优化方案2017高中数学第三章概率古典概型与几何概型强化训练新人教A版必修3

高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

2017-2018学年高中数学第三章概率3.2 古典概型3.2.1 古典概型优化练习新人教A版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章概率3.2 古典概型3.2.1 古典概型优化练习新人教A版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第三章概率3.2 古典概型3.2.1 古典概型优化练习新人教A版必修3的全部内容。

3。

2。

1 古典概型［课时作业］[A组学业水平达标]1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( ）A．（男，女)，（男,男），(女，女）B．(男，女）,(女，男）C．（男，男)，（男,女)，（女，男)，（女，女）D．（男，男），（女，女)解析：由于两个孩子出生有先后之分．答案：C2．下列试验中，是古典概型的为（)A．种下一粒花生,观察它是否发芽B．向正方形ABCD内,任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合C．从1，2,3，4四个数中，任取两个数,求所取两数之一是2的概率D．在区间［0,5]内任取一点，求此点小于2的概率解析：对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B,正方形内点的个数有无限多个,不满足有限性;对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性,故选C。

答案:C3．甲,乙,丙三名学生随机站在一排，则甲站在边上的概率为（)A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!解析:甲，乙，丙三名学生随机站成一排,基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个，甲站在边上包含的基本事件有:甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，共4个，所以甲站在边上的概率P＝错误!＝错误!＝错误!。

古典概型与几何概型(强化训练)[A 基础达标]1．(2015·高考广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：选B ．记3件合格品为a 1，a 2，a 3，2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P (A )＝610＝0.6. 2．在一个游戏中，有两枚大小相同、质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别写着数字1，2，3，5.同时投掷一次，记x 为两个朝下的面上的数字之和，则x 不小于6的概率为( )A.18 B ．14C.38 D ．12解析：选D.因为骰子是均匀的，所以各面朝下的可能性相等，出现的所有可能情况为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)，共16种．记事件A ＝“x 不小于6”，则其包含的可能情况有：(1，5)，(2，5)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)，共8种，所以P (A )＝816＝12.故选D. 3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为( ) A.12 B ．13C.23 D ．14解析：选B ．在区间[0，1]上随机产生一个数a ，即a ∈[0，1]，要使3a －1<0发生，即a <13成立． 所以由几何概型知使事件“3a －1<0”发生的概率为P ＝符合条件的区间长度所有结果构成的区间长度＝131＝13. 4．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，点F 为边AD 的中点，AE 和BF 相交于点O ，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△AOB 内部的概率等于( )A.110 B ．18C.14 D ．15解析：选D.设AB ＝x ，BC ＝y ，则所求事件涉及相关图形的面积问题．矩形ABCD 的面积为S 矩形ABCD ＝xy .过点O 向AB 作垂线，垂足设为G ，过点E 向AB 作垂线，垂足设为H ，则AD ∥OG ∥EH .在△AEH 中，OG EH ＝AG AH，① 在△ABF 中，OG AF ＝BG AB ，② 又AF ＝12AD ，EH ＝BC ，AH ＝HB ， 结合①②解得OG ＝25y ， 所以△AOB 的面积为S △AOB ＝12AB ×OG ＝15xy . 由几何概型的概率公式得所求的概率为P ＝S △AOB S 矩形ABCD ＝15xy xy ＝15.故选D. 5．对于某次抽奖活动，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，则1张奖券不中特等奖且不中二等奖的概率为( )A ．0.000 1B ．0.000 2C ．0.988D ．0.949解析：选D.由等可能事件的古典概型概率，知P (A )＝11 000＝0.001，P (B )＝101 000＝0.01，P (C )＝501 000＝0.05， 则1张奖券不中特等奖且不中二等奖是指A ＋C ，因为A ＋C 与A ＋C 是对立事件，所以P (A ＋C )＝1－P (A ＋C )＝1－P (A )－P (C )＝1－0.001－0.05＝0.949，即1张奖券不中特等奖且不中二等奖的概率为0.949.故选D.6．如图所示是一台微波炉的操作界面．若一个两岁小孩触碰A ，B ，C 三个按钮是等可解析：本题中总的基本事件，BA ，CA ，BC ，CB }，共9种．记事件E ＝{小孩按两次按钮启动微波炉}，则E ＝{AA ，AB ，BA ，AC ，CA }，共5种．由古典概型的概率计算公式，可得P (E )＝n （E ）n （Ω）＝59. 答案：597．在等腰直角三角形ABC 中，直角顶点为C ，在∠ACB 的内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则满足AM <AC 的概率为________．解析：记“AM <AC ”为事件D ，在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 所在任何位置都是等可能的，则所求事件涉及对应角的角度问题．在AB 上取一点C 1，使得AC 1＝AC ，连接CC 1，则∠ACC 1＝67.5°，而∠ACB ＝90°， 根据几何概型的概率公式，知满足AM <AC 的概率为P (D )＝构成事件D 的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度＝∠ACC 1∠ACB ＝67.5°90°＝34. 答案：348．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．解析：设2名男生为A，B，3名女生为a，b，c，则从5名同学中任选2名的方法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6种，故所求的概率P＝1－610＝2 5.答案：259．北京市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为调查公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查，将调查情况进年龄(岁)[15，30)[30，45)[45，60)[60，75)人数24261614赞成人数1214x 3(2)在(1)的条件下，若从年龄在[45，60)，[60，75)内的两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中至少有1人来自[60，75)内的概率．解：(1)经过该路段的人员中对“交通限行”赞成的人数为12＋14＋x＋3，因为样本中的赞成率为0.40，所以12＋14＋x＋380＝0.40，解得x＝3.(2)记“选中的2人中至少有1人来自[60，75)内”为事件M.设年龄在[45，60)内的3位被调查者分别为A，B，C，年龄在[60，75)内的3位被调查者分别为a，b，c，则从这6位被调查者中抽出2人的情况有{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{c，A}，{c，B}，{c，C}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共15个基本事件，且每个基本事件等可能发生．其中事件M包括{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{c，A}，{c，B}，{c，C}，共12个基本事件，所以选中的2人中至少有1人来自[60，75)内的概率P(M)＝1215＝45.10．在以3为半径的圆内任取一点P为中点作圆的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．解：设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A.在以半径为3的圆内任取一点P的结果有无限个，属于几何概型．如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，再作△BCD的内切圆．则满足“弦长超过圆内接等边三角形边长”的点P在等边△BCD的内切圆内．可以计算得：等边△BCD的边长为3，等边△BCD的内切圆的半径为32，所以事件A构成的区域面积是等边△BCD的内切圆的面积π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝34π，全部结果构成的区域面积是π×(3)2＝3π，所以P(A)＝34π3π＝14，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.[B 能力提升] 1．在2016年的欧洲杯足球赛的小组赛中，英国队与法国队进行足球比赛，若两队平局的概率是14，法国队战输的概率是13，则法国队不胜的概率是( ) A.112 B ．712C.34 D ．23解析：选B ．记事件A 为“法国队不胜”，事件B 为“法国队战输”，事件C 为“两队平局”，则事件B ，C 为互斥事件，所以法国队不胜的概率为P (A )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝14＋13＝712. 2．在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条，则这三条线段能构成三角形的概率为( )A.12 B ．14C.18 D ．116解析：选B ．记“三条线段能构成三角形”为事件M ，设三条线段的长度分别为x ，y ，1－x －y ，因为⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，0<1－x －y <1，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <－x ＋1.① 在平面上建立如图所示的直角坐标系，则不等式组①所表示的平面区域为三角形AOB 内部的区域G ，每一对(x ，y )对应着G 内的点(x ，y )，由题意可知，每一个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型．而三条线段能构成三角形当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x >x ，1－y >y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y >－x ＋12，x <12，y <12，② 不等式组②所表示的平面区域为三角形CDE 内部的区域g .容易求得区域g 的面积为18，区域G 的面积为12，则P (M )＝构成事件M 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积＝g 的面积G 的面积＝1812＝14， 即这三条线段能构成三角形的概率为14.故选B ． 3．一只受伤的候鸟在如图所示(直角梯形ABCD )的草原上飞翔，其中AD ＝3，CD ＝2，BC ＝5，它可能随机落在该草原上任何一处(点)，若落在扇形沼泽区域(图中的阴影部分)CDE 以外候鸟能生还，则该候鸟生还的概率为________．解析：直角梯形ABCD 的面积S 1＝12(3＋5)×2＝8，扇形CDE 的面积S 2＝14π×22＝π，根据几何概型的概率公式，得候鸟生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝8－π8＝1－π8. 答案：1－π84．(选做题)“顶香居”食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级，等级系数X 依次为A ，B ，C ，D ，E .现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验，对其等级X A B C D E频率 0.1 0.2 0.45 0.15 0.1从等级系数为A )．(1)求取出的两件样品是等级系数为A 与D 的概率；(2)求取出的两件样品是不同等级的概率．解：(1)A 级所取的样品数为20×0.1＝2，D 级所取的样品数为20×0.15＝3，E 级所取的样品数为20×0.1＝2.将等级系数为A 的2件样品分别记为a 1，a 2；等级系数为D 的3件样品分别记为x 1、x 2，x 3；等级系数为E 的2件样品分别记为y 1，y 2.现从a 1，a 2，x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这7件样品中一次性任取两件，共有21种不同的结果，分别为{a 1，a 2}，{a 1，x 1}，{a 1，x 2}，{a 1，x 3}，{a 1，y 1}，{a 1，y 2}，{a 2，x 1}，{a 2，x 2}，{a 2，x 3}，{a 2，y 1}，{a 2，y 2}，{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}．记事件M 为“取出的两件样品是等级系数为A 与D ”，则事件M 所包含的基本事件有6种，分别为{a 1，x 1}，{a 1，x 2}，{a 1，x 3}，{a 2，x 1}，{a 2，x 2}，{a 2，x 3}．所以事件M 的概率P (M )＝621＝27. (2)法一：记事件N 为“取出的两件样品是等级系数为A 与E ”，则事件N 所包含的基本事件有4种，分别为{a 1，y 1}，{a 1，y 2}，{a 2，y 1}，{a 2，y 2}，所以事件N 的概率P (N )＝421. 记事件Q 为“取出的两件样品是等级系数为D 与E ”，则事件Q 所包含的基本事件有6种，分别为{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，所以事件Q 的概率P (Q )＝621＝27. 因为事件M ，N ，Q 为互斥事件，所以取出的两件样品是不同等级的概率为P (M ∪N ∪Q )＝P (M )＋P (N )＋P (Q )＝1621. 法二：记事件L 为“取出的两件样品是不同等级”，则事件L －为“取出的两件样品是同等级”，所以事件L －所含的基本事件有5种，分别为{a 1，a 2}，{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，所以事件L －的概率P (L －)＝521， 所以P (L )＝1－P (L －)＝1－521＝1621， 即取出的两件样品是不同等级的概率为1621.。

"山西省芮城县风陵渡中学高一数学 3.2.1古典概型学案新人教A版必修3 "自学要求大体事件⇒等可能事件⇒古典概型⇒计算公式．学习要求1、理解大体事件、等可能事件等概念；正确理解古典概型的特点；二、会用列举法求解简单的古典概型问题；掌握古典概型的概率计算公式。

自学进程一、大体事件：．二、等可能大体事件：。

3、若是一个随机实验知足：（1）；（2）；那么，咱们称那个随机实验的概率模型为古典概型．4、古典概型的概率：若是一次实验的等可能事件有n个，那么，每一个等可能大体事件发生的概率都是；若是某个事件A包括了其中m个等可能大体事件，那么事件A发生的概率为．【课堂展示】例1 一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，(1)共有多少个大体事件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？【分析】可用列举法找出所有的等可能大体事件．【解】例 2 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因尽是d时，才显现矮茎）．【分析】由于第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，能够将各类可能的遗传情形都列举出来．【解】试探：第三代高茎的概率呢？例3 一次抛掷两枚均匀硬币．（1）写出所有的等可能大体事件；（2）求出现两个正面的概率；【解】例4 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．【分析】掷骰子有6个大体事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型．【解】例5 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次掏出后不放回，持续取两次，求掏出的两件产品中恰有一件次品的概率．【解】【小结】利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）（2）追踪训练一、在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（）A．4030B．4012C．3012D．以上都不对二、盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（）A．51B．41C．54D．1013、判断下列命题正确与否.(1)掷两枚硬币,可能出现“两个正面”,“两个反面”,“一正一反”3种结果;(2)某袋中装有大小均匀的三个红球,两个黑球,一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;(3)从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同;(4)别离从3名男同窗,4名女同窗中各选一名作代表,那么每一个同窗被选的可能性相同.4、有甲,乙,丙三位同窗别离写了一张新年贺卡然后放在一路,此刻三人均从中抽取一张.（1）求这三位同窗恰好都抽到他人的贺卡的概率.（2）求这三位同窗恰好都抽到自己写的贺卡的概率.五、抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和是4的倍数的概率（2）点数之和大于5小于10的概率六、现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品。

2017-2018学年高中数学第三章概率3.3 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生优化练习新人教A版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章概率3.3 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生优化练习新人教A版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第三章概率3.3 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生优化练习新人教A版必修3的全部内容。

3.3。

2 均匀随机数的产生[课时作业][A组学业水平达标]1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则（）A．m〉n B．m〈nC．m＝n D．m是n的近似值解析：用随机模拟方法求得几何概型的概率是实际概率的近似值．答案：D2．设x是[0,1］内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3,则x＝错误!对应变换成的均匀随机数是（）A．0 B．2C．4 D．5解析:当x＝错误!时，y＝2×错误!＋3＝4。

答案:C3．已知函数f（x）＝log2x，x∈错误!，在区间错误!上任取一点x0，则使f（x0)≥0的概率为( ）A．1 B.1 2C。

错误! D.错误!解析：由log2x0≥0，得x0≥1，又x0∈错误!，所以1≤x0≤2，所以P＝错误!＝错误!＝错误!，故选C。

答案：C4．如图,曲线OB的方程为y2＝x（0≤x≤1），为估计阴影部分的面积，采用随机模拟方法产生x∈（0，1），y∈（0,1)的200个点(x，y），经统计,落在阴影部分的点共134个，则估计阴影部分的面积是( ）A．0.47 B．0.57C．0.67 D．0.77解析：根据题意,落在阴影部分的点的概率是错误!＝0.67，矩形的面积为1,阴影部分的面积为S，所以S＝0.67.答案:C5．将［0，1]内的均匀随机数转化为[－2，6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )解析：将[0，1］内的随机数转化为［a，b］内的随机数，需进行的变换为答案:C6．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是________．解析:记事件A为“x是负数”，则A的长度为0－（－4)＝4,整个事件长度为2－(－4)＝6，则P(A）＝错误!＝错误!。

3．3 几何概型 3．3.1 几何概型1．问题导航(1)当试验的所有可能结果是无穷多的情况，还能用古典概型来计算事件发生的概率吗？ (2)什么叫几何概率模型？其求解方法是什么？ (3)几何概型有几种模型？ 2．例题导读通过例1的学习，学会如何求解长度型的几何概型的概率．1．几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等． 2．几何概型中事件A 的概率的计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．1．下列概率模型都是几何概型吗？(对的打“√”，错的打“×”) (1)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到1的概率；( )(2)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；( ) (3)从区间[－10，10]中任取出一个数，求取到大于1且小于2的数的概率；( ) (4)向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离正方形的中心不超过1 cm 的概率．( )解析：(1)不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性，且等可能性． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为( )A.13B.12C.14D.23解析：选D.由|x |≤1，得－1≤x ≤1，所以|x |≤1的概率为P (|x |≤1)＝23.3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：设圆的半径为R ，则圆的面积为S ＝πR 2，阴影的面积S 阴＝12·2R ·R ＝R 2，故所求概率P ＝S 阴S ＝R 2πR 2＝1π. 答案：1π4．古典概型与几何概型有何区别？解：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．1．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．2．如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型．3．几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积．与长度有关的几何概型(2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25D.15[解析] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.[答案] B[互动探究] 本例中，若将“X ≤1”改为“|X |≤1”，则概率为多少？解：由|X |≤1，得－1≤X ≤1，由几何概型概率计算公式可得，|X |≤1的概率为P ＝1－（－1）3－（－2）＝25.方法归纳(1)本题的关键是判断事件发生的概率是只与长度有关的几何概型．(2)将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．1．(1)某人从甲地去乙地共走了500米，途经一条宽为x 米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，如果物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是45，则河宽为( )A ．80米B ．100米C ．40米D ．50米解析：选B.该物品能够被找到的路径长为500－x 米，由几何概型知，45＝500－x500，解得x ＝100米，故选B.(2)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．(链接教材P 136例1)解：设A ＝{等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的概率公式得P (A )＝60－5060＝16.即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为16.与面积有关的几何概型(2014·高考辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8[解析] 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.[答案] B方法归纳(1)与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(2)解与面积相关的几何概型问题的三个关键点①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；③套用公式，从而求得随机事件的概率．2．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解：如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形，图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)．所以P (A )＝184600＝2375.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为2375.与体积有关的几何概型一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．[解] 满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P ＝133＝127.方法归纳“体积比”求几何概型的概率是常见题型，通常利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率．3．(1)如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．∵小瓶中有0.1升水，原瓶中有2升水，∴由几何概型求概率的公式得P (A )＝0.12＝0.05.(2)在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机抽取10毫升，则其含有麦锈病种子的概率是多少？解：1升＝1 000毫升，记事件A ＝“取10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”，则P (A )＝101 000＝0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率是0.01.(2014·高考重庆卷)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)[解析] 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.[答案]932[感悟提高]数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符合条件的点集问题)去解决．本题的难点是把两个时间分别用x 、y 两个坐标轴表示，构成平面内的点(x ，y )，从而把时间这一个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题，这种方法是解决这类问题的常用手法，不失为一种好方法．1．如图，在边长为25 cm 的正方形中挖去边长为23 cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，则粒子落在中间带形区域的概率为( )A.529625B.433625C.192625D.96625解析：选D.因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．设A ＝“粒子落在中间带形区域”，则依题意得正方形面积为25×25＝625，两个等腰直角三角形的面积为2×12×23×23＝529，带形区域的面积为625－529＝96，故所求概率为P (A )＝96625. 2．如图所示，四边形ABCD 为矩形， AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是( )A.13B.23C.25D.35解析：选A.连结AC ，交弧DE 于P (图略)．由题意知，∠BAC ＝π6.弧PE 的长度为π6，弧DE 的长度为π2，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是P ＝π6÷π2＝13.3．已知方程x 2＋3x ＋p4＋1＝0，若p 在[0，10]中随机取值，则方程有实数根的概率为( )A.12B.13C.25D.23解析：选A.因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫p4＋1≥0，得p ≤5，所以对应区间[0，5]，长度为5，所以所求概率为510＝12.4．一个球型容器的半径为3 cm ，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9病毒，从中任取1 mL 水，含有H7N9病毒的概率是________．解析：水的体积为43πR 3＝43×π×33＝36π(cm 3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P ＝136π. 答案：136π[A.基础达标]1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A.13B.23C.14D.34解析：选A.记M ＝“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”．如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°.当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P (M )＝3090＝13.3．在2015年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.910解析：选A.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，则A 所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P (A )＝110.4．已知在一个边长为2的正方形中有一个圆，随机向正方形内丢一粒豆子，若落入圆内的概率为0.3，则该圆的面积为( )A ．0.6B ．0.8C ．1.2D ．1.6解析：选C.记“豆子落入圆内”为事件A ，豆子落入正方形内任一点的机会都是等可能的，这是一个几何概型，P (A )＝S 圆S 正，所以S 圆＝P (A )×S 正＝0.3×22＝1.2.因此，圆的面积为1.2.5．(2013·高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12 B.14 C.32D.74解析：选D.由于满足条件的点P 发生的概率为12，且点P 在边CD 上运动，根据图形的对称性当点P 在靠近点D 的CD 边的14分点时，EB ＝AB (当点P 超过点E 向点D 运动时，PB >AB )．设AB ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 交AB 于点F ，则BF ＝34x .在Rt △FBE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2－FB 2＝716x 2，即EF ＝74x ，∴AD AB ＝74.6．(2015·西安质检)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取点，则该点落在三棱锥A 1­ABC 内的概率是______．解析：设正方体的棱长为a ，则所求概率P ＝VA 1­ABC VABCD ­A 1B 1C 1D 1＝13×12a 2·a a 3＝16.答案：167.如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．解析：记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A .构成事件A 的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝60°360°＝16.答案：168.(2014·高考福建卷)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．解析：由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18. 答案：0.189．如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π. 10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中“黄心”的概率为多少？解：因为射中靶面内任一点都是等可能的， 所以基本事件总数为无限个．此问题属于几何概型，事件对应的测度为面积， 总的基本事件为整个箭靶的面积，它的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫12222cm 2；记事件A ＝{射中“黄心”}，它的测度为“黄心”的面积，它的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫12.222cm 2，P (A )＝“黄心”的面积箭靶的面积＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫12.222π⎝ ⎛⎭⎪⎫12222＝1100， 所以射中“黄心”的概率为1100. [B.能力提升]1．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，即可中奖，小明希望中奖，则他应当选择的游戏盘为( )解析：选A.根据几何概型的面积比，A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为（2r ）2－πr 2（2r ）2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．2．(2015·郑州六校联考)如图，扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°，点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，OE ，从图中所有扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A.310B.15C.25D.12 解析：选A.题图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB 、AOC 、AOD 、AOE 、EOB 、EOC 、EOD 、DOC 、DOB 、COB ，其中面积恰为π8的扇形(即相应圆心角恰为π4的扇形)共有3个(即扇形AOD 、EOC 、BOD )，因此所求的概率等于310.3．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为________．解析：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的条件是|x －y |≤15.如图，平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，由几何概型的概率公式得P (A )＝S A S ＝602－45260＝716. 答案：7164．如图，正方形OABC 的边长为2.(1)在其四边或内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈Z ，则事件“|OP |>1”的概率为________．(2)在其内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈R ，则事件“△POA ，△PAB ，△PBC ，△PCO 的面积均大于23”的概率是________．解析：(1)在正方形的四边和内部取点P (x ，y )，且x ，y ∈Z ，则所有可能的事件是(0，- 11 - 0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有n ＝9个，其中满足|OP |>1的事件是(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有m ＝6个，所以满足|OP |>1的概率为P ＝69＝23. (2)在正方形内部取点，其总的事件包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使△POA ，△PAB ，△PBC ，△PCO 的面积均大于23，应该三角形的高大于23，所以这个区域为每个边长从两端各去掉23后剩余的正方形，其面积为23×23＝49，所以满足条件的概率为494＝19. 答案：(1)23 (2)195．2013年度世界新闻人物——斯诺登，他揭露了美国的监听丑闻．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上在开始录音的1 min 内从第30 s 后的某一时刻开始，有10 s 长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了，那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解：记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 发生就是在0到23min 时间段内按错键．P (A )＝2330＝145. 6．(选做题)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 是AB 的中点．一只苍蝇在几何体ADF ­BCE 内自由飞行，求它飞入几何体F ­AMCD 内的概率．解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC .因为V F ­AMCD ＝13S 四边形AMCD ×DF ＝13×12(12a ＋a )·a ·a ＝14a 3，V ADF ­BCE ＝12a 2·a ＝12a 3， 所以苍蝇飞入几何体F ­AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12.。

第三章概率一、课时学习目标知识与技能1、掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念。

2、正确理解事件A出现的频率的意义。

3、正确理解概率的概率和意义，明确事件A发生的频率f n〔A〕与事件A发生的概率P〔A〕的区别与联系。

4、利用概率知识，正确理解现实生活中的实际问题。

过程与方法通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据的过程，培养探索、归纳的能力和自主学习的能力。

情感、态度与价值观1、通过自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系。

2、培养辩证唯物主义观点，增强科学意识。

二、课前预习导学请同学们阅读P108—112，完成以下问题1、事件的有关概念〔1〕必然条件：在条件S下，_________会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；〔2〕不可能事件：在条件S下，__________会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件；〔3〕确定事件：__________事件与___________事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件；〔4〕随机事件：在条件S下，___________的事件叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。

〔5〕_________事件与________事件统称为事件，一般用________表示。

2、概率与频率〔1〕频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的_________，称事件A出现的比例fn〔A〕=nAn为事件A出现的__________，显然频率的取值X围是____________。

〔2〕概率：在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率如果逐渐________在区间［0，1］中的某个______上，这个便称为事件A的概率，用P〔A〕表示，显示概率的取值X围是［0，1］，且不可能事件的概率为_________，必然事件的概率为___________。

第三章概率3.1随机事件的概率3.1.1随机事件的概率1.下列现象是必然现象的是()A.某路口单位时间内发生交通事故的次数B.冰水混合物的温度是1℃C.三角形的内角和为180°D.一个射击运动员每次射击都击中2.一个口袋内装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸出一个球，得到白球”这个事件()A.是必然事件B.是随机事件C.是不可能发生事件D.不能确定是哪种事件3.事件A的概率P(A)满足()A.P(A)＝0B.P(A)＝1C.0<P(A)<1D.0≤P(A)≤14.在100个小球中，白球有98个，黑球有2个.从这100个小球中一次性地取出3 个.(1)写出一个不可能事件：__________________；(2)写出一个必然事件：______________________；(3)记事件C为“至少有1个黑球”，写出事件C包含的白球个数：_____________________.5.下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生的频率就是事件A的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值；⑤频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是不依赖于试验次数的理论值.其中正确的是____________(写序号).6.某中学部分学生参加全国数学联赛的成绩情况如图3-1-2(成绩均为整数，满分120分)，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率是________.图3-1-27.8.(1)若事件“函数y＝a x(a>0，且a≠1)在(－∞，＋∞)上是增函数”是不可能事件，则a满足的条件是____________.(2)事件“圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的点的坐标可使不等式(x－a)2＋(y－b)2<r2成立”是________事件.9.盒中装有4个白球，5个黑球，从中任意取出1个球.问：(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少？10.如图3-1-3，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：图3-1-3(1)(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径？3.1.2 概率的意义1.某地天气预报说：“明天本地降雨的概率为80%”，这是指( ) A.明天该地区约有80%的时间会下雨，20%的时间不下雨 B.明天该地区约有80%的地方会下雨，20%的地方不下雨 C.明天该地区下雨的可能性为80%D.该地区约有80%的人认为明天会下雨，20%的人认为明天不下雨2.小张做四选一的选择题8道，由于全部都不会做，他只能随机选取一个选项，则下列说法正确的是( )A.不可能全选错B.可能全选正确C.每道题选正确的可能性不相等D.一定全选错3.下列说法中，正确的是( )A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨B.“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上C.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖D.在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天4.某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得到的点数之和是几就选几班，这种选法( )A.公平，每个班被选到的概率都为112B.公平，每个班被选到的概率都为16C.不公平，6班被选到的概率最大D.不公平，7班被选到的概率最大5.甲、乙两人玩游戏，袋中装有2个红球，2个白球，现从中(不放回)任取2个球，若同色则甲胜，否则乙胜.那么甲获胜的概率________乙获胜的概率(填“相等”、“大于”、“小于”).6.下列说法中：①任何事件的概率总是在(0,1)之间；②某事件的概率值是主观存在的，与试验次数有关；③概率是随机的，在试验前不能确定.其中错误的是____________(填序号).7.在一次考试中，某班学生的及格率是80%，这里所说的80%是________(填“概率”或“频率”).8.某节能灯生产厂家说其灯泡能点1000小时以上的概率是0.86，这句话中概率的意义是____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________.9.________件产品.10.回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25？为什么？(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25＋0.50＝0.75？为什么？11.(2012年湖南改编)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随(1)确定x，y的值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).3.1.3 概率的基本性质1.抛掷一枚骰子，与事件“点数是偶数”互斥但不对立的事件是( ) A.“点数是奇数” B.“点数是3的倍数” C.“点数是1或3”D.“点数是小于5的偶数”2.抽查10件产品，设事件A 为“至少有2件次品”，则事件A 的对立事件为( ) A.至多有2件次品 B.至多有1件次品 C.至多有2件正品 D.至少有2件正品3.甲、乙两人下棋，甲胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人和棋的概率为( )A.0.6B.0.3C.0.1D.0.54.第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间有来自A 大学2名、B 大学4名的大学生志愿者.现从这6名志愿者中，随机抽取2名到体操比赛场服务，则至少有1名A 大学的志愿者的概率是( )A.115B.25C.35D.14155.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A.A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件B.B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件C.A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件D.A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件 6.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，则该射手在一次射击中，(1)命中10环或9环的概率为________； (2)命中少于7环的概率为________.7.(1)(2)求至多2人排队的概率； (3)求至少2人排队的概率.8.甲、乙两人射击，甲射击一次，中靶概率是p 1，乙射击一次，中靶概率是p 2，已知1p 1，1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，且p 1满足方程p 21－p 1＋14＝0，则甲射击一次，不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________.9.抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数1,2,3,4,5,6)，若事件A 为“朝上一面的数是奇数”，事件B 为“朝上一面的数不超过3”，求P (A ＋B ).下面的解法是否正确？为什么？若不正确，请给出正确的解法. 解：因为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，而P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，所以P (A ＋B )＝12＋12＝1.10.袋中有12个小球，小球上标写有字母a ，b ，c ，d ，且每个小球上都写有唯一字母.从中任取1球，摸到标写字母a 的概率为13，摸到标写字母b 或c 的概率为512，摸到标写字母c 或d 的概率也是512.试求摸到标写字母b ，c ，d 的概率各是多少？3.2 古典概型 3.2.1 古典概型1．在20瓶饮料中，有2瓶是过了保质期的，从中任取1瓶，恰好过保质期的概率为( ) A.12 B.110 C.120 D.1402．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )A.14B.13C.12D.233．(2013年安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戍中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.9104．用红、蓝、绿3种不同颜色给图3-2-2中的3个矩形随机(等可能)涂色，每个矩形只涂1种颜色，则3A.13B.19C.12D.165．有5条线段的长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取的3条线段能构成三角形的概率为________．6．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师的性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．7．从如图3-2-3所示的正六边形ABCDEF 的6个顶点中任取3个，以这3个点为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．图3-2-38．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件C n(2≤n≤5，n∈N)，若事件C n的概率最大，则n的所有可能取值为()A．3 B．4C．2和5 D．3和49．(2013年天津一模)某中学一、二、三年级分别有普法志愿者36人、72人、54人，用分层抽样的方法从这三个年级抽取一个样本，已知样本中三年级志愿者有3人．(1)分别求出样本中一、二年级志愿者的人数；(2)用A i(i＝1,2，…)表示样本中一年级的志愿者，a i(i＝1,2，…)表示样本中二年级的志愿者，现从样本中一、二年级的所有志愿者中随机抽取2人，①用以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况，②抽取的2人在同一年级的概率．3．2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生1．一个三位数字的密码锁，每位上的数字可以是1,3,5,7,9中的一个，某人忘了密码中最后一位号码，则此人开锁时，随意拨动最后一位号码正好能开锁的概率是( )A.110B.18C.16D.152．掷两枚骰子，事件A 为“出现点数之和等于3”，则事件A 的概率为( ) A.112 B.111 C.118 D.1363．从数字1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.13B.14C.12D.234．通过模拟试验，产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，那么表示恰有三次击中目标，那么四次射击中恰有三次击中目标的概率约为____________．5．在5名学生(3名男生、2名女生)中安排2名学生值日，其中至少有1名女生的概率是__________________．6．有三个人，每个人都有相同的可能性被分配到四个房间中的任一间，则三个人都分配到同一房间的概率为________．7．用1,2,3,4四个数字编四位密码(不重复)，则密码恰为连号(1234或4321)的概率为( )A.18B.112C.116D.1248．在箱子中装有10张卡片，分别写有1到10的10个整数．从箱子中任取1张卡片，记下它的读数x ，然后放回箱子中，第二次再从箱子中任意取出1张卡片，记下它的读数y ，则x ＋y 是10的倍数的概率为( )A.12B.14C.15D.1109．盒子里共有大小相同的3个白球，1个黑球，若从中随机摸出两个球，则它们的颜色不同的概率是________．10．某种心脏手术，成功率为0.6，现准备进行三例这样的手术，试用计算机设计模拟试验，并估算：(1)恰好成功一例的概率； (2)恰好成功两例的概率．11．盒中有大小、形状相同的5个白球和2个黑球，用模拟试验方法估算下列事件的概率近似值：(1)任取1球，得到白球； (2)任取3球，恰有2个白球；(3)任取3球(分三次，每次放回后再取)，恰有3个白球．3．3 几何概型1．投镖游戏中的靶子由边长为1 m 的四方板构成，并将此板分成四个边长为12m 的小方块，如图3-3-5，现随机向板中投镖，事件A 表示“投中阴影部分”，则A 发生的概率为( )图3-3-5A.14B.116C.1516D.342．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于S 3的概率是( )A.23B.13 C.34 D.143．(2013年陕西)如图3-3-6，在矩形区域ABCD 的A, C 两点处各有一个通信基站， 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点， 则该地点无信号的概率是( )图3-3-6A ．1－π4 B.π2－1C ．2－π2 D.π44．在(0,1)内任取一个数m ，能使方程x 2＋2mx ＋12＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.12B.14C.22 D.2－22 5．如图3-3-7，在边长为2的正方形中，有一个由封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率为23，则阴影区域的面积为( )图3-3-7A.43B.83C.23D ．无法计算 6．如图3-3-8，在平面直角坐标系xOy 内，射线OT 落在120°的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．图3-3-87．某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站的等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上)．8．已知实数x ，y 可以在0<x <2,0<y <2的条件下随机取数，那么取出的数对(x ，y )满足(x －1)2＋(y －1)2<1的概率是( )A.π4B.4πC.π2D.2π9．一海豚在水池中自由游弋，水池是长为30 m ，宽为20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率为______．10．一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，其中a ∈[0,3]，b ∈[0,2]，求此方程有实根的概率．11．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．第三章 概率3．1 随机事件的概率 3．1.1 随机事件的概率 【课后巩固提升】 1．C 2.B 3.D4．(1)3个球均为黑球(2)3个球中至少有1个白球(3)①白球个数为2个(黑球1个)；②白球个数为1个(黑球2个)5．①④⑤ 解析：频率是概率的一个近似值．对于一个具体事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率．6.716解析：由图可知：总人数为32,90分以上(含90分)的人数为14人，∴该校参赛学生的获奖的概率为716.7．解：从左到右依次填：0．85 0.9 0.87 0.884 0.88由表知：每次用药的有效频率虽然不同，但频率总在0.88的附近摆动，所以该药的有效概率约为0.88.8．(1)a ∈(0,1) (2)必然 9．解：(1)“取出的球是黄球”在题设的条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0.(2)“取出的球是白球”是随机事件，其概率为49.(3)“取出的球是白球或是黑球”在题设的条件下必然会发生，因此它是必然事件，其概率为1.10．解：(1)40分钟不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应概率约为44100＝0.44.(2)(3)121212选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到车站．P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5. ∵P (A 1)>P (A 2)，∴甲应选择L 1. P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9. ∵P (B 1)<P (B 2)， ∴乙应选择L 2.3．1.2 概率的意义 【课后巩固提升】 1．C 2.B 3.D 4.D5．小于 解析：设两红球为r 1，r 2，两白球为b 1，b 2，那么有(r 1，r 2)，(r 1，b 1)，(r 1b 2)，(r 2，b 1)，(r 2，b 2)，(b 1，b 2)共6种结果．其中甲获胜的情况只有2种．6．①②③ 解析：必然事件的概率为1，故①错；概率值是客观存在的，与试验次数无关，故②错；概率是稳定的，③错．7．频率8．指该厂生产的灯泡能点1000小时以上的可能性是86%.9．1000 解析：由表格知：该厂生产的这种产品的合格率大约为95%.10．解：(1)不能．因为甲未命中目标与乙未命中目标有可能同时发生，也就是说，“目标被命中”并不是必然事件，故目标被命中的概率小于1.(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分都是目标被命中，且命中靶的内圈和命中靶的其余部分是不可能同时发生．11．解：(1)由已知，得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， ∴x ＝15，y ＝20.(2)记事件A 为“一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟”，则P (A )＝15＋30＋25100＝0.7，故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟概率为0.7.3．1.3 概率的基本性质 【课后巩固提升】 1．C 2.B3．D 解析：P (“甲不输”)＝P (“甲胜”)＋P (“甲、乙和棋”)， ∴P (“甲、乙和棋”)＝0.9－0.4＝0.5.4．C 设A 大学2名志愿者分别记为a ，b ，B 大学4名志愿者分别记为c ，d ，e ，f .任抽取2人，情况为ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种．记事件A ：“2名大学生来自A 大学”，则P (A )＝115.事件B ：“两名大学生来自两所大学”，则P (B )＝815.∴p ＝P (A )＋P (B )＝35.5．D6．(1)0.44 (2)0.03 解析：(1)p ＝0.21＋0.23＝0.44.(2)p ＝1－(0.21＋0.23＋0.25＋0.28)＝0.03.7．解：(1)至少有一人排队的概率为p 1＝1－0.10＝0.90. (2)至多2人排队的概率为p 2＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56. (3)至少2人排队的概率为p 3＝1－(0.10＋0.16)＝0.74. 8.12 23 解析：由p 21－p 1＋14＝0，得p 1＝12.因为1p 1，1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，所以1p 1·1p 2＝6，所以p 2＝13.因此，甲射击一次，不中靶概率为1－12＝12，乙射击一次，不中靶概率为1－13＝23. 9．解：不正确．事件A 与B 并不互斥． 因为P (A ＋B )＝P (A )＋(B )－P (AB )，而P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，P (AB )＝26＝13，所以P (A ＋B )＝12＋12－13＝23.10．解：从袋中任取1球，记事件“摸到标写字母a 的球”，“摸到标写字母b 的球”，“摸到标写字母c 的球”，“摸到标写字母d 的球”依次为A ，B ，C ，D ，且A ，B ，C ，D 两两互斥．则P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝1－P (A )＝1－13＝23＝P (B )＋P (C )＋P (D )，∴P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.3．2 古典概型 3．2.1 古典概型 【课后巩固提升】1．B 解析：p ＝220＝110.2．B 3.D4．B 解析：p ＝327＝19.5.310解析：从5条线段中任取3条共有10个基本事件，其中能构成一个三角形的有：(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，共3个基本事件，所以p ＝310.6．解：(1)甲校男教师用a ，b 表示，女教师用c 表示；乙校男教师用d 表示，女教师用e ，f 表示．所有选取结果为：(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，共9种．其中性别相同有4种，∴所求事件概率为p 1＝49.(2)所有选取结果为：(a ，b )，(a ，c )，…，(e ，f )，共15种，其中来自同一校有6种，所求概率p 2＝615＝25.7.35 解析：∵共有20个三角形，其中直角三角形有12个，∴p ＝1220＝35. 8．D 解析：计算当n ＝2,3,4,5时基本事件的总数，可知n 取3和4时概率最大．故选D.9．解：(1)依题意，分层抽样的抽样比为354＝118.∴在一年级抽取的人数为36×118＝2(人)．在二年级抽取的人数为72×118＝4(人)．所以一、二年级志愿者的人数分别为2人和4人．(2)①用A 1，A 2表示样本中一年级的2名志愿者，用a 1，a 2，a 3，a 4表示样本中二年级的4名志愿者．则抽取2人的情况为A 1A 2，A 1a 1，A 1a 2，A 1a 3，A 1a 4，A 2a 1，A 2a 2，A 2a 3，A 2a 4，a 1a 2，a 1a 3，a 1a 4，a 2a 3，a 2a 4，a 3a 4，共15种．②抽取的2人在同一年级的情况是A 1A 2，a 1a 2，a 1a 3，a 1a 4，a 2a 3，a 2a 4，a 3a 4，共7种． ∵每一种情况发生的可能性都是等可能的，∴抽取的2人是同一年级的概率为715.3．2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生 【课后巩固提升】 1．D2．C 解析：基本事件共有36种，其中(1,2)，(2,1)为事件A 所含基本事件，∴P (A )＝236＝118. 3．C 解析：从数字1,2,3,4中任取两个不同数字构成两位数的个数为12个，大于30的有31,32,34,41,42,43，共6个，故所求的概率为612＝12.4．25% 解析：本题无法用古典概型解决．表示恰有三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754，共5个数．随机总数总共20个，所以所求概率近似为520＝25%.5．0.7 解析：基本事件总数为10个，设“2名都是男生”为事件A ，“至少有一名女生”为事件B ，则P (B )＝1－P (A )＝1－310＝0.7.6.116解析：三个人分配到四个房间中的所有可能分法为64种，分配到同一间的分法有4种，所求概率为464＝116.7．B 解析：基本事件总数为24，密码连号的个数为2，则p ＝224＝112.8．D 解析：基本事件总数为100，x ＋y 是10的倍数的总数为10，则p ＝10100＝110.9.12 解析：共有6种不同取法，其中颜色不同的取法有3种，∴p ＝36＝12. 10．解：利用计算机(或计算器)产生0至9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3表示不成功，用4,5,6,7,8,9表示成功，这样可以体现成功的概率为0.6.因为做3例手术，所以每3个随机数作为一组，例如产生253,743,780，…，346,843共100组随机数．(1)统计出0,1,2,3出现2个的数组个数为N 1，则恰好成功一例的概率的近似值为N 1100(参考答案为：0.288)．(2)统计出0,1,2,3出现1个的数组个数为N 2，则恰好成功两例的概率的近似值为N 2100(参考答案为：0.432)．11．解：用计算机或者是计算器产生1～7之间取整数值的随机数．用1,2,3,4,5表示白球，用6,7表示黑球．(1)统计随机数的个数n 以及小于6的个数n 1，则n 1n即为任取1球得到白球的概率的近似值．(2)三个一组(每组内数字不重复)，统计总组数m 及恰有两个数小于6的组数m 1，则m 1m为任取3球，恰有2个白球的概率的近似值．(3)三个一组(每组内数字可重复)，统计总组数k 以及三个数都小于6的组数k 1，则k 1k即为恰有3个白球的概率的近似值．3．3 几何概型 【课后巩固提升】 1．A2．A 解析：如图D21，设点D 为AB 的三等分点，要使△PBC 的面积不小于S3，则点P 只能在AD 上选取，由几何概型的概率公式，得所求概率为|AD ||AB |＝23|AB ||AB |＝23.图D213．A 解析：∵扇形ADE 的半径为1，圆心角等于90°，∴扇形ADE 的面积为S 1＝14×π×12＝π4.同理可得，扇形CBF 的面积S 2＝π4.又∵长方形ABCD 的面积S ＝2×1＝2，∴在该矩形区域随机地选一地点，则该地点无信号的概率是p ＝S －(S 1＋S 2)S ＝2－⎝⎛⎭⎫π4＋π42＝1－π4.4．D 解析：Δ>0⇒m >22(m <－22舍去)，∴p ＝1－221＝2－22.5．B 解析：∵S 阴S 正方形＝23，S 正方形＝4，∴S 阴＝83.6．137．解：可以认为人在任何时刻到站是等可能的．设上一班车离站时刻为a ，则该人到站的时刻的一切可能为Ω＝(a ，a ＋5)，若在该车站等车时间少于3分钟，则到站的时刻为g＝ (a ＋2，a ＋5)，P (A )＝g 的长度Ω的长度＝35.8．A 解析：p ＝π×122×2＝π4.9.2375 解析：测度为面积，由图D22，得p ＝1－26×1630×20＝2375.图D2210．解：如图D23，试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，故所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.图D2311．解：以x ，y 分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图D24所示的平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图D24中的阴影部分表示．由几何概型概率公式，得P (A )＝S A S ＝602－452602＝3600－20253600＝716.所以两人会面的概率是716.图D24。

章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为( )①在昨天的田径运动会上，学生张涛获得了100米短跑冠军；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．①在昨天的田径运动会上，学生张涛已获得100米短跑冠军，已是必然事件；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选B ．2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．必然事件解析：选B ．根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．3．下列试验属于古典概型的有( )①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，取出的球为红色的概率；②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；④从一桶水中取出100 mL ，观察是否含有大肠杆菌．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.4．(2016·济南一中检测) 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13 B ．12C.23 D ．34解析：选A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有9个，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为39＝13. 5．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( )A.1225 B ．3899C.1300 D ．1450解析：选C.三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300. 6．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16 B ．13C.23 D ．45解析：选C.设|AC |＝x cm ，0＜x ＜12，则|CB |＝(12－x ) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )＞20，则x 2－12x ＋20＜0，2＜x ＜10，所以所求概率为P ＝10－212＝23，故选C.7．宋庆龄基金会计划给西南某干旱地区援助，六家矿泉水企业参与了竞标．其中A 企业来自浙江省，B ，C 两家企业来自福建省，D ，E ，F 三家企业来自河南省．此项援助计划从两家企业购水，假设每家企业中标的概率相同，则在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是( )A.45 B ．35C.12 D ．15解析：选A.在六家矿泉水企业中，任意选取两家有15种情况，其中至少有一家企业来自河南的有12种情况，故所求概率为45. 8．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A ＝{点落在x 轴上}与事件B ＝{点落在y 轴上}的概率关系为( )A ．P (A )>P (B ) B ．P (A )<P (B )C ．P (A )＝P (B )D ．不确定解析：选C.横坐标为0与纵坐标为0的可能性是一样的．9．(2015·高考全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310 B ．15C.110 D ．120解析：选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选C. 10．小莉与小明一起用A ，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A 立方体朝上的数字为x ，小明掷的B 立方体朝上的数字为y ，来确定点P (x ，y )，那么他们各掷一次所确定的点P (x ，y )落在已知抛物线y ＝－x2＋4x 上的概率为( )A.16 B ．19C.112 D ．118解析：选C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(x ，y )的情况有36种，即P 点有36种可能，而y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，即(x －2)2＋y ＝4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为336＝112.11．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a 2的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是( )A ．1－π4B ．π4C ．1－π8D ．与a 的取值有关 解析：选A.正方形面积为a 2，空白部分面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 224＝πa 24，所以概率为P ＝1－πa24a 2＝1－π4. 12．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为( )A.16 B ．536C.112 D ．12解析：选C.由log 2x y ＝1，得2x ＝y ，其中x ，y ∈{1，2，3，4，5，6}，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，共3种情况， 所以P ＝336＝112，故选C. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2016·浙江十校联考)袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x ，则黑球个数为5－x ，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为310. 答案：31014．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，连接CD ，OC .如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形的拱形面积，S 阴影＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝πR 2，故所求的概率是（π－2）R 2πR 2＝1－2π. 答案：1－2π15．如图为铺有1～36号地板砖的地面，现将一粒豆子随机地扔到地板上，豆子落在能被2或3整除的地板砖上的概率为________．解析：因为能被2整除的有18块，能被3整除的有12块，能被6整除的有6块，所以能被2或3整除的一共有18＋12－6＝24(块)．故所求概率为2436＝23. 答案：2316．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y ＝x 22与两直线x ＝2及y ＝0所围成的阴影部分的面积S ：①先产生两组0～1的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ；②做变换，令x ＝2a ，y ＝2b ；③产生N 个点(x ，y )，并统计满足条件y ＜x 22的点(x ，y )的个数N 1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N ＝1 000时，N 1＝332，则据此可估计S 的值为________．解析：根据题意：满足条件y ＜x 22的点(x ，y )的概率是3321 000，正方形的面积为4，则有S 4≈3321 000，所以S ≈1.328. 答案：1.328三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率．(1)所得的三位数大于400；(2)所得的三位数是偶数．解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．(1)大于400的三位数的个数为4，所以P ＝46＝23. (2)三位数为偶数的有156，516，共2个，所以相应的概率为P ＝26＝13. 18．(本小题满分12分)设M ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，任取x ，y ∈M ，x ≠y .求x ＋y 是3的倍数的概率．解：利用平面直角坐标系列举，如图所示．由此可知，基本事件总数n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x ＋y 是3的倍数的情况有m ＝15(种)，故所求事件的概率为m n ＝13. 19．(本小题满分12分)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶，该靶为正方形板，边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到馅饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客：(1)赢得一个大馅饼，(2)赢得一个中馅饼，(3)赢得一个小馅饼，(4)没得到馅饼的概率．解：试验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示．如图表明R 和子区域r 1、r 2、r 3和r 4，它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件．(1)P (r 1)＝r 1的面积R 的面积＝π（1）2182＝π324； (2)P (r 2)＝r 2的面积R 的面积＝π（2）2－π（1）2182＝3π324＝π108； (3)P (r 3)＝r 3的面积R 的面积＝π（3）2－π（2）2182＝5π324；(4)P (r 4)＝r 4的面积R 的面积＝324－π（3）2182＝1－9π324＝1－π36. 20．(本小题满分12分)(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买表示未购买．(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3. (3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．21．(本小题满分12分)已知集合Z ＝{(x ，y )|x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]}．(1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y ≥0的概率；(2)若x ，y ∈R ，求x ＋y ≥0的概率．解：(1)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0，2]，即x ＝0，1，2；y ∈[－1，1]，即y ＝－1，0，1.则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个，所以P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89. (2)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件B ，因为x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．所以P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD ＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD ＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78. 22．(本小题满分12分)2016年全国政协会议期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x 、y ，且x <y ”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)，共36个．(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，即事件A 为“x ，y ∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x ＋y <17，其中x <y ”，由(1)可知事件A 共含有15个基本事件，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，共15个．“都是男记者”记作事件B ，则事件B 为“x <y ≤5”，包含：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．故P (A )＋P (B )＝1536＋1036＝2536. 故所求概率为2536.。