平行与另一个平面，两平面就不会平行．故正确．故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力．7.函数()1ln f x x =-的零点所在的区间是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】B【解析】【分析】求出函数()y f x =的零点，即可得出该函数零点所在的区间.【详解】令()0f x =，即1ln 0x -=，解得x e =， ()2,3e ∈Q ，因此，函数()1ln f x x =-的零点所在的区间是()2,3.故选：B.【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查推理能力，属于基础题. 8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知1a =，2b =，120C =o ，则c =（ ）A. 2B.C.D. 4 【答案】C【解析】分析：已知两边和夹角直接应用余弦定理即可.详解：已知1a =，2b =，120C =o ，根据余弦定理得到222c 2cos 7a b ab C c =+-=⇒= 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.9.直线4350x y +-=与圆22(1)(2)9x y -+-=相交于A 、B 两点，则AB 的长度等于A. 1B.C.D. 【答案】D【解析】 试题分析：根据题意可知圆心到直线的距离是46515d +-==，根据圆中的特殊三角形，可知半弦长12AB == D. 考点：直线被圆截得的弦长问题.10.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A. 172 B. 192 C. 10 D. 12【答案】B【解析】试题分析：由844S S =得()11828446a d a d +=+，解得1101119,922a a a ==+=. 考点：等差数列.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.在△ABC 中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC ＝ .【解析】222222cos 12212cos 603,AC AB BC AB BC B AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯=∴=o 12.在长方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 垂直且异面的棱的条数是______.【答案】4【解析】【分析】作出图形，根据线面垂直的性质可得出结论.【详解】如下图所示：1AA ⊥Q 平面ABCD ，1AA ⊥平面1111D C B A ，与棱1AA 垂直且异面的棱有BC 、CD 、11B C 、11C D ，共4条.故答案为：4.【点睛】本题考查异面垂直的直线的寻找，考查推理能力，属于基础题.13.过点()2,3-且平行于直线210x y -+=的直线方程为______.【答案】280x y -+=【解析】【分析】求出直线210x y -+=的斜率，然后利用点斜式可得出所求直线的方程，化为一般式即可.【详解】直线210x y -+=的斜率为12，因此，所求直线的方程为()1322y x -=+，即280x y -+=. 故答案为：280x y -+=.【点睛】本题考查利用两直线平行求直线方程，可利用平行直线系方程求解，一般要求出直线的斜率，利用点斜式得出直线的方程，考查计算能力，属于基础题.14.水平放置ABC ∆的斜二测直观图如图所示，已知3AC ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的长度为______.【答案】52【解析】 【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出ABC ∆实际为一个直角边长分别为3、4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】在直观图中，3AC ''=，2B C ''=，所以在Rt ABC ∆中，3AC =，4BC =，C ∠为直角，225AB AC BC ∴=+=，因此，AB 边上的中线的长度为1522AB =.故答案为：52. 【点睛】本题考查的知识点是斜二测画法直观图，其中掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解答的关键．15.设1a >，2b >，且2ab a b =+，则+a b 的最小值为______. 【答案】223 【解析】 【分析】将等式2ab a b =+变形为121a b +=，由此得出()12a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可得出+a b 的最小值.【详解】等式2ab a b =+两边同时除以ab 得121a b+=， 1a >Q ，2b >，()1222332322a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b a =时，等号成立，因此，+a b 的最小值为322+故答案为：322+.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及1的妙用，解题时将注意将定值条件化简变形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.已知A 是ABC ∆的一个内角，向量()1,3m =-u r ，()cos ,sin n A A =r 且1m n ⋅=u r r，求角A 的大小.【答案】3A π=【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算得出cos 3sin 1A A -+=，利用辅助角公式化简得出1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合角A 的取值范围可得出角A 的值.【详解】因为()1,3m =-u r ，()cos ,sin n A A =r 且1m n ⋅=u r r，所以cos 3sin 1A A -+=，所以2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又因为()0,A π∈，所以5,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以66A ππ-=，得3A π=. 【点睛】本题考查三角形中角的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算与辅助角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.17.某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.【答案】（1）0.003，5；（2）35. 【解析】 【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1，求得x 的值，求得续驶里程在[)200,300的车辆的概率，再利用频数=频率⨯样本容量求车辆数；（2）由（1）知续驶里程在[)200,300的车辆数为5辆，其中落在[)200,250内的车辆数为3辆，利用列举法求出从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况，以及恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的情况，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1可得：()0.0020.0050.0080.002501x ++++⨯=，解得：0.003x =，∴续驶里程在[)200,300的车辆数为：()200.0030.002505⨯+⨯=（辆）. （2）设“恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内”为事件M由（1）知续驶里程在[)200,300的车辆数为5辆，其中落在[)200,250内的车辆数为3辆，分别记为A 、B 、C ，落在[)250,300内的车辆数2辆，分别记为a 、b , 从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况如下：(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),A B ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b 共10种且每种情况都等可能被抽到，事件M 包含的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A B ，(),B b ，(),C a ，(),C b 共6种，所以由古典概型概率公式有：()63105P M ==，即恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率为35. 【点睛】本题主要考查直方图的应用，以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.18.已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，12a a +，()142a a +成等比数列.（1）设数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn S n =+-.【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出关于1a 的方程，解出1a 的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列{}n a 的通项公式；（2）求出n b ，然后利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求出n S . 【详解】（1）Q 等差数列{}n a 的公差为2，212a a ∴=+，416a a =+，1a Q ，12a a +，()142a a +成等比数列，()()4212112a a a a a ∴+=⋅+，即()()211122226a a a +=+，解得11a =，()12121n a n n ∴=+-=-；（2）()112212n n n n b a n --=+=-+.()()()0111232212n n S n -⎡⎤∴=+++++-+⎣⎦L ()()()201112121211321222221n n n n n n n -=+++-++++=⎣+-⎡⎤-+=+--⎦L L . 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于基础题. 19.已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或 【解析】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为1x =-；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=， 解方程组260{2x y y x -+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C=解得2k =或12k =-． 所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=. 20.已知函数()()2ln ln af x x a R x=+∈. （1）若()1f e =，求a 的值； （2）求函数()y f x =的定义域；（3）若对任意的x e ≥，不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a =-；（2）()()0,11,+∞U ；（3）[)1,-+∞. 【解析】 【分析】（1）由()1f e =可得出关于a 的等式，即可得出实数a 的值；（2）根据对数真数大于零、分母不为零可得出关于x 的不等式组，解不等式组即可得出函数()y f x =的定义域；（3）令ln 1t x =≥，由()1f x ≥可得出21at t+≥，参变量分离得22a t t ≥-，求出二次函数22y t t =-在[)1,+∞上的最大值，即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）()2ln ln af x x x=+Q ，()21f e a ∴=+=，解得1a =-； （2）对于函数()2ln ln af x x x =+，有0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠.因此，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞U ；（3）x e ≥Q ，令ln 1t x =≥，由()1f x ≥，得21at t +≥，参变量分离得22a t t ≥-， 二次函数22y t t =-的图象开口向下，对称轴为直线14t =.所以，函数22y t t =-在区间[)1,+∞上单调递减， 当1t =时，该函数取得最大值，即max 1y =-，1a ∴≥-. 因此，实数a的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】本题考查利用函数值求参数、函数定义域的求解以及不等式恒成立问题的求解，考查参变量分离法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.。

山东省2020年普通高中学业水平等级模拟考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x A B =+===⋂=，则A.(){}11， B.(){}24-， C.()(){}1124-，，， D.∅2.已知()1,1i a bi a b R i -+∈+是的共轭复数，则a b +=A.1- B.12- C.12 D.13.设向量()()()1,1,1,3,2,1a b c ==-=，且()a b c λ-⊥，则λ=A.3B.2C.2-D.3-4.101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是A.210- B.120- C.120 D.2105.已知三棱锥S ABC -中，,4,213,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠=====，则三棱锥S ABC -的体积是A.4B.6C.43D.636.已知点A 为曲线()40y x x x =+>上的动点，B 为圆()2221x y -+=上的动点，则AB 的最小值是A.3B.4C.32D.427.设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形8.若21a b c ac b >>><且，则A.log log log a b c b c a>> B.log log log c b a b c a >>C.log log log b a c c b a >> D.log log log b c a a b c >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

绝密★启用前山东省2020年普通高中学业水平等级考试(模拟卷)数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}|){(}2|){(2x y y x B y x y x A ===+=，，，,则=B A I A ．)}11{(， B ．)}42{(，- C ．)}42()11{(，，，- D ．Φ2．已知)(R b a bi a ∈+，是ii +-11的共轭复数,则=+b a A ．1- B ．21- C ．21 D ．1 3．设向量)12()31()11(，，，，，=-==c b a ,且c b a ⊥-)(λ,则=λA ．3B ．2C ．2-D ．3- 4．10)1(x x-的展开式中4x 的系数是 A ．210- B ．120- C ．120 D ．2105．已知三棱锥ABC S -中,2π=∠=∠ABC SAB ,4=SB ,132=SC ,2=AB ,6=BC ,则三棱锥ABC S -的体积是A ．4B ．6C ．34D ．366．已知点A 为曲线)0(4>+=x xx y 上的动点,B 为圆1)2(22=+-y x 上的动点,则||AB 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．23 D ．247．设命题p ：所有正方形都是平行四边形,则p ⌝为A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形8．若1>>>c b a 且2b ac <,则A ．a c b c b a log log log >>B ．c a b a b c log log log >>C ．a b c c a b log log log >>D ．c b a a c b log log log >>二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

2020年8月份吉林省普通高中学业考试仿真卷01数 学本卷满分120分，考试时间100分钟。

注意事项:1.答题前将自己的姓名、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡和试卷规定的位置上。

考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。

2.本试题分两卷，第 1 卷为选择题，第Ⅱ卷为书面表达题。

试卷满分为120分。

答题时间 为 100 分钟。

3.第 1 卷选择题的答案都必须涂在答题卡上。

每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，选择题答案写在试卷上无效。

4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上 . 注意字迹清楚 . 卷面整洁。

参考公式:标准差: (n s x x =++- 锥体体积:13V Sh =其中s 为底面面积，h 为高 , 柱体体积公式 V=s.h 球的表面积、体积公式：24S R π=,343V R π=其中s 为底面面积，h 为高，V 为体积，R 为球的半径。

第 I 卷 (共 50 分)一、 选择题 (本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的。

第 1-10 小题每小题3 分，第11-15小题每小题4分，共50分)1．集合A ＝{1,3}，B ＝{2,3,4}则A∩B ＝（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1,2,3,4}2．函数f （x ）＝2x –1的零点为( )A ．2B ．12C ．12-D ．–2 3．函数1()2f x x =-的定义域是（ ） A ．{|2}x x <B ．{|2}x x >C ．RD ．{|2}x x ≠4．cos30的值是( )A．22 B ．32 C ．22- D ．32- 5．已知向量(1,1),(2,2)a b ==，则a b +=（ ）A ．(0,0)B ．(3,3)C ．(4,4)D ．(5,5)6．为了得到函数cos()4y x π=+的图象只需将cos y x =的图象向左平移（ ）A ．12个单位长度B ．2π个单位长度C ．14个单位长度D ．4π个单位长度 7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )A ．圆柱B ．三棱柱C ．球D ．四棱柱8．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．-19．下列函数为偶函数的是（ ）A ．()3f x x =+B ．22f x xC ．()3f x x =D ．()1f x x= 10．在等差数列{}n a 中，12a =，公差1d =，则3a =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311.已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面，则b 与的位置关系是（ ）A ．b 平面B ．b 与平面相交C ．b ∥平面D ．b 在平面外12．已知直线2x =与直线21y x =-交于点P ，则点P 的坐标为( )A ．（1,5）B ．（2,3）C ．（3,1）D ．（0,0）13．掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．2314．某班有男生20人，女生25人，用分层抽样的方法从该班抽取9人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．515．已知0a >，0b >，1a b +=，则11a b +的最小值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4第Ⅱ卷 (共 70 分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)16．在某五场篮球比赛中，甲乙两名运动员得分的茎叶图如下，则在这五场比赛中，平均得分比较好的运动员是_________.17．求值：013312log log 12(0.7)0.252-+-+＝____. 18．取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为______.19．给出右边的程序框图，程序输出的结果是 .三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知正方体1111ABCD A B C D -，（1）证明：1//D A 平面1C BD ；（2）求异面直线1D A 与BD 所成的角．21．已知a ，b ，c 分别为锐角三角形ABC 三个内角A ，B ，C 32sin c a C =． （1）求A ；（2）若2a =，ABC 3，求b ，c ．22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,，已知35a =，39S =.（1）求首项1a 和公差d 的值；（2）若100n S =，求n 的值.23．设圆的方程为22450x y x +--=（1）求该圆的圆心坐标及半径.（2）若此圆的一条弦AB 的中点为(3,1)P ，求直线AB 的方程.24．已知函数2()22f x x ax =++，[5,5]x ∈-.（1）当1a =-时，求()f x 的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数.参考答案第 I 卷 (共 50 分)一、 选择题1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A 9．B10．C 11. D 12．B 13．B 14．D 15．C第Ⅱ卷 (共 70 分)二、填空题16．乙 17．4 18．2π 19．10三、解答题20．（1）证：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D ，且11AB C D =，∴四边形11ABC D 为平行四边形，∴11//D A C B ，又∵1D A ⊄平面1C BD ，1C B ⊂平面1C BD ；∴1//D A 平面1C BD ；（2）解：∵11//D A C B ，∴1C BD ∠即为异面直线1D A 与BD 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，则易得11C B BD C D ===，∴1C BD ∆为等边三角形，∴13C BD π∠=，故异面直线1D A 与BD 所成的角为3π．21．（12sin a C =，2sin sin C A C =，因为sin 0C ≠，所以sin 2A =． 因为A 为锐角，所以3A π=．（2）由2222cos a b c bc A =+-，得：224b c bc +-=．又ABC ∆1sin 2bc A = 所以4bc =．则228b c +=．解得2b c ==．22．（1）由题意得：()()1313335922a a a S ++===，解得：11a =， 则公差3151222a a d --===。

2020年北京市普通高中学业水平合格性考试数 学 模 拟 试 卷1. 考生要认真填写考场号和座位序号。

2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。

4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一部分 选择题 （每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的 1．若集合{2,0,1,2}A =-，{0,1}B =，则A B ⋂= ( ) A ．{0,1} B ．{2,0,1}- C ．{0,2} D ．{2,0,1,2}- 2．已知向量(3,4)OA =-，(5,3)OB =，则AB 等于( ) A ．(8,1)- B ．(8,1)- C. 7(1,)2 D. 7(4,)23．经过点(3，a )，(－2,0)的直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，则a 的值为( ) A.52 B.25 C. 10 D ．－10 4．下列函数中是偶函数的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝|3－x |C ．y ＝x 2＋2，x ∈(－3,3] D ．23y x=-5．12x y -=的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(0,1)∪(1，＋∞)6．一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为01至50号，为了了解他们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( ) A ．放回抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法D ．系统抽样法7.直线l 经过(－2,2)且与直线y ＝x ＋6在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为( )A ．x ＋2y ＋6＝0B ．x －2y －6＝0C ．2x －y ＋6＝0D ．2x －y －6＝08. 在平行四边形ABCD 中，AB →＋CA →＋BD →＝( )A.AB →B.BC →C.CD →D.BA → 9. 21－ 12 log 23的值等于( )A.23 B ．23 C.233 D ．210.函数y ＝x－2在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值为( )A.14 B ．－1 C ．4D ．－411.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%12.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，则a 2＋a ·b ＝( )A ．10 B.10 C ．7D. 4913.已知三角形的边长分别为4,5，61，则它的最大内角的度数为( )A ．150°B ．120°C ．135°D ．90°14.若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或015.面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( )A ．πQB ．2πQC ．3πQD ．4πQ16.若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4D ．1.517.sin ⎝⎛⎭⎫－14π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－20π3的值为( ) A.－3＋12B.3－12 C.3＋12D.－3－1218.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 19.函数3,(1)5,(1)x x y x x +≤⎧=⎨-+>⎩的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．620. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β21.甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.1522.已知cos α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( ) A.5213 B.7213 C.17226D.722623．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，如果a cos B ＝b cos A ， 那么△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形24.如图所示的是某种植物蔓延的面积y (m 2)与时间x (月)的关系：y ＝a x ，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月植物蔓延的面积就会超过30 m 2；③植物蔓延从4 m 2到12 m 2需要经过1.5个月；④植物蔓延每个月增加的面积都相等；⑤若植物蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别为x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＝x 3.其中正确的是( )A ．①②B ．①②⑤C ．①②③④D ．②③④⑤25. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，那么三棱锥111B A D C -的体积为（ ）A ．12B ．13C ．16D ．1826．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a -b )·b ＝0，则<a , b >为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°27. A 、B 、C 三家销售同一型号的定价为a 万元的汽车。

2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题数 学全卷共19小题，满分100分，考试时间为90分钟一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.2sin 22.5cos22.5︒︒的值为（ ）A.2B.4C.12D.22.已知集合{}1,0,2A =-，}3{B x =，，若{}2A B ⋂=，则x 的值为（ ） A. 3B. 2C. 0D. 1-3.函数()(1)(2)f x x x =-+的零点个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 34.函数()22log 4y x =-的定义域为（ ） A. RB. (,2)(2,)-∞-+∞UC. (,2)(2,)-∞⋃+∞D. (2,)+∞5.已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 06.已知直线l 1:y=2x+1,l 2:y=2x+5,则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A. 重合 B. 垂直 C. 相交但不垂直D. 平行7.袋内装的红､白､黑球分别有3，2，1个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少一个白球；都白球 B. 至少一个白球；至少一个黑球 C. 至少一个白球；一个白球一个黑球D. 至少一个白球；红球､黑球各一个8．在△ABC 中，ab b c a =+-222，则角C 为（ ）A ．45°或135°B ．60°C ．120°D ．30°9.在等差数列{}n a 中，21a =，33a =，则其前10项和为（ ） A. 60B. 80C. 100D. 12010.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01A. y ＝2x －2B. y ＝12(x 2－1) C. y ＝log 2xD. y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．12.已知3a =r ，4b =r ，()(2)23a b a b +⋅+=r r r r，那么a r 与b r 的夹角为____________.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是_______________.14．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且14a =，*1,n n a S n +=∈N ，则5a =________．15．已知236()(0)1x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是___________.三､解答题（本大题共4小题，每小题10分，满分40分）16.已知函数()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 最小正周期.。

2020年浙江省普通高中7月学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合{}13A x R x =∈<<，则下列关系正确的是（ ） A ．1A ∈ B ．2A ∉ C ．3A ∈ D ．4A ∉【答案】D【解析】根据元素与集合的关系可得答案. 【详解】因为集合{}13A x R x =∈<<，所以1A ∉，2A ∈，3A ∉，4A ∉ 故选：D 【点睛】本题考查的是元素与集合的关系，较简单. 2．函数()2xf x =的值域是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．(),-∞+∞【答案】B【解析】根据指数函数的知识可直接选出答案. 【详解】函数()2xf x =的值域是0,故选：B 【点睛】本题考查的是指数函数的值域，较简单.3．已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，则5a =（ ） A ．7 B ．9C ．11D ．13【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式可算出答案. 【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，所以5143811a a d =+=+= 故选：C 【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.4．已知直线1l ：10x y --=与2l ：220x ay -+=平行，则实数a 的值是（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】根据直线平行可直接构造方程求得结果. 【详解】12//l l ，()()()()()1211012210a a ⎧⨯---⨯=⎪∴⎨-⨯--⨯-≠⎪⎩，解得：12a =.故选：A . 【点睛】本题考查根据两直线平行求解参数值的问题，解题关键是明确若直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=平行，则12210A B A B -=且12210B C B C -≠.5．双曲线2213y x -=的渐近线方程是（ ）A ．0y ±=B ．0x ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=【答案】A【解析】双曲线2213y x -=的渐近线方程是2203y x -=，即可得到答案.【详解】双曲线2213y x -=的渐近线方程是2203y x -=0y ±=故选：A 【点睛】本题考查的是由双曲线的方程得其渐近线方程，简单题.6．已知()f x 是奇函数，其部分图象如图所示，则()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据奇函数的图象关于原点对称可直接选出答案. 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称，所以()f x 的图象是故选：B 【点睛】本题考查的是奇函数的图象特点，较简单.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知6A π=，4B π=，3a =，则b =（ ） A ．6 B ．33C ．32D 6【答案】C【解析】利用正弦定理直接求得结果. 【详解】由正弦定理sin sin a b A B =得：3sinsin 421sin sin 62a Bb A ππ====故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题. 8．设a R ∈，则“1a =”是“21a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用定义法判断即可. 【详解】当1a =时，21a =，充分性成立；反过来，当21a =时，则1a =±，不一定有1a =， 故必要性不成立，所以“1a =”是“21a =”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，本题采用的是定义法，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.9．若实数x ，y 满足不等式组40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．0B ．4C ．8D ．12【答案】C 【解析】画出不等式组表示的平面区域，然后令2x y z +=，即122zy x =-+，然后可得答案. 【详解】不等式组4040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图，令2x y z+=，即122zy x=-+，由图可得当直线122zy x=-+过点()0,4时z最大，最大值为8故选：C【点睛】本题考查的是线性规划，准确地画出可行域是解题的关键，较简单. 10．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1 B．32C．3 D．92【答案】B【解析】分析三视图可知，该几何体为三棱锥，再利用体积公式求解即可. 【详解】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，直观图如图，故体积为113333322V=⨯⨯=故选：B.【点睛】本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题,属于基础题型. 11．已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．1B 3C ．22D ．12【答案】D【解析】根据222x y xy +≥求解即可. 【详解】解：因为222x y xy +≥，所以222=1y x x y +≤，得12xy ≤. 故选：D. 【点睛】本题考查利用222x y xy +≥求最值，是基础题.12．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，1a b ⋅=，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．120°【答案】C【解析】直接根据向量夹角公式求解. 【详解】由已知1a =，2b =，1a b ⋅=得1cos ,2a b a b a b ⋅==，又0,a b π≤≤，所以a 与b 的夹角为60︒， 故选：C. 【点睛】本题考查求向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.13．已知角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．10-B ．10C ．10D ．10【答案】A【解析】首先求出m ，然后由任意角的三角函数的定义得cos α和sin α，然后由正弦的两角和计算公式可得πsin α4⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】因为角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以45m =- 所以由任意角的三角函数的定义得4sin 5α=-，35=cos α则πsin α4⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin cos 2αα+= 10- 故选：A 【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题.14．已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下面说法正确的是（ ） A ．若//αβ，m α⊥，βn//，则//m n B ．.若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥ C ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n D ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m n ⊥ 【答案】B【解析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥，故A 错误，B 正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交或异面，故C 、D 错误； 故选：B【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，较简单. 15．设数列(){}113n n +-⋅的前n 项和为n S ，则对任意的正整数n 恒成立的是（ ）A ．1n n S S +>B ．1n n S S +<C ．221n n S S ->D ．221n n S S -<【答案】D【解析】由()21222211330n n n n n S S +--=-⋅=-<可得答案.【详解】因为()12113n n n n S S +++-=-⋅，确定不了符号；()21222211330n n n n n S S +--=-⋅=-<，所以221n n S S -<故选：D 【点睛】本题考查的是数列的通项与前n 项和的关系，较简单. 16．已知1a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()log log log log 0a a b b b a ⋅> B ．()()log log log log 0a a b b b a +> C ．()()log log log log 0a b b a a b ⋅> D ．()()log log log log 0a b b a a b +> 【答案】B【解析】由1a b >>可得0log 1a b <<，log 1b a >，然后利用对数的运算法则和运算性质、对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为1a b >>，所以0log 1a b <<，log 1b a >，所以()()log log 0,log log 0a a b b b a <>所以()()log log log log 0a a b b b a ⋅<，故A 错误， 同理可得()()log log log log 0a b b a a b ⋅<，故C 错误 令()log 0,1a t b =∈，则1log b a t= 所以()()log log 111log log log log log log log log log log log log t t a a b b a b a b t t t t b a b a t t t t a b a b-+=+=-=-=⋅因为()0,1t ∈，1a b >>，所以log log t t b a >，log 0,log 0t t a b <<，所以log log 0log log t t t t b aa b->⋅，即()()log log log log 0a a b b b a +>，故B 正确 同理可得()()log log log log 0a b b a a b +<，故D 错误 故选：B 【点睛】本题考查了对数的运算法则和运算性质、对数函数的单调性，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A .若点P 为椭圆C上的点，PF x ⊥轴，且sin 10PAF ∠<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得，()()2,0,,0,,b F c A a P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭，然后可得2sin 10b PAF ∠=<，然后结合222b a c =-和ce a=可得2230e e --<，解出即可.【详解】由题意可得，()()2,0,,0,,b F c A a P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭所以2sin 10b PAF ∠=<，所以()4422210b b a c a a<++所以()4229b a c a<+，所以()23b a a c <+，所以()2223a c a ac -<+所以22230a ac c --<，所以2230e e --<，解得23e >或1e <- 因为()0,1e ∈，所以2,13e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查的是椭圆离心率的求法，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.18．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为2.E ，F 分别是侧面11ACC A 和侧面11ABB A 上的动点，满足二面角1A EF A --为直二面角.若点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，则点P 的轨迹的面积是 （ ）A ．3π B ．23π C ．43π D ．83π 【答案】B【解析】根据已知条件得P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面，再根据球的面积公式求解即可. 【详解】解：∵ 二面角1A EF A --为直二面角 ∴ 平面AEF ⊥平面1EFA ，又∵ 点P 在线段EF 上，且AP EF ⊥，AP ⊂平面AEF ，平面AEF平面1EFA EF =∴ AP ⊥平面1EFA ，连接1A P ，∴ AP ⊥1A P ，∴ P 在以1AA 为直径的球上，且P 在三棱柱111ABC A B C -内部， ∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面， 又∵ 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， ∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球面，占球面的16， ∴ 点P 的轨迹的面积是12463S ππ=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查立体几何面面垂直的性质定理，考查空间想象能力，是中档题.二、双空题 19．已知A 的方程为()()22221x y -+-=，则其圆心A 坐标为______；半径为______.【答案】()2,2 1【解析】根据圆的方程可直接得到答案. 【详解】 因为A 的方程为()()22221x y -+-=，所以其圆心A 坐标为()2,2，半径为1 故答案为：()2,2；1 【点睛】本题考查的是由圆的标准方程得其圆心坐标和半径，较简单.三、填空题20．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()4f =______. 【答案】2【解析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得()f x 解析式，代入4x =可得结果. 【详解】()y f x =为幂函数，∴可设()f x x α=，()33f α∴=，解得：12α=，()12f x x ∴=，()42f ∴=.故答案为：2. 【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，11BC BB ==，则直线1A B 与平面11A B CD 所成角的正弦值是______.【答案】1010【解析】连接1BC ，交1CB 于K ，连接1A K ，易得1BA K ∠为直线1A B 与平面11A B CD 所成的角，再由已知算出1,BK AB 的长度即可得到答案. 【详解】如图，连接1BC ，交1CB 于K ，连接1A K ，由题，11A B ⊥平面11BB C C ，所以11A B ⊥1BC ，又四边形11BB C C 是正方形， 所以1BC ⊥1CB ，11A B 11CB B =，所以1BC ⊥平面11CB A D ，即1BA K ∠为直线1A B 与平面11A B CD 所成的角， 又2AB =，11BC BB ==，所以22115A B AB AA =+=1122BK BC ==，故112102sin 105BK BA K A B ∠===. 10【点睛】本题主要考查利用定义法求线面角，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.22．若数列{}n a 满足12a =，1441n n n a a a +=+，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______. 【答案】11【解析】根据递推关系式可证得数列{}1n a 为等比数列，根据等比数列通项公式求n a n *∈N 可求得结果. 【详解】()2144121n n n n a a a a +=+=，121n n a a +=，)1121n na a +=，∴数列{}1na +1121a =为首项，2为公比的等比数列， ()11212n na -=⨯，)12121n n a -=⨯-，由22020n a ≥2020n a ≥，即)1220212183721n -≥=⨯≈+，92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.故答案为：11. 【点睛】本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.四、解答题23．已知函数()22cos sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R .（Ⅰ）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合. 【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）1，,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）直接代入计算即可；（2）先根据二倍角公式化简，再根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】 解：（Ⅰ）22cos sin 1322f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）由二倍角公式得： ()cos 2cos 263f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()f x 的最大值为1. 当且仅当223x k ππ+=时，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 取得最大值，所以，取得最大值时x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，三角函数的最大值问题，是基础题.24．在平面直角坐标系中，点()1,0M -，()1,0N ，直线PM ，PN 相交于点(),P x y ，且直线PM 的斜率与直线PN 的斜率的差的绝对值是2. （Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：()0y kx k =>交轨迹E 于不同的四点，从左到右依次为A ，B ，C ，D .问：是否存在满足AB BC CD ==的直线l ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）()()211y x x =±-≠±；. 【解析】（Ⅰ）根据条件直接建立方程即可；（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立直线的方程与21y x =-消元，然后韦达定理再结合点B 是AC 的中点可得2,22k k B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后代入21y x =-可解出k ，同理，由BC CD =可解出k .【详解】（Ⅰ）由已知得，2PM PN k k -=，即211y yx x -=+-， 化简得到点P 的轨迹E 的方程为()()211y x x =±-≠±.（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意.设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y .由方程组21y kx y x=⎧⎨=-⎩消去y ，整理得210x kx +-=，所以13x x k +=-. 因为AB BC =，所以点B 是AC 的中点，故2,22k k B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点B 在21y x =-上，故22122k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由0k >，得233k =. 同理，由BC CD =得到233k =. 综上可知存在233k =的直线l 满足题意.【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.25．设a R ∈，已知函数()22f x x a a x =-+-，[]1,1x ∈-.（Ⅰ）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）当0a ≤时，证明：()22f x a a ≤-+；（Ⅲ）若()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()f x 为偶函数；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】（Ⅰ）利用偶函数的定义可判断()f x 为偶函数. （Ⅱ）利用绝对值不等式可证()22f x a a ≤-+.（Ⅲ）就0a ≤、01a <≤、1a >分类讨论，注意利用（Ⅱ）的结论和绝对值不等式放缩后可求函数的最大值，从而得到实数a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0a =时，()2f x x x =+，定义域为[]1,1-，且对于任意的[]1,1x ∈-，有()()2f x x x f x -=+=恒成立，所以函数()f x 为偶函数.（Ⅱ）当0a ≤时，因为[]1,1x ∈-，所以，()2222f x x a a x x a a x =-+-=-+-222222x a a x a a x x a a ≤-++=-++≤-+.即对于任意的[]1,1x ∈-，()22f x a a ≤-+恒成立.（Ⅲ）记()()2211f x x a a x x =-+--≤≤的最大值为M ，则()4f x ≤恒成立4M ⇔≤. （ⅰ）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知，对于任意的[]1,1x ∈-，()()221f x a a f ≤-+=-恒成立，所以，22M a a =-+.由2240a a a ⎧-+≤⎨≤⎩解得10a -≤≤. （ⅱ）当01a <≤时，因为[]1,1x ∈-，所以，()22224f x x a a x x a a x =-+-≤+++≤恒成立.（ⅲ）当1a >时，因为[]1,1x ∈-，所以，()2222221124f x x a a x a x a x x a a ⎛⎫=-+-=-+-=-++++ ⎪⎝⎭， 此时21124M f a a ⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭， 由21441a a a ⎧++≤⎪⎨⎪>⎩，得312a <≤. 综上所述，a 的取值范围为31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题含绝对值函数的奇偶性以及与绝对值函数相关的不等式的恒成立，还考查了放缩法，对于不等式的恒成立问题，注意利用绝对值不等式合理放缩，本题属于较难题.。

2020年湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（一）时量：90分钟，满分：100分 班级： 姓名： 学号： 得分：一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，将装有水的长方体固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A. 棱柱B. 棱台C. 棱柱与棱锥的组合体D. 不能确定2.已知集合{}1,3A =，{}3,4B =，则A B U 等于( )A. {}1,3B. {}3,4C. {}3D. {}1,3,4 3.若()1cos 2πα+=-，322παπ<<，则sin α=( ) A. 12 B. 3± C. 3 D. 3- 4.如图所示的程序框图中，输入2x =，则输出的结果是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 5.6 3.a =v ，1b =v ，9a b ⋅=-v v ，则a v 与b v 的夹角( )A. 120︒B. 150︒C. 60︒D. 30° 6.已知0a >，0b >，1a b +=，则11a b +的最小值为( ) A. -2 B. 2C. 4D. -4 7.函数()23x f x -=的定义域为( ) A . (),0-∞B. [)0,+∞C. [)2,+∞D. (),2-∞ 8.经过点(02) P ，且斜率为2的直线方程为( ) A. 220x y ++=B. 220x y --=C. 220x y -+=D. 220x y +-=9.设11333124log ,log ,log ,233a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c << B. c b a << C. b a c << D. b c a <<10.函数f(x)=12-cos2π-4x⎛⎫⎪⎝⎭的单调增区间是( )A.ππ2π-,2π22k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k∈Z B.π3π2π,2π22k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k∈ZC.π3ππ,π44k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k∈Z D.πππ-,π44k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k∈Z二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知角的终边过点(1,2)P-，则sinα的值为．12.若x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则xy的最大值为__ ___．13.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．14.若实数x，y满足约束条件1xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y=+的最大值为______.15.如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30°角，学生前进200m后，测得该参照物与前进方向成75︒角，则河的宽度为______m.三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知23 cos(),(,)41024 x xπππ-=∈.（1）求sin x 的值；（2）求sin(2)3xπ+的值.17. 如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；18.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l . （1）求直线2l 的方程；（2）求直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积．19.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*114n n S a n N =+∈. （1）求1a 、2a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列.2020年湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（一）答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）ADDBB CCCBC二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）25, 18, 16, 3 , ()5031+ 三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是272sin()1cos ()4410x x ππ-=--= sin sin[()]sin()cos cos()sin 444444x x x x ππππππ=-+=-+-7222241021025=⨯+⨯= （2）因为3(,)24x ππ∈，故2243cos 1sin 1()55x x =--=--=- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=- 所以中2473sin(2)sin 2cos cos 2sin 333x x x πππ++=+=-. 17. (1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，BDÌ底面ABCD ，∴SA ⊥BD∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD∴BD ⊥平面SAC ，又BDÌ平面EBD∴平面EBD ⊥平面SAC.(2)解：设AC∩BD ＝O ，连结SO ，则SO ⊥BD由AB ＝2，知BD ＝22SO ＝()22224232SA AO +=+= ∴S △SBD ＝12BD·SO ＝12·22·22＝6 令点A 到平面SBD 距离为h ，由SA ⊥平面ABCD, 则12·S △SBD ·h ＝12·S △ABD ·SA ∴6h ＝12·2·2·4 Þ h ＝12∴点A 到平面SBD 的距离为1218.试题分析：(1) 由直线1l ：3410x y ++=,知134l k =- 又因为1l ⊥2l ，所以121l l k k ⋅=-解得243l k =所以2l 的方程为整理得4320x y -+= （2）由2l 的方程4320x y -+= 解得，当0x =时，23y =当0y =时，12x =- 所以11212236S ∆=-⋅=，即该直线与两坐标轴围成的面积为16. 19.（1）由已知条件得：()211114a a =+.∴11a =. 又有()2122114a a a +=+，即222230a a --=. 解得21a =-（舍）或23a =.（2）由()2114n n S a =+得 2n ≥时：()211114n n S a --=+， ∴()()22111114n n n n S S a a --⎡⎤-=+-+⎣⎦ ()2211124n n n n a a a a --⎡⎤=-+-⎣⎦， 即2211422n n n n n a a a a a --=-+-， ∴2211220n n n n a a a a ---+-=， ∴()()1120n n n n a a a a ----+=， ∴120n n a a ---=即()122n n a a n --=≥， 经过验证1n =也成立， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.。

2020高中学业水平考试数学仿真试卷六一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.函数1x 2)x (f +=的零点为（ ）A.2B.21 C.21- D.2- 2.已知集合=⋂<<=<<=N M },5x 3|x {N },4x 2|x {M 则（ ） A.}3x 2|x {<<B.}5x 4|x {<<C.}4x 3|x {<<D.Ø3.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>>≤+0y 0x 6y 2x 表示的平面区域为Ω，则下列坐标对应的点落在区域Ω内的是（ ）A.（1，2）B.（-2，-1）C.（1，3）D.（5，1） 4.已知函数)a x (x y -=的图象如图3所示，则不等式0)a x (x ≥-的解集为（ ）A.}20|{≤≤x xB.}20|{<<x xC.}20|{≥≤x x x 或D.}20|{><x x x 或5.已知向量a =（m ，1）,b =(1,2).若a ⊥b ,则m=（ ）A.-2B.-21C.21D.26.已知两直线05y 2x 01y x =+-=-+和的交点为M ，则以点M 为圆心，半径长为2的圆的方程是（ ） A.()()42y 1x 22=-++ B.()()42y 1x 22=++-C.()()22y 1x 22=-++ D.()()22y 1x 22=++-7设函数f(x)= 21,1,2,1,x x x x⎧+≤⎪⎨>⎪⎩则f(f(3))=（ ）A ．139 B.3 C ．23 D.108.某社区有200户居民，为了解该社区的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年每月的用水量（单位：t ）进行分析，得到这些住户月均用水量的频率分布直方图如图，由此可以估计该社区居民月均用水量在[6，8）的住户数为（ ） A.30 B.40 C.50 D.609.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与B 1D 1所成的角是( )10．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，可以将函数y ＝sin 2x 的图象() A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11.==a tan ,a cos 3a sin2则若 .12.已知直线==++=+-m ,l //l .01y m x :l ,02y x 3:l 2121则若 .13.已知幂函数)x (f 的图象经过点)1,8(A ，则=)x (f _______________.14.=-===∆c 41C cos ,2b ,1a.c ,b ,a C ,B ,A ABC ，则若的对边分别为中，角在________.15.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集了若干数据，并对其进行分析，得到加工时间y （min ）与零件数x （个）的回归方程为64x 56.0yˆ+=。