高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结学生版

导数压轴题题型1. 高考命题回顾例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.(1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )⇒f ′(x )＝e x －1x ＋m ⇒f ′(0)＝e 0－10＋m＝0⇒m ＝1，定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x－1x ＋m＝e x x ＋1－1x ＋1，显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)．h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)⇒h ′(x )＝e x ＋1x ＋22>0，所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －132<0，g ′(0)＝1－12>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0⎝⎛⎭⎫－12<t <0， 所以，e t ＝1t ＋2⇒t ＋2＝e －t ，当x ∈(－2，t )时，g ′(x )<g ′(t )＝0，g (x )单调递减； 当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增； 所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝1＋t 2t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f ef x f x +-=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间；(2)若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值。

高考导数压轴题型归类总结一、导数单调性、极值、最值的直接应用 已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈ ⑴当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；⑵当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.1. 已知函数221()2,()3ln .2f x x axg x a x b =+=+⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值； ⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。

2. （最值直接应用）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.设函数221()(2)ln (0)ax f x a x a x+=-+<． (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性；(2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈，12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．3. （最值应用，转换变量）4. （最值应用）已知二次函数()g x 对x R ∀∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-，设函数19()()ln 28f xg x m x =+++（m R ∈，0x >）．（Ⅰ）求()g x 的表达式；（Ⅱ）若x R +∃∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设1m e <≤，()()(1)H x f x m x =-+，求证：对于12[1,]x x m ∀∈，，恒有12|()()|1H x H x -<．5. 设3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点. （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（2）设()2250,4xa g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-< 成立，求a 的取值范围.6. 7.8. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． ⑴求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；⑵若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是常数，e ＝2.71828⋅⋅⋅）使不等式2()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围； ⑶证明对一切(0,),x ∈+∞都有12ln xx e ex>-成立．9. （最值应用） 设函数()2ln q f x px x x =--，且()2pf e qe e=--，其中e 是自然对数的底数. ⑴求p 与q 的关系；⑵若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； ⑶设2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围.10. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题）设函数1()ln ().f x x a x a R x =--∈⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.11. （构造函数，好，较难）已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a R a =-+-∈≠，.⑴求函数()f x 的单调增区间；⑵记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由.12. (2011天津理19，综合应用)已知0a >，函数()2ln f x x ax =-，0x >．(()f x 的图象连续) ⑴求()f x 的单调区间；⑵若存在属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln 3ln 2ln 253a -≤≤．13. （单调性，用到二阶导数的技巧） 已知函数x x f ln )(= ⑴若)()()(R a xax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值；⑵若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.已知函数()ln ,().x f x x g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )－11x x ，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．二、交点与根的分布14. （2008四川22，交点个数与根的分布）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． ⑴求a ；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围． 15. 已知函数()32f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()f x 在R 上有三个零点． （1）求b 的值；（2）若1是其中一个零点，求()2f 的取值范围；（3）若()()'213ln a g x f x x x ==++，，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x )相切？请说明理由.16. （交点个数与根的分布）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ ⑴求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t⑵是否存在实数,m 使得()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

导数压轴题型归类总结目 录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围 （51）（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）七、导数结合三角函数 （85）书中常用结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1xx<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. （切线）设函数a x x f -=2)(.（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得33±=x .)(x g '(2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--.令0=y ，得12122x ax x +=，∴12111211222x x a x x a x x x -=-+=-∵a x >1，∴02121<-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x ax x a x x a x x =⋅>+=+=11111212222222所以a x x >>21.2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

2024新题型之19压轴题1.命题方向2024新题型之19压轴题以大学内容为载体的新定义题型以数列为载体的新定义题型以导数为载体的新定义题型两个知识交汇2.模拟演练题型01以大学内容为载体的新定义题型1(2024·安徽合肥·一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意n∈N*，定义“q-数”(n)q=1+q+⋯+q n-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n !q=(1)q(2)q⋯(n)q,且0 !q=1.和“q-组合数”，即对任意k∈N,n∈N*,k≤n，nk q=n !qk !q n-k!q(1)计算：53 2；(2)证明：对于任意k,n∈N*,k+1≤n，nk q=n-1k-1q+q kn-1kq(3)证明：对于任意k,m∈N,n∈N*,k+1≤n，n+m+1 k+1q -nk+1q=∑mi=0q n-k+in+ikq.2(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5 =2024①，称五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5为方程①的解，对于上述的五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5，当1≤i,j≤5时，若max(x i-x j)=t(t∈N)，则称x1,x2,x3,x4,x5是t-密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x1,x2,x3,x4,x5，使得x i+1-x i i=1,2,3,4等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S=5i=1x2i，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.3(2024·江苏四校一模)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A，B；C，D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1，B1；C1，D1)= (A2，B2；C2，D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与△E′F′G′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与△E′F′G′对应边的交点在一条直线上．题型02以数列为载体的新定义题型4(2024·安徽黄山·一模)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列a n ，规定Δa n 为数列a n 的一阶差分数列，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，规定Δ2a n 为数列a n 的二阶差分数列，其中Δ2a n =Δa n +1-Δa nn ∈N *．(1)数列a n 的通项公式为a n =n 3n ∈N * ，试判断数列Δa n ,Δ2a n 是否为等差数列，请说明理由？(2)数列log a b n 是以1为公差的等差数列，且a >2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n =b m ，求a 的值；(3)各项均为正数的数列c n 的前n 项和为S n ，且Δc n 为常数列，对满足m +n =2t ，m ≠n 的任意正整数m ,n ,t 都有c m ≠c n ，且不等式S m +S n >λS t 恒成立，求实数λ的最大值．5(2024·辽宁葫芦岛·一模)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作L M ,N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列a n 的通项公式a n =3n -1，n ∈N +，通过“数据漏斗”软件对数列a n 进行L 3,1 操作后得到b n ，设a n +b n 前n 项和为S n ．(1)求S n ；(2)是否存在不同的实数p ,q ,r ∈N +，使得S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出所有的p ,q ,r ；若不存在，说明理由；(3)若e n =nS n2(3n-1)，n ∈N +，对数列e n 进行L 3,0 操作得到k n ，将数列k n 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到p n ，再将p n 的每一项都加上自身项数，最终得到c n ，证明：每个大于1的奇平方数都是c n 中相邻两项的和．6(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =n +12+1n n +1,1≤n ≤1000,n >100，b n =12203-n,1≤n ≤5000,n >500，d n =a n ⊗b n ，证明：d 200<12．7(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P：a1,a2,⋯,a n，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1P ：n,a1-1,a2-1,⋯,a n-1．对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,⋯,b m，定义S(Q)=2(b1+2b2+⋯+mb m)+b21+b22+⋯+b2m，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2Q ．(1)若数列P0为2，4，3，7，求S T1P0的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令P k+1=T2T1P k，k∈N．(i)探究S T1P0与S P0的关系；(ii)证明：S P k+1．≤S P k题型03以导数为载体的新定义题型8(2024·广东惠州·一模)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数f x =x s-1e x-1(x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题．(1)当1<s≤2时，讨论f x 的单调性；(2)当s>2时；①证明f x 有唯一极值点；②记f x 的唯一极值点为g s ，讨论g s 的单调性，并证明你的结论．9(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f x 在x=0处的n n∈N*阶导数都存在时，f x =f0 +f 0 x+f 02!x2+f3 03!x3+⋯+f n 0n!x n+⋯．注：f x 表示f x 的2阶导数，即为f x 的导数，f n x n≥3表示f x 的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯．当x≥0时，试比较cos x与1-x22的大小，并给出证明；(3)设n∈N*，证明：nk=11(n+k)tan1n+k>n-14n+2．10(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+a m x m1+b1x+⋯+b n x n，且满足：f(0)=R(0)，f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．(注：f (x)=f (x)，f (x)= f (x)，f(4)(x)=f (x)，f(5)(x)=f(4)(x)，⋯；f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数)已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的1,1阶帕德近似为R(x)=ax1+bx．(1)求实数a，b的值；(2)比较f x 与R(x)的大小；(3)若h(x)=f(x)R(x)-12-mf(x)在(0,+∞)上存在极值，求m的取值范围．题型04两个知识交汇11【概率与数列】(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3. 一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.12【概率与函数】(2024·广东汕头·一模)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k=tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k +1k+1+⋯+1n-1=ln nk)13【解析几何与立体几何】(2024·山东日照·一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12经过点F1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8．将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为A ，B ．(1)当θ=π3时，①求证：A O⊥B F2；②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成角的余弦值；(2)是否存在θ0<θ<π2，使得折叠后△A B F2的周长为152？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．14【导数与三角函数】(2024·山东烟台·一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点O ,t 为AM 绕点A 转过的角度(单位：弧度，t ≥0).(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ；(2)设点M 的轨迹在点M 0(x 0,y 0)(y 0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1+cos2θy 0为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为(x (t ),y (t )),t ∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F (β)-F (α)，其中函数F (t )满足F (t )=[x (t )]2+[y (t )]2.当点M 自点O 滚动到点E 时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE 的长度.15【导数与数列】(2024·山东济宁·一模)已知函数f x =ln x -12ax 2+12a ∈R ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若0<x 1<x 2，证明：对任意a ∈0,+∞ ，存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ，使得f (ξ)=f x 2 -f x 1 x 2-x 1成立；(3)设a n =2n +1n2，n ∈N *，数列a n 的前n 项和为S n ．证明：S n >2ln (n +1)．。

目前虽然全国高考使用试卷有所差异，但高考压轴题目题型基本都是一致的，几乎没有差异，如果有差异只能是难度上的差异，高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。

导数解答题是高考数学必考题目，然而学生由于缺乏方法，同时认识上的错误，绝大多数同学会选择完全放弃，我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分的夸大。

掌握导数的解体方法和套路，对于基础差的同学不说得满分，但也不至于一分不得。

为了帮助大家复习，今天就总结倒数7大题型，让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题。

1导数单调性、极值、最值的直接应用tatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsot a ti m e an dAl l th i n gs in th ei r be i ng ar eg oo d2交点与根的分布3不等式证明（一）做差证明不等式tatimeandAllthingsintheirb（二）变形构造函数证明不等式etatimeandAllthingsintheirbeingaregoo（三）替换构造不等式证明不等式dtatimeandAllthingsintheirbeingaregoodforsoi m e an dAl l th i n gs in th ei r be i ng ar eg oo df or s o4不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离参数tatimeandAllthingsintheirbeinga（三）恒成立之讨论字母范围rtatimeandAllthingsint5函数与导数性质的综合运用hetatimeandAllthingsintheirbeingarego6导数应用题odtatimeandAllthin7导数结合三角函数gstatimeandAllthingsintheirbeingaregoo。

高考数学导数压轴题7大题型总结
目前虽然全国高考使用试卷有所差异，但高考压轴题目题型基本都是一致的,几乎没有差异，如果有差异只能是难度上的差异，高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调,极值，极值点,最值，恒成立等等。

导数解答题是高考数学必考题目，然而学生由于缺乏方法，同时认识上的错误，绝大多数同学会选择完全放弃，我们不可否认导数解答题的难度，但也不能过分的夸大。

掌握导数的解体方法和套路，对于基础差的同学不说得满分，但也不至于一分不得.为了帮助大家复习,今天就总结倒数7大题型,让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题。

1导数单调性、极值、最值的直接应用
2交点与根的分布
3不等式证明
（一）做差证明不等式
（二)变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
4不等式恒成立求字母范围
(一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离参数
(三）恒成立之讨论字母范围
5函数与导数性质的综合运用
6导数应用题
7导数结合三角函数。

2024新高考新试卷结构19题新定义导数压轴题分类汇编【精选例题】1悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数ch x =e x +e -x 2的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①sin 2x +cos 2x =1，②和角公式：cos x +y =cos x cos y -sin x sin y ，③导数：sin x =cos x ,cos x =-sin x , 定义双曲正弦函数sh x =e x -e -x 2．(1)直接写出sh x ，ch x 具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)；(2)若当x >0时，sh x >ax 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)求f x =ch x -cos x -x 2的最小值．2已知a 为实数，f x =x +a ln x +1 ．对于给定的一组有序实数k ,m ，若对任意x 1，x 2∈-1,+∞ ，都有kx 1-f x 1 +m kx 2-f x 2 +m ≥0，则称k ,m 为f x 的“正向数组”．(1)若a =-2，判断0,0 是否为f x 的“正向数组”，并说明理由；(2)证明：若k ,m 为f x 的“正向数组”，则对任意x >-1，都有kx -f x +m ≤0；(3)已知对任意x 0>-1，f x 0 ,f x 0 -x 0f x 0 都是f x 的“正向数组”，求a 的取值范围．3帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数f (x )在x =0处的[m ,n ]阶帕德近似定义为：R (x )=a 0+a 1x +⋯+a m x m1+b 1x +⋯+b n xn ，且满足：f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，f (0)=R (0)⋯，f (m +n )(0)=R (m +n )(0)．已知f (x )=ln (x +1)在x =0处的[1,1]阶帕德近似为R(x )=ax 1+bx．注：f (x )=f (x ) ,f (x )=f (x ) ,f (4)(x )=f (x ) ,f (5)(x )=f (4)(x ) ,⋯(1)求实数a ，b 的值；(2)求证：(x +b )f 1x >1；(3)求不等式1+1x x <e <1+1x x +12的解集，其中e =2.71828⋯．4在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y 1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．5“让式子丢掉次数”：伯努利不等式伯努利不等式(Bernoulli'sInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数 x∈-1,+∞n，在 n∈1,+∞时，有不等式 1+x≥1+nx成立；在 n∈0,1n≤1+nx成立．时，有不等式 1+x(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；(2)当 n≥1时，对伯努利不等式进行证明；(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知 a1,a2,⋯,a n n∈N*是大于-1的实数(全部同号)，证明1+a1⋯1+a n≥1+a1+a2+⋯+a n1+a26梨曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数(x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题．f x =x s-1e x-1(1)当1<s≤2时，讨论f x 的单调性；(2)当s>2时；①证明f x 有唯一极值点；②记f x 的唯一极值点为g s ，讨论g s 的单调性，并证明你的结论．7定义函数f n x =1-x+x22-x33+⋯+-1nx nnn∈N*．(1)求曲线y=f n x 在x=-2处的切线斜率；(2)若f2x -2≥ke x对任意x∈R恒成立，求k的取值范围；(3)讨论函数f n x 的零点个数，并判断f n x 是否有最小值．若f n x 有最小值m﹐证明：m>1-ln2；若f n x 没有最小值，说明理由．(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数)8如果函数F x 的导数F x =f x ，可记为F x =f x d x．若f x ≥0，则b a f x d x=F b -F a表示曲线y=f x ，直线x=a,x=b以及x轴围成的“曲边梯形”的面积．(1)若F x =1x d x，且F1 =1，求F x ；(2)已知0<α<π2，证明：αcosα<acos x d x<α，并解释其几何意义；(3)证明：1n1+cosπn+1+cos2πn+1+cos3πn+⋯+1+cos nπn<22π，n∈N*．9对于函数y =f x ,x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f x 0 =x 0，则称x 0为函数f x 的一阶不动点；若存在x 0∈I ，使得f f x 0 =x 0，则称x 0为函数f x 的二阶不动点；依此类推，可以定义函数f x 的n 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.(1)已知f x =2x +2x -3，求f x 的不动点；(2)已知函数f x 在定义域内单调递增，求证： “x 0为函数f x 的不动点”是“x 0为函数f x 的稳定点”的充分必要条件；(3)已知a >-1，讨论函数f x =2e 2ln x +a +1 x -1x 的稳定点个数.【跟踪训练】10已知y =f x 与y =g x 都是定义在0,+∞ 上的函数，若对任意x 1，x 2∈0,+∞ ，当x 1<x 2时，都有g x 1 ≤f x 1 -f x 2 x 1-x 2≤g x 2 ，则称y =g x 是y =f x 的一个“控制函数”．(1)判断y =2x 是否为函数y =x 2x >0 的一个控制函数，并说明理由；(2)设f x =ln x 的导数为f x ，0<a <b ，求证：关于x 的方程f b -f a b -a=f x 在区间a ,b 上有实数解；(3)设f x =x ln x ，函数y =f x 是否存在控制函数？若存在，请求出y =f x 的所有控制函数；若不存在，请说明理由．11利用拉格朗日(法国数学家，1736-1813)插值公式，可以把二次函数F (x )表示成F (x )=d (x -b )(x -c )(a -b )(a -c )+e (x -a )(x -c )(b -a )(b -c )+f (x -a )(x -b )(c -a )(c -b )的形式.(1)若a =1，b =2，c =3，d =4，e <f ，把F (x )的二次项系数表示成关于f 的函数G (f )，并求G (f )的值域(此处视e 为给定的常数，答案用e 表示)；(2)若a <b <c ，d >0，e <0，f >0，求证：a +b <d b 2-c 2 +e c 2-a 2 +f a 2-b 2 d (b -c )+e (c -a )+f (a -b )<b +c .12多元导数在微积分学中有重要的应用.设y 是由a ，b ，c ⋯等多个自变量唯一确定的因变量，则当a 变化为a +Δa 时，y 变化为y +Δy ，记lim Δa →0Δy Δa 为y 对a 的导数，其符号为d y da .和一般导数一样，若在a 1,a 2 上，已知d y da >0，则y 随着a 的增大而增大；反之，已知d y da<0，则y 随着a 的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：d y 1+y 2 da =d y 1da +d y 2da ；②乘法法则：d y 1y 2 da=y 2d y 1da +y 1d y 2da ；③除法法则：d y 1y 2 da =y 2d y 1da -y 1d y2da y 22；④复合法则：d y 2da =d y 2d y 1⋅d y 1da .记y =e x +1e x 2ln x -12e x 2-ex -a .(e =2.7182818⋯为自然对数的底数)，(1)写出d y d x 和d y da的表达式；(2)已知方程y =0有两实根x 1,x 2，x 1<x 2.①求出a 的取值范围；②证明d x 1+x 2 da>0，并写出x 1+x 2随a 的变化趋势.13设函数f x =sin x-x cos x，g x =1+x2 2cos x.(1)①当x∈0,π时，证明：f x ≥0；②当x∈-π,π时，求g x 的值域；(2)若数列a n满足a1=1，a n+1=a n cos a n，a n>0，证明：3a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a ncos a1cos a2cos a3⋅⋅⋅cos a n<2 (n∈N*).14给出下列两个定义：Ⅰ.对于函数y=f(x)，定义域为D，且其在D上是可导的，其导函数定义域也为D，则称该函数是“同定义函数”.Ⅱ.对于一个“同定义函数”y=f(x)，若有以下性质：①f x =g f x；②f(x)=h(f (x))，其中y=g(x)，y=h(x)为两个新的函数，y=f x 是y=f(x)的导函数.我们将具有其中一个性质的函数y=f(x)称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数y=f(x)称之为“双向导函数”，将y=g(x)称之为“自导函数”.(1)判断下列两个函数是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”.Ⅰ.f(x)=tan x；Ⅱ.f(x)=ln x.(2)给出两个命题p，q，判断命题p是q的什么条件，证明你的结论.p：y=f(x)是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，q：f(x)=k⋅a x(k∈R,a>0,a≠1).(3)已知函数h(x)=(x a-b)e x.①若h(x)的“自导函数”是y=x，试求a的取值范围.②若a=b=1，且定义I(x)=e x h(x)-43kx3+kx，若对任意k∈[1,2]，x∈[0,k]，不等式I(x)≤c恒成立，求c的取值范围.15若函数f x 在定义域内存在两个不同的数x 1，x 2，同时满足f x 1 =f x 2 ，且f x 在点x 1,f x 1 ，x 2,f x 2 处的切线斜率相同，则称f x 为“切合函数”.(1)证明：f x =2x 3-6x 为“切合函数”；(2)若g x =x ln x -1ex 2+ax 为“切合函数”(其中e 为自然对数的底数)，并设满足条件的两个数为x 1，x 2.(ⅰ)求证：x 1x 2<e 24；(ⅱ)求证：(a +1)2x 1x 2-x 1x 2<34.16设y =f x 、y =g x 是定义域为R 的函数，当g x 1 ≠g x 2 时，δx 1,x 2 =f x 1 -f x 2 g x 1 -g x 2.(1)已知y =g x 在区间I 上严格增，且对任意x 1,x 2∈I ,x 1≠x 2，有δx 1,x 2 >0，证明：函数y =f x 在区间I 上是严格增函数；(2)已知g x =13x 3+ax 2-3x ，且对任意x 1,x 2∈R ，当g x 1 ≠g x 2 时，有δx 1,x 2 >0，若当x =1时，函数y =f x 取得极值，求实数a 的值；(3)已知g x =sin x ,f π2 =1,f -π2=-1，且对任意x 1,x 2∈R ，当g x 1 ≠g x 2 时，有δx 1,x 2 ≤1，证明：f x =sin x .17给出下列两个定义：I.对于函数y=f x ，定义域为D，且其在D上是可导的，若其导函数定义域也为D，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”y=f x ，若有以下性质：①f x =g f x；②f x =h f x，其中y=g x ,y=h x 为两个新的函数，y=f x 是y=f x 的导函数.我们将具有其中一个性质的函数y=f x 称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数y=f x 称之为“双向导函数”，将y=g x 称之为“自导函数”.(1)判断函数y=tan x和y=ln x是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；(2)已知命题p:y=f x 是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题q:f x =k⋅a x(k∈R,a>0,a ≠1).判断命题p是q的什么条件，证明你的结论；(3)已知函数f x =x a-be x.①若f x 的“自导函数”是y=x，试求a的取值范围；②若a=b=1，且定义I x =e x f x -43kx3+kx，若对任意k∈1,2,x∈0,k，不等式I x ≤c恒成立，求c的取值范围.18我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为y =u x v x u x >0，u x ≠1 ，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数y =x x ，y =x x =e ln x x =ex ln x =e x ln x ln x +1 .(1)已知f x =x x -1x ，x >0，求曲线y =f x 在x =1处的切线方程；(2)若m >0且m ≠1，x >0.研究g x =1+m x 21x 的单调性；(3)已知a ，b ，s ，t 均大于0，且a ≠b ，讨论a s +b s 2 t 和a t +b t 2s 大小关系.19定义：设y =f x 和y =g x 均为定义在R 上的函数，它们的导函数分别为f x 和g x ，若不等式f x -g x f x -gx ≤0对任意实数x 恒成立，则称y =f x 和y =g x 为“相伴函数”.(1)给出两组函数，①f 1x =1ex 和g 1x =0②f 2x =e x 和g 2x =x ，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”(只需直接给出结论，不需论证)；(2)若y =f x ､y =g x 是定义在R 上的可导函数，y =f x 是偶函数，y =g x 是奇函数，f x +g x =ln e -x +1 +x ，证明：y =f x 和y =g x 为“相伴函数”；(3)f x =sin x +θ ,g x =cos x -θ ，写出“y =f x 和y =g x 为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.20牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程f x =0的其中一个根r在x=x0的附近，如图所示，然后在点x0,f x0处作f x 的切线，切线与x轴交点的横坐标就是x1，用x1代替x0重复上面的过程得到x2；一直继续下去，得到x0，x1，x2，⋯⋯，x n．从图形上我们可以看到x1较x0接近r，x2较x1接近r，等等．显然，它们会越来越逼近r．于是，求r近似解的过程转化为求x n，若设精度为ε，则把首次满足x n-x n-1<ε的x n称为r的近似解．已知函数f x =x3+a-2x+a，a∈R．(1)当a=1时，试用牛顿迭代法求方程f x =0满足精度ε=0.5的近似解(取x0=-1，且结果保留小数点后第二位)；(2)若f x -x3+x2ln x≥0，求a的取值范围．21对于函数y=f x 的导函数y =f x ，若在其定义域内存在实数x0,t，使得f x0+t成=t+1f x0立，则称y=f x 是“跃点”函数，并称x0是函数y=f x 的“t跃点”(1)若m为实数，函数y=sin x-m，x∈R是“π2跃点”函数，求m的取值范围；(2)若a为非零实数，函数y=x3-2x2+ax-12，x∈R是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值：(3)若b为实数，函数y=e x+bx,x∈R是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围.。

导数与三角函数压轴题归纳总结近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化.一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点．【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明【变式训练2】【2020·山东枣庄期末】已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2π-()f x【变式训练3】（2020年3月武汉市高三质检）（1）研究函数()()π，在0xx sin x f =上的单调性； （2）求函数()x cos x x g π+=2的最小值【变式训练4】（2020年3月武汉市高三质检理）（1）证明函数x cos x x sin e y x 22--=在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛--2ππ,上单调递增； （2）证明函数()x sin xe xf x2-=在()0,π-上有且仅有一个极大值点，且()200<<x f【变式训练5】（2020年河北省九校高三第二次联考理科数学）【变式训练6】（2020年四川省八校高三第三次质检理科数学）二、零点存在性赋值理论例、（2020年安徽省淮北一中模拟）已知函数().x cos x e x f x --=2（1）当()0,x ∞-∈，求证：()0>x f ；（2）若函数()()()1++=x ln x f x g ，求证：函数()x g 存在最小值.【变式训练1】已知函数().ax x cos x f 12-+=（1）当21=a 时，证明：()0≥x f ； （2）若()x f 在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围.。

导数跟三角函数结合高考总结一、利用洛必达法则或导数的定义含参数的导数问题的一大常见方法是分离参数，然后转化为不含参数的函数的最值问题的求解.对有些与三角函数进行交汇的导数问题，也是一大处理策略.但有些试题，在分离参数后，得出函数的单调性后，最值不存在，上界或下界却存在，但却难于直接求解处理，此时，洛必达法则可派上用场。

比如例1二、利用函数的有界性有界性是很多函数的一大特性，在导数问题中，含参数的不等式恒成立问题是一大热点，除了分离参数外，分类讨论思想是这类问题的一大利器，但如何进行分类讨论是问题的难点.在与三角函数进行交汇的这类导数问题中，若能有效地利用三角函数的有界性，则能实现快速找到分类讨论的依据，从而实现问题的求解。

比如例2三、利用隔离直线对于较为复杂的函数，如果直接构造一个函数可能很难甚或无法解决.此时，如能通过等价转化，并进行适当的变形，转化为两个函数来处理，问题可能大大简化.我们经常会遇到这种情形：两个函数的图像分别被某条直线隔离，这种现象实际上与不等式恒成立问题有着非常密切的联系.如果我们能够找到这条直线，然后再构造两个差函数，问题往往能迎刃而解。

比如例3四、利用设而不求在高中数学中，“设而不求”是非常重要的一种数学思想，这种思想方法是在解题过程中，由于要使用到某个方程的根，但由于这个根无法求出，或虽可求出但却不直接求出，而是通过设出未知数，并借助一定的手段进行消元或代换的种思想方法.这个设出的未知数起到非常重要的桥梁作用.笔者在教学过程中发现，这种思想方法主要应用在导数与解析几何中。

比如例4五、利用不等式的性质导数问题与不等式相结合是近几年高考的常态，与三角函数交汇的导数不等式问题的有一定的挑战性.因此，如何利用不等式的性质是关键对涉及绝对值的不等式问题，三角不等式是解题的利器.比如例5。

专题6导数和三角函数交汇之解答题第一讲关联最紧密，泰勒帮你办例1.验证下列函数的麦克劳林公式：(1))()!12()1(!5!3sin 212153m m m x m x x x x x(2))()1(32)1ln(132n nn x nx x x x x ；例2.写出2)(xex f 的麦克劳林公式．秒杀秘籍：泰勒展开式的任意形式例4.（2014•新课标Ⅱ）已知函数()2x x f x e e x ．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x ，当0x 时，()0g x ，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.41422 1.4143 ，估计ln 2的近似值（精确到0.001)．例5.（2018•新课标Ⅲ）已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x ．（1）若0a ，证明：当10x 时，()0f x ；当0x 时，()0f x ；（2）若0x 是()f x 的极大值点，求a ．秒杀秘籍：泰勒展开式的极值界定法对于任意一个能用泰勒公式在0 x 处展开的函数：例6.（2019•浙江五华校级月考）已知函数)cos sin ()(x b x a e x f x ，若0 x 是)(x f 的一个极小值点，且222 b a ，则)( a A.1 B.0 C.1 D.1例7.（2019•乌鲁木齐二模）若直线y x m 与曲线sin cos ()y a x b x a b m R ，，相切于点(01)，，则a b m的值为．秒杀秘籍：泰勒展开式的切线界定例8.（2019•吉安期末）函数()2)(cos 1)4f x x a x 在2x处的切线与直线10x y 垂直，则该切线在y 轴上的截距为．例9.（2019•大连二模）函数()sin (x x f x e e a x x R ，e 是自然对数的底数，0)a 存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为()A ．(02]，B ．(01]，C ．(0]e ，D ．(0)，例10.（2019•新课标Ⅰ）已知函数()2sin cos f x x x x x ，()f x 为()f x 的导数．（1）证明：()f x 在区间(0) ，存在唯一零点；（2）若[0]x ，时，()f x ax ，求a 的取值范围．例11．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()sin ln(1)f x x x ，()f x 为()f x 的导数．证明：（1）()f x 在区间(1)2，存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．例12.（2013•辽宁）已知函数2()(1)xf x x e ，3()12cos 2x g x ax x x ，当[01]x ，时，()I 求证：11()1x f x x；()II 若()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围．例13.（2008•全国卷Ⅱ）设函数sin ()2cos xf x x．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ，都有()f x ax ，求a 的取值范围．例14.（2006•湖南）已知函数()sin f x x x ，数列{}n a 满足：101a ，1()n n a f a ，123n ，，，证明：（Ⅰ）101n n a a ；（Ⅱ）3116n n a a．证明：()I 先用数学归纳证明01n a ，1n ，2，3，例15.（2020•淮南一模）已知函数ln 1()x x a f x x，在区间[12]，有极值．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：(sin 1)()a x f x x．例16.（2020•肇庆一模）设函数31()sin ()6f x x ax x a R ．（1）讨论()f x 的导函数()f x 零点的个数；（2）若对任意的0x ，()0f x 成立，求a 的取值范围．例17.（2019•东湖区校级月考）已知函数()sin cos (0)f x x x x x ．（Ⅰ）求函数()f x 的图象在(1)2，处的切线方程；（Ⅱ）若任意(0)x ，，不等式3()f x ax 恒成立，求实数a 的取值范围；例18.（2019•路南区校级月考）已知函数()sin cos f x ax x b x ，且曲线()y f x 与直线2y相切于点(22，，（1）求()f x ；（2）若2()1f x mx ，求实数m 的取值范围．例19.（2019•武汉模拟）（1）求证：0x 时，21cos 12x x恒成立；（2）当1a 时，[0)x ，，证明不等式2cos 1(1sin )ax xe x x x 恒成立．例20.（2019•义乌市月考）已知函数()sin ln(1)f x x m x ，且()f x 在0x 处切线垂直于y 轴．（1）求m 的值；（2）求函数()f x 在[01]，上的最小值；（3）若2sin ln 10x x ax x e 恒成立，求满足条件的整数a 的最大值．（参考数据sin10.84 ，ln 20.693) 例21.（2019•天津期中）已知()sin ()f x a x a R ，()x g x e ．（Ⅰ）若01a ，判断函数()(1)ln G x f x x 在(01)，的单调性；（Ⅱ）设2()()2(1)()F x g x mx x k k R ，对0x ，0m ，有()0F x 恒成立，求k 的最小值．（Ⅲ）证明：22321111sinsin sin sin ln 2234(1)n ，(*)n N ．第二讲三角函数邂逅分而治之根据上一讲我们提到的几个常见函数，x x exe x x x cos sin sin ，等，一般抓住其在20( ，的单调性，必要时候进行泰勒展开式的放缩.例22.（2019•河南期末）已知函数()(1)(0)x f x a x e a ，()cos g x x ．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意的实数1x ，2[02x，，（其中12)x x ，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x 恒成立求实数a 的取值范围．例23.（2019•陕西模拟）已知函数()()ln ()f x x a x a R ，它的导函数为()f x ．（1）当1a 时，求()f x 的零点；（2）当0a 时，证明：()cos 1x f x e x ．例24.（2020•茂名月考）已知函数()sin sin f x x x a x b ，()cos 2x x g x e x e ，曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为y x （1）求实数a ，b 的值（2）当0x ，证明：()()g x f x 例25.(2019•崂山区校级月考）已知函数()ln f x ax x ，a R ．（1）讨论()f x 的单调区间（2）若0a ，求证：2sin 22()x f x ae例26.（2019•龙凤区校级期末）已知函数()2sin cos f x x x x x ，()f x 为()f x 的导数．（Ⅰ）求曲线()y f x 在点(0(0))A f ，处的切线方程；（Ⅱ）证明：()f x 在区间(0) ，上存在唯一零点；（Ⅲ）设2()2()g x x x a a R ，若对任意1[0]x ，，均存在2[12]x ，，使得12()()f x g x ，求实数a第三讲还是参变分离和找点三角函数找点通常在，，，，21340位置进行找点，某些时候需要用到辅助角公式以及之前提到的泰勒展开式进行放缩，甚至可以估算出零点的大致位置.例27.（2020•武汉模拟）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x 在区间()2，上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x在(0) ，上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x ．例28.（2020•淮北一模）已知函数()sin ln(1)f x x a x ，a R ，()f x 是()f x 的导函数．（1）若2a ，求()f x 在0x 处的切线方程；（2）若()f x 在[42，上可单调递增，求a 的取值范围；（3）求证：当20(12a时()f x 在区间(1)2，内存在唯一极大值点．例29.（2020•陕西一模）已知函数2ln 1()()42a x f x x a R ．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设4a ，且(06x ，cos 241tan x e e x．例30.（2020•开封一模）已知函数()sin xaf x x e，a R ，e 为自然对数的底数．（1）当1a 时，证明：(0]x ，，()1f x ；（2）若函数()f x 在(0)2，上存在极值点，求实数a 的取值范围．例31.（2020•开封一模）已知函数()sin xaf x x e，a R ，e 为自然对数的底数．（1）当1a 时，证明：(0]x ，，()1f x ；（2）若函数()f x 在(0)2，上存在极值点，求实数a 的取值范围．例32.（2020•佛山一模）已知函数()12sin f x x x ，0x ．（1）求()f x 的最小值；（2）证明：2()x f x e ．例33.（2019•荔湾区校级月考）已知函数sin ()xf x x，()cos sin g x x x x ．（1）判断函数()g x 在区间(03) ，上零点的个数；（2）函数()f x 在区间(0) ，上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，3x ，4x ，n x ，证明：12()()()0i f x f x ；()ii 对一切*n N ，123()()()()0n f x f x f x f x 成立．例34．（2019•天津）设函数()cos x f x e x ，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]42x ，时，证明()()()02f xg x x；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x 在区间(22)42n n，内的零点，其中n N ，证明20022sin cos n n e n x x x．例35.（2019•开福区校级月考）已知函数()sin ax f x e x（1）若()f x 在[0]4，上单调递增，求实数a 的取值花围（2）设1a ，若[0]2x，，恒有()f x bx 成立，求2b e a 的最小值达标训练1.（2019•河南月考）已知函数()cos 1x f x e a x 在点(0(0))A f ，处的切线方程为4y kx ，则a k 的值为．2.（2019•小店区月考）函数2()sin f x ax x 的图象在2x处的切线方程为y x b ，则b 的值为()A ．14B ．14C ．41D ．413.（2018•孝感期末）函数22()x x f x e e ，()2cos 2g x x ax ，若[0)x ，，()()f x g x ，则a 的取值范围为()A ．(0)，B ．(1) ，C ．(0] ，D ．1]( ，4．（2013•浙江）已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(12)x k f x e x k ，，则()A ．当1k 时，()f x 在1x 处取得极小值B ．当1k 时，()f x 在1x 处取得极大值C ．当2k 时，()f x 在1x 处取得极小值D ．当2k 时，()f x 在1x 处取得极大值5．（2019•新余二模）若0x 是函数212()ln()221xf x x ax x 的极大值点，则实数a 的取值集合为()A ．1{}6B ．1{}2C ．1[)2，D ．1(2，6．（2016•泉州二模）已知函数32()[(1)]x f x x a x ax a e ，若0x 是()f x 的一个极大值点，则实数a 的取值范围为．7.（2019•桂平市期末）函数2()ln f x a x bx x 在1x 处取得极大值1 ，则a b ．8．设函数2()(1)()x f x x x a e ，1x 是()f x 的一个极大值点，求a 的取值．9.函数2ln(1)()2(0)(1)1x af x x a x x，（1）若0x 是()f x 的一个极值点，求a 的值；（2）设直线1x 和2y x 将平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，若()y f x 的图象恰好位于其中一个区域，试判断其所在区域并求出对应的a 的范围．10.（2017•山东）已知函数2()2cos f x x x ，()(cos sin 22)x g x e x x x ，其中 2.71828e 是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x 在点(())f ，处的切线方程；（Ⅱ）令()h x g ()x a ()()f x a R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．11．（2017•北京）已知函数()cos x f x e x x ．（1）求曲线()y f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[0]2，上的最大值和最小值．12.（2014•北京）已知函数()cos sin f x x x x ，[0]2x，.（1）求证：()0f x ；（2）若sin x a b x在(0)2x，上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．13.（2012•福建）已知函数3()sin ()2f x ax x a R ，且在[0]2 ，上的最大值为32，（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0) ，内的零点个数，并加以证明．14.（2019•济南期末）已知函数ln ()x f x k x 的极大值为1ee，其中 2.71828e 为自然对数的底数．（1）求实数k 的值；（2）若函数()x ag x e x，对任意(0)x ，，()()g x af x 恒成立．()i 求实数a 的取值范围；()ii 证明：22()sin 1x f x a x x ．15.（2019•襄阳期末）已知2()cos 1(0)f x x mx x ．（Ⅰ）若()0f x 在[0) ，上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）证明：当0x 时，2sin cos x e x x ．16.（2019•天津期末）已知函数()cos sin 1f x x x x ．（Ⅰ）若(0)x ，，求()f x 的极值；（Ⅱ）证明：当[0]x ，时，2sin cos x x x x ．17.（2019•山阳县校级月考）已知函数()22cos f x x x （1）求函数()f x 在[22，上的最值：（2）若存在(0,)2x使不等式()f x ax 成立，求实数a 的取值范围18.（2019•益阳模拟）已知函数()sin (1)ln(1)f x x x x ；2()sin 12x g x x x ．（1）判断()f x 在[0) ，上的单调性，并说明理由；（2）求()g x 的极值；（3）当(0]x ，时，sin (2)ln(1)x a x x ，求实数a 的取值范围．19.（2019•秦淮区三模）已知函数()2sin ()x x f x e be a x a b R ，．（1）若0a ，1b ，求函数()f x 的单调区间；（2）1b 时，若()0f x 对一切(0)x ，恒成立，求a 的取值范围．20.（2019•北辰区模拟）已知函数()x f x e ax ，()a R ，sin ()2cos xg x x．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()g x kx 在[0)x ，恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）当1a ，0x 时，证明：(2cos )()3sin x f x x ．21.（2019•广东月考）函数()1x f x e x ，()(cos 1)x g x e ax x x ．（1）求函数()f x 的极值，并证明，当1x 时，111x e x；（2）若1a ，证明：当(01)x ，时，()1g x ．22.(2019•荔湾区校级月考）已知函数31()sin 6f x x ax x ．（1）求函数()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（2）若()f x 存在极小值点1x 与极大值点2x ，求证：1222x a x ．23.（2019•金牛区校级期中）函数()sin 21()f x k x x k R ，（1）讨论函数()f x 在区间(02) ，上的极值点的个数；（2）已知对任意的0x ，()x e f x 恒成立，求实数k 的最大值．24.（2019•福州期末）已知函数1()ln a f x x x ，(sin 1)2()a x g x x（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：当01a 时，()()f x g x ．25.（2020•青羊区校级模拟）设函数2()sin f x x ，[0]2x，，22()cos ()()22x m g x x x m R，．（Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）当002x m，时，求证：()4g x．26.（2019•西安月考）已知函数2()sin ()f x mx x m R 在区间[33，上单调递减．（Ⅰ）求m 的最大值；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在原点处的切线也与函数()1g x xlnx 的图象相切，求m 的值．27.（2019•东湖区校级月考）已知函数()ln()1(0)f x x x a a ．（1）若函数()f x 在定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）证明：()cos x f x e x ．28.（2019•佛山二模）已知函数sin ()a xf x x，0x ．（Ⅰ）若0x x 时，()f x 取得极小值0()f x ，求实数a 及0()f x 的取值范围；（Ⅱ）当a ，0m 时，证明：()ln 0f x m x ．29.(2019•运城期末）已知函数()sin x f x e x ．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果对于任意的[0]2x，，()f x kx 总成立，求实数k 的取值范围．30.（2019•常德期末）已知函数2()ln f x a x x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当0a 时，2()(sin )f x a x x ax ．31.（2019•湖北期末）已知函数()cos sin x f x e x x x ，()sin 2x g x x e ，其中e 为自然对数的底数．（1）1[0]2x，，2[0]2x，，使得不等式12()()f x m g x 成立，试求实数m 的取值范围；（2）若1x ，求证：()()0f x g x ．32.（2019•佛山期末）已知函数()cos x f x ae x bx ，21()sin 2g x x x cx d，若曲线()y f x 和曲线()y g x 都过点(0,1)P ，且在点P 处有相同切线1y x ．（1）求()f x 和()g x 的解析式，并求()f x 的单调区间；（2）设()g x 为()g x 的导数，当0x ，2 时，证明：()()sin x f x g x x e ．33.（2020•金安区校级模拟）已知函数()m x f x e n 在点(11)，处的切线方程为20x y ．（1）若函数()()(cos )()F x f x a x a R 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）设2()(1)[(1)1]G x f x x t x ，对于[01]x ，，()G x 的值域为[]N M ，，若2M N ，求实数t 的取值范围．34.（2019•文峰区校级月考）已知函数21()cos (0)2f x ax x a 在[0]4 ，上的最大值为22816 （Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）求()f x 在区间(0)2，上的零点个数35.（2019•未央区校级期中）已知函数cos ()a x f x b x ，曲线()y f x 在点(())22f ，处的切线方程为620x y ．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）判断方程3()12f x在(02] ，内的解的个数，并加以证明．36.（2019•淄博期末）已知函数()ln sin(1)f x x x ，()f x 为()f x 的导函数．证明：（1）()f x 在区间(02)，存在唯一极小值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．37.（2019•湖南期末）已知()sin x f x e x（1）求函数()f x 在(0) ，的极值．（2）证明： ln 1x f x g x x e 在()2，有且仅有一个零点.38.（2020•开封一模）已知函数()sin x f x a e x ，a R ，e 为自然对数的底数．（1）当1a 时，证明：(0]x ，，()1f x ；39.（2019•武侯区校级期中）已知函数sin 1()x x f x e ，1()[22]6g x ax x ，，，其中a 为实数，e 为自然对数的底数．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得对任意给定的0[22]x ，，在区间[22] ，上总存在三个不同的(1i x i ，2，3)，使得1230()()()()f x f x f x g x 成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．40.（2020•武汉模拟）已知函数()(sin 1)()x f x ax x e a R ，()f x 是其导函数．（Ⅰ）当1a 时，求()f x 在0x 处的切线方程；（Ⅱ）若1a ，证明：()f x 在区间(0) ，内至多有1个零点．41.（2020•佛山一模）已知函数()12sin x f x a x e ，()f x 是()f x 的导函数，且(0)0f ．（1）求a 的值，并证明()f x 在0x 处取得极值；（2）证明：()f x 在区间[22]()2k k k N ，有唯一零点．。

导数压轴题题型归纳及处理技巧以下是 8 条关于导数压轴题题型归纳及处理技巧的内容：1. 哎呀，导数压轴题里有一种常见的题型就是求最值问题呀！就像在登山的时候，要找到那最高的山峰！比如函数y=x³-3x²+5，你能快速找到它的最值吗？2. 嘿，还有判断函数单调性的题型呢！这就像开汽车，要清楚什么时候加速什么时候减速。

像函数 f(x)=xlnx，你能判断它的单调性吗？3. 哇塞，导数里那种恒成立问题也很让人头疼啊！就好比要让一个球一直保持在一个固定的位置。

比如f(x)≥a 在某个区间恒成立，这可得好好琢磨琢磨怎么处理哦！像函数 f(x)=e^x+x，若f(x)≥kx 恒成立，你能搞定吗？4. 哦哟，导数压轴题里的不等式证明可不好惹呢！就像是要跨过一条很难跨的沟。

比如要证明某个不等式成立，怎么把导数的知识用上呀？比如 x>0 时，证明 e^x>1+x，你知道怎么下手吗？5. 嘿呀，有一种题型是利用导数求曲线的切线方程呢！这就像在给一条曲线画上漂亮的切线。

比如给定曲线y=x²，在某点处的切线怎么求呢，你会吗？6. 哇哦，那些与极值点有关的题型也挺有趣的嘛！就如同在一群小朋友里找到那个最特别的。

比如给定一个函数，怎么去找它的极值点呢？像函数g(x)=x³-3x，它的极值点在哪儿呀？7. 哈哈，还有根据导数信息画函数图象的题型呢！这可像是根据描述去画一幅神秘的画。

比如知道了导数的一些情况，那函数图象大概长啥样呢？你能想象出来吗？8. 哎呀呀，最后还有一类是把导数和其他知识综合起来的题型呢！这就像把不同的拼图块拼成一幅完整的画。

比如和数列结合起来，那可真是够有挑战性呢！像这样的综合题，你能勇敢挑战吗？我觉得导数压轴题虽然难，但只要掌握了这些题型和处理技巧，多练习多总结，就一定能攻克它！。

高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。

将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。

（答案：m 的范围是()2,3--）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。

（)(,22x f x ）；建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。

（答案02=--e y x e ）二．单调性问题题型1 求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。

分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。

一、利用洛必达法则或导数的定义含参数的导数问题的一大常见方法是分离参数，然后转化为不含参数的函数的最值问题的求解.对有些与三角函数进行交汇的导数问题，也是一大处理策略.但有些试题，在分离参数后，得出函数的单调性后，最值不存在，上界或下界却存在，但却难于直接求解处理，此时，洛必达法则可派上用场。

比如例1二、利用函数的有界性有界性是很多函数的一大特性，在导数问题中，含参数的不等式恒成立问题是一大热点，除了分离参数外，分类讨论思想是这类问题的一大利器，但如何进行分类讨论是问题的难点.在与三角函数进行交汇的这类导数问题中，若能有效地利用三角函数的有界性，则能实现快速找到分类讨论的依据，从而实现问题的求解。

比如例2三、利用隔离直线对于较为复杂的函数，如果直接构造一个函数可能很难甚或无法解决.此时，如能通过等价转化，并进行适当的变形，转化为两个函数来处理，问题可能大大简化.我们经常会遇到这种情形：两个函数的图像分别被某条直线隔离，这种现象实际上与不等式恒成立问题有着非常密切的联系.如果我们能够找到这条直线，然后再构造两个差函数，问题往往能迎刃而解。

比如例3四、利用设而不求在高中数学中，“设而不求”是非常重要的一种数学思想，这种思想方法是在解题过程中，由于要使用到某个方程的根，但由于这个根无法求出，或虽可求出但却不直接求出，而是通过设出未知数，并借助一定的手段进行消元或代换的种思想方法.这个设出的未知数起到非常重要的桥梁作用.笔者在教学过程中发现，这种思想方法主要应用在导数与解析几何中。

比如例4五、利用不等式的性质导数问题与不等式相结合是近几年高考的常态，与三角函数交汇的导数不等式问题的有一定的挑战性.因此，如何利用不等式的性质是关键对涉及绝对值的不等式问题，三角不等式是解题的利器.比如例5。

专题5导数与三角函数的交汇导数找到了三角函数，成为了指对跨阶的后花园，形成了指数、对数、三角的三足鼎立之势，尤其在2019全国新课标一卷的导数题出现了三角函数找点，大家开始对导数和三角函数的交汇类型题进行疯狂研究，这一部分到底有什么秘密呢？还是从高考原题开始研究，再通过一些最新模拟题寻找一个变化趋势，我们尽量给到您展现那种可以触摸得到的简单。

第一讲一切从切线开始三角函数的切线方程，按照平移体系得到，当0 x 时，x x sin ，1cos x ；按照这个原理来进行平移计算，当切点为0x x 时，得到00)sin(x x x x ，1)cos(0 x x ；例1．（2019•新课标Ⅱ）曲线2sin cos y x x 在点(1) ，处的切线方程为()A ．10x y B ．2210x y C ．2210x y D ．10x y 例2．（2019•天津）曲线cos 2xy x 在点(01)，处的切线方程为．例3．（2013•全国）曲线cos y x x 在点(00)，处的切线方程为．例4．（2019•金台区月考）已知曲线()cos 3f x x x x 在点(0(0))f ，处的切线与直线210ax y 垂直，则实数a 的值为()A ．4B ．1C ．12D ．4例5．（2019•蚌埠期末）曲线cos y ax x 在2x处的切线与直线21y x 垂直，则实数a 的值为()A ．1B ．1C ．4D ．4例6.（2019•青羊区校级期中）曲线sin y x x 在点(22，处的切线方程为()A ．0x y B ．0x y C ．240x y D ．2430x y 例7．（2019秋•廊坊月考）函数()sin (1cos )f x x x x 的图象在点() ，处的切线方程是．例8.（2011•湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x在点(0)4M，处的切线的斜率为()A ．12B ．12C ．22D ．22第二讲三角函数中的同构式一：找基友同构例9.（2019•大理州月考）若函数()cos x f x e x 在点(0(0))f ，处的切线与直线210x ay 互相垂直，则实数a 等于()A ．2B ．1C ．1D ．2例10.（2019•汉中月考）过原点作函数sin x y e x 的图象的切线，则切线方程是．例11.（2019•烟台期中）定义在(1) ，上的函数()f x 满足()cos 0f x x ，且(0)1f ，则不等式()sin 1f x x 的解集为()A ．(0) ，B ．(10) ，C ．(0) ，D ．(11)，例12．（2019•开福区校级月考）已知函数()()2sin f x f x x ，又当0x 时，()1f x ，则关于x 的不等式()()2)24f x f x x的解集为()A ．[)4，B ．[)4，C ．[)4，D ．[4，例13.（2020•天心区校级月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()62sin 0f x f x x x ，且0x 时，()3cos f x x 恒成立，则不等式3()()62224f x f x x x 的解集为()A ．(0)4 ，B ．[)4，C ．(0)6，D ．[)6，例14.（2019•抚州期末）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的x R 都有()4f x x ，且11()22f ．当[02] ，时，不等式(sin )cos 210f 的解集为()A ．711()66，B ．45()33，C ．2()33，D ．5()66，三．抽象函数单调性构造例15.（2019•辽源期末）定义在(0)2，上的函数()f x ，()f x 是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x 成立．则有()A 3()2cos1(1)6fB 3()()63fC ．2()6(46fD 2((43f例16.（2019•十堰月考）设()f x 是定义在(0)(0)22 ，，上的奇函数，其导函数为()f x ，当(0)2x ，时，cos ()()0sin xf x f x x，则不等式3()()sin 33f x f x 的解集为()A ．(0)(0)33，，B ．(0)()332，，C ．(()2332 ，，D ．()(0)233，，例17.（2019•6月份模拟）设奇函数()f x 的定义域为(22，，且()f x 的图象是连续不间断，(0)2x，，有()cos ()sin 0f x x f x x ，若()2()cos 3f m f m，则m 的取值范围是()A ．()23，B ．(03，C ．(23，D ．(32，例18.（2020•开福区校级月考）定义在()22，上的奇函数()f x 的导函数为()f x ，且(1)f 0 ．当0x 时，()tan ()0f x x f x ，则不等式()0f x 的解集为．第三讲极值和最值一．求导后需要借助辅助角公式x b x a x f cos sin )( ，)cos sin ()(c x b x a e x f x 或者xe cx b x a x fcos sin )(，这类型函数的特点就是三角函数齐次或者齐角，求完导都和辅助角公式又关联.例19.（2020•重庆模拟）若函数2sin 2()2cos 2xf x x ax 存在单调递减区间，则实数a 的取值范團是()A ．1a B ．5a C ．1a D ．5a 例20.（2019•香坊区校级月考）已知函数()3(sin )x f x e x a 有极值，则实数a 的取值范围为()A ．(22)，B ．(11)，C ．[22]，D ．[11]，例21.（2019•萍乡一模）已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x ，若函数()y f x 没有零点，且[()2019]2019x f f x ，当()sin cos g x x x kx 在[]22，上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是()A ．(1]，B ．(2] ，C ．[12] ，D ．[2)例22.（2019•蚌山区校级月考）已知函数()sin cos f x a x x ，(0)6x，，若12x x ，使得12()()f x f x ，则实数a 的取值范围是()A ．3(02，B ．(03)，C ．3(3)3，D ．3(03，二．求导后需要借助三角函数有界性或者二次函数n cx x b x a x f cos 2sin )(或者n cx x b x a x f 2cos sin )(，这类型函数的特点就是三角函数非齐次或者倍角关系，求完导需要利用二次函数甚至对勾函数性质.例23.（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x ，则()f x 的最小值是．例24.（2019•安徽期末）若函数1()sin 2sin 4f x x x a x 在() ，上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．11[]22，B ．1[1]2，C ．[11]，D ．1[12，例25.（2019•七星区校级期中）若函数()sin 2f x x a x 在[0)4，上单调递增，则a 的取值范围是()A ．1[0]2，B ．[1)，C ．1[)2 ，D ．1(]2，例26.（2019•福州期末）已知函数3()sin f x x x ax ，则下列结论正确的是()A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1a C ．当3a 时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a 时，函数()f x 恰有两个极值点例27.（2019•河南一模）若函数()(sin )cos f x mx m x x 在() ，单调递减，则m 的取值范围是．三．单调性和对称性综合定理1：原函数的中心对称位置将成为导函数的对称轴，原函数的对称轴位置上，必然出现对称中心，这个定理对三角函数百试不爽；定理2：)0(2)0()()(f m M f x f x f ，其中max )(x f M ，min )(x f m （参考本书函数奇偶性专题）；例28.（2019•娄底期末）已知函数34()sin 1xf x x x e，其导函数为()f x ，则(2020)(2020)(2020)(2020)f f f f 的值为()A ．4040B ．4C ．2D ．0例29.（2019•重庆模拟）若函数()(cos sin )x f x x x e ，(010)x ，，则()f x 的所有极大值点之和与所有极小值点之和的差为()A ．5B ．5C ．55D ．55例30.（2019•沙坪坝区校级月考）设函数()(sin cos )([20192020]x f x e x x x ，．过点1(0)2A ，作函数()f x 图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为()A ．2019B ．2020C ．20192D ．1010例31.（2019•叶集区校级月考）若关于x 的函数2222sin()4()(0)2cos tx t x x f x t x x的最大值和最小值之和为4，则t．例32.（2019•博望区校级模拟）已知函数32()312f x ax ax bx a b ，若()(1)([]0)cos 2x xe e g xf x x a a a x ，，的最大值为M ，则下列说法正确的是()A ．M 的值与a ，b 均无关，且函数()g x 的最小值为MB ．M 的值与a ，b 有关，且函数()g x 的最小值为MC ．M 的值与a ，b 有关，且函数()g x 的最小值为2MD ．M 的仅与a 有关，且函数()g x 的最小值为2M例33.（2019•吉安模拟）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足0x 时，2()ln ln2f x x x，则函数()()sin g x f x x （e 为自然对数的底数）的零点个数是()A ．1B ．2C ．3D ．5四．三倍角公式和三次函数转换322sin 4sin 3sin )sin 21(cos sin 2sin 2cos cos 2sin )2sin(3sin ；cos 3cos 4cos sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 322 ；由此得到降幂公式：43cos cos 3cos 43sin sin 3sin 33，秒杀秘籍：最值界定例34.（2019•黄浦区期末）已知公式3cos34cos 3cos ，R ，借助这个公式，我们可以求函数33()432([0])f x x x x ，的值域．则该函数的值域是．例35.（2019•广东模拟）已知34a ，0b ，函数3()f x x ax b ，11x ，设|()|f x 的最大值为M ，且对任意的实数a ，b 恒有M K 成立，则实数K 的最大值为()A ．4B ．2C ．12D ．14例36.（2020•武汉3月调研）如果关于x 的不等式0123 ax x 在]11[， 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．0a B ．1a C ．2a D ．2233a 例37.（2019•武汉模拟）已知函数3()f x x axb 定义域为[12] ，，记|()|f x 的最大值为M ，则M 的最小值为()A ．4B ．3C ．2D 3例38.（2016•天津）设函数3()(1)f x x ax b ，x R ，其中a ，b R ．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x ，其中10x x ，求证：1023x x ；（3）设0a ，函数()|()|g x f x ，求证：()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14．达标训练A1．（2019•文峰区校级月考）函数()cos f x x x 在2x处的切线方程为()A ．240x y B ．20x y C ．410x y D ．420x y 2．（2018•重庆期末）已知函数()cos x f x e x ，则曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为()A ．0y B ．2y xC ．y xD ．2y x3．（2019•中原区校级期中）曲线cos x y e x 在点(01)，处的切线方程为()A ．10x y B ．10x y C ．10x y D ．10x y 4.（2019•吉林三模）已知函数()f x 的导函数为()f x ，且满足()cos (2f x x xf，若曲线()y f x 在0x 处的切线为l ，则下列直线中与直线l 垂直的是()A ．210x y B ．210x y C ．220x y D ．210x y 5．（2019•邯郸期末）曲线sin(22x y x e在点(03)，处的切线方程是()A ．230x y B ．30x y C ．260x y D ．230x y 6．（2019•常德期末）曲线sin 1ln(1)y x x x 在0x 处的切线方程为7．（2019秋•天心区校级月考）给出定义：设()f x 是函数()y x 的导函数，()f x 是函数()f x 的导函数，若方程()0f x 有实数解0x ，则称点00(())x f x ，为函数()y f x 的“拐点”，已知函数()54sin cos f x x x x 的“拐点”是00(())x f x ，，则点(M )A ．在直线5y x 上B ．在直线5y x 上C ．在直线4y x 上D ．在直线4y x 上8．（2019•乌鲁木齐二模）若直线y x m 与曲线sin cos y a x b x ()a b m R ，，相切于点(01)，，则a bm的值为．9．（2012•湖南）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期2 的偶函数，()f x 是函数()f x 的导函数，当[0]x ，时，0()1f x ；当(0)x ，，且2x 时，(()02x f x，则函数()sin y f x x 在[22] ，的零点个数为()A ．2B ．4C ．5D ．810.（2019•南昌二模）已知函数()f x 对x R 有()()2cos f x f x x ，且()sin 0f x x ，若角 满足不等式()()0f f ，则 的取值范围是()A ．(]2，B ．(] ，C ．[22，D ．[0]2，11．（2019•道里区校级期末）已知函数()f x 的定义域为R ，(0)1f ，对任意的x R 满足()2f x x ．当[0] ，时，不等式(sin cos )sin 20f 的解集为()A ．()42，B ．3[0)4，C ．()4 ，D ．3()24，12．（2019•中原区校级月考）已知函数()f x 的定义域为R ，11(22f ，对任意的x R 满足()4f x x 当[] ，时，不等式(cos )cos 20f 的解集为()A ．()33，B ．2()33，C ．2()33，D ．5()66，13．（2019•驻马店期末）已知函数()y f x 对于任意的(22x，满足()cos ()sin 0f x x f x x （其中()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是()A ．2()(0)3f fB ．(0)2()4fC ．(1)(1)f f D ．(1)f (0)cos1f 14．（2019秋•滨州期末）已知定义在[0)2，上的函数()f x 的导函数为()f x ，且(0)0f ，()cos ()sin 0f x x f x x ，则下列判断中正确的是()A ．6()()64f f B ．(ln )03fC ．(2()63f f D ．()2()43f 15.（2019•泰安期中）已知()f x 是定义在()22，上的奇函数，其导函数为()f x ，()28f，且当(0)2x，时，()sin 22()cos 20f x x f x x ．则不等式()sin 21f x x 的解集为．16.（2019•荔湾区校级月考）已知函数sin ()xx af x e有极值，则实数a 的取值范围为17.（2019•淮南二模）函数1()sin 2cos 3f x x x a x 在() ，内单调递增，实数a 的取值范围是()A ．[22]，B ．4[23 ，C ．44[33 ，D ．4[23，18.（2019•天津期末）若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x 在区间() ，上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(10] ，B ．[01)，C ．(11) ，D ．[11]，19.（2019•金华期末）设()cos [63a f x x x x，，的最大值为M ，则()A.当1a 时，3M B ．当2a 时，33MC ．当1a 时，32M D ．当3a 时，12M20.（2019秋•广东月考）函数()sin 22cos f x x x ，()22x，的最大值是．21.（2020•南通模拟）函数1()sin 2f x x x，[0]x ，的最大值为．22.（2019•北碚区校级期末）已知函数3(1)2x x f x x ，若(sin 2)(cos 2)4f x f x ，则x 的范围是()A ．|2x x k k Z，B ．7(22)(22)6226k k k k，，∪，k Z C ．7(2)66k k，，k Z D ．23.（2019•仙游县校级月考）设函数()(sin cos )x f x e x x ，若02020x ，则函数()f x 的各极大值之和为()A ．1010(1)1e e e B ．10102(1)1e e e C ．20202(1)1e e eD ．2020(1)1e e e24.（2019•怀化期中）设函数()3xf x m，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m ，则m 的取值范围是()A ．(2)(2+) ，∪，B ．(3)(3+) ，∪C ．(2)(2+)，∪D ．(1)(1+)，∪，25．（2019•五华区校级月考）已知函数()(sin cos )x f x e a x b x ，若0x 是()f x 的一个极小值点，且222a b ，则(a )A ．1B ．0C ．1D ．126.（2020•马鞍山一模）已知21()cos 2f x x a x ，当1a 时，()f x 在(0) ，上()A ．有最大值没有最小值B ．有最小值没有最大值C ．既有最大值也有最小值D ．既无最大值也无最小值27.（2019•南开区二模）已知函数1()2sin x xf x e x e，其中e 为自然对数的底数，若2(2)(3)0f a f a ，则实数a 的取值范围为．28．（2019•济南一模）已知函数2()cos(2121xf x x x ，则()f x 的最大值与最小值的和为()A ．0B ．1C ．2D ．429.（2019•博望区校级模拟）已知函数23()sin []cos 34x f x x x x，，，则()f x 的最小值是．30．（2019•沙坪坝区校级期中）设函数2()sin f x x在(0) ，上最小的零点为0x ，曲线()y f x 在点0(0)x ，处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x上有一点Q ，则||PQ 的最小值为()A ．510B ．55C ．3510D ．25531.已知函数32()8f x x ax bx ，是否存在任意实数a b 、，使得 2f x 对任意的 11x ，恒成立，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．32.（2018•威海期末）若关于x 的方程3515x x m 在2][1 ，上有解，则实数m 的取值范围是()A ．[1010]，B ．[10)，C ．(10]，D ．[10)，33.（2019•清江浦区校级月考）函数3()41f x x ax ，[01]x ，，若()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是．34.（2020•清华大学中学生能力测试）设函数32()|6|f x x x ax b ，若对任意的实数a 和b ，总存在0[03]x ，，使得0()f x m ，则实数m 的最大值为．达标训练B1．（2019•丰台区期末）某同学解答一道导数题：“已知函数()sin f x x ，曲线()y f x 在点(00)，处的切线为l ．求证：直线l 在点(00)，处穿过函数()f x 的图象．”该同学证明过程如下：证明：因为()sin f x x ，所以()cos f x x ．所以(0)1f ．所以曲线()y f x 在点(0,0)处的切线方程为y x ．若想证直线l 在点(00)，处穿过函数()f x 的图象，只需证()()sin g x f x x x x 在0x 两侧附近的函数值异号．由于()cos 10g x x ，所以()g x 在0x 附近单调递减．因为(0)0g ，所以()g x 在0x 两侧附近的函数值异号．也就是直线l 在点(0,0)处穿过函数()f x 的图象．参考该同学解答上述问题的过程，请你解答下面问题：已知函数32()f x x ax ，曲线()y f x 在点(1(1))P f ，处的切线为l ．若l 在点P 处穿过函数()f x 的图象，则a 的值为()A ．3B ．32C ．0D ．32．（2019•荔湾区月考）函数()2cos f x x x 在点((22f，处的切线方程为()A ．302x yB ．02x yC ．3302x yD ．02x y3．（2019•滨城区校级月考）曲线(1cos )x y e x 在点(02)，处的切线方程为()A ．2y B ．2y x C ．22y x D ．22y x 4．（2019•驻马店期末）曲线sin x y e x 在点(01)，处的切线方程为()A ．y xB ．1y x C ．21y x D ．31y x 5.（2020•宜宾模拟）设曲线1cos ()sin x f x x 在3x处的切线与直线1y ax 平行，则实数a 等于()A ．1B ．23C ．2D ．26．（2019秋•重庆期末）曲线(sin )x y x x e 在点(00)，处的切线方程为．7．（2019•盐城三模）已知函数()4sin f x x x ，若不等式12()kx b f x kx b 对一切实数x 恒成立，则21b b 的最小值为．8．（2016•新课标Ⅰ）若函数1()sin 2sin 3f x x x a x 在() ，单调递增，则a 的取值范围是()A ．[11]，B ．1[1]3 ，C ．11[]33 ，D ．1[13，9．（2019•威海二模）已知函数()f x 的定义域为R ，11(22f ，对任意的x R 满足()4f x x ，当[02]，时，不等式(sin )cos 20f 的解集为()A ．5(66，B ．2()33，C ．45(33，D ．711(66，10．（2019•河南期末）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x ，若()cos ()f x x f x ，且sin ()02xf x，则满足()()0f x f x 的x 的取值范围为．11．（2019•赣州期中）已知函数()f x 在定义城R 上可导，且()cos f x x ，则关于x 的不等式()()2)24f x f x x的解集为()A ．[)4，B ．[)4，C ．(]4，D ．(4，12.（2019•东胜区校级月考）已知函数()f x 满足(0)1f ，且()cos ()sin f x x f x x ，则不等式()cos 10f x x的解集为()A ．(1) ，B ．(1) ，C ．(0) ，D ．(0)，13．（2019•安徽期末）已知()2(1)cos f x x x ，则不等式(ln 1)1f x 的解集为()A ．(0)e ，B ．(1)，C ．()e ，D ．(1)e ，14.（2020•荆州一模）已知函数()f x 是(22，上的奇函数，其导函数为()f x ，且(1)0f ，当0x 时，()tan ()0f x x f x ，则不等式()0f x 的解集为．15．（2019•黄山二模）已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ，[()2018]2019x f f x ，若()2sin()6g x x mx 在3[2]2，上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是()A ．2]( ，B ．[2)，C ．(2]，D ．[2 ，-1]16.（2020•岳阳一模）若函数()(cos )x f x e x a 在区间(0) ，上单调递增，则实数a 的取值范围是．17.（2019•朝阳区期末）已知函数()sin 21()f x k x x k R ，当(2)(2)k ，，∪时，()f x 在(02) ，内的极值点的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．318.（2020•郴州一模）已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x ，若函数()y f x 没有零点，且[()2020]2020x f f x ，当()sin 3g x x x kx 在[22，上与()f x 在R 上的单调性相同时，实数k 的取值范围是()A ．(1]，B ．(3] ，C ．[13] ，D ．[3)19．（2019•临沂期末）已知函数()sin cos f x x x x x 的定义域为[22) ，，则()A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在[0) ，上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点20.（2018•河南期末）若函数23sin cos 1y x x a 在区间[]22，上的最小值为0，则a ．21.（2019•中原区校级月考）32()sin cos (0)3f x x x x ，，，则下列关于()f x 的说法正确的为()A ．存在极大值，也存在极小值B ．存在极大值，不存在极小值C ．不存在极大值，存在极小值D ．不存在极大值，也不存在极小值22.（2019•袁州区校级模拟）设函数1()()f x ax a b Z x b，，曲线()y f x 在点(2(2))f ，处的切线方程为3y ．已知方程()sin(1)1f x A x 有1x ，2x ，3x ，4x 共4个不等实根，则12341234()()()()(f x f x f x f x x x x x )A ．0B ．1C ．2D ．423.（2019•杏花岭区校级月考）已知函数22(1)sin ()1x xf x x ，其中()f x 为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)(f f f f )A ．2B ．2019C ．2018D ．024.（2019•雨花区校级月考）设函数()()sin x x f x e e x t ，[]x a a ，的最大值和最小值分别为M ，N ．若8M N ，则(t )A ．0B ．2C ．4D ．825.（2020春•桃城区校级月考）已知函数3()1sin f x x x x ，若2(1)(2)2f a f a ，则实数a 的取值范围是()A ．3[1]2，B ．3[1]2，C ．1[12，D ．1[1]2，26.（2019•上虞区二模）函数2()2sin 1f x x x M ，最小值为N ，则M N 的值是()A ．0B ．1C ．2D ．427.（2019•汇川区校级月考）已知函数3()sin ()f x ax x x a R 在[0) ，上单调递增，则a 的取值范围为()A ．1(06，B ．1[]6，C ．1(04，D ．1[]4，28.（2019•益阳期末）已知函数2cos 12cos ()1sin cos (0)2f x x x，，，若存在(01)x ，，使不等式()0f x 成立，则 的取值范围为()A ．(0)12，B ．5(122，C ．5(0)()12122，∪，D ．5()1212，29．（2019•沙坪坝区校级月考）已知()cos f x x ，点(01)P ，，若()y f x 图象上存在一点00)(Q x y ，处的切线与直线PQ 和y 轴围成底边在y 轴上的等腰三角形，则2000(1)tan (x x x )A ．2B ．3C ．4D ．630.（2019•滁州期末）设函数3()1()f x ax x x R ，若对于任意[11]x ，都有()0f x ，则实数a 的取值范围为()A ．(2]，B ．[0) ，C ．[02]，D ．[12]，31.设函数 3||f x x ax bx c ，a b c R ，，，总存在 004x ，，使得不 0f x m 等式成立，则实数m 的取值范围是.32．（2019•徐州期中）已知a R ，若函数3()(12)f x x ax x 的最大值为M ，则M 的最小值为．。

导数压轴题题型归纳1. 高考命题回忆例1已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．（2021全国新课标Ⅱ卷）(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.例2已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，假设曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2（2021全国新课标Ⅰ卷）（Ⅰ）求a，b，c，d的值（Ⅱ）假设x≥－2时,()()f x kg x≤，求k的取值范围。

2. 在解题中经常使用的有关结论※(10)若对11x I ∀∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.（11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ∀∈,22x I ∃∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ⊆。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:① ln 1(0)x x x ≤-> ②≤ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1xex ≥+ ④ 1xe x -≥-⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->3. 题型归纳①导数切线、概念、单调性、极值、最值、的直接应用例7（构造函数，最值定位）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .例8（分类讨论，区间划分）已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥,'()f x 为函数()f x 的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-,求,a b 的值;(2)假设函数()'()axg x ef x -=⋅,求函数()g x 的单调区间.例9（切线）设函数.（1）当时，求函数在区间上的最小值；（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.例10（极值比较）已知函数其中 ⑴当时，求曲线处的切线的斜率；⑵当时，求函数的单调区间与极值.例11（零点存在性定理应用）已知函数()ln ,().xf x xg x e ==a x x f -=2)(1=a )()(x xf x g =]1,0[0>a )(x f y =)))((,(111a x x f x P >l l x )0,(2x A a x x >>2122()(23)(),xf x x ax a a e x =+-+∈R a ∈R 0a =()(1,(1))y f x f =在点23a ≠()f x1x x⑴假设函数φ (x ) = f (x )－，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．例12（最值问题，两边分求）已知函数. ⑴当时，讨论的单调性； ⑵设当时，假设对任意，存在，使，求实数取值范围.例13（二阶导转换）已知函数⑴假设，求的极大值； ⑵假设在概念域内单调递减，求知足此条件的实数k 的取值范围.例14（综合技术）设函数⑴讨论函数的单调性；⑵假设有两个极值点，记过点的直线斜率为,问：是否存在，使得？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由.11x x 1()ln 1af x x ax x-=-+-()a ∈R 12a ≤()f x 2()2 4.g x x bx =-+14a =1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥b x x f ln )(=)()()(R a x ax f x F ∈+=)(x F kx x f x G -=2)]([)(1()ln ().f x x a x a R x =--∈()f x ()f x 12,x x 11(,()),A x f x 22(,())B x f x k a 2k a =-a。