数的开方及二次根式

数的开方与二次根式知识点：平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化教学目标：1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根；会求实数的平方根、算术平方根和立方根；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式；掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

教学重难点：1.平方根、算术平方根、立方根的概念（有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题）；2.最简二次根式、同类二次根式概念（有关习题经常出现在选择题中）；3.二次根式的计算或化简求值（有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多）。

教学过程：1、知识要点：考点1 平方根、算术平方根与立方根：若)0(2≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，记作a ±；正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0。

当0≥a 时，a 的算术平方根记作a 。

注意：1、非负数是指正数或0，常见的非负数有：(1）绝对值：0≥a ；(2)实数的平方：02≥a ；(3) 算术平方根：)0(0≥≥a a 。

2、如果a 、b 、 c 是实数，且满足02=++c b a ， 则有0=a，0=b ，0=c考点2 二次根式的有关概念：1、二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式（注意被开方数只能是正数或0）； 二次根式a 定义中的“a ≥0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．在具体问题中，一旦出现了二次根式a ，就意味着a ≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：3、ab (ab ≥0)、3+x (x ≥－3)都是二次根式．2、最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；最简二次根式，满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：①化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式； ②二次根式的性质： )0()(2≥=a a a ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a )0;0(≥≥⋅=b a b a ab )0;0(>≥=b a ba b a 考点3 二次根式的运算：1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并；2、二次根式的乘法： 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a（二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行；两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式）；3、二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)；把分母的根号化去，叫做分母有理化。

开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方是数学中常见的运算符号，表示一个数的平方根。

而二次根式则是指包含开方的代数式。

在学习数学过程中，掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。

本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。

我们来看看开方的定义。

对于一个非负实数a，如果实数b满足b 的平方等于a，即b²=a，那么b就是a的平方根，记作√a，其中√符号称为根号。

如果a是一个负数，那么它的平方根定义为复数，可以表示为±√(-a)，其中±表示取正负号。

开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题，是数学中的重要工具。

在代数中，我们经常会遇到二次根式，即含有开方的代数式。

如√2、√3等都属于二次根式。

二次根式通常可以简化，使其形式更加简洁。

简化二次根式的方法是利用数的乘法性质，将开方中的被开方数进行因式分解，找到一个完全平方数因子，然后将其提出开方符号。

对于√12，可以找到一个完全平方数的因子4，即√12=√(4*3)=2√3。

这样就化简成了更加简洁的形式。

在进行运算时，需要注意开方及二次根式的运算规则。

首先是同底数相乘的运算法则，即√a*√b=√(a*b)，这条规则适用于任意实数a、b。

其次是开方的乘法公式，即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b)，这个公式在计算开方时经常会用到。

如果要进行开方的除法运算，可以采用类似的方法，将被开方数分解成较小的因子，然后进行化简。

运用这些运算规则，可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。

除了基本的开方运算，还有一些特殊的开方，如立方根、四次根等。

立方根表示一个数的三次方根，记作³√a，其运算规则与平方根类似。

比如³√8=2，因为2³=8。

四次根则表示一个数的四次方根，记作⁴√a，其运算规则也可以类似的推出。

这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用，例如求解立方程等。

数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。

在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。

比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。

二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。

就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。

比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。

当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。

在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。

还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。

比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。

总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。

虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。

毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。

所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。

数的开方及二次根式1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、(2014东营( ) A.±3 B.3 C.±9 D.93、（2015=_____ 4、（2015=_____1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、（2015的值是（ ）A ．±5 B．5 C ．–5 D ． 6253、（2014菏泽）下列计算中，正确的是（ ）A ．a 3•a 2=a 6 B ．（π﹣3.14）0=1 C ．133-=- D 3?4、（2015南京）4的平方根是 ；4的算术平方根是 （2015山东潍坊模拟）4 的算术平方根是5、（2015（20156、（2015（2015甘肃武威）64的立方根是_____7、（2015随州）4的算术平方根是 ，9的平方根是 ，﹣27的立方根是8、（2015＝ 9、（201401)+=初中数学基础知识讲义—数的开方及二次根式考点2：二次根式概念:式子a （ ）叫做二次根式。

称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数.由算术平方根和二次根式的意义，只有当a≥0．．．，当a ＜0①二次根式a 必须注意a_ __o 这一条件，其结果也是一个非负数即：a _ __o ， ②二次根式a （a≥o）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式考点一：二次根式有意义的条件1、（2015四川甘孜）使二次根式的有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞1 C ．x ≥1 D ． x ≠12、（2015武汉）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ）A ．x ≥－2B ．x ＞－2C ．x ≥2D ．x ≤21、(2015南京)x 的取值范围是 ______2、（2015x 的取值范围是3、（2015四川乐山）函数y =x 的取值范围是4、（2015湖南衡阳）函数y =x 的取值范围为（ ）A ．x ≥0 B ．x ≥－1 C ．x ＞－1 D ．x ＞1考点3：二次根式的性质 ： ⑴； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；= （0,0a b吵）；= （0,0a b?）.a ===，一般情况下二次根式除法运算过程就要进行分母有理化。

知识梳理要点回顾一、平方根、算术平方根、立方根1．若x 2=a （a 0），则x 叫做a 的 ，记作±a ； 叫做算数平方根，记作 。

2．平方根有以下性质：①正数有两个平方根，他们互为 ；②0的平方根是0；③负数没有平方根。

3．如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。

二、二次根式1．二次根式的有关概念⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ．并且根式.⑵ 最简二次根式被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式．(3) 同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质⑴ a 0（a ≥0）；⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；⑷ =ab （a ≥0, b ≥0）； ⑸=b a （a ≥0,b ＞0）. 3．二次根式的运算(1) 二次根式的加减：①先把各个二次根式化成 ；②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变.(2) 二次根式的乘除法二次根式的运算结果一定要化成 。

考点归类 过关检测考点1 二次根式的有关概念例题1（2011年广东省）使2-x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是______ _______．【变式测试】1. （2010湖北襄樊）下列说法错误的是（ ）A ．的平方根是±2B ．是无理数C ．是有理数D ．是分数2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是( )A. B. C. D.3．（2010山东济宁） 4的算术平方根是（ ）A . 2B . －2C . ±2D . 44. （2011年黄冈市）要使式子2a +有意义，则a 的取值范围为_____________________． 考点2 二次根式的化简例题2 （2011年茂名市）化简)212(8-⨯ 【变式测试】1.（2010山东聊城）化简：42712____________3++=． 2.化简：(1)； (2)； (3).3.化简：a （a ＋2）－ a 2b b；考点3 二次根式的运算例题3 （2011年浙江杭州市）下列运算正确的是（ ）()233-=- B.233-=- C. ()233±=± 233=±【变式测试】1．（2010四川眉山）2(3)-A ．3B ．3-C ．3±D ． 92．（2010广西河池）82 】A ．6B 6C ．2D 2中考测试 全面提升基础测试1.（2010江苏南通）9的算术平方根是A ．3B ．－3C ．81D ．－812．（2010江苏南通） 36x -x 的取值范围是A ．2x -≥B ．2x ≠-C ．2x ≥D ．2x ≠3.（2010浙江嘉兴）设0>a 、0>b ，则下列运算中错误．．的是（ ） A.b a ab ⋅= B.b a b a +=+ C.a a =2)( D.b a b a =4.（2010 福建德化）下列计算正确的是（ ）A.20=102B.632=⋅C.224=- 3=-5.（2010广东湛江）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A.21B.4C. 3D. 8综合提升6.（2010 四川绵阳）要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．21＜x ≤3 7.（2010广东茂名）若代数式有意义，则x 的取值范围是A ．21≠>x x 且B ．1≥xC ．2≠xD ．21≠≥x x 且8.（2010四川广安）若|2|0x y -=，则xy 的值为A ．8B ． 2C ．5D ．6-9.（2010湖北荆门）化简x x -+-11 _______．新题看台10.(2011成都市)在函数y =x 的取值范围是（ ）A.12x ≤ B. x ＜12 C. x ≥ 12 D. x ＞1211. （2011年芜湖市）函数y =x 的取值范围是( ) A 6x ≤ B 6x ≥ C. 6x ≤- D. 6x ≥-12. （2011年威海市）计算________。

第一单元 数与式第5课时 数的开方及二次根式考点知识清单考点一 数的开方1.算术平方根：非负数x 满足x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的算术平方根，记作①____________。

2.平方根：若x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作②_____________。

3.立方根：如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根），记作③_____________。

【温馨提示】1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根与算术平方根都是0本身，负数没有平方根。

2.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.考点二 二次根式的有关概念1.二次根式：式子a （④__________）叫做二次根式。

【温馨提示】a （a ≥0）其实就是a 的算术平方根。

2.最简二次根式：同时满足以下两个条件：被开方数都不含⑤___________，也不能含能开得尽方的因数或因式。

【温馨提示】分母中含有根式的不是最简二次根式。

如21的最简形式应为22。

考点三 二次根式的性质三个重要性质（1）a （a ≥0）是⑥_______________；（2）=2)(a ⑦______________（a ≥0）;（3）=2a ⑧________________。

积的算术平方根 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab商的算术平方根 ).0,0(≥>=b a ab a b【温馨提示】2)(a 与2a 的被开方数的取值范围是不相同的，前者a ≥0，后者a 为任意实数。

考点四 二次根式的运算【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有根号。

题型归类探究类型一 数的开方与估算（易错点）【典例1】（1）（2018·安顺）4的算术平方根是（ ） A.2±B.2C.±2D.2（2）（2018·昆明）黄金分割数215-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面。

数的开方与二次根式1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。

用数学语言表达即为：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。

a 的平方根记作: ,读作“根号a ”（2）平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

②0有一个平方根，它是0本身。

③负数没有平方根。

（3）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方的运算。

+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算。

（4）平方根的表示方法：a 表示正数a 的正的平方根-a 表示正数a 的负的平方根 练习：求169的平方根 将1.44开平方2、算术平方根（1）算术平方根的定义：正数a 有两个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根， 记作 “a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数。

（2）算术平方根的性质：①正数a 的算术平方根是一个正数。

②0的算术平方根是0。

③负数没有算术平方根 。

（3）重要性质： 练习：求25的算术平方根 求的算术平方根 a 2±±或a ())0(2≥=a a a a a =2a ±⎭⎬⎫记作3、立方根（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

用数学语言表达即为：若a x =3,则x 叫做a 的立方根。

记作： ,读作“三次根号a ” 。

（2）立方根的性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0。

（3）重要性质：（4）求一个数的立方根的运算，叫做开立方运算。

立方运算与开立方运算互为逆运算。

练习：求81-的立方根 求64的立方根4．二次根式的有关概念(1) a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意： 在二次根式a 中，字母a 的取值范围，必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数。