人教版高中数学必修三 习题：第三章3.3几何概型

《3.3 几何概型》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在掷一枚公平的六面骰子的实验中，事件A为“掷出的点数为偶数”，事件B 为“掷出的点数大于3”。

那么事件A与事件B的关系是：A、互斥事件B、对立事件C、相互独立事件D、互不相交事件2、在掷一枚均匀的骰子两次的实验中，事件A：“至少掷出一个6点”与事件B：“两次掷出的点数相同”的概率分别为P(A)和P(B)，则下列结论正确的是（）A、P(A) > P(B)B、P(A) < P(B)C、P(A) = P(B)D、无法确定P(A)与P(B)的大小关系3、在区间[0,4]上随机取一个实数，则该数大于1的概率是（）)A.(14)B.(34)C.(12)D.(134、从装有5个红球、4个蓝球和3个黄球的袋子里，随机取出2个球，取出的两个球颜色相同的概率是：A. 5/21B. 8/21C. 12/21D. 15/215、在一个圆盘上随机投针，圆盘的半径为10cm，针的长度为6cm，恰好针完全落在圆盘内的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.66、在下列四个事件中，属于古典概型的是（）A、抛掷一枚硬币，它落地时是正面的概率B、从一副52张的扑克牌中，随机抽取一张，抽取到红桃的概率C、从0,1,2,3,4中任取两个不同的自然数，所取得的两个数的和为偶数的概率D、从10000个零件中随机抽取一个，它是合格品的概率7、在等边三角形ABC中，D为BC边上的中点，E为AD上的中点，F为CE的延长线与AB的交点，若AB=6，则AF与BF的比值是：A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:18、在一个正方形中，随机取一点，该点距离正方形中心的距离与正方形边长的比值是：A. 0.5B. 0.1C. 0.4D. 0.6二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在下列事件中，属于几何概型的是（）A. 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率B. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率C. 从0到1之间随机取一个数，这个数小于0.5的概率D. 从5个不同的球中随机抽取3个，抽到3个特定颜色的概率2、设在长为2的线段上随机取两个点，将线段分为三段，若这三段可以构成三角形的概率为P，则P的值为：A、1/4B、1/2C、1/3D、1/63、在一个等边三角形ABC中，内角A的对边长度为8cm，现从顶点A向BC边引一高AD，并假设在BC边上有一点P使得AP与AD垂直。

分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.下列概率模型中,几何概型的个数为( B )①从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到1的概率;②从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;③从区间[-10,10]内任取出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离中心不超过1 cm 的概率.A.1B.2C.3D.42.两根电线杆相距100 m,若电线遭受雷击,且雷击点距电线杆10 m之内时,电线杆上的输电设备将受损,则遭受雷击时设备受损的概率为 ( B )A.0.1B.0.2C.0.05D.0.53.在长为10厘米的线段AB上任取一点G,以AG为半径作圆,则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( D )A. B. C. D.4.用计算器或计算机产生20个[0,1]之间的随机数,但是基本事件都在区间[-1,3]上,则需要经过的线性变换是( D )A.y=3-1B.y=3+1C.y=4+1D.y=4-15.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=( D )A. B. C. D.6.有四个游戏盘,如下图所示,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖,小明希望中奖机会大,他应当选择的游戏盘为 ( A )7.如图,图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD 是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是,则此长方体的体积是 3 .8.一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全;若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是.9.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机取点,则该点落在三棱锥A 1-ABC 内的概率是.10.如图所示,在直角坐标系内,射线OT 落在60°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA 落在∠OT 内的概率是.11.(1)从区间(0,5)内任意选取一个实数,求事件“9>27”发生的概率.(2)从区间(0,8)内任取一个整数,求事件“lo >-2”发生的概率.【解析】(1)由9>27,解得>log 927,即>.由几何概型可知,所求概率为P 1==.(2)由lo >-2,所以0<<4.则在区间(0,8)内满足不等式的整数为1,2,3共3个.故由古典概型可知,所求概率为P=.12.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,棱长为1,在正方体内随机取一点M,求使M-ABCD 的体积小于的概率.【解析】设点M 到面ABCD 的距离为h,则=·h=,即h=.所以只要点M 到面ABCD 的距离小于时,即满足条件.所有满足点M 到面ABCD 的距离小于的点组成以面ABCD 为底,高为的长方体,其体积为.又因为正方体体积为1,所以使四棱锥M-ABCD 的体积小于的概率为P==.B 组 提升练(建议用时20分钟)13.在区间[-1,1]上任取两数和y,组成有序实数对(,y),记事件A 为“2+y 2<1”,则P(A)等于( A )A. B. C.π D.2π14.球O 与棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个面均相切,如图,用平行于底面的平面截去长方体A 2B 2C 2D 2-A 1B 1C 1D 1,得到截面A 2B 2C 2D 2,且A 2A=a,现随机向截面A 2B 2C 2D 2上撒一粒黄豆,则黄豆落在截面中的圆内的概率为 ( B )A. B. C. D.15.方程2++n=0(n∈(0,1))有实根的概率为.16.有一个圆面,圆面内有一个内接正三角形,若随机向圆面上投一镖都中圆面,则镖落在三角形内的概率为.17.设有一个等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是4cm,现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率.【解析】记A={硬币落下后与格线没有公共点},如图,在边长为4cm的等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则等边三角形A′B′C′的边长为4-2=2,当硬币的中心落在△A′B′C′内时,硬币与格线没有公共点.由几何概率公式得;P(A)==.18.已知函数f()=-2+a-b.(1)若a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率.(2)若a,b都是从区间[0,4]任取的一个数,求f(1)>0成立的概率.【解析】(1)a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N=5×5=25(个).函数有零点的条件为Δ=a2-4b≥0,即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.所以事件“a2≥4b”的概率为P=.(2)因为a,b都是从区间[0,4]上任取的一个数,f(1)=-1+a-b>0,所以a-b>1,此为几何概型,所以事件“f(1)>0”的概率为P==.C组培优练(建议用时15分钟)19.如图,在一个边长为a,b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为a与a,高为b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为.20.设关于的一元二次方程2+2a+b2=0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.【解析】设事件A为“方程2+2a+b2=0有实根”,当a≥0,b≥0时,此方程有实根的条件是a≥b.(1)全集Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2), (3,0),(3,1),(3,2)},共12个,其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,事件A={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共9个,故P(A)==.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},而构成A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},即如图所示的阴影部分,所以P(A)==.。

第三章 概率3.3 几何概型一、选择题1．在500 ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 ml 冰样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 A ．0.5B ．0.4C ．0.004D ．不能确定2．若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三两天的工作时间均不少于7小时的概率是 A ．29B ．13C ．49D ．793．在区间[1，4]上随机取一个数x ，则事件“log 4x ≥12”发生的概率为 A ．13B ．23C ．12D ．344．在平面直角坐标系xOy 中，设D ={（x ，y ）||x |≤2，|y |≤2}，E ={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是A ．4πB ．16πC ．8πD ．216π5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．186．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，则这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为 A ．310B ．15C ．25D ．457．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是 A ．1 4B ．1 8C ．1 10D ．1 128．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为()r r a <的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率 A ．r aB ．2r a C ．a ra -. D ．2a ra- 9．设A 为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A 连接，则弦长不超过半径的概率为A ．18B ．14C ．13D ．1210．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A ．B ．C ．D ．11．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则P 到四个顶点的距离均大于2的概率是A ．44-πB ．14C ．34-πD ．1812．在半径为2的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是 A ．13B ．34C ．12D ．3213．某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上7∶40至8∶00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早5分钟到校的概率为A．932B．12C．364D．564二、填空题14．一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__________．15．记函数f（x）D．在区间[–4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是__________．16．在[–1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x–5）2+y2=9相交”发生的概率为__________．17．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于56的概率是___________．18．两人相约8时至9时之间在某地会面，先到者等候后到者15min，过时就可离开，则这两人能会面的概率为___________．三、解答题19．已知有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1]上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3]上的诸数字.旋转陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于[0.5，1.5]上的概率.20．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：（1）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；（2）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．。

1．下面关于几何概型的说法错误的是( )A ．几何概型也是古典概型的一种B ．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D ．几何概型中每个结果的发生具有等可能性解析：古典概型属有限等可能性，而几何概型是无限等可能，所以几何概型不能划到古典概型之列． 答案：A2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒，当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )A.112B.38C.116D.56 解析：530＋45＋5＝580＝116. 答案：C3．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是( )A.13B.23C.14D.18解析：地板砖共有3×4＝12块，黑色有4块．∴412＝13. 答案：A4．一条河上有一个渡口，每隔一小时有一趟渡船，河的上游还有一座桥，某人到这个渡口等候渡船，他准备等候20分钟，如果20分钟渡船不到，他就要绕到上游从桥上过河．则他乘船过河的概率是__________．解析：2060＝13. 答案：135．在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________ (结果保留整数)．解析：设正方形边长为2a ，则S 正＝4a 2，S 圆＝πa 2.因此芝麻落入圆内的概率为P ＝πa 24a 2＝π4，大约有1 000×π4≈785粒． 答案：7856．将一长为 18 cm 的线段随机地分成三段，则这三段能组成一个三角形的概率是多少？解：假设x 与y 表示三个长度中的两个，因为是长度，所以应有：x >0，y >0和x ＋y <18，即所有x 和y 值必须在如图所示的以(0,18)，(0,0)和(18,0)为顶点的三角形内．要组成三角形，由组成三角形的条件知，x 和y 都小于9，且x ＋y >9(如图所示的阴影部分)，又因为阴影部分三角形的面积占大三角形面积的14，故能够组成三角形的概率为0.25.。

第三章 3.3 3.3.1一、选择题1．下面关于几何概型的说法错误的是( ) A ．几何概型也是古典概型的一种B ．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D ．几何概型中每个结果的发生具有等可能性 [答案] A[解析] 几何概型基本事件的个数是无限的，而古典概型要求基本事件有有限个，故几何概型不是古典概型，故选A.2．平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23[答案] B [解析] 如图，要使硬币不与平行直线l 1、l 4中任何一条相碰，则应使硬币的中心在两平行线l 2、l 3之间，故所求概率为P ＝13.3．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为( )A ．18B ．79C ．29D ．716[答案] C[解析] 由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题．这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共9块，显然小狗停在涂色方砖的概率为29.故选C.4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A ．14B ．12C ．34D ．23[答案] C[解析] 如下图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′内运动，则所求概率为P ＝AP ′AB ＝34.故选C.5．在1 000mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1[答案] B[解析] 由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出的2mL 水样中有草履虫”，属于几何概型．∴P (A )＝水样的体积总体积＝21 000＝0.002.6．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45[答案] C[解析] 本题考查几何概型．设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x ) cm ，∴x (12－x )＝20，解得x ＝2或x ＝10，故所求概率P ＝12－2－212＝23.二、填空题7. (2014·福建文，13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．[答案] 0.18[解析] 由几何概型的概率可知，所求概率P ＝S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∴.S 阴＝0.188．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间 [0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于⎣⎡⎦⎤12，32上的概率是____________．[答案] 38[解析] 由题意，记事件A 为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于⎣⎡⎦⎤12，32”．设圆的周长为C ，则P (A )＝12×12C ＋14×12C C ＝38.三、解答题9．某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率．[解析] 由于是随机投掷飞镖，故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示．记“飞镖落在阴影内”为事件A ，则P (A )＝ △ECD 的面积正方形的面积＝14.一、选择题1．如图所示，设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是()A ．34B ．12C ．13D ．35[答案] B[解析] 由图可知，符合条件的点应在与点A 相对的另一半圆弧BC 上，BC圆O 周长＝12.故选B.2．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为()A ．12B ．23C ．32D ．14[答案] B[解析] 如图所示，当AA ′长度等于半径时，A ′位于B 或C 点，此时∠BOC ＝120°，则优弧BC ＝43πR ，∴满足条件的概率P ＝43πR 2πR ＝23，故选B.3．已知直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距在区间[－2,3]内，则直线在y 轴上的截距b 大于1的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45[答案] B[解析] 由几何概型的概率公式知，所求概率P ＝3－13－(－2)＝25.4．设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率是( )A ．0B ．1C ．59D ．49[答案] C[解析] 如图所示，硬币落下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为4 cm 的正方形)内，其概率为1636＝49，故硬币落下后与格线有公共点的概率为1－49＝59，故选C. 二、填空题5．如图所示，大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形即阴影部分，较短的直角边长为2，向大正方形的投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为____________．[答案]113[解析] 阴影部分面积为1，故所求概率为113.6．(2014·重庆文，15)某校早上开始上课，假设该校学生小张与小王在早上～之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5min 到校的概率为________．(用数字作答)[答案]932[解析] 设小张到校时间是－任意时刻x ，小王到校时间是－任意时刻y ，则x 、y ∈[0,20]的任意实数，因为x 在该时间段的任何时刻到校是等可能的，故为几何概型事件“小张比小王至少早到5min ”为事件A ，即y －x ≥5，如图所示Ω和事件对应测度为∴所求概率P (A )＝12×15×1520×20＝932.三、解答题7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．[解析] ∵假设他在0分～60分钟这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．设事件A ＝“等待时间不多于10分钟”，事件A 发生是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，所以μA ＝60－50＝10，μΩ＝60.所以P (A )＝μA μΩ＝1060＝16.8．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解析] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为 P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}． 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }即如右图的阴影区域所示，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。

第三章概率3.3 几何概型一、选择题1．在500 ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 ml冰样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定【答案】C【解析】由于取水样的随机性，因此所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即赢20.004 500．2．若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三两天的工作时间均不少于7小时的概率是A．29B．13C．49D．79【答案】C3．在区间[1，4]上随机取一个数x，则事件“log4x≥12”发生的概率为A．13B．23C．12D．34【答案】B【解析】由log 4x ≥12，得x ≥2，∴在区间[1，4]上随机取一个数x ，事件“log 4x ≥12”发生的概率为P =422413-=-．故选B ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，设D ={（x ，y ）||x |≤2，|y |≤2}，E ={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是A ．4πB ．16πC ．8πD ．216π【答案】B【解析】区域D 为正方形，对应的面积S =4×4=16，区域E 为圆，对应的面积S =π×12=π，则向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率P =16π，故选B ．5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．18【答案】A【解析】设AB =2，则BC =CD =DE =EF =1，∴S △BCI =12×22×22=14，S 平行四边形EFGH =2S △BCI =2×14=12，∴所求的概率为P =BCI EFGHABCDS S S +△平行四边形正方形=114222+⨯=316．故选A ． 6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，则这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为 A ．310B ．15C ．25D ．45【答案】B【解析】所有的事件的区域长度为10cm ，其中面积介于25cm 2与49cm 2之间的区域长度为7–5=2(cm).所以所求概率为21105=． 7．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是 A ．1 4B ．1 8C ．1 10D ．1 12【答案】B【解析】一昼夜可以进港的时间为3个小时，一昼夜有24个小时，故所求概率为31248=． 8．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为()r r a <的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率 A ．r aB ．2r aC ．a ra-. D ．2a ra- 【答案】C【解析】取两条平行线的中心线，再以这条线为中心在其两边各作一条距中心线距离为(a –r )的平行线，只要硬币圆心在这两条平行线内就满足题意，故所求概率为a ra-． 9．设A 为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A 连接，则弦长不超过半径的概率为A ．18B ．14C ．13D ．12【答案】C【解析】在圆上其他位置任取一点B ，设圆半径为R ，则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR ，其中满足条件AB 的长度不超过半径长度的对应的弧长为13•2πR ，则AB 弦的长度不超过半径长度的概率P =13．故选C ． 10．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A．B．C．D．【答案】A【解析】要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A，概率P=38，B，概率P=2184=，C，概率P=2163=，D，概率P=13，则概率最大的为38，故选A．11．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则P到四个顶点的距离均大于2的概率是A．44-πB．14C．34-πD．18【答案】A12．在半径为2的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是A．13B3C．12D3【答案】C【解析】如图所示：圆的半径为2，设圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为1，设EF为与CD平行且到圆心O 距离为1的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P=12，故选C．13．某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上7∶40至8∶00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早5分钟到校的概率为A．932B．12C．364D．564【答案】A【解析】设小明到校的时间为x，小方到校的时间为y；（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积为S=20×20=400，则小明比小方至少早5分钟到校为事件A={x|y–x≥5}；作出符合题意的图象，如图所示，则符合题意的区域为△ABC，联立560y xy-=⎧⎨=⎩得C（55，60），由540y xx-=⎧⎨=⎩得B（40，45），则S△ABC=12×15×15，由几何概率模型可知小明比小方至少早5分钟到校的概率为P=1151522020⨯⨯⨯=932．故选A．二、填空题14．一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__________．【答案】6π【解析】如图，设正方体的棱长为2a，则其内切球的半径为a，则33483V a V aπ==正方体球，，∴蜜蜂“安全飞行”的概率为P=334386aVV aππ==球正方体．故答案为：6π．15．记函数f（x）=26x x+-定义域为D．在区间[–4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是__________．【答案】59【解析】由6+x–x2≥0得x2–x–6≤0，得–2≤x≤3，则D=[–2，3]，则在区间[–4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P=()()3254----=59，故答案为：59．16．在[–1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x–5）2+y2=9相交”发生的概率为__________．【答案】3417．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于56的概率是___________．【答案】2572【解析】设两个数分别为,x y,则(,x y)对应的区域是边长为1的正方形，面积为1，两数之和小于56的区域为图中阴影部分，面积为2572，故两数之和小于56的概率是252572172=．18．两人相约8时至9时之间在某地会面，先到者等候后到者15 min，过时就可离开，则这两人能会面的概率为___________．【答案】716【解析】设两个人到达的时间分别为,x y，总的事件的区域为(){,|89.89}x y x x≤≤≤≤，这是一个正方形区域，面积为1.事件A表示两人能会面，所对应的区域为()1{,|89,80}4x y x x x y≤≤≤≤-≤且｜｜，为图中的阴影部分，面积为716，故所求概率为716．三、解答题19．已知有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1]上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3]上的诸数字.旋转陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于[0.5，1.5]上的概率.【解析】设圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1]上的概率为1P，圆周上触及桌面的刻度位于[1,1.5]上的概率为2P，则圆周上触及旧面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率为12P P P=+，由题意知114P=，218P=，∴113488P=+=．20．某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：停靠时间 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6轮船数量12 12 17 20 15 13 8 3 （1）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；（2）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．。

3.3 几 何 概 型（结）考点一与长度有关的几何概型[例1] AC 的长的概率． [自主解答] 如图所示，设AC ＝BC ＝a ， 则AB ＝2a ，在AB 上截取AC ′＝AC ， 于是P (AM ＞AC )＝P (AM ＞AC ′) ＝BC ′AB ＝AB －AC AB ＝2a －a 2a ＝2－22.即AM 的长度大于AC 的长的概率为2－22.——————————————————在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．——————————————————————————————————————1．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任意x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率为( ) A ．0.1 B.23C ．0.3D ．0.4解析：f (x 0)＝x 20－x 0－2≤0. －1≤x 0≤2.x 0∈[－1,2]长度为2－(－1)＝3. ∴310＝0.3. 答案：C考点二与角度有关的几何概型 [例2] 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．[自主解答] 在AB 上取AC ′＝AC ， 则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC }． 则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°， ∴P (A )＝67.5°90°＝34.在本例中，求AM <22AC 的概率． 解：如图，过点C 作CC ′⊥AB 于C ′，则AC ′＝22AC ，∠ACC ′＝45°，设A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM <22AC }，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为45°.∴P (A )＝45°90°＝12.——————————————————1．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率． 2．与角度有关的几何概型的概率计算公式为 P (A )＝构成事件A 的角度试验的全部结果构成的区域角度.3．解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的． ——————————————————————————————————————2．在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．解析：记B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}，则事件B 构成的区域是∠xOT ，全部试验结果区域是周角． ∵∠xOT ＝60°，∴P (B )＝60360＝16.答案：16考点三与面积有关的几何概型[例3] 如图所示，圆盘中阴影部分扇形的圆心角为60°。

3.3几何概型3.3.1几何概型课后篇巩固提升1.下列概率模型中,几何概型的个数为()①从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到1的概率;②从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;③从区间[-10,10]内任取出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离中心不超过1 cm的概率.A.1B.2C.3D.4不是几何概型,虽然区间[-10,10]有无限多个点,但“1”只是一个数字,不能构成区域长度;②是几何概型,因为区间[-10,10]和[-1,1]上有无限多个数可取(满足无限性),且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性);③不是几何概型,因为区间[-10,10]上的整数只有21个(是有限的),不满足无限性特征;④是几何概型,因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点,且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到,故满足无限性和等可能性.2.在长为10 cm的线段AB上任取一点G,用AG为半径作圆,则圆的面积介于36π cm2到64π cm2之间的概率是()A.925B.1625C.310D.15AG为半径作圆,面积介于36π cm2到64π cm2之间,则AG的长度应介于6 cm到8 cm之间.∴所求概率P(A)=210=15.3.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度大于1的概率为()A.15B.23C.13D.123的圆三等分(点A作为其中一个等分点),每一段劣弧的长度都是1,要使劣弧AB的长度大于1,则点B只能在与点A相对的那段劣弧上(两个端点除外),根据几何概型的概率计算公式知,所求的概率是13.4.球O与棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面均相切,如图,用平行于底面的平面截去长方体A2B2C2D2-A1B1C1D1,得到截面A2B2C2D2,且A2A=34a,现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆,则黄豆落在截面中的圆内的概率为()A.34B.3π16C.π4D.316,截面中的圆的半径为√(a2)2-(a4)2=√34a,面积为3π16a2,又∵截面A2B2C2D2的面积为a2,∴黄豆落在截面中的圆内的概率为3π16.故选B.5.纹样是中国艺术宝库的瑰宝,火纹是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图中阴影部分所示)的面积,作一个边长为5的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷1 000个点,已知恰有400个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是()A.2B.3C.10D.155的正方形的面积S正方形=5×5=25,设阴影部分的面积为S阴,∵向该正方形内随机投掷1 000个点,恰有400个点落在阴影部分,∴S 阴S正方形≈4001000,解得S阴≈4001000×S正方形=4001000×25=10,∴估计阴影部分的面积是10.6.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流.此人不小心把一件物品丢在了途中,若掉在河里就找不到,否则就能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽为.由几何概型的概率计算公式得500-x500=45,解得x=100.7.如图,在一个边长为a 、b (a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底长分别为13a 与12a ,高为b ,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为 ..S 矩形=ab ,S 梯形=12(13a +12a)·b=512ab ,所以所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S矩形=512abab=512.8.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形,若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形内的概率为15,则图中直角三角形中较大锐角θ的正弦值为 .5,小正方形面积为1,∴大正方形的边长为√5,小正方形的边长为1,∴四个全等的直角三角形的斜边长是√5,较短的直角边的长是1可设较短的直角边的长为x ,则x (1+x )2=1,x=1,则较长的直角边的长是2,故sin θ=√5=2√55.9.设有一个等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是4√3 cm,现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率.A={硬币落下后与格线没有公共点},如图,在边长为4√3 cm 的等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则等边三角形A'B'C'的边长为4√3-2√3=2√3,由几何概率公式得:P (A )=√34×(2√3)234×(4√3)=14.10.两人约定在20时到21时之间相见,并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率.(20+x )时和(20+y )时到达约定地点,要使两人能在约定时间范围内相见,则有-23≤x-y ≤23.(x ,y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示,满足两人在约定的时间范围内相见的(x ,y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小,也就是所求的概率,即P=S阴影S单位正方形=1-2×12×(13)212=89.。