新课标北师大版《必修三》高一数学几何概型 (1)

例谈几何概型的计算几何概型是将古典概型的有限性推广到无限性，而保留等可能性的一种求概率的方法．它是借助测度来表示样本区域与所考察的样本．几何概型的计算一般按下列步骤进行：（1）选取合适的模型，即样本区域Ｄ；（2）在坐标系中正确表示Ｄ与所求概率事件A 所在的区域d ；（3）计算D 与d 的测度D d μμ，；（4）计算概率()d DP A μμ=． 例1 在区间(01)，中随机地取出两个数，求这两个数的和小于65的概率．分析：解决本题的关键是如何将其归结为一个几何概型，设x ，y 分别表示随机所取的两个数，则由题意知x ，y 均等可能地在（0，1）中取值，从而（x ，y ）等可能地在平面区域{}()|0101D x y x y =<<<<，，中取值，将Ｄ作为样本区域，这就是一个几何概型问题．解：如图1，设x 、y 分别表示从（0，1）中取出的两个数，则样本区域{}()|0101D x y x y =<<<<，，． 记A 为事件“两个数的和小于”， 即6()|()5A x y x y x y D ⎧⎫=+<∈⎨⎬⎩⎭，，，， 因为Ｄ的面积1D S =，A 的面积21410.6825d S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 于是由几何概型的概率公式得到()0.68d DS P A S ==．例2 甲、乙两人相约于下午1:00～2:00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的，设在1:00～2:00之间有四班客车开出，开车时间分别是1:15，1:30，1:45，2:00，分别求他们在下述情况下同坐一班车的概率．（1）约定见车就乘；（2）约定最多等一班车．分析：本题是几何概型中的典型例题——约会问题的变形．分别作出表示事件的所在区域，利用构造思想及数形结合思想，结合几何概型知识加以解决．解：设甲、乙到站时间分别是x时，y时，则１≤x≤2，1≤y≤2，试验区域D为点（x，y）所形成的正方形，以16个小方格表示，如图2所示．（1）如图3，约定见车就乘的事件所表示的区域d为图中4个黑的小方格所示，所求概率为41=；164（2）如图4，约定最多等一班车的事件所表示的区域d为图中10个黑的小方格所示，所求概率为105=．168例3 随机地向半圆00)<<>内掷一点，点落在半圆内任何区域y a的概的概率均与该区域的面积成正比，求该点与原点连线与x轴的夹角小于π4率．分析：题目中“随机地”即表示试验结果的等可能性，“点落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面积成正比”更强调试验的等可能性，因为试验结果是无限个，因此容易想到用几何概型来计算．解：如图5，设事件A表示“点与原点连线与x轴的夹角小于的概率”．于是样本区域{()|0D x y y =<<，， 即为图5中的半圆，其面积为21π2a ； 而{}()|()A x y x y D x y =∈>，，，，其面积为2211π42a a +． 由几何概型的概率公式有22211π1142()12ππ2a a P A a +==+．。

§１２．３几何概型１．几何概型向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G１G的概率与G１的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P（点M落在G１）＝错误!，则称这种模型为几何概型．２．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．３．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）在一个正方形区域内任取一点的概率是零．（√）（２）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（√）（３）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（√）（４）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（√）２．一个路口的红绿灯，红灯的时间为３0秒，黄灯的时间为５秒，绿灯的时间为４0秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析以时间的长短进行度量，故P＝错误!＝错误!.３．点A为周长等于３的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于１的概率为________．答案错误!解析如图可设＝１，则由几何概型可知其整体事件是其周长３，则其概率是错误!.４．在区间[—１,２]上随机取一个数x，则x∈[0，１]的概率为________．答案错误!解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝错误!＝错误!.５．已知直线y＝x＋b，b∈[—２,３]，则直线在y轴上的截距大于１的概率是________．答案错误!解析区域D为区间[—２,３]，d为区间（１,３]，而两个区间的长度分别为５,２．故所求概率P＝错误!.题型一与长度、角度有关的几何概型例１（１）在区间[—１,１]上随机取一个数x，求cos 错误!x的值介于0到错误!之间的概率．（２）如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝４５°，高AD＝错误!，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<１的概率．思维启迪寻找所考查对象活动的范围．解（１）由函数y＝cos 错误!x的图像知，当—１<x<—错误!或错误! <x<１时，0<cos 错误!x<错误!.由概率的几何概型知：cos 错误!x的值介于0到错误!之间的概率为错误!＝错误!.（２）因为∠B＝60°，∠C＝４５°，所以∠BAC＝7５°，在Rt△ABD中，AD＝错误!，∠B＝60°，所以BD＝错误!＝１，∠BAD＝３0°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<１”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P（N）＝错误!＝错误!.思维升华解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长（曲线长）之比．（１）若在例１（２）中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”则结果为________．（２）在半径为１的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．答案（１）错误!（２）错误!解析（１）由∠B＝60°，∠C＝４５°，AD＝错误!得，BD＝错误!＝１，DC＝AD＝错误!，则BM<１的概率为P＝错误!＝错误!.（２）记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长（此时F为OE中点），弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P（A）＝错误!＝错误!.题型二与面积、体积有关的几何概型例２（１）（２0１２·北京）设不等式组错误!表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于２的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）有一个底面圆的半径为１、高为２的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于１的概率为________．思维启迪平面区域内的几何概型，一般用面积求概率，空间区域内的几何概型，一般用体积求概率．答案（１）D （２）错误!解析（１）根据题意作出满足条件的几何图形求解．如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为４，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于２的区域．易知该阴影部分的面积为４—π.因此满足条件的概率是错误!，所以选Ｄ．（２）先求点P到点O的距离小于或等于１的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×１２×２＝２π，以O为球心，１为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝错误!×错误!π×１３＝错误!π.则点P到点O的距离小于或等于１的概率为错误!＝错误!，故点P到点O的距离大于１的概率为１—错误!＝错误!.思维升华求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．（１）在区间[—π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f（x）＝x２＋２ax—b ２＋π２有零点的概率为（）Ａ．１—错误!Ｂ．１—错误!Ｃ．１—错误!Ｄ．１—错误!（２）在棱长为２的正方体ABCD—A１B１C１D１中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A１B１C１D１内随机取一点P，则点P到点O的距离大于１的概率为________．答案（１）B （２）１—错误!解析（１）由函数f（x）＝x２＋２ax—b２＋π２有零点，可得Δ＝（２a）２—４（—b２＋π２）≥0，整理得a２＋b２≥π２，如图所示，（a，b）可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{（a，b）|—π≤a≤π，—π≤b≤π}，其面积SΩ＝（２π）２＝４π２.事件A表示函数f（x）有零点，所构成的区域为M＝{（a，b）|a２＋b２≥π２}，即图中阴影部分，其面积为S M＝４π２—π３，故P（A）＝错误!＝错误!＝１—错误!，所以选Ｂ．（２）V正＝２３＝8，V半球＝错误!×错误!π×１３＝错误!π，错误!＝错误!＝错误!，∴P＝１—错误!.题型三生活中的几何概型问题例３甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为１h，乙船停泊时间为２h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．思维启迪当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．解这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤２４,0≤y≤２４，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达１h以上或乙比甲早到达２h以上，即y—x≥１或x—y≥２．故所求事件构成集合A＝{（x，y）|y—x≥１或x—y≥２，x∈[0,２４]，y∈[0,２４]}．A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是２４的正方形及其内部．所求概率为P（A）＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.思维升华生活中的几何概型度量区域的构造方法：（１）审题：通过阅读题目，提炼相关信息．（２）建模：利用相关信息的特征，建立概率模型．（３）解模：求解建立的数学模型．（４）结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．张先生订了一份报纸，送报人在早上6：３0—7：３0之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00—8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________．答案错误!解析以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A发生，所以P（A）＝错误!＝错误!.混淆长度型与面积型几何概型致误典例：（１２分）在长度为１的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率．规范解答解设x、y表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应有0<x<１,0<y<１,0<x＋y<１，即（x，y）对应着坐标系中以（0,１）、（１,0）和（0,0）为顶点的三角形内的点，如图所示．[４分]要形成三角形，由构成三角形的条件知错误!所以x<错误!，y<错误!，且x＋y>错误!，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[8分]因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的错误!，故这三条线段能构成三角形的概率为错误!. [１２分]温馨提醒解决几何概型问题时，还有以下两点容易造成失分，在备考时要高度关注：（１）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（２）利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误.方法与技巧１．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．２．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．（１）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（２）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（３）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．失误与防范１．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；２．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A组专项基础训练（时间：３５分钟）一、选择题１．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～１２毫米的杆上系一根长度为１m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0．２m的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析与两端都大于0．２m即空竹的运行范围为（１—0．２—0．２）m＝0．6 m，记“空竹与两端距离都大于0．２m”为事件A，则所求概率满足几何概型，即P（A）＝错误!＝错误!.２．（２0１２·辽宁）在长为１２cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于２0 cm２的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析根据题意求出矩形面积为２0 cm２时的各边长，再求概率．设AC＝x，则BC＝１２—x，所以x（１２—x）＝２0，解得x＝２或x＝１0．故P＝错误!＝错误!.３．如图所示，在边长为１的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析∵S阴影＝ʃ错误!（错误!—x）d x＝错误!错误!＝错误!—错误!＝错误!，又S正方形OABC＝１，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为错误!＝错误!.４．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝２，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析如图，当BE＝１时，∠AEB为直角，则点D在线段BE（不包含B、E点）上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝４时，∠BAF为直角，则点D在线段CF（不包含C、F点）上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为错误!＝错误!.５．（２0１２·湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）Ａ．１—错误!Ｂ．错误!—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案A解析设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝２，则OD＝DA＝DC＝１．在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S１＝错误!＋错误!×１×１—错误!＝１，所以整体图形中空白部分面积S２＝２．又因为S扇形OAB＝错误!×π×２２＝π，所以阴影部分面积为S３＝π—２．所以P＝错误!＝１—错误!.二、填空题6．在长为１0 cm的线段AB上任取一点G，以AG为半径作圆，则圆的面积介于３6π cm２到6４π cm ２的概率是________．答案错误!解析如图，以AG为半径作圆，圆面积介于３6π～6４π cm２，则AG的长度应介于6～8 cm之间．∴所求概率P（A）＝错误!＝错误!.7．（２0１３·湖北）在区间[—２,４]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为错误!，则m＝________.答案３解析由|x|≤m，得—m≤x≤m.当m≤２时，由题意得错误!＝错误!，解得m＝２．５，矛盾，舍去．当２<m<４时，由题意得错误!＝错误!，解得m＝３．即m的值为３．8．在区间[１,５]和[２,４]上分别各取一个数，记为m和n，则方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．答案错误!解析∵方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q（m，n），点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝错误!.9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于错误!，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于错误!，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．答案错误!解析∵去看电影的概率P１＝错误!＝错误!，去打篮球的概率P２＝错误!＝错误!，∴不在家看书的概率为P＝错误!＋错误!＝错误!.三、解答题１0．已知向量a＝（—２,１），b＝（x，y）．（１）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为１,２,３,４,５,6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝—１的概率；（２）若x，y在连续区间[１,6]上取值，求满足a·b<0的概率．解（１）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝３6（个）；由a·b＝—１有—２x＋y＝—１，所以满足a·b＝—１的基本事件为（１,１），（２,３），（３,５），共３个；故满足a·b＝—１的概率为错误!＝错误!.（２）若x，y在连续区间[１,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{（x，y）|１≤x≤6,１≤y≤6}；满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{（x，y）|１≤x≤6,１≤y≤6且—２x＋y<0}；画出图形如图，矩形的面积为S矩形＝２５，阴影部分的面积为S阴影＝２５—错误!×２×４＝２１，故满足a·b<0的概率为错误!.B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．在区间[—１,１]上随机取一个数x，则sin 错误!的值介于—错误!与错误!之间的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析∵—１≤x≤１，∴—错误!≤错误!≤错误!.由—错误!≤sin 错误!≤错误!，得—错误!≤错误!≤错误!，即—错误!≤x≤１．故所求事件的概率为错误!＝错误!.２．如图，矩形长为6，宽为４，在矩形内随机地撒３00颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，则以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为（）Ａ．7．68 Ｂ．１6．３２Ｃ．１7．３２Ｄ．8．68答案B解析根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率P＝错误!，而P＝错误!＝0．68，S矩形＝２４，故S椭圆＝P·S矩形＝0．68×２４＝１6．３２．３．已知点A在坐标原点，点B在直线y＝１上，点C（３,４），若AB≤错误!，则△ABC的面积大于５的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析设B（x,１），根据题意知点D（错误!，１），若△ABC的面积小于或等于５，则错误!×DB×４≤５，即DB≤错误!，所以点B的横坐标x∈[—错误!，错误!]，而AB≤错误!，所以点B的横坐标x∈[—３,３]，所以△ABC的面积小于或等于５的概率为P＝错误!＝错误!，所以△ABC的面积大于５的概率是１—P＝错误!.４．在面积为S的△ABC内部任取一点P，△PBC的面积大于错误!的概率为________．答案错误!解析如图，假设当点P落在EF上时（EF∥BC），恰好满足△PBC的面积等于错误!，作PG⊥BC，AH⊥BC，则易知错误!＝错误!.符合要求的点P可以落在△AEF内的任一部分，其概率为P＝错误!＝错误!.５．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为３cm，把一枚半径为１cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．答案错误!解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为错误!.6．在区间[0,２]上任取两个实数a，b，求函数f（x）＝x３＋ax—b在区间[—１,１]上有且仅有一个零点的概率．解因为f′（x）＝３x２＋a，由于a≥0，故f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在[—１,１]上单调递增，故函数f（x）在区间[—１,１]上有且只有一个零点的充要条件是错误!即错误!设点（a，b），则基本事件所在的区域是错误!画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率等于以图中阴影部分的面积与以２为边长的正方形的面积的比值，这个比值是错误!.7．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A、B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过１0分钟．当天A、B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±１５分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．解设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当y≤x±错误!时，姐弟俩会面，又正方形的面积为错误!，阴影部分的面积为错误!，所求概率P＝错误!＝错误!.。