高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版0001

导数与三角函数压轴题归纳总结

近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题， 内容主要包 括函数零点个数的确定、 根据函数零点个数求参数范围、 隐零点问题及零点存在 性赋值理论 .其形式逐渐多样化、综合化 .

、零点存在定理

例1【. 2019全国Ⅰ理 20】函数 f(x) sinx ln(1 x),f (x)为f (x)的导数．证明：

1) f (x)在区间 ( 1, 2 )存在唯一极大值点； 2) f (x) 有且仅有 2 个零点．

可得 g'(x)在 1, 有唯一零点 ,设为

2

则当x 1, 时,g x 0；当 x ,2 时,g'(x) 0.

所以 g(x) 在 1, 单调递增,在 , 单调递减 ,故g(x) 在 2 值点 ,即 f x 在 1, 存在唯一极大值点 .

2

(2) f x 的定义域为 ( 1, ).

(i )由( 1)知, f x 在 1,0 单调递增 ,而 f 0 0,所以当 x ( 1,0)时, f'(x) 0,故 f x 在

( 1,0)单调递减 ,又 f (0)=0 ,从而 x 0是 f x 在( 1,0] 的唯

一零点 .

【解析】( 1)设 g x f x ,则 g x

当x 1, 时, g'(x)单调递减,而 g

2

1 1

sinx 2

1 x 2

cosx

,g x

1x

0 0,g

0,

2

1, 存在唯一极大 2

, 时, f '(x) 0.故 f (x) 在(0, )单调递增,在 , 单调递 22

3

变式训练 1】【2020·天津南开中学月考】已知函数 f (x) axsin x 2(a R), 且 在, 0, 2 上的最大值为

(1)求函数 f(x)的解析式；

(2)判断函数 f(x)在( 0，π)内的零点个数，并加以证明

【解析】 (1)由已知得 f(x) a(sin x xcosx) 对于任意的 x ∈(0, )， 3 有 sinx xcosx 0,当 a=0 时,f(x)=- ，不合题意；

2

当 a<0时,x ∈(0,2 ),f ′(x)从<0而, f(x)在(0, 2 )单调递减，

3

又函数 f(x) ax sin x 2 (a ∈ R 在) [0, 2 ]上图象是连续不断的， 故函数在 [0, 2] 上的最大值为 f(0) ，不合题意；

当 a>0时,x ∈(0, 2),f ′(x)从>0而, f(x)在(0, 2 )单调递增，

3

又函数 f(x) ax sin x (a ∈R 在) ［0, ］上图象是连续不断的，

33

故函数在［0, 2 ］上上的最大值为 f( 2)=2a- 23= 23，解得 a=1，

3

综上所述 ,得 f(x) xsinx 3(a R),；

(2)函数 f(x) 在(0, π内)有且仅有两个零点。证明如下：

从而 f x 在 0, 没有零点 .

2

( iii ) 当 x

, 时 , f x 0 ,

所 以 f x 在

单调递减.而

2

2

f 0, f

0 ,所以 f x

在, 有唯一零点 .

2

2

( iv )当 x (

, ) 时,ln x 1

1,所以

f (x) <0,从而 f x 在( , ) 没有零点 . 减.又 f (0)=0 , f

1 ln 1

22

0 ,所以当x 0,2 时,f(x) 0. 综上, f x 有且仅有 2个零点. ii )当 x

0,2 时,由(1)知,f'(x)在(0, )单调递增 ,在

单调递减 ,而 f ' (0)=0

2 0

,所以存在

,2 ,使得 f'( ) 0,且当x (0, ) 时,

f'(x) 0 ；当 x

33

由(I)知, f (x) axsin x 从而有f(0)=- <0,f( )= π -32>0，

2 2 2

又函数在［0, 2］上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0, 2 )内至少存在一个零点，又由(I)知f(x)在(0, 2 )单调递增,故函数f(x)在(0, 2 )内仅有一个零点。当x∈［, π时］,令g(x)=f ′ (x)=sinx+xco，sx

由g( 2 )=1>0,g( π)=- π且<0g,(x)在［2 , π上］的图象是连续不断的，故存在m∈2 , π使), 得g(m)=0.

由g′(x)=2cosx-xsinx知, x∈(2 , π时),有g′ (x)<，0从而g(x)在［2 , π上］单调递减。当x∈2 ,m),g(x)>g(m)=0,即f ′(x)>，0从而f(x)在( 2 ,m)内单调递增故当x∈(2 ,m)时,f(x)>f( π2)=π-，32从>0而(x)在( 2 ,m)内无零点；当x∈(m,π时),有g(x)0,f( π)<且0 f(x) 在［m, π上］的图象是连续不断的，从而f(x) 在［m, π内］有且仅有一个零点。

综上所述,函数f(x) 在(0, π内)有且仅有两个零点。

【变式训练2】【2020·山东枣庄期末】已知函数f x ln x x 2sin x, f x 为f x 的导函数.

(1)求证: f x 在0，上存在唯一零点;

(2)求证: f x 有且仅有两个不同的零点

1

【解析】(1)设g x f x 1 2cosx ，x

1

当x 0, 时，g x 2sin x 2 0 ，所以g x 在0, 上单调递减，x

32

又因为g 1 1 0，g 1 0

32

所以g x 在3,2上有唯一的零点，所以命题得证．

(2) ①由(1)知：当x 0, 时，f x 0，f x 在0, 上单调递增;