当前位置：文档之家 › 二项式定理复习课

二项式定理复习课

  • 格式：doc
  • 大小：272.50 KB
  • 文档页数：5

下载文档原格式

  / 5

合集下载

二项式定理复习公开课

二项式定理复习公开课

二项式定理学习任务：1.梳理二项式定理的相关知识点；2.归纳二项式定理的相关题型。

教学过程：一：知识梳理1.二项式定理二项式定理：(α+""=C%"+C""+……+/”+……C二项展开式的通项公式：小=Ca"""，它表示第八1项二项式系数:二项展开式中各项的系数CtG……C2.二项式系数的性质(I)C；=1,C：=1,CW；；,C：=C：F(O：m、neN)(2)二项式系数先增后减中间项最大.n, n-I-1 —当n为偶数时，第5项的二项式系数最大，最大值为党,当n+∖〃+3n为奇数时，第亍项和第亏项的二项式系数最大，最大值为M-I 〃+1C了或a⑶各二项式系数和：cθ÷c>c>……C=2"+q+c+……=α+w+α+.•…=2“T二：题型归纳1二项展开式问题例1：在二项式(后+W的展开式中，常数项是,系数为有理数的项的个数是,2两个多项式积的展开式问题例2 (l+2x2)(l+x)4的展开式中X3的系数为A.12B.16C.20D.243三项展开式问题(X——+1)5例3'X 展开式中的常数项为A.1B.llC.-19D.514二项式系数和与系数和(X2--}n例4(1)若二项式∙X的展开式的二项式系数之和为8,则该展开式每一项的系数之和为A.-lB.lC.27D.-27⑵若Qx)7=<70+ α1(1 + x) ÷ α2 (1 + x)2 + %(1 + X)7,则％+4+ 4 的值为A.lB.2C.129D.21885二项式系数与系数的最值问题例5二项式我的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中X的指数为整数的项的个数为A.3B.5C.6D.7例6,若沃展开式中前三项的系数和为163,求：⑴展开式中所有X的有理项；(2)展开式中系数最大的项.课堂小结：二项式定理的相关题型主要有：1.利用展开式通项求各种项的相关问题；2.二项式系数和与系数和问题(赋值法)；3.二项式系数与系数最大问题。

第3节 二项式定理--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

第3节 二项式定理--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
为 6.
考向3三项展开式中的特定项(或系数)
例3(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( C )
A.10
B.20
C.30
D.60
解析 (方法一)(x2+x+y)5 的展开式的通项为 Tr+1=C5 (x2+x)5-ryrFra bibliotek令 r=2,则
T3=C52 (x2+x)3y2.
又(x2+x)3 的展开式的通项为 Tk+1=C3 (x2)3-kxk=C3 x6-k,令 6-k=5,则 k=1.所以
3
1
(2)(2024·福建福州模拟)若(3 + 2 ) 的展开式中存在常数项,则正整数n

可以是( C )
2
A.3
B.5
C.6
1
2
解析 (3 + 2) 的展开式的通项为

2n-4r=0,解得

r= ,又
2
D.7
2 -
Tr+1=C (3 )
1
n-r 2n-4r
=3
C x ,令
所以
C2 ×22
=
56
,得(n-2)(n-3)=56,解得
3
1
n=10 或 n=-5(舍去),
10-5


所以 Tr+1=C10
( 2 )10-r(2x-2)r=2rC10
2
10-5
.令
=0,解得 r=2,所以展开式中的常
2
数项为第三项,T3=180.
(2)由

2 C10

2 C10

x 的系数为(-1)225-2C52 =80.

高考数学复习知识点讲解教案第60讲 二项式定理

高考数学复习知识点讲解教案第60讲 二项式定理
2
[解析] 设，则由题意得，解得 .
3.［教材改编］ 已知 的展开式中各二项式系数的和为128，则展开式中 的系数是______.
672
[解析] 由题意得，则 ，则展开式的通项为，令，可得 ，所以展开式中的系数为 .
题组二 常错题
◆ 索引：对二项展开式的特点把握不准;不理解常数项、有理项等需满选B.
[总结反思]求几个多项式和的展开式中的特定项（系数），先分别求出每一个多项式的展开式中的特定项,再合并即可.
变式题 已知 ，则 的值为_____.
[解析] 令，可得，令 ，可得①，令 ，则②，所以① ②可得，所以 ，即 .
角度2 几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题
C
A.4 B. C. D.60
[解析] ，其展开式的通项为，令，可得，其中 的展开式的通项为，令，得 ，所以，故的系数为 .故选C.
（2） [2023·湖南郴州模拟] 若的展开式中 的系数为3，则 _ ___.
[解析] ，其展开式的通项为,,,, ,令，则,或, ，所以，即，因为，所以 .
和
[解析] 由题意知, 的展开式的通项为,,1,2, ,8,令,得 或8,所以,,故有理项是和 .
探究点二 二项式系数与各项的系数问题
角度1 二项式系数
例2（1） 已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中 的系数为( )
B
A. B.84 C. D.560
[解析] 因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以 ，则的展开式的通项为，令 ，则展开式中的系数为 .故选B.
变式题（1） 已知 ，则 ( )
D
A.30 B. C.17 D.
[解析] 根据二项式定理得，所以 ，，则 ，所以 .故选D.

2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt

2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．

第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件

第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件

(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
Hale Waihona Puke ，令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分

2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-9.4二项式定理

2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-9.4二项式定理
例2 在 2 − 3
10 的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.
返回至目录
解：设 2 − 3
10
= 0 10 + 1 9 + 2 8 2 + ⋯ + 10 10 ∗ .
数和等于偶数项的二项式系数和，即C0 + C2 + C4 + ⋯ = C1 + C3 + C5 + ⋯ = 2−1 .
返回至目录
常用结论
杨辉三角
杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表（如下），是我国数学史上一个伟大成
就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.
返回至目录
（1）最外层全是1，第二层（含1）是自然数列1,2,3,4，⋯ ,第三层（含1，3）是
2
>
+1
时，C 随
2
+1
2
的增加而减少.如果二项式的幂指数是偶数，那么其展开式中间一项，即______的
+1
+1+1
二项式系数最大；如果是奇数，那么其展开式中间两项_____与_______的二项式系
2
2
数相等且最大.
2
（3）各二项式系数的和：C0 + C1 + C2 + ⋯ + C =____，且奇数项的二项式系
( ×)
（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.
( ×)
（3） + 的展开式中某一项的二项式系数与，无关.

2023版高考数学一轮总复习10-2二项式定理课件


解析 (1)n=6时,(1+2x)6的展开式中有7项,中间一项的二项式系数最大,此
项为C36 (2x)3=160x3.又Tr+1=C6r (2x)r=2rC6r xr,设第k+1项的系数最大,则
CC66kk
2k 2k
Ck 1 6
Ck 1 6
2k 2k
1, 1 ,
解得
11 3
≤k≤
14 3
,∴k=4,即第5项系数最大,第5项为
C64
(2x)4
=240x4.
所以二项式系数最大的项是第4项,为160x3,系数最大的项是第5项,为240x
4.
(2)令x=0,得a0=1,记f(x)=(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6,n为偶数), 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+an, f(-1)=(-1)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an,
所以a0+a2+a4+…+an= f (1) f (1) = 3n (1)n = 3n 1 ,
2
2
2
所以a2+a4+…+an=
3n
2
1
-1=
3n
2
1
.
专题十 计数原理
10.2 二项式定理
1.二项式定理
考点 二项式定理
1)公式(a+b)n=
C0n
an+
C1n
an-1b1+…+
Ckn
an-kbk+…+
C
n n

二项式定理 复习课件


5.二项展开式的各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)的展开式中 (1)各项系数之和为 f(1). (2)奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－1.
2 (3)偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－1.
2
3.求形如（a+b+c)n的展开式中特定项的四步骤
第一步
把三项的和a+b+c看作(a+b)与c两项的和
第二步
根据二项式定理求出[(a+b)+c]n的展开式的通项
第三步
对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由 (a+b)n-r的展开式中哪些项和cr相乘得到的
第四步
把相乘后的项相加减即可得到特定项
4.赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于形如(ax＋b)n 中，可将 x 设定为 一些特殊的值．在使用赋值法时，令 x 等于多少，应视具体情况而定，一般 取“1，－1 或 0”．如： (1)形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需 令 x＝1 即可． (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需 令 x＝y＝1 即可.
通项公式 二项式系数 二项展开式每一项中的 C0n，C1n，…，Cnn.叫做二项式系数 项的系数 一项中所有的数字因数称为这一项的系数.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m
增减性
n＋1 二项式 当 k＜ 2 时，二项式系数是递增的.
3．常用结论 (1)Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n. (重要) (2)Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1. (3)Cn1＋2Cn2＋3C3n＋…＋nCnn＝n2n－1. (4)(Cn0)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝C2nn.

二项式定理课件高三数学一轮复习


角度2 两个二项式之积、三项展开式问题
典例2（1） 在
x2
− 3x +
A.−30
[解析] −

+


−

⋅

⋅ −
−

⋅
C )
C.−25



的展开式的通项+

令 = ， =
=
1−
1 5
的展开式中，常数项为(
x
B.30

−
4
x
=

−
= −
知识拓展
若二项展开式的通项为Tr+1 = g r ⋅ xh r (r = 0,1,2, ⋯ , n)，g r ≠ 0，则有以下常见结论：
（1） h r = 0 ⇔ Tr+1 是常数项.
（2）h r 是非负整数 ⇔ Tr+1 是整式项.
（3）h r 是负整数 ⇔ Tr+1 是分式项.
（4）h r 是整数 ⇔ Tr+1 是有理项.
令 = −，则 = − + − + ⋯ − .
又 + + ⋯ +

− + + ⋯ +

= + + + ⋯ + − + − + ⋯ + − = ，
∴ +

⋅ = ，∴ + = ，∴ = −或 = .故答案为−或1.
D.−1

= − ，可知 ， ，
都小于0，则 − + − + − = + + + + + .

二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习


1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
系数杨辉三角找，对称特性立其中。
2.二项式系数的性质
一 一一 一 二一
一 三三 一
性质
一四六四一 一五 十 十 五一
性质描述
一 六 十五二十十五 六 一
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即_C_nm_＝__C__nn－_m_
1 x6
感悟提升
求展开式中某指定项（如有理项、常数项、第r+1项，含xr的项） 以及指定项的系数、二项式系数等问题是高考的一大热点，通常 要用二项式的通项求解，有时要先变形再应用。
注意区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数。
二项乘方知多少，万里源头通项找!
变式探究2: （1）求(1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数；
变式探究2:
（2）求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2
（2）解法一：分别求出各个二项展开式中x2的系数；
0，C20 , C31, C42 , C53, ，取和，可知所求x2的系数等于-20.
解法二：∵(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5
（4）求展开式中第四项的系数及二项式系数.
变式探究1:
Tk+1 = Cnk (
x
)
8-k
(
2 x2
)k
8-5k
= Ck8 2k x 2
求该展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
设Tr 1 的系数为 A r 1 ，那么A r 1 为最大应有:
Ar1 Ar且Ar 1 Ar 2 .
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

二项式定理复习课
樊加虎
一．教案描述
教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。

除理清基本概念外，，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学思想都得到训练。

1、会正用. 即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全
必要的，例题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做到正确、熟练。

例1、求62)32(x x +的展开式中含5x 的项.
解：53336
24320)3(2x x C x = 例2、求45)31()21(x x +⋅-展开式中前三项之和.
解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。

)54121)(40101(22 +++-+-=x x x x +-+=22621x x 。

展开式前三项之和为22621x x -+.
例3、求82)132(+-x x 展开式中x 项.
解：若将82)132(+-x x 化为88)1()12(--x x 来确定展开式中x 项，解法不甚合
理，注意到22x 与x 项无关，可转化为求8)13(+-x 展开式中x 项，即x x C 24)3(78-=-，解法较捷。

本题较灵活，有助于提高学生转化能力。

2、会反用. 逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往
不习惯，例题和习题可逐步加深。

例4、求值(1)1444412211+++++---n n n n n n
n C C C ； (2)n n n n n C C C )2(221221-+-+- .
解：(1)原式即为n )14(+的展开式，∴原式n 5=.
(2)注意符号问题，原式n n )1()21(-=-=.
例5、设函数54325101051)(x x x x x x f +-+-+=.求)(x f 的反函数)(1x f
-. 解：如果)(x f 的表达式中第一项1改为-1，则为5)1(x +-的展开式.
∴2)1()(5++-=x x f . 易得5121)(-+=-x x f )(R x ∈
3、会变用. 不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。

这一层次要求学
生有－定的分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。

例6、求322)21(-+x
x 展开式中的常数项. 解：一般有两种变形方法，其一变形为322]2)1[(-+
x x ，其二变形为6)1(x x -.后者较简，其常数项即为第四项2036
4-=-=C T . 例7、设=-++-+-1716321x x x x x 17172210)1()1()1(+++++++x a x a x a a ,
求2a .
解：为了比较系数，将左式变形为2]1)1[(]1)1[(1-++-+-x x 17]1)1[(-+--x .再展开之，展开式中2)1(+x 项的系数即为2a ，
81631815172413022==++++=C C C C C a .
4、会设项. 这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。

例8、1003)32(+的展开式中含有多少个有理项？ 解：32100100132
r r r r C T -+=,耍使其为有理数，即n r =-2100，m r =3
(m n ，为非负整数).
得)50(2n r -=，且m r 3=. ∴r 是6的倍数,可取0=r ，6，12,96， 共17个. 例9、设n x x )3(2131
+展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若272=+h t ，试求展开式中2x 项的系数.
解：此题应先定n ，令1=x ,得n t 4=.而n h 2=.27224=+∴n n .得162=n ，
.4=∴n r r r r x x C T )()
3(21431
41-+=∴由22
34=+-r r 得4=r .2x ∴项系数为13044=C 5、会取值. 二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材，应抓住
机遇进行这一基本思维方法的训练.
例10、求32)()2)(2(y x y x y x +++展开式中各项系数的和.
解：设原式662425160y a y x a y x a x a ++++= .令11==y x ，，
得2166210=++++a a a a .
在熟知基本题的基础上，可适当选择些灵活性的例题
例11、求1515)3(y x -展开式中所有无理系数之和.
解：考虑到展开式中无理系数为多，可以从反面求有理系数着手。

有理系数项为：1515153)3(x x =，1515)(y y -=-.∴有理系数之和为2)1(3=-+.令
1==y x ，得展开式各项系数之和为1515)13(-.∴展开式中所有无理系数之和为2)13(1515--.
例12、设n n n x a x a a x x 22102)1(+++=++ .求n a a a a 2420++++ 的值. 解：令1=x ，得n n a a a a 32210=++++ .令1-=x ，得
12210=+-+-n a a a a . 两式相加得2
132420+=++++n n a a a a . 在取值过程中，要培养学生观察能力
例13、设)1()21(10100-+=+x a a x 10010022)1()1(-++-+x a x a .
求99531a a a a ++++ 的值
解：令2=x ，得1001002105=++++a a a a .令0=x ，得
1100210=+-+-a a a a .
两式相减，得2
151009931-=+++a a a . 6、会构造. 关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比较其二项展
开式的系数而得。

这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题和习题不宜太难，讲解中应慢慢引导，启发学生思维。

例14、证明下列各式
(1)++++ 21931n n
C C n n n n n n n C C 43311=+--. (2)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .
证：(1)构造二项展开式 b a C a C b a n n n n
n 110)(-+=+n n n n n b C b a C +++- 222. 令31==b a ，得 n n n n n
n C C C 3331)31(221⋅++⋅+⋅+=+ 即n n n n n n n n n
C C C C 4339311121=+++++-- . (2)构造恒等式 n n n x x x 2)1()1()1(+=+⋅+.
两边含n x 项的系数相等，即22110--⋅++⋅n n n n n n n n n C C C C C C n n n n n C C C 20=⋅++
∵m n n m n C C -=， n m ≤≤0
∴n n n n n n n n C C C C C 2222120)()()()(=++++ .
7、会综合 在复习中还应注意与其它数学知识的横向联系，尤其与数列、不等
式和三角的综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。

例15、若实数y x ，满足1=+y x ，求证：16155≥
+y x 证：令α+=21x ,α-=2
1y ,则
5555)21()21(αα-++=+y x 16152516142≥++=αα. 例16、已知等差数列}{n a 及等比数列}{n b 中，2211b a b a ==，，且这两个数列
都是递增的正项数列，求证：当2>n 时，n n b a <
证：设 b b a a b a ====2211，, 则))(1(a b n a a n --+=,
利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例15）及“减项放缩法”（例16）较为普遍。

二．教案评析
通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方法。

数学思想和方法也得到一次系统的训练，分析和综合能力有所提高，收到了复习的实效。

二项式定理是高中数学中较为独特的一部分，教材中只简单地讲述定理的推导、性质及应用。

如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾向，仅仅要求学生熟记公式、会代公式而言。

其实，二项式定理内容虽不多，但分散于教材及习题的解法却丰富地展示了待定系数法、构造法、取特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想方法，因此也是比较集中复习中学数学思想方法、提高思维能力的好机遇。

在复习中，应认真做好基本方法的梳理工作，精心配置例题和习题，进行知识、方法和技巧的训练，才能真正掌握二项式定理。

同时对学生思维发展、能力的培养和数学素质的提高也是十分有益的。