高中数学必修三：几何概型.

n何M型这是古典概型，它是这样定义的:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2 )每个基本事件出现的可能性相等.其概率计算公式:A包含的基本事件的个数P(A)=基本事件的总数丿下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为10cm，黄心半径为lcm•现一人随机射箭,假设A 对应区域的面积试验全部结果构成区土鲂勺面积 每箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的， 设“射中黄心”为事件A100500m 冰样中有一只草履虫*从中随机取 出2ml 水样放在显微镜下观察，问发现草履 虫的概率?设“在2ml 水样中发现草履虫”为事A 对应区域的体积 二2试验全部结果构成区域勺体积二亦不是古典概型!1 250某人在7： 00-8： 00任一时刻随机到达单位, 问此人在7： 00-7： 10到达单位的概率？设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件APQ4）二 A 对应区域的长度1 _试验全部结果构成区土勒勺长度—6问此人在入50-8： 00到达单位的概率?探究 类比古典概型,这些实验有什么特点?概率如何计算?1比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm,随机射箭, 假设每箭都能中靶，射中黄心的概率500ml水样放在显微镜下观察，发现草履虫的概率某人在7： 00-8： 00任一时刻随机到达单位，此人在7： 00-7：10到达单位的概率几何概型定义几何概型的特点:在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下~'V-总长度3几何概型P = 2/3问题：(1) x的取值是区间［1,4］中的整数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概(2) x的取值是区间［1,4］中的实数，任取一个x的值，求“取得值大于2"的概率。

率。

1 2 3 4丿•问题3：有根绳子长为3米，拉直后任意剪成两段，每段不小于1米的概率是多少？P (A)=1/3思考:怎么把随机事件转化为线段？例2 (1) x和y取值都是区间口,4］中的整数，任取一个X的值和一个y的值，求"x-y>1 ”的概率。

《3.3 几何概型》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在掷一枚公平的六面骰子的实验中，事件A为“掷出的点数为偶数”，事件B 为“掷出的点数大于3”。

那么事件A与事件B的关系是：A、互斥事件B、对立事件C、相互独立事件D、互不相交事件2、在掷一枚均匀的骰子两次的实验中，事件A：“至少掷出一个6点”与事件B：“两次掷出的点数相同”的概率分别为P(A)和P(B)，则下列结论正确的是（）A、P(A) > P(B)B、P(A) < P(B)C、P(A) = P(B)D、无法确定P(A)与P(B)的大小关系3、在区间[0,4]上随机取一个实数，则该数大于1的概率是（）)A.(14)B.(34)C.(12)D.(134、从装有5个红球、4个蓝球和3个黄球的袋子里，随机取出2个球，取出的两个球颜色相同的概率是：A. 5/21B. 8/21C. 12/21D. 15/215、在一个圆盘上随机投针，圆盘的半径为10cm，针的长度为6cm，恰好针完全落在圆盘内的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.66、在下列四个事件中，属于古典概型的是（）A、抛掷一枚硬币，它落地时是正面的概率B、从一副52张的扑克牌中，随机抽取一张，抽取到红桃的概率C、从0,1,2,3,4中任取两个不同的自然数，所取得的两个数的和为偶数的概率D、从10000个零件中随机抽取一个，它是合格品的概率7、在等边三角形ABC中，D为BC边上的中点，E为AD上的中点，F为CE的延长线与AB的交点，若AB=6，则AF与BF的比值是：A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:18、在一个正方形中，随机取一点，该点距离正方形中心的距离与正方形边长的比值是：A. 0.5B. 0.1C. 0.4D. 0.6二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在下列事件中，属于几何概型的是（）A. 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率B. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率C. 从0到1之间随机取一个数，这个数小于0.5的概率D. 从5个不同的球中随机抽取3个，抽到3个特定颜色的概率2、设在长为2的线段上随机取两个点，将线段分为三段，若这三段可以构成三角形的概率为P，则P的值为：A、1/4B、1/2C、1/3D、1/63、在一个等边三角形ABC中，内角A的对边长度为8cm，现从顶点A向BC边引一高AD，并假设在BC边上有一点P使得AP与AD垂直。

高二数学 第三章第3节几何概型 理 知识精讲人教新课标A 版必修3一、学习目标：（1）了解几何概型的概念及基本特点 （2）熟练掌握几何概型中概率的计算公式 （3）会进行简单的几何概率计算（4）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想二、重点、难点：重点：掌握几何概型中概率的计算公式；并能进行简单的几何概率计算。

难点：将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题。

三、考点分析：本部分内容是新增的内容，对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以在练习时，侧重于一些简单的试题即可。

（1）区别古典概型与几何概型（2）理解随机模拟求几何概型的概率1、几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的可以几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则可以理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。

这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型。

2、几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。

3、几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度。

说明：（1）D 的测度不为0；（2）其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积。

（3）区域为“开区域”；（4）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。

4、模拟计算几何概型的步骤： （1）构造图形（作图）；（2）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率m n； （3）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度算出相应的量。

几何概型知识集结知识元几何概型知识讲解1．几何概型1．定义：若一个试验具有下列特征：（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）＝称为事件A的几何概率．例题精讲几何概型例1.设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）<1的概率为（）A．B．C．D．例2.一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，如图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为（）A．2 B．3 C．4 D．5例3.'已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），求当x，y∈R时，P满足（x-2）2+（y-2）2≤4的概率．' 当堂练习单选题练习1.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的文化信息，现有一幅剪纸的设计图（如图），其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的邻边，若在该正方形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．（3-2）（π-2）D．练习2.已知正数a，b均小于2，若a、b、2能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形的三条边长的概率是（）A．B．C．D．练习3.如图，在矩形OABC中的曲线分别是y=sin x，y=cos x的一部分，A（，0），C（0，1），在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则（）A．P1<P2B．P1>P2C．P1=P2D．大小关系不能确定练习4.利用Excel产生两组[0，1]之间的均匀随机数：a=rand（），b=rand（）：若产生了2019个样本点（a，b），则落在曲线y=1、y=和x=0所围成的封闭图形内的样本点个数估计为（）A．673 B．505 C．1346 D．1515练习5.将曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ，曲线x2+y2=1围成的区域记为Ⅱ，曲线x2+y2=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，则（）A．p1+p2>1 B．p1+p2<1C．p1+p2=1 D．p1=p2填空题练习1.中国最早的一部数学著作《周髀算经》的开头就记载了利用赵爽弦图证明了勾股定理，赵爽弦图（如图所示）是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成若在大正方形中随机取一点该点落在阴影部分的概率为，则直角三角形中较小角的正切值为__．_练习2.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为α，现_向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为，则cosα=__练习3.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为___．练习4.已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[-1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆_C相交”发生的概率为__解答题练习1.'已知两数f（x）=ax2-bx+1．（1）若a，b都是从集合{0，1，2，3}中任取的一个数，求函数f（x）没有零点的概率；（2）分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b），若P={x|1≤x≤3}，Q={x|0≤x≤4}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．'练习2.'已知函数f（x）=ax+b∙2x-2，其中，0≤b≤4．（1）当a=1时，求函数f（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立的概率；（2）当0≤a≤2时，求函数f（x）在区间x∈[0，1]上有且只有一个零点的概率．'练习3.'袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个，从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（1）记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；（2）在区间[0，2]内任取2个实数x，y，记（a-b）2的最大值为M，求事件“x2+y2<M”的概率．'。

《几何概型》教学设计教学内容分析:本课时教材选自人教A版数学必修3第三章概率部分第3．3节的内容．几何概型是概率必修章节的收尾篇，共有两个课时，本节课为第一课时,它是继古典概型之后学习的另一类等可能概型；是教材新增加的内容，对它的要求仅限于初步体会几何概型的意义．几何概型的研究，是古典概型的拓广，将古典概型试验结果有限个拓广到无限个；课本介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用随机的观念去观察、分析、研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法．一.学生学习情况分析:学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型,初步学会了用古典概型公式解决概率题,大多数学生对于概率的学习以及概率试验产生了浓厚的兴趣,逐渐会把一些问题模型化．但是学生在探究问题的能力，应用数学的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强．二.设计思想:建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。

也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构．基于以上理论，本节课遵循引导发现、循序渐进的思路，采用问题探究式教学，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型公式，运用实物、多媒体辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式．具体流程如下:→→→三.教学过程设计:课题引入：你出行要坐公交车，如果公交车每15分钟一班，其中包括公交车在站台等待的时间3分钟，你到站台的任意时刻是等可能的，那么你刚到站台，就能坐上车，不用等待的概率是多少呢？（基本事件有无限多个，故不是古典概型）教师:这个模型就是我们今天要学习的几何概率模型，简称几何概型．导入新课问题情境[情景一]教师取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，使得剪出的两段的长都不小于一米(记为事件A)，求此事件发生的概率．师生共同探究:此试验中，从每一个位置剪断都是一个试验结果，剪断位置可以是绳子上任一点，试验的可能结果为无限个，发现不是古典概型，不可以用古典概型的方法求解．探索：如图所示，把绳子三等分，于是当剪断位置在中间一段时，事件A 发生，于是1()3P A 中间线段长度＝整条线段长度[情景二]十一节期间，“XX 百货”超市为了扩大知名度，特意举行了大型的购物抽奖促销活动，有的顾客在购物后抽奖时，有点犯蒙了，原来聪明的商家为促销活动设计了三种方案：飞镖游戏：如图所示，规定顾客射中红色区域表示中奖 聪明的你能帮他们分析一下选择哪种方案中奖的概率大？五等分 圆心角之比为1:2:3 半径之比为1:2问题1：在三种情况下某顾客中奖的概率分别是多少?学生思考并回答,可见在图中,顾客中奖的概率分别为51、61、41 问题2：上述每个红色区域对应的位置和形状都是不同的，从结论来看，顾客中奖的概率与红色区域的哪个因素有关？哪些因素无关？（与面积有关，与其位置和形状无关）[情景三]一只小蜜蜂在一棱长为6cm 的正方体笼子里飞，它距笼边大于1cm 的概率是多少?问题3同学们观察对比，找出三个情景的共同点与不同点？问题4同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型？【设计意图】三个情景设置让学生发现试验的结果有无限个,此发现它们不是古典概型, 无法用古典概型的方法求解，然后师生探索此问题怎样解决，最后教师点题：这就是我们今天要学习的几何概型． 情境一的设计是从长度方面考虑问题,是为了引入概念，情境二、三的设计从面积和体积方面考虑问题,是为了让学生全面了解几何概型的概念，并且渗透数形结合的数学思想方法．小组的讨论是为了培养学生的合作意识和团队精神．(二)概念形成在问题情景的铺垫下,教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型．A 发生的概率的计算公式为：A ()P A =构成事件的区域长度(面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）【设计意图】通过用表格列出相同和不同点，既体现了数学中类比的思想又能让学生更好的了解几何概型，从而突出教学重点．通过递进式地设置问题，使学生将实际问题转化成数学概念,体验到了探寻数学规律的乐趣,加深了学生对概念的了解和对公式的探究，突出教学重点．(三)实际应用例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率．（此例师生共同探讨解决）解完此例题后归纳求解几何概型问题的步骤：记事件例2一海豚在水中自由游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边超过2m 的概率．（此例先让学生独立思考，然后教师再画龙点睛的分析并求解）课堂训练:1．如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.2、你出行要坐公交车，如果公交车每15分钟一班,其中包括公交车在站台等待的时间3分钟，那么你刚到站台，就能坐上车，不用等待的概率是多少呢？【设计意图】实际应用部分有问题,有例题,也有学生的训练,练习2的设计是为了让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学;例题的设置让学生对几何概型的题目有了更深刻的理解,认识到几何概型主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，几何度量中到底是长度、面积还是体积呢？我们要认真加以判断,要学会用数形结合的思想解决概率问题．(四)课堂小结教师引导学生反思:本节课我们学了什么?学会了什么?1.几何概型的定义、计算公式如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成 比 例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P )( 2.注意理解几何概型与古典概型的区别。