实数的开方与二次根式(总复习)

第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。

2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。

3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。

二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。

2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。

3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。

一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。

三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。

开平方运算是已知指数和幂求底数。

2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。

3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。

考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。

2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。

3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。

5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。

数的开方与二次根式【回顾与思考】【例题经典】理解二次根式的概念和性质 例1 （1）（20062x-x 取值范围是________． 【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负． （2）已知a 31a a a--【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0．掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法例2（20063 ） A 324.12..182B C D 【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题．掌握二次根式化简求值的方法要领例3 （2006年长沙市）先化简，再求值: 若33ba aba b-+【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入．【基础训练】116_______，-164的立方根为_______． 2．当x_______25x +1x 有意义；当x________2x -无意义．3．（2006a ．4．（2005）=_________．5．（2006年烟台市）若x+1x =5=______．6．下列叙述中正确的是（ ）A ．正数的平方根不可能是负数B ．无限小数都是无理数C ．实数和实数上的点一一对应D ．带根号的数是无理数 7．（2005年福州市）下列各式中属于最简二次根式的是（ ）A C8．（2006年恩施自治州）若m 的值为（ ） A ．20511315...32688B C D9．（2006=成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥0 C ．x>2 D ．x ≥210．（2005年长沙市）小明的作业本上有以下四题：；105a a =；③21a a==；④=a ≠0），做错的．．．题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④11．对于实数a 、b ，则（ ）A ．a>bB ．a<bC ．a ≥bD ．a ≤b12【能力提升】13．（1）若0<x<1．（2，则x 的取值范围为__________．14．（1）（2005你发现的规律，判断Q =n•为大于1的整数）的值的大小关系为（ ）A ．P<QB ．P=QC ．P>QD ．与n 的取值有关（2（a>0，b>0）分别作如下的变形：== 这两种变形过程的下列说法中，正确的是（ ）A ．甲、乙都正确B ．甲、乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确（3）（2006年桂林市）观察下列分母有理化的计算:==== ……，从计算结果中找出规律利用规律计算:（2007++）=_________．15．化简式计算:（1）（200621)（2）（2005年山东省）已知求22[()]33x y x y x x y x +---+的值．【应用与探究】16．（2006年内江市）对于题目“化简求值：1a ，其中a=15”甲、•乙两人的解答不同．甲的解答是：1a =1a 112495a a a a a =+-=-=；乙的解答是：1a =1a 1115a a a a =+-==， 谁的解答是错误的是，为什么？答案:例题经典例1：（1）x<2 （2）（1-a 例2：B例3：a b a b+-，值为43考点精练1．±2 -14 2．x ≥-52且x ≠0，x ≤2 3．．-25．C 7．A 8．•D 9．C 10．D 11．D12．-32．（1）2x （2）4≤x ≤614．（1）A （2）D （3）200615．•92② 2 16．乙解答是错误的，∵a=15， ∴│1a -a │=1a -a ，而不是a-1a．。

数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。

在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。

比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。

二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。

就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。

比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。

当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。

在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。

还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。

比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。

总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。

虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。

毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。

所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。

二次根式知识点复习二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。

在数学中，√a叫做a的平方根。

一、基本知识点1.开方运算：开方就是求一个数的平方根的运算，开方运算的结果可以是正数、负数或零。

如果b^2=a，那么√a=b。

2.平方根的性质：（1）非负性质：对于非负实数a，√a≥0。

（2）唯一性质：一个非负实数的平方根是唯一的。

（3）分段性质：对于非负实数a和b，如果a≥b，则√a≥√b。

（4）乘法性质：对于非负实数a和b，√(a×b)=√a×√b。

3.平方根的化简：（1）平方根的化简法则：对于一个正整数a，如果存在正整数b，使得a=b^2，则√a=b。

（2）因式分解法则：如果一个正整数a可以分解成几个不同的素数的积，那么√a可以化为这些素数的乘积的积的平方根。

二、运算法则1.加减法运算：（1）只有当二次根式的根号里的数字部分相同才能相加或相减。

（2）将相同的根号里的数字部分加或减，系数部分保持不变。

（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。

2.乘法运算：（1）二次根式相乘，根号里面的数字相乘，系数也相乘。

（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。

（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。

3.除法运算：（1）二次根式相除，根号里面的数字相除，系数也相除。

（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。

（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。

4.乘方运算：（1）二次根式进行乘方运算时，指数乘方，根号里面的数字也乘方，系数不变。

（2）在进行乘方运算后，如果结果可以进行根号运算，则进行根号运算并化简。

三、实际运用1.二次根式的应用：（1）二次根式经常在几何图形的计算中出现，如计算正方形、长方形的对角线、圆的周长和面积等。

（2）二次根式还可以用来表示距离、速度、力等物理量。

2.二次根式的化简：（1）二次根式的化简可以简化计算过程，提高计算效率。

开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方及二次根式是高中数学中常见的一个知识点，也是数学中的基础概念之一。

在学习代数学时，开方及二次根式是必须要掌握的重要内容。

本文将对开方及二次根式进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

让我们从最基础的概念开始。

所谓开方，就是对一个数进行开方运算，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。

如果一个数是另一个数的平方，那么这个数就是这个数的平方根。

开方也可以用符号√来表示，如√4表示对4进行开方运算，结果为2，因为2的平方等于4。

二次根式是由一个数与它的二次根号组成的一个式子，例如√2、√3、√5等。

这些数都是无理数，也就是不能用有限位小数表示的数。

在数轴上，二次根式对应的数是不完全平方数，即无法整除的数。

在计算开方及二次根式时，有一些基本规则需要遵循。

对于整数n，如果n>0，则√n是一个正数；如果n<0，则√n是一个虚数。

开方运算是一个单调递增的函数，即当x<y时，√x < √y。

开方运算不满足交换律和结合律，即√xy≠√x·√y，(√x)²≠x。

在开方运算中，常见的性质有：1.开方运算的运算性质：√a ± √b ≠ √(a ± b)，√a · √b ≠√(a · b)。

3.二次根式的乘法运算：√a · √b = √(a · b)。

还有一些常见的运算法则需要注意。

如何计算复合二次根式呢？如何计算√(√2 + √3)呢？我们可以用代数的方法将其化简。

设x = √2 + √3，则x² = (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6，即x² - 5 = 2√6。

所以√(√2 + √3) = √(x) = √(x² - 5) = √(2√6) = √2 · √3 = √6。

第6课 数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。

会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。

掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

内容分析1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质 ).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a ba bab a b a ab a a a a a a a a a3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。

专题2 数的开方与二次根式考点一：平方根、算术平方根和立方根1．（2022·四川攀枝花·中考真题）实数2的平方根为（ ）A ．2B ．2±C 2D ．2±2．（2022·陕西·武功县中考二模）-27的立方根为（ ）A ．13−B ．13C ．-3D ．33．（2022·四川凉山·2(2)− ）A ．±2B ．－2C ．4D ．24．（2022·贵州毕节·中考二模）下列运算中，正确的是（ ）．A 93=±B 382−=C 42=D ()288−=− 5．（2022·81( )A ．3±B ．3C ．9±D ．96．（2022·广东中考三模）下列说法不正确的是（ ）A ．125的平方根是15±B ．()20.1−的平方根是0.1±C ．9−81D 3273−=− 7．（2022·广东·东莞市中考三模）计算下列各题：（1）4的平方根是______；（2）25的算术平方根是______；（3）8−的立方根是______； 8．（2022·甘肃定西·352a −322b +a b =__________． 9．（2022·广东·佛山市中考三模）若一个正数的两个平方根分别是2x -和21x +，则x =______． 考点二：二次根式有意义的条件（非负性）10．（2022·福建省泉州中考三模）在函数32y x =+中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．23x ≠− B ．23x >− C ．23x −… D ．23x −… 11．（2022·湖北恩施·中考真题）函数1x y +=的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠B ．3x ≥C ．1x ≥−且3x ≠D ．1x ≥−12．（2022·河北·中考一模）已知8818y x x −−x y 的值为（ ） A ．2−B ．3−C 2D 313．（2022·云南曲靖·()21a −1a −，则a 的取值范围是( ). A ．a >1 B ．a ≥1 C ．a <1 D ．a ≤1 14．（2022·湖北黄石·中考真题）函数113y x x =−+的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠−且1x ≠ B ．3x >−且1x ≠ C ．3x >− D ．3x ≥−且1x ≠ 15．（2022·四川南充·8x −x 为正整数，则x 的值是_______________．16．（2022·内蒙古包头·11x x+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是___________． 考点三：二次根式的化简与运算17．（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2 18．（2022·广东江门·2 ） A 24 B 18C 4D 1219．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）A 235=B ．3331=C 236=D 1226÷=20．（2022·山东青岛·中考真题）计算12712)3 ） A 3B ．1 C 5D ．3 21．（2022·山东聊城·中考二模）下列二次根式的运算正确的是（ ） A 3822=B ．355310=C 48255 D ．33363= 22．（2022·陕西延安·中考二模）比较大小：2332“＞”、“＜”或“＝”）． 23．（2022·山东泰安·48633__________． 24．（2022·黑龙江哈尔滨·1333+___________．25．（2022·河北保定·中考一模）已知23x =+，23y =．则 （1）22x y +=________；（2）2()x y xy −−=________．。