中考数学 第4节数的开方与二次根式

数的开方与二次根式知识点：平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化教学目标：1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根；会求实数的平方根、算术平方根和立方根；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式；掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

教学重难点：1.平方根、算术平方根、立方根的概念（有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题）；2.最简二次根式、同类二次根式概念（有关习题经常出现在选择题中）；3.二次根式的计算或化简求值（有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多）。

教学过程：1、知识要点：考点1 平方根、算术平方根与立方根：若)0(2≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，记作a ±；正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0。

当0≥a 时，a 的算术平方根记作a 。

注意：1、非负数是指正数或0，常见的非负数有：(1）绝对值：0≥a ；(2)实数的平方：02≥a ；(3) 算术平方根：)0(0≥≥a a 。

2、如果a 、b 、 c 是实数，且满足02=++c b a ， 则有0=a，0=b ，0=c考点2 二次根式的有关概念：1、二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式（注意被开方数只能是正数或0）； 二次根式a 定义中的“a ≥0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．在具体问题中，一旦出现了二次根式a ，就意味着a ≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：3、ab (ab ≥0)、3+x (x ≥－3)都是二次根式．2、最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；最简二次根式，满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：①化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式； ②二次根式的性质： )0()(2≥=a a a ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a )0;0(≥≥⋅=b a b a ab )0;0(>≥=b a ba b a 考点3 二次根式的运算：1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并；2、二次根式的乘法： 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a（二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行；两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式）；3、二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)；把分母的根号化去，叫做分母有理化。

开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方是数学中常见的运算符号，表示一个数的平方根。

而二次根式则是指包含开方的代数式。

在学习数学过程中，掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。

本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。

我们来看看开方的定义。

对于一个非负实数a，如果实数b满足b 的平方等于a，即b²=a，那么b就是a的平方根，记作√a，其中√符号称为根号。

如果a是一个负数，那么它的平方根定义为复数，可以表示为±√(-a)，其中±表示取正负号。

开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题，是数学中的重要工具。

在代数中，我们经常会遇到二次根式，即含有开方的代数式。

如√2、√3等都属于二次根式。

二次根式通常可以简化，使其形式更加简洁。

简化二次根式的方法是利用数的乘法性质，将开方中的被开方数进行因式分解，找到一个完全平方数因子，然后将其提出开方符号。

对于√12，可以找到一个完全平方数的因子4，即√12=√(4*3)=2√3。

这样就化简成了更加简洁的形式。

在进行运算时，需要注意开方及二次根式的运算规则。

首先是同底数相乘的运算法则，即√a*√b=√(a*b)，这条规则适用于任意实数a、b。

其次是开方的乘法公式，即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b)，这个公式在计算开方时经常会用到。

如果要进行开方的除法运算，可以采用类似的方法，将被开方数分解成较小的因子，然后进行化简。

运用这些运算规则，可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。

除了基本的开方运算，还有一些特殊的开方，如立方根、四次根等。

立方根表示一个数的三次方根，记作³√a，其运算规则与平方根类似。

比如³√8=2，因为2³=8。

四次根则表示一个数的四次方根，记作⁴√a，其运算规则也可以类似的推出。

这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用，例如求解立方程等。

开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方及二次根式是高中数学中常见的一个知识点，也是数学中的基础概念之一。

在学习代数学时，开方及二次根式是必须要掌握的重要内容。

本文将对开方及二次根式进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

让我们从最基础的概念开始。

所谓开方，就是对一个数进行开方运算，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。

如果一个数是另一个数的平方，那么这个数就是这个数的平方根。

开方也可以用符号√来表示，如√4表示对4进行开方运算，结果为2，因为2的平方等于4。

二次根式是由一个数与它的二次根号组成的一个式子，例如√2、√3、√5等。

这些数都是无理数，也就是不能用有限位小数表示的数。

在数轴上，二次根式对应的数是不完全平方数，即无法整除的数。

在计算开方及二次根式时，有一些基本规则需要遵循。

对于整数n，如果n>0，则√n是一个正数；如果n<0，则√n是一个虚数。

开方运算是一个单调递增的函数，即当x<y时，√x < √y。

开方运算不满足交换律和结合律，即√xy≠√x·√y，(√x)²≠x。

在开方运算中，常见的性质有：1.开方运算的运算性质：√a ± √b ≠ √(a ± b)，√a · √b ≠√(a · b)。

3.二次根式的乘法运算：√a · √b = √(a · b)。

还有一些常见的运算法则需要注意。

如何计算复合二次根式呢？如何计算√(√2 + √3)呢？我们可以用代数的方法将其化简。

设x = √2 + √3，则x² = (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6，即x² - 5 = 2√6。

所以√(√2 + √3) = √(x) = √(x² - 5) = √(2√6) = √2 · √3 = √6。