数的开方与二次根式

开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方是数学中常见的运算符号，表示一个数的平方根。

而二次根式则是指包含开方的代数式。

在学习数学过程中，掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。

本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。

我们来看看开方的定义。

对于一个非负实数a，如果实数b满足b 的平方等于a，即b²=a，那么b就是a的平方根，记作√a，其中√符号称为根号。

如果a是一个负数，那么它的平方根定义为复数，可以表示为±√(-a)，其中±表示取正负号。

开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题，是数学中的重要工具。

在代数中，我们经常会遇到二次根式，即含有开方的代数式。

如√2、√3等都属于二次根式。

二次根式通常可以简化，使其形式更加简洁。

简化二次根式的方法是利用数的乘法性质，将开方中的被开方数进行因式分解，找到一个完全平方数因子，然后将其提出开方符号。

对于√12，可以找到一个完全平方数的因子4，即√12=√(4*3)=2√3。

这样就化简成了更加简洁的形式。

在进行运算时，需要注意开方及二次根式的运算规则。

首先是同底数相乘的运算法则，即√a*√b=√(a*b)，这条规则适用于任意实数a、b。

其次是开方的乘法公式，即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b)，这个公式在计算开方时经常会用到。

如果要进行开方的除法运算，可以采用类似的方法，将被开方数分解成较小的因子，然后进行化简。

运用这些运算规则，可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。

除了基本的开方运算，还有一些特殊的开方，如立方根、四次根等。

立方根表示一个数的三次方根，记作³√a，其运算规则与平方根类似。

比如³√8=2，因为2³=8。

四次根则表示一个数的四次方根，记作⁴√a，其运算规则也可以类似的推出。

这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用，例如求解立方程等。

数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。

在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。

比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。

二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。

就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。

比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。

当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。

在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。

还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。

比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。

总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。

虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。

毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。

所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。

数的开方及二次根式1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、(2014东营( ) A.±3 B.3 C.±9 D.93、（2015=_____ 4、（2015=_____1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、（2015的值是（ ）A ．±5 B．5 C ．–5 D ． 6253、（2014菏泽）下列计算中，正确的是（ ）A ．a 3•a 2=a 6 B ．（π﹣3.14）0=1 C ．133-=- D 3?4、（2015南京）4的平方根是 ；4的算术平方根是 （2015山东潍坊模拟）4 的算术平方根是5、（2015（20156、（2015（2015甘肃武威）64的立方根是_____7、（2015随州）4的算术平方根是 ，9的平方根是 ，﹣27的立方根是8、（2015＝ 9、（201401)+=初中数学基础知识讲义—数的开方及二次根式考点2：二次根式概念:式子a （ ）叫做二次根式。

称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数.由算术平方根和二次根式的意义，只有当a≥0．．．，当a ＜0①二次根式a 必须注意a_ __o 这一条件，其结果也是一个非负数即：a _ __o ， ②二次根式a （a≥o）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式考点一：二次根式有意义的条件1、（2015四川甘孜）使二次根式的有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞1 C ．x ≥1 D ． x ≠12、（2015武汉）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ）A ．x ≥－2B ．x ＞－2C ．x ≥2D ．x ≤21、(2015南京)x 的取值范围是 ______2、（2015x 的取值范围是3、（2015四川乐山）函数y =x 的取值范围是4、（2015湖南衡阳）函数y =x 的取值范围为（ ）A ．x ≥0 B ．x ≥－1 C ．x ＞－1 D ．x ＞1考点3：二次根式的性质 ： ⑴； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；= （0,0a b吵）；= （0,0a b?）.a ===，一般情况下二次根式除法运算过程就要进行分母有理化。

开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方及二次根式是高中数学中常见的一个知识点，也是数学中的基础概念之一。

在学习代数学时，开方及二次根式是必须要掌握的重要内容。

本文将对开方及二次根式进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

让我们从最基础的概念开始。

所谓开方，就是对一个数进行开方运算，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。

如果一个数是另一个数的平方，那么这个数就是这个数的平方根。

开方也可以用符号√来表示，如√4表示对4进行开方运算，结果为2，因为2的平方等于4。

二次根式是由一个数与它的二次根号组成的一个式子，例如√2、√3、√5等。

这些数都是无理数，也就是不能用有限位小数表示的数。

在数轴上，二次根式对应的数是不完全平方数，即无法整除的数。

在计算开方及二次根式时，有一些基本规则需要遵循。

对于整数n，如果n>0，则√n是一个正数；如果n<0，则√n是一个虚数。

开方运算是一个单调递增的函数，即当x<y时，√x < √y。

开方运算不满足交换律和结合律，即√xy≠√x·√y，(√x)²≠x。

在开方运算中，常见的性质有：1.开方运算的运算性质：√a ± √b ≠ √(a ± b)，√a · √b ≠√(a · b)。

3.二次根式的乘法运算：√a · √b = √(a · b)。

还有一些常见的运算法则需要注意。

如何计算复合二次根式呢？如何计算√(√2 + √3)呢？我们可以用代数的方法将其化简。

设x = √2 + √3，则x² = (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6，即x² - 5 = 2√6。

所以√(√2 + √3) = √(x) = √(x² - 5) = √(2√6) = √2 · √3 = √6。

第一单元 数与式第5课时 数的开方及二次根式考点知识清单考点一 数的开方1.算术平方根：非负数x 满足x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的算术平方根，记作①____________。

2.平方根：若x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作②_____________。

3.立方根：如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根），记作③_____________。

【温馨提示】1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根与算术平方根都是0本身，负数没有平方根。

2.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.考点二 二次根式的有关概念1.二次根式：式子a （④__________）叫做二次根式。

【温馨提示】a （a ≥0）其实就是a 的算术平方根。

2.最简二次根式：同时满足以下两个条件：被开方数都不含⑤___________，也不能含能开得尽方的因数或因式。

【温馨提示】分母中含有根式的不是最简二次根式。

如21的最简形式应为22。

考点三 二次根式的性质三个重要性质（1）a （a ≥0）是⑥_______________；（2）=2)(a ⑦______________（a ≥0）;（3）=2a ⑧________________。

积的算术平方根 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab商的算术平方根 ).0,0(≥>=b a ab a b【温馨提示】2)(a 与2a 的被开方数的取值范围是不相同的，前者a ≥0，后者a 为任意实数。

考点四 二次根式的运算【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有根号。

题型归类探究类型一 数的开方与估算（易错点）【典例1】（1）（2018·安顺）4的算术平方根是（ ） A.2±B.2C.±2D.2（2）（2018·昆明）黄金分割数215-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面。

数的开方与二次根式1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。

用数学语言表达即为：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。

a 的平方根记作: ,读作“根号a ”（2）平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

②0有一个平方根，它是0本身。

③负数没有平方根。

（3）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方的运算。

+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算。

（4）平方根的表示方法：a 表示正数a 的正的平方根-a 表示正数a 的负的平方根 练习：求169的平方根 将1.44开平方2、算术平方根（1）算术平方根的定义：正数a 有两个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根， 记作 “a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数。

（2）算术平方根的性质：①正数a 的算术平方根是一个正数。

②0的算术平方根是0。

③负数没有算术平方根 。

（3）重要性质： 练习：求25的算术平方根 求的算术平方根 a 2±±或a ())0(2≥=a a a a a =2a ±⎭⎬⎫记作3、立方根（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

用数学语言表达即为：若a x =3,则x 叫做a 的立方根。

记作： ,读作“三次根号a ” 。

（2）立方根的性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0。

（3）重要性质：（4）求一个数的立方根的运算，叫做开立方运算。

立方运算与开立方运算互为逆运算。

练习：求81-的立方根 求64的立方根4．二次根式的有关概念(1) a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意： 在二次根式a 中，字母a 的取值范围，必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数。

中考数学一轮复习教学设计三（数的开方与二次根式）鲁教版一. 教材分析《数的开方与二次根式》是初中数学的重要内容，主要包含二次根式的性质、二次根式的乘除运算、二次根式的加减运算、以及数的开方等知识点。

本节课选自鲁教版八年级下册，是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行学习的，为后续学习勾股定理、圆的方程等知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识，对于数的开方和二次根式的概念有一定的了解。

但部分学生对于二次根式的运算规则理解不深，容易混淆。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，加深对二次根式运算规则的理解。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。

2.学会二次根式的乘除运算和加减运算。

3.掌握数的开方的方法，能够熟练进行开方运算。

4.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.二次根式的性质2.二次根式的乘除运算和加减运算3.数的开方的方法五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的性质。

2.运用类比法，帮助学生理解二次根式的运算规则。

3.利用分组合作法，让学生在合作中巩固二次根式的运算方法。

4.运用实例讲解法，深入剖析数的开方的方法。

六. 教学准备1.教学PPT2.教学道具（如卡片、计算器等）七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数学故事引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示PPT，讲解二次根式的性质，让学生理解二次根式的概念。

3.操练（15分钟）让学生分组进行二次根式的乘除运算和加减运算，教师巡回指导。

4.巩固（10分钟）针对学生的操作结果，进行讲解和分析，帮助学生巩固二次根式的运算规则。

5.拓展（10分钟）讲解数的开方的方法，让学生进行实际操作，巩固开方运算。

6.小结（5分钟）对本节课的主要知识点进行总结，让学生明确学习目标。

7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生课后巩固所学知识。