人教版八年级数学上册等边三角形

四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．等边三角形性质的应用【例1】（2014秋•荔湾区期末）如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（）A．7 B．8 C．9 D．10总结：当题中出现等边三角形时，要充分利用等边三角形的性质，尤其是三边相等，三个内角都为60°.练1（2014•路南区一模）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m 所夹锐角为20°，则∠α的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°2．判断成为等边三角形需添加的条件【例2】（2012•闵行区三模）已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个总结：等边三角形有下面三个判定方法：（1）三边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.练2（2013秋•湖南校级期末）下列四个说法中，正确的有（）个．①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有两个角等于60°的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个3．利用等边三角形的性质和判定综合应用【例3】（2014•温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．总结：1.利用等边三角形三边相等和三个内角都为60°的性质，可以得到一些边相等和角相等的关系.2.利用有两个角为60°的三角形是等边三角形可以判定新的等边三角形，进而再利用等边三角形的性质得到一些结论.3.复杂图形中，需要综合分析题干条件和图形条件，充分利用所学知识，才能找到证题思路.练3（2013秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD=CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE=a，则△BDE的周长是________．①若AB=BC，则△ABC是等边三角形；②若∠A=60゜，则△ABC是等边三角形；③若∠B=60゜，则△ABC是等边三角形，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．（2013秋•永定县校级月考）已知a、b、c是三角形的三边长，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．锐角三角形4．（2013秋•沈丘县校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（）①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2014春•沙坪坝区校级期末）已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD 上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（）A．10°B．15°C．20°D．25°6．（2014秋•海珠区期末）如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为（）A．8 B．16 C．24 D．32二、填空题7．（2014•广东模拟）如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则∠BDE=________．8．（2014秋•利通区校级期末）如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=_______度．9．（2014秋•故城县期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD 与CE交于点F．则∠DFC=________度．10．（2014•秀屿区模拟）如图，边长相等的等边△ABC和等边△DEF重叠部分的周长为6，则等边△ABC的边长为________．三、解答题11．（2014春•黄冈期末）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．求证：DB=DE．12．（2014秋•黔西南州期末）△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？13．（2014秋•江西校级月考）如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN 得△BMN．（1）求证：△ABE≌△DBC．（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．典例探究答案：【例1】解析】△ABC是等边三角形，由BD是∠ABC的平分线，则AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．证明：∵△ABC是等边三角形，且BD是∠ABC的平分线，∴AD=CD=AC=3，∵CE=CD，∴CE=3.∴BE=BC+CE=6+3=9．故选：C．点评：本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．练1．【解析】过C作CE∥直线m，由l∥m，推出l∥m∥CE，根据平行线的性质得到∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，即∠α+∠CBF=∠ACB=60°，即可求出答案．解：过C作CE∥直线m，∵l∥m，∴l∥m∥CE，∴∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，∵等边△ABC，∴∠ACB=60°，∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°，∴∠α=40°．故选：C．点评：本题主要考查对平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，此题是一个比较典型的题目，题型较好．【例2】【解析】若添加条件“AB=AC”，得到△ABC为等腰三角形，再由∠A为60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得证；若添加条件“∠B=∠C“，再由∠A为60°，利用三角形的内角和定理得到∠B=∠C=60°，即三个内角相等，可得出△ABC为等边三角形，得证；若添加条件“边AB、BC上的高相等”，如图所示，由HL判定出Rt△ACD 与Rt△AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠BAC=60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出△ABC为等边三角形，得证，综上，正确的说法为3个．解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若添加条件∠B=∠C，又∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，即∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，求证：△ABC为等边三角形．证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEC=90°，在Rt△ADC和Rt△CEA中，，∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个．故选A点评：此题考查了等边三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟悉等边三角形的判定方法是解本题的关键．练2．【解析】由等边三角形的判定可知①②③正确，由等腰三角形的性质可知④不正确，可得出答案．解：①∵三个角都相等的三角形是等边三角形，∴①正确；∵有两个角为60°的三角形是等边三角形，∴②正确；∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，∴③正确；∵所有等腰三角形中都有两个角相等，∴④不正确．故选：D．点评：本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．【例3】【解析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证△EDC是等边三角形，再根据条件易得∠CEF=∠F，即△CEF是等腰三角形，从而问题得解．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°.（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴EC=DC=2.∵∠DCE=60°，∠F=30°,∴∠CEF=60°—30°=30°，∴CF=CE=2，∴DF=DC+CF=4．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质.练3．【解析】根据在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，可得△ABC的形状，再根据△ABC 的周长是24，可得AB=BC=AC=8，根据BE⊥AC于E，可得CE的长，∠EBC=30°，根据CD=CE，可得∠D=∠CED，根据∠ACB=60°，可得∠D，根据∠D与∠EBC，可得BE与DE的关系，可得答案．解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∵△ABC的周长是24，∴AB=AC=BC=8，∵BE⊥AC于E，∴CE=AC=4，∠EBC=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠ACB是△CDE的一个外角，∴∠D+∠CED=∠ACB=60°∴∠D=30°，∴∠D=∠EBC，∴BE=DE=a，∴△BED周长是DE+BE+BD=a+a+（8+4）=2a+12，故答案为：2a+12．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的性质：等边对等角，等腰三角形的判定：等角对等边．课后小测答案：一、选择题1．【解析】根据等边三角形的判定判断．解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据等边三角形三线合一性质，故正确．所以都正确．故选：D．点评：此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．2．【解析】根据等边三角形的判定推出即可．解：∵AB=AC，AB=BC，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴①正确；∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴②正确；∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴③正确；正确的有3个，故选：D．点评：本题考查了等边三角形的判定的应用，注意：有一个角是直角的三角形是等边三角形，三边都相等的三角形是等边三角形．3．【解析】根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状．解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，∴a=b，b=c，∴a=b=c，∴这个三角形一定是等边三角形，故选：B．点评：本题考查的是同学们对非负数的性质以及等边三角形的判定的掌握情况，属较简单题目．4．【解析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有，AD=CD，∠ADB=∠CDB=90°（①正确），且∠ABD=∠CBD=30°（②正确），∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC，即DB=DE（③正确），∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题．解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴∠ADB=∠CDB=90°，BD平分∠ABC；∴BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°所以这四项都是正确的．故选：D．点评：此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．5．【解析】先根据等腰三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线，得出∠ABC=∠ACD，∠ABE=∠ACE．可求出∠ABE的值．解：∵D为BC的中点，AD⊥BC，∴EB=EC，AB=AC∴∠EBD=∠ECD，∠ABC=∠ACD．又∵∠ABC=60°，∠ECD=40°，∴∠ABE=60°﹣40°=20°，故选：C．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形外角和内角的关系；熟练掌握并灵活运用这些知识是解决问题的关键．6．【解析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2得出答案．解：如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16；故选：B．点评：本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出规律A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2是解题关键．二、填空题7．【解析】由△ABC为等边三角形，可求出∠BDC=90°，由△DCE是等腰三角形求出∠CDE=∠CED=30°，即可求出∠BDE的度数．解：∵△ABC为等边三角形，BD为中线，∴∠BDC=90°，∠ACB=60°∴∠ACE=180°﹣∠ACB=180°﹣60°=120°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED=30°，∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°，故答案为：120．点评：本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质．8．【解析】根据等边三角形的性质及全等三角形的判定SAS判定△DAC≌△BAE，得出对应角相等，再根据角与角之间的关系得出∠BOC=120°．解：∵△ABD，△ACE都是正三角形∴AD=AB，∠DAB=∠EAC=60°，AC=AE，∴∠DAC=∠EAB∴△DAC≌△BAE（SAS）∴DC=BE，∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，∴∠BOC=∠CDB+∠DBE=∠CDB+∠DBA+∠ABE=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°．故填120．点评：此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法等，做题要灵活运用．9．【解析】由已知条件得到三角形全等，即△ABD≌△CAE，得出角相等，∠ACE=∠BAD，再利用角的等效代换求出结论．解：∵AB=AC，BD=AE，∠B=∠ACB=60°∴△ABD≌△CAE，∴∠ACE=∠BAD，∵∠BAD+∠DAC=60°∴∠CAD+∠ACE=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∠CAD+∠ACE=∠DFC，∴∠DFC=60°．故答案为：60．点评：本题考查了等边三角形的性质；会利用全等求解角相等，能够运用等效代换解决一些简单的问题．10．【解析】利用等边三角形的性质推知重叠部分的周长为FD+BC=6，易求FD=BC=3．解：∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠F=60°，FG=FH，FD=BC，∴△FHG是等边三角形，∴GH=FG．同理，IJ=ID，HL=CL，JK=KB，∴重叠部分的周长为：FD+BC=6，∴FD=BC=3，即等边△ABC的边长是3．故答案是：3．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，根据题意推知△FGH是等边三角形是解题的难点．三、解答题11．【解析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．12．【解析】先根据已知利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN=∠ABC=60°．解：证法一．∵△ABC为正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB和△BNC中，△AMB≌△BNC（SAS），∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），∴∠ANB+∠MAN=120°，又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），=180°﹣120°=60°，∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．证法二．∵△ABC为正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB和△BNC中∴△AMB≌△BNC（SAS）∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC∠MAN=∠BAC﹣∠MAB又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）∴∠ANB+∠MAN=120°又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）=180°﹣120°=60°点评：此题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．13．【解析】（1）由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等；（2）三角形BMN为等边三角形，理由为：由第一问三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形．解：（1）证明：∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵，∴△ABE≌△DBC（SAS）；（2）△BMN为等边三角形，理由为：证明：∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°﹣60°﹣60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，∵，∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM=BN，∠MBE=60°，则△BMN为等边三角形．点评：此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．同时做第二问时注意利用第一问已证的结论．14．【解析】（1）由△ADE为等边三角形，得出AE=AD，∠DAE=60°，由AD∥EB，得出∠DAE=∠ABE，且EB=DC，证得△ABE≌△ACD，得出∠DAC=∠EAB，AB=AC进一步推出结论；（2）作法如下：①l1、l2、l3三条平行线间距离不等，不仿设l2、l3间距离大点．②在l1、l3的正中间做一条直线d与它们平行．③作一条垂线分别交l1、l3于A、M，以AM为边作正三角形AMG，第三个顶点G就在d上．过G作CG垂直AG交直线l2于C，连AC．在直线l3上AM的左测截取BM等于CG，连AB、BC．则三角形ABC就是所要求作的正三角形；（3）①结合（1）的证明直接填空即可；②利用①所给的画法做出图形．（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AE=AD，∠DAE=60°，∵AD∥EB，∴∠DAE=∠AEB，又∵EB=DC，∴△ABE≌△ACD，∴∠DAC=∠EAB，AB=AC，∵∠DAE=∠DAC﹣∠CAE=∠EAB﹣∠CAE=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：作图如下：（3）解：作图如下：点评：此题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，尺规作图等知识点，并且渗透类比思想．。