导数与三角函数的结合

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例谈导数与三角函数的结合应用
作者：虞玉华
来源：《理科考试研究·高中》2014年第11期
三角函数作为初等函数的一种，与其他函数一样，学习及研究的相关内容都是一样的，也就是说，我们研究三角函数的性质都是包括函数的单调性、周期性和奇偶性等等.那么，我们运用导数来解决三角函数的问题的思路也是一样的.下面我们用几个具体的例子来归纳这类问题的解题方法.
一、三角函数的单调性
二、三角函数的周期性
三、三角函数的图象
点评根据函数判断大致的图象也是高考中常出现的题目，在判断图象的时候，我们一般是根据函数的奇偶性、周期性等相关的性质进行比对.而这些函数的性质的问题又是通过导数来求解的.因此，这个问题的实质还是函数的性质.
总之，用导数的方法来解决相关的函数问题，是一种便捷且有效的方法.导数的学习可以说是为研究函数引入了一个强大的工具，学生们在数学学习中一定要掌握好这种方法，并学会灵活用于解决函数问题，就能轻松攻克函数这个难关.。

导数与函数的三角函数关系探讨导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而三角函数则是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

本文将探讨导数与函数的三角函数之间的关系，并通过实例来说明这种关系的应用。

一、导数与正弦函数关系导数可以用来描述函数在某一点的变化率，而正弦函数则是描述周期性变化的函数。

我们来考虑正弦函数的导数。

正弦函数的导数是余弦函数，即：f'(x) = cos(x)这表明正弦函数在任意一点的导数等于该点的余弦值。

考虑到余弦函数的取值范围为[-1,1]，我们可以得出正弦函数在任意点的导数的取值范围为[-1,1]。

这意味着正弦函数的导数的绝对值不会超过1，而且根据正弦函数的周期性特点，导数的正负也会随着位置的不同而变化。

二、导数与余弦函数关系与正弦函数类似，余弦函数在任意一点的导数等于该点的正弦值。

即：f'(x) = sin(x)余弦函数在任意点的导数的取值范围也是[-1,1]，并且根据余弦函数的周期性特点，导数的正负也会随着位置的不同而变化。

三、导数与正切函数关系正切函数是另一个常见的三角函数，它在数学和物理中经常出现。

我们来研究一下正切函数的导数。

正切函数的导数可以通过以下公式来计算：f'(x) = sec^2(x)其中sec^2(x)表示x的正割平方。

正切函数在任意点的导数都是正割平方值，它的取值范围为大于等于1。

这意味着正切函数在任意点的导数都是正数，并且其绝对值会随着位置的不同而变化。

四、应用实例导数与函数的三角函数关系有着广泛的应用。

例如，在物理学中，弹簧的运动可以用正弦函数来描述。

如果我们想知道弹簧在某一点的速度，我们可以通过求取正弦函数在该点的导数来得到。

另一个实例是在工程领域中的振动系统分析。

例如，考虑一个简单的振动系统，其中一个质点通过一根弹簧与一个支撑物相连。

此时，我们可以用正弦函数来描述质点的运动。

求取正弦函数在某一点的导数，可以得到质点在该点的速度，从而对振动系统的性质进行分析。

导数与三角函数综合应用在数学中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

同时，三角函数也是数学中常见的函数类型之一，如正弦函数、余弦函数等。

本文将探讨导数与三角函数的综合应用，包括函数的极值、曲线的切线以及物理问题的模型等。

一、函数的极值在求函数的极值时，导数起到了重要的作用。

对于连续函数，若在某一点处导数为0或不存在，那么这个点可能是函数的极值点。

在三角函数中，我们将以正弦函数为例。

正弦函数sin(x)是周期函数，在一个周期内，其极大值为1，极小值为-1。

通过对正弦函数求导，我们可以确定其极值点的位置。

二、曲线的切线导数还可以用来确定曲线上某一点处的切线方程。

对于一个函数f(x)，在点x=a处的切线方程为y=f'(a)(x-a)+f(a)。

在三角函数中，我们将以余弦函数为例。

余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)，可以利用该导数计算出余弦函数在某一点处的切线方程。

三、物理问题的模型导数与三角函数还可以应用于解决物理问题。

比如，当一个物体在水平方向上做匀速直线运动时，其位置随时间的变化可以用三角函数来表示，接下来我们以简单的运动学模型为例。

假设一个物体以速度v匀速运动，其位移与时间的关系可以表示为x(t) = v * t。

那么，该物体的速度v(t)就是位移对时间的导数，即v(t) =x'(t) = v。

同理，加速度a(t)就是速度对时间的导数，即a(t) = v'(t) = 0。

从导数的角度来看，这个物体的位移函数是线性变化的，速度函数是常数，加速度函数为零。

这是一个简化的模型，但导数与三角函数的应用在更复杂的物理模型中同样有效。

比如，当物体受到外力时，其运动方程可能变得复杂，而导数与三角函数的运用可以帮助我们更好地理解和描述物体的运动规律。

总结：导数与三角函数的综合应用在数学和物理中都有广泛的应用。

通过导数的求取，我们可以确定函数的极值、曲线的切线方程，同时，基于导数和三角函数的模型可以帮助我们解决物理问题。

导数与函数的三角函数解析在微积分中，导数是一种用来描述函数局部变化率的概念。

它不仅对于研究函数的行为具有重要作用，还为我们提供了许多解析三角函数的方法。

本文将探讨导数与函数的三角函数解析之间的关系。

一、导数的定义与三角函数导数是函数在某一点上的变化率。

对于函数f(x)，它的导数f'(x)可以通过极限的概念来定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h三角函数是数学中的基本函数之一，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)，及其反函数。

这些函数在分析几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

二、使用导数解析三角函数1. 正弦函数的导数根据导数的定义，我们可以求得正弦函数的导数：f(x) = sin(x)f'(x) = cos(x)这意味着，对于任意x的值，正弦函数的导数都等于它自身的余弦函数。

2. 余弦函数的导数同样，根据导数的定义，我们可以求得余弦函数的导数：f(x) = cos(x)f'(x) = -sin(x)这意味着，对于任意x的值，余弦函数的导数等于它自身的负弦函数。

3. 正切函数的导数正切函数可以表示为两个基本三角函数的比值：f(x) = tan(x) = sin(x) / cos(x)将正切函数表示为其他两个函数的比值，我们可以利用导数的运算规则求解正切函数的导数：f'(x) = (sin'(x) * cos(x) - sin(x) * cos'(x)) / cos^2(x)= (cos(x) * cos(x) - sin(x) * (-sin(x))) / cos^2(x)= (cos^2(x) + sin^2(x)) / cos^2(x)= 1 / cos^2(x)= sec^2(x)通过上述推导，我们可以得到正切函数的导数等于它的余切函数的平方。

三、应用导数解析三角函数通过导数的定义和运算规则，我们可以得到三角函数的导数，进而应用于函数的解析中。

高中数学《导数与三角函数结合》一、在解决含参数的导数问题时，可以通过分离参数并转化为不含参数的函数的最值问题来求解。

对于一些与三角函数交汇的导数问题，也可以采用这种方法。

但有些试题在分离参数后，得出函数的单调性后，最值不存在，上下界却存在，这时候可以使用洛必达法则来解决。

比如例1中的问题。

二、函数的有界性是很多函数的一大特性。

在导数问题中，含参数的不等式恒成立问题是一个热点。

除了分离参数外，分类讨论思想也是这类问题的一大利器。

在与三角函数交汇的导数问题中，如果能有效地利用三角函数的有界性，则能快速找到分类讨论的依据，从而解决问题。

比如例2中的问题。

三、对于较为复杂的函数，直接构造一个函数可能很难或者无法解决。

此时，可以通过等价转化，并进行适当的变形，转化为两个函数来处理，问题可能会简化。

经常会遇到这种情形：两个函数的图像分别被某条直线隔离，这种现象与XXX成立问题有着非常密切的联系。

如果能够找到这条直线，然后再构造两个差函数，问题往往能迎刃而解。

比如例3中的问题。

四、在解决导数与解析几何问题时，设而不求是非常重要的一种数学思想。

这种思想方法是在解题过程中，由于要使用到某个方程的根，但由于这个根无法求出，或虽可求出但却不直接求出，而是通过设出未知数，并借助一定的手段进行消元或代换的种思想方法。

这个设出的未知数起到非常重要的桥梁作用。

比如例4中的问题。

五、导数问题与不等式相结合是近几年高考的常态。

对于涉及绝对值的不等式问题，三角不等式是解题的利器。

对于涉及三角函数交汇的导数不等式问题，如何利用不等式的性质是关键。

导数与三角函数的综合的解题技巧
1.使用导数公式：对于三角函数，有 sin'x=cosx, cos'x=-sinx, tan'x=sec^2x, cot'x=-csc^2x。

根据公式，可以快速求导数。

2.化简式子：如果要求导数的式子比较复杂，可以先把式子化简，再使用导数公式。

3.注意多项式函数：如果式子包含多项式函数，可以先对多项式函数求导，再根据导数公式求出整个式子的导数。

二、解题技巧
1.化简式子：对于一些比较复杂的题目，可以先把式子化简，减少计算难度。

2.注意特殊点：三角函数的周期性很强，要注意特殊点，如0度、90度、180度、270度、360度等，这些点的函数值会有特殊的表现。

3.使用变形公式：有些题目可以使用三角函数的变形公式，如和角公式、差角公式、倍角公式等，将原式化简成已知的函数形式，再进行计算。

4.备选法：如果在计算中出现不确定的式子，可以先把各种可能的取值列出来，再逐一验证。

综上所述，求导数和解题技巧是解决导数与三角函数综合题目的关键。

在解题过程中，要善于化简式子，注意特殊点，灵活运用三角函数的变形公式和备选法，从而提高解题的效率和准确性。

导数与函数的三角函数关系归纳在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。

而三角函数则是数学中常见的一类函数，它们在解决角度相关问题时具有重要作用。

在本文中，我们将探讨导数与函数的三角函数关系，并对相关归纳结果进行总结。

一、正弦函数与导数的关系在微积分中，正弦函数常被记作sin(x)，其中x为自变量。

下面我们来探讨正弦函数与其导数之间的关系。

1. 导数定义导数可以用以下公式定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]2. 正弦函数的导数对于正弦函数sin(x)，我们可以通过求导的方法得到其导数。

根据导数的定义，我们有：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x+h) - sin(x)}{h}\]利用三角函数的加法公式sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)，我们可以将上式改写为：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)}{h}\]再利用极限的性质和三角函数的性质，我们可以简化上式，并得到正弦函数的导数公式：\[f'(x) = cos(x)\]综上所述，正弦函数的导数为cos(x)。

二、余弦函数与导数的关系与正弦函数类似，余弦函数也是一种常见的三角函数。

下面我们来讨论余弦函数与导数之间的关系。

1. 导数定义依然使用导数的定义，我们有：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]2. 余弦函数的导数对于余弦函数cos(x)，我们可以通过求导的方法得到其导数。

根据导数的定义，我们有：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x+h) - cos(x)}{h}\]同样利用三角函数的加法公式cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)，我们可以将上式改写为：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x)}{h}\]再利用极限的性质和三角函数的性质，我们可以简化上式，并得到余弦函数的导数公式：\[f'(x) = -sin(x)\]综上所述，余弦函数的导数为-sin(x)。

一、利用洛必达法则或导数的定义含参数的导数问题的一大常见方法是分离参数，然后转化为不含参数的函数的最值问题的求解.对有些与三角函数进行交汇的导数问题，也是一大处理策略.但有些试题，在分离参数后，得出函数的单调性后，最值不存在，上界或下界却存在，但却难于直接求解处理，此时，洛必达法则可派上用场。

比如例1二、利用函数的有界性有界性是很多函数的一大特性，在导数问题中，含参数的不等式恒成立问题是一大热点，除了分离参数外，分类讨论思想是这类问题的一大利器，但如何进行分类讨论是问题的难点.在与三角函数进行交汇的这类导数问题中，若能有效地利用三角函数的有界性，则能实现快速找到分类讨论的依据，从而实现问题的求解。

比如例2三、利用隔离直线对于较为复杂的函数，如果直接构造一个函数可能很难甚或无法解决.此时，如能通过等价转化，并进行适当的变形，转化为两个函数来处理，问题可能大大简化.我们经常会遇到这种情形：两个函数的图像分别被某条直线隔离，这种现象实际上与不等式恒成立问题有着非常密切的联系.如果我们能够找到这条直线，然后再构造两个差函数，问题往往能迎刃而解。

比如例3四、利用设而不求在高中数学中，“设而不求”是非常重要的一种数学思想，这种思想方法是在解题过程中，由于要使用到某个方程的根，但由于这个根无法求出，或虽可求出但却不直接求出，而是通过设出未知数，并借助一定的手段进行消元或代换的种思想方法.这个设出的未知数起到非常重要的桥梁作用.笔者在教学过程中发现，这种思想方法主要应用在导数与解析几何中。

比如例4五、利用不等式的性质导数问题与不等式相结合是近几年高考的常态，与三角函数交汇的导数不等式问题的有一定的挑战性.因此，如何利用不等式的性质是关键对涉及绝对值的不等式问题，三角不等式是解题的利器.比如例5。

导数与三角函数的精彩交汇高咏咏(克拉玛依市高级中学ꎬ新疆克拉玛依８３４０００)摘㊀要:高考数学试题中经常考查导数与三角函数知识的结合ꎬ试题难度相对比较大ꎬ可以考查学生对知识点的掌握情况.笔者对该类问题的命题点进行了总结ꎬ并对相应的实例进行探讨ꎬ以期帮助考生有效突破此类考题.关键词:导数ꎻ三角函数ꎻ命题点中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００２０－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:高咏咏(１９７３.４－)ꎬ女ꎬ上海人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀笔者在一轮复习的教学中ꎬ梳理近些年高考试题ꎬ发现利用导数解决三角函数的交汇命题很多ꎬ而学生面对此类问题常因方法不当ꎬ或运算过程繁杂ꎬ导致虽做对但耗时太多ꎬ或做错丢分ꎬ成绩不理想.在高考复习备考中遇到此类问题时ꎬ如何帮助学生能够准确㊁快速㊁高效地解答呢?笔者通过梳理ꎬ现将该类问题整理成文ꎬ与读者交流ꎬ以期抛砖引玉[１].１命题点一㊀利用导数研究三角函数的性质三角函数的性质主要包含周期性㊁单调性㊁奇偶性等ꎬ解题时要能够充函数与０的大小来研究函数的性质[２]例１㊀(２０２３四川成都石室中学二诊)已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－ｓｉｎｘｃｏｓｘꎬ下列对于函数ｆ(ｘ)性质的描述ꎬ错误的是(㊀㊀).Ａ.ｘ＝π６是ｆ(ｘ)的极小值点Ｂ.ｆ(ｘ)的图象关于点(π２ꎬπ４)对称Ｃ.若ｆ(ｘ)在区间[ａꎬｂ]上递增ꎬ则ｂ－ａ的最大值为πＤ.ｆ(ｘ)有且仅有三个零点解析㊀因为ｆ(ｘ)＝ｘ２－ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｘ２－１２ｓｉｎ２ｘꎬ所以ｆᶄ(ｘ)＝１２－ｃｏｓ２ｘꎬ由ｆᶄ(ｘ)>０可得ｘɪｋπ＋π６ꎬｋπ＋５π６æèçöø÷ꎬｋɪＺꎬ由ｆᶄ(ｘ)<０可得ｘɪｋπ－π６ꎬｋπ＋π６æèçöø÷ꎬｋɪＺꎬ所以ｆ(ｘ)在ｋπ＋π６ꎬｋπ＋５π６æèçöø÷上单调递增ꎬ在ｋπ－π６ꎬｋπ＋π６æèçöø÷上单调递减ꎬ所以ｘ＝π６是ｆ(ｘ)的极小值点ꎬ故Ａ正确ꎻ若ｆ(ｘ)在区间[ａꎬｂ]上递增ꎬ则ｂ－ａ的最大值为５π６－π６＝２π３ꎬ故Ｃ错误ꎻ因０２为ｆ(０)＝０ꎬ当ｘɪ０ꎬπ６æèçöø÷时ꎬｆ(ｘ)单调递减ꎬｘɪπ６ꎬ５π６æèçöø÷时ꎬｆ(ｘ)单调递增ꎬｆπ６æèçöø÷＝π１２－３４<０ꎬｆ５π６æèçöø÷＝５π１２＋３４>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在区间π６ꎬ５π６æèçöø÷上有一个零点ꎬ当ｘɪ５π６ꎬ＋ɕ[öø÷时ꎬｘ２>１ꎬ１２ｓｉｎ２ｘɤ１２ꎬｆ(ｘ)>０ꎬ此时无零点ꎬ所以当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)有且仅有一个零点ꎬ又因为ｆ(ｘ)是奇函数ꎬ所以当ｘ<０时ꎬｆ(ｘ)有且仅有一个零点ꎬ故ｆ(ｘ)有且仅有三个零点ꎬ故Ｄ正确ꎻ因为ｆ(ｘ)＋ｆ(π－ｘ)＝ｘ２－１２ｓｉｎ２ｘ＋π－ｘ２－１２ｓｉｎ(２π－２ｘ)＝π２ꎬ所以ｆ(ｘ)的图象关于点(π２ꎬπ４)对称ꎬ故Ｂ正确ꎬ故答案选Ｃ.点评㊀本题结合三角恒等变换将三角函数进行化简ꎬ考查三角函数的单调性ꎬ对称性ꎬ零点㊁最值和极值等ꎬ需要考生熟练掌握三角恒等变换的变形公式ꎬ通过求导ꎬ分析出ｆｘ()的单调性ꎬ可判断ＡＣꎬ计算ｆｘ()＋ｆπ－ｘ()ꎬ可判断Ｂꎬ结合ｆｘ()的单调性㊁奇偶性和极值符号可判断Ｄ.２命题点二㊀利用导数研究三角函数的零点利用导数研究三角函数的零点问题ꎬ经常设计已知零点个数求参数的取值范围或以三角函数为载体ꎬ证明所给函数的零点个数.例２㊀(２０２３宁夏银川二中统测)设函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ＋ｃｏｓｘꎬ其中ａɪＲ.(１)若ａ＝１ꎬ证明:当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)>２ꎻ(２)若ｆ(ｘ)在区间[０ꎬπ]内有两个不同的零点ꎬ求ａ的取值范围.解析㊀(１)ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－ｓｉｎｘꎬ由ｘ>０ꎬ得ｅｘ>１ꎬｓｉｎｘɪ[－１ꎬ１]ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－ｓｉｎｘ>０ꎬ即ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上为增函数.故ｆ(ｘ)>ｆ(０)＝２ꎬ即ｆ(ｘ)>２.(２)由ｆ(ｘ)＝ａｅｘ＋ｃｏｓｘ＝０ꎬ得ａ＝－ｃｏｓｘｅｘ.设函数ｈ(ｘ)＝－ｃｏｓｘｅｘꎬｘɪ[０ꎬπ]ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘｅｘ.令ｈᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ＝３π４.则ｘɪ[０ꎬ３π４]时ꎬｈᶄ(ｘ)>０ꎬｘɪ(３π４ꎬπ]ꎬ时ꎬｈᶄ(ｘ)<０ꎬ所以ｈ(ｘ)在０ꎬ３π４æèçöø÷上单调逼增ꎬ在３π４ꎬπæèçöø÷上单调减.又因为ｈ(０)＝－１ꎬｈ(π)＝ｅ－πꎬｈ３π４æèçöø÷＝２２ｅ－３π４ꎬ所以当ａɪｅ－πꎬ２２ｅ－３π４[öø÷时ꎬ方程ａ＝－ｃｏｓｘｅｘ在区间[０ꎬπ]内有两个不同解ꎬ即所求实数ａ的取值范围为ｅ－πꎬ２２ｅ－３π４[öø÷.点评㊀函数的零点问题ꎬ解题策略是转化为两个函数图象的交点ꎬ三种方式中(一平一曲㊁一斜一曲㊁两曲)最为常见的是一平一曲.方法一是直接考虑函数ｆ(ｘ)的图象与ｘ轴的交点情况ꎬ方法二是分离参数法ꎬ两种方法的本质都是一平一曲.另外ꎬ我们对某些函数或许可以通过换元ꎬ来降低函数的解决难度.３命题点三㊀利用导数研究三角函数的最值利用导数研究三角函数的最值问题ꎬ关键在于能够正确判断出所给三角函数的单调性.例３㊀(２０２３陕西安康模拟)函数ｆ(ｘ)＝(１－ｃｏｓｘ)ｓｉｎｘ的最大值为.解析㊀因为ｆ(ｘ)＝(１－ｃｏｓｘ)ｓｉｎｘꎬ所以ｆ２(ｘ)＝(１－ｃｏｓｘ)２ｓｉｎ２ｘ＝(１－２ｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ)(１－ｃｏｓ２ｘ)＝－ｃｏｓ４ｘ＋２ｃｏｓ３ｘ－２ｃｏｓｘ＋１ꎬ令ｔ＝ｃｏｓｘ(－１ɤｔɤ１)ꎬｇ(ｔ)＝ｆ２(ｘ)ꎬ则ｇ(ｔ)＝－ｔ４＋２ｔ３－２ｔ＋１(－１ɤｔɤ１)ꎬ１２所以ｇᶄ(ｔ)＝－４ｔ３＋６ｔ２－２＝－２(ｔ－１)２(２ｔ＋１)ꎬ当－１ɤｔɤ－１２时ꎬｇᶄ(ｔ)ȡ０ꎬｇ(ｔ)单调递增ꎻ当－１２ɤｔɤ１时ꎬｇᶄ(ｔ)ɤ０ꎬｇ(ｔ)单调递减ꎻ所以当ｔ＝－１２时ꎬｇ(ｔ)＝ｆ２(ｘ)取得极大值ꎬ也是最大值ｇ(－１２)＝－(－１２)４＋２ˑ(－１２)３－２ˑ(－１２)＋１＝２７１６ꎬ所以ｆ(ｘ)＝(１－ｃｏｓｘ)ｓｉｎｘ的最大值为３３４.点评㊀该解法巧妙地利用换元法将三角函数问题转化成了幂函数问题ꎬ通过利用导数研究函数的单调性求出最值[３].４命题点四㊀利用导数研究三角不等式恒成立问题㊀㊀利用导数研究三角函数不等式恒成立问题要区别于能成立问题ꎬ要能够将恒成立问题进行合理转化.例４㊀(２０２３湖南长沙四校高三模拟)已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ－１６ｘ３ꎬｆᶄ(ｘ)为ｆ(ｘ)的导数.(１)若ｆ(ｘ)>ｋｘ－ｘｃｏｓｘ－１６ｘ３－１对ｘɪ(０ꎬπ２)恒成立ꎬ求实数ｋ的取值范围.解析㊀由ｆ(ｘ)>ｋｘ－ｘｃｏｓｘ－１６ｘ３－１ꎬ得ｓｉｎｘ>ｋｘ－１.ȵｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ所以ｋ<１＋ｓｉｎｘｘꎬ令ｔ(ｘ)＝１＋ｓｉｎｘｘꎬ则ｔᶄ(ｘ)＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ－１ｘ２ꎬ令ｍ(ｘ)＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ－１ꎬ则当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬｍᶄ(ｘ)＝－ｘｓｉｎｘ<０恒成立ꎬʑｍ(ｘ)在(０ꎬπ２)上单调递减ꎬ所以当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬｍ(ｘ)<ｍ(０)＝－１<０ꎬʑｔᶄ(ｘ)<０在(０ꎬπ２)上恒成立ꎬ即ｔ(ｘ)在(０ꎬπ２)上单调递减ꎬʑ当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬｔ(ｘ)>ｔ(π２)＝４πꎬｋɤ４πꎬｋ的取值范围是(－ɕꎬ４π].点评㊀(１)已知不等式ｆ(ｘ λ)>０(λ为实参数)对任意的ｘɪＤ恒成立ꎬ求参数λ的取值范围.利用导数解决此类问题可以运用分离参数法.(２)如果无法分离参数ꎬ可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解ꎬ如果是二次不等式恒成立的问题ꎬ可以考虑二次项系数与判别式的方法(ａ>０ꎬΔ<０或ａ<０ꎬΔ<０)求解.三角函数与导数是中学数学中两个重点内容ꎬ考查的分值比例和上课课时数量都相对较高ꎬ因此两者的交汇命题会是高考命题的趋势.因此ꎬ在高考备课中ꎬ要深入研究三角函数的相关性质ꎬ准确把握导数与三角函数的命题题型ꎬ进行针对性训练.参考文献:[１]刘海涛.例析与高斯函数有关问题的常考题型与备考建议[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０１):２７－３１.[２]祁居攀.导数与三角函数联袂问题的分类讨论策略[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２３(１５):１５－１７.[３]陈国林.发挥导数工具作用ꎬ正确处理函数性质[Ｊ].中学生数理化(高考数学)ꎬ２０２１(５):２１－２３.[责任编辑:李㊀璟]２２。