10道题学透八年级数学《等边三角形的性质

等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。

等边三角形及其性质等边三角形是指三条边相等的三角形。

在几何学中，等边三角形是一种特殊的多边形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍等边三角形的定义、性质以及一些相关的应用。

一、等边三角形的定义等边三角形的定义很简单：三条边的长度都相等。

这意味着等边三角形的三个内角也相等，每个内角都是60度。

等边三角形可以看作是正六边形的一条对角线。

二、等边三角形的性质1. 内角相等：等边三角形的每个内角都是60度。

这个性质可以由等边三角形的定义得出。

2. 外角相等：等边三角形的每个外角都是120度。

外角是指从一个内角的延长线上的角度，它和内角的和等于180度。

3. 全等：等边三角形与其他等边三角形全等。

如果两个三角形的三边长度分别相等，则它们是全等的。

由于等边三角形的三条边都相等，所以一个等边三角形一定与另一个等边三角形全等。

4. 对称性：等边三角形具有对称性。

通过等边三角形的任意一个内角的顶点作垂直平分线，可以将等边三角形分成两个全等的等腰直角三角形。

三、等边三角形的应用1. 建筑设计：等边三角形是建筑设计中常用的形状之一。

例如，六边形状的建筑结构就可以看作是等边三角形的重复组合。

2. 艺术创作：等边三角形是一种稳定、均衡的形状，常出现在艺术创作中。

艺术家可以利用等边三角形的对称性和美感创作出具有视觉冲击力的作品。

3. 数学证明：等边三角形也是数学证明中常用的几何形状之一。

通过等边三角形的性质，可以推导出其他更为复杂的几何命题。

总结：等边三角形是一种特殊的多边形，具有较为明确的定义和独特的性质。

它的每个内角都是60度，每个外角都是120度。

等边三角形具有全等性、对称性等特点，这些特性赋予了等边三角形广泛的应用领域，包括建筑设计、艺术创作和数学证明等。

通过深入理解等边三角形的性质，我们可以更好地应用几何学知识，拓展我们的思维和创造力。

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题08 等边三角形的判定和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP V 中， 60P Ð=° ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP V 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ V 周长是（ ）A ．8＋2mB ．8＋mC ．6＋2mD ．6＋m 【答案】C【完整解答】解：∵60P Ð=° ， MN NP = ，∴△PMN 是等边三角形，∵MQ PN ⊥ ，∴QN=PQ= 12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，∵NG NQ = ，∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= 12MN ，∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG ，∵MNP V 的周长为12， MQ m = ，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，∴MGQ V 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形，得QN=PQ=12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=12MN ，推出QM=QG ，根据△MNP 的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，据此求解.2．（2分）（2021八上·铁岭期末）如图，E 是等边ΔABC 中AC 边上的点，12Ð=Ð，BE CD =，则ADE ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】B【完整解答】解：∵△ABC 为等边三角形∴AB=AC ，∠BAE=60°，∵∠1=∠2，BE=CD ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴AE=AD ，∠BAE=∠CAD=60°，∴△ADE 是等边三角形．故答案为：B ．【思路引导】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。

13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定知识点1 三角形的性质1．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )A．100° B．80°C．60° D．40°2．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝．第2题图第3题图3．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝．4．如图，点D，E分别在等边△ABC边BC，CA的延长线上，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：BE＝AD.知识点2等边三角形的判定5．已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A．等腰直角三角形B．一般的等腰三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形6．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC 是等边三角形．7．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC.求证：△CEB 为等边三角形．8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )A．15° B．30° C．45° D．60°第8题图第9题图9．如图，在等边△ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，AM与BN相交于点Q，则∠BAM＋∠ABN的度数是( )A．60° B．55°C．45° D．不能确定10．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm.11．如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形ODC，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小．12．如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动．设运动时间为t s，当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由．13．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程．第2课时含30°角的直角三角形的性质知识点含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最小边BC＝4 cm，则最长边AB的长是( ) A．5 cm B．6 cm C. 5 cm D．8 cm2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于( )A．3 B．4 C．5 D．6第2题图第3题图3．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8 cm，则BD＝，BE＝．4．等腰三角形顶角为30°，腰长是4 cm，则三角形的面积是．5．如图是某房屋顶框架的示意图，其中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，求∠B，∠C，∠BAD的度数和AB的长度．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，连接BD.若DE＝2，则AC的长为( )A．4 B．6 C．8 D．10第6题图第7题图7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，连接AE，BE＝6 cm，则AC的长为．9．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.(1)求∠E的度数；(2)求证：M是BE的中点．10．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.求：(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？(2)小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．参考答案：13．3.2 等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定1．B 2．3． 3．120°．4．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°. ∴∠BAE ＝∠ACD ＝120°. 在△BAE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CD ，∠BAE ＝∠ACD ，AB ＝CA ，∴△BAE ≌△ACD(SAS)．∴BE ＝AD.5．C6．证明：∵DC ＝DB ，∴∠B ＝∠DCB ＝30°.∴∠ADC ＝∠DCB ＋∠B ＝60°. 又∵AD ＝DC ，∴△ADC 是等边三角形． 7．∴BC ＝BE.∵AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，CE ⊥AB ， ∴∠ECB ＝60°. 又∵BC ＝BE ，8．A 9．A 10．18.11．解：∵△DOC 和△ABO 都是等边三角形，且点O 是线段AD 的中点，∴OD ＝DC ＝OC ＝OB ＝OA ，∠ADC ＝∠DAB ＝60°. 在△DBA 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠DAB ＝∠ADC ，AD ＝DA ，∴△DBA ≌△ACD(SAS)．∴∠BDA ＝∠CAD. ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠BDA ＋∠OBD ＝∠BOA ＝60°， ∴∠BDA ＝30°. ∴∠CAD ＝30°.∵∠AEB ＝∠BDA ＋∠CAD ， ∴∠AEB ＝60°.12．解：△BPQ 是等边三角形．理由：当t ＝2时， AP ＝2×1＝2(cm)， BQ ＝2×2＝4(cm)．∴BP ＝AB －AP ＝6－2＝4(cm)． ∴BQ ＝BP.∴∠B＝60°.∴△BPQ是等边三角形．13．解：(1)△ODE是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC.∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠DBO＝∠DOB.∴DB＝DO.同理：EC＝EO.∵△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.第2课时含30°角的直角三角形的性质1．D2．A3．2__cm．4．4__cm2．5．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝12×(180°－120°)＝30°.∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∠BAD ＝12∠BAC ＝60°.又∵∠B ＝30°， ∴AB ＝2AD ＝7 m. 6．B 7．C 8．3__cm ． 9．解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°. 又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE. 又∵∠ACB ＝∠E ＋∠CDE ， ∴∠E ＝12∠ACB ＝30°.(2)证明：连接BD ，∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°.由(1)知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°，∴DB ＝DE. 又∵DM ⊥BC ，∴M 是BE 的中点． 10．解：(1)过点P 作PD ⊥AB 于点D.∵∠PBD ＝90°－60°＝30°，∠PAB ＝90°－75°＝15°， ∴∠APB ＝30°－15°＝15°.∴∠PAB ＝∠APB.∴BP ＝AB ＝7海里． (2)∵∠PBD ＝30°，∠PDB ＝90°， ∴PD ＝12PB ＝3.5海里．∵3.5>3，∴该轮船继续向东航行，没有触礁的危险．。

等边三角形的性质与特点等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。

它具有一些独特的性质和特点，下面将详细讨论这些。

1. 边长性质：等边三角形的三条边长度完全相等，记为a。

这意味着任意两边之间的角度也相等，每个角度都是60度。

2. 角度性质：等边三角形的每个角度都是60度。

因为三角形内角和为180度，且三个角度相等，所以每个角度都是60度。

等边三角形也是等角三角形。

3. 内角性质：等边三角形的每个内角都是60度。

由于等边三角形的三个内角相等，而内角和为180度，所以每个内角都是60度。

4. 对称性质：等边三角形具有轴对称性。

任意选择等边三角形上的一点作为中心点，经过中心点作等距离的两条直线分别与三条边相交，这三条直线互相垂直，并将等边三角形分成对称的三个小三角形。

5. 轴对称性质：等边三角形还具有轴对称性。

任意选择等边三角形上的一条边作为轴线，将等边三角形绕轴线旋转180度后，能够和原来的等边三角形完全重合。

6. 面积性质：等边三角形的面积可以通过直接计算得到。

等边三角形的面积公式为：面积 = (边长的平方× √3) / 4。

这个公式可以通过将等边三角形分成两个等腰直角三角形来推导。

7. 周长性质：等边三角形的周长即为三条边的长度之和，即周长 = 3a，其中a为等边三角形的边长。

综上所述，等边三角形具有相等的边长、角度、内角，具有对称性和轴对称性。

其面积可以通过公式计算，周长等于三边长度之和。

了解等边三角形的性质与特点有助于我们在几何学的学习和实际问题中应用这些知识。

等边三角形的性质及推论专项练习等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

在几何学中，等边三角形有许多重要的性质和推论。

在本篇文章中，我们将探讨等边三角形的性质和推论，并进行一些专项练习。

一、等边三角形的性质：1. 三边相等：等边三角形的三条边长相等，即a = b = c。

2. 三个内角相等：等边三角形的三个内角均为60度，即∠A = ∠B = ∠C = 60°。

3. 具有对称性：等边三角形具有三个对称轴，分别是三条边的中垂线、三条边的角平分线以及连接顶点和中点的线段。

二、等边三角形的推论：1. 等边三角形的角平分线和边的垂直平分线重合。

证明：设在等边三角形ABC中，D和E分别是AB、AC的垂直平分线交BC的点。

由对称性可知，AD和AE也是AB和AC的垂直平分线。

由于AD和AE相交于A点，所以A点是BC的垂直平分线，即AD = AE。

又由于∠DAB = ∠EAC = 90°，所以AD与AE重合，即AD = AE = BC的垂直平分线。

2. 等边三角形的高线、中线和角平分线重合。

证明：设在等边三角形ABC中，D和E分别是BC和AC的中点。

连接DE，由于BC = AC，所以BD = CE，且∠BDC = ∠CEA。

又因为∠DBC = ∠ECA = 90°，所以△BDC与△CEA全等。

由于BD = EC，所以DC = EA，即DC与EA重合，即DC = EA。

又由DE是BC和AC的中垂线，所以DE为高线。

因此，高线DE重合于中线CD和AE，且角平分线重合于高线DE。

3. 等边三角形的外接圆的半径等于边长的一半。

证明：设等边三角形ABC的边长为a，外接圆的半径为R。

连接AB、BC、CA分别与外接圆的切点为D、E、F。

由于等边三角形的三个角均为60°，所以△ABC为等边三角形。

由于AD是正弦定理中的角的对边，所以AD = a/√3。

由于BE是正弦定理中的角的对边，所以BE = a/√3。

10道题学透八年级数学《等边三角形的性质等边三角形（EquilateralTriangle），又称等腰三角形，它是一种常见的几何图形，学校的数学课上经常会讲到它的特性。

本文将主要介绍等边三角形的性质，帮助八年级学生更好地理解等边三角形的性质以及有关数学内容。

首先，等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

首先，由等边三角形的定义可以知道，其三边长度一定是相等的，即边长a=b=c，即a≡b≡c。

根据全等三角形的定义，它的三个内角的角度一定是相等的，即∠A=∠B=∠C，即∠A≡∠B≡∠C。

以上就是全等三角形的最基本性质。

其次，根据三角函数公式可以知道，等边三角形中，三个内角的度数均为60°。

根据三角形角度定理，等边三角形的内角之和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°。

根据几何直角定理，可知等边三角形的外接圆半径为a/(2sin60°)，其中a是三角形的边长。

此外，等边三角形的面积也可以通过已知的边长a计算得出，即面积S=3√3a2/4。

等边三角形的性质不仅仅局限于上述内容，而且还可利用其特定的性质来解决更加复杂的数学问题。

举个例子，假设已知三角形的一条内角的度数A=60°，若要求出三角形的另外两个角的度数，则可以利用等边三角形的性质，即∠B+∠C=180°-A，由此可得出∠B=90°-A/2，∠C=90°-A/2。

最后，等边三角形也可以用适当的联系来推广，到更大、更复杂的数学内容。

具体来说，在学校数学课上，经常会讲到锐角三角形、钝角三角形，以及等腰直角三角形等相关知识。

这些知识也都是以等边三角形的性质为基础进行扩展的，这时，学生就要求掌握等边三角形的基本性质，才能更好地理解这些相关知识。

总之，等边三角形是常见的几何图形，其基本性质如上所述。

此外，等边三角形也是进行数学计算和推广的基础，因此，八年级学生在学习数学时，要特别注意学好等边三角形的性质。

等边三角形的性质等边三角形是一种特殊的三角形，其三条边长度相等。

本文将从多个角度来介绍等边三角形的性质。

1. 等边三角形的定义等边三角形指的是三边长度相等的三角形。

其特点是每个角都是60度。

2. 等边三角形的内角性质等边三角形的每个内角都是60度。

这是因为三角形的三个内角之和为180度，而等边三角形的三边长度相等，所以每个内角都相等。

3. 等边三角形的外角性质等边三角形的每个外角都是120度。

外角是指以三角形的某个内角为顶点，将其与相邻的另外两个内角所组成的角。

由于等边三角形的每个内角都是60度，所以每个外角都是180度减去60度，即120度。

4. 等边三角形的重心、垂心和外心等边三角形的重心、垂心和外心均落在三角形的内部。

- 重心是等边三角形三条中线的交点，也是等边三角形的重心和重心连线上的点都等于等边三角形边长的三分之一。

- 垂心是等边三角形的三条高线的交点，也是等边三角形中心和垂心连线上的点都等于边长的两分之根号三。

- 外心是等边三角形外接圆的圆心，也是等边三角形的外心和外心连线上的点都等于等边三角形的边长。

5. 等边三角形的面积等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 1/4 * 根号三 * 边长的平方。

6. 等边三角形的周长等边三角形的周长等于三条边的长度之和，即 3 * 边长。

7. 等边三角形的构造方法等边三角形可以通过以下两种构造方法进行构造：- 利用尺规作图的方法，通过画出一个正六边形然后连接其对角线来获得等边三角形。

- 利用直角三角形的特殊性质，通过正三角形和等腰直角三角形的组合来构造等边三角形。

总结：等边三角形具有三边相等的性质，每个内角都是60度，每个外角都是120度。

等边三角形的重心、垂心和外心都位于三角形的内部。

其面积可以通过特定公式计算，周长为三条边的长度之和。

此外，还介绍了等边三角形的构造方法。

通过本文的介绍，我们对等边三角形的性质有了更深入的了解。

等边三角形在几何学中具有重要地位，有着许多有趣的性质和特点。

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题06 等边三角形的性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， ABC V 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使 CE CD = ，则下列结论错误的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120BDE ∠=︒C ．DE BD =D ．DE AB=【答案】D 【完整解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB ＝60°，∵BD 是AC 上的中线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠DEC ＝60°，又CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠CED ＝30°，∴∠CBD ＝∠DEC ，∴DE=BD ，∠BDE ＝∠CDB ＋∠CDE ＝120°，故A 、B 、C 均正确．故答案为：D ．【思路引导】利用等边三角形性质得∠ABC=∠ACB ＝60°，∠ADB ＝∠CDB ＝90°；∠ABD ＝∠CBD ＝30°，再利用三角形的外角的性质及等腰三角形的性质可得到∠CDE ＝∠CED ＝30°，可对A 作出判断；由此可推出∠CBD=∠DEC ，同时可求出∠BDE 的度数，可对B 作出判断；利用等角对等边可证得DE=DB ，可对C 作出判断；不能证明DE=AB ，可对D 作出判断.2．（2分）（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角 α 的取值范围是（ ）A ．090α︒<<︒B ．60180α︒<<︒C ．6090α︒≤<︒D ．60180α︒≤<︒【答案】D【完整解答】解：根据题意得：最大角180α<︒ ， 当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且60α=︒ ，∴最大角a 的取值范围是 60180α︒≤<︒ .故答案为：D. 【思路引导】根据三角形的内角和定理可得α<180°，当三角形为等边三角形时，α=60°，据此可得α的范围.3．（2分）（2021八上·遵义期末）点D 、E 分别是等边三角形 ABC 的边 BC 、 AB 的中点， 6AD = ，F 是AD 上一动点，则 BF EF + 的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A 【完整解答】解：连接CE ，交AD 于F ，连接BF ，则BF+EF 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），∵E 是AB 的中点，△ABC 是等边三角形，CE AB∴⊥由于C 和B 关于AD 对称，则BF+EF=CF ，∵等边△ABC 中，BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线（三线合一），∴C 和B 关于直线AD 对称，∴CF=BF ，即BF+EF=CF+EF=CE ，∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB 和△CEB 中，ADB CEB ABD CBE AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEB （AAS ），∴CE=AD=6，即BF+EF=6.故答案为：A.【思路引导】连接CE ，交AD 于F ，连接BF ，则BF+EF 最小，根据等边三角形的性质可得CE ⊥AB ，根据轴对称的性质可得BF+EF=CF ，推出AD 是BC 的垂直平分线，得到CF=BF ，则BF+EF=CF+EF=CE ，证明△ADB ≌△CEB ，得到CE=AD=6，据此解答.4．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC 是等边三角形，点E 是AC 的中点，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长BC 交EF 的反向延长线于点D ，若EF=1，则DF 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】C 【完整解答】解：连接BE，∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，∵EF⊥AB，∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，∴BE=DE，在Rt△BEF中，EF=1，∴BE=2EF=2，∴BE=DE=2，∴DF=EF+DE=3，故答案为：C.【思路引导】连接BE，根据等边三角形的性质得∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，易求∠D=30°，即得∠D=∠CBE，由等角对等边可得BE=DE，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2，即得DE=2，从而得出DF=EF+DE=35．（2分）（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）A．8B．10C．11D．12【答案】B【完整解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH=GH，∠FHG=60°，∴∠AHF+∠GHC=120°，∵△ABC 为等边三角形，∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC ，∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC ，∴∠AHF=∠HGC ，在△AFH 和△CHG 中A C AHF HGC FH GH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFH ≌△CHG （AAS ），∴AF=CH.∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，∴BE=FH ，∴五边形DECHF 的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF ，=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，=AB+BC=10.故答案为：B.【思路引导】利用AAS 证明△AFH ≌△CHG ，可得AF=CH ，由于△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，可得BE=FH ，由于五边形DECHF 的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+AF)+(CE+BE)=AB+BC ，据此计算即可.6．（2分）（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边ABC V 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．95B ．2C ．115D ．125【答案】B【完整解答】解：过P 作PM BC P ，交AC 于M，∵ABC V 是等边三角形，∴60APM B ∠=∠=︒，60A ∠=︒，∴APM V 是等边三角形，又∵PE AM ⊥，∴12AE EM AM ==，∵PM CQ P ，∴PMD QCD ∠=∠，MPD Q ∠=∠，∵PA PM =，PA CQ =，∴PA PM CQ ==，在PMD V 和QCD V 中，PDM CDQ PMD DCQ PM CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴PMD QCD V V ≌，∴12CD DM CM ==，∴11()222DM ME AM MC AC +=+==，故答案为：B ．【思路引导】过P 作PM BC P ，交AC 于M ，得出APM V 是等边三角形，推出PA PM CQ ==，根据等腰三角形的性质证出PMD QCD V V ≌，推出12CD DM CM ==，即可得出结论。

等边三角形的判定和性质（参考用时:30分钟）基础达标1.下列三角形，①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60。

的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是（A）（A）3个（B）2个（C）l个（D）0个2.如图，在RtAABC中,CM平分NACB交AB于点M,过点M作MX//BC 交AC于点N,且MN平分/AMC.若AN=1,则BC的长为（B）(A)4(B)6(C)4a/3(D)8第2题图3.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则ZBAD=30°第3题图4.如图，己知ZA0B=30°，点P在边0A上，点M,N在边0B上,且PM=PN=10,MN=12,则0P二16.第4题图5.如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，匕BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将AABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150度.第5题图6.如图，等边AABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC,求证:AD=BE.证明：在等边△A BC41,ZBAC=ZACB=60°,AB=AC,所以ZBAE=ZACD=120°.因为AE=CD,所以△A BE^ACAD.所以AD=BE.7.己知:如图，点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.ft证明：过点D作DM/7BE交AC于点M,则有ZMDF=ZE.在ZXMDF与Z\CEF中，因为NMFD=NCFE,FD二FE, ZMDF=ZE,所以△M DF^ACEF,所以DM=CE.因为AABC为等边三角形，所以ZA=ZB=60&.因为DM〃BE,所以ZADM=ZB=60w,ZADM=ZA=60°,所以AADM为等边三角形，所以DM=AD,所以AD=CE.8.如图所示，己知a〃b,c〃b,试用反证法证明：a〃c.证明：假设a与c不平行，即a与c相交,不妨设交点为P,由于a〃b,c 〃b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行，这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，故假设不成立.所以a〃c.9.如图，在RtAABC中，NACB=90°,ZB=30°,AC=3,AD是Z\ABC的角平分线,DE±AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是AABC的角平分线，所以NEAD=/CAD.因为ZACB=90°,DE_LAB,所以ZACD=ZAED.在Z\ACD与Z\AED中，ZACD=ZAED=90°,ZEAD=ZCAD,AD=AD,所以△A CD竺△AED,所以AE=AC.因为ZB=30。

等边三角形的性质和角度关系的归纳一、等边三角形的定义等边三角形是指三条边都相等的三角形。

二、等边三角形的性质1.三条边相等。

2.三个角都相等。

3.每条边上的高、中线和角平分线重合。

4.面积是边长的平方根乘以根号3除以4。

三、等边三角形的角度关系1.每个角都是60度。

2.任意两个角的和等于120度。

3.任意两个角的差等于60度。

四、等边三角形的判定1.如果一个三角形的三条边相等，那么这个三角形是等边三角形。

2.如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形。

五、等边三角形的相关公式1.面积公式：S = (a^2 * √3) / 4，其中a为边长。

2.周长公式：P = 3a，其中a为边长。

六、等边三角形的应用1.在建筑和设计中，等边三角形因其稳定性和美观性而被广泛应用。

2.在几何学中，等边三角形是研究三角形性质的重要模型。

3.等边三角形是六边形和多边形等形状的基础。

七、等边三角形与非等边三角形的比较1.等边三角形的所有边和角都相等，而非等边三角形的边和角不一定相等。

2.等边三角形的面积和周长公式简单，而非等边三角形的面积和周长公式复杂。

3.等边三角形具有特殊的对称性和稳定性，而非等边三角形则没有这些性质。

八、等边三角形的相关定理和性质1.斯图尔特定理：等边三角形的中心点到三角形三个顶点的距离相等。

2.等边三角形的对称轴是高、中线和角平分线的交点。

3.等边三角形的对边相等，对角相等。

通过以上归纳，希望对等边三角形的性质和角度关系有一个全面的认识。

在学习和研究过程中，要注重理论联系实际，提高自己的几何思维能力。

习题及方法：1.习题：如果一个三角形的边长分别为6cm、6cm、6cm，求这个三角形的面积。

答案：这个三角形是等边三角形，边长为6cm，所以每个角都是60度。

根据等边三角形的面积公式S = (a^2 * √3) / 4，代入a=6cm，得到 S =(6^2 * √3) / 4 = 18√3 cm^2。

等边三角形的性质等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

它具有一些独特的性质和特点，下面将详细介绍等边三角形的相关知识。

一、定义等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

在等边三角形中，三个内角也都相等，每个内角都为60度。

二、性质1. 边长相等：等边三角形的三条边相等，即a=b=c，其中a、b、c分别表示三角形的三条边的长度。

2. 角度相等：等边三角形的三个内角都相等，每个内角都为60度。

3. 对称性：等边三角形具有对称性，即三个顶点对称。

对称轴为三条高。

4. 面积计算：等边三角形的面积可以使用海伦公式进行计算，即S= √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))，其中s为半周长，a、b、c分别为三角形的三条边的长度。

三、性质证明等边三角形的性质可以通过几何推理和数学证明得出。

1. 边长相等证明：假设等边三角形的三条边分别为a、b、c。

根据等边三角形的定义，可以得出：a = b, b = c。

再由传递性可得：a = b = c。

2. 角度相等证明：假设等边三角形的三个内角分别为A、B、C。

根据等边三角形的定义，可以得出：A = B, B = C。

再由传递性可得：A = B = C。

因为三角形的内角和为180度，所以A + B + C = 180度。

将A、B、C代入可得：A + A + A = 180度。

即3A = 180度，解得：A = 60度。

所以等边三角形的三个内角都为60度。

3. 对称性证明：假设等边三角形的三个顶点分别为P、Q、R。

由于三角形的三条边相等，所以PQ = QR = RP。

可以通过旋转等边三角形来证明对称性，即将等边三角形绕顶点P 旋转120度，得到新的三角形P'Q'R'。

显然，PQ = P'Q'，QR = Q'R'，RP = R'P'。

因此，等边三角形具有对称性。

等边三角形的判定与性质难题一、选择题（共1小题）1．（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）2．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是_________ ．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）3．如图，P是等边△ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2．4．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．（1）求证：BE=EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A 不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．（2008•朝阳区二模）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．6．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若PA=PB=PC，则△PMC是_________ 三角形；（3）若PA：PB：PC=1：：，试判断△PMC的形状，并说明理由．7．（2006•徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S．（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，①求证：△D2E2F2是等边三角形；②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2= _________ ；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=_________ ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当D n、E n、F n分别是等边△ABC三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（n为正整数）△D n E n F n 是_________ 三角形；若用S表示△AD n F n的面积S n，则S n= _________ ；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′n= _________ ．8．（2009•莆田）已知：等边△ABC的边长为a．探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【考点训练】等边三角形的判定与性质-1参考答案与试题解析一、选择题（共1小题）1．（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°考点：等边三角形的判定与性质．分析：先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．解答：解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC=CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B=60°，∴∠A=30°，故选：B．点评：考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）2．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是17 ．考点：等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角．专题：计算题．分析：先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可．解答：解：如图所示，∵六个内角都是120°，∴三角形的每个内角都是60°，即△CDE，△BFG，△AHI，△ABC都为等边三角形，∴CE=2，BF=3，∴BC=2+4+3=9，∴AH=AB﹣GH﹣BG=9﹣1﹣3=5，∴DI=AC﹣AI﹣CD=9﹣5﹣2=2，HI=AH=5，∴该六边形的周长是：1+3+4+2+2+5=17．故答案为17．点评：主要考查了正多边形的相关性质．边相等，角相等．三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）3．如图，P是等边△ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2．考点：等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．分析：首先将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，易证得△PCQ是等边三角形，△APQ是直角三角形，则可求得∠APC的度数，然后可求得∠APD的度数，在Rt△APD中，即可求得AD与CD 的长，继而求得AC2．解答：解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，∴AQ=PB=5，CQ=PC，∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形，∴PQ=PC=3，∠QPC=60°，在△PAQ中，∵PA=4，AQ=5，PQ=3，∴AQ2=PA2+PQ2，∴∠APQ=90°，∴∠APC=∠APQ+∠QPC=150°，∴∠APD=30°，在Rt△APD中，AD=PA=2，PD=AP•cos30°=2，则CD=PC+PD=3+2，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=4+（3+2）2=25+12．点评：此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．（1）求证：BE=EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A 不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：（1）利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论；（2）由中位线的性质、平行线的性质，等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明．解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=CA，∵DE是中位线，∴E是AC的中点，∴BE平分∠ABC，AE=EC，∴∠EBC=∠ABC=30°∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠CEF=∠F．∵∠CEF+∠F=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠EBC=∠F∴BE=EF；（2）结论任然成立．∵DE是由中位线平移所得，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°．∴△ADE是等边三角形．∴DE=AD=AE，∵AB=AC，∴BD=CE，∵AE=CF，∴DE=DF，∵∠BDE=180°﹣∠ADE=120°，∠FCE=180﹣∠ACB=120°，∴∠FCE=∠EDB，∴△BDE≌△ECF，∴BE=EF．点评：此题考查等边三角形以及三角形全等的判定与性质等知识点．5．（2008•朝阳区二模）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH=BG．由D、E、F是等边△ABC三边中点，可得△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD，可证明△DBG≌△DEH，然后即可证明；（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．可得DG=DH，∠BDG=∠EDH．由∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60°，可得∠GDH=∠EDH﹣∠EDG=60°，即可证明．（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．解答：证明：连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH=BG．∵D、E、F是等边△ABC三边中点，∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD．在△DBG和△DEH中，，∴△DBG≌△DEH（SAS），∴DG=DH．∴∠BDG=∠EDH．∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°，∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．（2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．∴DG=DH，∠BDG=∠EDH．∵∠BDE=∠BDG﹣∠EDG=60°，∴∠GDH=∠EDH﹣∠EDG=60°．∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．（3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是巧妙地作出辅助线进行解题．6．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若PA=PB=PC，则△PMC是等边三角形；（3）若PA：PB：PC=1：：，试判断△PMC的形状，并说明理由．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．专题：探究型．分析：（1）通过观察应该是相等关系，可通过证三角形APB和BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠ABP和∠MBC都是60°﹣∠PBC，因此这两个角相等，也就凑成了三角形全等的所有条件．因此可得两三角形全等，也就证明了AP=CM；（2）根据（1）的结论AP=CM，又有三角形BPM是等边三角形，因此PA=PB=PC 可写成PM=PC=CM，也就是说三角形PMC是等边三角形．（3）根据AP=CM，BP=PM，我们可将题中给出的比例关系式写成CM：PM：PC=1：：．我们发现这三边正好符合勾股定理的要求．因此三角形PMC是直角三角形．解答：解：（1）AP=CM．∵△ABC、△BPM都是等边三角形，∴AB=BC，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°．∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°．∴∠ABP=∠CBM．∴△ABP≌△CBM．∴AP=CM．（2）等边三角形．（3）△PMC是直角三角形．∵AP=CM，BP=PM，PA：PB：PC=1：：，∴CM：PM：PC=1：：．设CM=k，则PM=k，PC=k，∴CM2+PM2=PC2∴△PMC是直角三角形，∠PMC=90°．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定以及直角三角形的判定．通过全等三角形得出线段相等是本题的解题关键．7．（2006•徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的面积S1=S．（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，①求证：△D2E2F2是等边三角形；②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=S ；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′=S ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当D n、E n、F n分别是等边△ABC三边上的点，AD n=BE n=CF n=AB时，（n为正整数）△D n E n F n 是等边三角形；若用S表示△AD n F n的面积S n，则S n=；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′n=．考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）由等边三角形的性质和已知条件可证△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2所以△D2E2F2为等边三角形．（2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求．解答：解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）由已知得AD2=AB，BE2=BC，∴AF2=AC，BD2=AB∴AD2=BE2，AF2=BD2（2分）△AD2F2≌△BE2D2（3分）∴D2E2=F2D2同理可证△AD2F2≌△CF2E2F2D2=E2F2（4分）∴D2E2=E2F2=F2D2∴△D2E2F2为等边三角形；（5分）②；（6分）S′2=S﹣S×3=S（7分）（2）由（1）可知：△D n E n F n等边三角形；（8分）由（1）的方法可知：，S3=S，…；（9分）S2′=S，S3′=…．（10分）点评：本题考查了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律．8．（2009•莆田）已知：等边△ABC的边长为a．探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．考点：等边三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：综合题；压轴题．分析：（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；（2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确．解答：（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵BC⊥MN，BA⊥MG，∴∠CBM=∠BAM=90°．∴∠ABM=90°﹣∠ABC=30°．∴∠M=90°﹣∠ABM=60°．同理：∠N=∠G=60°．∴△MNG为等边三角形．在Rt△ABM中，BM=a，在Rt△BCN中，BN=a，∴MN=BM+BN=a．（2）②：结论1成立．证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC 于点M，∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，∴△AGH是等边三角形，∴GH=AH．∵OE⊥BC，∴OE∥HM，∴四边形OEMH是矩形，∴HM=OE．在Rt△ODG中，OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=OG，在Rt△OFH中，OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=OH，在Rt△HMC中，HM=HC•sinC=HC•sin60°=HC，∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH=（GH+HC）=AC=a．（2）②：结论2成立．证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，∴BE2+CF2+AD2=（a﹣AD）2+（a﹣BE）2+（a﹣CF）2=a2﹣2AD•a+AD2+a2﹣2BE•a+BE2+a2﹣2CF•a+CF2整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF=a．点评：本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．。

等边三角形的性质习题精选一．选择题（共14小题）1．（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．602．（2009•江干区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（）A．B．C．D．3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A．L l=L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10D．20﹣106．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）A．阴影部分面积大B．空白部分面积大C．一样大D．不确定7．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（）A．190B．192C．194D．1968．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A．4个B．5个C．6个D．7个9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．12B．9C．8D．410．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若AB=，则BE=（）A．1B．2C．3D．412．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A．36 B．32 C．30 D．2813．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A．100B．60C．100 D．6014．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°二．填空题（共9小题）15．（2007•沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_________．16．（2012•南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为_________．17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，…，按此方法操作，最终得到△OMN，此时ON在OA上．若AB=1，则ON=_________．18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有_________个；△PAB的面积是_________．19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为_________．20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=MN，那么∠APQ+∠CQP=_________．21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=_________．22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是_________．23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为_________．三．解答题（共7小题）24．阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_________（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=_________．若不存在，请说明理由．25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由．（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）．求证：PA+PB+PC ＞OA+OB+OC．28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．29．阅读下列材料，解答相应问题：已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h．小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：证明：如图3，连接AP．∴S△ABC=S△ABP+S△APC．设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴BC•AD=AB•PE+AC•PF∴a•h=a•h1+a•h2．∴h1+h2=h．（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．30．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．。

等边三角形的性质（北师版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下面选项对于等边三角形不成立的是( )A.三边相等B.三角相等C.是等腰三角形D.只有一条对称轴答案：D解题思路：等边三角形三边都相等、三个内角都是60°，所以A，B选项成立；等边三角形三边都相等，所以等边三角形是特殊的等腰三角形，故C选项成立；等边三角形的三边的垂直平分线均为对称轴，所以对称轴有3条，故D选项不成立．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，△ABC是等边三角形，AE∥BD，若∠CBD=15°，则∠CAE的度数为( )A.45°B.55°C.60°D.75°答案：A解题思路：∵AE∥BD∴∠ABD+∠BAE=180°∴∠CBD+∠ABC+∠BAC +∠CAE=180°∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°∵∠CBD=15°∴∠CAE=45°故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为( )A.30°B.20°C.25°D.15°答案：D解题思路：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°．∵AD是等边△ABC的中线∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAC=×60°=30°．∴∠ADC=90°．∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°．∴∠EDC=15°故选D．试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE 的度数为( )A.15°B.30°C.45°D.60°答案：A解题思路：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠ACB=60°∴AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∴∠ACE=15°．故选A．试题难度：三颗星知识点：略5.如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为( )A.60°B.45°C.40°D.30°答案：A解题思路：如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC=AC，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠1=∠2，又∵∠1+∠DAC=60°，∴∠2+∠DAC=60°，∴∠DFC=60°．故选A．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF=FD；③BE=BD；④∠ABE=60°.其中正确的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案：A解题思路：∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=DC，∠BAD=30°，①正确，又∵△ADE是等边三角形，∴AF⊥ED，EF=FD，②正确，由②得BE=BD，③也正确，由②得，∠ABE=∠ABD，∴∠ABE=60°，④也正确，①②③④都正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：略7.如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：根据题意，∠BPC=360°-60°×2-90°=150°，∵BP=PC，∴∠PBC=(180°-150°)÷2=15°，①正确；△APD是等腰直角三角形，△PBC是等腰三角形，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，可得∠BAD=105°，∠ABC=75°，∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC，②正确；延长CP交AB于点E，∵∠BPC=150°，∴∠BPE=30°，即PE是∠APB的角平分线，而△ABP为等边三角形，∴PC⊥AB，③正确；根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，④也正确，四个命题都正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形BCN，连接AN，BM．若∠MBN=38°，则∠ANB等于( )A.82°B.92°C.90°D.98°答案：A解题思路：∵△ACM和△BCN是等边三角形，∴AC=MC，CB=CN，∠ACM=∠BCN∴∠ACN=∠MCB．∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴∠ANC=∠MBA．∵∠MBN=38°∴∠MBA=22°，∴∠ANC=22°．∴∠ANB=82°．故选A．试题难度：三颗星知识点：略9.如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，则∠BDE等于( )A.20°B.30°C.35°D.40°答案：B解题思路：要求∠BDE的度数，缺少条件，考虑转化，连接CE，可证△DBE≌△CBE（SAS），求∠BDE就转化为求∠3．猜测∠3=∠4，需通过证明△ACE≌△BCE得到．如图，连接CE．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AC，∠ACB=60°，∵BE平分∠DBC，∴∠1=∠2．∵BD=AC，∴BD=BC，又∵BE=BE，∴△DBE≌△CBE（SAS），∴∠BDE=∠3．∵EA=EB，AC=BC，CE=CE，∴△ACE≌△BCE（SSS），∴∠3=∠4，∴∠3=30°，∴∠BDE=30°．故选B．试题难度：三颗星知识点：略10.如图，△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是( )A.124°B.122°C.120°D.118°答案：B解题思路：如图，∵△ABC和△CDE都是正三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠BCD=∠ACE，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠DBC=∠4，即62°-∠1=60°-∠3，即62°-(60°-∠2)=60°-∠3，∴∠2+∠3=58°，在△ABE中，∠AEB=180°-(∠2+∠3)=122°．故选B．试题难度：三颗星知识点：略。