高中数学：几何概型 (11)

几何概型3．3.1& 3.3.2几何概型均匀随机数的产生[新知初探]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果有无限多个．(2)每个结果出现的可能性相等．3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).4．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND 函数． (2)Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand(_)”． 5．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果． (2)计算机模拟的方法：用Excel 的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．[小试身手]1.一个靶子如右图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 阴影部分对应的圆心角度数和为60°，所以飞镖落在阴影内的概率为60°360°＝16，飞镖落在阴影内的次数约为30×16＝5. 2．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19B.18C.14D.38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是13，则小狗图案的面积是( )A.π3B.4π3C.8π3D.16π3解析：选D 设小狗图案的面积为S 1，圆的面积S ＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得S 1S ＝13，得S 1＝16π3.故选D.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为1－01－(－1)＝12.★答案★：12与长度有关的几何概型[典例] (1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34(2)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． [解析] (1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.(2)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝2 3.[★答案★](1)B(2)231．解几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；(4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．(1)P＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115. (3)法一：P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.法二：P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.与面积和体积有关的几何概型[典例] (1)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16 B.14 C.38D.12(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] (1)依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.(2)先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.[★答案★] (1)B (2)231．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.6π B.32πC.3π D.233π解析：选D由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝32.球的体积V2＝43πR3＝32π.则此点落在正方体内的概率为P＝V1V2＝132π＝233π.2.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4解析：选B 不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.用随机模拟估计面积型的几何概型[典例] 解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m ，宽为14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m 、2 m 、5 m ．若着陆点在圆环B 内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．[解] 设事件A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝14b 1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．(3)统计满足－8<a <8，－7<b <7的点(a ，b )的个数N .满足1<a 2＋b 2<4的点(a ，b )的个数N 1.(4)计算频率f n (A )＝N 1N即为所求概率的近似值．用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．[活学活用]现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．解：(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N组)；(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2(b1－0.5)；(3)数出满足不等式b＜2a－43，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈N1N.可以发现，试验次数越多，概率P越接近25144.[层级一 学业水平达标]1．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19 B.18 C.14D.38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.2．“抖空竹”是我国的一种传统杂技，表演者在两根直径为8～12 mm 的杆上系一根长度为1 m 的绳子，并在绳子上放一个空竹，则空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m 的概率为( )A.25B.15C.13D.23解析：选B 空竹与绳子两端的距离都大于0.4 m ，即空竹的运行范围为1－2×0.4＝0.2(m)，故所求事件的概率为P ＝0.21＝15. 3．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴x 0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23. ★答案★：234．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC <12V S -ABC的概率是________． 解析：由V P -ABC <12V S -ABC知，P 点在三棱锥S -ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VS -A 0B 0C 0V S -ABC＝1－18＝78. ★答案★：78[层级二 应试能力达标]1.如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160解析：选A ∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16，故选A.2．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23 解析：选C △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE内部的概率为12. 3．如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )A.2πB.1πC.12D.1－2π解析：选D S 扇形＝14×π×22＝π， S 阴影＝S 扇形－S △OAB ＝π－12×2×2＝π－2， ∴P ＝π－2π＝1－2π. 4.如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14解析：选C 如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝60°，由圆的对称性及几何概型得P ＝120360＝13.故选C. 5．(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率P ＝3－(－2)5－(－4)＝59. ★答案★：596．(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．解析：由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得|5k |k 2＋1＜3，即16k 2＜9，解得－34＜k ＜34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝⎛⎭⎫－342＝34. ★答案★：347．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P ＝18×43πa 3a 3＝16π. ★答案★：16π 8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01. 即“射中黄心”的概率是0.01.9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)求圆C的圆心到直线l的距离；(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝2542＋32＝5.(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.故所求概率为P＝60°360°＝1 6.。