【微专题】2023学年八年级数学上册常考点(人教版) 共定点等边三角形的六大结论及应用(解析版)

一线三等角模型证全等1．如图把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上在△ABC中∠C＝90°AC＝BC试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转当AB∥MN时∠2＝45度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中分别作AM⊥MN于M BN⊥MN与N 若AM＝6 BN＝2 求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置其他条件不变则AM、BN 与MN之间有什么关系？请说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中AB＝AC∠ACB＝90°∴∠B＝∠A＝45°∵AB∥MB∴∠2＝∠B＝45°故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M BN⊥MN于N∴∠AMC＝90°∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°又∵∠1+∠2＝90°∴∠2＝∠CAM同理：∠1＝∠CBN在△AMC和△CNB中∴△AMC≌△CNB（ASA）∴AM＝CN MC＝BN∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM理由：同（2）的方法得△AMC≌△CNB（ASA）∴AM＝CN MC＝BN∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．2．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一请根据以下问题把你的感知填写出来：①如图1 △ABC是等腰直角三角形∠C＝90o点D为AB中点则△AED∽△BDF；②如图2 △ABC为正三角形BD＝CF∠EDF＝60°则△BDE≌△CFD；③如图3 正方形ABCD的顶点B在直线l上分别过点A、C作AE⊥l于E CF⊥l于F．若AE＝1 CF＝2 则EF的长为3．【模型应用】（2）如图4 将正方形OABC放在平面直角坐标系中点O为原点点A的坐标为（1 ）则点C的坐标为（﹣1）．【模型变式】（3）如图5所示在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC BE⊥CE于D DE＝4cm AD＝6cm 求BE的长．【解答】解：（1）①如图1 ∵△ABC是等腰直角三角形∴∠A＝∠B＝45°∵点D是AB的中点∴AD＝BD∵∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠FDB∴∠AED＝∠EDB∴△AED∽△BDF故答案为△BDF；②∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC∴∠BED＝∠FDC又∵BD＝CF∴△BDE≌△CFD（AAS）故答案为：△CFD；③∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC∠ABC＝90°∵AE⊥EF CF⊥EF∴∠AEB＝∠CFB＝90°＝∠ABC∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠CBF∴∠BAE＝∠CBF∴△ABE≌△BCF（SAS）∴AE＝BF＝1 BE＝CF＝2∴EF＝3故答案为：3；（2）如图④过点A作AF⊥x轴于F过点C作CE⊥x轴于E∵点A的坐标为（1 ）∴AF＝OF＝1∵四边形ABCO是正方形∴AO＝OC∠AOC＝90°∵AF⊥EF CE⊥EF∴∠AFO＝∠CEO＝90°＝∠AOC∴∠AOF+∠F AO＝90°＝∠AOF+∠COE∴∠COE＝∠F AO∴△AOF≌△OCE（SAS）∴CE＝OF＝1 OE＝AF＝∴点C坐标为：（﹣1）故答案为：（﹣1）；（3）如图⑤∵AD⊥CE BE⊥CE∴∠ADC＝∠BEC＝90°∵∠DCA+∠BCE＝90°∠DCA+∠DAC＝90°∴∠DAC＝∠BCE又∵AC＝BC∴△ACD≌△CBE（AAS）∴CE＝AD＝6cm CD＝BE∴BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2cm．3．直线l经过点A△ABC在直线l上方AB＝AC．（1）如图1 ∠BAC＝90°过点B C作直线l的垂线垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2 D A E三点在直线l上若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角）猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3 ∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线垂足为F点D是BF延长线上的一个动点连结AD作∠DAE＝90°使得AE＝AD连结DE CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【解答】（1）证明：∵BD⊥l CE⊥l∴∠BDA＝∠AEC＝90°∴∠ABD+∠DAB＝90°∵∠BAC＝90°∴∠CAE+∠DAB＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ABD与△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE∵∠BDA＝∠BAC＝α∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α∴∠ABD＝∠CAE在△ABD与△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE DA＝EC∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CM⊥l EN⊥l由（1）可知△ABF≌△CAM△ADF≌△EAN∴AF＝CM AF＝EN∴CM＝EN∵CM⊥l EN⊥l∴∠CMG＝∠ENG＝90°在△CMG与△ENG中∴△CMG≌△ENG（AAS）∴CG＝EG∴G为CE的中点．4．已知：在△ABC中AB＝AC直线l过点A．（1）如图1 ∠BAC＝90°分别过点B C作直线l的垂线段BD CE垂足分别为D E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE BD CE之间的数量关系并证明．（2）如图2 当∠BAC≠90°时设∠BAC＝α（0°＜α＜180°）作∠CEA＝∠BDA＝α点D E在直线l上直接用等式表示线段DE BD CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示DE BD CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．证明：∵CE⊥l BD⊥l∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°直线l过点A∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB∴△CEA≌△ADB（AAS）∴CE＝AD AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE BD CE之间的数量关系为DE＝BD+CE 理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD∵∠BDA＝∠BAC∴∠ABD＝∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AD＝CE BD＝AE∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案为：DE＝BD+CE．5．如图CD∥AB CD＝CB点E在BC上∠D＝∠ACB．（1）求证：CE＝AB．（2）若∠A＝125°则∠BED的度数是55°．【解答】证明：（1）∵CD∥AB∴∠B＝∠DCE在△DEC与△CAB中∴△DEC≌△CAB（ASA）∴CE＝AB；解：（2）∵△DEC≌△CAB∴∠CED＝∠A＝125°∴∠BED＝180°﹣125°＝55°故答案为：55°．6．直角三角形ABC中∠ACB＝90°直线l过点C．（1）当AC＝BC时如图①分别过点A B作AD⊥l于点D BE⊥l于点E．试说明AD＝CE；（2）当AC＝8 BC＝6时如图②点B与点F关于直线l对称连接BF CF动点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动同时动点N从点F出发以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动点M N到达相应的终点时停止运动过点M 作MD⊥l于点D过点N作NE⊥l于点E设运动时间为t秒．①CM＝8﹣t当N在F→C路径上时CN＝6﹣3t；（用含t的代数式表示）②当△MDC与△CEN全等时求t的值．【解答】解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l∴∠DAC+∠ACD＝90°∵∠ACB＝90°∴∠BCE+∠ACD＝90°∴∠DAC＝∠ECB在△ACD和△CBE中∴△ACD≌△CBE（AAS）∴AD＝CE；（2）①由题意得AM＝t FN＝3t则CM＝8﹣t由折叠的性质可知CF＝CB＝6∴CN＝6﹣3t．故答案为：8﹣t；6﹣3t；②由折叠的性质可知∠BCE＝∠FCE∵∠MCD+∠CMD＝90°∠MCD+∠BCE＝90°∴∠NCE＝∠CMD∴当CM＝CN时△MDC与△CEN全等当点N沿F→C路径运动时8﹣t＝6﹣3t解得t＝﹣1（不合题意）当点N沿C→B路径运动时8﹣t＝3t﹣6解得t＝3.5当点N沿B→C路径运动时由题意得8﹣t＝18﹣3t解得t＝5当点N沿C→F路径运动时由题意得8﹣t＝3t﹣18解得t＝6.5综上所述当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时△MDC与△CEN全等．7．点A的坐标为（4 0）点B为y轴负半轴上的一个动点分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一若点B坐标为（0 ﹣3）连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二连接CD与y轴交于点E试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形∴OB＝CB BD＝AB∠ABD＝∠OBC＝90°∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O∴∠OBD＝∠CBA∴△OBD≌△CBA（SAS）∴AC＝OD；②如图一、∵A（4 0）B（0 ﹣3）∴OA＝4 OB＝3过点D作DF⊥y轴于F∴∠BOA＝∠DFB＝90°∴∠ABO+∠OAB＝90°∵∠ABD＝90°∴∠ABO+∠FBD＝90°∴∠OAB＝∠FBD∵AB＝BD∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝OB＝3 BF＝OA＝4∴OF＝OB+BF＝7∴D（3 ﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F则∠DFB＝90°＝∠CBF同（1）②的方法得△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝OB BF＝OA＝4∵OB＝BC∴BC＝DF∵∠DEF＝∠CEB∴△DEF≌△CEB（AAS）∴BE＝EF∴BF＝BE+EF＝2BE＝4∴BE＝2．8．在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC直线l经过顶点C过A B两点分别作l的垂线AE BF 垂足分别为E F．（1）如图所示当直线l不与底边AB相交时求证：EF＝AE+BF．（2）当直线l绕点C旋转到图（b）的位置时猜想EF、AE、BF之间的关系并证明．（3）当直线l绕点C旋转到图（c）的位置时猜想EF、AE、BF之间的关系直接写出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°∴∠ECA+∠FCB＝90°又∵AE⊥l BF⊥l∴∠AEF＝∠BFC＝90°∴∠ECA+∠EAC＝90°∴∠FCB＝∠EAC在△ACE和△CBF中∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF CE＝BF∵EF＝EC+CF∴EF＝AE+BF；（2）解：EF＝AE﹣BF理由如下：∵∠ACB＝90°∴∠ACE+∠FCB＝90°又∵AE⊥l BF⊥l∴∠AEF＝∠BFC＝90°∴∠CAE+∠ACE＝90°∴∠CAE＝∠FCB又∵AC＝BC∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF CE＝BF∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF；（3）解：EF＝BF﹣AE理由如下：∵∠AEC＝∠CFB＝90°∠ACB＝90°∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°∴∠CAE＝∠BCF∵AC＝BC∴△CAE≌△BCF（AAS）∴CE＝BF AE＝CF∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE即EF＝BF﹣AE．9．如图已知l1∥l2射线MN分别和直线l1l2交于A、B射线ME分别和直线l1l2交于C、D点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合）（1）如图①如果∠PDB＝50°∠PCA＝20°∠CPD＝70°．若∠PDB＝α∠PCA＝β∠CPD＝γ请直接写出αβγ之间的数量关系γ＝α+β．（2）如图②若MN⊥l1于点A BD＝2 AB＝6 AC＝4 当AP为多少时△ACP≌△BPD 请判断此时PC与PD的数量与位置关系并说明理由．（3）请用尺规作图作出∠BDC的角平分线DP其中P为角平分线与AB的交点若此时点P 为线段AB的中点请你在备用图中再画出合适的辅助线以能展现你的做题思路并直接写出线段AC、BD、CD的数量关系不用再说明理由．【解答】解：（1）过点P作PQ∥l1交ME于点Q如图①∵l1∥l2PQ∥l1∴PQ∥l2∴∠BDP＝∠DPQ＝50°∵PQ∥l1∴∠QPC＝∠PCA＝20°∴∠DPC＝∠DPQ+∠CPQ＝70°∵∠PDB＝α∠PCA＝β∠CPD＝γ同理可得：∠CPD＝∠PDB+∠PCA∴γ＝α+β故答案为：70°．γ＝α+β．（2）CP＝PD CP⊥PD．理由如下：如图②若△ACP≌△BPD则AP＝BD＝2 ∠CP A＝∠PDB CP＝PD∵MN⊥l1∴∠DBM＝90°∴∠DPB+∠PDB＝90°∴∠CP A+∠BPD＝90°∴∠CPD＝90°∴CP⊥PD．（3）CD＝CA+BD．理由如下：以点D为圆心以任意长度为半径画弧交l1ME于F、H分别以H、F为圆心以大于EF 的长为半径画弧相交于Q、T两点连接DQ即为∠CDF的角平分线设DQ交AB于P交l1于G如图③在△DPB和△GP A中∴△DPB≌△GP A（AAS）∴BD＝AG∵DG是∠CDF的角平分线∴∠CDG＝∠FDG∵l1∥l2∴∠FDG＝∠CGD∴∠CDG＝∠CGD∴CD＝CG∵CG＝CA+AG＝CA+BD∴CD＝CA+BD．10．已知在△ABC中AB＝AC D A E三点都在直线m上且DE＝9cm∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①若AB⊥AC则BD与AE的数量关系为BD＝AE CE与AD的数量关系为CE＝AD；（2）如图②判断并说明线段BD CE与DE的数量关系；（3）如图③若只保持∠BDA＝∠AEC BD＝EF＝7cm点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动同时点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动它们运动的时间为t（s）．是否存在x使得△ABD与△EAC全等？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD∴∠CAE＝∠ABD∵∠BDA＝∠AEC BA＝CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE CE＝AD故答案为：BD＝AE CE＝AD；（2）DE＝BD+CE由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE CE＝AD∴DE＝BD+CE；（3）存在当△DAB≌△ECA时∴AD＝CE＝2cm BD＝AE＝7cm∴t＝1 此时x＝2；当△DAB≌△EAC时∴AD＝AE＝4.5cm DB＝EC＝7cm∴t＝x＝7÷＝综上：t＝1 x＝2或t＝x＝．11．已知Rt△ABC和Rt△ADE AB＝AC AD＝AE．连接BD、CE过点A作AH⊥CE于点H反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1 当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF＝DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2 当AB≠AD时上述①②结论是否仍然成立？若成立请证明；若不成立请说明理由．【解答】解：（1）∵AB＝AC AD＝AE AB＝AD∴AC＝AE∵AH⊥CE∴∠CAH＝∠EAH∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠CAH+∠BAF＝90°∠EAH+∠DAF＝90°∴∠BAF＝∠DAF在△BAF和△DAF中∴△BAF≌△DAF（SAS）∴BF＝DF故答案为：＝；②∵AC＝AE AH⊥CE∴CH＝EH＝CE∴CE＝2CH∵∠BAC＝∠AHC＝90°∴∠BAF+∠CAH＝90°∠ACH+∠CAH＝90°∴∠BAF＝∠ACH∵△BAF≌△DAF∴∠AFB＝∠AFD＝90°∴∠AFB＝∠CHA在△AFB和△CHA中∴△AFB≌△CHA（AAS）∴AF＝CH∴CE＝2AF；（2）成立证明如下：作BM⊥AF于点M作DN⊥AF交AF的延长线于点N∴∠BMA＝∠N＝90°∴∠BAM+∠ABM＝90°∠DAN+∠ADN＝90°∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAM+∠CAH＝90°∠DAN+∠EAH＝90°∴∠ABM＝∠CAH∠ADN＝∠EAH∵AH⊥CE∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°在△AMB和△CHA中∴△AMB≌△CHA（AAS）∴MB＝AH同理可证△AND≌△EHA（AAS）∴DN＝AH∴BM＝DN在△BMF和△DNF中∴△BMF≌△DNF（AAS）∴BF＝DF MF＝NF∴AM＝AF﹣MF AN＝AF+NF＝AF+MF∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF∵△AMB≌△CHA△AND≌△EHA∴AM＝CH AN＝EH∴CH+EH＝AM+AN＝2AF∵CE＝CH+EH∴CH＝2AF即BF＝DF CE＝2AF．12．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想从而借助已有经验迅速解决问题．（1）如图1 在平面直角坐标系中四边形OBCD是正方形且D（0 2）点E是线段OB 延长线上一点M是线段OB上一动点（不包括点O、B）作MN⊥DM垂足为M且MN＝DM．设OM＝a请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（2+a a）（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊当基本经验有利于新问题解决的时候这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考让新问题解决不出来的时候这是基本经验的负迁移．例如如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”加上“交∠CBE的平分线与点N”如图2 求证：MD＝MN．如何突破这种定势获得问题的解决请你写出你的证明过程．（3）如图3 请你继续探索：连接DN交BC于点F连接FM下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB请你指出正确的结论并给出证明．【解答】（1）解：如图1中作NE⊥OB于E∵∠DMN＝90°∴∠DMO+∠NME＝90°∠NME+∠MNE＝90°∴∠DMO＝∠MNE在△DMO和△MNE中∴△DMO≌△MNE∴ME＝DO＝2 NE＝OM＝a∴OE＝OM+ME＝2+a∴点N坐标（2+a a）故答案为N（2+a a）．（2）证明：如图2中在OD上取OH＝OM连接HM∵OD＝OB OH＝OM∴HD＝MB∠OHM＝∠OMH ∴∠DHM＝180°﹣45°＝135°∵NB平分∠CBE∴∠NBE＝45°∴∠NBM＝180°﹣45°＝135°∴∠DHM＝∠NBM ∵∠DMN＝90°∴∠DMO+∠NMB＝90°∵∠HDM+∠DMO＝90°∴∠HDM＝∠NMB在△DHM和△MBN中∴△DHM≌△MBN（ASA）∴DM＝MN．（3）结论：MN平分∠FMB成立．证明：如图3中在BO延长线上取OA＝CF在△AOD和△FCD中∴△DOA≌△DCF∴AD＝DF∠ADO＝∠CDF∵∠MDN＝45°∴∠CDF+∠ODM＝45°∴∠ADO+∠ODM＝45°∴∠ADM＝∠FDM在△DMA和△DMF中∴△DMA≌△DMF∴∠DFM＝∠DAM＝∠DFC过M作MP⊥DN于P则∠FMP＝∠CDF由（2）可知∠NMF+∠FMP＝∠PMN＝45°∵∠NMB＝∠MDO∠MDO+∠CDF＝45°∴∠NMB＝∠NMF即MN平分∠FMB．（在旋转过程中FM＝AM显然AM的长度是变化的故FM的长度是变化的或取两个特殊位置比较AM的值即可发现结论）．。

三角形折叠求角类型一 三角形折叠1．如图 在折纸活动中 小明制作了一张三角形纸片(即ABC ∆) 点D 、E 分别在边AB 、AC 上 将ABC ∆沿着DE 折叠压平后点A 与'A 重合 若75A ∠=︒ 则12∠+∠= ( )A ．150︒B ．210︒C ．105︒D ．75︒【答案】A【解析】【分析】 连接A A ' 根据折叠的性质可得∠EA D '=∠EAD=75° 然后根据三角形外角的性质和等量代换即可得出结论．【详解】解：连接A A '由折叠的性质可得∠EA D'=∠EAD=75°∠∠1和∠2分别为∠EA A'和∠DA A'的外角∠∠1=∠EA A'＋∠EAA'∠2=∠DA A'＋∠DAA'∠∠1＋∠2=∠EA A'＋∠EAA'＋∠DA A'＋∠DAA'=（∠EA A'＋∠DA A'）＋（∠EAA'＋∠DAA'）=∠EA D'＋∠EAD=150°故选A．【点睛】此题考查的是三角形中的折叠问题掌握折叠的性质和三角形外角的性质是解决此题的关键．2．如图把△ABC纸片沿DE折叠当A落在四边形BCDE内时则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【解析】【分析】本题问的是关于角的问题当然与折叠中的角是有关系的∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角结合△AED的内角和为180°可求出答案．【详解】∠∠ABC纸片沿DE折叠∠∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°∠∠AED=12(180°−∠1),∠ADE=12(180°−∠2)∠∠AED+∠ADE=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°−12(∠1+∠2)]= 12(∠1+∠2)则2∠A=∠1+∠2 故选择B项.【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质 解题的关键是掌握折叠的性质.3．已知：如图所示 将△ABC 的∠C 沿DE 折叠 点C 落在点C '处 设,C α∠= ∠AEC ′=β ∠BDC '=γ 则下列关系式成立的是（ ）A ．2α=β+γB ．α=β+γC ．α+β+γ=180°D ．α+β=2γ【答案】A【解析】【分析】 通过平角关系用∠CEC ′、∠CDC ′表示出β、γ 通过三角形的内角和用∠CEC ′、∠CDC ′表示出∠C 、∠C ′ 计算可得结论．【详解】解：由折叠的性质知：∠C =∠C ′=α．∠∠AEC ′+∠CEC ′=180° ∠BDC ′+∠CDC ′=180°∠β=180°-∠CEC ′ γ=180°-∠CDC ′．∠β+γ=360°-∠CEC ′-∠CDC ′．∠∠C +∠CEC ′+CDC ′+∠C ′=360°∠2α=360°-∠CEC ′-∠CDC ′．∠β+γ=2α．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和 掌握折叠的性质 用含∠CEC ′、∠CDC ′表示出α、β、γ是解决本题的关键． 4．如图,将∠ABC 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【解析】【分析】 由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠,再利用平角的定义可求出BED BDE ∠+∠的度数 进而利用三角形内角和可求∠B 的度数.【详解】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠∠1'180,2'180BED B ED BDE B DE ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ ∠11(36012)(36080)14022BED BDE ∠+∠=︒-∠-∠=⨯︒-︒=︒ ∠180()18014040B BED BDE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理 掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键. 5．如图 三角形纸片ABC 中 ∠A ＝65° ∠B ＝75° 将∠C 沿DE 对折 使点C 落在∠ABC 外的点C′处 若∠1＝20° 则∠2的度数为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C【解析】【分析】 先根据平角的定义和翻折变换的性质求出∠DEC 再根据三角形内角和定理求出∠CDE 即可得出答案.解：∠A=65° ∠B=75° ∠1＝20°∠∠C=∠C′ =180°-∠A -∠B=40°由翻折变换的性质可得：∠DEC=∠DE C′∠DEC+∠DEB=∠DEC+∠DE C′-∠1=180°∠∠DEC=100°∠∠CDE=∠ED C′=180°-∠C -∠DEC=40°∠∠2=180°-∠CDE -∠ED C′=100°.故选C.【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质与三角形内角和定理 解题关键是准确识图 理清题目中角的关系. 6．如图 将三角形纸片ABC 沿DE 折叠 当点A 落在四边形BCED 的外部时 测量得∠1＝70° ∠2＝132° 则∠A 为（ ）A ．40°B ．22°C ．30°D ．52°【答案】B【解析】【分析】 利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠ 再利用三角形的内角和定理可得结果．【详解】∠1=70∠︒ 2=132∠︒∠3601236070132158B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠180()18015822A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒故选：B ．本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理 关键是运用多边形的内角和定理求出B C ∠+∠的度数．7．如图所示 把ABC 沿直线DE 翻折后得到A DE ' 如果36A EC '∠=︒ 那么AED =∠___度．【答案】72【解析】【分析】根据折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变 只是位置改变 对应边和对应角相等 可以得到AED A ED '∠=∠ 再根据平角的定义即可求解．【详解】 ABC 沿直线DE 翻折后得到A DE '∴AED A ED '∠=∠180AED A ED A EC ''∠+∠+∠=︒ 36A EC '∠=︒∴18036722AED ︒-︒∠==︒． 故答案为：72．【点睛】本题考查了折叠的性质 三角形折叠中的角度问题 它属于轴对称 熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 8．如图 把ABC 纸片沿DE 折叠 使点B 落在图中的B '处 设'B ∠EC ∠= 1 'B ∠DA ∠=2.若B ∠=25︒ 则∠2∠-1=______︒【答案】50【解析】【分析】由折叠性质求得'25B ∠=︒ 由三角形的外角性质 用1∠表示 2∠ 进而求得21∠-∠．【详解】解：25B ∠=︒'25B B ∠∠∴==︒31'125B ∠∠∠∠=+=+︒2312525B ∠∠∠∠=+=+︒+︒2150∠∠∴-=︒故答案为50．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质 折叠的性质 关键是根据三角形的外角的性质表示出1∠与2∠的关系式．类型二多边形折叠9．如图将四边形纸片ABCD沿EF折叠点A落在A1处若∠1+∠2＝90°则∠A的度数是（）A．45°B．40°C．35°D．30°【答案】A【解析】【分析】根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3+∠4 再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∠四边形纸片ABCD沿EF折叠点A落在A1处∠∠3+∠4=12（180°-∠1）+12（180°-∠2）=180°-12（∠1+∠2）∠∠1+∠2=90°∠∠3+∠4=180°-12×90°=180°-45°=135°在∠AEF中∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理翻折变换的性质平角的定义熟记各性质并整体思想的利用是解题的关键．10．如图所示在四边形纸片ABCD中∠A=80° ∠B=70° 将纸片沿着MN折叠使C D分别落在直线AB 上的C'D处则∠AMD'+∠BNC'等于（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】B【解析】【分析】 首先根据四边形内角和定理可得∠D+∠C=210° 再利用折叠性质可得∠'MD B =∠D ∠'NC A =∠C 即∠'MD B +∠'NC A =210° 从而得出∠'MD A +∠'NC B =150° 最后进一步利用三角形内角和定理求解即可.【详解】∠∠A=80° ∠B=70°∠∠D+∠C=360°−∠A −∠B=210°由折叠性质可得：∠'MD B =∠D ∠'NC A =∠C∠∠'MD B +∠'NC A =210°∠∠'MD A +∠'NC B =360°−(∠'MD B +∠'NC A )=150°∠∠'AMD +∠'BNC =360°−(∠'MD A +∠'NC B )−(∠A +∠B )=60°故选：B .【点睛】本题主要考查了三角形与四边形内角和定理以及折叠的性质 熟练掌握相关概念是解题关键.11．如图所示 将三角形纸片ABC 沿DE 折叠 使点B 落在点B ′处 若EB ′恰好与BC 平行 且∠B ＝80° 则∠CDE ＝_____°．【答案】130【解析】【分析】先求出∠B=∠B′=80° ∠BDE=∠B′DE根据平行线的性质得到∠B′DC=80° 进而得到∠BD B′=100° ∠BDE=50° 即可求出∠CDE＝130°．【详解】解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80° ∠BDE=∠B′DE∠EB′∠BC∠∠B′=∠B′DC=80°∠∠BD B′=180°-∠B′DC=100°∠∠BDE=∠B′DE=50°∠∠CDE＝180°-∠BDE=130°．故答案为：130【点睛】本题考查了折叠的定义平行线的性质邻补角的定义等知识熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键．12．如图△ABC中将边BC沿虚线翻折若∠1+∠2=102°,则∠A的度数是______．【答案】51°【解析】【分析】延长折叠后的直线交于A’ 根据折叠的性质及内角和即可求解.【详解】如图延长折叠后的直线交于A’由于折叠∠∠1+2∠3=180° ∠2+2∠4=180°∠∠1+∠2=102° ∠1+2∠3+∠2+2∠4=360°∠2∠3+2∠4=258°∠∠3+∠4=129°∠∠A=∠A’=180°-（∠3+∠4）=51°【点睛】此题主要考查折叠的性质 解题的关键是根据折叠作出辅助线进行求解.13．将一张纸如图所示折叠后压平 点F 在线段BC 上 EF 、GF 为两条折痕 若∠1＝57° ∠2＝20° ∠3的度数_____度【答案】23【解析】【分析】根据折叠的性质可知 1EFB '∠=∠ 3GFC '∠=∠ 然后对123180EFB GFC '∠+∠+∠+∠+∠'=︒计算求解即可．【详解】解：由折叠的性质可知 157EFB '∠=∠=︒ 3GFC '∠=∠∠123180EFB GFC '∠+∠+∠+∠+∠'=︒ ∠1805757203232︒-︒-︒-︒∠==︒ 故答案为：23°．【点睛】本题考查了折叠的性质 角的计算．解题的关键在于找出角度的数量关系．14．利用折纸可以作出角平分线 如图1则OC 为AOB ∠的平分线 如图2、图3 折叠长方形纸片 OC OD 均是折痕 折叠后 点A 落在点'A 点B 落在点'B 连接'OA ．①如图2 若点'B 恰好落在'OA 上 且32AOC ∠=︒ 则BOD ∠=__________；②如图3 当点'B 在'COA ∠的内部时 连接'OB 若44AOC ∠=︒ 61BOD ∠=︒ 求''A OB ∠的度数为__________．【答案】 58︒ 30【解析】【分析】①由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠ 根据180AOC A OC BOD B OD ''∠+∠+∠+∠=︒ 计算求解即可；② 由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠ 根据180AOC A OC A OD BOD ''∠+∠+∠+∠=︒ 求出A OD '∠的值 进而根据A OB B OD A OD ''''∠=∠-∠计算求解即可．【详解】解：①由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠∠180AOC A OC BOD B OD ''∠+∠+∠+∠=︒ 32AOC ∠=︒∠58BOD ∠=︒故答案为：58°．②由题意知AOC A OC '∠=∠ BOD B OD '∠=∠∠180AOC A OC A OD BOD ''∠+∠+∠+∠=︒ 44AOC ∠=︒ 61BOD ∠=︒∠1802446131A OD '∠=︒-⨯︒-︒=︒∠30A OB B OD A OD ''''∠=∠-∠=︒故答案为：30°．【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于找出角度的数量关系．类型三 多次折叠15．如图所示 把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后 3个顶点不重合 那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（）A．180°B．270°C．360°D．无法确定【答案】C【解析】【详解】由题意知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'∠∠B=∠B' ∠C=∠C' ∠A=∠A'∠∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360° 故选C．16．如图将∠ABC沿DE、HG、EF翻折三个顶点均落在点O处若∠1＝131° 则∠2的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．52°【答案】A【解析】【分析】先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B∠DOE＝∠A∠EOF＝∠C根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．【详解】由折叠得：∠HOG＝∠B∠DOE＝∠A∠EOF＝∠C∠∠A+∠B+∠C＝180°∠∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°∠∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°∠∠1+∠2＝180°∠∠1＝131°∠∠2＝180°﹣131°＝49°故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和解题的关键是掌握折叠的性质、三角形内角和.17．如图a是长方形纸带∠DEF=25° 将纸带沿EF折叠成图b 再沿BF折叠成图c 则图c中的∠CFE的度数是____________°．【答案】105°【解析】【详解】由图a知∠EFC=155°.图b中∠EFC=155° 则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.图c中∠GFC=130° 则∠CFE=130°-25°=105°.故答案为105°.点睛：在长方形的折叠问题中因为有平行线和角平分线所以存在一个基本的图形等腰三角形即图b中的等腰∠CEF其中CE=CF这个等腰三角形是解决本题的关键所在.18．如图1 ∠ABC中沿∠BAC的平分线AB1折叠剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠点B n与点C重合无论折叠多少次只要最后一次恰好重合我们就称∠BAC是∠ABC的好角.（1）如图2 在∠ABC中∠B>∠C 若经过两次折叠∠BAC是∠ABC的好角则∠B与∠C的等量关系是_______；（2）如果一个三角形的最小角是20° 则此三角形的最大角为______时该三角形的三个角均是此三角形的好角．【答案】 B 2C ∠∠= 140°、120°或80°【解析】【分析】（1）根据折叠性质可得∠A 1B 1B 2=∠C ∠AA 1B 1=∠B 由三角形外角性质可得∠AA 1B 1=2∠C 根据等量代换可得∠B=2∠C ；（2）先求出经过三次折叠 ∠BAC 是△ABC 的好角时 ∠B 与∠C 的等量关系为∠B=3∠C 进而可得经过n 次折叠 ∠BAC 是△ABC 的好角时∠B 与∠C 的等量关系为∠B=n∠C 因为最小角是20º 是△ABC 的好角 根据好角定义 设另两角分别为20mº 4mn° 由题意得20m+20mn+20=180° 所以m(n+1)=8 再根据m 、n 都是正整数可得m 与n+1是8的整数因子 从而可以求得结果．【详解】（1）根据折叠性质得∠B=∠AA 1B 1 ∠A 1B 1B 2=∠C∠∠AA 1B 1=∠A 1B 1B 2+∠C∠∠B=2∠C故答案为∠B=2∠C（2）如图：∠根据折叠的性质知 ∠B=∠AA 1B 1 ∠C=∠A 2B 2C ∠A 1B 1C=∠A 1A 2B 2∠根据三角形的外角定理知 ∠A 1A 2B 2=∠C+∠A 2B 2C=2∠C ；∠根据四边形的外角定理知 ∠BAC+∠B+∠AA 1B 1-∠A 1B 1C=∠BAC+2∠B -2∠C=180°根据三角形ABC 的内角和定理知 ∠BAC+∠B+∠C=180°∠∠B=3∠C ；∠当∠B=2∠C 时 ∠BAC 是△ABC 的好角；当∠B=3∠C 时 ∠BAC 是△ABC 的好角；故若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角 则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为∠B=n∠C ； ∠最小角为20°∠设另两个角为20m°和20mn°∠20°+20m°+20mn°=180° 即m(1+n)=8∠m 、n 为整数∠m=1 1+n=8；或m=2 1+n=4；或m=4 1+n=2.解得：m=1 n=7；m=2 n=3 m=4 n=1∠另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°∠此三角形最大角为140°、120°或80°时 三个角均是此三角形的好角.故答案为140°、120°或80°【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键．19．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 点A 在射线OP 上运动 点B 在射线OM 上运动 连接AB ．（1）如图1 已知AC BC 分别是BAP ∠和ABM ∠角的平分线①点A B 在运动的过程中 ACB ∠的大小是否发生变化？若发生变化 请说明理由；若不发生变化 试求出ACB ∠的大小．②如图2 将ABC ∆沿直线AB 折叠 若点C 落在直线PQ 上 记作点C ' 则ABO ∠=_______︒；如图3 将ABC ∆沿直线AB 折叠 若点C 落在直线MN 上 记作点C '' 则ABO ∠=________︒．（2）如图4 延长BA 至G 已知BAO ∠ OAG ∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线交其延长线交于E F 在AEF ∆中 如果有一个角是另一个角的32倍 求ABO ∠的度数． 【答案】（1）∠ACB 的大小不会发生变化 ∠ACB =45°；（2）30 60；（3）60°或72°．【解析】【分析】（1）①由直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 得到∠AOB=90° 根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270° 根据角平分线的定义得到∠BAC=12∠PAB ∠ABC=12∠ABM 于是得到结论；②图2中 由于将∠ABC 沿直线AB 折叠 若点C 落在直线PQ 上 得到∠CAB=∠BAQ 由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB 根据三角形的内角和即可得到结论；图3中根据将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线MN上得到∠ABC=∠ABN 由于BC平分∠ABM 得到∠ABC=∠MBC 于是得到结论；（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO ∠EOQ=12∠BOQ 进而得出∠E的度数由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90° 在∠AEF中由一个角是另一个角的32倍分情况进行分类讨论即可解答．【详解】（1）①∠ACB的大小不变∠直线MN与直线PQ垂直相交于O∠∠AOB=90°∠∠OAB+∠OBA=90°∠∠PAB+∠ABM=270°∠AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线∠∠BAC=12∠PAB ∠ABC=12∠ABM∠∠BAC+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°∠∠ACB=45°；②∠图2中将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线PQ上∠∠CAB=∠BAQ∠AC平分∠PAB∠∠PAC=∠CAB∠∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°∠∠AOB=90°∠∠ABO=30°∠图3中将∠ABC沿直线AB折叠若点C落在直线MN上∠∠ABC=∠ABN∠BC平分∠ABM∠∠ABC=∠MBC∠∠MBC=∠ABC=∠ABN∠∠ABO=60°故答案为：30 60；（2）∠∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E∠∠EAO=12∠BAO ∠EOQ=12∠BOQ∠∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO∠AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线∠∠EAF=90°．在∠AEF中∠有一个角是另一个角的32倍故有：①∠EAF=32∠E ∠E=60° ∠ABO=120°（不合题意舍去）；②∠EAF=32∠F ∠E=30° ∠ABO=60°；③∠F=32∠E ∠E=36° ∠ABO=72°；④∠E=32∠F ∠E=54° ∠ABO=108°（不合题意舍去）；．∠∠ABO为60°或72°．【点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问题的时候一定要注意外角与内角之间的联系不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想.。

八年级等边三角形知识点等边三角形是初中数学中的一个基本几何概念，是指三个边相等的三角形。

在八年级学习中，我们将学到等边三角形的性质和相关的计算方法。

本文将详细介绍八年级等边三角形的知识点，以便同学们更好地掌握该概念。

一、等边三角形的性质1. 三角形的内角和为180度，等边三角形的三个内角相等，因此每个内角都是60度。

2. 等边三角形的三边相等，周长等于三倍的边长。

3. 等边三角形的三边中垂线相交于三角形内部的一个点，该点叫做三角形的垂心，在等边三角形中，垂心和重心、外心、内心重合。

二、等边三角形的计算方法1. 面积计算公式：等边三角形的面积可以通过正弦公式或海伦公式来计算。

正弦公式：S = 1/2 × a² × sin60海伦公式：S = √3/4 × a²2. 高计算公式：等边三角形的高可以通过勾股定理求得，即：h² = a² - (a/2)² = 3/4 × a²。

3. 边长计算公式：等边三角形的边长可以通过斯奈尔定理求得，即：a = s/√3，其中s为三角形的面积。

三、等边三角形的应用等边三角形广泛应用于建筑、设计、物理等多个领域，例如：1. 在建筑设计中，等边三角形常用于构建立面形状，如烟囱、建筑外观等。

2. 在物理学中，等边三角形可以用来描述光学棱镜的形状，并且在光学实验中有着广泛应用。

3. 在艺术设计中，等边三角形被广泛应用于抽象艺术、装饰设计等方面。

四、总结在八年级数学学习中，等边三角形是一个重要的概念，其性质和计算方法需要同学们掌握。

了解等边三角形的应用领域也有助于同学们拓宽思路，丰富知识。

希望同学们能够通过本文的介绍更好地理解等边三角形知识点，从而取得更好的学习成果。

人教版八年级上册数学书本知识点归纳第十一章全等三角形一、全等形可以完全重叠旳两个图形叫做全等形。

二、全等三角形１. 全等三角形: 可以完全重叠旳两个三角形叫做全等三角形。

(两个三角形全等, 互相重叠旳顶点叫做对应点, 互相重叠旳边叫做对应边, 互相重叠旳角叫做对应角。

)２. 全等三角形旳符号表达、读法: △ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′, “≌”读作“全等于”。

(两个三角形全等时, 一般把对应顶点旳字母写在对应旳位置上, 这样对应旳两个字母为端点旳线段是对应边；对应旳三个字母表达旳角是对应角）。

３．全等三角形旳性质：全等三角形旳对应边相等, 对应角相等。

二、三角形全等旳鉴定:1. 三边对应相等旳两个三角形全等, 简写成“边边边”或“ＳＳＳ”。

2. 两边和他们旳夹角对应相等旳两个三角形全等, 简写成“边角边”或“ＳＡＳ”。

3. 两角和他们旳夹边对应相等旳两个三角形全等, 简写成“角边角”或“ＡＳＡ”。

4. 两个角和其中一种角旳对边对应相等旳两个三角形全等, 简写成“角角边”或“ＡＡＳ”。

5. 斜边和一条直角边对应相等旳两个直角三角形全等, 简写成“斜边、直角边”或“ＨＬ”。

(ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等, 识别两个三角形全等时, 必须有边旳参与, 假如有两边和一角对应相等时, 角必须是两边旳夹角。

)三、角旳平分线旳性质1. 性质: 角平分线上旳点到角旳两边距离相等。

２. 逆定理：在角旳内部, 到角旳两边距离相等旳点在角平分线上。

(３．三角形旳内心：运用角旳平分线旳性质定理可以导出：三角形旳三个内角旳角平分线交于一点, 此点叫做三角形旳内心, 它到三边旳距离相等。

)第十二章轴对称一、轴对称1．轴对称图形: 假如一种图形沿一条直线折叠, 直线两旁旳部分可以互相重叠, 这个图形就叫做轴对称图形, 这条直线就叫做对称轴。

折叠后重叠旳点是对应点, 叫做对称点。

2. 线段旳垂直平分线: 通过线段中点并且垂直于这条线段旳直线, 叫做这条线段旳垂直平分线3. 轴对称旳性质：1.假如两个图形有关某条直线对称, 那么对称轴是任何一对对应点所连线段旳垂直平分线。

新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料等边三角形（提高）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】【等边三角形，知识要点】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、（2015秋·黄冈期中）如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形，BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H.（1）求证：△BCE ≌△ACD ；（2）求证：FH ∥BD.【答案与解析】（1）证明： ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠BCA ＝∠ECD ＝60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE ，即∠BCE=∠ACD在△BCE 和△ACD 中BCE ACD CE B A D C C C ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （SAS ）（2）由（1）知△BCE ≌△ACD则∠CBF=∠CAH ，BC=AC又∵ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形，且点B 、C 、D 在同一条直线上，∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF ，在△BCF 和△ACH 中 CBE CAH BC ACBCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （ASA ）∴CF=CH ，又∵∠FCH ＝60°∴△CHF 是等边三角形∴∠FHC ＝∠HCD=60°，∴FH ∥BD【总结升华】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键。

《等边三角形》知识全解课标要求：1．了解等边三角形的概念，掌握等边三角形的性质和判定方法．2．等边三角形是特殊的等腰三角形，根据学习等腰三角形的方法来类比学习等边三角形．3．培养学生的自学能力和知识迁移能力．知识结构：内容解析：等边三角形的概念（1）特点：①三条边都相等；②三个角都相等，每个角都是60°．（2）与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，当等腰三角形的两条腰与底边相等时，这个等腰三角形就是一个等边三角形．因此，等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形．（3）等边三角形的判定方法①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．重点难点：本节内容的重点是：等边三角形的性质及判定．教学重点的解决方法：在观察实验的基础上进行性质的概括与判定的推导．通过观察实验，巧妙设问，解决重点．本节内容的难点是：探索等边三角形的性质及判定的过程．教学难点的解决方法：学生对于演绎推理方法证明几何定理或图形的性质还不是很熟练，对几何证明的意义也还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的教学困难重重．因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范．创设情境，动手实验，不断渗透，使学生更加理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识完整的给出证明得到结论．教法导引（1）注重将新知识与旧知识进行联系与类比．新旧知识的联系与类比有利于学生建立新的知识体系，同时也能在一定程度上培养学生的合情推理能力．等边三角形是在等腰三角形的基础上提炼出来的；等边三角形的性质和判定是通过类比等腰三角形的性质和判定得到的；这样可以进行适当的合情推理，并能较好地实现知识地正迁移．（2）注重让学生主动参与探索，给学生留有思考和操作的余地．对于等边三角形的性质，让学生动手剪出一个等边三角形，观察类比等腰三角形，提出自己的见解．教学活动的本质是一种合作，一种交流．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者．引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学．依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，加强与整式．实数相关内容的联系，使学生的学习形成正迁移．拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程．学法建议新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如等边三角形的判定方法可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高．等边三角形是一种特殊的等腰三角形，与等腰三角形的关系也可以让学生进行探究和归纳：等边三角形是特殊的等腰三角形，当等腰三角形的两条腰与底边相等时，这个等腰三角形就是一个等边三角形．因此，等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形．。

2023人教版八年级数学上册知识点数学思想方法是数学学问的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培育同学良好思维品质的催化剂。

下面是我整理的人教版八年级数学上册学问点，仅供参考期望能够帮忙到大家。

人教版八年级数学上册学问点1 全等三角形的对应边、对应角相等2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上9 角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合10 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)11 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边12 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合13 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°14 等腰三角形的判定定理假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)15 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形16 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形17 在直角三角形中，假如一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半18 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半19 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等20 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上初二数学求定义域口诀求定义域有讲究，四项原则须留意。

负数不能开平方，分母为零无意义。

指是分数底正数，数零没有零次。

限制条件不唯一，满意多个不等式。

2023年人教版八年级上册数学知识点归
纳总结
1. 整数和有理数
- 整数和有理数的概念及表示方法
- 整数和有理数的加减运算规则
- 整数和有理数的乘除运算规则
- 整数和有理数的比较大小方法
2. 分数和比例
- 分数的概念及表示方法
- 分数的加减乘除运算规则
- 分数的化简和整数化
- 分数的大小比较和约分
- 比例的概念及表示方法
- 比例的性质和应用
3. 代数式和方程式
- 代数式的概念及表示方法
- 代数式的加减乘除运算规则
- 代数式的因式分解和提公因式
- 一元一次方程的概念及解法
- 一元一次方程的应用
4. 图形的认识
- 点、线段和射线的概念
- 平面图形的分类及性质
- 直线、线段和射线的垂直和平行关系
- 多边形的分类及性质
5. 相似和全等三角形
- 三角形的概念及分类
- 三角形的角度和边长关系
- 相似三角形的性质和判定方法
- 全等三角形的性质和判定方法
6. 三角形的面积和体积
- 三角形的面积公式及计算方法
- 三角形的应用题解法
- 平行四边形和梯形的面积公式及计算方法
- 三棱柱和三棱锥的体积公式及计算方法
7. 数据的处理和统计
- 平均数的概念及计算方法
- 调查数据的收集和整理方法
- 极差、中位数和众数的计算方法
- 统计图表的制作和解读方法
以上是2023年人教版八年级上册数学的主要知识点归纳总结，希望对你的学习有所帮助！。

一、三角形及其特点注：三角形由三条边、三个顶点、三个角构成。

顶点为A,B,C旳三角形可以表达为△ABC,顶点无次序之分，顶点不一样，三角形就不一样。

三角形具有稳定性旳几何原理，四边形具有不稳定性旳几何原理。

将n边形进行稳定，需要（n-3）条对角线。

0、图中有三角形旳个数为（）A、4个B、6个C、8个D、10个0、图中有几种三角形？用符号表达图中所有旳三角形。

1、将一扇窗户打开后,用窗钩可将其固定,这里所运用旳几何原理是( )A.三角形旳稳定性B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.垂线段最短1、下列说法不对旳旳是（）A．周长相等旳两个等边三角形面积相等B．面积相等旳两个等边三角形周长相等C．三角形具有稳定性 D．多边形具有稳定性1、下面旳生活事例中，运用了三角形旳稳定性旳是（）A．制作推拉门窗时，把金属条做成四边形B．工人师傅常在一种四边形旳对角线上钉一根木条C．桌子常作成四条腿D．小明把一种正方形拉伸后使正方形变形2、我们学校校门口旳铁门，呈平行四边形，拉进拉出，伸缩自如，它应用旳原理是（）A．三角形旳稳定性 B．三角形旳不稳定性C．四边形旳稳定性 D．四边形旳不稳定性2、不是运用三角形稳定性旳是( )A．自行车旳三角形车架 B．三角形房架C．摄影机旳三角架 D．矩形门框旳斜拉条二、三角形旳种类注：三角形旳种类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形。

锐角三角形性质及判断措施：三个角都是锐角，任意两个角相加之和不小于90°直角三角形性质和判断措施：有一种角为90°，此外两个角相加是90°钝角三角形性质和判断措施：有一种角是钝角，此外两个角相加不不小于90°等腰三角形性质及判断措施：腰相等、底角相等等边三角形性质及判断措施：三条边相等；三个角相等；两个角是60°；一种角是60°旳等腰三角形。

0、下列说法:(1)三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；(2)三角形两边之和不一定不小于第三边；(3)等边三角形一定是等腰三角形；(4)有两边相等旳三角形一定是等腰三角形.其中说法对旳旳个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个三、三角形旳边长关系注：三角形，两边之和不小于第三边，a+b>c,由于两点之间线段最短；又有不等式旳基本性质,两边同步减去b ，我们可以得到a>c-b ，即：三角形，两边之差不不小于第三边。